数学实验作业-线性代数相关运算及数值方法计算定积分
11【实验十】 线性代数中的有关运算
114【实验十】 线性代数中的有关运算【实验目的】通过实验，学习在Mathematica 系统下建造表的基本方法；掌握行列式、矩阵的基本运算；了解线性方程组的解法以及建立和求解线性规划模型的一般方法. 【实验准备】一、表(List )的建构方法 1.表的概念表是存贮多个数、变量或算式等对象的一种数据结构，其数据类型是List .一个表用一对大括号表示，它的成员在括号内用逗号隔开，同一个表的成员可以有不同的数据类型.表可以用来表示各种对象，如数据、规则、函数组、方程组、多维变量、集合、向量、矩阵，…等等.表本身没有特定的含义，根据实际问题的实际背景，可以对表作出各种不同的解释. 例1 表的使用实例81,2< 数据表81,2 x,Sin@D < 函数组 8x ,a < 变量x 及其变化范围 8x ®1,y< 变量替换规则 @8a 1,a2,a3<,8b1,b2,<D 矩阵 8a ,b<集合 2.表的结构 ● 表的成员称为元素.● 表中元素的个数称为表的长度（Length ）.●若表中的元素还是表，称其为子表.表中的元素的操作命令（设t 是表）：}}},cos ,2{,{sin },,2{,3{a y x x t 问(1) t @1D ,t @2,1D ,t @3,2,D 分别表示表中的什么成份； (2)以表中的第三个子表组成一个新表. 解 In[1]:=t =83,82,x <,8S in @x D ,82,Cos @xD <<定义表t115Out[1]:= 83,82,x <,8S in @x D ,82,Cos @x D <<In[2]:= t@DOut[2]:= 表中的第一个元素In[3]:= t @2,D Out[3]:= 第二个子表的第一个元素In[4]:= t@3,2,D Out[4]:= 第三个子表中的第二个子表中的第一个元素In[5]:= Part@t D Out[5]:=8S in @x D ,82,Cos@D <3.表的建构在表的建构方法中，我们介绍最主要的两种建表函数：通用表的生成函数Table 与整数表的生成函数Range .其调用格式如下：例3 (1)构造一个1到10的立方表，步长取2；(2)构造一个1到10的整数表，步长取2. 解 (1)In[1]:= Table x ^3, x ,1,10, Out[1]:= 1,27,125,343,(2)In[2]:= Range @1,10D Out[2]:= 81,3,5,7<4.表的相互运算以下命令可以进行表的运算，生成新表（原来的表不变）.例4 已知表}4,3,2,1{=a 与表}6,5,4,3{=b ，试完成下列操作：116(1) 取表a 与表b 的并集组成一个表； (2) 取表a 与表b 中的交集组成一个表； (3) 在表a 中去掉与表b 相同的元素； (4) 将表a 中的元素按2个一组生成子表； (5) 展开(4)中生成的子表. 解 In[1]:=a =81,2,3,4<;b =83,4,5,< (1)In[2]:= Union @aD Out[2]:= 81,2,3,4,5< (2)In[3]:= Intersection @a D Out[3]:= 3< (3)In[4]:= Complement @aD Out[4]:= 1< (4)In[5]:= Partition@a D Out[5]:= 81,2<,83,< (5)In[6]:=Flatte@D Out[6]:=81,2,3<二、矩阵在Mathematica 中矩阵就是一个表，下面讨论矩阵的输入与输出以及有关矩阵的运算. 1.矩阵的输入(1)由模板直接输入矩阵基本输入模板中有输入二阶方阵的模板，单击该模板则输入一个空白的二阶方阵.按Ctrl+“，”使矩阵增加一列，按Ctrl+Ente r 使矩阵增加一行.如果矩阵不大，此法较方便.(2)由自制摸板输入矩阵 单击主菜单的input 项，弹出子菜单.选中子菜单中的Create T abel/Matrix/Palette （建立表、矩阵、模板）选项出现对话框.在对话框中，选中Make : Matrix ，键入行数和列数即可在窗口生成一个可编辑的矩阵模板.