有限元基础(第二讲)
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有限元课件第2章-单元分析精选全文完整版
a1
1 2A
ui uj
xi xj
yi yj
um xm ym
1
a2
1 2A
1
ui uj
yi yj
1 um ym
（2-14）
1
a3
1 2A
1
xi xj
ui uj
1 xm um
式中， A为三角形单元的面积，有
1 A 11
2
xi xj
yi yj
（2-15）
1 xm ym
y
m（7）
i（2）
j（1）
x
特别指出：为使求得面积的值为正值，本单元节点号
（2-16）
1 2A
[(ai
bi
x
ci
y)
i
(a
j
b
j
x
c
j
y)
j
(am
bm
x
cm
y)
m
]
令
Ni
1 2A
(ai
bi x ci y)
(i, j, m)
（2-18）
位移模式（2-16）可以简写为
u Niui N ju j Nmum Ni i N j j Nm m （2-19）
式（2-19）中的Ni、Nj、Nm是坐标的函数，反应 了单元的位移形态，称为单元位移函数的形函数。数
Ni 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
u v
j j
缩写为
um
vm
{ f } [N ]{ } （2-20）
[N]为形函数矩阵，进一步写成分块形式：
[N ] [[ Ni ] [N j ] [Nm ]]
有限元第2讲：加权余量法
x
u x 1 x a1
R1x x a1 2 x x2
有限单元法
崔向阳
18
例题解析
子域法(Sub-domain Method)
考虑两项近似解：
u x1 x a1 x2 1 x a2
将整个问题域分为两个子域，取： R2x x a1 2 x x2 a2 2 6x x2 x3
边界欲求解问题问题域在问题域内对于一个问题可以归结为在一定的边界条件或动力问题的初始条件下求解微分方程的解这些微分方程为问题的控制方程微分算子与未知函数u无关的已知函数域值待求的未知函数有限单元法崔向阳边界欲求解问题问题域在问题域内
湖南大学 机械与运载工程学院
Hunan University
College of Mechanical & Vehicle Engineering
考虑一项近似解：
取x=1/2作为配点，得到：
R
1 2
1 2
-
7 4
a1
0
解得： a1 2 / 7
可以得一项近似解为：
u1
2 7
x
1
x
u x 1 x a1
R1x x a1 2 x x2
考虑两项近似解：
取x=1/3, 2/3作为配点，得到：
R
1 3
1 3
- 16 9
a1
2 27
有限单元法
崔向阳
17
例题解析
子域法(Sub-domain Method)
考虑一项近似解：
取整个问题域作为子域，即：
W1 1, 0 x 1
余量加权的积分为零
1 0
R1
x
dx
1 0
x
a1
_ANSYS_Workbench_15.0_有限元分析培训(第二讲)
B
偏微分方程法
1974年，J. F. Thompson 椭圆型方程
Laplace
网格线光滑 可以处理复杂的边界线
Poisson
控制正交性
Thomas & Middlecoff
基本几何形状的网格画法
优化网格质量：
少+饱满
钱币原理
面网格到体网格的几种生成方法
ANSYS Workbench 培训
1．协同访真、项目管理
集设计、仿真、优化、网格变形等功能于—体，对各种数据进行项目协同管理。
2．双向的参数传输功能
支持加与眺间的双向参数传翰功能。
3．高级的袭配部件处理工具
具有复杂装配件接触关系的自动识别触建模功能。
4．先进的网格处理功能
可对复杂的几何模型进行高质量的网格处理。
5．分析功能
支持几乎所有州sYs的有限元分析功能，
空间离散化： 划分网格
非结构化网格
自动化程度高，能应对复杂的几何体
数据结构简单 结构化网格 精度高，计算速度快
结构化网格可以用一套固定的方式命名，例如左图中的红色节点可以命名为i5j4， 非结构网格的节点则不能用一套固定的法则予以有序的命名。
A
映射法
体映射
Aˊ
保角映射法
要求多边形有相同的顶点数。可被映射法替代。 应用较少，因为其单元形状和网格深度目前难以控制。
推荐切割工具：SpaceClaim，SolidWorks
单体零件与多体零件
单体零件的装配模型中，零件实体间接触连 接，每一个实体都独立地划分网格，节点不 共享。
多体零件的装配模 型中，零件实体间无接 触，1个零件可以有多 种材料实体，每个实体 独立划分网格但实体间 的关联被保留。 生成多体零件
第二讲 有限元
若 : a ij b ij ( i 1,2 , , m ; j 1,2 , , n ) 则 A B
2. 矩阵加减—相同行列数的矩阵，对应位置上元素相加减。
1 4 1 3 3 1 2 3 2 2 2 0 6 1 3 1 1 8
e e
e
}
{F
e
}
[K
e
]
{
e
}
矢量的坐标转换
Y
Y
X
X X cos Y sin Y X sin Y cos
X
故,对于节点的受力,有:
F x 1 F x 1 cos F y 1 sin
F y 1 F 1 x sin F 1 y cos
则 B C
五. 转置矩阵的性质
(A )
T T
A
T
(A B) ( A )
T
A
T
T
B
T
A
4.
