2018届高考数学(理)三轮冲刺 小题提速练10套打包含解析
2018年高考数学三轮冲刺点对点试卷三视图程序框图及简单线性规划
三视图、程序框图及简单线性规划1．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 104π+B. 68π+C. 108π+D. 64π+ 【答案】A2．若一个空间几何体的三视图如图所示，且已知该几何体的体积为433π，则其表面积为（ ）A. 63π+B. 6πC. 3234π+334π+ 【答案】A3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中提出如下问题：“今有刍童，下广两丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈，问积几何？”翻译成现代文是“今有上下底面皆为长方形的草垛，下底（指面积较小的长方形）宽2丈，长3丈；上底（指面积较大的长方形）宽3丈，长4丈；高3丈.问它的体积是多少？”现将该几何体的三视图给出如图所示，则该几何体的体积为（ ）立方丈.A.532B. 24C. 27D. 1862+【答案】A4．如图所示，一个三棱锥的的三视图是三个直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A. 3B. 4C. 6D. 85．已知实数x，y满足10{10330x yx yx y-+≥+-≥--≤，则使不等式1kx y k-+≤恒成立的实数k的取值集合是（）A. (],1-∞ B.1,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦C.1,4⎛⎤-∞⎥⎝⎦D.1,8⎛⎤-∞⎥⎝⎦【答案】B6．在由不等式组2140,{3,2,x yxy-+≥≤-≥所确定的三角形区域内随机取一点，则该点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是( )A. 92π- B. 9π- C. 19π- D. 118π－【答案】D7．已知变量x ， y 满足2{220 240x y x y x y -≥++≥--≤，若方程2260x y y k ++-=有解，则实数k 的最小值为（ ）A.45455- B. 295- C. 4533+ D. 165【答案】B8．设,x y 满足约束条件260{20 20x y x y y -+≥-≤-≤，则x y -的取值范围为（ ）A. []0,4B. []2,4C. []0,2D. []2,6 【答案】A9．执行如图所示的程序框图，则输出的a =（ ）A. 14-B. 45C. 4D. 5 【答案】D10．执行如图所示的程序框图,如果输入的x 、t 均为3，则输出的M 等于（ ）A. 23B.113C.196D.436【答案】C11．执行如图所示的程序框图，则输出的S （）A. 17B. 33C. 65D. 129【答案】C12．《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,已知某“堑堵”的三视图如图所示,则该“堑堵”的表面积为（）A. 2B. 4C.D.【答案】D13．【2017届福建省泉州市高三3月质量检测】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的侧视图中的虚线部分是 （ ）A. 圆弧B. 抛物线的一部分C. 椭圆的一部分D. 双曲线的一部分 【答案】D14．如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,若该几何体的顶点都在球O 的球面上,则球O 的表面积为（ ）A.B.C.D.【答案】A15．若()21log 12,31x y x ≤-+≤-≤,则2x y -的最大值与最小值之和是（ ） A. 0 B. -2 C. 2 D. 6 【答案】C16．若变量,x y 满足约束条件{11y xx y y ≤+≤≥-,且2z x y =+的最大值和最小值分别为m 和n ,则m n +=（ ）A. -2B. -1C. 0D. 1【答案】C17．不等式组20{10220xyx y-≤-≤+-≥表示的平面区域的面积是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A18．当4n=时,执行如图所示的程序框图,输出的S值为（）A. 6B. 8C. 14D. 30【答案】D19．一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法可以设计如图所示的程序框图,若输入的,则输出的结果（）A. 4B.1C.D.【答案】C20．右边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”,执行该程序框图（图中“m MOD n”表示除以的余数）,若输入的,分别为485,135,则输出的=（）A. 0B. 5C. 25D. 45【答案】B21. 如图在棱长为1的正方体网格中,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 ( ).A．117 B.111 C．99 D. 75【答案】D22. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A．5B．4C．2D．1【答案】A．23．已知不等式组202020x yyx y-+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩表示的平面区域,则231x yzx+-=-的最大值 .【答案】()()22224x y+++=24.已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+11yyxyx所表示的平面区域为D,若直线3y kx=-与平面区域D有公共点,则k的取值范围为是A．[3,3]- B．11(,][,)33-∞-+∞ C．(,3][3,)-∞-+∞ D．11[,]33-【答案】C正视图侧视图。
2018年高考数学三轮冲刺 提分练习卷 数列与不等式(无答案)文
数列与不等式1．已知{}n a 为等差数列， 39227a a +=，则{}n a 的前9项和9S =（ ）A. 9B. 17C. 72D. 812．已知等差数列{}n a 的公差不为0， 11a =，且248,,a a a 成等比数列，设{}n a 的前n 项和为n S ，则n S = A. ()12n n + B. ()212n + C. 212n + D. ()34n n + 3．数列{}n a 满足113a =，且对任意211N*,,1n n n n n n a a a c a +∈=+=+，数列{}n c 的前n 项和为n S ，则2017S 的整数部分是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 44．若等差数列{}n a 的公差为2，且5a 是2a 与6a 的等比中项，则该数列的前n 项和n S 取最小值时， n 的值等于（ ）A. 7B. 6C. 5D. 45．已知数列满足，则（ ） A. B. C. D.6．设x ，y 满足约束条件，则的最大值为（ ）A. 3B. 9C. 12D. 15 7．设,x y 满足约束条件840{1040x y x y y x --≤++≥-≤，目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为2，则11a b + 的最小值为（ ）A. 5B. 52C. 92D. 9 8．已知实数x ， y 满足30{20 0x y x y x y +-≥-≤-≥，若22z x y =+，则z 的最小值为（ ）A. 152 D. 929．设二次函数()()2f x ax bx c a b c =++，，为常数.若不等式()2f x ax b ≥+的解集为R ，则222b a c +的最大值为______．10.已知数列{a n }对任意的n ∈N *都满足a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8－5n ，则数列{a n }的通项公式为________.11.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝S 9，则公比q ＝________.12.