(3)由数表生成矩阵由于矩阵是一个表，因而表的一般操作对于矩阵是适用的，其格式如下：例5 (1)已知j i ,的关系为j i -3，生成一个43⨯矩阵；(2) 生成一个24⨯a 矩阵；(3)生成一个以}4,3,2,1{为对角元素的矩阵.117解 (1)In[1]:= Table A i 3-j,8i ,3<,8j ,<E Out[1]:=80,-1,-2,-3<,87,6,5,4<,826,25,24,< (2)In[2]:=Array @a ,84,<D Out[2]:= 8a @1,1D ,a @1,2D <,8a @2,1D ,a @2,D < 8a @3,1D ,a @3,2D <,8a @4,1D ,a @4,D < (3)In[3]:= DiagonalMatrix @81,2,3,<D Out[3]:= 81,0,0,0<,80,2,0,0<,80,0,3,0<,80,0,0,<2.矩阵的输出不管用何种方法输入矩阵，矩阵总是以表的形式输出.这既违背常规，又难以阅读，因 此，Mathematica 提供了以矩阵形式输出的函数MatrixForm ，其使用格式如下例6 将例5中(1)生成的矩阵以矩阵的格式输出解 In[1]:=MatrixForm A T able A i 3-j,8i ,3<,8j,<E Out[1]:=i k y {3.矩阵的运算下面介绍在Mathematica 系统下计算行列式、矩阵的数乘、同型矩阵的相加减、矩阵的 乘法、逆矩阵和转置矩阵所使用的函数.其格式如下： 例7 已知数表}}2,1,1{},6,4,2{},3,1,1{{1---=m ；}}1,3,2{},5,1,1{},1,2,2{{2---=m求(1)212m m +； (2)1}3,2,1{m ⋅ ；(3)2m 的转置矩阵 ；(4)1m 的逆矩阵 ；并将上述计算以矩阵格式输出.解In[1]:= MatrixForm @m1=81,-1,3<,82,-4,6<,8-1,1,<D Out[1]:=i k y {118In[2]:= MatrixForm @m2=82,-2,1<,81,-1,5<,8-2,3,<D Out[2]:=i k y {(1)In[3]:=2 m1+m2MatrixOut[3]:=i y (2)In[4]:=Out[4]:=k -{(3)In[5]:=Transpose m2MatrixOut[5]:=i k y {(4)In[6]:=Inverse @m 1DMatrixOut[6]:=i y 三、矩阵的秩与线性方程组 1.求矩阵的秩由于矩阵的秩等于将该矩阵化为简化阶梯形矩阵的非零行的行数，在Mathematica 系统下将矩阵化为简化阶梯型矩阵的命令是duceRe Row，因此，利用duceRe Row命令将矩阵化为简化阶梯型矩阵就可以直接求出矩阵的秩.例8 求矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=544742412113110410442A的秩.解 (1)利用模板输入矩阵119In[1]:=(2)求简化阶梯形矩阵In[2]:=RowReduce @AD MatrixOut[2]:=i y A 的秩是3，即3=)(A r . 2.解线性方程组解线性方程组的方法是：利用基本输入模板直接输入增广矩阵，然后将其化成简化阶梯形矩阵，得到线性方程组的解.例9 解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=+06313492213231x x x x x x .解 (1)利用模板直接输入增广矩阵In[1]:=(2) 用duceRe Row 命令将其化成简化阶梯形矩阵并以矩阵的格式输出In[2]:=Out[2]:=解出该方程组的解是291-=x ，22=x ，193=x .120四、线性规划问题线性规划是现代科学管理的一种数学方法，它主要研究在一定的约束条件下，如何使目标最优化.它主要研究两类问题：一是在一定的资源条件下，如何合理安排，用最少的资源去完成某一任务；二是在已有的一定数量的资源条件下，如何最多的完成任务.这种问题的数学模型称为线性规划模型，用数学语言描述如下：nn x c x c x c Z +++= 2211min(max)(st .)