2000-2008年苏州大学高等代数试题

2008年苏州大学高等代数考研试题 1. 计算n阶行列式 210000012100000120000

00001210000012



。

2. 设实二次型2221231213232fxxxtxxxxxx。问当t取何值时，f是正定的、半正定的？

3. 设300114311A。求（1）A的初等因子；（2）A的Jordan标准型。 4. 设n维线性空间V上的线性变换的最小多项式与特征多项式相同。求证：必存在某个V，使得

21,,,,n

为V的一个基。

5. 设A，B都是mn矩阵，线性方程组0AX与0BX同解，则A与B的行向量组等价。

6. 设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量1,2,1T，0,1,1T是线性方程组0AX的两个解。 （1） 求A的特征值与特征向量；

（2） 求正交矩阵Q和对角矩阵B，使得TQAQB。

7. 若A是n阶实矩阵，nE为n阶单位矩阵，且TnAAE，其中TA是A的转置矩阵，则A是可逆矩阵。 8. 设V是有理数域Q上的线性空间，设是V的一个线性变换，设21gxxxx。

证明：如果的多项式0g，则V是的核与值域的直和。 2007年苏州大学高等代数考研试题 1. 化二次型123122313,,222fxxxxxxxxx为标准型，并给出所用的非退化线性替换。

2. 求三阶矩阵1261725027的Jordan标准型。 3. 设,n且长度为2，矩阵TTnAE。求A的特征多项式。 4. 设A是n阶反对称矩阵，nE为单位矩阵。证明： （1） EA可逆； （2） 设1QEAEA，求证：Q是正交矩阵。

5. 设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量1,2,1T，0,1,1T是线性方程组0AX的两个解。 （3） 求A的特征值与特征向量；

（4） 求正交矩阵Q和对角矩阵B，使得TQAQB。

6. 设P是一个数域，px是Px中次数大于零的多项式。证明：如果对于任意的fx，gx，由|pxfxgx可以推出|pxfx或|pxgx，那么px是不可

约多项式。 7. 设欧氏空间中有12,,,,,0n，112,,,nWSpan，

212,,,,nWSpan。证明：如果,0,1,2,,iin，那么

12dimdimWW。

8. 设是n维欧氏空间中的一个对称变换，则kerVV。 2006年苏州大学高等代数考研试题 1． 用正交线性替换将实三元二次型222123112132233(,,)44282fxxxxxxxxxxxx

变成标准形，并写出所用的非退化线性变换。

2． 设212254115A。A是否相似于一个对角矩阵？如果相似，则求出可逆矩阵C，

使得1CAC为对角矩阵，且写出此对角矩阵。 3． 设1110()nnnnfxaxaxaxa是一个整系数多项式，证明：如果0+naa是一个奇数，则()fx不能被1x整除，也不能被1x整除。 4． 设A是一个nn矩阵，证明：如果A的秩等于2A的秩，则齐次线性方程组0AX与齐次线性方程组20AX同解。 5． 设V是有理数域Q上的线性空间，id是V的恒等变换。又设是V的一个线性变换，证明：如果325id，则没有特征值。 6． 设A是nn实对称矩阵，b是A的最大的特征值。证明：对任意n维非零的实列向量，

都有(,)(,)Ab。

7． 设5[]VFx是F上全体次数5的多项式及零多项式构成的线性空间。 ()fxV，定义映射(())()fxrx，其中2()(1)()()fxxqxrx，()0rx或

deg(())2rx。

（1） 证明映射是V的一个线性变换。 （2） 求在基2341,,,,xxxx下的矩阵。

8．设,AB都是nn矩阵，并且ABBA。证明：如果,AB都相似于对角矩阵，则AB也相似于对角矩阵。 2005年苏州大学高等代数考研试题 1. 设,AB均为n阶方阵，A中的所有元素均为，B中除左上角的元素为1外，其余元素均为0。问：A与B是否等价？是否合同？是否相似？为什么？

2. 设1021035401A。是A的最大特征值。求A的属于的特征子空间的一个基。

3. 设fx是一个整系数多项式。证明：如果存在一个偶数m和一个奇数n使得fm和fn都是奇数，则fx没有整数根。

4. 设A是一个22nn的矩阵。证明：如果对于任意22n的矩阵B，矩阵方程AXB都有解，则A是可逆的。 5. 证明：实系数线性方程组AXB有解的充要条件是用它的常数项依次构成的列向量B与齐次线性方程组0AX的解空间正交。

