2015年高考全国1卷理科数学试题及答案(word精校解析版)
2015高考数学真题 全国1理科解析
2015年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）理科数学试题解析1.解析 由1i 1z z +=-得()()()()1i 1i 1i i 1i 1i 1i z -+--+===++-，所以1z =．故选A ． 2.解析 原式sin 20cos10cos 20sin10=+=1sin 302=．故选D ． 3.解析 否命题是对原命题的条件与结论同时否定，因为存在的否定是任意，大于的否定是小于等于，所以:p n ⌝∀∈N ，22nn …．故选C ．4.解析 根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为2233=C 0.60.40.6P ⨯⨯+=0.648．故选A ．5.解析由题可得()1F，)2F ，且220012x y -=，即220022x y =+， 所以12MF MF ⋅=()00,x y -⋅)00,x y -=2220003310x y y +-=-<，解得0y <<A ． 6.解析 设圆锥底面半径为r ，则米堆底面弧度为12384r ⨯⨯=，解得163r =，所以米堆的体积为1143⨯⨯3⨯216320539⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭立方尺，故堆放的米约为320 1.62229÷≈斛． 故选B ．7.解析 由题可得BC AC AB =-，所以()1133CD BC AC AB ==-， 所以AD AC CD =+=()141333AC AC AB AC AB +-=-．故选A ． 8.解析 由题可得511244T =-=，即2T =， 所以2T ωπ==π．由图可知034x =， 所以324k ϕπ+=π+π，解得24k ϕπ=π+，k ∈Z ．令0k =，解得4ϕπ=，所以()cos 4f x x π⎛⎫=π+ ⎪⎝⎭．令224k x k πππ+π+π剟，解得132244k xk -+剟． 故选D ． 9.解析 11111,0,,,1,0.012242S n m S m n ===→===>→111,,2,0.01484S m n ===>→111,,3,0.0181664S m n ===>→⋅⋅⋅→111,,7,0.01128256128S m n ===<→输出7n =．故选C ．10.解析 ()()5522x x yx x y ⎡⎤++=++⎣⎦．展开式中含2y 的项为()522225C x x y -+=()32225C x x y +，而()32x x +中含5x 的项为()2121533C C x x x =，所以52x y 的系数为2153C C 30⨯=．故选C ．11.解析 由正视图和俯视图可知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为221422r r r r ⨯π+π+π⨯+22r r ⨯=25r π+241620r =+π，解得2r =．故选B ．12.解析 设()()e21xg x x =-，()h x ax a =-，可转化成存在唯一的整数0x ，使得()()g x h x <．因为()()'e 21x g x x =+，所以当12x <-时，()'0g x <，()g x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减；当12x >-时，()'0g x >，()g x 在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．因为当0x =时，()01g =-，()00h =，所以()()00g h <．又因为存在唯一的整数0x ，使得()()g x h x <，所以()()()()1111g h g h ⎧⎪⎨--⎪⎩……，即e 32ea a -⎧⎪⎨--⎪⎩……，解得32e a …，又因为1a <，所以312ea <…．故选D ．y=e x13.解析由题意可知函数(ln y x =是奇函数，所以(ln x+(ln 0x -=，即 ()22ln ln 0a x x a +-==，解得1a =．14. 解析 如图所示，设圆心为(),0C a ，其中0a >，连接AC ， 则半径4AC BC a ==-，由题可得2OA =，所以()22242a a -=+，解得32a =， 故圆的方程为2232524x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．15.解析 作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点()1,3A 与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3.16.解析 解法一：如图所示，75B C BAD ∠=∠=∠=，延长BA ，CD 交于点E ，则可知BE CE =，且在ADE △中，105DAE ∠=，45ADE ∠=，30E ∠=． 在BEC △中，由正弦定理可得sin 756sin 30BC BE CE ===+所以由题意可得(DE ∈．在ADE △中，由正弦定理可得sin 45sin105DE AE ⋅==)1DE ，所以(0,AE∈．又因为AB BE AE=-， 所以AB的取值范围是．EDCBA解法二（构造法）：如图所示，构造BEC △，使得75B BCE ∠=∠=，则30BEC ∠=，取BE 边上一点A ，CE 边上一点D ，使得75BAD ∠=．若平移AD 使点D 与点C 重合，此时四边形ABCD 退化为A BC '△，且可在A BC '△中利用正弦定理求得2sin 306sin 75A B '==-AD 使点D 与点E 重合，此时四边形ABCD 退化为BEC '△，且可在BEC △中利用正弦定理求得BE =2sin 756sin 30=+．又因为ABCD 是平面四边形，所以点D 应在点C 与点E 之间，且不与点C与点E 重合，所以AB的取值范围是．17.解析 （1） 由2243n n n a a S +=+① 可得2+1+1+1243n n n a a S +=+②式①－式②得()()+1+120n n n n a a a a +--=．又因为0n a >，所以+12n n a a -=．当1n =时，2111243a a S +=+，即211230a a --=，解得13a =或11a =-（舍去），所以{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为=21n a n +． （2）由=21n a n +可得()()1112123n n n b a a n n +===++11122123n n ⎛⎫- ⎪++⎝⎭． 记数列{}n b 前n 项和为n T ，则12n n T b b b =++⋅⋅⋅+=1111111235572123n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1112323n ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭()323n n +． 18.解析 （1）连接BD ，设BDAC G =，连接EG ，FG ，EF ．在菱形ABCD 中，取1GB =，由120ABC ∠=，得AG GC ==BE ⊥平面ABCD ，AB BC =，可知AE EC =．又AE EC ⊥，所以EG =EG AC ⊥．在Rt EBG △中，可得BE =DF =Rt FDG △中，FG =BDFE 中，由C'A'EA BC D2BD =，BE =，2DF =，可得2EF =222EF EG FG =+，所以EG FG ⊥．又因为AC FG G =，所以EG ⊥平面AFC ．又因为EG ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面AFC ．（2）如图所示，以G 为坐标原点，分别以GB ，GC 的方向为x ,y 轴正方向，GB 为单位长度，建立空间直角坐标系G xyz -．由（1）知()0,A，(E，1,0,2F ⎛- ⎝⎭，()C，所以(AE =，1,2CF ⎛=- ⎝⎭，所以cos ,AE CF =AE CF AE CF⋅=AE与直线CF19.解析（1）由散点图变化情况可知选择y c =+（2）由题意知()()()81821108.8681.6iii i i w w yyd w w==--===-∑∑．