5.
( AB )
T
B A
T
T
转置矩阵与原矩阵的乘积为一对称方阵
六. 方阵的逆矩阵
1. 定义 A为n阶方阵,若有
即:
A A
1
A B BA I n
1
则称B为A逆矩阵,记为A-1
e e
故,力失量的坐标转换可写成： 同理，位移失量的坐标转换可写成：
{ F } [ T ]{ F }
{
e
} [ T ]{
e
}
四. 整体坐标下单元的刚度矩阵
{F 将以上两式代入局部坐标下的“力—位移”公式
e
} [ K ]{
2. 矩阵加减—相同行列数的矩阵，对应位置上元素相加减。
1 4 1 3 3 1 2 3 2 2 2 0 6 1 3 1 1 8
e e
e
}
{F
e
}
[K
e
]
{
e
}
矢量的坐标转换
Y
Y
X
X X cos Y sin Y X sin Y cos
X
故,对于节点的受力,有:
F x 1 F x 1 cos F y 1 sin
F y 1 F 1 x sin F 1 y cos
则 B C
五. 转置矩阵的性质
(A )
T T
A
T
(A B) ( A )
T
A
T
T
B
T
A
4.
5.
( AB )
T
B A
T
T
转置矩阵与原矩阵的乘积为一对称方阵
六. 方阵的逆矩阵
1. 定义 A为n阶方阵,若有
即:
A A
1
A B BA I n
1
则称B为A逆矩阵,记为A-1
e e
故,力失量的坐标转换可写成： 同理，位移失量的坐标转换可写成：
{ F } [ T ]{ F }
{
e
} [ T ]{
e
}
四. 整体坐标下单元的刚度矩阵
{F 将以上两式代入局部坐标下的“力—位移”公式
e
} [ K ]{
有限元讲义2-2
l 6 EI z l2
为了求出另外两个刚度系数，可以通过静力平衡方程
由
Fy 0 Mi 0
得
' ' k31 Fyj Fyi
12EI z l3 l
6 EI z ' ' ' k41 M zj Fyi M zi 2
1 推导单元刚阵中第一行元素 由
ki 2
称为二维坐标系的方向余弦矩阵
称为二维局部坐标系下节点位移行矩阵
称为二维统一坐标系下节点位移行矩阵 （3.3-4a）
qi qi
因为
qi T qi
（3.3-4b）
在式（3.3-4b）两端同乘以[]-1，有
1 I 1 T
1 vi qi 2 zi q q v j 3 j 4 zj
1 Fyi Fi 2 M zi F F F j 3 yj 4 M zj
A-22
将力的公式代入，得
' Fyi l 3
' Fyi l 2
经过推导得出
" k12 Fyi
6 EI z l2 4 EI z l 同理 6 EI z 可推
2
出
k13 k 23 k 33
12EI z l 6 EI z
3
k14
6 EI z
k22 M " zi
l2 12EI z l3 6 EI z l2
" k32 Fyj
k42 M " zj
l 2 EI z l
k 43
l2 2 EI z k 24 l 6 EI z k34 l2 4 EI z k 44 l
第一章 有限元基础知识2PPT课件
2.1有限元法的基本概念
✓ 有限元：通俗的讲就是对一个真实的系统用有限个 单元来描述。
2.1.1有限元法：把求解区域划分成由许多小的在节点 处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本 方程的分片（子域）近似解的一种数值计算方法。由 于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的 尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的 材料特性和复杂的边界条件。
2.2有限单元法的特点
① 把连续体划分成有限个单元，把单元的交界结点 （节点）作为离散点；
② 不考虑微分方程，而从单元本身特点进行研究。 ③ 理论基础简明，物理概念清晰，且可在不同的水平
上建立起对该法的理解。 ④ 具有灵活性和适用性，适应性强。 ⑤ 在具体推导运算过程中，广泛采用了矩阵方法。
