上海市浦东区2016学年第二次高考模拟高三数学试卷与答案及评分标准--含答案
2016年上海市徐汇区、金山区、松江区高考数学二模试卷(理科)(解析版)
21． （12 分）已知函数 f（x）＝|2x﹣a|+a． （1）若不等式 f（x）＜6 的解集为（﹣1，3） ，求 a 的值； （2）在（1）的条件下，若存在 x0∈R，使 f（x0）≤t﹣f（﹣x0） ，求 t 的取值范围． 22． （12 分）已知椭圆 C： 在椭圆 C 上； （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）过椭圆 C1： ＝1 上异于其顶点的任意一点 Q 作圆 O：x +y ＝ 的两条切
≤R，
）
A．y＝
B．y＝
C．y＝
D．y＝ ，若将圆锥的倒
17． （5 分）如图，圆锥形容器的高为 h，圆锥内水面的高为 h1，且 置，水面高为 h2，则 h2 等于（ ）
A． h
B．
2
C．
2
h
D．
h
18． （5 分）设 x1、x2 是关于 x 的方程 x +mx+m ﹣m＝0 的两个不相等的实数根，那么过两 点 A（x1， A．相离 C．相交 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 19． （12 分）已知函数 f（x）＝2sinxcosx+2cos x． （1）求函数 f（x）的单调递增区间； （2）将函数 y＝f（x）图象向右平移 （x）＝1 的解．
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，②存
＝0 上，证明：数列{Sn}∈W，并写出实数 a、b 的取值范围； （3） 设数列{dn}∈W， 且对满足条件②中的实数 b 的最小值 b0， 都有 dn≠b0 （n∈N ） ， 求证： 数列{dn}一定是单调递增数列．
+
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2016 年上海市徐汇区、金山区、松江区高考数学二模试 卷（理科）
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上海市崇明区2016学年第二次高考模拟高三数学试卷与答案及评分标准
崇明区2016学年第二次高考模拟考试试卷数 学考生注意：1． 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】1．函数212sin (2)y x =-的最小正周期是▲．2．若全集U R =，集合{}{}10A x x x x =<≥∪，则U C A =▲． 3．若复数z 满足2iz i i++=（i 为虚数单位），则z =▲． 4．设m 为常数，若点(0,5)F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则m =▲． 5．已知正四棱锥的底面边长是2，则该正四棱锥的体积为▲．6．若实数,x y 满足10304x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪⎩≤≥≤，则目标函数2z x y =-的最大值为▲．7．若1nx ⎫⎪⎭的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则展开式中的常数项的值为▲．8．数列{}n a 是等比数列，前n 项和为n S ，若122a a +=，231a a +=-，则lim n n S →∞=▲．9．若函数1()42x x f x +=+的图像与函数()y g x =的图像关于直线y x =对称，则(3)g =▲．10．甲与其四位朋友各有一辆私家车，甲的车牌尾数是0，其四位朋友的车牌尾数分别是0, 2, 1,5，为遵守当地4月1日至5日5天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案总数为▲．11．已知函数[)22sin(),0(),0,23cos(),0x x x f x x x x παπα⎧++>⎪=∈⎨⎪-++<⎩是奇函数，则α=▲． 12．已知ABC ∆是边长为PQ 为ABC ∆外接圆O 的一条直径，M 为ABC ∆边上的动点，则PM MQ ⋅的最大值是▲．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．】13．一组统计数据12345,,,,x x x x x 与另一组统计数据1234523,23,23,23,23x x x x x +++++相比较 (A)标准差相同(B)中位数相同(C)平均数相同(D)以上都不相同14．2b <是直线y b +与圆2240x y y +-=相交的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件15．若等比数列{}n a 的公比为q ，则关于,x y 的二元一次方程组132421a x a y a x a y +=⎧⎨+=⎩的解的情况下列说法正确的是 (A)对任意(0)q R q ∈≠，方程组都有唯一解 (B)对任意(0)q R q ∈≠，方程组都无解(C)当且仅当12q =时，方程组有无穷多解 (D)当且仅当12q =时，方程组无解 16．设函数()x x x f x a b c =+-，其中0,0c a c b >>>>．若a 、b 、c 是ABC ∆的三条边长，则下列结论中正确的个数是①对于一切(,1)x ∈-∞都有()0f x >；②存在0x >使,,x x x xa b c 不能构成一个三角形的三边长；③若ABC ∆为钝角三角形，则存在(1,2)x ∈，使()0f x =． (A)3个(B)2个(C)1个(D)0个三、解答题（本大题共有5题，满分76分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分）在三棱锥C ABO -中，OA 、OB 、OC 所在直线两两垂直， 且OA OB =，CA 与平面AOB 所成角为60︒，D 是AB 中点， 三棱锥C ABO -（1）求三棱锥C ABO -的高；（2）在线段CA 上取一点E ，当E 在什么位置时，异面直线BE 与OD 所成的角为1arccos 4？18.（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分） 设12F F 、分别为椭圆22221(0)x y a b a bC +=>>:的左、右焦点，点A 为椭圆C 的左顶点，点B 为椭圆C的上顶点，且AB 12BF F ∆为直角三角形． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线2y k x =+与椭圆交于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥，求实数k 的值．19.（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD 内举行机器人拦截挑战赛，在E 处按EP方向释放机器人甲，同时在A 处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q 处成功拦截机器人甲．若点Q 在矩形区域ABCD 内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知18AB =米，E 为A B 中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记EP 与EB的夹角为θ．（1）若60θ=︒，AD 足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（结果精确到0.1︒）（2）如何设计矩形区域ABCD 的宽AD 的长度，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过ABC O D（17题图）设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲？20.（本题满分16分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-，则称()f x 为“M 类函数”．()f x 是否为“M 类函数”？并说明理由；（2）设()2x f x m =+是定义在[]1,1-上的“M 类函数”，求实数m 的最小值；（3）若22,2log (2)(),23x x mx f x x ⎧-⎪=⎨<-⎪⎩≥为其定义域上的“M 类函数”，求实数m 的取值范围．21.（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）已知数列{}n a 满足111,,*nn n a a a p n N +=-=∈．（1）若1p =，写出4a 所有可能的值；（2）若数列{}n a 是递增数列，且123,2,3a a a 成等差数列，求p 的值； （3）若12p =，且{}21n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式．崇明区2016学年第二次高考模拟高三数学参考答案及评分标准一、填空题1.2π; 2.[0,1);4.16;5.43； 6.2； 7.15； 8.83； 9.0； 10.64； 11.76π； 12.3二、选择题13.D ； 14.A ； 15.C ； 16.A三、解答题17.解：（1）因为,OC OA OC OB ⊥⊥，所以OC AOB ⊥平面...............................2分 所以CAO ∠就是CA 与平面AOB 所成角，所以60CAO ∠=︒..............................3分 设OA OB a ==，则OC =所以31366C ABO ABO V S CO a -=⋅==....................................................................6分 所以1a =，所以三棱锥C ABO -的高OC =分 （2）建立如图所示空间直角坐标系，则11(,,0)22C D ，设(1)([0,1])E λλ-∈，则11(1,),(,,0)22BE OD λ=--= ...............................................................10分 设BE 与OD 所成的角为θ，则||1cos 4||||BE OD BE OD θ⋅==⋅...................................12分 所以12λ=或1λ=-（舍去）.................................................................................13分 所以当E 是线段CA 中点时，异面直线BE 与OD 所成的角为1arccos 4.....................14分18.解：（1）||AB =，所以223a b +=因为12BF F ∆为直角三角形，所以b c =..........................................................................3分 又222b c a +=，...............................................................................................................4分所以1a b ==，所以椭圆方程为2212x y +=........................................................6分 （2）由22122x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得：22(12)860k x kx +++=.............................................8分由22(8)4(12)60k k ∆=-+⋅>，得：232k >..........................................................9分 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则有12122286,1212k x x x x k k+=-⋅=++.......................10分 因为OP OQ ⊥所以1212OP OQ x x y y ⋅=⋅+⋅ 2212122610(1)2()44012k k x x k x x k-=+⋅+++=+=+.....12分 所以25k =，满足232k >........................................................................................13分所以k =分 19.解：（1）AEQ 中，2,120AQ EQ AEQ =∠=︒............................................2分由正弦定理，得：sin sin EQ AQQAE AEQ=∠∠所以sin QAE ∠=............................................................................................4分所以25.7QAE ∠=≈︒所以应在矩形区域ABCD 内，按照与AB 夹角为25.7︒的向量AQ方向释放机器人乙，才能挑战成功.............................................................................................................6分（2）以AB 所在直线为x 轴，AB 中垂线为y 轴，建平面直角坐标系，设(,)(0)Q x y y ≥...........................................................................................8分由题意，知2AQ EQ =，所以22(3)36(0)x y y -+=≥..................................................................11分 即点Q 的轨迹是以(3,0)为圆心，6为半径的上半圆在矩形区域ABCD 内的部分所以当6AD ≥米时，能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD 内成功拦截机器人甲...........................................14分20.