：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥=≤+++≥=≤+++≥=≤+++0,,,2122112222212*********n m n mn m m n n n n x x x b x a xa x ab x a x a x a b x a x a x a），或（或），或（或），或（或 .说明：（1）在解决实际问题时，用一组未知数(nx x x ,,,21)表示某一方案；这组未知数的一组定值就代表一个具体的方案.通常要求这些未知数取值是非负的.（2）存在一定的限制条件(称为约束条件)，这些限制条件都可用一组线性等式或线性不等式来表示.（3）都有一个目标要求，并且这个目标可表示为一组未知数的线性函数（即目标函数）.按研究问题的不同，要求目标函数实现最小化或最大化.Mathematica 系统中的内部命令dMaxConstraine和dMinConstraine就是用来求目标函数在约束条件下并且假设所有变量都大于、等于零时的最大值和最小值.例10 求函数2y x Z+=在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤+≤+1231233056y x y x y x 下的最大值.解 In[1]:=ConstrainedMax@H x +yL86 x +5 y £30,3 x +y £12,x +3 y £12<,8x ,<D Out[1]:= :36,:x ®30,y ®4>当1330=x，1342=y时，函数Z 取得最大值1336.注：如果函数在限制条件下是无穷的，Mathematica 会提示一个警告信息.并输出无法求出最大(小)值的结果.例11 求函数yx Z 33-=在约束条件⎩⎨⎧≥+≤+-20y x y x 下的最大值.解 In[1]:=ConstrainedMax 3x 3y, x y 0,x y 2 , x ,ConstrainedMax::nbdd :Specified domain appears unbounOut[1]:= , x Indeterminate,y Indetermina121例12 食谱问题：某公司饲养实验用动物以供出售.已知这些动物的生长对饲料中的三种营养成份：蛋白质、矿物质、维生素特别敏感，每个动物每天至少需要蛋白质g 70，矿物质g 3、维生素mg 10，该公司能买到5种不同的饲料，每种饲料kg 1所含营养成分如表1所示，每种饲料kg 1的成本如表2所示.表1 五种饲料单位重量(kg 1)所含营养成分表2 五种饲料单位重量(kg 1)的成本求既能满足动物生长需要，又使总成本最低的饲料配方. (1)问题分析与建立模型设i x )5,4,3,2,1(=i 表示混合饲料中所含的第i 种饲料的数量，且变量i x 非负.由于提供的蛋白质总数必须满足每天的最低需求量g 70，故应有7080.160.000.100.230.054321≥++++x x x x x 同理，考虑矿物质和维生素的需要，应有305.020.002.005.010.054321≥++++x x x x x1008.020.002.010.005.054321≥++++x x x x x混合饲料成本的目标函数Z 为543215.03.04.07.02.0x x x x x Z ++++= 由于希望调配出的混合饲料成本最低，所以该饲料的配比问题是一个线性规划模型.543215.03.04.07.02.0min x x x x x Z ++++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥≥++++≥++++≥++++5,,2,1,01008.020.002.010.005.0305.020.002.005.010.07080.160.000.100.230.0543215432154321 i x x x x x x x x x x x x x x x x i(2)计算过程In[1]:=ConstrainedMin @0.2 x1+0.7 x2+0.4 x3+0.3 x4+0.580.3 x1+2.0 x2+1.0 x3+0.6 x4+1.8 x5³ 0.1 x1+0.05 x2+0.02 x3+0.2 x4+0.05 x50.05 x1+0.1 x2+0.02 x3+0.2 x4+0.08 x5³<8x 1,x2,x3,x4,<D122Out[1]:= 824.7436,8x 1®0,x2®0,x3®0,x4®39.7436,x5®25.6<(3)结果分析通过上面计算可知：该公司可分别购买第四种饲料)(74.39kg 和第五种饲料)(64.25kg 配成的混合饲料，所耗成本74.24(元)为满足营养条件下的最低成本.