MATH2061_Linear Mathematics and Vector Calculus_2013_tut09

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东华大学2012~13(1)线性代数A

东华大学 2012--2013 学年第一学期期末试题A 卷踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。

考试科目线性代数使用专业全校相关专业教师班号____ 学号姓名考试教室一二三四五六总分试题得分一、填空题（每小题4分，共60分）. 1、行列式1100010001a a a aa a= . 2、设矩阵为1 1 3 2 0,,2 0 10 1A B −⎛⎞⎛==⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎞⎟⎠T A A 的转置，则B A T= .3、设1314,17A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠且满足16A BA A BA −=+,则=B . 4、设A 为阶矩阵，且行列式 33A =−，则 12T A A −= ，A ∗= .5、 125013200−⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠.6、设向量组线性相关，则123(,3,2),(2,1,3),(3,2,1)T T x ααα==−=T x = .7、设，则123235471A ⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠A 的秩为，其伴随矩阵A ∗的秩为 .8、方程组的通解为 123123 123x x x x x x ++=⎧⎨−+=⎩3.9、设方程组123110101111x a x x ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟−=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠λλλ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠有无穷多解，则λ= ，a = .10、设则3,A O =1()E A −−= .11、设三阶方阵A 的特征值为则2,4,6,3A E −的特征值为，行列式3A E −= .12、已知正交，则当12(1,1,1),(1,2,1)T T αα==−3α= ，321,,ααα两两正交. 13、已知实二次型22212312313(,,)2f x x x ax x x bx x =+−+经正交变换可化为标准形221222323f y y y =+−，则=a ，b = . 14、已知3阶实对称矩阵A 的秩()2r A =，且，若矩阵022=+A A aE A B +=是正定矩阵，则常数a 的取值范围为 . 15、已知矩阵的一个特征值为3，则另一个特征值为112y A ⎛⎞=⎜⎝⎠⎟ ，y = .二、(8分) 求向量组 1232112,29−11,,4636ααα−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟===⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎝⎠451214,2479αα⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠的秩和一个极大无关组,并把其余向量用此极大无关组线性表示．三、(8分)已知三阶矩阵A 的逆阵为求伴随矩阵的逆阵()1111121,113A −⎛⎞⎜⎟=⎜⎜⎟⎝⎠⎟T *A 1*.A −四、 (10分) 设 123(1,4,0,2),(2,7,1,3),(0,1,1,),(3,10,,4),T T T a b αααβ===−=（1）取何值时，β不能由a b ，123,,ααα线性表示？（2）取何值时，β可由a b ，123,,ααα线性表示？并写出此表示式．五、(10分) 设矩阵A 与B 相似，且11124233A a −⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠,． 22B b ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⑴ 求a ，b 的值； ⑵ 求可逆矩阵P ，使1P AP B −=．六、（4分）设,TA E αα=− 其中E 是n 阶单位阵，α是维非零列向量，n Tα是α的转置，证明当时，1T αα=A 是不可逆阵.。

超详细MIT线性代数公开课笔记_完整版

列图像 Column Picture 在列图像中，我们将系数矩阵写成列向量的形式，则求解原方程变为寻找列向
量的线性组合（linear combination）来构成向量 b。
4
x
2 1
y
1 2
0 3
向量线性组合是贯穿本课程的重要概念。对于给定的向量 c 和 d 以及标量 x 和 y，我们将 xc+yd 称之为 c 和 d 的一个线性组合。
第 01 讲行图像和列图像
Row picture & Column picture
线性方程的几何图像 The geometry of linear equations 线性代数的基本问题就是解 n 元一次方程组。例如：二元一次方程组 2x y 0 x 2y 3
写成矩阵形式就是
2 - 1
- 1x 2y
从几何上讲，我们是寻找满足如下要求的 x 和 y，使得两者分别数乘对应的列向
量之后相加得到向量
0 3
。其几何图像如下图。
2 蓝色为向量 - 1 ；
- 1
红色为向量
2 ；
可以看到当蓝色的向量乘以 1 与红色的
向量乘以 2（红色虚线）后做加法（首尾 0
相接）就可以得到绿色的向量 b= 3 ，
由此可得到方程的解 x=1,y=2。
0 3
其中
A=
-
2 1
-
1 2
被称为系数矩阵（coefficient
matrix）。
未知数向量通常记为
x=
x y
而等号右侧的向量记为 b。线性方程组简记为 Ax=b。
行图像 Row Picture
行图像遵从解析几何的描述，每个方程在平面上的图像为一条直线。找到符合方程的两个数组，就可以确定出 x-y 平面上的两个点，连接两点可以画出该方程所代表的直线。两直线交点即为方程组的解 x=1,y=2。

