1.3 因动点产生的直角三角形问题
函数中因动点产生的直角三角形问题
专题6：函数中因动点产生的直角三角形问题构造直角三角形的方法： 1．要分别考虑以三点为直角顶点的情况 2．再利用相似、勾股定理或者锐角三角函数的相关知识计算，从而求出对应的点坐标．例题、已知：如图一次函数y ＝12x ＋1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数y ＝12x 2＋bx ＋c 的图象与一次函数y ＝12x ＋1的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点且D 点坐标为(1，0)(1)求二次函数的解析式；(2)求四边形BDEC 的面积S ；(3)在x 轴上是否存在点P ，使得△PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P ，若不存在，请说明理由．解：(1)将B (0，1)，D (1，0)的坐标代入y ＝12x 2＋bx ＋c 得 1,10.2c b c =⎧⎪⎨++=⎪⎩得解析式y ＝12x 2－32x ＋1………………3分 (2)设C (x 0，y 0)，则有00200011,13 1.22y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩解得004,3.x y =⎧⎨=⎩∴C (4，3)．………6分 由图可知：S ＝S △ACE －S △ABD ．又由对称轴为x ＝32可知E (2，0)． ∴S ＝12AE ·y 0－12AD ×OB ＝12×4×3－12×3×1＝92………………………8分 当P 为直角顶点时，如图：过C 作CF ⊥x 轴于F ．∵Rt△BOP ∽Rt△PFC ，∴BO OP PF CF =．即143a a =-． 整理得a 2－4a ＋3＝0．解得a ＝1或a ＝3∴所求的点P 的坐标为(1，0)或(3，0)综上所述：满足条件的点P 共有二个………………12分(3)设符合条件的点P 存在，令P (a ，0)：当P 为直角顶点时，如图：过C 作CF ⊥x 轴于F ，∵Rt △BOP ∽Rt △PFC ，∴CF OP PF BO =,即341a a =-， 整理得a 2-4a+3=0，解得a=1或a=3，∴所求的点P 的坐标为（1，0）或（3，0）， 综上所述：满足条件的点P 共有二个。
专题4因动点产生的直角三角形问题
专题4:因动点产生的直角三角形问题 例1:如图1，抛物线233384
y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．
（1）求点A 、B 的坐标；
（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；
（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．
三个时，求直线l 的解析式．
例2:如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，CD//AB，点E为射线CD上一动点（不与点C重合），联结AE交边BC于F，∠BAE的平分线交BC 于点G．
（1）当CE＝3时，求S△CEF∶S△CAF的值；
（2）设CE＝x，AE＝y，当CG＝2GB时，求y与x之间的函数关系式；（3）当AC＝5时，联结EG，若△AEG为直角三角形，求BG的长．。
中考复习专题一 动点类问题专题(二)
中考复习专题一：动点问题 3、因动点产生的直角三角形问题 例1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，CD//AB，点E为射线CD上一动点（不与点C重合），
联结AE交边BC于F，∠BAE的平分线交BC于点G． （1）当CE＝3时，求S△CEF∶S△CAF的值； （2）设CE＝x，AE＝y，当CG＝2GB时，求y与x之间的函数关系式； （3）当AC＝5时，联结EG，若△AEG为直角三角形，求BG的长．
例2、抛物线233384yxx与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B的坐标； （2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标； （3）若直线l过点E(4, 0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，
求直线l的解析式． 例3在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k)．
（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式； （2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围； （3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．
例4已知A、B是线段MN上的两点，4MN，1MA，1MB．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心
逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设xAB． （1）求x的取值范围； （2）若△ABC为直角三角形，求x的值； （3）探究：△ABC的最大面积？ 4、因动点产生的平行四边形问题 例1在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），
经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC． （1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；
函数图像上由动点产生的直角三角形解题策略
（ｍ，一吉ｍ＋４），Ｑ（ｍ， ｍ２一兰ｍ一４）． 所以 Ｑ＝（一 １ ｍ＋４）一‘ １ ｍ 一吾ｍ一４）
（３）设 点 Ｑ的坐 标 为 （ ， １（ ＋２）（ 一８））
①如图 ４，＠ＡＤＢＱ＝９０。时 ， ＱＧ ： ：
一
ＧＢ ＨＤ ２‘
所以 ＝圭．
解得 ＝６．此时 Ｑ（６，一４）
Ｊ
义
八
～
ｃ ＼
图 ４
一 ｒｎ ＋ｍ＋ｓ．
② 如 Ｎ ５，￣￣ＢＤＱ＝９０。
＝ ＝２．
当ＭＱ＝ＤＣ＝８时 ．四边 形 ＣＱＭＤ是平 行 边 形 ．
Ｊ
义 ‘ ／一
ｆ
ｃ
０
２
解方 程一｛ｇ４ ｍ ＋ｍ＋８－８，得 ｍ＝４或 ｍ＝０（舍
ｃ
ｐ 图 ３
图 ６
Ｉ ４３
’
．
轴 交 于 ／ｌ、Ｂ两 点 （点 Ｂ在 点 Ａ的 右 侧 ），与 Ｙ轴
交 于 点 Ｃ，连 接 ＢＣ，以 ＢＣ为一 边 ，点 ０为 对 称
中心作 菱形 ＢＤＥＣ，点 Ｐ是 轴上 的一 个动点 ，
设 点 ，）的 坐标 为 （，ｎ，０），过 点 Ｊ【）作 轴一
Ｆ
一
ｃ
Ｑ 图 １
【思路点拨 】 １．笫 （２）题 先用 龠 Ⅲ的式子 丧乐线 段 ＭＱ 的 ， 根据 ＭＱ＝ＤＣ洲 ．
４２ Ｉ 策 略 方 法
初 数 学 －策 略 方 法
２．第 （２）题 要判 断 网边 形 ＣＱＢＭ 的形 状 ， 最 直接 的方法就 是根据 求得 的 ｍ的 值画一 个 准确 的示意 图 ，先得到结论．
数学中考压轴题分类讲练第3讲因动点产生的直角三角形问题.doc
第3讲 因动点产生的直角三角形问题例1上海市虹口区中考模拟第25题如图1,在RtZUBC 中，ZACB=90Q, 4B=13, CD/!AB,点E 为射线CD 上一动点(不与点C 重 合)，联结/E 交边BC 于F, ZBAE 的平分线交3C 于点G.(1) 当 CE=3 时，求 S HEF ： S HAF 的值；(2) 设CE=x, AE=y f 当CG=2GB 吋，求y 与x 之间的函数关系式； (3) 当AC=5时，联结EG,若为直角三角形，求BG 的长.图3 图4(3) 在 RtA^^C 屮，4B=13, 4C=5,所以 BC=\2・①如图4,当ZAGE=90°吋，延长EG 交4B 于N,那么△ AGE^/XAGN. 所以G 是EN 的中点. 所以G 是3C 的中点，BG=6.思路点拨1. 第(1)题中的ACEF 和是同高三角形，面积比等于底边的比.2. 第(2)题中的是斜边为定值的形状不确定的直角三角形.3. 第(3)题中的直角三角形/EG 分两种情况讨论.(1) 如图2,由CEHAB,得竺=竺=丄_.AF BA 13由于△ CEF 与△ C4 F 是同高三角形，所以 S^CEF : S“CAF =3 : 13.(2) 如图3,延长MG 交射线CQ 于M.由 CMHAB, W —= —= 2.所以 CM=2AB=26. AB BGrh CM//AB,得ZEMA=ZBAM.又因为/M 平分ZBAE,所以ZBAM= ZEAM.所以ZEMA = ZEAM ・所以y=EA=EM=26~x.图1②如图5,当ZAEG=90a时，由厶CAF S MGF,得FC _FA~FE~~FG所以—=1.又因为ZAFG=ZBFA,所以△ AFG^/XBFA. FG FA所以ZE4G=ZB.所以ZGAB=ZB.所以G4 = GB・1 3作GH丄AH,那么BH=AH=—.2在RtAGBH 中，由cosZ5= —,得BG=—^— = — BG13 242考点伸展第(3)题的第②种情况，当ZAEG=90。
中考培优专题第五课：因动点产生的直角三角形问题