又y c =+一定过点(),y ω，所以c y d ω=-=56368 6.8100.6-⨯=，所以y 与x 的回归方程为100.6y =+ （3）①由（2）知，当49x =时，()100.668576.6t y =+=，0.2576.649z =⨯-=66.32（千元），所以当年宣传费为49x =时，年销售量为()576.6t ，利润预估为66.32千元．GABCDEF②由（2）知，(0.20.2100.6z y x x=-=+-=x+20.12=)226.8 6.820.12-++6.8=时，年利润的预估值最大，即26.846.24x==（千元）．20.解析（1）由题意知，0k=时，联立24y axy=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得()M a，()N a-．又2xy'=，在点M处，Mk=y a x-=-，y a--=，在点N处，Nk=y a x-=+，即0y a++=y a--=y a++=．（2）存在符合题意的点，证明如下：设点P()0,b为符合题意的点，()11,M x y，()22,N x y，直线PM，PN的斜率分别为1k，2k．联立方程24y kx axy=+⎧⎪⎨=⎪⎩，得2440x kx a--=，故124x x k+=，124x x a=-，从而121212y b y bk kx x--+=+=()()1212122kx x a b x xx x+-+=()k a ba+．当b a=-时，有12k k+=，则直线PM与直线PN的倾斜角互补，故OPM OPN∠=∠，所以点()0,P a-符合题意．21.解析（1）设曲线()y f x=与x轴相切于点(),0x，则()00f x=，()00f x'=，即30021430x axx a⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，解得12x=，34a=-，所以当34a=-时，x轴为曲线()y f x=的切线．（2）当()1,x∈+∞时，()ln0g x x=-<，从而()()(){}min,h x f x g x=…()0g x<，故()h x在()1,+∞无零点；当1x==时，若54a=-，则()5104f a=+…，()()(){}1min1,1h f g==()10g=，故1x=是()h x的零点；若54a <-，则()10f <，()()(){}()1min 1,110h f g f ==<，故1x =不是()h x 的零点；当()0,1x ∈时，()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在()0,1的零点个数． （ⅰ）若3a -…或0a ?，则()23f x x a '=+在()0,1无零点，()f x 在()0,1单调．而()104f =，()514f a =+，所以当3a -…时，()f x 在()0,1有一个零点；当0a …时，()f x 在()0,1没有零点．（ⅱ）若30a -<<，则()f x在⎛⎝单调递减，在⎫⎪⎪⎭单调递增，故在()0,1中，当x =()f x取最小值，最小值为f =14．①若0f >，即304a -<<，则()f x 在()0,1无零点；②若0f =，即34a =-，则()f x 在()0,1有唯一零点；③若0f <，即334a -<<-，由于()104f =，()514f a =+，所以当5344a -<<-时，()f x 在()0,1有两个零点；当534a -<-…时，()f x 在()0,1有一个零点．综上所述，当34a >-或54a <-时，()h x 有一个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当5344a -<<-时，()h x 有三个零点． 22.解析 （1）连接OE ，AE ，由已知得AE BC ⊥，AC AB ⊥．在Rt AEC △中，由已知得DE =DC ，故DEC DCE ∠=∠，所以OBE OEB ∠=∠．又90ACB ABC ∠+∠=，所以90DEC OEB ∠+∠=，故90OED ∠=，DE 为圆O 的切线．（2）设1CE =，AE x =，则OA ==AB =BE =，由射影定理可得2AE CE BE =⋅，所以2x =x =ACE △中，有tan AEACE EC∠==ACE ∠在ABC △中，所以60ACB ∠=．23. 解析 （1）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=．（2）解法一：3C 的直角坐标系方程为y x =，所以2C 的圆心到直线3C 的距离d ==，所以MN =，所以212C M N S =⨯△12=．解法二：将4θπ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=，2ρ=12ρρ-MN =2C 的半径为1，所以2C MN △的面积为12． 24.解析 （1）当1a =时，()1f x >，即12110x x +--->． 当1x -…时，不等式化为40x ->，无解； 当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得213x <<； 当1x …时，不等式化为20x -+>，解得12x <…． 综上所述，当1a =时，()1f x >的解集为2,23⎛⎫⎪⎝⎭． ED COBA（2）0a >，()12,1312,112,x a x f x x a xa x a x a --<-⎧⎪=+--⎨⎪-++>⎩剟，如图所示，函数()f x 的图像与x 轴所围成三角形的三个顶点分别为21,03a A -⎛⎫⎪⎝⎭，()21,0B a +，(),1C a a +，()2213ABC S a =+△，即()22163a +>，解得2a >，所以a 的取值范围是()2,+∞．。
2015年高考全国卷1理科数学(解析版)资料
注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设复数z满足1+z1z-=i，则|z|=（A）1 （B）2（C）3（D）2 【答案】A考点：1.复数的运算；2.复数的模.（2）sin20°cos10°-con160°sin10°=（A）3（B3（C）12-（D）12【答案】D 【解析】试题分析：原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=12，故选D.考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式（3）设命题P：∃n∈N，2n>2n，则⌝P为（A）∀n∈N, 2n>2n（B）∃n∈N, 2n≤2n（C）∀n∈N, 2n≤2n（D）∃n∈N, 2n=2n【答案】C 【解析】试题分析：p ⌝:2,2n n N n ∀∈≤，故选C.考点：特称命题的否定（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。
已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（A ）0.648 （B ）0.432（C ）0.36（D ）0.312【答案】A 【解析】试题分析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为22330.60.40.6C ⨯+=0.648，故选A.考点：独立重复试验；互斥事件和概率公式（5）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若1MF u u u u r •2MF u u u u r＜0，则y 0的取值范围是（A ）（-33，33） （B ）（-36，36） （C ）（223-，223） （D ）（233-，233） 【答案】A考点：向量数量积；双曲线的标准方程（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
2015年高考数学全国卷1(理科)真题试卷
一. 选择题（本大题满分 60 分，共 12 小题，每小题 5 分） 1. 设复数 z 满足 A. 1
1 z i ，则 | z | （ 1 z
B.
） C.
2 3 2
2 n
3
） C.
D. 2
A. (
x2 y 2 1 上的一点， F1 、 F2 是 C 上的两个焦点，若 2
） C. (
3 3 , ) 3 3
B. (
3 3 , ) 6 6
2 2 2 2 , ) 3 3
D. (
2 3 2 3 , ) 3 3