解（1）由()()f x f x -=-分分00()()f x f x -=-M 类函数”.....................................................4分(2)因为()2f x m =+是定义在[]1,1-上的“M 类函数”， 所以存在实数0[1,1]x ∈-满足00()()f x f x -=-，即方程2220x xm -++=在[]1,1-上有解,.....................................................5分令12,22x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦.............................................................................................6分则11()2m t t=-+ 因为11()()2g t t t =-+在1[,1]2上递增,在[1,2]上递减..............................8分所以当12t =或2t =时，m 取最小值54-....................................................9分 （3）由220x mx ->对2x ≥恒成立，得1m <...........................................10分因为若22,2log (2)(),23x x mx f x x ⎧-⎪=⎨<-⎪⎩≥为其定义域上的“M 类函数”所以存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-①当02x ≥时，02x -≤-，所以22003log (2)x mx -=--，所以00142m x x =- 因为函数14(2)2y x x x=-≥是增函数，所以1m ≥-..............................12分 ②当022x -<<时，022x -<-<，所以-3=3，矛盾.............................13分③当02x ≤-时，02x -≥，所以2200log (2)3x mx +=，所以00142m x x =-+ 因为函数14(2)2y x x x=-+≤-是减函数，所以1m ≥-.............................15分 综上所述，实数m 的取值范围是[1,1)-.....................................................16分21.（1）4a 有可能的值为-2024，，，...............................................................4分 （2）因为数列{}n a 是递增数列，所以11.nn n n n a a a a p ++-=-=而11a =，所以2231,1a p a p p =+=++.............................................6分又123,2,3a a a 成等差数列，所以21343a a a =+.....................................8分所以230p p -=.解得13p =或0p =当0p =时，1n n a a +=，这与{}n a 是递增数列矛盾，所以13p =...........10分 （3）因为{}21n a -是递增数列，所以2+1210n n a a -->，所以()()2+122210n n n n a a a a --+->① 但2211122n n -<，所以2+12221n n n n a a a a --<-② 由①，②知，2210n n a a -->，所以()221221211122nn n n n a a ----⎛⎫-==⎪⎝⎭③......13分因为{}2n a 是递减数列，同理可得2120n n a a +-<所以()21221221122n nn n n a a ++-⎛⎫-=-=⎪⎝⎭④由③，④知，()1112n n nna a ++--==.............................................................16分所以121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-()()()11211111111412111222233212n n nnnn -+-----=+-++=+=+⋅+ 所以数列{}n a 的通项公式为()1141332nn n a --=+⋅...........................................18分。
2016年上海市浦东新区中考数学二模试卷及答案
2016年上海市浦东新区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）2016的相反数是（）A．B．﹣2016 C．﹣D．20162．（4分）已知一元二次方程x2+3x+2=0，下列判断正确的是（）A．该方程无实数解B．该方程有两个相等的实数解C．该方程有两个不相等的实数解D．该方程解的情况不确定3．（4分）下列函数的图象在每一个象限内，y随着x的增大而增大的是（）A．y=﹣B．y=x2﹣1 C．y= D．y=﹣x﹣14．（4分）如果从1、2、3这三个数字中任意选取两个数字，组成一个两位数，那么这个两位数是素数的概率等于（）A．B．C．D．5．（4分）下图是上海今年春节七天最高气温（℃）的统计结果：这七天最高气温的众数和中位数是（）A．15，17 B．14，17 C．17，14 D．17，156．（4分）如图，△ABC和△AMN都是等边三角形，点M是△ABC的重心，那么的值为（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：|﹣1|=．8．（4分）不等式x﹣1＜2的解集是．9．（4分）分解因式：8﹣2x2=．10．（4分）计算：3（）+2（﹣2）=．11．（4分）方程的根是．12．（4分）已知函数f（x）=，那么f（）=．13．（4分）如图，传送带和地面所成的斜坡的坡度为1：，它把物体从地面送到离地面9米高的地方，则物体从A到B所经过的路程为米．14．（4分）正八边形的中心角等于度．15．（4分）在开展“国学诵读”活动中，某校为了解全校1200名学生课外阅读的情况，随机调查了50名学生一周的课外阅读时间，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中数据，估计该校1200名学生一周的课外阅读时间不少于6小时的人数是．16．（4分）已知：⊙O1、⊙O2的半径长分别为2和R，如果⊙O1与⊙O2相切，且两圆的圆心距d=3，则R的值为．17．（4分）定义运算“﹡”：规定x﹡y=ax+by（其中a、b为常数），若1﹡1=3，1﹡（﹣1）=1，则1﹡2=．18．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20．点D在边AC上，DE⊥AB，垂足为点E，将△ADE沿直线DE翻折，翻折后点A的对应点为点P，当∠CPD为直角时，AD的长是．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：2sin45°﹣20160++（）﹣1．20．（10分）解方程：．21．（10分）如图，AB是⊙O的弦，C是AB上一点，∠AOC=90°，OA=4，OC=3，求弦AB的长．22．（10分）某工厂生产一种产品，当生产数量不超过40吨时，每吨的成本y （万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示：（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当生产这种产品的总成本为210万元时，求该产品的生产数量．（注：总成本=每吨的成本×生产数量）23．（12分）如图，已知：四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于点F，∠ECA=∠D（1）求证：△EAC∽△ECB；（2）若DF=AF，求AC：BC的值．24．（12分）如图，二次函数y=ax2﹣4ax+2的图象与y轴交于点A，且过点B（3，6）．（1）试求二次函数的解析式及点A的坐标；（2）若点B关于二次函数对称轴的对称点为点C，试求∠CAB的正切值；（3）若在x轴上有一点P，使得点B关于直线AP的对称点B1在y轴上，试求点P的坐标．25．（14分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，点D为斜边AB的中点，点E为边AC上的一个动点．联结DE，过点E作DE的垂线与边BC交于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG．（1）如图1，当AC=8，点G在边AB上时，求DE和EF的长；（2）如图2，若，设AC=x，矩形DEFG的面积为y，求y关于x的函数解析式；（3）若，且点G恰好落在Rt△ABC的边上，求AC的长．2016年上海市浦东新区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）2016的相反数是（）A．B．﹣2016 C．﹣D．2016【解答】解：2016的相反数是﹣2016．故选：B．2．（4分）已知一元二次方程x2+3x+2=0，下列判断正确的是（）A．该方程无实数解B．该方程有两个相等的实数解C．该方程有两个不相等的实数解D．该方程解的情况不确定【解答】解：∵a=1，b=3，c=2，∴△=b2﹣4ac=32﹣4×1×2=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选C．3．（4分）下列函数的图象在每一个象限内，y随着x的增大而增大的是（）A．y=﹣B．y=x2﹣1 C．y= D．y=﹣x﹣1【解答】解：A、y=﹣中k=﹣1＜0，∴函数y=﹣的图象在第二、四象限内y随着x的增大而增大；B、y=x2﹣1中a=1＞0，∴函数y=x2﹣1的图象在第二、三象限内y随着x的增大而减小，在第一、四象限内y随着x的增大而增大；C、y=﹣中k=1＞0，∴函数y=的图象在第一、三象限内y随着x的增大而减小；D、y=﹣x﹣1中k=﹣1＜0，b=﹣1＜0，∴函数y=﹣x﹣1的图象在第二、三、四象限内y随着x的增大而减小．故选A．4．（4分）如果从1、2、3这三个数字中任意选取两个数字，组成一个两位数，那么这个两位数是素数的概率等于（）A．B．C．D．【解答】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，这个两位数是素数的有13，23，31共3种情况，∴这个两位数是素数的概率为：=．故选A．5．（4分）下图是上海今年春节七天最高气温（℃）的统计结果：这七天最高气温的众数和中位数是（）A．15，17 B．14，17 C．17，14 D．17，15【解答】解：17℃出现了2次，最多，故众数为17℃；共7个数据，从小到大排列为8，9，11，14，15，17，第4个数为14，故中位数为14℃．故选C．6．（4分）如图，△ABC和△AMN都是等边三角形，点M是△ABC的重心，那么的值为（）A．B．C．D．【解答】解：延长AM交BC于点D，∵△ABC是等边三角形，∴AD⊥BC．设AM=2x，则DM=x，∴AD=3x，∴AB===2x．∵△ABC和△AMN都是等边三角形，∴△ABC∽△AMN，∴=（）2=（）2=．故选B．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：|﹣1|=．【解答】解：|﹣1|=|﹣|=．故答案为：．8．（4分）不等式x﹣1＜2的解集是x＜3．【解答】解：x﹣1＜2两边同时加1，得x﹣1+1＜2+1x＜3，故答案为：x＜3．9．（4分）分解因式：8﹣2x2=2（2+x）（2﹣x）．【解答】解：原式=2（4﹣x2）=2（2+x）（2﹣x）．故答案为：2（2+x）（2﹣x）．10．（4分）计算：3（）+2（﹣2）=﹣﹣．【解答】解：3（）+2（﹣2）=3﹣3+2﹣4=﹣﹣．故答案为：﹣﹣．11．（4分）方程的根是x=﹣4．【解答】解：因为算术平方根的被开方数是非负数，根据题意可得，5﹣x=9，解得：x=﹣4．故本题答案为：x=﹣4．12．（4分）已知函数f（x）=，那么f（）=3．【解答】解：f（）====3．故答案为：3．13．（4分）如图，传送带和地面所成的斜坡的坡度为1：，它把物体从地面送到离地面9米高的地方，则物体从A到B所经过的路程为18米．【解答】解：∵传送带和地面所成的斜坡的坡度为1：，它把物体从地面送到离地面9米高的地方，∴可得：BC=9m，则=，解得：AC=9，则AB===18（m）．故答案为：18．14．（4分）正八边形的中心角等于45度．【解答】解：正八边形的中心角等于360°÷8=45°；故答案为45．15．（4分）在开展“国学诵读”活动中，某校为了解全校1200名学生课外阅读的情况，随机调查了50名学生一周的课外阅读时间，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中数据，估计该校1200名学生一周的课外阅读时间不少于6小时的人数是720．【解答】解：估计该校1200名学生一周的课外阅读时间不少于6小时的人数是：1200×=720（人），故答案为：720．16．（4分）已知：⊙O1、⊙O2的半径长分别为2和R，如果⊙O1与⊙O2相切，且两圆的圆心距d=3，则R的值为1或5．【解答】解：∵⊙O1与⊙O2相切，∴R+2=3或R﹣2=3，∴R=1或R=5．故答案为1或5．17．（4分）定义运算“﹡”：规定x﹡y=ax+by（其中a、b为常数），若1﹡1=3，1﹡（﹣1）=1，则1﹡2=4．【解答】解：根据题中的新定义得：，解得：，则1﹡2=1×2+2×1=2+2=4，故答案为：418．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20．点D在边AC上，DE⊥AB，垂足为点E，将△ADE沿直线DE翻折，翻折后点A的对应点为点P，当∠CPD为直角时，AD的长是．【解答】解：如图，设AD=x，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20，∴AB=25，∵DE⊥AB，∴∠AED=∠ACB=90°，∵△ADE沿DE翻折得到△PDE∴∠PED=∠AED=90°，∠1=∠A，PD=AD=x，∴CD=20﹣x，∵∠CPD=90°，∴∠1+∠2=90°，∠A+∠B=90°，∴∠2=∠B，∴PC=BC=15，∵CD2=CP2+PD2，即（20﹣x）2=152+x2，∴x=，∴AD=．故答案为：．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：2sin45°﹣20160++（）﹣1．【解答】解：原式=2×﹣1+2+2=1+3．20．（10分）解方程：．【解答】解：方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得x（x﹣2）+（x+2）2=8，x2﹣2x+x2+4x+4=8，整理得x2+x﹣2=0．解得x1=﹣2，x2=1．经检验，x2=1为原方程的根，x1=﹣2是增根（舍去）．∴原方程的根是x=1．21．（10分）如图，AB是⊙O的弦，C是AB上一点，∠AOC=90°，OA=4，OC=3，求弦AB的长．【解答】解：如图，过点O作OD⊥AB于D，，∵OA2+OC2=AC2，∴AC2=42+32=25，∴AC=5．在Rt△AOC中，cos∠OAC==，在Rt△ADO中，cos∠OAD=，∴==，∴AD=×4=．∵OD⊥AB，∴AB=2AD=2×=．22．（10分）某工厂生产一种产品，当生产数量不超过40吨时，每吨的成本y （万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示：（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当生产这种产品的总成本为210万元时，求该产品的生产数量．（注：总成本=每吨的成本×生产数量）【解答】解：（1）设函数解析式为：y=kx+b，将（0，10），（40，6）分别代入y=kx+b得：，解得：，所以y=﹣x+10（0≤x≤40）；（2）由（﹣x+10）x=210，解得：x1=30，x2=70，由于0≤x≤40，所以x=30，答：该产品的生产数量是30吨．23．（12分）如图，已知：四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于点F，∠ECA=∠D（1）求证：△EAC∽△ECB；（2）若DF=AF，求AC：BC的值．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，∵∠ECA=∠D，∴∠ECA=∠B，∵∠E=∠E，∴△EAC∽△ECB；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，即：CD∥AE∴，∵DF=AF∴CD=AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∴AE=AB，∴BE=2AE，∵△EAC∽△ECB，∴，∴，即：=，∴．