第五课：因动点产生的直角三角形问题1、设直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2，若l1⊥l2，垂足为H，则称直线l1与l2是点H的直角线．（1）已知直线①122y x=-+；②2y x=+；③22y x=+；④24y x=+和点C(0，2)，则直线_______和_______是点C的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P为线段OC上一点，设过B、P两点的直线为l1，过A、P两点的直线为l2，若l1与l2是点P的直角线，求直线l1与l2的解析式．2、在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k)．（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．点C，连结BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m, 0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．（1）求点A、B、C的坐标；（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由；（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．点C．（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E(4, 0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有．且只有．．．三个时，求直线l的解析式．。
因动点产生的直角三角形问题(中考压轴题)
因动点产生的直角三角形问题例1 2012年广州市中考第24题如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“12广州24”，拖动点M 在以AB 为直径的圆上运动，可以体验到，当直线与圆相切时，符合∠AMB ＝90°的点M 只有1个．请打开超级画板文件名“12广州24”，拖动点M 在以AB 为直径的圆上运动，可以体验到，当直线与圆相切时，符合∠AMB ＝90°的点M 只有1个．思路点拨1．根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D 有两个．2．当直线l 与以AB 为直径的圆相交时，符合∠AMB ＝90°的点M 有2个；当直线l 与圆相切时，符合∠AMB ＝90°的点M 只有1个．3．灵活应用相似比解题比较简便．满分解答（1）由23333(4)(2)848y x x x x =--+=-+-，得抛物线与x 轴的交点坐标为A (－4, 0)、B (2, 0)．对称轴是直线x ＝－1．（2）△ACD 与△ACB 有公共的底边AC ，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，点B 、D 到直线AC 的距离相等．过点B 作AC 的平行线交抛物线的对称轴于点D ，在AC 的另一侧有对应的点D ′． 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G ，与AC 交于点H ．由BD //AC ，得∠DBG ＝∠CAO ．所以34DG CO BG AO ==．所以3944DG BG ==，点D 的坐标为9(1,)4-． 因为AC //BD ，AG ＝BG ，所以HG ＝DG ．而D ′H ＝DH ，所以D ′G ＝3DG 274=．所以D ′的坐标为27(1,)4．图2 图3（3）过点A 、B 分别作x 轴的垂线，这两条垂线与直线l 总是有交点的，即2个点M ． 以AB 为直径的⊙G 如果与直线l 相交，那么就有2个点M ；如果圆与直线l 相切，就只有1个点M 了．联结GM ，那么GM ⊥l ．在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4．在Rt △EM 1A 中，AE ＝8，113tan 4M A M EA AE ∠==，所以M 1A ＝6．所以点M 1的坐标为(－4, 6)，过M 1、E 的直线l 为334y x =-+． 根据对称性，直线l 还可以是334y x =+． 考点伸展第（3）题中的直线l 恰好经过点C ，因此可以过点C 、E 求直线l 的解析式． 在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4． 在Rt △ECO 中，CO ＝3，EO ＝4，所以CE ＝5．因此三角形△EGM ≌△ECO ，∠GEM ＝∠CEO ．所以直线CM 过点C ．例2 2012年杭州市中考第22题在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y ＝k (x 2＋x －1)的图象交于点A (1,k )和点B(－1,－k )．（1）当k ＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q ，当△ABQ 是以AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值．动感体验请打开几何画板文件名“12杭州22”，拖动表示实数k 的点在y 轴上运动，可以体验到，当k ＜0并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大．观察抛物线的顶点Q 与⊙O 的位置关系，可以体验到，点Q 有两次可以落在圆上．请打开超级画板文件名“12杭州22”，拖动表示实数k 的点在y 轴上运动，可以体验到，当k ＜0并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大．观察抛物线的顶点Q 与⊙O 的位置关系，可以体验到，点Q 有两次可以落在圆上．思路点拨1．由点A (1,k )或点B (－1,－k )的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是ky x=．题目中的k 都是一致的．2．由点A (1,k )或点B (－1,－k )的坐标还可以知道，A 、B 关于原点O 对称，以AB 为直径的圆的圆心就是O ．3．根据直径所对的圆周角是直角，当Q 落在⊙O 上是，△ABQ 是以AB 为直径的直角三角形．满分解答（1）因为反比例函数的图象过点A (1,k )，所以反比例函数的解析式是k y x=． 当k ＝－2时，反比例函数的解析式是2y x=-．（2）在反比例函数ky x=中，如果y 随x 增大而增大，那么k ＜0．当k ＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y 随x 增大而增大．抛物线y ＝k (x 2＋x ＋1)＝215()24k x k +-的对称轴是直线12x =-． 图1 所以当k ＜0且12x <-时，反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大．（3）抛物线的顶点Q 的坐标是15(,)24k --，A 、B 关于原点O 中心对称，当OQ ＝OA ＝OB 时，△ABQ 是以AB 为直径的直角三角形．由OQ 2＝OA 2，得222215()()124k k -+-=+．解得1k =2），2k =3）．图2 图3考点伸展如图4，已知经过原点O 的两条直线AB 与CD 分别与双曲线ky x=（k ＞0）交于A 、B 和C 、D ，那么AB 与CD 互相平分，所以四边形ACBD 是平行四边形．问平行四边形ABCD 能否成为矩形？能否成为正方形？如图5，当A 、C 关于直线y ＝x 对称时，AB 与CD 互相平分且相等，四边形ABCD 是矩形．因为A 、C 可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以OA 与OC 无法垂直，因此四边形ABCD 不能成为正方形．图4 图5例3 2011年沈阳市中考第25题如图1，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C (0，－3)，对称轴是直线x ＝1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ．（1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线BC 的函数表达式；（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限．①当线段34PQ AB =时，求tan ∠CED 的值；②当以C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标． 温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．图1动感体验请打开几何画板文件名“11沈阳25”，拖动点E 或F 在y 轴上运动，可以体验到，△CDE 有两次机会成为等腰直角三角形．双击按钮“PQ ＝3”可以准确显示34PQ AB =时的位置．思路点拨1．第（1）、（2）题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影响后续的解题．2．第（3）题的关键是求点E 的坐标，反复用到数形结合，注意y 轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系．3．根据C 、D 的坐标，可以知道直角三角形CDE 是等腰直角三角形，这样写点E 的坐标就简单了．满分解答（1）设抛物线的函数表达式为2(1)y x n =-+，代入点C (0，－3)，得4n =-．所以抛物线的函数表达式为22(1)423y x x x =--=--．（2）由223(1)(3)y x x x x =--=+-，知A (－1，0)，B (3，0)．设直线BC 的函数表达式为y kx b =+，代入点B (3，0)和点C (0，－3)，得30,3.k b b +=⎧⎨=-⎩ 解得1k =，3b =-．所以直线BC 的函数表达式为3y x =-．（3）①因为AB ＝4，所以334PQ AB ==．因为P 、Q 关于直线x ＝1对称，所以点P 的横坐标为12-．于是得到点P 的坐标为17,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点F 的坐标为70,4⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以75344FC OC OF =-=-=，522EC FC ==．