6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书 中有如下问题： “今有委米依垣内角，下周八尺，高五 尺，问积及米几何？”其意思为： “在屋内墙角处堆放 米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一） ，米堆底部的 弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放 的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺， 圆周率约为 3，估算出堆放的米约有（ A. 14 斛 B. 22 斛 ） D. 66 斛
x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； （3）已知这种产品的年利润 z 与 x 、 y 的关系为 z 0.2 y x ，根据（2）的结果回答下列 问题：① 年宣传费 x 49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ② 年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据 (u1 , v1 ), (u2 , v2 ),..., (un , vn ) ，其回归直线 v u 的斜率和截距的最小
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2015年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（x-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=（ ）（A ）｛-1,0｝ （B ）｛0,1｝ （C ）｛-1,0,1｝ （D ）｛0,1,2｝（2）若a 为实数且（2+ai ）（a-2i ）=-4i,则a=（ ）（A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）2（3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。
以下结论不正确的是( )（A ） 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 （B ） 2007年我国治理二氧化硫排放显现（C ） 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 （D ） 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关（4）等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( )（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84 （5）设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( )（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（A ）81 （B ）71 （C ）61 （D ）51 （7）过三点A （1,3），B （4,2），C （1,-7）的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =（A ）26 （B ）8 （C ）46 （D ）10（8）右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。
执行该程序框图，若输入a,b 分别为14,18，则输出的a=A.0B.2C.4D.14 （9）已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为A ．36π B.64π C.144π D.256π10.如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x ．将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为（11）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（A（B ）2 （C（D（12）设函数f’(x)是奇函数()()f x x R ∈的导函数，f （-1）=0，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是A ．(,1)(0,1)-∞-UB ．(1,0)(1,)-+∞UC ．(,1)(1,0)-∞--UD ．(0,1)(1,)+∞U二、填空题（13）设向量a r ，b r 不平行，向量a b λ+r r 与2a b +r r平行，则实数λ=_________． （14）若x ，y 满足约束条件1020,220,x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，，则z x y =+的最大值为____________．（15）4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________． （16）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________． 三．解答题（17）∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 是∆ADC 面积的2倍。
2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标Ⅰ卷)数学试题 (理科)解析版
绝密★启封并使用完毕前试题类型：A（全国新课标1卷） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 设复数z 满足1+z1z-=i ，则|z|=（ ）（A ）1 （B ）2 （C 3 （D ）2【答案】A考点：1.复数的运算；2.复数的模.（2）sin20°cos10°-con160°sin10°=（ ）（A ）3 （B 3 （C ）12- （D ）12【答案】D 【解析】试题分析：原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=12，故选D.考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式（3）设命题P ：∃n ∈N ，2n >2n ，则⌝P 为（ ） （A ）∀n ∈N, 2n >2n （B ）∃ n ∈N, 2n ≤2n （C ）∀n ∈N, 2n ≤2n （D ）∃ n ∈N, 2n =2n【答案】C【解析】试题分析：p ⌝:2,2n n N n ∀∈≤，故选C.考点：特称命题的否定（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。
已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）（A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312 【答案】A【解析】试题分析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为22330.60.40.6C ⨯+=0.648，故选A. 考点：独立重复试验；互斥事件和概率公式（5）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若1MF ∙2MF ＜0，则y 0的取值范围是（ ）（A ）（ （B ）（）（C ）（） （D ）（）【答案】A考点：向量数量积；双曲线的标准方程（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
2015年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷1 数学试卷含答案(理科)