2.3有限元法的发展概况
2.1.2 自由度（DOFs）
自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。
UY ROTY
ROTZ UZ
UX ROTX
结构 DOFs
对象
结构 热 电
流体 磁
自由度
位移 温度 电位 压力 磁位
载荷 载荷
2.1.3 节点和单元
节点: 空间中的坐标位置，具有一定自由度和 存在相互物理作用。
单元: 一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵 描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线、 面或实体以及二维或三维的单元等种类。
第二节 有限元法及其发展
引言
实际要处理的对象都是连续体，在传统设计思维 和方法中，是通过一些理想化的假定后，建立一 组偏微分方程及其相应的边界条件，从而求出在 连续体上任一点上未知量的值。因为点是无限多 的，存在无限自由度的问题，很难直接求解这种 偏微分方程用来解决实际工程问题，因此需要采 用近似方法来处理。
第二讲平面问题有限元课件
➢ 该平板的总位能表达式可写成
3
p
e p
e1
3 e1
1 aeTK eae 2
3
a eT Pfe
e1
3
a eT Pse
e1
3 1 a eT K e a e 3 a eT P e
e1 2
e1
1 a1T K 1a1 a 2T K 2a 2 a3T K 3a3 a1T P1 a 2T P 2 a3T P3 2
v
1 2
ai
bix ci yvi
aj
bj x cj y
vj
ak
bk x ck yvk
式中：
ai
xj xk
yj , yk
1
bi
1
yj , yk
1 ci 1
xj xk
ai a j ak
11 1
bi b j bk
xi x j xk
ci c j ck
yi y j yk
形函数
Ni
1 2
ai
bi
x
ci
y
(i, j,k)
u Niui N ju j Nkuk Niui v Nivi N jv j Nkvk Nivi
d
u v
Ni I
NjI
Nk I e Ne
I 二阶单位阵,[N] 形函数矩阵
形函数的性质
1. 形函数 N（i xi , yi ) 1 N（i x j , y j ) 0 j i
序号为下标，以所属单元序号为上标；
T
P1 p11x p11y p12 x p12 y p13x p13 y
T
P2
p
2 1x
p
2 1
有限元分析第二讲杆单元分析
引入边界位移约束和载荷：
则系统平衡方程化为：
2 2 0 0 F1 EA 2 3 1 u P 2 L 0 F 0 1 1 3
上述方程组中删除第１，３个方程，得到：
解得：
（四）举例
例1 求图示２段杆中的应力。
解：分２个杆单元，单元之间在节点２连接。 各单元的刚度矩阵分别为：
参考前面弹簧系统的方法，装配２杆系统的有限元方 程（平衡方程）如下：
2 2 0 u1 F1 EA 2 3 1 u 2 F2 L u F 0 1 1 3 3
2 杆单元
一、一维等截面杆单元及其刚度矩阵
考虑一个2节点一维等截面杆单元： L— 杆长 A— 截面积
E— 弹性模量
ui 单元节点位移：d u j
fi 单元节点力：f fj
u u ( x)
——杆单元位移
——杆单元应变 ——杆单元应力
du dx
( x) ( x)
应变—位移关系： 应力—应变关系：
E
（一）直接法导出单元特性 杆单元伸长量：
u j ui
应变：
应力：
L E E L
EA EA k 杆内力： F A L L
EA 杆的轴向刚度： k L
轴向拉压变形模式下，该杆单元的行为与弹簧单元相同， 因此杆单元的刚度矩阵为：
EA k L
比照弹簧元的刚度方程，写出杆单元的刚度方程为：
f i k k ui EA 1 1 ui f j k k u j L 1 1 u j
有限元思路框图(第二讲.
