完整word版,苏州大学历年考研数学分析及高等代数答案
2000-2012年苏州大学高等代数试题
1. 设 A, B 均为 n 阶方阵， A 中的所有元素均为， B 中除左上角的元素为1外，其余元素均
为 0 。问： A 与 B 是否等价？是否合同？是否相似？为什么？
1 0 2
2. = 设 A 10
−3
5
。
λ
是
A
的最大特征值。求
A
的属于 λ
的特征子空间的一个基。
4 0 −1
25
的
Jordan
标准型。
0 −2 −7
3. 设α , β ∈ ℜn 且长度为 2 ，矩阵 A =En + αα T + ββ T 。求 A 的特征多项式。
4. 设 A 是 n 阶反对称矩阵， En 为单位矩阵。证明： （1） E + A 可逆；
（2） 设 Q =( E + A) ( E − )A −1 ，求证： Q 是正交矩阵。
AX = 0 与 BX = 0 同解。证明： A∗ 的非零列与 B∗ 的非零列成比例，其中 A∗ 和 B∗ 分别
是 A, B 的伴随矩阵。
7. 设σ ,τ 是 n 维欧氏空间V 的线性变换，对任意α , β ∈V ，都有 (σ (α ), β ) = (α ,τ (β )) 。
证明：σ 的核等于τ 的值域的正交补。
（2） 求正交矩阵 Q 和对角矩阵 B ，使得 QT AQ = B 。
7. 若 A 是 n 阶实矩阵， En 为 n 阶单位矩阵，且 AT + A =En ，其中 AT 是 A 的转置矩阵， 则 A 是可逆矩阵。
( ) 8. 设V 是有理数域 Q 上的线性空间，设σ 是V 的一个线性变换，设 g ( x=) x x2 + x −1 。
苏州大学考研真题数学分析2005(含答案)
1 2
2
f (x)dx 0
0
以下分三种情况讨论：
( a ) 当 x M x 0时 f ( x M ) f (x 0 ) 0 m a x x[0,2 ] f ( x ) 0 L (b) 当 x M x 0时 ,由 f(x) 的 周 期 性 ， 得 2 f(x0 ) f (x M ) f(x0 ) f (x M ) f(x0 2 ) f (x M ) L (x0 x M ) L (x0 2 x M ) 2 L (c )当 x M < x 0时 , 由 f ( x ) 的 周 期 性 ， 得 2 f(x0 ) f (x M ) f(x M ) f (x0 ) f(x M 2 ) f (x0 ) L(x0 x M ) L(x M 2 x0 ) 2 L 从 而 由 ( a ) ， ( b ) ，(c )知 道 m a x xR f ( x ) L
则 f ( x0 ) 0.证 明 ： f ( x )在[0,1]上 只 有 有 限 个 零 点 。
证 明 ： 设 若 不 然 f ( x )在 [0,1]上 有 无 穷 多 个 零 点 ， 不 妨 设 { x n } [0,1], f (x n ) 0, n 1, 2
则 存 在 { x n }的 一 个 子 列{x nk } , 使 得 x nk x0 ( k )且 f (x nk ) 0， 从 而 f ( x0 ) 0
4（. 16） 将 方 程 x u
y
u
0变 为 以 极 坐 标 r, 为 自 变 量 的 形 式 ， 其 中 极 坐 标
y
x
变 换 为 x=rcos ,y=rsin ,(r 0)
考研高等代数真题答案
考研高等代数真题答案一、选择题1. 根据线性空间的定义，下列哪个选项不是线性空间的子空间？- A. 所有零向量组成的集合- B. 线性空间中的非零向量集合- C. 线性空间中的任意向量集合- D. 线性空间中满足特定线性组合的向量集合答案：B2. 矩阵A的特征值是λ1, λ2, ..., λn，矩阵B的特征值是μ1,μ2, ..., μn。
若AB=BA，那么矩阵A+B的特征值是什么？- A. λ1+μ1, λ2+μ2, ..., λn+μn- B. λ1*μ1, λ2*μ2, ..., λn*μn- C. λ1+μ1, λ1+μ2, ..., λn+μn（无规律）- D. 不能确定答案：A二、填空题1. 若线性变换T: V → W，其中V和W是有限维向量空间，且dim(V) = n，dim(T(V)) = r，则T的核的维数是_________。
答案：n-r2. 设A是一个3×3的矩阵，且|A| = 2，矩阵A的特征多项式为f(λ)= (λ-1)^2(λ-3)，则矩阵A的迹是_________。
答案：4三、解答题1. 证明：若矩阵A可逆，则A的伴随矩阵A*的行列式等于|A|^(n-1)，其中n是A的阶数。
证明：设矩阵A是一个n×n的可逆矩阵，其伴随矩阵记为A*。
