第三章 线性系统的时域分析

【教学目的】

※熟悉系统时间响应、性能指标的概念及求法

※了解稳态误差的相关知识

【教学重点】

※时间响应的基本概念

※二阶系统的阶跃响应及欠阻尼状态下的性能指标及参数的求取

※误差及稳态误差的概念

※位置误差、速度误差和加速度误差的计算

【教学难点】

※二阶系统的时间响应

※干扰作用下的系统误差的计算

【教学方法及手段】

采用板书讲授的方式，将二阶系统在不同阻尼下的时间响应进行对比讲解，并将各种阻尼状态下的极点分布进行比较，画在一个复平面上，通过绘制响应曲线来表明各性能指标在图上的位置，帮助学生对概念的理解。

【学时分配】

8课时

【教学内容】

对于一个实际的系统，在建立数学模型之后，就可以采用不同的方法来分析和研究系统的动态性能。本章的时域分析就是其中一种重要的方法。

时域分析法是直接求解系统的微分方程，即利用拉氏变换和拉氏反变换求解，然后根据响应的表达式及其描述曲线来分析系统的性能。这种方法结果直观，应用范围广。

本章主要介绍系统的时间响应及其组成，并对一阶、二阶系统的典型时间响应进行分析，最后介绍系统的误差与稳态误差的概念。

3-1 时间响应

时间响应的概念

系统在外加作用激励下，其输出量随时间变化的函数关系，称之为系统的时间响应。通过对时间响应的分析可揭示系统本身的动态特性。

任一系统的时间响应都是由瞬态响应和稳态响应两个部分组成。

瞬态响应：系统受到外加作用激励后，从初始状态到最终状态的响应过程。 稳态响应：时间趋于无穷大时，系统的输出状态。 瞬态响应反映了系统动态性能。

稳态响应偏离系统希望值的程度可用来衡量系统的精确程度。

3-2 一阶系统的时间响应

1、一阶系统的数学模型

用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。 a 图示的RC 电路，其微分方程为

i(t)+

r(t)

+

（a ） 电路图

R

C

)(t r U dt

du RC c c

=+ )()()(t r t C t C T =+∙

其中C(t)为电路输出电压，r(t)为电路输入电压，T=RC 为时间常数。

（b ）方块图

（c ）等效方块图

一阶系统电路图、方块图及等效方块图

当初使条件为零时，其传递函数为

C(s)1

G(s)R(s)TS 1

=

=

+ T-时间常数 下面分别就不同的典型输入信号，分析该系统的时域响应。

2、一阶系统的单位阶跃响应(Unit-Step Response of First-order System)

因为单位阶跃函数的拉氏变换为S

s R 1

)(=，则系统的输出为 1111

C(s)G(s)R(s)TS 1S S TS 1

==

⋅=-++ 对上式取拉氏反变换，得T

t e t c --=1)(0≥t

t

一阶系统单位阶跃响应的特点 ※ 响应分为两部分 瞬态响应：t T

e

-

表示系统输出量从初态到终态的变化过程（动态/过渡过程） 稳态响应：1

表示t→∞时，系统的输出状态

※xo(0) = 0，随时间的推移，xo(t) 指数增大，且无振荡。xo(∞) = 1，无稳态误差；

※xo(T) = 1 - e-1= 0.632，即经过时间T，系统响应达到其稳态输出值的63.2%，从而可以通过实验测量惯性环节的时间常数T；

※当t=0时，初始斜率为

t

T

t0

dc(t)11

e

dt T T

-

=

==

※时间常数T是重要的特征参数，它反映了系统响应的快慢。T越小，C(t)响应越快(上升速度越快)，达到稳态用的时间越短。即系统的惯性越小。反之，T越大，系统的响应速度越慢，惯性越大，达到稳态用的时间越长。

※通常工程中当响应曲线达到并保持在稳态值的95%~98%时，认为系统响应过程基本结束。从而惯性环节的过渡过程时间为3T~4T。

3、一阶系统的脉冲响应

当输入信号为理想单位脉冲函数时，X

i

(s)＝1，输入量的拉氏变换于系统的传递函数相同，即

01

X (s)TS 1

=

+ t T

o 1x (t)e

t 0T

-=≥

一阶系统单位脉冲响应的特点

※ 瞬态响应：(1/T )e – t /T ；稳态响应：0； ※ xo (0)=1/T ,随时间的推移，xo (t )指数衰减； ※

o t 0

2dx (t)1dt

T

==-

※ 对于实际系统，通常应用具有较小脉冲宽度（脉冲宽度小于0.1T ）和有限幅值的脉冲代替理想脉冲信号。

※ 同样满足上述规律，即T 越大，响应越慢，无论哪种输入信号都如此。 对于一阶系统：

即：系统对输入信号导数的响应等于系统对该输入信号响应的导数。 此规律是线性定常系统的重要特征，不适用于线性时变系统及非线性系统。

3-3 二阶系统的时间响应

1、二阶系统的数学模型

凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统，称为二阶系统。 例：

二阶系统的传递函数的标准形式为：

其中，T —为时间常数，也称为无阻尼自由振荡周期。

n ω－自然频率（或无阻尼固有频率）

ξ－阻尼比（相对阻尼系数） 二阶

图3-8 标准形式的二阶系统方块图

二阶系统的动态特性，可以用ξ和n ω这两个参量的形式加以描述 2、二阶系统的单位阶跃响应

二阶系统的特征方程： 022

2=++n n S S ωξω 特征根为：122,1-±-=ξωξωn n S 下面分四种情况进行说明： (1)欠阻尼(10<<ξ)