有限元方法
利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元 按原来的结构重新连接起来，形成整体的有限 元方程
求解未知节点位移
可以根据方程组的具体特点来选择合适的 计算 方法。
节点和单元 (续)
每个单元的特性是通过一些线性方程式来描述的。 作为一个整体，单元形成了整体结构的数学模型。 尽管梯子的有限元模型低于100个方程（即“自由度 ”），然而在今天一个小的 ANSYS分析就可能有5000 个未知量，矩阵可能有25，000，000个刚度系数。
Fxi F yi Fzi F Fxj Fyj Fzj
ui v i u j vj um vm
Fxi F yi Fxj F Fyj Fxm Fym
I
J
11
（1）剖分结构时应对单元、节点分别用连续正整数编号。
1 4 2 3
③
① ②
④
5 ⑦
⑧ ⑥
9
6
7
8⑤
z x
○ ○ ○ ○ ○ ○
y
○ ○
② uy
ux uz
○ ○
（2）从结构中取出单元，进行单元分析
2 ②
2
3 5 ⑦ 6
杆件单元
板单元
ui v i w j u j vj w j
有限元方法
物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元 传递到另一个单元。但是，对于实际的连续体， 力是从单元的公共边传递到另一个单元中去的。 因而，这种作用在单元边界上的表面力、体积 力和集中力都需要等效的移到节点上去，也就 是用等效的节点力来代 替所有作用在单元上得 力。
有限元法基础2理论基础
n 泛函 (u )单调收敛于
有限元法基础
2.5 Ritz法
Ritz法应用中的难点 求解域比较复杂时，选取满足边界的试函数往往产生 难以克服的困难； 为了提高计算精度，需增加待定参数，这增加了求解 的复杂性；
有限元法同样建立在变分原理的基础上的，可以有效地 避免上述困难
有限元法基础
令
w1 v S
q
T W kv T d W W v Q d W Sq vq d ST kv n d 0
若使v 0 在Sq上，积分方程更简捷
有限元法基础
2.3 加权余量法
由于实际问题的复杂性精确解难于找到，往往求近似解 假设未知场函数u可用近似解表示
象的集合称为T的值域。 算子方程 设算子T的定义域为D，u D ，值域为T(D), f T ( D) , 等式 Tu f 称为算子方程。
有限元法基础
2.1 微分方程的等效积分形式 将算子方程及边界条件在各自的定义域中积分，有
对任意函数 v 有 对任意函数 v 有
W
v ( Au f )d W 0
W
v ( Bu ) d 0
有限元法基础
2.1 微分方程的等效积分形式
进一步改写为
W
v ( Au f )d W v ( Bu ) d 0
W
可以证明在积分方程对任意的v 都成立的话，则积分项 在域内每一点都满足算子方程和边界条件。 称为算子方程的等效形式 特点 v 和 v 是单值函数并且在定义域上可积 u的选择取决于算子A和B
2.4 变分原理
微分方程为
Au f B u W 0
在W内
利用线性自伴随算子的性质
有限元法基础
2.5 Ritz法
Ritz法应用中的难点 求解域比较复杂时，选取满足边界的试函数往往产生 难以克服的困难； 为了提高计算精度，需增加待定参数，这增加了求解 的复杂性；
有限元法同样建立在变分原理的基础上的，可以有效地 避免上述困难
有限元法基础
令
w1 v S
q
T W kv T d W W v Q d W Sq vq d ST kv n d 0
若使v 0 在Sq上，积分方程更简捷
有限元法基础
2.3 加权余量法
由于实际问题的复杂性精确解难于找到，往往求近似解 假设未知场函数u可用近似解表示
象的集合称为T的值域。 算子方程 设算子T的定义域为D，u D ，值域为T(D), f T ( D) , 等式 Tu f 称为算子方程。
有限元法基础
2.1 微分方程的等效积分形式 将算子方程及边界条件在各自的定义域中积分，有
对任意函数 v 有 对任意函数 v 有
W
v ( Au f )d W 0
W
v ( Bu ) d 0
有限元法基础
2.1 微分方程的等效积分形式
进一步改写为
W
v ( Au f )d W v ( Bu ) d 0
W
可以证明在积分方程对任意的v 都成立的话，则积分项 在域内每一点都满足算子方程和边界条件。 称为算子方程的等效形式 特点 v 和 v 是单值函数并且在定义域上可积 u的选择取决于算子A和B
2.4 变分原理
微分方程为
Au f B u W 0