进而得到51322OE OC EC =-=-=，点E 的坐标为10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭． 直线BC:3y x =-与抛物线的对称轴x ＝1的交点D 的坐标为（1，－2）．过点D 作DH ⊥y 轴，垂足为H ．在Rt △EDH 中，DH ＝1，13222EH OH OE =-=-=，所以tan ∠CED 23DH EH ==．②1(12)P -，25(1)2P -．图2 图3 图4考点伸展第（3）题②求点P 的坐标的步骤是：如图3，图4，先分两种情况求出等腰直角三角形CDE 的顶点E 的坐标，再求出CE 的中点F 的坐标，把点F 的纵坐标代入抛物线的解析式，解得的x 的较小的一个值就是点P 的横坐标．例4 2011年浙江省中考第23题设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2，若l 1⊥l 2，垂足为H ，则称直线l 1与l 2是点H 的直角线．（1）已知直线①122y x =-+；②2y x =+；③22y x =+；④24y x =+和点C (0，2)，则直线_______和_______是点C 的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A (3，0)、B (2，7)、C (0，7)，P 为线段OC 上一点，设过B 、P 两点的直线为l 1，过A 、P 两点的直线为l 2，若l 1与l 2是点P 的直角线，求直线l 1与l 2的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“11浙江23”，拖动点P 在OC 上运动，可以体验到，∠APB 有两个时刻可以成为直角，此时△BCP ∽△POA ．答案（1）直线①和③是点C 的直角线．（2）当∠APB ＝90°时，△BCP ∽△POA ．那么BC PO CP OA =，即273POPO =-．解得OP ＝6或OP ＝1．如图2，当OP ＝6时，l 1：162y x =+， l 2：y ＝－2x ＋6．如图3，当OP ＝1时，l 1：y ＝3x ＋1， l 2：113y x =-+．图2 图3例5 2010年北京市中考第24题在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22153244m my x x m m -=-++-+与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2,n )在这条抛物线上．（1）求点B 的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从点O 出发向点A 运动，过点P 作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED ＝PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当点P 运动时，点C 、D 也随之运动）．①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；②若点P 从点O 出发向点A 作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从点A 出发向点O 作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q 到达点O 时停止运动，点P 也停止运动）．过Q 作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM ＝QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当点Q 运动时，点M 、N 也随之运动）．若点P 运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“10北京24”，拖动点P 从O 向A 运动，可以体验到，两个等腰直角三角形的边有三个时刻可以共线．思路点拨1．这个题目最大的障碍，莫过于无图了．2．把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有t 的式子表示这些线段的长． 3．点C 的坐标始终可以表示为(3t ,2t )，代入抛物线的解析式就可以计算此刻OP 的长． 4．当两个等腰直角三角形有边共线时，会产生新的等腰直角三角形，列关于t 的方程就可以求解了．满分解答(1) 因为抛物线22153244m my x x m m -=-++-+经过原点，所以2320m m -+=． 解得12m =，21m =（舍去）．因此21542y x x =-+．所以点B 的坐标为（2，4）．(2) ①如图4，设OP 的长为t ，那么PE ＝2t ，EC ＝2t ，点C 的坐标为(3t , 2t )．当点C 落在抛物线上时，2152(3)342t t t =-⨯+⨯．解得229t OP ==． ②如图1，当两条斜边PD 与QM 在同一条直线上时，点P 、Q 重合．此时3t ＝10．解得103t =． 如图2，当两条直角边PC 与MN 在同一条直线上，△PQN 是等腰直角三角形，PQ ＝PE ．此时1032t t -=．解得2t =．如图3，当两条直角边DC 与QN 在同一条直线上，△PQC 是等腰直角三角形，PQ ＝PD ．此时1034t t -=．解得107t =．图1 图2 图3考点伸展在本题情境下，如果以PD 为直径的圆E 与以QM 为直径的圆F 相切，求t 的值． 如图5，当P 、Q 重合时，两圆内切，103t =．如图6，当两圆外切时，30t =-图4 图5 图6例6 2009年嘉兴市中考第24题如图1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =．（1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值； （3）探究：△ABC 的最大面积？图1动感体验请打开几何画板文件名“09嘉兴24”，拖动点B 在AN 上运动，可以体验到，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；∠CAB 和∠ACB 可以成为直角，∠CBA 不可能成为直角；观察函数的图象，可以看到，图象是一个开口向下的“U ”形，当AB 等于1.5时，面积达到最大值．思路点拨1．根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列关于x 的不等式组，可以求得x 的取值范围．2．分类讨论直角三角形ABC ，根据勾股定理列方程，根据根的情况确定直角三角形的存在性．3．把△ABC 的面积S 的问题，转化为S 2的问题．AB 边上的高CD 要根据位置关系分类讨论，分CD 在三角形内部和外部两种情况．满分解答（1）在△ABC 中，1=AC ，x AB =，x BC -=3，所以⎩⎨⎧>-+->+.31,31x x x x 解得21<<x ．（2）①若AC 为斜边，则22)3(1x x -+=，即0432=+-x x ，此方程无实根． ②若AB 为斜边，则1)3(22+-=x x ，解得35=x ，满足21<<x ． ③若BC 为斜边，则221)3(x x +=-，解得34=x ，满足21<<x ． 因此当35=x 或34=x 时，△ABC 是直角三角形． （3）在△ABC 中，作AB CD ⊥于D ，设h CD =，△ABC 的面积为S ，则xh S 21=． ①如图2，若点D 在线段AB 上，则x h x h =--+-222)3(1．移项，得2221)3(h x h x --=--．两边平方，得22222112)3(h h x x h x -+--=--．整理，得4312-=-x h x ．两边平方，得16249)1(222+-=-x x h x ．整理，得16248222-+-=x x h x所以462412222-+-==x x h x S 21)23(22+--=x （423x <≤）． 当23=x 时（满足423x <≤），2S 取最大值21，从而S 取最大值22．图2 图3②如图3，若点D 在线段MA 上，则x h h x =----2221)3(． 同理可得，462412222-+-==x x h x S 21)23(22+--=x （413x <≤）． 易知此时22<S ． 综合①②得，△ABC 的最大面积为22．考点伸展第（3）题解无理方程比较烦琐，迂回一下可以避免烦琐的运算：设a AD =，例如在图2中，由2222BD BC AD AC -=-列方程222)()3(1a x x a ---=-． 整理，得xx a 43-=．所以 21a -22216248431x x x x x -+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=． 因此462)1(412222-+-=-=x x a x S ． 例 7 2008年河南省中考第23题如图1，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）． （1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“08河南23”，拖动点M 从A 向B 运动，观察S 随t 变化的图象，可以体验到，当M 在AO 上时，图象是开口向下的抛物线的一部分；当M 在OB 上时，S 随t 的增大而增大．观察S 的度量值，可以看到，S 的值可以等于4．观察△MON 的形状，可以体验到，△MON 可以两次成为直角三角形，不存在∠ONM ＝90°的可能．思路点拨1．第（1）题说明△ABC 是等腰三角形，暗示了两个动点M 、N 同时出发，同时到达终点．2．不论M 在AO 上还是在OB 上，用含有t 的式子表示OM 边上的高都是相同的，用含有t 的式子表示OM 要分类讨论．3．将S ＝4代入对应的函数解析式，解关于t 的方程．4．