6. 设,AB是nn实对称矩阵，且ABE，E为单位矩阵。证明下列结论等价：

（1） 0AB，0为零矩阵。（2）rankArankBn。 7. 设V是复数域上的n维线性空间，,是V上的两个可对角化的线性变换，且。证明： （1） 如果是的特征值，那么的属于的特征子空间V是的不变子空间。 （2） 存在一个基使得,在这个基下的矩阵都是对角矩阵。 8. 设,,ABC分别是mm，nn，mn矩阵mn，且ACCB，C的秩为r。证明：A和B至少有r个相同的特征值。 2004年苏州大学高等代数考研试题 1. 求满足下列条件的X，1011210102135010102X。 2. 设P是一个数域，px是Px中次数大于零的多项式。证明：如果对于任何的多项式fx，gx，由|pxfxgx可以推出|pxfx或|pxgx，那么px是不可约多项式。

3. 设是数域P上的n维向量空间V的一个线性变换，2。证明： （1） 10|V； （2） 10VV。 （3） 如果是V的线性变换，10，V都是的不变子空间，则有。 4. 设是数域P上的向量空间V的一个线性变换，1是的属于特征值的特征向量，向量组12,,,s满足关系：1,1,2,,1iiidis，其中id是恒等变换。证明：12,,,s线性无关。 5. 用正交线性替换化三元二次型222

123123121323,,22448fxxxxxxxxxxxx

为标准型，并给出所用的正交线性替换。 6. 设,AB为两个n阶方阵，=1rankArankBn，其中1n，齐次线性方程组

0AX与0BX同解。证明：A的非零列与B的非零列成比例，其中A和B分别

是,AB的伴随矩阵。 7. 设,是n维欧氏空间V的线性变换，对任意,V，都有,,。证明：的核等于的值域的正交补。 8. 设M是数域P上的n阶方阵1n，,fxgxPx，且,1fxgx，

AfM，BgM，W，1W，2W分别是方程组0ABX，0AX，0BX

的解空间。证明：12WWW。 9. 设V是数域P上的n维线性空间，,是V的线性变换，有n个互异的特征值。证明：与可交换的充要条件是21,,,,nid的线性组合，其中id是恒等变换。

2003年苏州大学高等代数考研试题

1．设A是nn的实对称矩阵．证明：如果0是A的最小特征值，则0(1)nEA是正定矩阵。

2．设是一个数域，V是上n维的线性空间，是V的一个线性变换，记 {|}WaaV．证明：5236，则V是的核与W的直和。

3．设12(),(),,()nfxfxfx是[0,1]上的连续函数．称12(),(),,()nfxfxfx在[0,1]上线性相关，若存在不全为零的常数12,,nccc，使得1()0,[0,1]njjjcfxx。 证明：12(),(),,()nfxfxfx在[0,1]上线性相关的充要条件是 10det((()()))0ijnnfxfxdx

其中det()A是A的行列式。 2002年苏州大学高等代数考研试题 1. 设A1111101111001110001100001，123101221001320001200001nnnnnnB都是nn矩阵。解矩阵方程AXB。 2. 设143253442A，A是否相似于对角矩阵？如果相似于对角矩阵，求可逆矩阵C，

使得1CAC是一个对角矩阵。 3. 设k,m,r,s都是非负整数。设231fxxxx，4414243kmrsgxxxxx。证明：fx整除gx。 4. 设A，B都是nn矩阵，G是nm矩阵，并且G的秩是n。证明：如果AGBG，则AB。

5. 设A是nn矩阵，并且A是可逆的。证明：如果A与1A的所有的元素都是整数，则A的行列式是-1或1。

6. 设A是nn反对称矩阵，证明：2A是半正定的。

7. 设A是nn矩阵。如果2nAE，并且()nAE的秩是r，A是否相似于一个对角矩阵？如果是，求这个对角矩阵。 8. 设V是有理数域Q上的n维线性空间，A与B是V的线性空间。其中B可对角化，并

且ABBAA。证明：存在正整数M，使得mA是零变换。