根据伴随矩阵的定义，我们有：A * A* = |A| * I，其中I是单位矩阵。
两边同时乘以A的逆矩阵A^(-1)，得到：A^(-1) * A * A* = |A| * A^(-1) * I，即 A* = |A|^(n-1) * A^(-1)。
由此可知，A*的行列式是|A|^(n-1)。
2. 解线性方程组：x + 2y + 3z = 14x + 5y + 6z = 27x + 8y + 9z = 3解：首先写出增广矩阵：[1 2 3 | 1][4 5 6 | 2][7 8 9 | 3]通过初等行变换，将增广矩阵化为行最简形式：[1 0 -1 | -1][0 1 3 | 4][0 0 0 | 0]根据行最简形式，我们可以得到y = 4 - 3z，x = 1 + z。
苏州大学2001年数学分析试题解答
苏州大学2001年数学分析试题解答[)[)[)1.(15)(),1lim ()(),2(),lim ()lim ()lim ()(,()2,,,()()x x x x f x a f x f x a f x a f x f x f x A A M x M f x A x x M x x f x f x εδ→+∞→+∞→+∞→+∞+∞+∞+∞=>-<'''''''''∀>-<-设在上连续（）若存在且有极限，证明：在上一致连续（）若在上一致连续,存在吗？回答并说明理由。
证明：（1）由于存在且有极限，设有限）所以存在当时，有且则[)[][)[)()()22(),()(),,lim ()lim x x f x A f x A f x M f x f x a a f x x εεε→+∞→∞'''≤-+-<+=+∞+∞+∞=从而在上一致连续，由在a,M 上一致连续所以在上一致连续（2）不一定。
例如：f(x)=x,显然f(x)在上一致连续但不存在[][][][][][][][][]00000002.(10),(,),,,(),(,),,(),()()()0,()()0,,)0()f a b f a b a b x a b f x x a b f a b a b f a b f a a f b bF a f a a F b f b b x a b x f x x ⊃∈=⊃<>=-<=->∈==设是上的连续函数，且证明：存在使得证明：令F(x)=f(x)-x,F(x)在上连续由于且在上连续则因此从而由连续函数的介值定理知，存在使得F(即111111113.(15)()11,1111,11111ln )()xn x a a xn n xn x x xn n n S x na b a n n n n nnn n n∞=∞∞==∞=∞∞∞====+∞∀><+∞∀∈<>+∞'''==-∀∈∑∑∑∑∑∑∑证明函数在（，）内无穷可微证明：且a<b,x [a,b]因为而时，在[a,b]上收敛，从而在[a,b]上一致收敛由a,b 的任意性知，在（，）上一致收敛所以S(x)连续且可导S (x)=(x 12121121ln ln (1)ln ln 1(0),lim lim 01ln ()()1ln ()(1)ln ln x a n n a n k k xn k x n na n nn na n nn n n nS x S x n x nn n αααααα++→∞→∞∞∞+=∞=≤>=+>==∈''+∞∀=-∀∈≤∑∑∑n=1(k)[a,b],有令而收敛x [a,b]， 因此 收敛从而在[a,b]上一致收敛，由a,b 的任意性知，在（，）内连续可微k>0,S x [a,b],有1(1)ln ()(1)11ka k kx n na nn x n ∞=>=-+∞+∞∑(k)用上所证，S 在（，）上一致收敛从而S(x)在（，）内无穷可微2222224.(10),02{,2222,0SVS I x dydz y dzdx z dxdy S z h h z hS x dydz y dzdx z dxdy x y zdxdydz x y zdxdydz r hθ--Ω+=++=+≤≤+===Ω=+++=++=++≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰122211S 求曲面积分其中为锥面z x y 在部分的下侧。
苏州大学数学分析考研部分试题答案
1、设)(x f 是以T 为周期的周期函数且⎰=TC x f T 0)(1，证明⎰+∞∞→=n n C dx x x f n 2)(lim 。