这类线性规划模型还可以描述诸如最大利润、最小成本运输、合理分派任务等问题.【实验任务】一、求行列式3985652242104321---=A 的值.二、求下列矩阵的逆矩阵和转置矩阵：1.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=604313136A ； 2. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=6211253143A .三、计算：1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--013321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---113234052；2.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--43043202⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---15402063；3. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21121⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--20123411 +⎥⎦⎤⎢⎣⎡-112301⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--20123411.四、求下列各矩阵的秩：1. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---1211451144213011；2. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡14312333132112220110111102110111.123五、解下列线性方程组：1. ⎪⎩⎪⎨⎧=+---=-+-=-+-422312320432143214321x x x x x x x x x x x x ；2. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+-+-=+-+=-+-2871540347253212534321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .六、某工厂生产1A 、2A 两种产品.已知制造产品1A 1万瓶要用原料1B 5kg ，原料2B 300kg ，原料3B 12kg ，可得利润8000元；制造产品2A 1万瓶要用原料1B 3kg ，原料2B 80kg ，原料3B 4kg ，可得利润3000元.该厂现有原料1B 500kg ，2B 20000kg ，3B 900kg .问：在现有条件下，生产1A 、2A 各多少，才能使该厂的利润最大.七、消费者甲要购买营养品，要求其中所含维生素C A 、分别不少于12单位和20单位，现有五种营养品可供选购，每种营养品所含维生素C A 、的含量，以及每种营养品的单价见下表，现问甲购买这五种营养品各多少，才能既满足了必要的维生素又花钱最少？八、设有两个砖厂1A 、2A .其产量为23万块和27万块.它们生产的砖供应321B B B 、、三个工地.其需要量分别是17万块、18万块和15万块.自产地到各工地的运价见下表.问：应如何调运，才能使总运费最省.。
定积分运算法则
• 通过定积分求解经济学中的边际产量、边际消费等边际问题
求解经济学中的总量问题
• 通过定积分求解经济学中的总产量、总消费等总量问题
求解经济学中的平均问题
• 通过定积分求解经济学中的平均产量、平均消费等平均问题
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06
定积分的数值计算方法
数值积分的基本原理与方法
数值积分的定义
数值积分的方法