24．（12分）如图，二次函数y=ax2﹣4ax+2的图象与y轴交于点A，且过点B（3，6）．（1）试求二次函数的解析式及点A的坐标；（2）若点B关于二次函数对称轴的对称点为点C，试求∠CAB的正切值；（3）若在x轴上有一点P，使得点B关于直线AP的对称点B1在y轴上，试求点P的坐标．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2﹣4ax+2的图象过点B（3，6），∴6=9a﹣12a+2，解得a=﹣，所以二次函数的解析式为y=﹣x2+x+2，∵二次函数y=﹣x2+x+2的图象与y轴交于点A，∴点A的坐标为（0，2）；（2）∵y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣2）2+，∴对称轴为直线x=2，∵点B（3，6）关于二次函数对称轴的对称点为点C，∴C（1，6），∴BC=2，AB==5，tan∠CBA=，过点C作CH⊥AB于点H，则CH=，BH=，AH=，∴tan∠CAB==；（3）由题意，AB=AB1=5，从而点B1的坐标为（0，﹣3）或（0，7）．设P（x，0）．①如果点B1（0，7），∵点B关于直线AP的对称点B1在y轴上，∴PB=PB1，即（x﹣3）2+62=x2+72，解得x=﹣，即P（﹣，0）；②如果点B1′（0，﹣3），∵点B关于直线AP的对称点B1在y轴上，∴PB=PB1，即（x﹣3）2+62=x2+32，解得x=6，即P（6，0）；综上所述，所求点P的坐标为（﹣，0）或（6，0）．25．（14分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，点D为斜边AB的中点，点E为边AC上的一个动点．联结DE，过点E作DE的垂线与边BC交于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG．（1）如图1，当AC=8，点G在边AB上时，求DE和EF的长；（2）如图2，若，设AC=x，矩形DEFG的面积为y，求y关于x的函数解析式；（3）若，且点G恰好落在Rt△ABC的边上，求AC的长．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，BC=6，AC=8，∴AB==10，∵D为斜边AB的中点，∴AD=BD=5，∵DEFG为矩形，∴∠ADE=90°，∴∠ADE=∠C，又∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴=，即=，解得，DE=，∵△ADE∽△FGB，∴=，则BG=，∴EF=DG=AB﹣AD﹣BG=；（2）如图2，作DH⊥AC于H，∴DH∥BC，又AD=DB，∴DH=BC=3，∵DH⊥AC，∠C=90°，∠DEF=90°，∴△DHE∽△ECF，∴==，∴EC=2DH=6，EH=x﹣6，∴DE2=32+（x﹣6）2=x2﹣6x+45，∴y=DE•EF=2DE2=x2﹣12x+90，（3）如图3，当点G在边BC上时，∵，DE=3，∴EF=，∴AC=9，如图4，当点G在边AB上时，设AD=DB=a，DE=2b，EF=3b，∵△ADE∽△FGB，∴=，即=，整理得，a2﹣3ab﹣4b2=0，解得，a=4b，a=﹣b（舍去），∴AD=2DE，∵△ADE∽△ACB，∴AC=2BC=12，综上所述，点G恰好落在Rt△ABC的边上，AC的长为9或12．。
2024届上海市浦东新区高三二模数学试题及答案
上海市浦东新区2024届高三二模数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.已知集合 0,1,2A ，集合23xB x ，则A B．2.若复数12z i （i 是虚数单位），则z z z ．3.已知等差数列 n a 满足1612a a ，47a ，则3a．4.23x5.6.已知y7.比为6现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一8.已知圆9.已知f 10.沿着上底面圆周运动半周时，11.为双曲线上一点，若122F MF ，3OM b，则双曲线的离心率为．12.正三棱锥S ABC 中，底面边长2AB ，侧棱3AS ，向量a 、b满足 a a AC a AB ，b b AC b AS，则a b 的最大值为．第10题图第15题图二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.“1a ”是“直线220ax y 与直线 110x a y 平行”的（）.A 充分非必要条件；.B 必要非充分条件；.C 充要条件；.D 既非充分又非必要条件．14.已知a R ，则下列结论不恒成立的是（）.A 114a a ；.B 12a a；.C 123a a ；.D 1sin 02sin a a．15.通过随机抽样，我们绘制了如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的散点图．若去掉图中右下方的点A 后，下列说法正确的是（）.A “每千克价格”与“年需求量”这两个变量由负相关变为正相关；.B “每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关程度不变；.C “每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大；.D “每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小．16.设 10110mm m m f x a x a xa x a （0m a ，10m ，m Z ），记1n n f x f x （1,2,,1n m ），令有穷数列n b 为 n f x 零点的个数（1,2,,1n m ），则有以下两个结论：①存在 0f x ，使得n b 为常数列；②存在 0f x ，使得n b 为公差不为零的等差数列．那么（）.A ①正确，②错误；.B ①错误，②正确；.C ①②都正确；.D ①②都错误．第18题图三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须写出必要的步骤】17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数 y f x ，其中 sin f x x ．（1）求42f x在 0,x 上的解；（2）已知2g x x f x f x f x，若关于x 的方程 12g x m 在0,2x时有解，求实数m 的取值范围．18.在四棱其中//AD BC ，2AD BC （1）（2）某商店随机抽取了当天100名客户的消费金额，并分组如下： 0,200， 200,400， 400,600，…，1000,2000(单位：元)，得到如图所示的频率分布直方图．（1）800元；（2）人中随机抽取2人（3）次当天消费金额可已知椭圆22:12x C y ，点1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点．（1）若椭圆上点P 满足212PF F F ，求1PF 的值；（2）点A 为椭圆的右顶点，定点 ,0T t 在x 轴上，若点S 为椭圆上一动点，当ST 取得最小值时点S 恰与点A 重合，求实数t 的取值范围；（3）已知m 为常数，过点2F 且法向量为 1,m 的直线l 交椭圆于M 、N 两点，若椭圆C 上存在点R满足OR OM ON（,R ），求 的最大值．已知函数 y f x 及其导函数 'y f x 的定义域均为D ．设0x D ，曲线 y f x 在点00,x f x 处的切线交x 轴于点 1,0x ．当1n 时，设曲线 y f x 在点,n n x f x 处的切线交x 轴于点 1,0n x ．依此类推，称得到的数列 n x 为函数 y f x 关于0x 的“N 数列”．（1）若 ln f x x ， n x 是函数 y f x 关于01x e的“N 数列”，求1x 的值；（2）若 24f x x ， n x 是函数 y f x 关于03x 的“N 数列”，记32log 2n n n x a x ，证明： n a 是等比数列，并求出其公比；（3）若 2xf x a x，则对任意给定的非零实数a ，是否存在00x ，使得函数 y f x 关于0x 的“N 数列” n x 为周期数列？若存在，求出所有满足条件的0x ；若不存在，请说明理由．上海市浦东新区2024届高三二模数学试卷-简答1答案一、填空题1．{2}．2．42 i ．3．5． 4.270．5．0.3．6．425．7．0.18．8． ．9． 1,2．10．2．11．2．12．4．二、选择题13．C 14．B 15．D 16．C三、解答题从而有ππ2π+43x k或π2π2π+43x k ，Z k 解得7π2π+12x k 或11π2π+12x k ，Z k 又 0,πx ，所以7π12x或11π12x .因此π4f x在 0,πx 上的解为7π12、11π12.2cos sin x x x1cos 2sin 222xx2π1sin 262x故1()2g x m在π0,2x时有解等价于πsin 26m x在π0,2x时有解.所以，EC ∥平面PAB .3（2）取AD 中点H ，过P 作 PG AB ，垂足为G ，连接GH由题，PA PD ，H 为AD 的中点，所以PH AD .又平面 PAD 底面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD ，且 PH 平面PAD ，因而PH 平面ABCD ,故PH AB ,PH GH .又PG AB ，故AB 平面PGH .得AB GH .又 PG AB ，所 PGH 就是二面角 P AB D 的平面角.经计算，在△PAD中，PH 在△ABH 中，3BH AB ，2AH，故122ABH S 又11322ABH S AB GH GH,得AB因而，在△PGH 中,3tan 2PH PGH GH所以二面角 P AB D 的大小3arctan 2.（法二）（1）取AD 中点O ，因为PA PD ，O 为AD 中点，所以PO AD .又平面 PAD 底面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD ， PO 平面PAD ，所以PO ABCD 平面.取BC 中点M ，显然，OM OD .如图，以点O 为坐标原点，分别以射线OM 、OD 、OP 为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系.由题意得， E、 C，故 EC.又 P 、 0,2,0A、1,0B ，故 AP，AB.设平面PAB 的法向量 ,, n u v w，则有20v v 不妨取1u，则v 2 ,即1,n.经计算得0 n EC ，故 n EC.又EC 在平面PAB 外，所以EC ∥平面PAB .（2）由题（1）知，平面PAB的法向量11, n ，平面ABCD 的法向量 200,1 ，n，从而121212cos ,13n n n n n n,因此，二面角 P AB D的大小为.19．【解析】因为850840.7 ，所以应选择第二种促销方案.20．【解析】（1）由题得，2(1,0)F ，设点(1,)P P y ，代入椭圆方程，得212Py ，因而22PF.由12PF PF12PF .（2）设动点(,)S x y ，则22222222()212122x x ST x t y x tx t tx t 221(2)12x t t 由题，ST 取得最小值时点S 恰与点A 重合，即函数221(2)12y x t t在x 处取得最小值，又[x，因而2t2t.因此，实数t 的取值范围为[,)2.（3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，(,)R x y 由OR OM ON ,得1212x x x y y y ，又点R 在椭圆上，代入得221212()2()2x x y y ，化简得22222211221212(2)(2)2(2)2x y x y x x y y ，又点M 、N 在椭圆上，得221212222(2)2x x y y （*）.由题，可设直线:(1)0l x my .联列直线与椭圆方程，得22122x my x y ，得22(2)210m y my .故12222m y y m，12212y y m 因而22121212122221222(1)(1)2(2)1222m m x x y y my my y y m m m m m .代入（*）式，得222222422m m ,因而22221222m m ，（等号当且仅当 时成立）即224m （等号当且仅当 时成立）.所以， 的最大值为224m .21．【解析】（1）曲线ln y x 在点 00,ln x x 处的切线斜率为01x ，又1ln 1e故曲线ln y x 在点1,1e 处的切线方程为11y e x e，令0y ，得2x e.所以12x e.（2）由题， y f x 在n x 处的切线方程为n n n y f x f x x x 令0y ，可得 1n n n n f x x x f x ，即2142n n n x x x .故 21212222n n n n x x x x ，即12n n a a .又1136x，故13log 25a .因此 n a 是以3log 25为首项，2为公比的等比数列.（3）由题，222a x f x a x，故以0020,x x a x 为切点的切线方程为 200022200x a x y x x a x a x .令0y ,可得到301202x x x a.1当0a 时，函数 2xf x a x的大致图像如图所示:因为300202x x x a等价于20x a ,因此，当20x a 时，数列 n x 严格增；同理，当20x a 时，数列 n x 严格减.所以不存在0x 使得 n x 是周期数列.②当0a 时，函数 2xf x a x的大致图像如图所示:令10x x ,可得300202x x x a ，即20=3ax .依此类推，显然可得21x x ，…，-1n n x x .所以，当0x 时，数列 n x 为周期数列，且周期2T .下证唯一性：当203ax 时，322000000222000222<x x x x x x x a x a a x ；因此,数列 n x 严格减；当203ax 时， 202200222,12,x a x a x a ，所以320000220022>--x x x x x a x a ，因此数列 n x 严格增.综上,当0a 时，不存在0x ,使得 n x 为周期数列；当0a时，当且仅当03x a 时，函数 y f x 关于0x 的“N 数列” n x 为周期数列，且周期2T .。
上海浦东新区2016初三数学二模卷(含答案)
(D)
6.如图，△ABC和厶AMN都是等边三角形，点
M是厶ABC的重心，那么
21
(A)；(B)
33
二、填空题：(本大题共12题，每题4分，满分48分)
1
3
SAMN/的值为(
SABC
(C)-;
4
(D
9
7.
计算:
&
9.
不等式x
分解因式：
2的解集是
2a
10.计算：3
b
11.方程、、5x
3的解是.
周的课外阅读时间，并绘制成如图所示的条形统计图•根据图中数据，估计该校1200名学生一周的
课外阅读时间不少于6小时的人数是
16.已知：OOi、OO2的半径长分别为2和R,如果OOi与O02相切，且两圆的圆心距d=3，则R的值 为.
17.定义运算“*”：规定x*yax by（其中a、b为常数），若1*1=3,1*（ 1）=1，则1*2
18.在RtAABC中，/ACB=90°,BC=15,AC=20.点D在边AC上,DE丄AB,垂足为点E,将
△ADE沿直线DE翻折，翻折后点A的对应点为点P,当/CPD为直角时，AD的长
是.
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
1
A
19
2
21.（本题满分10分）如图，AB是OO的弦，C是AB上一点，/ 的长.