2015年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)理数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设复数z满足=i,则|z|=( )-A.1B.C.D.22.sin20°cos10°-cos160°sin10°=()A.-B.C.-D.3.设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为( )A.∀n∈N,n2>2nB.∃n∈N,n2≤2nC.∀n∈N,n2≤2nD.∃n∈N,n2=2n4.投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( )A.0.648B.0.432C.0.36D.0.3125.已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若·<0,则y0的取值范围是( )A.-,B.-,C.-,D.-,6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛7.设D为△ABC所在平面内一点,=3,则( )A.=-+B.=-C.=+D.=-8.函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )A.-,,k∈ZB.-,,k∈ZC.-,,k∈ZD.-,,k∈Z9.执行下面的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=( )A.5B.6C.7D.810.(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( )A.10B.20C.30D.6011.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( )A.1B.2C.4D.812.设函数f(x)=e x(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是( )A.-,B.-,C.,D.,第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a= .14.一个圆经过椭圆+=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为.15.若x,y满足约束条件-,-,-,则的最大值为.16.在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)S n为数列{a n}的前n项和.已知a n>0,+2a n=4S n+3.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)设b n=,求数列{b n}的前n项和.18.(本小题满分12分)如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.(Ⅰ)证明:平面AEC⊥平面AFC;(Ⅱ)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.19.(本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费x i和年销售量y i(i=1,2, (8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.表中,.(Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;(Ⅲ)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题: (i)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?(ii)年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(u n,v n),其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为(-)(-),=-.=(-)20.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点.(Ⅰ)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;(Ⅱ)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3+ax+,g(x)=-lnx.(Ⅰ)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线?(Ⅱ)用min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),讨论h(x)零点的个数.请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,BC交☉O于点E.(Ⅰ)若D为AC的中点,证明:DE是☉O的切线;(Ⅱ)若OA=CE,求∠ACB的大小.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求C1,C2的极坐标方程;(Ⅱ)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(Ⅱ)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.2015年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)一、选择题1.A由已知-=i,可得z=-=--=--=i,∴|z|=|i|=1,故选A.2.D原式=sin 20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=,故选D.3.C根据特称命题的否定为全称命题,知¬p:∀n∈N,n2≤2n,故选C.4.A该同学通过测试的概率P=×0.62×0.4+0.63=0.432+0.216=0.648,故选A.5.A若·=0,则点M在以原点为圆心,半焦距c=为半径的圆上,则-解得=.可知:·<0⇒点M在圆x2+y2=3的内部⇒<⇒y0∈-.故选A.6.B设圆锥底面的半径为R尺,由×2πR=8得R=,从而米堆的体积V=×πR2×5=(立方尺),因此堆放的米约有≈22(斛).故选B.7.A=+=++=+=+(-)=-+.故选A.8.D由题图可知=-=1,所以T=2.结合题图可知,在-(f(x)的一个周期)内,函数f(x)的单调递减区间为-.由f(x)是以2为周期的周期函数可知,f(x)的单调递减区间为-,k∈Z,故选D.9.C第一次循环:S=1-=,m=,n=1,S>t;第二次循环:S=-=,m=,n=2,S>t;第三次循环:S=-=,m=,n=3,S>t;第四次循环:S=-=,m=,n=4,S>t;第五次循环:S=-=,m=,n=5,S>t;第六次循环:S=-=,m=,n=6,S>t;第七次循环:S=-=,m=,n=7,此时不满足S>t,结束循环,输出n=7,故选C.10.C(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5的展开式中只有(x2+x)3y2中含x5y2,易知x5y2的系数为=30,故选C.11.B由已知可知,该几何体的直观图如图所示,其表面积为2πr2+πr2+4r2+2πr2=5πr2+4r2.由5πr2+4r2=16+20π,得r=2.故选B.12.D由f(x0)<0,即(2x0-1)-a(x0-1)<0得(2x0-1)<a(x0-1).当x0=1时,得e<0,显然不成立,所以x0≠1.若x0>1,则a>--.令g(x)=--,则g'(x)=--.当x∈时,g'(x)<0,g(x)为减函数,当x∈时,g'(x)>0,g(x)为增函数,要满足题意,则x0=2,此时需满足g(2)<a≤g(3),得3e2<a≤e3,与a<1矛盾,所以x0<1.因为x0<1,所以a<--.易知,当x∈(- ,0)时,g'(x)>0,g(x)为增函数,当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)为减函数,要满足题意,则x0=0,此时需满足g(-1)≤a<g(0),得≤a<1(满足a<1).故选D.评析本题主要考查导数的应用及分类讨论思想,分离参变量是解决本题的关键,本题综合性较强,属难题.二、填空题13.答案 1解析由已知得f(-x)=f(x),即-xln(-x)=xln(x+),则ln(x+)+ln(-x)=0,∴ln[()2-x2]=0,得ln a=0,∴a=1.14.答案-+y2=解析由已知得该圆经过椭圆的三个顶点A(4,0)、B(0,2)、C(0,-2).易知线段AB的垂直平分线的方程为2x-y-3=0.令y=0,得x=,所以圆心坐标为,则半径r=4-=.故该圆的标准方程为-+y2=.评析本题考查圆和椭圆的方程,求出圆心坐标是解题关键.15.答案 3解析由约束条件画出可行域,如图.