• 通过数值方法近似求解定积分的值
• 辛普森法
• 龙贝格法
• 高斯积分法
数值积分的误差分析与控制
误差分析
误差控制
• 分析数值积分方法的误差来源
• 选择合适的数值积分方法
• 估计数值积分方法的误差范围
• 控制积分区间的长度
求解物体的速度
• 通过定积分求解物体在变力作用下的速度
求解物体的加速度
• 通过定积分求解物体在变力作用下的加速度
定积分在工程学中的应用
求解工程问题的面积
求解工程问题的体积
求解工程问题的质心位置
• 通过定积分求解曲线围成的面积
• 通过定积分求解曲面围成的体积
• 通过定积分求解物体的质心位置
定积分在经济学中的应用
积分问题
换元积分法的原理
• 利用换元公式将原积分变量变换为新变量，从而简化积分过程
换元积分法的常见类型与方法
01
幂函数换元法
• 将复杂的幂函数积分问题转化为简单的指数函数积分问
题
02
三角函数换元法
• 将复杂的三角函数积分问题转化为简单的指数函数积分
问题
03
数值计算方法实验报告
数值计算方法实验报告一、实验介绍本次实验是关于数值计算方法的实验，旨在通过计算机模拟的方法，实现对于数值计算方法的掌握。
本次实验主要涉及到的内容包括数值微积分、线性方程组的求解、插值与拟合、常微分方程的数值解等。
二、实验内容1. 数值微积分数值微积分是通过计算机模拟的方法，实现对于微积分中的积分运算的近似求解。
本次实验中，我们将会使用梯形公式和辛普森公式对于一定区间上的函数进行积分求解，并比较不同公式的计算误差。
2. 线性方程组的求解线性方程组求解是数值计算领域中的重要内容。
本次实验中，我们将会使用高斯消元法、LU分解法等方法对于给定的线性方程组进行求解，并通过比较不同方法的计算效率和精度，进一步了解不同方法的优缺点。
3. 插值与拟合插值与拟合是数值计算中的另一个重要内容。
本次实验中，我们将会使用拉格朗日插值法和牛顿插值法对于给定的数据进行插值求解，并使用最小二乘法对于给定的函数进行拟合求解。
4. 常微分方程的数值解常微分方程的数值解是数值计算中的难点之一。
本次实验中，我们将会使用欧拉法和龙格-库塔法等方法对于给定的常微分方程进行数值解的求解，并比较不同方法的计算精度和效率。
三、实验结果通过本次实验，我们进一步加深了对于数值计算方法的理解和掌握。
在数值微积分方面，我们发现梯形公式和辛普森公式都能够有效地求解积分，但是辛普森公式的计算精度更高。
在线性方程组求解方面，我们发现LU分解法相对于高斯消元法具有更高的计算效率和更好的数值精度。
在插值与拟合方面，我们发现拉格朗日插值法和牛顿插值法都能够有效地进行插值求解，而最小二乘法则可以更好地进行函数拟合求解。
在常微分方程的数值解方面，我们发现欧拉法和龙格-库塔法都能够有效地进行数值解的求解，但是龙格-库塔法的数值精度更高。
四、实验总结本次实验通过对于数值计算方法的模拟实现，进一步加深了我们对于数值计算方法的理解和掌握。
在实验过程中，我们了解了数值微积分、线性方程组的求解、插值与拟合、常微分方程的数值解等多个方面的内容，在实践中进一步明确了不同方法的特点和优缺点，并可以通过比较不同方法的计算效率和数值精度来选择合适的数值计算方法。
线性代数中的数值计算
正则化方法
L1正则化
在目标函数中加入L1范数作为惩罚项，实现稀疏解的 选择。
L2正则化
在目标函数中加入L2范数作为惩罚项，防止过拟合现 象的发生。
弹性网正则化
结合L1和L2正则化的优点，同时实现稀疏解和防止过 拟合的目的。
05
非线性方程组的数值解法
牛顿法与拟牛顿法
牛顿法
通过迭代的方式求解非线性方程组的 根，每一步迭代都需要计算雅可比矩 阵（函数的一阶导数矩阵）和海森矩 阵（函数的二阶导数矩阵）。
有效数字与精度
有效数字表示一个数中可靠数字 的位数，精度则反映了计算结果 的准确性。在数值计算中，需要 关注有效数字的保留和精度的控 制。
误差传播
在复杂的数值计算中，误差可能 会逐步累积和传播，导致最终结 果的失真。因此，需要分析误差 传播规律，并采取相应的措施来 减小误差。
数值稳定性
01
算法稳定性
线性代数中的数值计算
• 数值计算基础 • 线性方程组求解 • 矩阵特征值与特征向量计算 • 线性最小二乘问题 • 非线性方程组的数值解法 • 数值计算中的优化问题
01
数值计算基础
误差与精度
绝对误差与相对误差