12.已知函数f (x),，那么f(J2)
vx22
13.如图，传送带和地面所成的斜坡的坡度为1:.3，它把物体从地面送到离地面9米高的地方，则物体
从A到B所经过的路程为米.
14.正八边形的中心角等于度.
15•在开展“国学诵读”活动中，某校为了解全校1200名学生课外阅读的情况，随机调查了50名学生一
2024届上海市浦东新区高三二模数学试题及答案
上海市浦东新区2024届高三二模数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.已知集合 0,1,2A ，集合23xB x ，则A B．2.若复数12z i （i 是虚数单位），则z z z ．3.已知等差数列 n a 满足1612a a ，47a ，则3a．4.23x5.6.已知y7.比为6现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一8.已知圆9.已知f 10.沿着上底面圆周运动半周时，11.为双曲线上一点，若122F MF ，3OM b，则双曲线的离心率为．12.正三棱锥S ABC 中，底面边长2AB ，侧棱3AS ，向量a 、b满足 a a AC a AB ，b b AC b AS，则a b 的最大值为．第10题图第15题图二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.“1a ”是“直线220ax y 与直线 110x a y 平行”的（）.A 充分非必要条件；.B 必要非充分条件；.C 充要条件；.D 既非充分又非必要条件．14.已知a R ，则下列结论不恒成立的是（）.A 114a a ；.B 12a a；.C 123a a ；.D 1sin 02sin a a．15.通过随机抽样，我们绘制了如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的散点图．若去掉图中右下方的点A 后，下列说法正确的是（）.A “每千克价格”与“年需求量”这两个变量由负相关变为正相关；.B “每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关程度不变；.C “每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大；.D “每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小．16.设 10110mm m m f x a x a xa x a （0m a ，10m ，m Z ），记1n n f x f x （1,2,,1n m ），令有穷数列n b 为 n f x 零点的个数（1,2,,1n m ），则有以下两个结论：①存在 0f x ，使得n b 为常数列；②存在 0f x ，使得n b 为公差不为零的等差数列．那么（）.A ①正确，②错误；.B ①错误，②正确；.C ①②都正确；.D ①②都错误．第18题图三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须写出必要的步骤】17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数 y f x ，其中 sin f x x ．（1）求42f x在 0,x 上的解；（2）已知2g x x f x f x f x，若关于x 的方程 12g x m 在0,2x时有解，求实数m 的取值范围．18.在四棱其中//AD BC ，2AD BC （1）（2）某商店随机抽取了当天100名客户的消费金额，并分组如下： 0,200， 200,400， 400,600，…，1000,2000(单位：元)，得到如图所示的频率分布直方图．（1）800元；（2）人中随机抽取2人（3）次当天消费金额可已知椭圆22:12x C y ，点1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点．（1）若椭圆上点P 满足212PF F F ，求1PF 的值；（2）点A 为椭圆的右顶点，定点 ,0T t 在x 轴上，若点S 为椭圆上一动点，当ST 取得最小值时点S 恰与点A 重合，求实数t 的取值范围；（3）已知m 为常数，过点2F 且法向量为 1,m 的直线l 交椭圆于M 、N 两点，若椭圆C 上存在点R满足OR OM ON（,R ），求 的最大值．已知函数 y f x 及其导函数 'y f x 的定义域均为D ．设0x D ，曲线 y f x 在点00,x f x 处的切线交x 轴于点 1,0x ．当1n 时，设曲线 y f x 在点,n n x f x 处的切线交x 轴于点 1,0n x ．依此类推，称得到的数列 n x 为函数 y f x 关于0x 的“N 数列”．（1）若 ln f x x ， n x 是函数 y f x 关于01x e的“N 数列”，求1x 的值；（2）若 24f x x ， n x 是函数 y f x 关于03x 的“N 数列”，记32log 2n n n x a x ，证明： n a 是等比数列，并求出其公比；（3）若 2xf x a x，则对任意给定的非零实数a ，是否存在00x ，使得函数 y f x 关于0x 的“N 数列” n x 为周期数列？若存在，求出所有满足条件的0x ；若不存在，请说明理由．上海市浦东新区2024届高三二模数学试卷-简答1答案一、填空题1．{2}．2．42 i ．3．5．4.270．5．0.3．6．425．7．0.18．8． ．9． 1,2．10．2．11．2．12．4．二、选择题13．C14．B15．D16．C三、解答题从而有ππ2π+43x k或π2π2π+43x k ，Z k 解得7π2π+12x k 或11π2π+12x k ，Z k 又 0,πx ，所以7π12x或11π12x .因此π4f x在 0,πx 上的解为7π12、11π12.2cos sin x x x1cos 2sin 222xx2π1sin 262x故1()2g x m在π0,2x时有解等价于πsin 26m x在π0,2x时有解.所以，EC ∥平面PAB .3（2）取AD 中点H ，过P 作 PG AB ，垂足为G ，连接GH由题，PA PD ，H 为AD 的中点，所以PH AD .又平面 PAD 底面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD ，且 PH 平面PAD ，因而PH 平面ABCD ,故PH AB ,PH GH .又PG AB ，故AB 平面PGH .得AB GH .又 PG AB ，所 PGH 就是二面角 P AB D 的平面角.经计算，在△PAD中，PH 在△ABH 中，3BH AB ，2AH，故122ABH S 又11322ABH S AB GH GH,得AB因而，在△PGH 中,3tan 2PH PGH GH所以二面角 P AB D 的大小3arctan 2.（法二）（1）取AD 中点O ，因为PA PD ，O 为AD 中点，所以PO AD .又平面 PAD 底面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD ， PO 平面PAD ，所以PO ABCD 平面.取BC 中点M ，显然，OM OD .如图，以点O 为坐标原点，分别以射线OM 、OD 、OP 为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系.由题意得， E、 C，故 EC.又 P 、 0,2,0A、1,0B ，故 AP，AB.设平面PAB 的法向量 ,, n u v w，则有20v v 不妨取1u，则v 2 ,即1,n.经计算得0 n EC ，故 n EC.又EC 在平面PAB 外，所以EC ∥平面PAB .（2）由题（1）知，平面PAB的法向量11, n ，平面ABCD 的法向量 200,1 ，n，从而121212cos ,13n n n n n n,因此，二面角 P AB D的大小为.19．【解析】因为850840.7 ，所以应选择第二种促销方案.20．【解析】（1）由题得，2(1,0)F ，设点(1,)P P y ，代入椭圆方程，得212Py ，因而22PF.由12PF PF12PF .（2）设动点(,)S x y ，则22222222()212122x x ST x t y x tx t tx t 221(2)12x t t 由题，ST 取得最小值时点S 恰与点A 重合，即函数221(2)12y x t t在x 处取得最小值，又[x，因而2t2t.因此，实数t的取值范围为[,)2.（3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，(,)R x y 由OR OM ON ,得1212x x x y y y ，又点R 在椭圆上，代入得221212()2()2x x y y ，化简得22222211221212(2)(2)2(2)2x y x y x x y y ，又点M 、N 在椭圆上，得221212222(2)2x x y y （*）.由题，可设直线:(1)0l x my .联列直线与椭圆方程，得22122x my x y ，得22(2)210m y my .故12222m y y m，12212y y m 因而22121212122221222(1)(1)2(2)1222m m x x y y my my y y m m m m m .代入（*）式，得222222422m m ,因而22221222m m ，（等号当且仅当 时成立）即224m （等号当且仅当 时成立）.所以， 的最大值为224m .21．【解析】（1）曲线ln y x 在点 00,ln x x 处的切线斜率为01x ，又1ln 1e故曲线ln y x 在点1,1e 处的切线方程为11y e x e，令0y ，得2x e.所以12x e.（2）由题， y f x 在n x 处的切线方程为n n n y f x f x x x 令0y ，可得 1n n n n f x x x f x ，即2142n n n x x x .故 21212222n n n n x x x x ，即12n n a a .又1136x，故13log 25a .因此 n a 是以3log 25为首项，2为公比的等比数列.（3）由题，222a x f x a x，故以0020,x x a x 为切点的切线方程为 200022200x a x y x x a x a x .令0y ,可得到301202x x x a.1当0a 时，函数 2xf x a x的大致图像如图所示:因为300202x x x a等价于20x a ,因此，当20x a 时，数列 n x 严格增；同理，当20x a 时，数列 n x 严格减.所以不存在0x 使得 n x 是周期数列.②当0a 时，函数 2xf x a x的大致图像如图所示:令10x x ,可得300202x x x a ，即20=3ax .依此类推，显然可得21x x ，…，-1n n x x .所以，当0x 时，数列 n x 为周期数列，且周期2T .下证唯一性：当203ax 时，322000000222000222<x x x x x x x a x a a x ；因此,数列 n x 严格减；当203ax 时， 202200222,12,x a x a x a ，所以320000220022>--x x x x x a x a ，因此数列 n x 严格增.综上,当0a 时，不存在0x ,使得 n x 为周期数列；当0a时，当且仅当03x a 时，函数 y f x 关于0x 的“N 数列” n x 为周期数列，且周期2T .。
上海市闵行区2016学年第二次高考模拟高三数学试卷--含答案
闵行区2016学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（满分150分，时间120分钟）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考生号、姓名等填写清楚．2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．本试卷共有21道试题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果． 1. 方程()3log 212x +=的解是 ． 2. 已知集合{}{}11,1,0,1,M x x N =+≤=-则MN = ．3. 若复数122,2z a i z i =+=+（i 是虚数单位），且12z z 为纯虚数，则实数a =．4. 直线23x y ⎧=--⎪⎨=+⎪⎩t 为参数）对应的普通方程是 ．5. 若()1(2),3n n n x x ax bx c n n -*+=++++∈≥N ，且4b c =，则a 的值为 ．6. 某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的侧面积是 ．7. 若函数()2()1xf x x a =+-在区间[]0,1上有零点，则实数a 的取值范围是 ．8. 在约束条件123x y ++-≤下，目标函数2z x y =+的最大值为 ．9. 某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，则这名学生在上学的路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是 ．10. 已知椭圆()222101y x b b+=<<，其左、右焦点分别为12F F 、，122F F c =．若此椭圆上存在点P ，使P 到直线1x c=的距离是1PF 与2PF 的等差中项，则b 的最大值为 ．11. 已知定点(1,1)A ，动点P 在圆221x y +=上，点P 关于直线y x =的对称点为P '，向量AQ OP '=，O 是坐标原点，则PQ 的取值范围是 ．12. 已知递增数列{}n a 共有2017项，且各项均不为零，20171a =，如果从{}n a 中任取两项,i j a a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 的各项和2017S =___．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. 设a b 、分别是两条异面直线12l l 、的方向向量，向量a b 、的夹角的取值范围为A ，12l l 、所成的角的取值范围为B ，则“A α∈”是“B α∈”的 ( )(A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件 14. 将函数sin 12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图像上的点,4P t π⎛⎫⎪⎝⎭向左平移(0)s s >个单位，得到点P '，若P '位于函数sin 2y x =的图像上，则( )(A) 12t =，s 的最小值为6π(B) t =，s 的最小值为6π(C) 12t =，s 的最小值为12π (D) 2t =，s 的最小值为12π15. 某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的函数关系如下图所示（收支差额=车票收入-支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变车票价格，减少支出费用；建议(Ⅱ)不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则 ( )(A) ①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ） (B) ①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ） (C) ②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ） (D) ④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）16. 设函数()y f x =的定义域是R ，对于以下四个命题： （1）若()y f x =是奇函数，则(())y f f x =也是奇函数； （2）若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =也是周期函数； （3）若()y f x =是单调递减函数，则(())y f f x =也是单调递减函数； （4）若函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，且函数1()()y f x f x -=-有零点，则函数()y f x x =-也有零点．