材料力学公式汇总

材料力学重点及其公式

材料力学的任务 变形固体的基本假设 外力分类：

（1）强度要求；（2）刚度要求；（3）稳定性要求。

（1）连续性假设；（2）均匀性假设；（3）各向同性假设；（4）小变形假设。 表面力、体积

力；静载荷、动载荷。 内力：构件在外力的作用下，内部相互作用力的变化量，即构件内部各部分之间的因外力作用而引

起的附加相互作用力

截面法：（1 ）欲求构件某一截面上的内力时，可沿该截面把构件切开成两部分，弃去任一部分，保 留另一部分研究（2 ）在保留部分的截面上加上内力，以代替弃去部分对保留部分的作用。 （3）根据

平衡条件，列平衡方程，求解截面上和内力。

P dP

应力： p

ii m

正应力、切应力。

U0 A dA

应变。

杆件变形的基本形式

（1）拉伸或压缩；（2）剪切；（3）扭转;

静载荷：载荷从零开始平缓地增加到最终值，然后不在变化的载荷 变化的载荷为动载荷。

失效原因：脆性材料在其强度极限

b

破坏，塑性材料在其屈服极限

关系为:

胡克定律：当应力低于材料的比例极限时，应力与应变成正比，即 l 皿

EA

静不定：对于杆件的轴力，当未知力数目多于平衡方程的数目，仅利用静力平衡方程无法解出全部 未知力。

变形与应变：线应变、切

（4）弯曲；（5）组合变形。 动载荷：载荷和速度随时间急剧

S

时失效。二者统称为极限应

力理想情形。塑性材料、脆性材料的许用应力分别为:

n 3

n

b

，强度条件:

max

A max

，等截面杆

N max

A

轴向拉伸或压缩时的变形: 杆件在轴向方向的伸长为:

l l i

l ，沿轴线方向的应变和横截面上 的应力分别为:

N

-。横向应变为:

A A

b i

b

-,横向应变与轴向应变的

b

E ，这就是胡克定律。 E

为弹性模量。将应力与应变的表达式带入得:

圆轴扭转时的应力变形几何关系一圆轴扭转的平面假设

G —。力学关系T dx dA

—。物理关系胡克定律

dx

d 2

G dA圆轴扭转时的应力:

dx A

max —R 亠；圆轴扭转的强度条件:

1 p W

t

max

W t

，可以进行强度校核、截面设计和确

定许可载荷。

Q 、M 图与外力间的关系

a ） 梁在某一段内无载荷作用，剪力图为一水平直线，弯矩图为一斜直线。

b ） 梁在某一段内作用均匀载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。

个转折点。

提高弯曲强度的措施：梁的合理受力（降低最大弯矩 M max ，合理放置支座，合理布置载荷，合理设 计截面形状

塑性材料:t c ，上、下对称，抗弯更好，抗扭差。 脆性材料:t c ,采用T 字型或 上下不对称的工字型截

面。

等强度梁：截面沿杆长变化，恰使每个截面上的正应力都等于许用应力，这样的变截面梁称为等强 度梁。

用叠加法求弯曲变形： 当梁上有几个载荷共同作用时，可以分别计算梁在每个载荷单独作用时的变 形，然后进行叠加，即可求得梁在几个载荷共同作用时的总变形。

简单超静定梁求解步骤：（1 ）判断静不定度；（2）建立基本系统（解除静不定结构的内部和外部多 余约束后所得到的静定结构）；（3）建立相当系统（作用有原静不定梁载荷与多余约束反力的基本系 统）；（4）求解静不定问题。 二向应力状态分析一解析法

xy

cos 2

圆轴扭转时的变形

等直杆:

Tl GI

圆轴扭转时的刚度条件

d T dx GI p

T max

max

弯曲内力与分布载荷 q 之间的微分关系

dQ(x) dx q(x) ； dM

dx

d 2M x

dx 2

dQ x IT qx

c ）在梁的某一截面。

dM x dx

d ）由集中力作用截面的左侧和右侧，剪力

0，剪力等于零，弯矩有一最大值或最小值。

Q 有一突然变化，弯矩图的斜率也发生突然变化形成一

梁的正应力和剪应力强度条件 max

max

（1

） 任意斜截面上的应力

-

cos2

xy

sin 2

（2）极值应力

正应力：tg2 0

xy max min

x y

2

x y max

2 ，

xy

min

（3）主应力所在的平面与剪应力极值所在的平面之间的关系

杆的稳定条件：P

悶 |

=3 549^^-

1.

外力偶

严卜眄 矩计算公式 （P 功率，n 转速）

二迅㈡二心）

2.

弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式

'

3.

轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式

4

（杆件横截面轴力 F N ，横截面面积A ，拉应力为正）

切应力：tg2 1

与1之间的关系为：2 1 2 °

, 1

2

，即：最大和最小剪应力所在的平面与主平

4

面的夹角为45°

扭转与弯曲的组合（1）外力向杆件截面形心简化 并建立强度条件

（2）画内力图确定危险截面（3）确定危险点

按第三强度理论，强度条件为:

，对于圆轴，

W t 2W ，

2 2

其强度条件为：-W-[]。 按第四强度理 论，强度

.'1 2

2 1 2

，经化简得出:

，对于圆

轴，其强度条件为:

M 2 0.75T 2

[]。

W

欧拉公式适用范围

（1）大柔度压杆（欧拉公式） :即当 1，其中

2E

时,

P

cr

中等柔度压杆（经验公式）：即当2

1，其中

cr

a b

(3) 小柔度压

杆（强度计算公式） 即当

2时,

cr

压杆的稳定校核 （1）

压杆的许用压力:

R cr

n st

为许可压力,

n st 为工作安全系数。

(2)压

提高压杆稳定性的措施

:选择合理的截面形状, 改变压杆的约束条件，合理选择材料