分类讨论△MON 为直角三角形，不存在∠ONM ＝90°的可能．满分解答（1）直线434+-=x y 与x 轴的交点为B （3，0）、与y 轴的交点C （0，4）．Rt △BOC 中，OB ＝3，OC ＝4，所以BC ＝5．点A 的坐标是（-2，0），所以BA ＝5．因此BC ＝BA ，所以△ABC 是等腰三角形．（2）①如图2，图3，过点N 作NH ⊥AB ，垂足为H ．在Rt △BNH 中，BN ＝t ，4sin 5B =，所以45NH t =． 如图2，当M 在AO 上时，OM ＝2－t ，此时211424(2)22555S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-+． 定义域为0＜t ≤2．如图3，当M 在OB 上时，OM ＝t －2，此时211424(2)22555S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-． 定义域为2＜t ≤5．图2 图3②把S ＝4代入22455S t t =-，得224455t t -=．解得12t =22t =去负值）．因此，当点M 在线段OB 上运动时，存在S ＝4的情形，此时2t =．③如图4，当∠OMN ＝90°时，在Rt △BNM 中，BN ＝t ，BM 5t =-，3cos 5B =，所以535t t -=．解得258t =． 如图5，当∠OMN ＝90°时，N 与C 重合，5t =．不存在∠ONM ＝90°的可能． 所以，当258t =或者5t =时，△MON 为直角三角形．图4 图5 考点伸展在本题情景下，如果△MON 的边与AC 平行，求t 的值．如图6，当ON //AC 时，t ＝3；如图7，当MN //AC 时，t ＝2.5．图6 图7 例8 2008年河南省中考第23题如图1，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）． （1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“08河南23”，拖动点M 从A 向B 运动，观察S 随t 变化的图象，可以体验到，当M 在AO 上时，图象是开口向下的抛物线的一部分；当M 在OB 上时，S 随t 的增大而增大．观察S 的度量值，可以看到，S 的值可以等于4．观察△MON 的形状，可以体验到，△MON 可以两次成为直角三角形，不存在∠ONM ＝90°的可能．思路点拨1．第（1）题说明△ABC 是等腰三角形，暗示了两个动点M 、N 同时出发，同时到达终点．2．不论M 在AO 上还是在OB 上，用含有t 的式子表示OM 边上的高都是相同的，用含有t 的式子表示OM 要分类讨论．3．将S ＝4代入对应的函数解析式，解关于t 的方程．4．分类讨论△MON 为直角三角形，不存在∠ONM ＝90°的可能．满分解答（1）直线434+-=x y 与x 轴的交点为B （3，0）、与y 轴的交点C （0，4）． Rt △BOC 中，OB ＝3，OC ＝4，所以BC ＝5．点A 的坐标是（-2，0），所以BA ＝5．因此BC ＝BA ，所以△ABC 是等腰三角形．（2）①如图2，图3，过点N 作NH ⊥AB ，垂足为H ．在Rt △BNH 中，BN ＝t ，4sin 5B =，所以45NH t =． 如图2，当M 在AO 上时，OM ＝2－t ，此时211424(2)22555S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-+．定义域为0＜t ≤2． 如图3，当M 在OB 上时，OM ＝t －2，此时211424(2)22555S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-．定义域为2＜t ≤5．图2 图3②把S ＝4代入22455S t t =-，得224455t t -=．解得12t =，22t =．因此，当点M 在线段OB 上运动时，存在S ＝4的情形，此时2t =． ③如图4，当∠OMN ＝90°时，在Rt △BNM 中，BN ＝t ，BM 5t =-，3cos 5B =， 所以535t t -=．解得258t =． 如图5，当∠OMN ＝90°时，N 与C 重合，5t =．不存在∠ONM ＝90°的可能． 所以，当258t =或者5t =时，△MON 为直角三角形．图4 图5 考点伸展在本题情景下，如果△MON 的边与AC 平行，求t 的值．如图6，当ON //AC 时，t ＝3；如图7，当MN //AC 时，t ＝2.5．图6 图7。
3、因动点问题产生的直角三角形问题
1.3 因动点产生的直角三角形问题例1 2013年山西省中考第26题如图1，抛物线213442y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图1满分解答（1）由21314(2)(8)424y x x x x =--=+-，得A (－2,0)，B (8,0)，C (0,－4)． （2）直线DB 的解析式为142y x =-+．由点P 的坐标为(m , 0)，可得1(,4)2M m m --，213(,4)42Q m m m --．所以MQ ＝221131(4)(4)82424m m m m m -+---=-++．当MQ ＝DC ＝8时，四边形CQMD 是平行四边形． 解方程21884m m -++=，得m ＝4，或m ＝0（舍去）． 此时点P 是OB 的中点，N 是BC 的中点，N (4,－2)，Q (4,－6)． 所以MN ＝NQ ＝4．所以BC 与MQ 互相平分． 所以四边形CQBM 是平行四边形．图2 图3（3）存在两个符合题意的点Q ，分别是(－2,0)，(6,－4)．考点伸展第（3）题可以这样解：设点Q 的坐标为1(,(2)(8))4x x x +-．①如图3，当∠DBQ ＝90°时， 12QG BH GB HD ==．所以1(2)(8)1482x x x -+-=-．解得x ＝6．此时Q (6,－4)．②如图4，当∠BDQ ＝90°时， 2QG DH GD HB ==．所以14(2)(8)42x x x-+-=-．解得x ＝－2．此时Q (－2,0)．图3 图4例1 2012年广州市中考第24题如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．图1满分解答（1）由23333(4)(2)848y x x x x =--+=-+-，得抛物线与x 轴的交点坐标为A (－4, 0)、B (2, 0)．对称轴是直线x ＝－1．（2）△ACD 与△ACB 有公共的底边AC ，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，点B 、D 到直线AC 的距离相等．过点B 作AC 的平行线交抛物线的对称轴于点D ，在AC 的另一侧有对应的点D ′． 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G ，与AC 交于点H ．由BD //AC ，得∠DBG ＝∠CAO ．所以34DG CO BG AO ==．所以3944DG BG ==，点D 的坐标为9(1,)4-．因为AC //BD ，AG ＝BG ，所以HG ＝DG ．而D ′H ＝DH ，所以D ′G ＝3DG 274=．所以D ′的坐标为27(1,)4．图2 图3（3）过点A 、B 分别作x 轴的垂线，这两条垂线与直线l 总是有交点的，即2个点M ． 以AB 为直径的⊙G 如果与直线l 相交，那么就有2个点M ；如果圆与直线l 相切，就只有1个点M 了．联结GM ，那么GM ⊥l ．在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4．在Rt △EM 1A 中，AE ＝8，113tan 4M A M EA AE ∠==，所以M 1A ＝6．所以点M 1的坐标为(－4, 6)，过M 1、E 的直线l 为334y x =-+． 根据对称性，直线l 还可以是334y x =+． 考点伸展第（3）题中的直线l 恰好经过点C ，因此可以过点C 、E 求直线l 的解析式． 在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4． 在Rt △ECO 中，CO ＝3，EO ＝4，所以CE ＝5．因此三角形△EGM ≌△ECO ，∠GEM ＝∠CEO ．所以直线CM 过点C ．例3 2012年杭州市中考第22题在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y ＝k (x 2＋x －1)的图象交于点A (1,k )和点B(－1,－k )．（1）当k ＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q ，当△ABQ 是以AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值．满分解答（1）因为反比例函数的图象过点A (1,k )，所以反比例函数的解析式是k y x=． 当k ＝－2时，反比例函数的解析式是2y x=-．（2）在反比例函数ky x=中，如果y 随x 增大而增大，那么k ＜0．当k ＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y 随x 增大而增大．抛物线y ＝k (x 2＋x ＋1)＝215()24k x k +-的对称轴是直线12x =-． 图1所以当k ＜0且12x <-时，反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大．（3）抛物线的顶点Q 的坐标是15(,)24k --，A 、B 关于原点O 中心对称，当OQ ＝OA ＝OB 时，△ABQ 是以AB 为直径的直角三角形．由OQ 2＝OA 2，得222215()()124k k -+-=+．解得1233k =（如图2），2233k =-（如图3）．图2 图3考点伸展如图4，已知经过原点O 的两条直线AB 与CD 分别与双曲线ky x=（k ＞0）交于A 、B 和C 、D ，那么AB 与CD 互相平分，所以四边形ACBD 是平行四边形．