描述计算结果与真实值之间的差 异程度，其中绝对误差是计算值 与真实值之差的绝对值，相对误 差是绝对误差与真实值之比。
拟牛顿法
在牛顿法的基础上，通过近似计算海 森矩阵或其逆矩阵，从而减少计算量 ，提高求解效率。常见的拟牛顿法有 BFGS方法和DFP方法等。
梯度下降法与共轭梯度法
梯度下降法
沿着目标函数的负梯度方向进行迭代，逐步逼近函数的极小值点。该方法适用 于连续可微的凸函数优化问题。
共轭梯度法
结合梯度下降法和共轭方向法的思想，利用历史梯度信息构造共轭方向，从而 加速收敛速度。共轭梯度法适用于大规模非线性优化问题。
线性代数计算方法
（2）回代过程：
(0) (0) (0) a11 x1 b1(0) a12 ... a1 第3章 线性代数计算方法 n (1) (1) (1) x a ... a 22 2n 2 b2 . . . . ... . . . . . ( n 1) ( n 1) ann xn xi (bi
k i 1
xn1 (bn1 an1n xn ) / an1n1
aik xk ) / aii , i n, n 1, ,1
n
第3章
线性代数计算方法
《 计 算 方 法 》
a11 a12 0 a22 0 0 0 0
《 计 算 方 法 》
( n 1) ( n 1) xn bn / ann
(i 1) (i 1) aii xi aii 1 xi 1
( i 1) ain xn
(i 1) ain xn bi(i1)
( i 1) bi(i 1) aii 1 xi 1 xi ( i 1) aii
105 x1 x2 0.6 99999 x2 59999
x1=105(0.6-0.6000)=0
而方程组的解应为
x1=0.4000 x2=0.6000
第3章
线性代数计算方法
显然用上述方法求出的解 x1 与方程组的实际解相差 很大。若改变两个方程的顺序,即 x1+x2=1 10-5 x1+x2=0.6
b1 b 2 ... bn 1 b n
定积分计算方法
定积分计算方法定积分是微积分中的重要概念，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。
在本文中，我们将介绍定积分的计算方法，包括定积分的定义、基本性质和常见的计算技巧。
首先，我们来回顾一下定积分的定义。
对于函数f(x)，在区间[a, b]上的定积分表示为：∫[a, b] f(x)dx。
其中，f(x)是被积函数，dx表示自变量x的微元，∫表示积分符号，[a, b]表示积分的区间。
定积分的几何意义是曲线y=f(x)与x轴以及直线x=a、x=b所围成的曲边梯形的面积。
接下来，我们将介绍定积分的基本性质。
定积分具有线性性质，即对于任意实数k，函数f(x)和g(x)，有以下性质成立：1. ∫[a, b] (kf(x) + g(x))dx = k∫[a, b] f(x)dx + ∫[a, b] g(x)dx。
这意味着我们可以将定积分中的常数因子提出来，并且可以将多个函数的和分别积分后再相加。
此外，定积分还具有保号性质，即如果在区间[a, b]上，f(x)≥0，则有∫[a, b] f(x)dx ≥ 0。
这一性质在物理学中有着重要的应用，可以用来表示物体的质量、能量等。
在计算定积分时，我们常常会遇到一些常见的计算技巧。
其中，换元积分法是常用的一种技巧。
当被积函数较为复杂时，我们可以通过变量代换的方法，将原积分转化为一个更简单的积分，然后再进行计算。
另外，分部积分法也是常用的计算技巧之一。
分部积分法是定积分的一个重要计算技巧，它可以将一个复杂的积分转化为两个简单的积分的差，从而简化计算过程。
除此之外，定积分的计算还可以通过数值积分法进行。
数值积分法是利用数值计算的方法来逼近定积分的值，通过将积分区间进行等分，然后利用数值计算方法计算每个小区间上的函数值，最后将这些值相加得到定积分的近似值。
总之，定积分是微积分中的重要概念，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。
通过本文的介绍，我们对定积分的定义、基本性质和常见的计算技巧有了更深入的了解。
线性代数数学实验(计)
解： 矩阵A 矩阵A的增广矩阵 >> clear >> B=[1 –1 2 1 0 0;0 1 –1 0 1 0;2 1 0 0 0 1]; >> format rat 以有理格式输出 给出矩阵B 给出矩阵B的行最简形 >> C=rref (B) C= 1 0 0 1 0 0