的几何意义是可行域内的点(x,y)与原点O连线的斜率,所以的最大值即为直线OA的斜率,又由--得点A的坐标为(1,3),则=k OA=3.16.答案(-,+)解析 依题意作出四边形ABCD,连结BD.令BD=x,AB=y,∠CDB=α,∠CBD=β.在△BCD 中,由正弦定理得=°.由题意可知,∠ADC=135°,则∠ADB=135°-α.在△ABD 中,由正弦定理得°=°- .所以°- =,即y=°- = °- - ° = - ° =.因为0°<β<75°,α+β+75°=180°,所以30°<α<105°, 当α=90°时,易得y= ; 当α≠90°时,y==,又tan 30°=,tan 105°=tan(60°+45°)= ° °- ° °=-2- , 结合正切函数的性质知,∈( -2, ),且≠0,所以y=∈( - , )∪( , + ). 综上所述:y ∈( - , + ).评析 本题考查了三角函数和解三角形.利用函数的思想方法是求解关键,属偏难题. 三、解答题17.解析 (Ⅰ)由+2a n =4S n +3,可知 +2a n+1=4S n+1+3. 可得 - +2(a n+1-a n )=4a n+1,即 2(a n+1+a n )= - =(a n+1+a n )(a n+1-a n ).由于a n >0,可得a n+1-a n =2.又 +2a 1=4a 1+3,解得a 1=-1(舍去)或a 1=3.所以{a n }是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为a n =2n+1.(6分) (Ⅱ)由a n =2n+1可知b n===-.设数列{b n}的前n项和为T n,则T n=b1+b2+…+b n=--…-=.(12分)18.解析(Ⅰ)连结BD.设BD∩AC=G,连结EG,FG,EF.在菱形ABCD中,不妨设GB=1.由∠ABC=120°,可得AG=GC=.由BE⊥平面ABCD,AB=BC,可知AE=EC.又AE⊥EC,所以EG=,且EG⊥AC.在Rt△EBG中,可得BE=,故DF=.在Rt△FDG中,可得FG=.在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE=,DF=,可得EF=.从而EG2+FG2=EF2,所以EG⊥FG.又AC∩FG=G,可得EG⊥平面AFC.因为EG⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面AFC.(6分)(Ⅱ)如图,以G为坐标原点,分别以,的方向为x轴,y轴正方向,||为单位长,建立空间直角坐标系G-xyz.由(Ⅰ)可得A(0,-,0),E(1,0,),F-,C(0,,0),所以=(1,,),=--.(10分)故cos<,>=·=-.所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.(12分)评析本题考查了线面垂直的判定和性质、面面垂直的判定、异面直线所成的角.建立适当的空间直角坐标系,利用空间向量的有关公式是求解的关键.证明“EG⊥平面AFC”是解题的难点.本题属中等难度题.19.解析(Ⅰ)由散点图可以判断,y=c+d 适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.(2分)(Ⅱ)令w=,先建立y关于w的线性回归方程.由于=---==68,=-=563-68×6.8=100.6,所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w,因此y关于x的回归方程为=100.6+68.(6分)(Ⅲ)(i)由(Ⅱ)知,当x=49时,年销售量y的预报值=100.6+68=576.6,年利润z的预报值=576.6×0.2-49=66.32.(9分)(ii)根据(Ⅱ)的结果知,年利润z的预报值=0.2(100.6+68)-x=-x+13.6+20.12.所以当==6.8,即x=46.24时,取得最大值.故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.(12分)20.解析(Ⅰ)由题设可得M(2,a),N(-2,a)或M(-2,a),N(2,a).又y'=,故y=在x=2处的导数值为,C在点(2,a)处的切线方程为y-a=(x-2),即x-y-a=0.y=在x=-2处的导数值为-,C在点(-2,a)处的切线方程为y-a=-(x+2),即x+y+a=0.故所求切线方程为x-y-a=0和x+y+a=0.(5分)(Ⅱ)存在符合题意的点,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.故x1+x2=4k,x1x2=-4a.从而k1+k2=-+-=-=.当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-a)符合题意.(12分)21.解析(Ⅰ)设曲线y=f(x)与x轴相切于点(x 0,0),则f(x0)=0,f '(x0)=0,即解得x0=,a=-.因此,当a=-时,x轴为曲线y=f(x)的切线.(5分)(Ⅱ)当x∈(1,+ )时,g(x)=-ln x<0,从而h(x)=min{f(x),g(x)}≤g(x)<0,故h(x)在(1,+ )无零点.当x=1时,若a≥-,则f(1)=a+≥0,h(1)=min{f(1),g(1)}=g(1)=0,故x=1是h(x)的零点;若a<-,则f(1)<0,h(1)=min{f(1),g(1)}=f(1)<0,故x=1不是h(x)的零点.当x∈(0,1)时,g(x)=-ln x>0,所以只需考虑f(x)在(0,1)的零点个数.(i)若a≤-3或a≥0,则f '(x)=3x2+a在(0,1)无零点,故f(x)在(0,1)单调.而f(0)=,f(1)=a+,所以当a≤-3时, f(x)在(0,1)有一个零点;当a≥0时,f(x)在(0,1)没有零点.(ii)若-3<a<0,则f(x)在-单调递减,在-单调递增,故在(0,1)中,当x=-时,f(x)取得最小值,最小值为f -=-+.①若f ->0,即-<a<0,f(x)在(0,1)无零点;②若f -=0,即a=-,则f(x)在(0,1)有唯一零点;③若f -<0,即-3<a<-,由于f(0)=,f(1)=a+,所以当-<a<-时,f(x)在(0,1)有两个零点;当-3<a≤-时,f(x)在(0,1)有一个零点.(10分)综上,当a>-或a<-时,h(x)有一个零点;当a=-或a=-时,h(x)有两个零点;当-<a<-时,h(x)有三个零点.(12分)22.解析(Ⅰ)连结AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB.在Rt△AEC中,由已知得,DE=DC,故∠DEC=∠DCE.连结OE,则∠OBE=∠OEB.又∠ACB+∠ABC=90°,所以∠DEC+∠OEB=90°,故∠OED=90°,DE是☉O的切线.(5分) (Ⅱ)设CE=1,AE=x,由已知得AB=2,BE=-.由射影定理可得,AE2=CE·BE,所以x2=-,即x4+x2-12=0.可得x=,所以∠ACB=60°.(10分)23.解析(Ⅰ)因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以C 1的极坐标方程为ρcosθ=-2,C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0.(5分)(Ⅱ)将θ=代入ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0,得ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=,故ρ1-ρ2=,即|MN|=.由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为.(10分)24.解析(Ⅰ)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0. 当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得<x<1;当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为.(5分)(Ⅱ)由题设可得,f(x)=------所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A-,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面积为(a+1)2.由题设得(a+1)2>6,故a>2.所以a的取值范围为(2,+ ).(10分)。