问平行四边形ABCD 能否成为矩形？能否成为正方形？如图5，当A 、C 关于直线y ＝x 对称时，AB 与CD 互相平分且相等，四边形ABCD 是矩形．因为A 、C 可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以OA 与OC 无法垂直，因此四边形ABCD 不能成为正方形．图4 图5例4 2011年浙江省中考第23题设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2，若l 1⊥l 2，垂足为H ，则称直线l 1与l 2是点H 的直角线．（1）已知直线①122y x =-+；②2y x =+；③22y x =+；④24y x =+和点C (0，2)，则直线_______和_______是点C 的直角线（填序号即可）； （2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A (3，0)、B (2，7)、C (0，7)，P 为线段OC 上一点，设过B 、P 两点的直线为l 1，过A 、P 两点的直线为l 2，若l 1与l 2是点P 的直角线，求直线l 1与l 2的解析式．图1答案（1）直线①和③是点C 的直角线．（2）当∠APB ＝90°时，△BCP ∽△POA ．那么BC PO CP OA =，即273POPO =-．解得OP ＝6或OP ＝1．如图2，当OP ＝6时，l 1：162y x =+， l 2：y ＝－2x ＋6． 如图3，当OP ＝1时，l 1：y ＝3x ＋1， l 2：113y x =-+．图2 图3例5 2010年北京市中考第24题在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22153244m my x x m m -=-++-+与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2,n )在这条抛物线上．（1）求点B 的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从点O 出发向点A 运动，过点P 作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED ＝PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当点P 运动时，点C 、D 也随之运动）．①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；②若点P 从点O 出发向点A 作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从点A 出发向点O 作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q 到达点O 时停止运动，点P 也停止运动）．过Q 作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM ＝QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当点Q 运动时，点M 、N 也随之运动）．若点P 运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．图1满分解答(1) 因为抛物线22153244m my x x m m -=-++-+经过原点，所以2320m m -+=． 解得12m =，21m =（舍去）．因此21542y x x =-+．所以点B 的坐标为（2，4）．(2) ①如图4，设OP 的长为t ，那么PE ＝2t ，EC ＝2t ，点C 的坐标为(3t , 2t )．当点C 落在抛物线上时，2152(3)342t t t =-⨯+⨯．解得229t OP ==． ②如图1，当两条斜边PD 与QM 在同一条直线上时，点P 、Q 重合．此时3t ＝10．解得103t =． 如图2，当两条直角边PC 与MN 在同一条直线上，△PQN 是等腰直角三角形，PQ ＝PE ．此时1032t t -=．解得2t =．如图3，当两条直角边DC 与QN 在同一条直线上，△PQC 是等腰直角三角形，PQ ＝PD ．此时1034t t -=．解得107t =．图1 图2 图3考点伸展在本题情境下，如果以PD 为直径的圆E 与以QM 为直径的圆F 相切，求t 的值． 如图5，当P 、Q 重合时，两圆内切，103t =． 如图6，当两圆外切时，30202t =-．图4 图5 图6例6 2009年嘉兴市中考第24题如图1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =．（1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值； （3）探究：△ABC 的最大面积？图1满分解答（1）在△ABC 中，1=AC ，x AB =，x BC -=3，所以⎩⎨⎧>-+->+.31,31x x x x 解得21<<x ．（2）①若AC 为斜边，则22)3(1x x -+=，即0432=+-x x ，此方程无实根． ②若AB 为斜边，则1)3(22+-=x x ，解得35=x ，满足21<<x ． ③若BC 为斜边，则221)3(x x +=-，解得34=x ，满足21<<x ．因此当35=x 或34=x 时，△ABC 是直角三角形． （3）在△ABC 中，作AB CD ⊥于D ，设h CD =，△ABC 的面积为S ，则xh S 21=． ①如图2，若点D 在线段AB 上，则x h x h =--+-222)3(1．移项，得2221)3(h x h x --=--．两边平方，得22222112)3(h h x x h x -+--=--．整理，得4312-=-x h x ．两边平方，得16249)1(222+-=-x x h x ．整理，得16248222-+-=x x h x所以462412222-+-==x x h x S 21)23(22+--=x （423x <≤）． 当23=x 时（满足423x <≤），2S 取最大值21，从而S 取最大值22．图2 图3②如图3，若点D 在线段MA 上，则x h h x =----2221)3(． 同理可得，462412222-+-==x x h x S 21)23(22+--=x （413x <≤）． 易知此时22<S ． 综合①②得，△ABC 的最大面积为22．考点伸展第（3）题解无理方程比较烦琐，迂回一下可以避免烦琐的运算：设a AD =，例如在图2中，由2222BD BC AD AC -=-列方程222)()3(1a x x a ---=-．整理，得xx a 43-=．所以 21a -22216248431x x x x x -+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=．因此462)1(412222-+-=-=x x a x S ． 例 7 2008年河南省中考第23题如图1，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．图1满分解答（1）直线434+-=x y 与x 轴的交点为B （3，0）、与y 轴的交点C （0，4）．Rt △BOC 中，OB ＝3，OC ＝4，所以BC ＝5．点A 的坐标是（-2，0），所以BA ＝5．因此BC ＝BA ，所以△ABC 是等腰三角形．（2）①如图2，图3，过点N 作NH ⊥AB ，垂足为H ．在Rt △BNH 中，BN ＝t ，4sin 5B =，所以45NH t =． 如图2，当M 在AO 上时，OM ＝2－t ，此时211424(2)22555S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-+．定义域为0＜t ≤2．如图3，当M 在OB 上时，OM ＝t －2，此时211424(2)22555S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-．定义域为2＜t ≤5．图2 图3②把S ＝4代入22455S t t =-，得224455t t -=．解得1211t =+，2211t =-（舍去负值）．因此，当点M 在线段OB 上运动时，存在S ＝4的情形，此时211t =+．③如图4，当∠OMN ＝90°时，在Rt △BNM 中，BN ＝t ，BM 5t =-，3cos 5B =，所以535t t -=．解得258t =． 如图5，当∠OMN ＝90°时，N 与C 重合，5t =．不存在∠ONM ＝90°的可能． 所以，当258t =或者5t =时，△MON 为直角三角形．图4 图5考点伸展在本题情景下，如果△MON 的边与AC 平行，求t 的值．如图6，当ON //AC 时，t ＝3；如图7，当MN //AC 时，t ＝2.5．图6 图7例8 2008年河南省中考第23题如图1，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．图1满分解答（1）直线434+-=x y 与x 轴的交点为B （3，0）、与y 轴的交点C （0，4）． Rt △BOC 中，OB ＝3，OC ＝4，所以BC ＝5． 点A 的坐标是（-2，0），所以BA ＝5． 因此BC ＝BA ，所以△ABC 是等腰三角形．（2）①如图2，图3，过点N 作NH ⊥AB ，垂足为H ．在Rt △BNH 中，BN ＝t ，4sin 5B =，所以45NH t =． 如图2，当M 在AO 上时，OM ＝2－t ，此时211424(2)22555S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-+．定义域为0＜t ≤2．如图3，当M 在OB 上时，OM ＝t －2，此时211424(2)22555S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-．