高中数学：概率公式大全

第一章随机事件和概率
第二章随机变量及其分布
第三章二维随机变量及其分布
第四章随机变量的数字特征
第七章参数估计
单正态总体均值和方差的假设检验
公式整理
1．随机事件及其概率
吸收律：A
AB A A
A A =⋃=∅⋃Ω
=Ω⋃)( A
B A A A A
A =⋃⋂∅
=∅⋂=Ω⋂)(
)(AB A B A B A -==-
反演律：B A B A =⋃ B A AB ⋃=
n i i
n i i
A A 1
1
=== n
i i
n i i
A A 1
1
===
2．概率的定义及其计算
)(1)(A P A P -=
若B A ⊂ )()()(A P B P A B P -=-⇒
对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=- 加法公式：对任意两个事件A , B , 有
)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃
)()()(B P A P B A P +≤⋃
)
()
1()()
()()(211
111
1
n n n
n
k j i k
j
i
n
j i j
i
n
i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++
-
=∑∑∑3．条件概率 ()
=A B P )
()
(A P AB P 乘法公式
())
0)(()()(>=A P A B P A P AB P
()()
)
0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P 全概率公式
∑==n
i i AB P A P 1)()( )()(1
i n
i i B A P B P ⋅=∑=
Bayes 公式
)(A B P k )
()
(A P AB P k =
∑==n i i i k k B A P B P B A P B P 1
)
()()()(
4．随机变量及其分布 分布函数计算
)
()()
()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<
5．离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布
1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k
(2) 二项分布 ),(p n B 若P ( A ) = p
n k p p C k X P k n k
k n ,,1,0,)1()( =-==-
.
*Possion 定理
0lim >=∞
→λn n np
有
,2,1,0!)
1(lim ==---∞
→k k e
p p C k
k
n n k n
k n n λλ
(3) Poisson 分布 )(λP
,2,1,0,!
)(===-k k e
k X P k
λλ
6．连续型随机变量 (1) 均匀分布 ),(b a U
⎪⎩
⎪
⎨⎧<<-=其他,0,1
)(b x a a
b x f ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧--=1,,0)(a b a x x F
(2) 指数分布 )(λE
⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,
00,)(x e x f x λλ
⎩⎨⎧≥-<=-0
,10,
0)(x e x x F x
λ (3) 正态分布 N (μ , σ 2 )
+∞<<∞-=--x e
x f x 2
22)(21
)(σμσ
π
⎰
∞
---
=
x
t t e
x F d 21)(2
22)(σμσ
π
*N (0,1) — 标准正态分布
+∞<<∞-=-x e
x x 2
221
)(π
ϕ
+∞<<∞-=
Φ⎰
∞
--
x t e
x x
t d 21
)(2
2π
7.多维随机变量及其分布
二维随机变量( X ,Y )的分布函数
⎰⎰
∞-∞
-=x
y
dvdu v u f y x F ),(),(
边缘分布函数与边缘密度函数
⎰
⎰
∞-+∞
∞-=x
X dvdu v u f x F ),()(
⎰+∞
∞-=dv v x f x f X ),()(
⎰⎰
∞-+∞
∞-=y
Y dudv v u f y F ),()(
⎰
+∞
∞
-=du y u f y f Y ),()(
8. 连续型二维随机变量
(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G )
⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,
0),(,1
),(G
y x A y x f
(2)二维正态分布
+∞
<<-∞+∞<<∞-⨯-=
⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+------y x e
y x f y y x x ,121),(2
222212121212)
())((2)()1(212
21σμσσμμρσμρρ
σπσ9. 二维随机变量的 条件分布
0)()
()(),(>=x f x y f x f y x f X X Y X
0)()
()(>=y f y x f y f Y Y X Y
⎰⎰+∞
∞
-+∞
∞
-==dy y f y x f dy y x f x f Y Y X X )()(),()(
⎰⎰+∞
∞
-+∞∞
-==dx x f x y f dx y x f y f X X Y Y )()(),()(
)(y x f Y X )()
,(y f y x f Y =
)()()(y f x f x y f Y X X Y = )(x y f X Y )()