0 0 1
-1 -2 1 2 4 -1 2 3 -1
2、数与矩阵相乘
数与矩阵相乘，是数与矩阵中的每个元素相乘． 数与矩阵相乘，是数与矩阵中的每个元素相乘．
1 0 1 A = 2 1 1 与5的乘积 Example4 求矩阵 的乘积 1 2 1
解：
>> clear >> A=[1 0 1;2 1 1;1 2 1]; >> B=5*A >> C=A*5
运行结果： 运行结果： B= 5 10 0 5 5 5 5 C= 5 10 0 5 5 5 5
5 10
5 10
程序说明： 的值相同． 程序说明：5*A与A*5的值相同． 与 的值相同
3、矩阵与矩阵相乘
两矩阵相乘时，第一个矩阵（左矩阵） 两矩阵相乘时，第一个矩阵（左矩阵）的列数 必须等于第二个矩阵（右矩阵）的行数． 必须等于第二个矩阵（右矩阵）的行数． Example5 解： >> clear >> A=[1 2 3;2 1 2;3 3 1]; >> B=[3 2 4;2 5 3;2 3 1]; >> C=A*B , D=B*A
Example12 求解方程组 解
x1 − x2 + x3 − x4 = 1 −x1 + x2 + x3 − x4 = 1 2x − 2x − x + x = −1 2 3 4 1
定积分的积分上下限运算法则
定积分的积分上下限运算法则在数学中，定积分是一种求曲线下面面积的运算方法。
而积分上下限运算法则指的是对定积分中的上下限进行操作，从而改变积分的结果。
本文将介绍一些常用的积分上下限运算法则，并通过例题来加深理解。
一、积分上下限运算法则1. 线性运算法则线性运算法则指的是对于定积分而言，积分运算在上下限处也是线性的。
具体来说，设$f(x)$和$g(x)$在区间$[a,b]$上连续，$c$为任意实数，则有以下等式成立：$$\int_{a}^{b} (f(x)+g(x))\,dx = \int_{a}^{b} f(x)\,dx + \int_{a}^{b}g(x)\,dx$$$$\int_{a}^{b} cf(x)\,dx = c \int_{a}^{b} f(x)\,dx$$这个法则意味着我们可以将积分问题拆分为多个简单的积分，从而更容易求解。
2. 上下限的交换上下限的交换法则指的是对定积分中的上下限进行交换，不改变积分的结果。
具体来说，设$f(x)$在$[a,b]$上连续，则有以下等式成立：$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx = -\int_{b}^{a} f(x)\,dx$$这个法则告诉我们，定积分的结果与积分上下限的顺序无关，只与积分函数的性质有关。
3. 上下限的分割如果我们要对一个函数$f(x)$在区间$[a,c]$上进行积分，可以先将区间$[a,c]$分割成两个子区间$[a,b]$和$[b,c]$，然后对每个子区间进行积分，最后将结果相加。
具体来说，设$f(x)$在$[a,c]$上连续，则有以下等式成立：$$\int_{a}^{c} f(x)\,dx = \int_{a}^{b} f(x)\,dx + \int_{b}^{c} f(x)\,dx$$这个法则可以帮助我们简化积分的计算，尤其是当被积函数在某个点处不连续时。
二、例题解析为了更好地理解积分上下限运算法则，我们通过几个例题来进行解析。
线性代数实验报告汇总-知识归纳整理
数学实验报告题目第一次实验题目一、 实验目的1．熟悉MATLAB 的矩阵初等运算；2．掌握求矩阵的秩、逆、化最简阶梯形的命令； 3．会用MABLAB 求解线性方程组二、 问题求解和程序设计流程1． 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=351503224A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=112302431B ，在MATLAB 命令窗口中建立A 、B矩阵并对其举行以下操作：(1) 计算矩阵A 的行列式的值det()?A = (2) 分别计算下列各式：B A -2 、 B A *和B A *.、 1-AB 、 B A 1-、 2A 、 T A解：（1） 编写程序如下：A=[4 -2 2;-3 0 5;1 5 3];B=[1 3 4;-2 0 -3;2 -1 1]; a=det(A) 运行结果： a = -158（2）编写程序如下： C=2*A-BD=A*B E=A.*B F=A/BG=A\B H=A*A K=A'运行结果：C =7 -7 0 -4 0 13知识归纳整理求知若饥，虚心若愚。