在W内
利用线性自伴随算子的性质
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有 限 元 基 础
1) 体力: 分布在物体体积内部。（重力、惯性力） 体力平均集度-(矢量) z
ΔV
lim DF f DV 0 DV
其投影, f x , f y , f z
P点体力集度 体力分量
fz P
fx
f
ΔF fy
f f xi f y j f z k
体力分量符号规定：沿坐标轴正 向为正，沿坐标轴负向为负。 y 量纲：
第二讲 有限元的理论基础——弹性力学
1
有 限 元 基 础
弹性力学概论
2 3 4 5 6
平面应力问题与平面应变问题
平衡微分方程 几何方程 物理方程 一点的应力状态的确定
7
8
边界条件
平 面 问 题 的 基 本 理 论
圣维南原理
有 限 元 基 础
一、 弹性力学概论
教材作者简介
中国科学院资深院士，著 名的力学家和教育家。徐芝纶 编著的力学教材被我国工科院 有 校广泛采用，为培养科技人才 限 起到了重要的作用。徐芝纶在 元 基础板梁的科研工作中作出了 基 许多重大成果，并为在我国引 础 进、推广、研究有限单元法作 出了突出贡献。徐芝纶一生以 “学无止境，教亦无止境”为 座右铭，数十年如一日贡献了 毕生的精力。
•超出基本假设的研究领域是固体力学其它学科的研 究范围。
有 限 元 基 础
一、 弹性力学概论
2. 弹性力学基本假设
（1） 连续性假设
有 限 元 基 础
•——假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质所 充满，各个质点之间不存在任何空隙。 •——变形后仍然保持连续性。
•根据这一假设，物体所有物理量，例如位移、应变和应力等 均为物体空间的连续函数。 该假定在研究物体的宏观力学特性时，与工程实际吻 合较好；研究物体的微观力学性质时不适用。
（2） 弹性力学与其它力学分支的对比 研究 方法
材料力学: 借助于直观和实验现象作一些假定，如平面截
面假设 等，然后由静力学、几何关系、物理方
有 限 元 基 础
程三方面进行分析。
一维数学问题，求解常微分方程。 解析法
弹性力学: 仅由静力平衡、几何方程、物理方程三方面分
析，放弃了材力中的简化假定。
三维数学问题，求解偏微分方程。
x
L2 MT 2
一、 弹性力学概论
2) 面力: 分布在物体表面上的力。（流体压力、接触力） 面力平均集度-(矢量)
有 限 元 基 础
z
ΔS
fz
f
ΔF fylim DF =来自f DS ® 0 DS其投影, f x , f y , f z
P 点面力集度 面力分量
P
fx
f f xi f y j f z k
单元拼装 离散化
结点外力
单元分析
有限元法的基本思想
对弹性区域离散化
有 限 元 基 础
将单元内任一节点 位移通过函数表达 （位移函数）
进行单元集成， 在节点上加外载荷力
建立单元方程
引入位移边界条件 进行求解
求解得到节点位移
根据弹性力学公式得到单元应变、应力
5
有限元分析的主要步骤
前处理
有 限 元 基 础
有 限 元 基 础
•工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的几何形状， 并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲，也可以视为 均匀材料。 •对于环氧树脂基玻璃纤维复合材料，不能处理为均匀材 料。
弹性常数（E、μ）——不随位置坐标而变化； 取微元体分析的结果可应用于整个物体。 作用：
一、 弹性力学概论
（4） 各向同性假设
x
y
一般指梁的跨度与高度之比L／h≤2的简支梁和L ／h≤2.5的连续梁称为深梁。
一、 弹性力学概论
2. 弹性力学基本假设 •工程问题的复杂性是诸多方面因素组成的。如果不 分主次考虑所有因素，则问题的复杂，数学推导的困 难，将使得问题无法求解。 •根据问题性质，忽略部分暂时不必考虑的因素，提 出一些基本假设。使问题的研究限定在一个可行的范 围。 •基本假设是学科的研究基础。
y
A
t zy x t yz
y
C
x
内力平均集度
z
y
DF _ lim p DA 0 DA
内力的集度: 物体内某一点的应力
x
正应力σ：应力沿其作用截面的法向分量。 切（剪）应力τ：应力沿其作用截面的切向分量。
一、 弹性力学概论
B 一点的应力状态： 通过一点的各个面上应力 状况的集合
z
有 限 元 基 础
算机为媒体，以有限元程序为主体，对大型结构工