,(x f y x f X =
)
()()(x f y f y x f X Y Y X = 10.随机变量的数字特征
数学期望
∑+∞
==1
)(k k k p x X E
⎰+∞
∞
-=dx x xf X E )()(
随机变量函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩)(k
X E X 的 k 阶绝对原点矩)|(|k
X E X 的 k 阶中心矩)))(((k
X E X E - X 的 方差)()))(((2X D X E X E =- X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩)(l
k
Y X E X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩
()
l k Y E Y X E X E ))(())((--
X ,Y 的 二阶混合原点矩)(XY E X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差
()))())(((Y E Y X E X E --
X ,Y 的相关系数
XY Y D X D Y E Y X E X E ρ=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--)()())())((( X 的方差
D (X ) =
E ((X - E (X ))2)
)()()(22X E X E X D -=
协方差
()))())(((),cov(Y E Y X E X E Y X --=
)()()(Y E X E XY E -=
())()()(2
1
Y D X D Y X D --±±
= 相关系数)
()()
,cov(Y D X D Y X XY =ρ
⎰
∞
---
=
x
t t e
x F d 21)(2
22)(σμσ
π
*N (0,1) — 标准正态分布
+∞<<∞-=-x e
x x 2
221
)(π
ϕ
+∞<<∞-=
Φ⎰
∞
--x t e x x
t d 21)(2
2π
7.多维随机变量及其分布
二维随机变量( X ,Y )的分布函数
⎰⎰
∞-∞
-=x
y
dvdu v u f y x F ),(),(
边缘分布函数与边缘密度函数
⎰
⎰
∞-+∞
∞-=x
X dvdu v u f x F ),()(
⎰+∞
∞-=dv v x f x f X ),()(
⎰⎰
∞-+∞
∞-=y
Y dudv v u f y F ),()(
⎰
+∞
∞
-=du y u f y f Y ),()(
8. 连续型二维随机变量
(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G )
⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,
0),(,1
),(G
y x A y x f
(2)二维正态分布
+∞
<<-∞+∞<<∞-⨯-=
⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+------y x e
y x f y y x x ,121),(2
222
212121212)())((2)()1(212
21σμσσμμρσμρρ
σπσ9.
二维随机变量的 条件分布
0)()
()(),(>=x f x y f x f y x f X X Y X
0)()
()(>=y f y x f y f Y Y X Y
⎰⎰+∞
∞
-+∞
∞
-==dy y f y x f dy y x f x f Y Y X X )()(),()(
⎰⎰+∞
∞-+∞∞-==dx x f x y f dx y x f y f X X Y Y )()(),()( )(y x f Y X )(),(y f y x f Y = )
()()(y f x f x y f Y X X Y = )(x y f X Y )(),(x f y x f X = )
()()(x f y f y x f X Y Y X = 10.随机变量的数字特征
数学期望
∑+∞
==1
)(k k k p x X E
⎰+∞
∞-=dx x xf X E )()(
随机变量函数的数学期望
X 的 k 阶原点矩)(k X E
X 的 k 阶绝对原点矩)|(|k X E X 的 k 阶中心矩)))(((k X E X E - X 的 方差)()))(((2X D X E X E =- X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩)(l k Y X E X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩
()l k Y E Y X E X E ))(())((--
X ,Y 的 二阶混合原点矩)(XY E
X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差 ()))())(((Y E Y X E X E --
X ,Y 的相关系数
XY Y D X D Y E Y X E X E ρ=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--)()())())((( X 的方差
D (X ) =
E ((X - E (X ))2)
)()()(22X E X E X D -=
协方差
()))())(((),cov(Y E Y X E X E Y X --=
)()()(Y E X E XY E -= ())()()(2
1Y D X D Y X D --±±= 相关系数)
()(),cov(Y D X D Y X XY =
ρ。