证明：由⎰=T C x f T 0)(1，得到⎰=-Tdx C x f T 00])([1，从而有⎰=-T dx C x f 00])([ （*）本题即证明⎰+∞∞→=-n n dx x C x f n 0)(lim 2（此因⎰+∞=n n dx x112） 注意到21x 是递减的正函数，应用积分第二中值定理，对ξ∃>∀,n A 介于n 与A 之间，使⎰⎰-=-A n n dx C x f n dx xC x f n ξ])([1)(2 k ∃为非负整数使T kT n <--<ξ0，于是由（*），dx C x f dx C x f dx C x f dx C x f kTn kTn kTn nn⎰⎰⎰⎰+++-=-+-=-ξξξ])([])([])([])([于是有dxC x f n dx C x f n dx C x f n dx x C x f nTkT n kT n An⎰⎰⎰⎰-≤-≤-=-++02)(1)(1])([1)(ξξ令∞→A 有dx C x f n dx xC x f nTn⎰⎰-≤-∞+02)(1)( 故⎰+∞∞→=-nn dx x C x f n0)(lim 2，即⎰+∞∞→=n n C dx x x f n 2)(lim 。
2、设函数f(x)在整个实数轴有连续的三阶导数，证明存在实数a 使0)()()()(''''''≥a f a f a f a f 。
证明：由于f 的三阶导数连续，故若'''''',,,f f f f 有一个变号的话，利用根的存在性原理便知，使a ∃0)()()()(''''''＝a f a f a f a f ，结论得证。
苏大研究生考试 数学专业考研试题数分答案
05数分答案2证明:反证法,假设()f x 在[]0,1上有无穷多个零点,不妨设{}n x ⊂[]0,1,()0,1,2,n f x n ==,则存在一个{}n x 的子列{}kn x 使得0()k n x x k →→+∞,且()0k n f x =,000'0000()()()()()limlim 0k n x x x x f x f x f x f x f x x x x x →→--===--与题设条件矛盾,故()f x 在[]0,1上只有有限个零点.3证明:1).由条件2)()()f x f y L x y -≤-则∀0,,,x y R x y Lεεδδ>∃=∀∈-<有()().f x f y L x y L Lεε-≤-≤=故()f x 在R 上一致连续当然在R 上连续.2).令[]200,2()max (),()0M x f x f x f x dx ππ∈==⎰,由于积分中值定理得存在[]22000010,2,()()2()()02x f x dx f x f x f x dx πππππ∈=∴==⎰⎰讨论a)当0M x x =时,0()()0M f x f x ==当然有[]0,2max ()0x f x L ππ∈=≤b)当0M x x >,由()f x 的周期,得000002()()()()(2)()()(2)2M M M M M f x f x f x f x f x f x L x x L x x Lπππ-=-++-≤-++-=c)0M x x <时由周期性000002()()()()(2)()()(2)2M M M M f x f x f x f x f x f x L x x L x x Lπππ-=-++-≤-++-=综合a)b)c)结论可得.4解:作极坐标变换cos ,sin ,cos sin u u x u y u u x r y r r x r y r x yθθθθ∂∂∂∂∂∂∂===+=+∂∂∂∂∂∂∂ ① (sin )cos u u x u y u ur r x y x yθθθθθ∂∂∂∂∂∂∂=+=-+∂∂∂∂∂∂∂ ② 由① ②可得?,?u u x y ∂∂==∂∂,然后代入就得0uθ∂=∂5证明：1）（i ）当L=0时1()nn n f x a x∞==∑在（-1，1）上有定义（ii ）L ≠0时11lim 1n n nn n a x x a x ++→∞=<(1,1)x ∴∈-，即()f x 的定义域（-1，1） 2）11111lim(1)()lim(()())lim()n n n n x x x n x f x f x xf x a x a x ---∞+→→→=-=-=-∑=111111111111101111lim()lim()lim(())n n n n n n n n n n x x x n n n n n a x a xa x a x xa x a a x ---∞∞∞∞∞++++++++→→→=====-=+-=+-=∑∑∑∑∑11111()lim()n n n n n a a a a a L ∞++→∞=+-=-=∑6解：本题需要讨论，答案省略。
苏州大学研究生入学考试试题-数学分析历年真题.doc