已知数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋1＝a n ＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________. 13、若不等式x 2＋x －1<m 2x 2－mx 对x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是________.14．已知数列{n a }， 1a ＝1且点(n a ， 1n a +)在函数21y x =+的图象上，则4a ＝________.15．已知定义域为[)0,+∞的函数()f x 满足()()22f x f x =+，当[)0,2x ∈时， ()224f x x x =-+，设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为()*n a n N ∈，且数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =__________．16.已知{}n a 是等差数列， {}n b 是等比数列，且21a =-， 29b =， 130a b =， 3325a b +=.（1）求数列{}n a ， {}n b 的通项公式；（2）记n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和.17．已知数列{}n a 满足()f x ，则22n n a a +=+，且2a ， 1a ， 3a ， 7a 成等比数列.（Ⅰ）设1n n n b a a +=+，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设212n n n n n b c b b ++=，求政12n 1c +c +L+c 3<. 18．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且1320a a +=， 28a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n nn b a =， n S 是数列{}n b 的前n 项和，对任意正整数n 不等式()112n n n n S a ++>-⋅恒成立，求实数a 的取值范围.19. 已知数列{}n a 中， 121=3a a =，，其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+，其中*2n n N ≥∈，.（1）求证：数列{}n a 为等差数列，并求其通项公式；（2）设2nn n n ab T =，为数列{}n b 的前n 项和，求n T ；（3）设()()*1412n a n n n c n N λλ-=+-⋅∈为非零整数，，试确定实数λ的值，使得对任意的*n N ∈，都有1n n c c +>成立.20、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ， 12a =， ()123n n S n a =+．（1）求n a ；（2）求证: 121111na a a ++⋯+<．21. 设数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，数列{}n b 满足()212211221log n n n b n a --=++.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n T .。
题组2数列 2018届高三数学三轮冲刺解答题定心训练题组
数列011、已知数列{}n a 的首项123a =，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…。
（1）证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 是等比数列；（2）数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 的前n 项和n S 。
解：（1）121n n n a a a +=+，111111222n n n na a a a ++==+⋅，11111(1)2n n a a +-=-， 又123a =，11112a -=，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 是以为12首项，12为公比的等比数列。
（2）由（1）知1111111222n n n a -+-=⋅=，即1112n n a =+，∴2n n n nn a =+。
设23123222n T =+++…2n n +，①则23112222n T =++ (1122)n n n n+-++，② 由①—②得2111222n T =++ (11111)(1)1122112222212n n n n n n n n n +++-+-=-=---，11222n n n n T -=--。
又123+++ (1)2n n n ++=。
数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 的前n 项和22(1)4222222n n n n n n n n n S +++++=-+==。
2、已知数列{}n a 满足：1±≠n a ，211=a ，()()2211213n n a a -=-+，记数列21n n a b -=，221n n n c a a +=-，n N *∈。
（1）证明数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n c 的通项公式；（3）是否存在数列{}n c 的不同项k j i c c c ,,，k j i <<，使之成为等差数列？若存在请求出这样的不同项k j i c c c ,,，k j i <<；若不存在，请说明理由。
解：（1）由已知，)(0,1*N n b a n n ∈≠±≠，431=b ，)1(2)1(3221n n a a -=-+，)(32*1N n b b n n ∈=+， 所以{}n b 是43为首项，32为公比的等比数列。
2018年高考数学三轮冲刺点对点试卷立体几何综合题文
立体几何综合题（文）1．如图所示，在多面体111ABC A B C -中， ,,D E F 分别是1,,AC AB CC 的中点， 4AC BC ==， 42AB =，12CC =，四边形11BB C C 为矩形，平面ABC ⊥平面11BB C C ， 11//AA CC（1）求证：平面DEF ⊥平面11AAC C ； （2）求直线EF 与平面ABC 所成的角的正切值.2．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧棱PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是菱形，且23BAD π∠=，点M 是侧棱PC 的中点.（1）求证：直线PA 平面MDB ；（2）若PB PD ⊥，三棱锥P ABD -的体积是63，求PA 的值. 3．如图,在所有棱长均为2的三棱柱111ABC A B C -中, D 、1D 分别是BC 和11B C 的中点. （1）求证： 11A D ∥平面1AB D ；（2）若平面ABC⊥平面11BCC B , 160O B BC ∠=,求三棱锥1B ABC -的体积.4．如图,矩形ABCD 中, 22AB =, 2AD =, M 为DC 的中点,将DAM ∆沿AM 折到D AM ∆'的位置,AD BM '⊥．（1）求证：平面D AM '⊥平面ABCM ；（2）若E 为D B '的中点,求三棱锥A D EM -'的体积．5．如图,以A 、B 、C 、D 、E 为顶点的六面体中, ABC ∆和ABD ∆均为等边三角形,且平面ABC ⊥平面ABD ,EC ⊥平面ABC , 3,2EC AB ==．(Ⅰ)求证: //DE 平面ABC ；(Ⅱ)求此六面体的体积．6．在四棱锥P ABCD -中,底面是边长为2的菱形, 060BAD ∠=, 3PB PD ==, 11PA =, AC BD O ⋂=.（1）设平面ABP ⋂平面DCP l =,证明： //l AB ； （2）若E 是PA 的中点,求三棱锥P BCE -的体积P BCE V -.7．在三棱柱111ABC A B C -中,侧棱1BB ⊥底面111A B C , D 为AC 的中点, 1112A B BB ==, 111AC BC =,1160AC B ∠=︒.