定义域为2＜t ≤5．图2 图3②把S ＝4代入22455S t t =-，得224455t t -=． 解得1211t =+，2211t =-（舍去负值）．因此，当点M 在线段OB 上运动时，存在S ＝4的情形，此时211t =+． ③如图4，当∠OMN ＝90°时，在Rt △BNM 中，BN ＝t ，BM 5t =-，3cos 5B =， 所以535t t -=．解得258t =． 如图5，当∠OMN ＝90°时，N 与C 重合，5t =． 不存在∠ONM ＝90°的可能． 所以，当258t =或者5t =时，△MON 为直角三角形．图4 图5考点伸展在本题情景下，如果△MON 的边与AC 平行，求t 的值．如图6，当ON //AC 时，t ＝3；如图7，当MN //AC 时，t ＝2.5．图6 图7例9 2011年沈阳市中考第25题如图1，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C (0，－3)，对称轴是直线x ＝1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ．（1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线BC 的函数表达式；（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限．①当线段34PQ AB =时，求tan ∠CED 的值；②当以C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标． 温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．图1动感体验请打开几何画板文件名“11沈阳25”，拖动点E 或F 在y 轴上运动，可以体验到，△CDE 有两次机会成为等腰直角三角形．双击按钮“PQ ＝3”可以准确显示34PQ AB =时的位置．思路点拨1．第（1）、（2）题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影响后续的解题．2．第（3）题的关键是求点E 的坐标，反复用到数形结合，注意y 轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系．3．根据C、D的坐标，可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形，这样写点E的坐标就简单了．满分解答（1）设抛物线的函数表达式为2(1)y x n=-+，代入点C(0，－3)，得4n=-．所以抛物线的函数表达式为22(1)423y x x x=--=--．（2）由223(1)(3)y x x x x=--=+-，知A(－1，0)，B(3，0)．设直线BC的函数表达式为y kx b=+，代入点B(3，0)和点C(0，－3)，得30,3.k bb+=⎧⎨=-⎩解得1k=，3b=-．所以直线BC的函数表达式为3y x=-．（3）①因为AB＝4，所以334PQ AB==．因为P、Q关于直线x＝1对称，所以点P的横坐标为12-．于是得到点P的坐标为17,24⎛⎫--⎪⎝⎭，点F的坐标为70,4⎛⎫-⎪⎝⎭．所以75344FC OC OF=-=-=，522 EC FC==．进而得到51322OE OC EC=-=-=，点E的坐标为10,2⎛⎫-⎪⎝⎭．直线BC:3y x=-与抛物线的对称轴x＝1的交点D的坐标为（1，－2）．过点D作DH⊥y轴，垂足为H．在Rt△EDH中，DH＝1，13222EH OH OE=-=-=，所以tan∠CED23DHEH==．②1(12,2)P--，265 (1,)22P--．图2 图3 图4考点伸展第（3）题②求点P的坐标的步骤是：如图3，图4，先分两种情况求出等腰直角三角形CDE的顶点E的坐标，再求出CE的中点F 的坐标，把点F 的纵坐标代入抛物线的解析式，解得的x 的较小的一个值就是点P 的横坐标．练习3：在直角坐标平面内，O 为原点，二次函数2y x bx c =-++的图像经过A （-1，0）和点B （0，3），顶点为P 。
直角三角形的存在性问题
直角三角形的存在性问题（因动点产生的直角三角形的存在性问题）课前预热1、两点式2、两直线互相垂直，两直线的解析式为11b x k y +=与22b x k y += → 121-=⋅k k3、三角形相似：射影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项∠ACB=90° BD AD CD •=2⇒ AB AD AC •=2CD ⊥AB AB BD BC •=24、三角函数求解新课认知问题提出：已知直角三角形的一边（即直角三角形的两个点确定），求 解第三点解决方法：1、找点方法：双线一圆（两垂线一圆）一圆指以已知边为直径作圆，双线指过线段（边）端点（顶点）做垂线. 2、分析题目中的定长、定角3、确定点的坐标情况分类：（1）当动点在直线上运动时常用方法:①121-=⋅k k ；②三角形相似；③勾股定理；（2）当动点在曲线上运动是时情况分类：①已知点处做直角方法：①121-=⋅k k ；②三角形相似；③勾股定理.②动点处做直角方法：寻找特殊角.动点在直线上运动时例1如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（-1，0），对称轴为直线x=-2．（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的另一点．已知以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9．求此抛物线的解析式，并指出顶点E的坐标；（3）点P是（2）中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动．设点P运动的时间为t秒．①当t为秒时，△PAD的周长最小？当t为秒时，△PAD是以AD为腰的等腰三角形？（结果保留根号）②点P在运动过程中，是否存在一点P，使△PAD是以AD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由当动点在曲线上运动时 (1)求解过程中只有已知点处做直角例2 如图，抛物线213442y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（2）求解过程中动点处做直角例3 如图，已知抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于点C （0，-3），对称轴是直线x=1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC 的函数表达式；（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限．①当线段PQ=43AB,求tan ∠CED 的值②当以点C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标． 温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．1、（2012山东枣庄10分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为 (－1，0) ．如图所示，B 点在抛物线y ＝12x 2＋12x －2图象上，过点B 作BD ⊥x 轴，垂足为D ，且B 点横坐标为－3．（1）求证：△BDC ≌△COA ； （2）求BC 所在直线的函数关系式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△ACP 是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2.已知抛物线y=ax 2+bx+3（a ≠0）经过A （3，0），B （4，1）两点，且与y 轴交于点C ．（1）求抛物线y=ax 2+bx+3（a ≠0）的函数关系式及点C 的坐标；（2）如图（1），连接AB ，在题（1）中的抛物线上是否存在点P ，使△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2），连接AC ，E 为线段AC 上任意一点（不与A 、C 重合）经过A 、E 、O 三点的圆交直线AB 于点F ，当△OEF 的面积取得最小值时，求点E 的坐标．3、（2012内蒙古）如图，抛物线2y x bx 5=--与x 轴交于A ．B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点C 与点F 关于抛物线的对称轴对称，直线AF 交y 轴于点E ，|OC|：|OA|=5：1．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线AF 的解析式；（3）在直线AF 上是否存在点P ，使△CFP 是直角三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．例1（1）由抛物线的轴对称性及A（﹣1，0），可得B（﹣3，0）．（2）设抛物线的对称轴交CD于点M，交AB于点N，由题意可知AB∥CD，由抛物线的轴对称性可得CD=2DM．∵MN∥y轴，AB∥CD，∴四边形ODMN是矩形．∴DM=ON=2，∴CD=2×2=4．∵A（﹣1，0），B（﹣3，0），∴AB=2，∵梯形ABCD的面积=（AB+CD）•OD=9，∴OD=3，即c=3．∴把A（﹣1，0），B（﹣3，0）代入y=ax2+bx+3得，解得．∴y=x2+4x+3．将y=x2+4x+3化为顶点式为y=（x+2）2﹣1，得E（﹣2，﹣1）．（3）①当t为2秒时，△PAD的周长最小；当t为4或4﹣或4+秒时，△PAD是以AD为腰的等腰三角形．②存在．∵∠APD=90°，∠PMD=∠PNA=90°，∴∠PDM+∠APN=90°，∠DPM+∠PDM=90°，∴∠PDM=∠APN，∵∠PMD=∠ANP，∴△APN∽△PDM，∴=，∴=，∴PN2﹣3PN+2=0，∴PN=1或PN=2．