有 限 元 基 础
程的一种数值计算方法。
有限元分析的基本思路 离散化思想
有 限 元 基 础
把整体结构离散为有限个单元，研究单元的平衡和变形协调； 再把这有限个离散单元集合还原成结构，研究离散结构的平衡 和变形协调。 划分的单元大小和数目根据计算精度和计算机能力来确定。
t xy t yx t yz t zy
有 限 元 基 础
切应力互等定理
t zx t xz
一点的独立 应力分量有6个:
x y zt xy yz zx
结论：物体内任一点，知道了以上六个应力分量，就可以 确定该点的应力状态
1 2
量纲： L MT
一、 弹性力学概论
（3）形变
物体形状的改变
应变
一点的应变状态： 通过 任一点作三个沿正坐标方向的微分线段， 并以这些微分线段的应变表示该点的应变状态
有 限 元 基 础
正应变 切应变
线段单位长度的改变 两线段间直角的改变
x y z
xy yz zx yx zy xz
z C
符号规定: 正应变：伸长为正，缩短为负 切应变：直角变小为正，变大为负
脆性材料—— 一直到破坏前，都可近似为线弹性的；
塑性材料—— 比例阶段，可视为线弹性的。 作用： E， u 等材料常数为常量，不随应力、应变的 变化 而变化 —— 物理方程线性化
一、 弹性力学概论
（3） 均匀性假设
•——假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。因 此物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的 变化而改变。 •——物体的弹性性质处处都是相同的。
b
y
切应力互等定理： 假设弹性体处于静力平衡状态, 以 a, b 为轴，列力矩平衡方程：
a
x
z
y
yy z 0 2t zy y x 2tyzyzzzxx t 2 2 2
同理：
t yz t zy
t xy t yx , t zx t xz
一、 弹性力学概论
x t xy t xz t yx y t yz t zx t zy z
列表示轴向
z
t yx t xz y t y t t xy yx t yz yz t xy x t zy x t zx
z t xz t zx
t zy t zy x t yz yz
t zy x t yz
正面
第2个下标 y 表示τ的方向. 正面： 外法线沿坐标轴正向 负面： 外法线沿坐标轴负向
正负号规定：
x 一点应力状态及其表示
应力分量
正面上的应力： 沿坐标轴正向为正，负向为负 负面上的应力： 沿坐标轴负向为正，正向为负
一、 弹性力学概论
用矩阵表示：
行 表 示 面
z
有 限 元 基 础
有 限 元 基 础
有限元基础
Finite Element Method
机电学院
xtqiao@ 2013年3月
知识回顾
1、有限元的基本概念。
有 限 元 基 础
2、有限元的基本思路。 3、有限元的基本步骤。
2013/8/17
2
有限元的基本概念
有限元是以结构力学和弹性力学为理论基础，以计
x t t y 面: x t xy t xz y yx yz z 面: z t zy t zx
面:
负面
t xz
z
y
A
应力符号的意义：
t xy
面
第1个下标 x 表示τ所在面的法线方向；
t yx y t xy t yz P t xy t yx C x t zx t zy z
y
t zx t xz
应变无量纲； 注： x xy xz ( x y, z ); , yx x y x yz 其中 zx zy z
建立分析对象的有限元模型 （包括单元划分、参数输入等）
求解
对有限元模型的计算工况进行求解
后处理
观察分析结果，评估设计是否符合要求
有限元法在车辆工程中的应用
现代汽车设计中，已从早期的静态分析为主转化为 以模态分析和动态分析为主。汽车结构有限元分析 的应用主要体现在： (1)汽车设计中对所有结构件、主要零部件的强 度、刚度和稳定性分析； (2)汽车结构件或零部件的优化设计，如以汽车 质量或体积为目标函数的最优设计，以及对比分析 中的参数化设计和形状优化； (3)对汽车结构件进行模态分析、瞬态分析、谐 响应分析和响应谱分析，为结构的动态设计提供方 便有效的工具；
如：
x x ( x, y, z )
x x ( x, y, z )
可以应用数学分析工具
u u ( x, y, z )
一、 弹性力学概论
（2）完全弹性假定
物体在外力拆除之后，能完全恢复原形，没有任何剩 余变形。
有 限 元 基 础
完全弹性
线弹性 —— 弹性力学 非线性 —— 非线性弹性力学