（1）求证： 1//AB 平面1BDC ； （2）求多面体111A B C DBA 的体积.8．如图,在正三棱柱111ABC A B C -中, 4AB =, 16AA =, E , F 分别为1BB , AC 的中点.（1）求证：平面1A EC ⊥平面11ACC A ； （2）求几何体1AA EBC 的体积.9．如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形, PA ⊥底面ABCD , PA PB =, ,E F 分别是,PA PB 的中点.（1）在图中画出过点,E F 的平面α,使得//α平面PCD （须说明画法,并给予证明）；（2）若过点,E F 的平面//α平面PCD 且截四棱锥P ABCD -所得截面的面积为322,求四棱锥P ABCD -的体积.10．如图,在三棱柱111ABC A B C -中,底面△ABC 是等边三角形,且1AA ⊥平面ABC , D 为AB 的中点. (Ⅰ) 求证：直线1BC ∥平面A 1CD ；(Ⅱ) 若12AB BB ==,E 是1BB 的中点,求三棱锥1A CDE -的体积．11．如图, AB 为圆O 的直径,点E F 、在圆O 上, //AB EF ,矩形ABCD 所在平面和圆O 所在的平面互相垂直.已知2AB =, 1EF =.（Ⅰ）求证：平面DAF ⊥平面CBF ；（Ⅱ）设几何体F ABCD -、F BCE -的体积分别为12V V 、,求12V V ：的值.12．在四棱锥P ABCD -中, PA ⊥平面ABCD , //AD BC , AD DC ⊥, 2AD DC PA ===, 4BC =, E 为PA 的中点, M 为棱BC 上一点．（Ⅰ）当BM 为何值时,有//EM 平面PCD ； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下,求点P 到平面DEM 的距离．13．如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,平面PAD ⊥底面ABCD ,且PAD ∆是边长为2的等边三角形,13,PC M =在PC 上,且PA 面MBD .（1）求证: M 是PC 的中点； （2）求多面体PABMD 的体积.14．如图1,在矩形ABCD 中, 4,2AB AD ==, E 是CD 的中点,将ADE ∆沿AE 折起,得到如图2所示的四棱锥1D ABCE -,其中平面1D AE ABCE ⊥平面.（I ）证明: 1BE D AE ⊥平面； （II ）求三棱锥1C BD E -的体积.15．已知三棱锥P ABC -中,PA ⊥面ABC ,D 是PC 的中点,PD DB ⊥,2, 4.PA AC AB === (Ⅰ)求证：AB AC ⊥(Ⅱ)若G 是PB 的中点,则平面ADG 将三棱锥P ABC -分成的两部分的体积之比.16. 如图,已知矩形CDEF 所在的平面与直角梯形ABCD 所在的平面垂直,且////1,,1,2,, 3.,2AB CD BC CD AB BC CD MB FC MB FC P Q =⊥====分别为,BC AE 的中点．（I ）求证：//PQ 平面MAB ； （II ）求证：平面EAC ⊥平面MBD ．17. 如图,在三棱锥C P -AB 中,PA ⊥PB ,C C A ⊥B ,PA =PB ,C C A =B ,D 、E 、F 分别是C P 、C A 、C B的中点．（I）证明：平面D F//E平面PAB；（II）若2C2AB=P=,求三棱锥CP-AB的体积．18. 如图,在矩形11CCDD中,111////CCBBAA,2,1,21====AABCADAB,将在矩形11CCDD沿11,BBAA分别将四边形CCBBDDAA1111,折起,使1CC与1DD重合（如图所示）（Ⅰ）在三棱柱111CBAABC-中,取AB的中点F,求证：⊥CF平面11AABB；（Ⅱ）当E为棱1CC中点时,求证：//CF平面1AEB.CC1A1B1E19. 如图所示,在边长为12的正方形11ADD A中,点,B C在线段AD上,且3,4AB BC==,作11//BB AA ,分别交111,A D AD于点1B,P .作11//CC AA,分别交111,A D AD于点1C,Q.将该正方形沿11,BB CC折叠,使得1DD与1AA重合,构成如图的三棱柱111ABC A B C-.（1）求证：AB⊥平面11BCC B；（2）求四棱锥A BCQP-的体积.。
2018年高考数学三轮冲刺 提分练习卷 三角函数与三角形(无答案)文
三角函数与三角形1．已知23cos tan 3θθ=+，且k θπ≠（k Z ∈），则()sin 2πθ⎡⎤-⎣⎦等于（ ） A. 13- B.13 C. 23 D. 23- 2．若4cos 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A. 2325 B. 2325- C. 725 D. 725-3．函数()()2sin (012,)2f x x πωϕωϕ=+<<<，若()0f =，且函数()f x 的图象关于直线12x π=-对称，则以下结论正确的是（ ）A. 函数()f x 的最小正周期为3x π=B. 函数()f x 的图象关于点7,09π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 C. 函数()f x 在区间11,424ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内是增函数 D. 由2cos2y x =的图象向右平移512π个单位长度可以得到函数()f x 的图象 4、已知cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，0<α<π2，0<β<π2，则cos β＝________. 5、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且a ＝1，c ＝ 3.若C ＝π3，则角A ＝________. 6、函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的递减区间是________. 7.已知函数()()2cos sin cos 1f x x x x =+-．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；2 （Ⅱ）求()f x 在[]0,π上的单调递增区间．8.已知a , b , c 分别为△ABC 三个内角A , B , Ccos 1sin A C+=. （1）求角A 的大小；（2）若5b c +=,且△ABC求a 的值. 9.在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足2cos 3b C a c π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭. （1）求角B 的大小；（2）若b =ac 的取值范围.10.已知向量()sin ,1a x =-， 13cos ,2b x ⎛⎫=-⎪⎭，函数()()2f x a b a =+⋅-. （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）已知a ， b ， c 分别为ABC ∆内角A， B ， C 的对边，其中A 为锐角， a =1c =，且()1f A =，求ABC ∆的面积S .11.已知函数()231sin cos 2222f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）已知在ABC ∆中， ,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()1f A =， 2a =，求ABC ∆面积的最大值.。
2018年高考数学三轮冲刺提分练习卷数列与不等式(无答案)文