2015年全国统一高考理科数学真题(新课标I)与答案解析
2015年全国统一高考理科数学真题（新课标I）与答案解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设复数z满足=i，则|z|=（）C DC DC．0.365．（5分）已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）．B．．．依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）7．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）﹣，﹣），k+（2k+255211．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）00）[[[13．（5分）若函数f（x）=xln（x+）为偶函数．则a=．14．（5分）一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为．15．（5分）若x，y满足约束条件．则的最大值为．16．（5分）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是．三、解答题：17．（12分）S n 为数列{a n }的前n 项和，己知a n ＞0，a n 2+2a n =4S n +3 （I ）求{a n }的通项公式： （Ⅱ）设b n =，求数列{b n }的前n 项和．18．（12分）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE 丄平面ABCD ，DF 丄平面 ABCD ，BE=2DF ，AE 丄EC ．（Ⅰ）证明：平面AEC 丄平面AFC（Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值． 19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i （i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（x i ﹣）2（w i ﹣）2（x i ﹣）（y i ）（w i ﹣）（y i表中w i=1，=（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（u n v n），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）21．（12分）已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx（i）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）用min {m，n }表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min { f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．选修4一1:几何证明选讲22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．选修4一4：坐标系与参数方程23．（10分）（2015春•新乐市校级月考）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN 的面积．选修4一5：不等式选讲24．（10分）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．答案解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设复数z满足=i，则|z|=（）C D满足C D．该同学通过测试的概率为5．（5分）已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）．B．．．=﹣（﹣所以﹣6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学明著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（），则×，故米堆的体积为×（，÷7．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）将向量利用向量的三角形法则首先表示为，然后结合已知表示为=；本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量表示为．8．（5分）函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）﹣，﹣），k+（2k+）的部分图象，可得函数的周期为﹣+==）x+≤2k+）的单调递减区间为（）9．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）≤﹣﹣≤﹣=﹣=2552，的通项为的系数为11．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）∴其表面积为：22r+×π12．（5分）设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜l，若存在唯一的整数x0使得f（x0））[[[时，，＞﹣时，时，，，解得≤二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分）13．（5分）若函数f（x）=xln（x+）为偶函数．则a=1．x+x+x+x+x+，14．（5分）一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为（x﹣）2+y2=．解：一个圆经过椭圆，解得，，）﹣．15．（5分）若x，y满足约束条件．则的最大值为3．的最k=，解得，即=4的最大值为16．（5分）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是（﹣，+）．x AE=DE=x+m=+AD=xx+mx+m=+AB=﹣+﹣的取值范围是（﹣，）﹣，）三、解答题：17．（12分）S n为数列{a n}的前n项和，己知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3（I）求{a n}的通项公式：（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和．，利用裂项法即可求数列==（﹣=﹣﹣）（﹣）．18．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD，DF丄平面ABCD，BE=2DF，AE丄EC．（Ⅰ）证明：平面AEC丄平面AFC（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．AG=GC=EG=BE=，BE=，可得，，﹣）），=，，=，，＞=﹣所成角的余弦值为19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i （i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（x i﹣）2（w i ﹣）2（x i ﹣）（y i ）（w i ﹣）（y i表中w i =1，=（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx 与y=c+d 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（u n v n），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．，建立y=c+dw===68 =﹣=563的线性回归方程为的回归方程为=100.6+68，的预报值=100.6+68=576.6的预报值的预报值=0.2100.6+68x+13.6=20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由））联立，利用导数的运算法则，利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程．．）联立M Ny=点处的切线斜率为，．处的切线方程为：，化为==21．（12分）已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx（i）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）用min {m，n }表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min { f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．，＜﹣，解得．时，，则=a+＜﹣＜=，∴当内单调递减，在）取得最小值=，即，则，即=，a或时，或时，选修4一1:几何证明选讲22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．，BE=选修4一4：坐标系与参数方程23．（10分）（2015春•新乐市校级月考）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN 的面积．3的面积（3=•N=选修4一5：不等式选讲24．（10分）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．＜，a|=，（[2a+1﹣。