其中正确的命题共有 ( ) (A)1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17. （本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）直三棱柱111C B A ABC -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AC AB ⊥，2==AC AB ，41=AA , M 是侧棱1CC 上一点，设h MC =．（1）若C A BM 1⊥，求h 的值；（2）若2h =，求直线1BA 与平面ABM 所成的角．18. （本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设函数()2xf x =，函数()g x 的图像与函数()f x 的图像关于y 轴对称． （1）若()4()3f x g x =+，求x 的值；（2）若存在[]0,4x ∈，使不等式(+)(2)3f a x g x --≥成立，求实数a 的取值范围．BMBA B CPQ D19. （本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图所示，PAQ ∠是某海湾旅游区的一角，其中120=∠PAQ ，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸AP 和AQ 上分别修建观光长廊AB 和AC ，其中AB 是宽长廊，造价是800元/米，AC 是窄长廊，造价是400元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段BC 上靠近点B 的三等分点D 处建一个观光平台，并建水上直线通道AD （平台大小忽略不计），水上通道的造价是1000元/米．(1) 若规划在三角形ABC 区域内开发水上游乐项目，要求ABC △的面积最大，那么AB 和AC的长度分别为多少米？(2) 在(1)的条件下，建直线通道AD 还需要多少钱？20. (本题满分16分，本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)设直线l 与抛物线24y x =相交于不同两点A B 、，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．(1) 若AOB △是正三角形（O 为坐标原点），求此三角形的边长；(2) 若4r =，求直线l 的方程；(3) 试对()0,r ∈+∞进行讨论，请你写出符合条件的直线l 的条数（只需直接写出结果）．21. (本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分)已知()y f x =是R 上的奇函数，(1)1f -=-，且对任意(),0x ∈-∞，()11x f x f x x ⎛⎫=⎪-⎝⎭都成立． (1) 求12f ⎛⎫-⎪⎝⎭、13f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(2) 设1()n a f n n*=∈N ，求数列{}n a 的递推公式和通项公式；(3) 记121321n n n n n T a a a a a a a a --=++++，求1limn n nT T +→∞的值．闵行区2016学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准一. 填空题 1．4x =； 2．{1,0}-； 3．1； 4．10x y +-=； 5．16； 6．； 7．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 8．9； 9．29； 10．2； 11．； 12．1009；二. 选择题 13．C ； 14．A ； 15．B ； 16．B ． 三. 解答题17．[解]（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则)0,0,2(B ,)4,0,0(1A ，)0,2,0(C ，),2,0(h M ……………………2分),2,2(h -=，)4,2,0(1-=C A ……………………4分由C A BM 1⊥得01=⋅C A BM ，即0422=-⨯h解得1=h ． ……………………6分 (2) 解法一：此时(0,2,2)M()()()12,0,0,0,2,2,2,0,4AB AM BA ===-……………8分设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =由00n AB n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得00x y z =⎧⎨+=⎩所以(0,1,1)n =- ……………………10分 设直线1BA 与平面ABM 所成的角为θ则11sin 52n BA n BA θ⋅===⋅ ……………12分 所以arc θ= 所以直线1BA 与平面ABM 所成的角为arc ………………14分 解法二：联结1A M ，则1AM AM ⊥， 1,AB AC AB AA ⊥⊥，AB∴⊥平面11AAC C …………………8分 1AB A M ∴⊥1A M ∴⊥平面ABM所以1A BM ∠是直线1BA 与平面ABM 所成的角； ……………………10分 在1A BM Rt △中，11A M A B ==所以111sin 5A M A BM AB ∠===……………………12分所以1arcsin5A BM ∠= 所以直线1BA 与平面ABM所成的角为arc ………………14分 18．[解]（1）由()4()3f x g x =+得2423xx-=⋅+ ……………………2分223240x x ⇒-⋅-=所以21x =-（舍）或24x =， ……………………4分 所以2x = ……………………6分 （2）由()(2)3f a x g x +--≥得2223a xx +-≥ ……………………8分2223a x x +≥+2232a x x -⇒≥+⋅ ……………………10分而232xx-+⋅≥，当且仅当[]4232,log 30,4x x x -=⋅=∈即时取等号…12分所以2a ≥211log 32a ≥+．………………………………14分 19．[解]（1）设AB 长为x 米，AC 长为y 米，依题意得8004001200000x y +=， 即23000x y +=， ………………………………2分1sin1202ABC S x y ∆=⋅⋅y x ⋅⋅=43 …………………………4分 y x ⋅⋅=28322283⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤y x=2m 当且仅当y x =2，即750,1500x y ==时等号成立，所以当ABC △的面积最大时，AB 和AC 的长度分别为750米和1500米……6分 （2）在(1)的条件下，因为750,1500AB m AC m ==． 由2133AD AB AC =+ …………………………8分 得222133AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22919494AC AC AB AB +⋅+= …………………………10分 2244117507501500()15009929=⨯+⨯⨯⨯-+⨯250000= ||500AD ∴=， …………………………12分1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分 解法二：在ABC ∆中， 120cos 222AC AB AC AB BC ⋅-+==7750= ………8分在ABD ∆中，ACAB AC BC AB B ⋅-+=2cos 222775075021500)7750(750222⨯⨯-+=772= …………………………10分 在ABD ∆中，B BD AB BD AB AD cos 222⋅-+=772)7250(7502)7250(75022⋅⨯⨯-+==500 …………12分 1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分解法三：以A 为原点，以AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则)0,0(A ，)0,750(B)120sin 1500,120cos 1500( C ,即)3750,750(-C ，设),(00y x D ………8分由2CD DB =，求得⎪⎩⎪⎨⎧==325025000y x ，所以(D …………10分所以，22)03250()0250(||-+-=AD 500=……………………12分1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分20．[解] (1)设AOB △的边长为a ，则A的坐标为1,)2a ±………2分所以214,2a ⎛⎫±= ⎪⎝⎭所以a =此三角形的边长为 ……………………………4分 (2)设直线:l x ky b =+当0k =时，1,9x x ==符合题意 ……………………………6分当0k ≠时，224404x ky by ky b y x =+⎧⇒--=⎨=⎩…………………8分222121216()0,4,42(2,2)k b y y k x x k b M k b k ∆=+>+=+=+⇒+11,AB CM AB k k k k⋅=-= 2223225CM k k k b k k b ∴==-⇒=-+- 22216()16(3)003k b k k ∴∆=+=->⇒<<4r ===()230,3k ∴=∉，舍去综上所述，直线l 的方程为：1,9x x == ……………………………10分 (3)(][)0,24,5r ∈时，共2条；……………………………12分()2,4r ∈时，共4条； ……………………………14分[)5,r ∈+∞时，共1条． ……………………………16分21．[解]（1）对等式()11x f x f x x ⎛⎫=⎪-⎝⎭， 令11(1)12x f f ⎛⎫=-⇒-=-=-⎪⎝⎭所以112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ……………………………2分 令1111222233x f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⇒-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以1132f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭……………………………4分 （2）取1x n =-，可得111()()1f f n n n =--+，………………6分 即111()()1f f n n n=+，所以11()n n a a n n *+=∈N1(1)(1)1,a f f ==--=所以数列{}n a 的递推公式为1111,()n n a a a n n*+==∈N ……………………………8分 故()13212211111111221!n n n n n a a a a a a a a a a n n n ---⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅=--- ………………10分 所以数列{}n a 的通项公式为1(1)!n a n =-． …………………12分（3）由（2）1(1)!n a n =-代入121321n n n n n T a a a a a a a a --=++++得111110!(1)!1!(2)!2!(3)!3!(3)!(1)!0!n T n n n n n =+++++⋅-⋅-⋅-⋅--⋅……14分1(1)!(1)!(1)!(1)!11(1)!1!(2)!2!(3)!3!(3)!(2)!1!n n n n n T n n n n n ⎡⎤----⇒=++++++⎢⎥-⋅-⋅-⋅--⋅⎣⎦101232111111112(1)!(1)!n n n n n n n n n n T C C C C CCn n ---------⎡⎤⇒=++++++=⎣⎦--……16分12!nn T n +⇒=则12limlim 0n n n nT T n +→∞→∞== ……………………………18分。
上海市崇明区2016学年第二次高考模拟高三数学试卷与答案及评分标准--含答案
崇明区2016学年第二次高考模拟考试试卷数 学考生注意：1． 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】1．函数212sin (2)y x =-的最小正周期是 ▲ ．2．若全集U R =，集合{}{}10A x x x x =<≥∪，则U C A = ▲ ． 3．若复数z 满足2iz i i++=（i 为虚数单位），则z = ▲ ． 4．设m 为常数，若点(0,5)F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则m = ▲ ．5．已知正四棱锥的底面边长是2，则该正四棱锥的体积为 ▲ ．6．若实数,x y 满足10304x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪⎩≤≥≤，则目标函数2z x y =-的最大值为 ▲ ．7．若1nx ⎫⎪⎭的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则展开式中的常数项的值为▲ ．8．数列{}n a 是等比数列，前n 项和为n S ，若122a a +=，231a a +=-，则lim n n S →∞= ▲ ．9．若函数1()42x x f x +=+的图像与函数()y g x =的图像关于直线y x =对称，则(3)g = ▲ ．10．甲与其四位朋友各有一辆私家车，甲的车牌尾数是0，其四位朋友的车牌尾数分别是0, 2, 1, 5，为遵守当地4月1日至5日5天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案总数为 ▲ ．11．已知函数[)22sin(),0(),0,23cos(),0x x x f x x x x παπα⎧++>⎪=∈⎨⎪-++<⎩是奇函数，则α= ▲ ．12．已知ABC ∆是边长为PQ 为ABC ∆外接圆O 的一条直径，M 为ABC ∆边上的动点，则PM MQ ⋅的最大值是 ▲ ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．】13．一组统计数据12345,,,,x x x x x 与另一组统计数据1234523,23,23,23,23x x x x x +++++相比较 (A)标准差相同(B)中位数相同(C)平均数相同(D)以上都不相同14．2b <是直线y b =+与圆2240x y y +-=相交的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件15．若等比数列{}n a 的公比为q ，则关于,x y 的二元一次方程组132421a x a y a x a y +=⎧⎨+=⎩的解的情况下列说法正确的是 (A)对任意(0)q R q ∈≠，方程组都有唯一解 (B)对任意(0)q R q ∈≠，方程组都无解(C)当且仅当12q =时，方程组有无穷多解 (D)当且仅当12q =时，方程组无解 16．设函数()x x x f x a b c =+-，其中0,0c a c b >>>>．若a 、b 、c 是ABC ∆的三条边长，则下列结论中正确的个数是①对于一切(,1)x ∈-∞都有()0f x >；②存在0x >使,,x x x xa b c 不能构成一个三角形的三边长；③若ABC ∆为钝角三角形，则存在(1,2)x ∈，使()0f x =． (A)3个(B)2个(C)1个(D)0个三、解答题（本大题共有5题，满分76分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分）在三棱锥C ABO -中，OA 、OB 、OC 所在直线两两垂直，（1）求三棱锥C ABO -的高；ABCO D（17题图）18.（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）设12F F 、分别为椭圆22221(0)x y a b a bC +=>>:的左、右焦点，点A 为椭圆C 的左顶点，点B 为椭圆C的上顶点，且AB =12BF F ∆为直角三角形．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线2y k x =+与椭圆交于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥，求实数k 的值．19.（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD 内举行机器人拦截挑战赛，在E 处按EP 方向释放机器人甲，同时在A 处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q 处成功拦截机器人甲．