∴P（﹣2，1）或（﹣2，2）．故答案为：2；4或4﹣或4+例2（1）当y=0时，x2﹣x﹣4=0，解得x1=﹣2，x2=8，∵点B在点A的右侧，∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．当x=0时，y=﹣4，∴点C的坐标为（0，﹣4）．（2）由菱形的对称性可知，点D的坐标为（0，4）．设直线BD的解析式为y=kx+b，则，解得k=﹣，b=4．∴直线BD的解析式为y=﹣x+4．∵l⊥x轴，∴点M的坐标为（m，﹣m+4），点Q的坐标为（m，m2﹣m﹣4）．如图，当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形，∴（﹣m+4）﹣（m2﹣m﹣4）=4﹣（﹣4）．化简得：m2﹣4m=0，解得m1=0（不合题意舍去），m2=4．∴当m=4时，四边形CQMD是平行四边形．此时，四边形CQBM是平行四边形．解法一：∵m=4，∴点P是OB的中点．∵l⊥x轴，∴l∥y轴，∴△BPM∽△BOD，∴==，∴BM=DM，∵四边形CQMD是平行四边形，∴DM CQ，∴BM CQ，∴四边形CQBM是平行四边形．解法二：设直线BC的解析式为y=k1x+b1，则，解得k1=，b1=﹣4．故直线BC的解析式为y=x﹣4．又∵l⊥x轴交BC于点N，∴x=4时，y=﹣2，∴点N的坐标为（4，﹣2），由上面可知，点M的坐标为（4，2），点Q的坐标为（4，﹣6）．∴MN=2﹣（﹣2）=4，NQ=﹣2﹣（﹣6）=4，∴MN=QN，又∵四边形CQMD是平行四边形，∴DB∥CQ，∴∠3=∠4，∵在△BMN与△CQN中，，∴△BMN≌△CQN（ASA）∴BN=CN，∴四边形CQBM是平行四边形．（3）抛物线上存在两个这样的点Q，分别是Q1（﹣2，0），Q2（6，﹣4）．若△BDQ为直角三角形，可能有三种情形，如答图2所示：①以点Q为直角顶点．此时以BD为直径作圆，圆与抛物线的交点，即为所求之Q点．∵P在线段EB上运动，∴﹣8≤x Q≤8，而由图形可见，在此范围内，圆与抛物线并无交点，故此种情形不存在．②以点D 为直角顶点．连接AD ，∵OA=2，OD=4，OB=8，AB=10，由勾股定理得：AD=，BD=，∵AB 2+BD 2=AB 2，∴△ABD 为直角三角形，即点A 为所求的点Q ． ∴Q 1（﹣2，0）；③以点B 为直角顶点．如图，设Q 2点坐标为（x ，y ），过点Q 2作Q 2K ⊥x 轴于点K ，则Q 2K=﹣y ，OK=x ，BK=8﹣x ． 易证△QKB ∽△BOD ， ∴，即，整理得：y=2x ﹣16．∵点Q 在抛物线上，∴y=x 2﹣x ﹣4． ∴x 2﹣x ﹣4=2x ﹣16，解得x=6或x=8，当x=8时，点Q 2与点B 重合，故舍去；当x=6时，y=﹣4，∴Q 2（6，﹣4）．例3 ⑴∵抛物线的对称轴为直线x=1， ∴1221b b a -=-=⨯ ∴b =－2．∵抛物线与y 轴交于点C （0，－3），∴c =－3，∴抛物线的函数表达式为y =x 2－2x －3．⑵∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，当y =0时，x 2－2x －3=0．∴x 1=－1,x 2=3.∵A 点在B 点左侧，∴A （－1，0），B （3，0）设过点B （3，0）、C （0，－3）的直线的函数表达式为y =kx ＋m ， 则033k m m =+⎧⎨-=⎩，∴13k m =⎧⎨=-⎩∴直线BC 的函数表达式为y =x －3． ⑶①∵AB =4，PO =34AB ， ∴PO =3∵PO ⊥y 轴∴PO ∥x 轴，则由抛物线的对称性可得点P 的横坐标为12-， ∴P （12-，74-）∴F（0，74 -），∴FC=3－OF=3－74=54．∵PO垂直平分CE于点F，∴CE=2FC=5 2∵点D在直线BC上，∴当x=1时，y=－2，则D（1，－2）．过点D作DG⊥CE于点G，∴DG=1，CG=1，∴GE=CE－CG=52－1=32．在Rt△EGD中，tan∠CED=23 GDEG=．②P1（12），P2（1－252）．练习1、【答案】解：（1）证明：∵∠BCD ＋∠ACO ＝90°，∠ACO ＋∠OAC ＝90°，∴∠BCD ＝∠OAC 。
中考数学考试难点突破(5)：因动点产生的直角三角形问题(学生版)
鼎吉教育（Dinj Education ）中小学生课外个性化辅导中心资料 中考数学难点突破学习地址：佛山市南海区南海大道丽雅苑中区会所2楼 第1页 咨询热线：中学1三7六0九9三5四9（吉老师）小学........（雷老师）AB COyxD中考难点突破：因动点产生的直角三角形问题例1、（2010广东24）如图（1），（2）所示，矩形ABCD 的边长AB=6，BC=4，点F 在DC 上，DF=2．动点M 、N 分别从点D 、B 同时出发，沿射线DA 、线段BA 向点A 的方向运动（点M 可运动到DA 的延长线上），当动点N 运动到点A 时，M 、N 两点同时停止运动．连接FM 、FN ，当F 、N 、M 不在同一直线时，可得△FMN ，过△FMN 三边的中点作△PWQ ．设动点M 、N 的速度都是1个单位/秒，M 、N 运动的时间为x 秒．试解答下列问题： （1）说明△FMN ∽△QWP ；（2）设0≤x ≤4（即M 从D 到A 运动的时间段）．试问x 为何值时，△PWQ 为直角三角形？当x在何范围时，△PQW 不为直角三角形？（3）问当x 为何值时，线段MN 最短？求此时MN 的值．练习1、（2010梅州23）如图，直角梯形OABC 中，OC∥AB，C(0，3)，B(4，1)，以BC 为直径的圆交x 轴于D 、E 两点(D 点在E 点右方)．(1)求点E 、D 的坐标； (2)求过B 、C 、D 三点的抛物线的函数关系式；(3)过B 、C 、D 三点的抛物线上是否存在点Q ，使△BDQ 是以BD 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．第24题图（1）ABM C FDNWPQ第24题图（2）A BCDFMNWPQ鼎吉教育 遵循：“授人以鱼，不如授人以渔”的教育理念 秉承：“以人为本，质量第一，突出特色， 服务家长”的服务宗旨 ◆ 以鲜明的教育理念启发人 ◆ 以浓厚的学习氛围影响人 第2页 以不倦的育人精神感染人 ◆ 以优良的学风学纪严律人◆例2、（2014•广东25）如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥AB 于点D ，BC=10cm ，AD=8cm ．点P 从点B 出发，在线段BC 上以每秒3cm 的速度向点C 匀速运动，与此同时，垂直于AD 的直线m 从底边BC 出发，以每秒2cm 的速度沿DA 方向匀速平移，分别交AB 、AC 、AD 于E 、F 、H ，当点P 到达点C 时，点P 与直线m 同时停止运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）． （1）当t=2时，连接DE 、DF ，求证：四边形AEDF 为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF 的面积存在最大值，当△PEF 的面积最大时，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t ，使△PEF 为直角三角形？若存在，请求出此时刻t 的值；若不存在，请说明理由．练习2、（2012•广州24）如图，抛物线y=与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E （4，0），M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l 的解析式．鼎吉教育（Dinj Education ）中小学生课外个性化辅导中心资料 中考数学难点突破 学习地址：佛山市南海区南海大道丽雅苑中区会所2楼 第3页 咨询热线：中学1三7六0九9三5四9（吉老师）小学........（雷老师）（2013广东梅州23）用如图①，②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出．．．．．．．．．．．．．．．），完成以下两个探究问题：探究一：将以上两个三角形如图③拼接（BC 和ED 重合），在BC 边上有一动点P ． （1）当点P 运动到∠CFB 的角平分线上时，连接AP ，求线段AP 的长； （2）当点P 在运动的过程中出现PA=FC 时，求∠PAB 的度数．探究二：如图④，将△DEF 的顶点D 放在△ABC 的BC 边上的中点处，并以点D 为旋转中心旋转△DEF ，使△DEF 的两直角边与△ABC 的两直角边分别交于M 、N 两点，连接MN ，在旋转△DEF 的过程中，△AMN 的周长是否存在有最小值？若存在．求出它的最小值；若不存在，请说明理由．。
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第 1 页 1.3 因动点产生的直角三角形问题 例1 2013年山西省中考第26题 如图1，抛物线213442yxx与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连结BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m, 0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q． （1）求点A、B、C的坐标； （2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由； （3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
图1 思路点拨
1．第（2）题先用含m的式子表示线段MQ的长，再根据MQ＝DC列方程． 2．第（2）题要判断四边形CQBM的形状，最直接的方法就是根据求得的m的值画一个准确的示意图，先得到结论． 3．第（3）题△BDQ为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形．