2015年全国高考理科数学试题及答案-新课标1
1 河北 宋国瑞整理 绝密★启封并使用完毕前 试题类型：A 2015年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）设复数z满足1+z1z=i，则|z|=
（A）1 （B）2 （C）3 （D）2 （2）sin20°cos10°-con160°sin10°=
（A）32 （B）32 （C）12 （D）12 （3）设命题P：nN，2n>2n，则P为 （A）nN, 2n>2n （B） nN, 2n≤2n （C）nN, 2n≤2n （D） nN, 2n=2n （4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 （A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312 2 河北 宋国瑞整理
（5）已知00(,)Mxy是双曲线22:12xCy上的一点，12,FF是C上的两个焦点，若120MFMF，则
0
y的取值范围是
（A）（-33，33） （B）（-36，36） （C）（223，223） （D）（233，233） （6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有
2015年高考理科数学新课标全国1卷逐题解析
2015年高考理科数学试卷全国卷1（解析版）1．设复数z 满足11zz+-=i ，则｜z|=（ ）(A ）1 （ （C ）2 【答案】A 【解析】由11z i z +=-得,11i z i-+=+=(1)(1)(1)(1)i i i i -+-+-=i ，故｜z|=1，故选A. 考点:本题主要考查复数的运算和复数的模等. 2．o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ）（A ）2-(B ）2 （C)12- （D ）12【答案】D【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12,故选D. 考点:本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式。
3．设命题p ：2,2n n N n ∃∈>，则p ⌝为（ ）(A ）2,2n n N n ∀∈> （B ）2,2n n N n ∃∈≤ （C ）2,2n n N n ∀∈≤ （D ）2,=2n n N n ∃∈ 【答案】C【解析】p ⌝:2,2n n N n ∀∈≤，故选C 。
考点：本题主要考查特称命题的否定4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。
已知某同学每次投篮投中的概率为0。
6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ) （A ）0.648 （B ）0。
432 （C ）0。
36 （D ）0。
312 【答案】A【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为22330.60.40.6C ⨯+=0。
648，故选A 。
考点：本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式5．已知M （00,x y ）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF •<，则0y 的取值范围是（ ）(A ）（B ）（（C)（3-,3） （D ）（）【答案】A【解析】由题知12(3,0),(3,0)F F -，220012x y -=，所以12MF MF •= 0000(3,)(3,)x y x y ---•-- =2220003310x y y +-=-<,解得03333y -<<，故选A. 考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法。
2015年全国高考数学新课标1卷(理)试题及答案word版
2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 设复数z 满足1+z1z-=i ，则|z|=（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2【答案】A（2）sin20°cos10°-cos160°sin10°= （A ）32-（B ）32（C ）12- （D ）12【答案】D【解析】cos （180°-A ）=-cosA原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=12，故选D. （3）设命题P ：∃n ∈N ，2n >2n ，则⌝P 为（A ）∀n ∈N, 2n >2n （B ）∃ n ∈N, 2n ≤2n （C ）∀n ∈N, 2n ≤2n （D ）∃ n ∈N, 2n =2n【答案】C【解析】p ⌝:2,2n n N n ∀∈≤，故选C.（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。
已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 （A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312 【答案】A【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为22330.60.40.6C ⨯+=0.648，故选A.（5）已知M（x0，y0）是双曲线C：2212xy-=上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若1MF∙2MF＜0，则y0的取值范围是（A）（-33，33）（B）（-36，36）（C）（223-，223）（D）（233-，233）【答案】A（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
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2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1） 设复数z满足1+z1z＝i，则|z|＝
(A)1 (B)2 (C)3 (D)2 (2)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝
(A)32 (B)32 (C)12 (D)12
(3)设命题P：nN，2n>2n，则P为 (A)nN， 2n>2n (B) nN， 2n≤2n (C)nN， 2n≤2n (D) nN， 2n＝2n (4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 (A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312
(5)已知M(x0，y0)是双曲线C：=1 上的一点，F1、F2是C的两个焦点，若
12MFMF＜0，则y0的取值范围是
(A)(－33，33) (B)(－36，36) (C)(223，223) (D)(233，233) (6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有