若点Q 在矩形区域ABCD 内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知18AB =米，E 为A B 中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记EP 与EB 的夹角为θ．（1）若60θ=︒，AD 足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（结果精确到0.1︒） （2）如何设计矩形区域ABCD 的宽AD 的长度，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD 内成功拦截机器人甲？E20.（本题满分16分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-，则称()f x 为“M 类函数”．()f x 是否为“M 类函数”？并说明理由；（2）设()2x f x m =+是定义在[]1,1-上的“M 类函数”，求实数m 的最小值；（3）若22,2log (2)(),23x x mx f x x ⎧-⎪=⎨<-⎪⎩≥为其定义域上的“M 类函数”，求实数m 的取值范围．21.（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）已知数列{}n a 满足111,,*nn n a a a p n N +=-=∈．（1）若1p =，写出4a 所有可能的值；（2）若数列{}n a 是递增数列，且123,2,3a a a 成等差数列，求p 的值； （3）若12p =，且{}21n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式．崇明区2016学年第二次高考模拟高三数学参考答案及评分标准一、填空题1.2π; 2.[0,1);4.16;5.43； 6.2； 7.15； 8.83； 9.0； 10.64； 11.76π； 12.3二、选择题13.D ； 14.A ； 15.C ； 16.A三、解答题17.解：（1）因为,OC OA OC OB ⊥⊥，所以OC AOB ⊥平面...............................2分设(1,03)([0,1])E λλλ-∈，则11(1,1,3),(,,0)BE OD λλ=--=BE 与OD 所成的角为θ，则||1cos 4||||BE OD BE OD θ⋅=⋅ (12) (13)分18.解：（1）||AB ==，所以223a b +=因为12BF F ∆为直角三角形，所以b c =..........................................................................3分 又222b c a +=，...............................................................................................................4分所以1a b ==，所以椭圆方程为2212x y +=........................................................6分 （2）由22122x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得：22(12)860k x kx +++=.............................................8分由22(8)4(12)60k k ∆=-+⋅>，得：232k >..........................................................9分 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则有12122286,1212k x x x x k k +=-⋅=++.......................10分 因为OP OQ ⊥所以1212OP OQ x x y y ⋅=⋅+⋅2212122610(1)2()44012k k x x k x x k-=+⋅+++=+=+.....12分 所以25k =，满足232k >........................................................................................13分所以k =分 19.解：（1）AEQ 中，2,120AQ EQ AEQ =∠=︒............................................2分 由正弦定理，得：sin sin EQ AQQAE AEQ=∠∠所以sin QAE ∠=............................................................................................4分所以arcsin25.74QAE ∠=≈︒所以应在矩形区域ABCD 内，按照与AB 夹角为25.7︒的向量AQ 方向释放机器人乙，才能挑战成功.............................................................................................................6分 （2）以AB 所在直线为x 轴，AB 中垂线为y 轴，建平面直角坐标系， 设(,)(0)Q x y y ≥...........................................................................................8分由题意，知2AQ EQ =，所以22(3)36(0)x y y -+=≥..................................................................11分 即点Q 的轨迹是以(3,0)为圆心，6为半径的上半圆在矩形区域ABCD 内的部分所以当6AD ≥米时，能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD 内成功拦截机器人甲...........................................14分20.解（1）由()()f x f x -=-分分00()()f x f x -=-M 类函数”.....................................................4分(2)因为()2f x m =+是定义在[]1,1-上的“M 类函数”，所以存在实数0[1,1]x ∈-满足00()()f x f x -=-， 即方程2220x xm -++=在[]1,1-上有解,.....................................................5分 令12,22xt ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦.............................................................................................6分则11()2m t t=-+ 因为11()()2g t t t =-+在1[,1]2上递增,在[1,2]上递减..............................8分所以当12t =或2t =时，m 取最小值54-....................................................9分 （3）由220x mx ->对2x ≥恒成立，得1m <...........................................10分因为若22,2log (2)(),23x x mx f x x ⎧-⎪=⎨<-⎪⎩≥为其定义域上的“M 类函数”所以存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-①当02x ≥时，02x -≤-，所以22003log (2)x mx -=--，所以00142m x x =- 因为函数14(2)2y x x x=-≥是增函数，所以1m ≥-..............................12分 ②当022x -<<时，022x -<-<，所以-3=3，矛盾.............................13分③当02x ≤-时，02x -≥，所以2200log (2)3x mx +=，所以00142m x x =-+ 因为函数14(2)2y x x x=-+≤-是减函数，所以1m ≥-.............................15分 综上所述，实数m 的取值范围是[1,1)-.....................................................16分 21.（1）4a 有可能的值为-2024，，，...............................................................4分（2）因为数列{}n a 是递增数列，所以11.nn n n n a a a a p ++-=-=而11a =，所以2231,1a p a p p =+=++.............................................6分 又123,2,3a a a 成等差数列，所以21343a a a =+.....................................8分所以230p p -=.解得13p =或0p =当0p =时，1n n a a +=，这与{}n a 是递增数列矛盾，所以13p =...........10分（3）因为{}21n a -是递增数列，所以2+1210n n a a -->，所以()()2+122210n n n n a a a a --+-> ① 但2211122n n -<，所以2+12221n n n n a a a a --<- ② 由①，②知，2210n n a a -->，所以()221221211122nn n n n a a ----⎛⎫-==⎪⎝⎭③......13分因为{}2n a 是递减数列，同理可得2120n n a a +-< 所以()21221221122n nn n na a ++-⎛⎫-=-=⎪⎝⎭④由③，④知，()1112n n nna a ++--==.............................................................16分所以121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-()()()11211111111412111222233212n n nnnn -+-----=+-++=+=+⋅+ 所以数列{}n a 的通项公式为()1141332nn n a --=+⋅...........................................18分。
2016学年上海市嘉定、黄浦区高三年级第二次模拟考试数学试卷(理)
2012年上海市嘉定、黄浦区高三年级第二次模拟考试数学试卷（理科）（2012年4月12日）考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效．2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚． 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1．函数12()log (21)f x x =+的定义域为 ．2．若双曲线221x y m -=的一个焦点为F (2,0)，则实数m = ． 3．若2x 3ππ≤≤，则方程2sin 10x +=的解x = ．4．已知幂函数()y f x =存在反函数，若其反函数的图像经过点1(,9)3，则该幂函数的解析式()f x = ．5．一盒中有7件正品，3件次品，无放回地每次取一件产品，直至取到正品．已知抽取次数ξ 的概率分布律如下表：．6．一名工人维护甲、乙两台独立的机床，若在一小时内，甲、乙机床需要维护的概率分别为0.9、0.85，则两台机床都不需要维护的概率为 ．7．已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若10110i 0z z z =（i 是虚数单位），则z = ． 8．已知α、0,2βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若5cos()13αβ+=，4sin()5αβ-=-，则cos 2α= ．9．如图，已知圆柱的轴截面11ABB A 是正方形，C 是圆柱下底 面弧AB 的中点，1C 是圆柱上底面弧11A B 的中点，那么异面 直线1AC 与BC 所成角的正切值为 ．10．若过圆C ：1,1,x y θθ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（02θ<π≤）上一点(1,0)P -作该圆的切线l ，则切线l 的方程为 ．AB1A 1C 1B 第9题11．若(12)n x +（*n ∈N ）二项展开式中的各项系数和为n a ，其二项式系数和为n b ，则=+-++∞→nn nn n b a a b 11lim．12．设集合{1,}P x =，{1,2,}Q y =，其中,{1,2,3,4,5,6,7,8,9}x y ∈，且P Q ⊆．若将满足上述条件的每一个有序整数对(,)x y 看作一个点，则这样的点的个数为 ． 13．已知函数2()|2|f x x ax a =-+（x ∈R ），给出下列四个命题：① 当且仅当0a =时，()f x 是偶函数； ② 函数()f x 一定存在零点； ③ 函数在区间(,]a -∞上单调递减；④ 当01a <<时，函数()f x 的最小值为2a a -． 那么所有真命题的序号是 ．14．已知△FAB ，点F 的坐标为(1,0)，点A 、B 分别在图中抛物线24y x =及圆22(1)4x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，那么△FAB 的周长的取值范围为 ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．已知空间三条直线a 、b 、m 及平面α，且a 、b ≠⊂α．条件甲：m a ⊥，m b ⊥；条件乙：m α⊥，则“条件乙成立”是“条件甲成立”的………………………………………（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分且必要条件D ．既非充分也非必要条件16．已知a 、0b >，则下列不等式中不一定成立的是……………………………………（ ）A ．2a bb a +≥ B ．11()()4a b a b +⋅+≥C．2ab a b+D．a b + 17．已知△ABC 的三边分别是a b c 、、，且a b c ≤≤（*a b c ∈N 、、），若当b n =（*n ∈N ）时，记满足条件的所有三角形的个数为n a ，则数列{}n a 的通项公式…………………（ ） A ．21n a n =- B ．(1)2n n n a +=C ．21n a n =+D ．n a n =18．已知O 、A 、B 、C 是同一平面上不共线的四点，若存在一组正实数1λ、2λ、3λ，使得1230OA OB OC λλλ++=，则三个角AOB ∠、BOC ∠、COA ∠………………………（ ） A ．都是钝角 B ．至少有两个钝角 C ．恰有两个钝角D ．至多有两个钝角三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分4分．已知三棱锥P ABC -，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥， 4AB AC ==，5AP =．（1）求二面角P BC A --的大小（结果用反三角函数值表示）． （2）把△PAB （及其内部）绕PA 所在直线旋转一周形成一几何体，求该几何体的体积V ．20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知函数22()cos cos sin 1f x x x x x =⋅+--（x ∈R ） （1）求函数()y f x =的单调递增区间； （2）若5[,]123x ππ∈-，求()f x 的取值范围．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．