近似解法：变分法、差分法、有限单元法等。
1) 体力: 分布在物体体积内部。（重力、惯性力） 体力平均集度-(矢量) z
ΔV
lim DF f DV 0 DV
其投影, f x , f y , f z
P点体力集度 体力分量
fz P
fx
f
ΔF fy
f f xi f y j f z k
体力分量符号规定：沿坐标轴正 向为正，沿坐标轴负向为负。 y 量纲：
第二讲 有限元的理论基础——弹性力学
1
有 限 元 基 础
弹性力学概论
2 3 4 5 6
平面应力问题与平面应变问题
平衡微分方程 几何方程 物理方程 一点的应力状态的确定
7
8
边界条件
平 面 问 题 的 基 本 理 论
圣维南原理
有 限 元 基 础
一、 弹性力学概论
教材作者简介
中国科学院资深院士，著 名的力学家和教育家。徐芝纶 编著的力学教材被我国工科院 有 校广泛采用，为培养科技人才 限 起到了重要的作用。徐芝纶在 元 基础板梁的科研工作中作出了 基 许多重大成果，并为在我国引 础 进、推广、研究有限单元法作 出了突出贡献。徐芝纶一生以 “学无止境，教亦无止境”为 座右铭，数十年如一日贡献了 毕生的精力。
•超出基本假设的研究领域是固体力学其它学科的研 究范围。
有 限 元 基 础
一、 弹性力学概论
2. 弹性力学基本假设
（1） 连续性假设
有 限 元 基 础
•——假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质所 充满，各个质点之间不存在任何空隙。 •——变形后仍然保持连续性。
•根据这一假设，物体所有物理量，例如位移、应变和应力等 均为物体空间的连续函数。 该假定在研究物体的宏观力学特性时，与工程实际吻 合较好；研究物体的微观力学性质时不适用。
（2） 弹性力学与其它力学分支的对比 研究 方法
材料力学: 借助于直观和实验现象作一些假定，如平面截
面假设 等，然后由静力学、几何关系、物理方
有 限 元 基 础
程三方面进行分析。
一维数学问题，求解常微分方程。 解析法
弹性力学: 仅由静力平衡、几何方程、物理方程三方面分
析，放弃了材力中的简化假定。
三维数学问题，求解偏微分方程。
x
L2 MT 2
一、 弹性力学概论
2) 面力: 分布在物体表面上的力。（流体压力、接触力） 面力平均集度-(矢量)
有 限 元 基 础
z
ΔS
fz
f
ΔF fylim DF =来自f DS ® 0 DS其投影, f x , f y , f z
P 点面力集度 面力分量
P
fx
f f xi f y j f z k
单元拼装 离散化
结点外力
单元分析
有限元法的基本思想
对弹性区域离散化
有 限 元 基 础
将单元内任一节点 位移通过函数表达 （位移函数）
进行单元集成， 在节点上加外载荷力
建立单元方程
引入位移边界条件 进行求解
求解得到节点位移
根据弹性力学公式得到单元应变、应力
5
有限元分析的主要步骤
前处理
有 限 元 基 础
有 限 元 基 础
•工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的几何形状， 并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲，也可以视为 均匀材料。 •对于环氧树脂基玻璃纤维复合材料，不能处理为均匀材 料。
弹性常数（E、μ）——不随位置坐标而变化； 取微元体分析的结果可应用于整个物体。 作用：
一、 弹性力学概论
（4） 各向同性假设
x
y
一般指梁的跨度与高度之比L／h≤2的简支梁和L ／h≤2.5的连续梁称为深梁。
一、 弹性力学概论
2. 弹性力学基本假设 •工程问题的复杂性是诸多方面因素组成的。如果不 分主次考虑所有因素，则问题的复杂，数学推导的困 难，将使得问题无法求解。 •根据问题性质，忽略部分暂时不必考虑的因素，提 出一些基本假设。使问题的研究限定在一个可行的范 围。 •基本假设是学科的研究基础。
y
A
t zy x t yz
y
C
x
内力平均集度
z
y
DF _ lim p DA 0 DA
内力的集度: 物体内某一点的应力
x
正应力σ：应力沿其作用截面的法向分量。 切（剪）应力τ：应力沿其作用截面的切向分量。
一、 弹性力学概论
B 一点的应力状态： 通过一点的各个面上应力 状况的集合
z
有 限 元 基 础
算机为媒体，以有限元程序为主体，对大型结构工
有 限 元 基 础
程的一种数值计算方法。
有限元分析的基本思路 离散化思想
有 限 元 基 础