数列与不等式1．已知{}n a 为等差数列， 39227a a +=，则{}n a 的前9项和9S =（ ）A. 9B. 17C. 72D. 812．已知等差数列{}n a 的公差不为0， 11a =，且248,,a a a 成等比数列，设{}n a 的前n 项和为n S ，则n S = A. ()12n n + B. ()212n + C. 212n + D. ()34n n + 3．数列{}n a 满足113a =，且对任意211N*,,1n n n n n n a a a c a +∈=+=+，数列{}n c 的前n 项和为n S ，则2017S 的整数部分是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 44．若等差数列{}n a 的公差为2，且5a 是2a 与6a 的等比中项，则该数列的前n 项和n S 取最小值时， n 的值等于（ ）A. 7B. 6C. 5D. 45．已知数列满足，则（ ） A. B. C. D.6．设x ，y 满足约束条件，则的最大值为（ ）A. 3B. 9C. 12D. 15 7．设,x y 满足约束条件840{1040x y x y y x --≤++≥-≤，目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为2，则11a b+ 的最小值为（ ） A. 5 B. 52 C. 92D. 9 8．已知实数x ， y 满足30{20 0x y x y x y +-≥-≤-≥，若22z x y =+，则z 的最小值为（ ）A. 152 D. 929．设二次函数()()2f x ax bx c a b c =++，，为常数.若不等式()2f x ax b ≥+的解集为R ，则222b a c +的最大值为______．10.已知数列{a n }对任意的n ∈N *都满足a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8－5n ，则数列{a n }的通项公式为________.11.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝S 9，则公比q ＝________.12.已知数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋1＝a n ＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________. 13、若不等式x 2＋x －1<m 2x 2－mx 对x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是________.14．已知数列{n a }， 1a ＝1且点(n a ， 1n a +)在函数21y x =+的图象上，则4a ＝________.15．已知定义域为[)0,+∞的函数()f x 满足()()22f x f x =+，当[)0,2x ∈时， ()224f x x x =-+，设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为()*n a n N ∈，且数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =__________．16.已知{}n a 是等差数列， {}n b 是等比数列，且21a =-， 29b =， 130a b =， 3325a b +=.（1）求数列{}n a ， {}n b 的通项公式；（2）记n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和.17．已知数列{}n a 满足()f x ，则22n n a a +=+，且2a ， 1a ， 3a ， 7a 成等比数列.（Ⅰ）设1n n n b a a +=+，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设212n n n n n b c b b ++=，求政12n 1c +c +L+c 3<. 18．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且1320a a +=， 28a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n b a =， n S 是数列{}n b 的前n 项和，对任意正整数n 不等式()112n n n n S a ++>-⋅恒成立，求实数a 的取值范围.19. 已知数列{}n a 中， 121=3a a =，，其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+，其中*2n n N ≥∈，.（1）求证：数列{}n a 为等差数列，并求其通项公式；（2）设2n n n n a b T =，为数列{}n b 的前n 项和，求n T ； （3）设()()*1412n a n n n c n N λλ-=+-⋅∈为非零整数，，试确定实数λ的值，使得对任意的*n N ∈，都有1n n c c +>成立.20、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ， 12a =， ()123n n S n a =+． （1）求n a ；（2）求证: 121111na a a ++⋯+<． 21. 设数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，数列{}nb 满足()212211221log n n n b n a --=++. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n T .。
2018年高考数学三轮冲刺专题数形结合法的应用练习题(无答案)理
数形结合法的应用r > 11. 实数x、y满足T+1 ~3，则竺丄的取值范围是____________________ .x+12. 如图，过原点0的直线甘与函数A心的图像交于A, B两点，过A, B分别作x轴的垂线，与函数「—：v的；m ' 、的解集为 __________门=|兀+ 11兀V 14. 已知函数，函数■."：_____________________________ '■- ' ,则不等式丄「匕二的解集为.予2兀5. 抛物线.「二的焦点为F,准线为I，点』"为抛物线上的两个动点，且满足•设线段也的中L JlAfjVI点M在准线I上的投影为N,则仃，的最大值为（）A. 'B. 'C. ,D. '6. 已知函数f (x)及其导函数f/( x)的图像为右图中四条光滑曲线中的两条，则f (x)的递增区间为A. (1，+8)B. (- 2)C. (0, +8)D. ( 1/2 , +8)1 7 .二次函数；I二、.r --八中，其中订.> Ij且.：二I，若对任意的T E R都有i ' ' - 一：••- '•,设嗒1，则aAm B.翟<!! C. 用〉11 D.川巴的大小关系不能确定f x-y<l&设p：实数x, y满足(x- I)2 + (y- I)2 < 1 , q :实数x, y满足x + y>y.，贝卩p是q的()I 1A.充要条件B. 充分不必要条件C.必要不充分条件D. 既不充分也不必要的条件9.已知：如图，集合■为全集，则图中阴影部分表示的集合是( )D. ufi)ncy < 1，贝y p 是 q 的()A. 1._「门门祇B. J ；门八门」C. •」门Lq :实数x , y 满足A. 0B. 2C. 4D. 815. 对任意罷E 直线::八-「一丨二「与圆厂ii.交于不同的两点且存在m 使•:出二|丄：：| 是坐标原点)成立，那么r 的取值范围是()A. hB. tC. I - - _ ,D. -「I16.如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内， B , D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。
2018届高三理科数学小题限时专练(共8套)
算法流程图输出的结果是
（A）7 （B）8 （C）9 （D）10
x 2y 0
（7）变量
x，y
满足约束条件
x
y
0
，则 z 2x y
x 2 y 2 0
的最小值等于
（A） 5 （B） 2 （C） 3
2
2
（D） 2
（8）在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是
（A）若 K2 的观测值为 k＝6.635,我们有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在 100
D
C
M
则 SD 面ABCD .
其中正确的命题个数是
N
A
B
（A） 0
（B）1
（C） 2
（D）3
二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
（13） (1 2 x )3 (1 3 x )5 的展开式中 x 的系数是 .