线性代数实验报告0 11 5D =12 10 247 -14 -7-3 0 -8E =4 -6 86 0 -152 -5 3F =0 0 2.0000-2.7143 -8.0000 -8.14292.42863.0000 2.2857G =0.4873 0.4114 1.00000.3671 -0.4304 0-0.1076 0.2468 0H =24 2 4-7 31 9-8 13 36K =4 -3 1-2 0 52 5 32．在MATLAB中分别利用矩阵的初等变换及函数rank、函数inv求下列矩阵的秩：线性代数实验报告(1) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=4211104532361A 求 Rank(A)=? (2) 3501120010201202B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦求?1=-B 解：（1）编写程如下：format ratA=[1 -6 3 2;3 -5 4 0;-1 -11 2 4]; rref(A) 运行结果： ans =1 0 0 -8/5 0 1 0 0 0 0 1 6/5 由A 经初等变换后得到的行最简型可知：A 的秩为3。
实验09数值微积分与方程数值解（第6章）
实验09数值微积分与方程数值解（第6章）实验09 数值微积分与方程数值求解（第6章 MATLAB 数值计算）一、实验目的1. 掌握求数值导数和数值积分的方法。
2. 掌握代数方程数值求解的方法。
3. 掌握常微分方程数值求解的方法。
二、实验内容1. 求函数在指定点的数值导数232()123,1,2,3026x x x f x x x x x==程序及运行结果：2. 用数值方法求定积分(1) 22210cos 4sin(2)1I t t dt π=++?的近似值。
程序及运行结果：《数学软件》课内实验王平(2) 2221I dx xπ=+?程序及运行结果：3. 分别用3种不同的数值方法解线性方程组6525494133422139211x y z u x y z u x y z u x y u +-+=-??-+-=?++-=??-+=? 程序及运行结果：4. 求非齐次线性方程组的通解1234123412342736352249472x x x x x x x x x x x x +++=??+++=??+++=?5. 求代数方程的数值解(1) 3x +sin x -e x =0在x 0=1.5附近的根。
程序及运行结果（提示：要用教材中的函数程序line_solution ）：(2) 在给定的初值x 0=1，y 0=1，z 0=1下，求方程组的数值解。
23sin ln 70321050y x y z x z x y z ?++-=?+-+=??++-=?6. 求函数在指定区间的极值(1) 3cos log ()xx x x xf x e ++=在(0,1)内的最小值。
(2) 33212112122(,)2410f x x x x x x x x =+-+在[0,0]附近的最小值点和最小值。
7. 求微分方程的数值解，并绘制解的曲线2250(0)0'(0)0xd y dyy dx dx y y ?-+==??=程序及运行结果（注意：参数中不能取0，用足够小的正数代替）：令y 2=y,y 1=y '，将二阶方程转化为一阶方程组：'112'211251(0)0,(0)0y y y x x y y y y ?=-??=??==??8. 求微分方程组的数值解，并绘制解的曲线123213312123'''0.51(0)0,(0)1,(0)1y y y y y y y y y y y y =??=-??=-??===?程序及运行结果：三、实验提示四、教程：第6章 MATLAB 数值计算（2/2）6.2 数值微积分 p155 6.2.1 数值微分1. 数值差分与差商对任意函数f(x)，假设h>0。