(A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛 (7)设D为ABC所在平面内一点,3BCCD
，则 (A) 1433ADABAC (B) 1433ADABAC (C) 4133ADABAC (D) 4133ADABAC (8)函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图像如图所示， 则f(x)的单调递减区间为 A． （kπ﹣，kπ+，），k∈z B． （2kπ﹣，2kπ+），k∈z
C． （k﹣，k+），k∈z D． （，2k+），k∈z
(9)执行右面的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝ (A)5 (B)6 (C)7 (D)8
（10）25()xxy的展开式中，52xy的系数为 (A)10 (B)20 (C)30 (D)60 （11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何 体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的 表面积为16 ＋ 20，则r＝ (A)1 (B)2 (C)4 (D)8
12.设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a,其中a1,若存在
唯一的整数x0，使得f(x0)0，则a的取值范围是( ) A.[32e，1) B. [33,24e) C. [33,24e) D. [32e，1) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 (13)若函数f(x)＝xln(x＋2ax)为偶函数，则a＝ .
(14)一个圆经过椭圆=1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 ______________________ .
(15)若x，y满足约束条件10040xxyxy，则yx的最大值为 . (16)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是 ______________________ . 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分) Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0，2243nnnaaS
(Ⅰ)求{an}的通项公式；(Ⅱ)设 11nnnbaa，求数列}的前n项和. (18) (本小题满分12分)如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC＝120° E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD， DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC. (Ⅰ)证明：平面AEC⊥平面AFC; (Ⅱ)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.
(19) (本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
x y w
821()iixx 821()iiww 8
1()()iiixxyy 8
1()()iiiwwyy
46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中iiwx，8118iiww
(Ⅰ)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回
归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由) (Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； (Ⅲ)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题： （ⅰ）年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据(u1 v1)，(u2 v2)…….. (un vn)，其回归线v＝u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
121()(),()niiiniiuuvvvuuu
A B C F E D (20)(本小题满分12分) 在直角坐标系xoy中，曲线C：y＝24x与直线y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点. (Ⅰ)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程； (Ⅱ)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由.
(21)(本小题满分12分) 已知函数f(x)＝31,()ln4xaxgxx .
(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线()yfx 的切线； (Ⅱ)用min ,mn 表示m，n中的最小值，设函数()min(),()(0)hxfxgxx ，讨论h(x)零点的个数.
请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分. (22)(本题满分10分)选修4－1：几何证明选讲 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E． （Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线； （Ⅱ）若OA= CE，求∠ACB的大小．
(23)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线1C: x＝－2，圆2C：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C，2C的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线3C的极坐标方程为4R，设2C与3C的交点为M，N ，求 △C2MN的面积 .
(24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数＝|x＋1|－2|x－a|，a>0. (Ⅰ)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集； (Ⅱ)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围. 2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I） 理科数学答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D C A A B A D C C B D 【部分试题解析】
2．【解析】原式1sin20cos10cos20sin10sin302，故选D．
4．【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为22330.60.40.6=0.648C，故选A．
5．【解析】由题知13,0F，23,0F且220012xy，所以12003,MFMFxy••
222
000003,3310xyxyy
，解得03333y，故选A．
6．【解析】设圆锥底面半径为r，则12384r，得163r。所以米堆的体积为21116320
354339
，故堆放的米约为3201.62229，故选B．
12．【解析】设()(21)xgxex，yaxa，由题知存在唯一的整数0x，使得0()gx在直线yaxa的下方．因为()(21)xgxex，所以当12x时，()0gx，当12x时，
()0gx；当12x时，12max()2gxe．当0x时，(0)1g，(1)30ge，直线
yaxa恒过点1,0且斜率为a，故(0)1ag，且1(1)3geaa，解得
312ae，故选D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13. 1 14. 2232524xy 15. 3 16. 62,62