计算方法论文

2010- 2011学年第二学期《计算方法》期末考查

班级 ****** 学号 ************ 姓名 ********** 成绩

2011 年 6 月 21 日

计算方法期末考查

一、试题内容

1.

0.1﹪，应取几位有效数字？ 2．已知tan x 的列表值如下:

用牛顿向后插值公式估算tan(1.325)．

3．证明

()()0,1,,n

j k

k k x

x l x j n =-==∑ .

4．用递推形式的复合梯形公式计算

2

2

1

1

1(1)

dx x +-⎰

，直到8T ． 5. 能否用迭代法求解方程cos sin 4

x x

x +=

？若不能将方程改写成能用迭代法求解的形式.

6. 用矩阵直接三角分解法解方程组

123223347712457x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦

7. 讨论用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法解线性方程组 的收敛性.

二、计算过程

1、解：由题设可知 31=a

位有效数字

应取441010

1

10)13(212

1∴=∴⨯≤⨯+⨯∴

-+-n n

123211412121120x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

2、解：因为1.325介于1.32和1.33之间，故取x 3=1.33, 此时3 1.325 1.33

0.50.01

x x t h --=

==- 为求y ∆、2

y ∆、3

y ∆，···，构造差分表：

表中“ ”线标出的个数一次给出了tanx 在x 3=1.33处的函数值和各介向后分差值， 于是由向后插值公式

23

(1)(1)(1)(),1,2,32!!

n n n n n n t t t t t n N x th y t y y y n n +++-+=+∆+∆++∆= 得 323

3333

tan(1.325)(1.325)

(1)(1)(2)2!3!

0.5(0.51)0.5(0.51)(0.52)

4.07230.50.1690.01280.00162!3!

4.07230.08450.00160.00013.9859

N t t t t t y t y y y ≈+++=+∆+∆+∆--+--+-+=-⨯+⨯+⨯=---=

故取N 3（1.325）=3.9859作为tanx 的近似值。

3、解：对插值节点(,)j k

x x （k=0,1,2,…..n ） (j<=n)

其拉格朗日多项式为0()()n

j

n

k k L x x l x ==∑ 有函数、插值多项式与余项的关系，有

1

1

()

()

(1())

()

()

(1)!j

n n

j

j

k

k n

j

k k n j

n x x x x n x

L x x

l

x l f

x

ξω

==++-=-=-=

+∑∑

()

(1)

0()

()()0

()n j n

j j j k k n

j j

k k x

j n x Ln x x x l x x l x x +===<=∴-=-=∴=∑∑

000

00

()()

((1))()

(1)(())

(1)()0

n

j k k k j

n

i i i j i j k k k i j

n

i

i i

j i j

k k i k j

i i i j i

j i j x x l x c x x l x c x x l x c x x x x =-==-==-=∴-=-=-=-=-=∑∑∑∑∑∑

()()0,1,,n

j k k k x x l x j n =∴-==∑

4、解：先对整个区间[1,2]使用梯形公式得

()()11111210.75222T f f ⎛⎫=

+=+=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭

然后将区间二等分，出现的新分点是3

2

x =

,由递推公式得 2111332

()0.77522285

T T f =+=+=

再将区间二等分，出现两个新分点x=

54和x=7

4

由递推公式得 421157()()2444T T f f ⎡⎤

=++⎢⎥⎣⎦

111616

0.775241725

⎛⎫=

⨯++ ⎪⎝⎭ 0.7827941

= 再将各小区间二等分出现四个新分点98x =

和118x =和138x =和15

8x =由递推公式得 84119111315288888T T f

f f f ⎡⎤⎛⎫

⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎝⎭⎣

⎦

41164

64

6464

2

86573

89113

T ⎡⎤=

++++

⎢⎥⎣

⎦ 0.7847471

= 5、5 解：

cos sin )44x x x x π

+=

=+

令迭代公式为

1)4k k x x π

+=

+

令

(

)4g x x π⎛

⎫=

+ ⎪⎝

⎭

显然有一根

0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，

()1004g =>，

44g ππ⎛⎫=< ⎪

⎝⎭

，