某高科技企业研制出一种型号为A 的精密数控车床，A 型车床为企业创造的价值逐年减少（以投产一年的年初到下一年的年初为A 型车床所创造价值的第一年）．若第1年A 型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年A 型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年A 型车床创造的价值是上一年价值的50%．现用n a （*n ∈N ）表示A 型车床在第n 年创造的价值．（1）求数列{}n a （*n ∈N ）的通项公式n a ； （2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，nn S T n=．企业经过成本核算，若100n T >万元，则继续使用A 型车床，否则更换A 型车床．试问该企业须在第几年年初更换A 型车床？（已知：若正数数列{}n b 是单调递减数列，则数列12n b b b n +++⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是单调递减数列）．ABCP22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知定点(2,0)F ，直线:2l x =-，点P 为坐标平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且FQ PF PQ ⊥+（）．设动点P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点F 的直线1l 与曲线C 有两个不同的交点A 、B ，求证：111||||2AF BF +=； （3）记OA 与OB 的夹角为θ（O 为坐标原点，A 、B 为（2）中的两点），求cos θ的取值范围．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．对*n ∈N ，定义函数2()()n f x x n n =--+，1n x n -≤≤．（1）求证：()n y f x =图像的右端点与1()n y f x +=图像的左端点重合；并回答这些端点在哪条直线上．（2）若直线n y k x =与函数2()()n f x x n n =--+，1n x n -≤≤（2n ≥，*n ∈N ）的图像有且仅有一个公共点，试将n k 表示成n 的函数．（3）对*n ∈N ，2n ≥，在区间[0,]n 上定义函数()y f x =，使得当1m x m -≤≤（*m ∈N ，且1m =，2，…，n ）时，()()m f x f x =．试研究关于x 的方程()n f x k x =（0x n ≤≤，*n ∈N ）的实数解的个数（这里的n k 是（2）中的n k ），并证明你的结论．2011学年嘉定、黄浦区高三年级第二次模拟考试数学试卷（理科）参考答案和评分标准（2012年4月12日）说明：1．本解答仅列出试题的一种或两种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1．1(,)2-+∞ 2．3 3．67π 4．12x- 5．118 6．0.015 7．0或i - 8．6365 910．220x y -+= 11．13- 12．1413．①④ 14．(4,6)二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．A 16．C 17．B 18．B三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分4分．[解]（1）解法一：设BC 的中点D ，联结AD ，PD ，易知在等腰三角形PBC 、ABC 中，PD BC ⊥，AD BC ⊥，故PDA ∠为二面角P BC A --的平面角． （2分）在等腰Rt △ABC 中，由4AB AC ==及AB AC ⊥，得AD = 由PA ⊥平面ABC ，得PA AD ⊥．在Rt △PAD中，tan PA PDA AD ∠== （6分） 故二面角P BC A --的大小为arc （8分）解法二：如图建立空间直角坐标系，可得各点的坐标(0,0,0)A ，(4,0,0)B ，(0,4,0)C ，(0,0,5)P ．于是(4,0,5)PB =-，(4,4,0)BC =-． （2分）由PA ⊥平面ABC ，得平面ABC 的一个法向量1(0,0,1)n =． 设2(,,)n u v w =是平面PBC 的一个法向量．因为2n PB ⊥，2n BC ⊥，所以20n PB ⋅=，20n BC ⋅=， 即450u w -=，440u v -+=，解得45w u =，v u =， 取5u =，得2(5,5,4)n =-． （4分）设1n 与2n 的夹角为ϕ，则12122cos n n n n ϕ⋅==（6分） 结合图可判别二面角P BC A --是个锐角，它的大小为． （8分） （2）由题设，所得几何体为圆锥，其底面半径为4，高为5．该圆锥的体积21805433V π=⨯⨯π⨯=． （12分）20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．[解]（1）由题设()cos212sin(2)16f x x x x π=+-=+-， （2分）由222262k x k ππππ-+π+≤≤，解得36k x k πππ-π+≤≤，故函数()y f x =的单调递增区间为,36k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）． （6分）（2）由5123x ππ-≤≤，可得22366x ππ5π-+≤≤． （7分）考察函数sin y x =，易知1sin(2)16x π+-≤≤， （10分）于是32sin(2)116x π+--≤≤．故()y f x =的取值范围为[3,1]-． （12分）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．[解]（1）由题设，知1a ，2a ，…，6a 构成首项1250a =，公差30d =-的等差数列．故28030n a n =-（6n ≤，*n ∈N ）（万元）． （3分）7a ，8a ，…，n a （7n ≥，*n ∈N ）构成首项761502a a ==，公比12q =的等比数列． 故71502n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭（7n ≥，*n ∈N ）（万元）． （6分）于是，728030,16150,72n n n n a n --⎧⎪=⎨⎛⎫⨯⎪ ⎪⎝⎭⎩≤≤≥（*n ∈N ）（万元）． （7分） （2）由（1）知，{}n a 是单调递减数列，于是，数列{}n T 也是单调递减数列．当16n ≤≤时，26515nn S T n n==-，{}n T 单调递减，6175100T =>（万元）． 所以100n T >（万元）．当7n ≥时，6110010501001115022n n n S T n n n-⎡⎤⎛⎫+⨯-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦===， （9分） 当11n =时，11104T >（万元）；当12n =时，1296T <（万元）． （13分）所以，当12n ≥，*n ∈N 时，恒有96n T <．故该企业需要在第11年年初更换A 型车床． （14分） 22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．[解]（1）设点P 的坐标为(,)x y ． （1分）由题意，可得(2,)Q y -，(4,)FQ y =-，(2,)PF x y =--，(2,0)PQ x =--．（3分） 由FQ 与PF PQ +垂直，得()0FQ PF PQ ⋅+=，即28y x =（0x ≥）． （6分） 因此，所求曲线C 的方程为28y x =（0x ≥）．[证明]（2）因为过点F 的直线1l 与曲线C 有两个不同的交点A 、B ，所以1l 的斜率不为零，故设直线1l 的方程为2x my =+． （7分）于是A 、B 的坐标11(,)x y 、22(,)x y 为方程组28,2,y x x my ìï=ïíï=+ïî的实数解． 消x 并整理得28160y my --=． （8分）于是12128,16,y y m y y +=⎧⎨=-⎩进一步得2121284,4.x x m x x ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩ （10分）又因为曲线28y x =（0x ≥）的准线为2x =-，所以12121212411111||||222()42x x FA FB x x x x x x +++=+==+++++，得证． （12分） （3）由（2）可知，11(,)OA x y =u u r ，22(,)OB x y =u u u r．于是cos ||||OA OB OA OB q ?===×uu r uu u ruu r uu u r ， （16分）可求得cos q =3,05轹÷ê-÷÷êøë． （18分） 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．[证明]（1）由()n f n n =得()n y f x =图像右端点的坐标为(,)n n ，由1()n f n n +=得1()n y f x +=图像左端点的坐标为(,)n n ，故两端点重合． （2分）并且对*n ∈N ，这些点在直线y x =上． （4分） [解]（2）由题设及（1）的结论，两个函数图像有且仅有一个公共点，即方程2()n x n n k x --+=在1n x n -≤≤上有两个相等的实数根．整理方程得22(2)0n x k n x n n +-+-=，由22(2)4()0n k n n n ∆=---=，解得2n k n =± （8分）此时方程的两个实数根1x ，2x 相等，由122n x x n k +=-，得2122[2(22nn k x x n n n n -===-±=-，因为121n x x n -=≤≤，所以只能2n k n=-2n ≥，*n ∈N）．（10分） （3）当2n ≥时，2n k n =-=，可得12n k <<，且n k 单调递减． （14分）① 当3n ≥时，对于21i n -≤≤，总有1n i k k <<，亦即直线n y k x =与函数()i f x 的图像总有两个不同的公共点（直线n y k x =在直线y x =与直线i y k x =之间）．对于函数1()f x 来说，因为12n k <<，所以方程1()n k x f x =有两个解：10x =，22n x k =-(0,1)∈．此时方程()n f x k x =（0x n ≤≤，*n ∈N ）的实数解的个数为2(1)121n n -+=-．（16分）② 当2n =时，因为212k <<，所以方程21()k x f x =有两个解．此时方程2()f x k x =（02x ≤≤）的实数解的个数为3． （17分）综上，当2n ≥，*n ∈N 时，方程()n f x k x =（0x n ≤≤，*n ∈N ）的实数解的个数为21n -． （18分）。
2016年上海市浦东新区中考数学二模拟试卷及答案
x 2+ 2 AMρ ρ ρρ 浦东新区 2015 学年第二学期初三教学质量检测数学试卷（满分 150 分，考试时间 100 分钟）一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1．2016 的相反数是（ ）（A ） 1 2016； （B ）-2016 ； （C ） -1 2016 ； （D ）2016． 2. 已知一元二次方程 x2 + 3x + 2 = 0 ，下列判断正确的是（ ）（A ）该方程无实数解； （B ）该方程有两个相等的实数解； （C ）该方程有两个不相等的实数解； （D ）该方程解的情况不确定．3. 下列函数的图像在每一个象限内， y 随着 x 的增大而增大的是（ ）（A ） y = - 1 ；（B ） y = x 2-1 ；（C ） y = 1；（D ） y = - x -1 ．xx4. 如果从 1、2、3 这三个数字中任意选取两个数字组成一个两位数，那么这个两位数是素数的概率等于（ ）（A ） 12；（B ） 13；（C ） 14 ；（D ） 1．65. 下图是上海今年春节七天最高气温（℃）的统计结果：NBC第 6 题图这七天最高气温的众数和中位数是（ ） （A ） 15，17； （B ）14，17； （C ）17，14；（D ）17，15．6. 如图，△ABC 和△AMN 都是等边三角形，点 M 是△ABC 的重心，那么S ∆AMN 的值为（ ）S ∆ABC（A ） 23；（B ） 13；（C ） 14；（D ） 4 ．9二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）17. 计算： －1 ＝． 38. 不等式 x -1 < 2 的解集是 ．9．分解因式： 8 - 2a 2= ．10．计算： 3(a - b ) + 2 (b - 2a )= ． 11. 方程 5 - x = 3 的解是 ．12. 已知函数 f (x ) = 6，那么 f ( 2) = ．13. 如图，传送带和地面所成的斜坡的坡度为 1: 从 A 到 B 所经过的路程为米． 14.正八边形的中心角等于 度．，它把物体从地面送到离地面 9 米高的地方，则物体32 15. 在开展“国学诵读”活动中，某校为了解全校 1200 名学生课外阅读的情况，随机调查了 50 名学生一周的课外阅读时间，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中数据，估计该校 1200 名学生一周 的课外阅读时间不少于 6 小时的人数是 ．16. 已知：⊙O 1、⊙O 2 的半径长分别为2 和 R ，如果⊙O 1 与⊙O 2 相切，且两圆的圆心距 d=3，则 R 的值为 ．17．定义运算“﹡”：规定 x ﹡y = ax + by （其中 a 、b 为常数），若 1﹡1＝3，1﹡ (-1) ＝1，则 1﹡2＝ ．18. 在 Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝15，AC ＝20．点 D 在边 AC 上，DE ⊥AB ，垂足为点 E ，将△ADE 沿直线 DE 翻折，翻折后点 A 的对应点为点 P ，当∠CPD 为直角时，AD 的长是 ． 三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分）19．（本题满分 10 分）计算： 2 sin 45︒ - 20160+20．（本题满分 10 分）x x + 2 8解方程：+ = ． x + 2 x - 2 x 2 - 4⎛ 1 ⎫-18+ ⎪ ．⎝ ⎭21．（本题满分 10 分）如图，AB 是⊙O 的弦，C 是 AB 上一点，∠AOC =90°，OA =4，OC =3，求弦 AB的长．22．（本题满分 10 分，每小题 5 分）某工厂生产一种产品，当生产数量不超过 40 吨时，每吨的成本 y （万元/吨）与生产数量 x （吨）的函数关系式如图所示：（1） 求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2） 当生产这种产品的总成本为 210 万元时，求该产品的生产数量． （注：总成本=每吨的成本×生产数量）23．（本题满分12 分，第(1)、（2）小题各6 分）如图，已知：四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BA 的延长线上，CE 交AD 于点F，∠ECA = ∠D．（1）求证：∆EAC∽∆ECB；（2）若DF = AF，求AC︰BC 的值．24．(本题满分12 分，每小题4 分)如图，二次函数y=ax2-4ax+2的图像与y 轴交于点A，且过点B(3，6) ．（1）试求二次函数的解析式及点A 的坐标；（2）若点B 关于二次函数对称轴的对称点为点C ，试求∠CAB 的正切值；（3）若在x 轴上有一点P ，使得点B 关于直线AP 的对称点B1 在y 轴上，试求点P 的坐标．第24 题图25．（本题满分 14 分，其中第（1）小题 4 分，第（2）、（3）小题各 5 分）如图，Rt △ ABC 中， ∠ACB = 90ο ， BC = 6 ，点 D 为斜边 AB 的中点，点 E 为边 AC 上的一个动点．联结 DE ，过点 E 作 DE 的垂线与边 BC 交于点 F ，以 DE , EF 为邻边作矩形 DEFG ．（1）如图 1，当 AC = 8 ，点G 在边 AB 上时，求 DE 和 EF 的长；（2） 如图 2，若DE= 1，设 AC = x ，矩形 DEFG 的面积为 y ，求 y 关于 x 的函数解析式； EF 2（3） 若 DE = 2，且点G 恰好落在 Rt △ ABC 的边上，求 AC 的长．