满分解答
（1）由21314(2)(8)424yxxxx，得A(－2,0)，B(8,0)，C(0,－4)． （2）直线DB的解析式为142yx． 由点P的坐标为(m, 0)，可得1(,4)2Mmm，213(,4)42Qmmm． 所以MQ＝221131(4)(4)82424mmmmm． 当MQ＝DC＝8时，四边形CQMD是平行四边形． 解方程21884mm，得m＝4，或m＝0（舍去）． 此时点P是OB的中点，N是BC的中点，N(4,－2)，Q(4,－6)． 所以MN＝NQ＝4．所以BC与MQ互相平分． 第 2 页
所以四边形CQBM是平行四边形． 图2 图3 （3）存在两个符合题意的点Q，分别是(－2,0)，(6,－4)．
考点伸展
第（3）题可以这样解：设点Q的坐标为1(,(2)(8))4xxx．
①如图3，当∠DBQ＝90°时， 12QGBHGBHD．所以1(2)(8)1482xxx． 解得x＝6．此时Q(6,－4)．
②如图4，当∠BDQ＝90°时， 2QGDHGDHB．所以14(2)(8)42xxx． 解得x＝－2．此时Q(－2,0)．
图3 图4 第 3 页
例1 2012年广州市中考第24题 如图1，抛物线233384yxx与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求点A、B的坐标； （2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标； （3）若直线l过点E(4, 0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l的解析式．
图1 思路点拨
1．根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D有两个． 2．当直线l与以AB为直径的圆相交时，符合∠AMB＝90°的点M有2个；当直线l与圆相切时，符合∠AMB＝90°的点M只有1个． 3．灵活应用相似比解题比较简便．
满分解答
（1）由23333(4)(2)848yxxxx， 得抛物线与x轴的交点坐标为A(－4, 0)、B(2, 0)．对称轴是直线x＝－1． （2）△ACD与△ACB有公共的底边AC，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，点B、D到直线AC的距离相等． 过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D，在AC的另一侧有对应的点D′． 设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，与AC交于点H．
由BD//AC，得∠DBG＝∠CAO．所以34DGCOBGAO．
所以3944DGBG，点D的坐标为9(1,)4． 因为AC//BD，AG＝BG，所以HG＝DG． 而D′H＝DH，所以D′G＝3DG274．所以D′的坐标为27(1,)4． 第 4 页
图2 图3 （3）过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线l总是有交点的，即2个点M． 以AB为直径的⊙G如果与直线l相交，那么就有2个点M；如果圆与直线l相切，就只有1个点M了． 联结GM，那么GM⊥l． 在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．
在Rt△EM1A中，AE＝8，113tan4MAMEAAE，所以M1A＝6．
所以点M1的坐标为(－4, 6)，过M1、E的直线l为334yx． 根据对称性，直线l还可以是334yx． 考点伸展 第（3）题中的直线l恰好经过点C，因此可以过点C、E求直线l的解析式． 在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4． 在Rt△ECO中，CO＝3，EO＝4，所以CE＝5． 因此三角形△EGM≌△ECO，∠GEM＝∠CEO．所以直线CM过点C． 第 5 页
例3 2012年杭州市中考第22题 在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k)． （1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式； （2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围； （3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．
思路点拨 1．由点A(1,k)或点B(－1,－k)的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是kyx．题目中的k都是一致的． 2．由点A(1,k)或点B(－1,－k)的坐标还可以知道，A、B关于原点O对称，以AB为直径的圆的圆心就是O． 3．根据直径所对的圆周角是直角，当Q落在⊙O上是，△ABQ是以AB为直径的直角三角形．
满分解答
（1）因为反比例函数的图象过点A(1,k)，所以反比例函数的解析式是kyx． 当k＝－2时，反比例函数的解析式是2yx． （2）在反比例函数kyx中，如果y随x增大而增大，那么k＜0． 当k＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y随x增大而增大．
抛物线y＝k(x2＋x＋1)＝215()24kxk的对称轴是直
线12x． 图1 所以当k＜0且12x时，反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大． （3）抛物线的顶点Q的坐标是15(,)24k，A、B关于原点O中心对称， 当OQ＝OA＝OB时，△ABQ是以AB为直径的直角三角形． 由OQ2＝OA2，得222215()()124kk．
解得1233k（如图2），2233k（如图3）． 第 6 页
图2 图3 考点伸展
如图4，已知经过原点O的两条直线AB与CD分别与双曲线kyx（k＞0）交于A、B和C、D，那么AB与CD互相平分，所以四边形ACBD是平行四边形． 问平行四边形ABCD能否成为矩形？能否成为正方形？ 如图5，当A、C关于直线y＝x对称时，AB与CD互相平分且相等，四边形ABCD是矩形． 因为A、C可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以OA与OC无法垂直，因此四边形ABCD不能成为正方形．
图4 图5 第 7 页
例4 2011年浙江省中考第23题 设直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2，若l1⊥l2，垂足为H，则称直线l1与l2是点H的直角线．
（1）已知直线①122yx；②2yx；③22yx；④
24yx和点C(0，2)，则直线_______和_______是点C的直角线（填序号即可）； （2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P为线段OC上一点，设过B、P两点的直线为l1，过A、P两点的直线为l2，若l1与l2是点P的直角线，求直线l1与l2的解析式．
图1 答案
（1）直线①和③是点C的直角线． （2）当∠APB＝90°时，△BCP∽△POA．那么BCPOCPOA，即273POPO．解得OP
＝6或OP＝1． 如图2，当OP＝6时，l1：162yx， l2：y＝－2x＋6．
如图3，当OP＝1时，l1：y＝3x＋1， l2：113yx．
图2 图3 第 8 页
例5 2010年北京市中考第24题 在平面直角坐标系xOy中，抛物线22153244mmyxxmm与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2,n)在这条抛物线上． （1）求点B的坐标； （2）点P在线段OA上，从点O出发向点A运动，过点P作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得ED＝PE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当点P运动时，点C、D也随之运动）． ①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长； ②若点P从点O出发向点A作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从点A出发向点O作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q到达点O时停止运动，点P也停止运动）．过Q作x轴的垂线，与直线AB交于点F，延长QF到点M，使得FM＝QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当点Q运动时，点M、N也随之运动）．若点P运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．
图1 思路点拨
1．这个题目最大的障碍，莫过于无图了． 2．把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有t的式子表示这些线段的长． 3．点C的坐标始终可以表示为(3t,2t)，代入抛物线的解析式就可以计算此刻OP的长． 4．当两个等腰直角三角形有边共线时，会产生新的等腰直角三角形，列关于t的方程就可以求解了．
满分解答 (1) 因为抛物线22153244mmyxxmm经过原点，所以2320mm
． 解得12m，21m（舍去）．因此21542yxx．所以点B的坐
标为（2，4）． (2) ①如图4，设OP的长为t，那么PE＝2t，EC＝2t，点C的坐标为(3t, 2t)．当点C
落在抛物线上时，2152(3)342ttt．解得229tOP． ②如图1，当两条斜边PD与QM在同一条直线上时，点P、Q重合．此时3t＝10．解