Mathematica 函数集

最接近的整数不大于 x 的最大整数不小于 x 的最小绝对值取符号函数取整数部分小数多个数或数组的最大值最小值
复变量 Re[z] Im[z] Comjugate[z] Abs[z] Arg[z]
z=x+I y 取实部虚部共轭模幅角
实数或虚数 Exp[z] Log[z] Log[b,z] Sin[z],Cos[z],Tan[z],Cot[z]， Csc[z],Sec[z] ArcSin[z],ArcCos[z],Arctan[z],Arccot[z], ArcCsc[z],ArcSec[z] Sinh[z],Cosh[z],Tanh[z],Coth[z], Csch[z],Sech[z] ArcSinh[z],ArcCosh[z],……
Reduce[方程, 变量]：什么情况下方城有解，尽量化简方程并保留方程所有解
Eliminate[方程 s, 变量 s]：消去变量并重组方程组如：eqns = {x= =1+a/2,y= =1+2 x};
Eliminate[eqns,x]
2．2．4 不等式方程和递归方程
InequalitySolve[ineq,x] InequalitySolve[{ineq1,ineq2},{x,y}
抽象函数的导数表示 f[x_]:=Sin[x^2] 定义函数 f[x] f[x]+f’[x]+f’’[x] 一阶导，二阶导
D[x g[2x],x]
全微分 df
全导数 df dx
多重全导数全导数，说明 c1,c2, ……为常数
置 dy ＝0 dx
D[h[x,y],x,x,y]
计算
∂ ∂x2
∂ ∂y
h(3) (x,

用机算(MATLAB)和建模实践改造工科线性代数

用三种方法解题的比较
• • • • 1、用中学的代入法，30分钟； 2、用矩阵+笔算，90分钟 3、用矩阵+软件，5分钟就解题的效率而言，线性代数比代数方法还要差！终于明白了，原来线性代数不是为手算设计的，它的优点必须在使用了计算机后才能显现。学线性代数而不用计算机，在学术上就是一个谬误，就好像学载重汽车的构造而不教开车、不给汽油一样，一点没有用，还不如手推车有用。
2. 用矩阵法笔算(90分钟)
1 W = X / U = ( I Q ) P
• 为了求这个4*4矩阵的逆，推导就用了两页纸，整个推导用了90分钟。因为它不能只求一个输出，必须把四个输出全部求出来
W W W W W 3 1 2 3 2 1 1 W W W 1 W W W 3 1 2 3 1 2 W W W W W W W 1 3 1 2 W 1 312 1 W W W 1 W W W x 3 1 2 3 1 2 1 = i n v ( I Q ) * P W W W u 1 2 2 W W W 1 W W W 3 1 2 3 1 2 1 W W W 1 2 2 W W W 1 W W W 3 1 2 3 1 2 1 1 W W W 1 1 3 2 4 1 W W W 1 W W W 1 W W W 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 W W W W 1 3 1 1 4 1 W W W 1 W W W 1 W W W W 3 1 2 3 1 2 3 1 2 4 W W W W W W W ( W W ) 0 3 1 2 3 1 2 2 1 4 1 W W W 1 W W W 1 W W W 0 3 1 2 3 1 2 3 1 2 W ( W W ) 1 1 2 1 4 1 W W W 1 W W W 1 W W W 3 1 2 3 1 2 3 1 2