EF 3第 25 题 图 1第 25 题 图 2⨯⎨⎨ 浦东新区 2015 学年第二学期初三教学质量检测数学试卷参考答案及评分标准一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1．B 2．C 3．A 4．A 5．C 6．B 二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 7．2 8． x < 339． 2(2 + a )(2 - a ) 10． -a - b 11． x = -412． 313． 18 14．4515． 720． 16． 1 或 517．418． 358三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分）19．（本题满分 10 分） 解：原式= 2 ⨯2 -1 + 2 2 +2 ............................................... （8 分）2＝1＋ 3 ……………………………………（2 分） 20．（本题满分 10 分） xx + 2 8 解方程：x + 2 + x - 2 = x 2- 4解：去分母得： x ( x - 2) + ( x + 2)2= 8 ................................................ （4 分） 整理得： x 2 + x - 2 = 0 ................................................... （2 分） 解得： x 1 = 1 ， x 2 = -2 ................................................. （2 分）经检验 x 1 = 1 是原方程的根， x 2 = -2 是原方程的增根 ................. （1 分） 原方程的根为 x = 1 ................................................ （1 分） 21．（本题满分为 10 分） 解：过点 O 作 OD ⊥AB 于 D 在 Rt△AOC 中， OA 2 + OC 2 = AC 2 ，AC = 5 ........................... （2 分） 在 Rt△AOC 中， COS ∠OAC = OA = 4 ； ........................... （2 分）AC5在 Rt△ADO 中， COS ∠OAD =DA ， ............................ （2 分）AOAD OA 16 所以 = ， AD =（1 分）AO AC 5因为在⊙O 中，OD ⊥AB ， 16 所以 AB =2AD = 2 ， ........................... （2 分）5所以 AB = 325． ........................... （1 分）22.（本题满分 10 分，每小题 5 分）解： ⑴ 设函数解析式为 y =kx +b ，将(0，10)、(40，6)分别代入 y =kx +b⎧10 = b , 得 ⎩6 = 40k + b . …………………………（2 分） ⎧k = - 1,解之得⎪ 10 .....................................（1 分） ⎪⎩b = 10.所以 y = - 1x +10(0≤x ≤40) ................... （1+1 分）10 ⑵ 由( - 1x +11)x =210 ................... （2 分）10246 =8 解得 x 1=30 或 x 2=70， ................... （1 分） 由于 0≤x ≤40 所以 x =30 ................... （1 分） 答：该产品的生产数量是 30 吨 ................... （1 分）23．（本题满分 12 分，第(1)、（2）小题各 6 分） （1） 证明：因为，四边形 ABCD 是平行四边形，所以，∠B = ∠D ， ......... （2 分） 因为∠ECA = ∠D ，所以∠ECA = ∠B ， ........... （2 分） 因为∠E = ∠E ，所以△ECA ∽△ECB ....................... （2 分）(2) 解：因为，四边形 ABCD 是平行四边形，所以，CD ∥AB ，即：CD ∥AECD DF 所以 =（1 分）AE AF因为 DF=AF ，所以，CD=AE ， ............ （1 分）因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以，AB=CD ，所以 AE=AB ，所以，BE =2AE ， …（1 分） 因为△ECA ∽△EBCAE CE AC 所以 = =（1 分）CE BE BC所以CE 2= AE ⋅ BE = 1 BE 2 ，即： CE = 2 ..................... （1 分）2 BE 2所以 AC = BC 2 ． ........... （1 分）224.(1) 将点 B (3, 6) 代入解析式 y = ax 2- 4ax + 2 ， 可得：46 = 9a - 12a + 2. ，解之得 a = - . ………………（2 分）3 所以二次函数解析式为 y = -4 x 2 + 16x + 2 ． ........... （1 分）3 3点 A 的坐标为（0，2）． ........... （1 分）（2）由题意， C (1, 6) ， BC = 2 ， AB = 5， tan ∠CBA = ． ........... （1 分） 3过点C 作CH ⊥ AB 于点 H ．∴ CH = 8 ， 5 BH = ， 5 19AH ............................. （2 分） 5∴ tan ∠CAB = ． ........... （1 分）19(3) 由题意， AB = AB 1 = 5 ， 从而点 B 1 的坐标为(0, -3) 或(0, 7) ． ........... （2 分）① 若点 B (0, -3) ， 设 P ( x , 0) ， 由 PB = PB ， 有(x - 3)2 + 62 = x 2 + 32，11解得: x = 6 ， 即 P (6, 0) ...................... （1 分）② 若点 B (0, 7) ， 设 P ( x , 0) ， 由 PB = PB ， 有(x - 3)2 + 62 = x 2 + 72，1 12 2解得: x = - ， 即 P (- 3 , 0)..................... （1 分）3综合知， 点 P 的坐标为(6, 0) 或(- 2, 0) ．33 15 45 35 = 1x x 25.(1) 如图， ∵ AD = 1AB = 5 2 ∴ DE = FG = 5⨯ = ． ........... （2 分） 4 4BG = 3 FG = 3 ⨯ 15 = 454 4 4 16∴ DG = 5 - = ． 即 DE = 16 1615 35 , EF ． ........... （2 分） 4 16DE 1（2） 过点 D 作 DH ⊥ AC 于点 H ， 从而 DH = 3． 易得△ DHE ∽△ ECF ， 由 EF = ， 可得2EC = 2DH = 6 ， EH = x - 6 ． ........... （3 分）2 所以 DE 2 = 32 + ( x - 6)2 2 = - 6x + 45 ． ........... （1 分） 2 4∴ y = DE ⋅ EF = 2DE 22 = -12x+ 90 ． ........... （1 分） 2B(3) 由题意，点G 可以在边 BC 或者 AB 上．①如左图 若点G 在边 BC 上， 从而由 DE = 3 ，可知 EF = 9， 于是 AC = 2EF = 9 ；……（2 分）2②如右图， 若点G 在边 AB 上． 记 AD = DB = a ， 矩形边长 DE = 2b , EF = 3b ， 由△ ADE ∽△FGB ， 可得 AD = FG ， 即 a = 2b， 化简可得 a 2 - 3ab - 4b 2 = 0 ， 因式分解后有: a = 4b ，DE GB 2b a - 3b即 AD = 2DE ． 而由△ ADE ∽△ ACB ， 所以 AC = 2BC ， 从而 AC = 12 ． ............ （3 分）综上知，AC 的值为 9 或 12.。
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浦东新区2016学年度第二学期质量抽测 高三数学试卷 2017．4
注意：1． 答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚． 2． 本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．
1、已知集合201xAxx，集合04Byy，则AB=____________．
2、若直线l的参数方程为44,23Rxttyt，则直线l在y轴上的截距是____________． 3、已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30，则该圆锥的侧面积为____________． 4、抛物线214yx的焦点到准线的距离为____________．
5、已知关于,xy的二元一次方程组的增广矩阵为215120，则3xy=____________． 6、若三个数123,,aaa的方差为1，则12332,32,32aaa的方差为____________． 7、已知射手甲击中A目标的概率为0．9，射手乙击中A目标的概率为0．8，若甲、乙两人各向A目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A目标的概率是____________．
8、函数π3sin,0,π62yxx的单调递减区间是____________．
9、已知等差数列na的公差为2，前n项和为nS，则1limnnnnSaa=____________． 10、已知定义在R上的函数fx满足：①20fxfx；②20fxfx；③在 1,1上的表达式为21,1,01,0,1xxfxxx，则函数fx与函数122,0log,0xxgxxx
的图像在区间3,3上的交点的个数为____________． 11、已知各项均为正数的数列na满足：11210Nnnnnaaaan，且110aa, 则首项1a所有可能取值中的最大值为____________． 12、已知平面上三个不同的单位向量,,abc满足12abbc，若e为平面内的任意单位向量，则23aebece的最大值为____________． 二、选择题(本大题共有4小题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分．
13、若复数z满足2zizi，则复数z在复平面上所对应的图形是（ ） A、椭圆； B、双曲线； C、直线； D、线段． 14、已知长方体切去一个角的几何体直观图如图所示
给出下列4个平面图： （1） （2） （3） （4） 则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是（ ） A、(1)(3)(4)； B、(2)(4)(3)； C、(1)(3)(2)； D、(2)(4)(1)．
15、已知2sin1cosxx，则cot2x=（ ）
A、2； B、2或12； C、2或0； D、12或0． 16、已知等比数列1234,,,aaaa满足10,1a，21,2a，32,4a，则4a的取值范围 是（ ） A、3,8； B、2,16； C、4,8； D、22,16． 三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系Oxyz的原点，
半径为1，且球O分别与,,xyz轴的正半轴交于,,ABC三点．
已知球面上一点310,,22D． （1）求,DC两点在球O上的球面距离； （2）求直线CD与平面ABC所成角的大小．
18、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 某地计划在一处海滩建造一个养殖场．
（1） 如图，射线,OAOB为海岸线，2π3AOB，
现用长度为1千米的围网PQ依托海岸线围成一个△POQ的养殖场，问如何选取点,PQ，才能使养殖场△POQ的面积最大，并求其最大面积．
（2）如图，直线l为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场． 方案一：围成三角形OAB（点,AB在直线l上），使三角形OAB面积最大，设其为1S；
方案二：围成弓形CDE（点,DE在直线l上，C是优弧DE所在圆的圆心且2π3DCE），其面积为2S；
O A B P
Q A B
O C E D
试求出1S的最大值和2S（均精确到0．001平方千米），并指出哪一种设计方案更好．
19、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知双曲线22:143xyC，其右顶点为P． （1）求以P为圆心，且与双曲线C的两条渐近线都相切的圆的标准方程； （2）设直线l过点P，其法向量为(1,1)n，若在双曲线C上恰有三个点123
,,PPP
到直线l的距离均为d，求d的值．
20、（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 若数列nA对任意的*Nn，都有+10knnAAk，且0nA， 则称数列nA为“k级创新数列”．
（1）已知数列na满足2122nnnaaa，且112a，试判断数列21na是否为“2级创新数列”，并说明理由； （2） 已知正数数列nb为“k级创新数列”且1k，若110b，求数列nb的前n项积．nT；
（3）设,是方程210xx的两个实根（），令k，在（2）的条件下，记 数列nc的通项1lognnnbncT， 求证：21nnnccc，*Nn． 21、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 对于定义域为R的函数gx，若函数singx是奇函数，则称gx为正弦奇函数．
已知fx是单调递增的正弦奇函数，其值域为R，00f． （1）已知gx是正弦奇函数，证明：“0u为方程sin1gx的解”的充要条件是 “0u为方程sin1gx的解”；
（2）若ππ,22fafb，求ab的值； （3）证明：fx是奇函数． 浦东新区2016学年度第二学期质量抽测 高三数学试卷 2017.4
注意：1. 答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.
1、已知集合201xAxx，集合04Byy，则AB=____[2,4)________.
2、若直线l的参数方程为44,23Rxttyt，则直线l在y轴上的截距是_____1______. 3、已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30，则该圆锥的侧面积为____8π______. 4、抛物线214yx的焦点到准线的距离为______2_______.
5、已知关于,xy的二元一次方程组的增广矩阵为215120，则3xy=___5_______. 6、若三个数123,,aaa的方差为1，则12332,32,32aaa的方差为 9 . 7、已知射手甲击中A目标的概率为0.9，射手乙击中A目标的概率为0.8，若甲、乙两人各 向A目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A目标的概率是___0.98________. 8、函数π3sin,0,π62yxx的单调递减区间是_____20,π3__________. 9、已知等差数列na的公差为2，前n项和为nS，则1limnnnnSaa=___14______. 10、已知定义在R上的函数fx满足：①20fxfx；②20fxfx；③在 1,1上的表达式为21,1,01,0,1xxfxxx，则函数fx与函数122,0log,0xxgxxx
的图象在区间3,3上的交点的个数为 6 . 11、已知各项均为正数的数列na满足：11210Nnnnnaaaan，且110aa, 则首项1a所有可能取值中的最大值为 16 . 12、已知平面上三个不同的单位向量,,abc满足12abbc，若e为平面内的任意单位向量，则23aebece的最大值为_______21__________. 二、选择题(本大题共有4小题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.
13、若复数z满足2zizi，则复数z在复平面上所对应的图形是 （ D ） A、椭圆； B、双曲线； C、直线； D、线段. 14、已知长方体切去一个角的几何体直观图如图所示
给出下列4个平面图： （2） （2）