（14）为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取 5 对父子的身高数据如下： 父亲身高 x(cm) 174 176 176 176 178 儿子身高 y(cm) 175 175 176 177 177
2018 年 2 月
2018 届高三理科数学小题限时专练（二）
限时：30 分钟 总分：80 分
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1．设集合 A x x 1 ， B x 2x 16 ，则 A B
A． (1, 4)
B． (,1)
C． (4, )
D． (,1) (4,)
8．刍薨（chú hōng），中国古代算数中的一种几何形体，《九章 算术》中记载“刍薨者，下有褒有广，而上有褒无广. 刍，草 也. 薨，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长 没有宽为一条棱，刍薨字面意思为茅草屋顶”，如图，为一刍
2018年高考数学三轮冲刺点对点试卷集合平面向量与复数
集合、平面向量与复数1.已知集合{}|31,A x x n n Z ==+∈, {}|44B x x =-≤≤,则集合A B ⋂=A. {}4,1,1,4--B. {}2,1,4-C. {}1,4D. {}4,1,2--【答案】B2．已知全集U Z =,集合{}220,M x x x x Z =--<∈, {}1,0,1,2N =-,则()U C M N ⋂=（ ）A. {}1,2-B. {}1,0-C. {}0,1D. {}1,2 【答案】A 3．【设集合()22,| 1 416x y A x y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭, (){},|3 x B x y y ==,则A B ⋂的子集的个数是：（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】A4．已知集合2{|230}A x x x =+-=, {}1,1B =-,则A B ⋃=（ ） A. {}1 B. {}1,1,3- C. {}3,1,1-- D. {}3,1,1,3--【答案】C5．已知集合2{|20}A x x x =--≥,则R C A =（ ）A. ()1,2-B. []1,2-C. ()2,1-D. []2,1-【答案】A6．已知,m n R ∈,集合{}72,log A m =,集合{},B m n =,若{}1A B ⋂=,则m n +=（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】D7．已知(){}2log 31A x y x ==-, {}224B y x y =+=,则()R C A B ⋂=（ ）A. 12,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 12,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C. 1,23⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A8．已知集合(){}{}2A |log 31,|02x R x B x R x =∈-≤=∈≤≤,则A B ⋃= ( )A. []0,3B. []1,2C. )[0 ,3D. []1,3【答案】C9．若复数2i z i-=-,则复数z 所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A10．复数2i 12i =+（ ） A. 42i 55+ B. 42i 55- C. 42i 55-+ D. 42i 55-- 【答案】A11．复数2i 1iz -=（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A12．已知复数()12i i a bi +=+, a R ∈, b R ∈, a b +=（ ）A. 3-B. 1-C. 1D. 3【答案】B13．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当x π=时, 10i e π+=被认为是数学上最优美的公式,数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知, 4i e 表示的复数在复平面中位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C14．已知a 是实数, 1a i i +-是实数,则7cos 3a π的值为( ) A. 12 B. 12- C. 0 D. 32 【答案】A15．已知复数z 满足()1+243i z i =+,则z 的虚部是（ ）A. -1B. 1C. -2D. 2【答案】B16．已知i 为虚数单位,复数322i z i+=-,则以下为真命题的是（ ） A. z 的共轭复数为7455i - B. z 的虚部为85 C. 3z = D. z 在复平面内对应的点在第一象限17．如图,已知平行四边形ABCD 中, 2BC =, 45BAD ∠=︒, E 为线段BC 的中点, BF CD ⊥,则AE BF ⋅=（ ）A. 222 D. 1【答案】D18．已知12,e e 为单位向量,且1e 与122e e +垂直,则12,e e 的夹角为（ ）A. 30B. 60C. 120D. 150【答案】C19．已知a = πsin ,24b = πcos 24,且、a b 的夹角为π12,则⋅=a b A. 116 B. 18314【答案】B20．在平面直角坐标系xOy 中,已知点)3,0A , ()1,2B ,动点P 满足OP = OA OB λμ+,其中][,0,1,1,2λμλμ⎡⎤∈+∈⎣⎦,则所有点P 构成的图形面积为( )A. 1B. 2C. 3D. 2321．已知菱形ABCD 的边长为2,,点E 、F 分别在边,BC CD 上, BE BC λ=, DF DC μ=,若522λμ+=, 则AE AF ⋅的最小值___________． 【答案】3 22．已知向量a , b 满足5b =, 253a b +=, 52a b -=,则a =__________．56。
2018年高考理科数学考前20天终极冲刺攻略(含答案解析)
核心考点解读——不等式1．（2017高考新课标Ⅱ，理15）设x，y满足约束条件2330233030x yx yy+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y=+的最小值是A．15-B．9-C．1D．92．（2017年高考新课标I，理14）设x，y满足约束条件2121x yx yx y+≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，，，则32z x y=-的最小值为.3.(2016高考新课标I，理16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.4.(2016高考新课标III，理13)若x，y满足约束条件1020220x yx yx y-+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩,则z=x+y的最大值为_____________.5．(2015高考新课标I，理15)若,x y满足约束条件1040xx yx y-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则yx的最大值为.6．(2015高考新课标II，理14) 若x，y满足约束条件1020,220,x yx yx y-+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则z x y=+的最大值为____________．1．在公比为的正项等比数列中,,则当取得最小值时,A ．B ．C ．D ．2．已知均为正实数,且,则的最小值为A ．B ．C ．D ．3．已知点O 为坐标原点,A (-1,1),若点为平面区域上的一个动点,则的取值范围为 A ．B ．C ．D ．4．某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨,B 原料2吨;生产每吨乙产品要用A 原料1吨,B 原料3吨,销售每吨甲产品可获得利润7万元,每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨,B 原料不超过18吨.那么该企业可获得的最大利润是 A ．18万元 B ．万元C ．33万元D ．35万元5．记不等式组表示的区域为，点的坐标为.有下面四个命题：，；，；，；，.其中的真命题是 A ．， B ．， C ．，D ．，6．已知实数满足,则目标函数的最大值为 ．1．若实数,,0a b c >，且()()6a c a b +⋅+=-2a b c ++的最小值为 A1 B1 C．2D．22．已知,x y 满足不等式组10040x x y x y -≥-≤+-≥⎧⎪⎨⎪⎩，则目标函数3z x y =+的最小值是A ．