08071. 06求下列极限:(1).(1)lim n n n αα→∞⎡⎤+-⎣⎦，其中01α；（2）224cos arcsin 0limx x ex x --→2．设函数f(x)= 1sin ,00,0m x x x x ⎧≠⎨=⎩。
讨论m=1,2,3时f(x)在x=0处的连续性，可微性及导函数的连续性。
3．设u=f(x,y+z)二次可微。
给定球变换cos sin x ρθϕ=,sin sin y ρθϕ=,cos z ρϕ=.计算22,u u ϕθ∂∂∂∂。
4．设f(x)二次可导，'()f a ='()f b =0。
证明(,)a b ξ∃∈，使2''4()()()()b a f f a f b ξ-≥-。
5．设函数项级数1()n n u x ∞=∑在区间I 上一致收敛于s(x)，如果每个()n u x 都在I 上一致连续。
证明s(x)在I上一致连续。
6．设f(x,y)是2上的连续函数，试交换累次积分2111(,)x x xdx f x y dy +-+⎰⎰的积分次序。
7．设函数f(x)在[0,1]上处处可导，导函数'()()()f x F x G x =-，其中()F x ，()G x 均是单调函数，并且'()f x >0，[0,1]x ∀∈。
证明 0c ∃>，使'()f x c ≥，[0,1]x ∀∈。
8．设三角形三边长的和为定值P 。
三角形绕其中的一边旋转，问三边长如何分配时旋转体的体积最大？051.(20')1)11(2)lim(),()0,()()()()()()()0,()n n n n x aa b bbf a f a f x f a x a f a x a f a f a →<≤≤=='''-≠'---''''''≠求下列极限（）而因此其中存在解：由于存在，从而f(x)=f(a)+f (a)(x-a)+f (a)222222(())211()()(()())lim()lim()()()()()(()())()()()()()((()))2lim(()()()((()))2limx a x a x a x o x a x a f a f x f a f x f a x a f a f x f a x a f a x a x a f a o x a x a x a f a o x a →→→+-'----=''-----''''--+-=-''''-+-=f (a)(x-a)+f (a)f (a)(x-a)+f (a)22222()(())2()()()((()))21()()2lim ()2[()]()(()(())2a x a x a o x a x a x a f a o x a f a f a x a f a f a f a o x a →→-''+--''''-+-''-''==--'''''++--f (a)f (a)(x-a)+f (a)f (a)000002.(18')()[01]()()0()0.()[0,1]()[0,1]}[0,1],()0,1,2}{},()()0()0()limx x f x f x f x x f x f x f n x k f f x f x →='≠⊂==→→∞=='=k k k n n n n n n 设在，上可微，且的每一个零点都是简单零点，即若则f 证明：在上只有有限个零点。
苏州大学考研真题数学分析2004(含答案)
n
n
f(k) f ( x )dx有 极 限 L， 且 0 L f (1)
k=1
1
(2)设 an
1 2 ln
2
1 3 ln 3
……
1 n ln
n
ln ln
n, n
2, 3… …
证 明 数 列{a n }收 敛 。
n
n
证 明 ： （1） 令 an f(k) 1 f ( x )dx
x4
x 0
4x3
lim
2 x (1
x2)
2(arctan
x)
lim
2
6x2
1 2
1 x2
x 0
4 x 3 (1 x 2 )
x0 12 x2 20 x5
( 2 6 x 2 )(1 x 2 ) 2
8x2 6x4
lim
lim
x 0 (1 x 2 )(1 2 x 2 2 0 x 5 ) x 0 x 2 (1 x 2 )(1 2 2 0 x 3 )
所 以 f(x)> lim f ( x) lim sin 2 x 1
x 0
x0 x2 cos x
即f (x) 1
从 而 tan x
x
, x (0, )
x sin x
2
4.(20 ')(1)设 f ( x )在[1， + ） 上 非 负 递 减 ， 证 明 n + 时
从 而 f ( x ) 在 [0，1]上 存 在 唯 一 的 零 点 ， 也 即 方 程 x n x n 1 … … x 1在 区 间[0，1]上 总 有