Applied Multivariate Statistical Analysis

(1) Multiplication of xT by y gives a single number. √ xT x = |x| x y = (x1 x2
T
Note Lx =
. . . xn )1×n
y1 y2 . . . yn

n×1
= x1 y1 + x2 y2 + . . . + xn yn
n
tr(A) =
i=1
aii .
(j) If B and C are square matrices, then tr(BC ) = tr(CB ). (k) For a quadratic form xT Ax, we have xT Ax = tr(xT Ax) = tr(xxT A) = tr(AxxT ) (l) Determinant: The determinant of a square matrix A is denoted by |A| or det(A) and it is a numerical value computed from
m×n
(b) Transpose of A is matrix of n × m and denoted by AT . That is, AT = (aji )n×m . (c) Multiplication of Two Matrices: Am×n = (aij )m×n and Bn×p = (bij )n×p give matrix Cm×p = (cij )m×p where cij = n k=1 aik bkj . (d) Square Matrix: If the number of rows and number of columns of a matrix are equal, then it is called a square matrix (e.g. m = n). a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n A = An×n = . . . .. . . . . . . . an1 an2 . . . ann

数学实验-实验指导书

数学实验2013年2月实验1 matlab基本特性与基本运算【实验目的】了解Matlab基本特性与基本运算【实验要求】1、熟悉MATLAB 语言编程环境；2、熟悉MATLAB 语言命令；3、熟悉Matlab 基本运算命令【实验原理】MATLAB 是以复杂矩阵作为基本编程单元的一种程序设计语言。

它提供了各种矩阵的运算与操作，并有较强的绘图功能。

1.1 基本规则(1) 一般MATLAB 命令格式为[输出参数1，输出参数2，……]=（命令名）（输入参数1，输入参数2，……）输出参数用方括号，输入参数用圆括号如果输出参数只有一个可不使用括号。

(2) %后面的任意内容都将被忽略，而不作为命令执行，一般用于为代码加注释。

(3) 可用↑、↓键来重现已输入的数据或命令。

用←、→键来移动光标进行修改。

(4) 所有MATLAB 命令都用小写字母。

大写字母和小写字母分别表示不同的变量。

(5) 常用预定义变量，如pi 、Inf 、NaN 、ans(6) 矩阵的输入要一行一行的进行，每行各元素用空格或“，”分开，每行用“；”分开。

如⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=987654321A MATLAB 书写格式为A=[1 2 3 ；4 5 6 ；7 8 9] 在MATLABZ 中运行如下程序可得到A 矩阵 a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] a =1 2 3 4 5 6 7 8 9(7) 需要显示命令的计算结果时，则语句后面不加“；”号，否则要加“；”号。

运行下面两种格式可以看出它们的区别：a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]; a=1 2 3 不显示结果 4 5 6 7 8 9(8) 当输入语句过长需要换行时，应加上“…”后再回车，则可续行输入。

1.2 文件管理常用命令(1) 帮助（HELP）命令MATLAB有很多命令，因此很不容易记忆。

使用HELP命令可以得到有关命令的屏幕帮助信息。

MATH2065_Introduction to Partial Differential Equations_2014 Summer_t13

2 ∂2u 2 ∂ u = c ; ∂t2 ∂x2 u(x, 0) = f (x) , ∂u (x, 0) = 0 . ∂t
−∞ < x < ∞,
(a) Let U (ω, t) = F {u(x, t)}, that is, the Fourier transform of the solution u(x, t) with respect to x, while treating t as a parameter. By Fourier transforming the given PDE, show that ∂2U + c2 ω 2 U (ω, t) = 0 . ∂t2 (b) Obtain the fact that the general solution to the diﬀerential equation in part (a) is U (ω, t) = A(ω ) cos (cωt) + B (ω ) sin (cωt) , for some arbitrary functions A(ω ) and B (ω ). (d) Thereby, obtain that the solution to the PDE can be written as
(c) For choices of λ as given in (b), solve equation (3) to obtain the solutions √ c n2 π 2 − 1 Tn (t) = sin t ; n = 1, 2, 3, . . . L (d) Using the above parts, write down the form of the solution u(x, t) which satisﬁes the partial diﬀerential equation (1) along with the given homogeneous boundary and initial conditions. Your answer will depend on some number of yet to be determined constants. (e) Finally, utilise the non-zero initial condition to ﬁnd the constants in (d) in terms of the function f (x), thereby determining the complete solution to the given initial-boundary value problem. 3. In this problem, we solve a system of ordinary diﬀerential equations using two diﬀerent techniques adapted from our knowledge of solutions of ODEs. Consider the simultaneous ordinary diﬀerential equations dx = y + sin t , dt dy = x + 2 cos t , dt subject to the initial conditions x(0) = 0 and y (0) = 0. (a) Laplace transforms approach: Let X (s) and Y (s) be the Laplace transforms of x(t) and y (t) respectively. By taking Laplace transforms of each of the above equations, obtain two simultaneous equations for X (s) and Y (s). Solve the above simultaneous equations to get 3s X ( s) = 2 . (s + 1)(s2 − 1) Determine x(t) by inverting X (s). Thereby, ﬁnd y (t). (b) Second-order approach: Diﬀerentiate the ﬁrst equation, and substitute for dy/dt from the second, in order to obtain a second-order constant-coeﬃcient, non-homogeneous ODE for x(t). Solve this using the standard methods (homogeneous and particular solutions), and thereby obtain x(t). Thereafter, ﬁnd y (t) using any convenient method.