4B ．6C ．8D ．10真题回顾：1.A 【解析】画出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，目标函数即：2y x z =-+，其中z 表示斜率为2k =-的直线系与可行域有交点时直线的纵截距，数形结合可得目标函数在点(6,3)B --处取得最小值，min 2()3)56(1z --=⨯+=-，故选A ．2.5-【解析】不等式组表示的可行域如图所示，易求得1111(1,1),(,),(,)3333A B C ---，由32z x y =-得322zy x =-在y 轴上的截距越大，z 就越小，所以，当直线32z x y =-过点A 时，z 取得最小值，所以z 的最小值为3(1)215⨯--⨯=-.3.216000【解析】设生产产品A 、产品B 分别为x 、y 件，利润之和为z 元，那么由题意得约束条件 1.50.5150,0.390,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩……………目标函数2100900z x y =+.约束条件等价于3300,103900,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩?…………① 作出二元一次不等式组①表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示.将2100900z x y =+变形，得73900z y x =-+，作直线：73y x =-并平移，当直线73900z y x =-+经过点M 时，z 取得最大值.解方程组10390053600x y x y +=⎧⎨+=⎩，得M 的坐标为(60,100).所以当60x =，100y =时，max 210060900100216000z =⨯+⨯=.故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216000元.4.32【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.由图知，当直线z x y=+经过点A 时，z 取得最大值.由22020x y x y +-=⎧⎨-=⎩ 得112x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ ，即1(1,)2A ，则max 13122z =+=．5.3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A (1,3)与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为 3.6.32【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为y x z =-+，当z 取到最大时，直线y x z =-+的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到1(1,)2D ，则z x y =+的最大值为32．名校预测1．【答案】A 【解析】因为为正项等比数列,,所以.由基本不等式得(当且仅当时等号成立),由,解得142q =,所以.选A ．2．【答案】C【解析】因为均为正实数,所以=(当且仅当时等号成立)，即的最小值为.选C．3．【答案】C【解析】画出可行域,如图中阴影部分所示.易知,.由题意得,,所以=.当过点时,取得最小值，为;当过点时,取得最大值，为.故,即的取值范围为.选C．4．【答案】C【解析】设甲、乙两种产品分别生产x件、y件,则,利润,作出可行域,如图中阴影部分所示,根据目标函数z与直线在y轴上的截距之间的关系可知,当直线过点B(3,4)时,目标函数取得最大值，为33万元,故选C．5．【答案】A【解析】根据不等式组画出可行域如图中阴影部分所示：由图可得，，，故正确，则错误；令，即，由图可得，当直线经过点时，直线在轴上的截距最大，此时最小，则，故正确，错误.6．【答案】5【解析】画出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示，联立．化目标函数z =2x ﹣y 为y =2x ﹣z ，由图可知，当直线y =2x ﹣z过点A 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 取得最大值，为5．专家押题1．【答案】D 【解析】由基本不等式得2()()a b c a b a c ++=+++≥=)21=，当且仅当1a b a c +=+=时，等号成立，故选择D ．2．【答案】B 【解析】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，平移直线3y x =-，可知当直线经过点()1,3A 时，目标函数3z x y =+取得最小值，为6.故选B ．核心考点解读——导数及其简单应用(选择题、填空题)处的函数值，最后进行比较，取最大的为最大值；最小的为最小值，即1．（2017高考新课标Ⅱ，理11）若2x =-是函数21()(1)e x f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为 A ．1-B ．32e -- C ．35e -D ．12．（2017高考新课标Ⅲ，理11）已知函数211()2(e e)x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a = A ．12- B ．13C ．12D ．13. (2015高考新课标Ⅰ，理12)设函数()f x =e (21)x x ax a --+,其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是A ．[32e -，1) B ．[ 32e -,34) C ．[ 32e ,34)D ．[32e,1) 4．(2015高考新课标Ⅱ，理12)设函数()f 'x 是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，(1)0f -=，当0x > 时，()()0xf 'x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是 A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞-- D ．(0,1)(1,)+∞5.(2016高考新课标II ，理16)若直线y=kx +b 是曲线y =ln x +2的切线，也是曲线y =ln(x +1)的切线，则b = .6.（2016高考新课标III ，理15）已知f (x )为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+,则曲线y =f (x )在点（1,−3）处的切线方程是_______________.1．已知22cos d a x x ππ-=⎰，是以为周期的奇函数，且定义域为，则的值为A ．B ．C ．D ．2．若函数在上有最小值，则的取值范围为A ．B ．C ．D ．3．已知是定义在区间上的函数，是的导函数，且，，则不等式的解集为A ．B ．C ．D ．4．已知函数，则下面对函数的描述正确的是A ．，B ．，C ．，D ．5．已知对任意的21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式恒成立（其中是自然对数的底数），则实数的取值范围是 A ．e 0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(0,e)C ．D ．6．曲线在点处的切线方程为__________．1．设实数0λ>，若对任意的()0,x ∈+∞，不等式恒成立，则λ的最小值为A ．B ．D ．2．已知函数2()ex x f x =，若对任意的12,[1,2]x x ∈-，恒有12(1)|()()|af f x f x ≥-成立，则实数a 的取值范围是 .真题回顾：1.A 【解析】由题可得12121()(2)e (1)e [(2)1]e x x x f x x a x ax x a x a ---'=+++-=+++-，因为(2)0f '-=，所以1a =-，21()(1)e x f x x x -=--，故21()(2)e x f x x x -'=+-，令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在(,2),(1,)-∞-+∞上单调递增，在(2,1)-上单调递减，所以()f x 的极小值为11()(111)e 11f -=--=-，故选A ．2.C 【解析】函数()f x 的零点满足()2112e e x x x x a --+-=-+，设()11e e x x g x --+=+，则()()21111111e 1eeee ex x x x x x g x ---+----'=-=-=，当()0g x '=时，1x =；当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当1x =时，函数()g x 取得最小值，为()12g =.