把整体结构离散为有限个单元，研究单元的平衡和变形协调； 再把这有限个离散单元集合还原成结构，研究离散结构的平衡 和变形协调。 划分的单元大小和数目根据计算精度和计算机能力来确定。
t xy t yx t yz t zy
有 限 元 基 础
切应力互等定理
t zx t xz
一点的独立 应力分量有6个:
x y zt xy yz zx
结论：物体内任一点，知道了以上六个应力分量，就可以 确定该点的应力状态
1 2
量纲： L MT
一、 弹性力学概论
（3）形变
物体形状的改变
应变
一点的应变状态： 通过 任一点作三个沿正坐标方向的微分线段， 并以这些微分线段的应变表示该点的应变状态
有 限 元 基 础
正应变 切应变
线段单位长度的改变 两线段间直角的改变
x y z
xy yz zx yx zy xz
z C
符号规定: 正应变：伸长为正，缩短为负 切应变：直角变小为正，变大为负
脆性材料—— 一直到破坏前，都可近似为线弹性的；
塑性材料—— 比例阶段，可视为线弹性的。 作用： E， u 等材料常数为常量，不随应力、应变的 变化 而变化 —— 物理方程线性化
一、 弹性力学概论
（3） 均匀性假设
•——假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。因 此物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的 变化而改变。 •——物体的弹性性质处处都是相同的。
b
y
切应力互等定理： 假设弹性体处于静力平衡状态, 以 a, b 为轴，列力矩平衡方程：
a
x
z
y
yy z 0 2t zy y x 2tyzyzzzxx t 2 2 2
同理：
t yz t zy
t xy t yx , t zx t xz
一、 弹性力学概论
x t xy t xz t yx y t yz t zx t zy z
列表示轴向
z
t yx t xz y t y t t xy yx t yz yz t xy x t zy x t zx
z t xz t zx
t zy t zy x t yz yz
t zy x t yz
正面
第2个下标 y 表示τ的方向. 正面： 外法线沿坐标轴正向 负面： 外法线沿坐标轴负向
正负号规定：
x 一点应力状态及其表示
应力分量
正面上的应力： 沿坐标轴正向为正，负向为负 负面上的应力： 沿坐标轴负向为正，正向为负
一、 弹性力学概论
用矩阵表示：
行 表 示 面
z
有 限 元 基 础
有 限 元 基 础
有限元基础
Finite Element Method
机电学院
xtqiao@ 2013年3月
知识回顾
1、有限元的基本概念。
有 限 元 基 础
2、有限元的基本思路。 3、有限元的基本步骤。
2013/8/17
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有限元的基本概念
有限元是以结构力学和弹性力学为理论基础，以计
x t t y 面: x t xy t xz y yx yz z 面: z t zy t zx
面:
负面
t xz
z
y
A
应力符号的意义：
t xy
面
第1个下标 x 表示τ所在面的法线方向；
t yx y t xy t yz P t xy t yx C x t zx t zy z
y
t zx t xz
应变无量纲； 注： x xy xz ( x y, z ); , yx x y x yz 其中 zx zy z
建立分析对象的有限元模型 （包括单元划分、参数输入等）
求解
对有限元模型的计算工况进行求解
后处理
观察分析结果，评估设计是否符合要求
有限元法在车辆工程中的应用
现代汽车设计中，已从早期的静态分析为主转化为 以模态分析和动态分析为主。汽车结构有限元分析 的应用主要体现在： (1)汽车设计中对所有结构件、主要零部件的强 度、刚度和稳定性分析； (2)汽车结构件或零部件的优化设计，如以汽车 质量或体积为目标函数的最优设计，以及对比分析 中的参数化设计和形状优化； (3)对汽车结构件进行模态分析、瞬态分析、谐 响应分析和响应谱分析，为结构的动态设计提供方 便有效的工具；
如：
x x ( x, y, z )
x x ( x, y, z )
可以应用数学分析工具
u u ( x, y, z )
一、 弹性力学概论
（2）完全弹性假定
物体在外力拆除之后，能完全恢复原形，没有任何剩 余变形。
有 限 元 基 础
完全弹性
线弹性 —— 弹性力学 非线性 —— 非线性弹性力学
近似解法：变分法、差分法、有限单元法等。