线性代数英文课件：ch1_1 Definition

Linear Algebra
Math. Dept., Wuhan University of Technology
Textbook：工程数学-线性代数,第五版，同济大学数学系编，高等教育出版社，2011 References:
➢线性代数（第7版），S.J.Leon，机械工业出版社，2007 （Linear Algebra With Applications） ➢经济数学：线性代数，吴传生等编，高等教育出
Math. Dept., Wuhan University of Technology
Linear Algebra History
➢Leibniz introduced the definition of determinant in 17th century。 (日本数学家关孝和Seki Kowa将其概念称为“行列式”)
Example 1.
2 -1
Evaluate
.
34
23
Example 2. Evaluate
.
-1 4
Example 3.
23
Evaluate
.
15
Math. Dept., Wuhan University of Technology
Sec.1 Determinants of Order 2 and 3
24 8 4 16 4
2 10 Example 5. Evaluate D3 1 1 4
3 2 5
Math. Dept., Wuhan University of Technology
3.Permutations &Number of Inversions
? How to generalize the definitions of 2×2 and 3×3 determinants to n×n determinants? Analyzing formula (1),we can get : (1) It’s the algebraic sum of six (which is exactly the

福师大2013-2014-2线性代数期考试卷A

福建师范大学（公共课）数计学院 2013 — 2014 学年第二学期考试期末考A 卷考生信息栏＿＿＿＿＿＿学院＿＿＿＿＿＿系＿＿＿＿＿＿专业＿＿＿＿＿＿年级姓名＿＿＿＿＿＿学号＿＿＿装订线专业：全校各专业年级： 2013级等课程名称: 线性代数任课教师：陈兰清、林惠玲试卷类别：开卷（）闭卷（√ ）考试用时： 120 分钟考试时间: 2014 年 6 月 27 日下午 2 点 30 分题号一 1-5 二 6-10 三总得分 11 12 13 14 15 得分考生须知 1. 答案一律写在答题纸上，否则无效。

2. 答题要写清题号，不必抄原题。

3. 考试结束，试卷与答题纸一并提交。

一．单项选择题：每小题3分，共15分. 请将答案写在答题纸上. 1. 设3阶矩阵A 的特征值分别为2, 0, 0, 则A E -= （）. (A) 1； (B) -1； (C) 0； (D) 2 . 2. 设矩阵123(,,)A a a a =经过初等行变换可化为112011⎛⎫ ⎪⎝⎭，则必有( ). (A) 3122a a a =+； (B) 312a a a =+； (C) 123,,a a a 线性无关； (D) 123,,a a a 线性相关，但无法给出其关系.考生信息栏＿＿＿＿＿＿学院＿＿＿＿＿＿系＿＿＿＿＿＿专业＿＿＿＿＿＿年级姓名＿＿＿＿＿＿学号＿＿＿＿＿装订线。