设()22h x x x =-，当1x =时，函数()h x 取得最小值，为1-，若0a ->，函数()h x 与函数()ag x -没有交点；若0a -<，当()()11ag h -=时，函数()h x 和()ag x -有一个交点，即21a -⨯=-，解得12a =.故选C ． 3.D 【解析】设()g x =e (21)x x -，()h x ax a =-，由题意，知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线()h x ax a =-的下方.因为()g'x =e (2+1)x x ，所以当12x <-时，()g x '<0，当12x >-时，()g x '>0，所以()g x 在1(,)2-∞- 上单调递减，在1(+)2-∞，上单调递增，作出()()g x h x 与 的大致图象，如图所示，故(0)(0),(1)(1),h g h g >⎧⎨-≤-⎩ 即1,32e a a <⎧⎪⎨-≤-⎪⎩， 所以312ea <≤ ，故选D ．4.A 【解析】记函数()()f x g x x =，则2()()()xf 'x f x g'x x-=，因为当0x >时，()()0x f 'x f x -<，故当0x >时，()0g'x <，所以()g x 在(0,)+∞上单调递减；又因为函数()()f x x ∈R 是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)-∞上单调递增，且(1)(1)0g g -==．当01x <<时，()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >，综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-，故选A ． 5.1ln2-【解析】对函数ln 2y x =+求导得1y x '=，对ln(1)y x =+求导得11y x '=+，设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+相切于点111(,)P x y ，与曲线ln(1)y x =+相切于点222(,)P x y ，则1122l n 2,l n (1)y x y x =+=+，由点111(,)P x y 在切线上得()1111ln 2()y x x x x -+=-，由点222(,)P x y 在切线上得2221ln(1)()1y x x x x -+=-+，这两条直线表示同一条直线，所以12221211121ln(1)ln 1xx x x x x ⎧=⎪+⎪⎨+⎪+=+⎪+⎩，解得11111,2,ln 211ln 22x k b x x =∴===+-=-.6.21y x =--【解析】当0x >时，0x -<，则()ln 3f x x x -=-．又因为()f x 为偶函数，所以()()ln 3f x f x x x =-=-，所以1()3f x x'=-，则切线斜率为(1)2f '=-，所以切线方程为32(1)y x +=--，即21y x =--．1．【答案】A 【解析】2222cos d =sin |2a x x x ππππ--==⎰.可知的周期为，，，，，.故选.2．【答案】A【解析】∵函数，∴()()()()()22e 2e e 122x xx x x f x x x +-+==++'，当时，，即函数在上为减函数；当时，，即函数在上为增函数.∴.∵函数在上有最小值，∴.故选A ．3．D 令函数，则()()221()ln22()ln22()ln 2ln 2f x f x x f x f x x x x g x xx ''-⋅⋅-'===()2()ln21ln 22xf x x f x x x x '-⎛⎫> ⎪⎝⎭，，，又，函数在区间上单调递增，又e 2e 2e ln 22x xxf g ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭= ⎪⎛⎫⎝⎭⋅ ⎪⎝⎭e 2x f x ⎛⎫⎪⎝⎭=，不等式“”等价于“e 21xf x⎛⎫ ⎪⎝⎭<”，则，又，又函数在区间上单调递增，，解得，又函数的定义域为，则，解得，故不等式的解集是，故选D ．4．【答案】B【解析】的定义域为，且，令，则在上恒成立，即在上单调递增，又，所以，使，则在上单调递减，在上单调递增，故，又，所以.故选B ．5．【答案】A 【解析】由得在21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，即12ln x ax >在21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立． 令()2ln x f x x=，则，当1[,e)ex ∈时，，单调递增；当2(e,e ]x ∈时，，单调递减．∴，∴，∴.故实数的取值范围是e 0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．选A ．6．【答案】【解析】因为，所以在点处的切线斜率为又，所以所求的切线方程为1.【答案】A 【解析】由题设可得e ln 0x x λλ-≥，令()e ln xF x x λλ=-，则问题转化为求函数()eln xF x x λλ=-的最小值大于等于0.设最小值点为0x ，即，又因（当且仅当01x λ=时取等号），故22ln 0ln 1λλ+≥⇒≥-，则2．【答案】2[e ,)+∞ 【解析】由题意得22(2)()e ex xx x x x f x --'==，所以当10x -<<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当02x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增.因此当[1,2]x ∈-时，min ()(0)0f x f ==，又因为(1)e f -=，24(2)e ef =<，所以max ()e f x =，因此不等式1(1)|()af f x ≥2()|f x -恒成立，即1|e 0|ea ⨯≥-，即2e a ≥．所以实数a 的取值范围是2[e ,)+∞.核心考点解读——导数与其他知识的综合问题(解答题)5.导数与其他知识的综合应用最后都要化归为利用导数研究函数的单调1．（2017高考新课标Ⅰ，理21）已知函数2()e (2)e x xf x a a x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.2．（2017高考新课标III ，理21）已知函数()1ln f x x a x =--. （1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111111222n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求m 的最小值.3.(2016高考新课标I ，理21)已知函数2()(2)e (1)x f x x a x =-+-有两个零点.（1）求a 的取值范围；（2）设x 1，x 2是()f x 的两个零点，证明：122x x +<. 4.(2016高考新课标II ，理21)（1）讨论函数()2e 2xx f x x -=+的单调性，并证明当x >0时，(2)e 20x x x -++>；（2）证明：当[0,1)a ∈ 时，函数2e =(0)x ax a g x x x-->（） 有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.5. (2015高考新课标Ⅱ，理21)设函数2()e mx f x x mx =+-． (1)证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；(2)若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12|()()|e 1f x f x -≤-，求m 的取值范围．1．已知函数21()e 2xf x ax x =-+． （1）当1a >-时，试判断函数()f x 的单调性；（2）若1e a <-，求证：函数()f x 在[1,)+∞上的最小值小于12． 2．已知函数，.（1）若曲线与曲线在它们的交点处的公共切线为，求，，的值； （2）当时，若，，求的取值范围.1．已知函数1()ln 2f x x x x =-. （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）若12,x x 是方程()f x a =的两个不同的实数解，证明：1212e()20x x x x +->.真题回顾：1.（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2()2e (2)e 1(e 1)(2e 1)x x x xf x a a a '=+--=-+，（ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递减. （ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.