线性代数实践_matlab(1)分解

用计算机替代计算器的意义
• 发达国家在用计算机进行线性代数教育方面的这种努力已经进行了十多年，而我们毫无响应，关起门来热衷于对手工(计算器)计算的教学方法 ‘评优、评奖、评精品’。这有点像洋枪洋炮时代，我们却还在用大刀长矛选武状元。 • 我国“数学机械化”的带头人，获得首届国家最高科学技术奖的数学家吴文俊院士语重心长地指出： “我国在体力劳动的机械化革命中曾经掉队，造成现在的落后状态。在当前新的一场脑力劳动的机械化革命中，我们不能重蹈覆辙。
1。不由感性到理性，图是从几何走向代数的桥，没有图，学生怎么能建立好概念？ 2。四阶以上的线性代数问题，没有计算机是没法解的，学这门课是为了用吗？为什么不教学生用计算机解题？ 3。不联系工程实际。怎么叫工程数学？ 4。几十年一贯制，没有发展更新的热情，所以序言里写不出东西。
必须改革的原由之二
MATLAB语言的特点
1．起点高（１）每个变量代表一个矩阵，每个矩阵，可以有n×m个元素。（２）每个元素都看作复数; （３）所有的运算都对矩阵和复数有效。
MATLAB语言的特点
2．人机界面适合科技人员
(1) 语言规则与笔算式相似：易写易读。 (2) 矩阵行数列数无需定义： (3) 键入算式立即得结果，无需编译：有错误也会立即作出反应。因为MATLAB是以解释方式工作的。
左除(\) 、右除(/) 、指数(^) 、共軛转置(‘)‘；’，不显示；若为逗号‘，’或直接回车，显示运算结果。
三。复数
• 虚数符号MATLAB启动时定为i,j，可以不用乘号，连写在数字后面。 • 如果用户在程序中另外給i,j赋值，则它们的虚数意义就失效。 • conj(x)表示共軛，即把x的虚部反号。 • ‘ 是共軛转置运算符，对实矩阵把行号与列号交换，对复矩阵除行列交换外，还要把矩阵元素取共軛。

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The University of Sydney
School of Mathematics and Statistics
Tutorial9(Week10)
MATH2061:Vector Calculus Semester1 Preparatory question(attempt before the tutorial)
1.Let I=
R xy dxdy where R is the region in the xy plane bounded by y=x2,
x=0,y=4and where x≥0.
(a)Sketch the region R.
(b)Evaluate I by integrating with respect to yﬁrst.
(c)Evaluate I by integrating with respect to xﬁrst.
Tutorial questions
You should form into groups of4–5people and work on these problems together.Your tutor will award you a participation mark for this week’s tutorial once you have made a signiﬁcant attempt on the questions in the tutorial.You will not be automatically awarded a participation mark for attending the tutorial.
2.Sketch the region of integration and evaluate
1
0 2x
x
e x+y dy dx.
3.Describe the region R,and use polar co-ordinates to evaluate the following:
R
(x2+y2)1/2dA,R:x2+y2≤4.
4.The sphere x2+y2+z2=25has a hole bored through it by the cylinder x2+y2=4.
Find the volume of that part of the sphere that is removed.
5.Evaluate
C (x2−xy3)dx+(y2−2xy)dy,where C is the square with vertices
at(0,0),(2,0),(2,2),(0,2)and the contour is traversed in the counterclockwise direction.
6.Evaluate
C F·d r where F=(tan−1x+y3)i−(3x2+sin y)j,and C is the curve
made up of the straight line segments from(0,0)to(2,0)to(2,1)to(1,1)and back to(0,0),taken once in an anticlockwise direction.
Copyright c 2013The University of Sydney1
Extra questions for outside the tutorial
7.Describe the region R,and use polar co-ordinates to evaluate the following:
R
xy2dA,R:0≤x≤2,0≤y≤(4−x2)1/2.
8.Evaluate
R
y2e x2+y2dxdy
where R is the region deﬁned by x2+y2≤9,y≥0,x≤0.
9.Find the volume under the surface z=x+y2and above the set R,where R is the
rectangle in the xy-plane with corners(1,1),(1,3),(2,3),(2,1).
10.Find the volume under the surface z=x+y+2and above the set R,where R is
the triangle in the xy-plane with corners(0,0),(2,0),(0,4).
Answer to preparatory question
1.(b)and(c)32
3
2。