当(,ln )x a ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈-+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在(,ln )a -∞-单调递减，在(ln ,)a -+∞单调递增. （2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为1(l n )1l n f a a a-=-+.①当1a =时，由于(ln )0f a -=，故()f x 只有一个零点；②当(1,)a ∈+∞时，由于11ln 0a a-+>，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点； ③当(0,1)a ∈时，11ln 0a a-+<，即(ln )0f a -<. 又422(2)e (2)e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点.设正整数0n 满足03ln (1)n a>-，则00000()e (e2)e 20n n n nf n aa n n n =+-->->->. 由于3ln(1)ln a a->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点.综上，a 的取值范围为(0,1).2.（1）()f x 的定义域为()0∞，+. ①若0a ≤，因为11ln 2022f a ⎛⎫<⎪⎝⎭=-+，所以不满足题意； ②若a >0，由()1a x af 'x x x-=-=知，当()0x ,a ∈时，()f 'x <0；当()，+x a ∈∞时，()f 'x >0，所以()f x 在()0,a 单调递减，在()，+a ∞单调递增，故x =a 是()f x 在()0∞，+的唯一最小值点. 由于()10f =，所以当且仅当a =1时，()0f x ≥.故a =1. （2）由（1）知当()1,x ∈+∞时，1ln 0x x -->.令112n x =+得11ln 122nn ⎛⎫+< ⎪⎝⎭.从而 221111111ln 1ln 1ln 1112222222n n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++<+++=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故2111111e 222n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而231111112222⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以m 的最小值为3.3.（1）'()(1)e 2(1)(1)(e 2)x xf x x a x x a =-+-=-+．（i ）设0a =，则()(2)e xf x x =-，()f x 只有一个零点．（ii ）设0a >，则当(,1)x ∈-∞时，'()0f x <；当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >．所以()f x在(,1)-∞单调递减，在(1,)+∞单调递增．又(1)e f =-，(2)f a =，取b 满足0b <且ln2ab <，则 223()(2)(1)()022a fb b a b a b b >-+-=->，故()f x 存在两个零点．（iii ）设0a <，由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-． 若e2a ≥-，则ln(2)1a -≤，故当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，因此()f x 在(1,)+∞单调递增．又当1x ≤时()0f x <，所以()f x 不存在两个零点． 若e 2a <-，则l n (2)1a ->，故当(1,ln(2))x a ∈-时，'()0f x <；当(l n (2),)x a ∈-+∞时，'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减，在(ln(2),)a -+∞单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0,)+∞．（2）不妨设12x x <，由（Ⅰ）知12(,1),(1,)x x ∈-∞∈+∞，22(,1)x -∈-∞，()f x 在(,1)-∞单调递减，所以122x x +<等价于12()(2)f x f x >-，即2(2)0f x -<． 由于222222(2)e(1)x f x x a x --=-+-，而22222()(2)e (1)0x f x x a x =-+-=，所以222222(2)e (2)e x x f x x x --=---．设2()e(2)e xx g x x x -=---，则2'()(1)(e e )x x g x x -=--．所以当1x >时，'()0g x <，而(1)0g =，故当1x >时，()0g x <．从而22()(2)0g x f x =-<，故122x x +<． 4.（1）()f x 的定义域为(,2)-∞--+∞.222(1)(2)e (2)e e ()0,(2)(2)x x xx x x x f x x x -+--'==≥++且仅当0x =时，()0f x '=，所以()f x 在(,2),(2,)-∞--+∞单调递增，因此当(0,)x ∈+∞时，()(0)1,f x f >=-所以(2)e (2),(2)e 20x x x x x x ->-+-++> （2）33(2)e (2)2()(()),x x a x x g x f x a x x-+++'==+由（I ）知，()f x a +单调递增，对任意[0,1),(0)10,(2)a f a a f a a ∈+=-<+=≥因此，存在唯一0(0,2],x ∈使得0()0,f x a +=即0()0g x '=，当00x x <<时，()0,()0f x a g x g x '+<<单调递减；当0x x >时，()0,()0f x a g x g x '+>>单调递增.因此()g x 在x x =处取得最小值，最小值为000000022000e (1)e +()(1)e ().2x x x a x f x x g x x x x -++===+ 于是00e ()2x h a x =+，由2e (1)e e ()0,2(2)2x x x x y x x x +'=>=+++知单调递增 所以，由0(0,2],x ∈得002201e e e e ().2022224x h a x =<=≤=+++因为e 2x y x =+单调递增，对任意21e (,],24λ∈存在唯一的0(0,2],x ∈0()[0,1),a f x =-∈使得(),h a λ=所以()h a 的值域是21e (,],24综上，当[0,1)a ∈时，()g x 有最小值()h a ，()h a 的值域是21e (,].245.(Ⅰ) ()(e 1)2mx f 'x m x =-+． 若0m ≥，则当(,0)x ∈-∞时，e10mx-≤，()0f 'x <；当(0,)x ∈+∞时，e 10mx -≥，()0f 'x >．若0m <，则当(,0)x ∈-∞时，e10mx->，()0f 'x <；当(0,)x ∈+∞时，e 10mx -<，()0f 'x >．所以，()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，对任意的m ，()f x 在[1,0]-单调递减，在[0,1]单调递增，故()f x 在0x =处取得最小值．所以对于任意12,[1,1]x x ∈-，12|()()|e 1f x f x -≤-的充要条件是(1)(0)e 1,(1)(0)e 1,f f f f -≤-⎧⎨--≤-⎩即e e 1,e +e 1m mm m -⎧-≤-⎪⎨≤-⎪⎩，①，设函数()e e 1t g t t =--+，则()e 1t g't =-．当0t <时，()0g't <；当0t >时，()0g't >．故()g t 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．又(1)0g =，1(1)e 2e <0g --=+-，故当[1,1]t ∈-时，()0g t ≤．当[1,1]m ∈-时，()0g m ≤，()0g m -≤，即①式成立．当1m >时，由()g t 的单调性，()0g m >，即e e 1m m ->-；当1m <-时，()0g m ->，即e +e 1m m ->-．综上可知，m 的取值范围是[1,1]-．【名师点睛】(Ⅰ)先求导函数()(e 1)2mx f 'x m x =-+，根据m 的取值范围讨论导函数在(,0)-∞和(0,)+∞的符号即可；(Ⅱ)12()()e 1f x f x -≤-恒成立，等价于12max ()()e 1f x f x -≤-．由12,x x 是两个独立的变量，故可求研究()f x 的值域，由(Ⅰ)可得最小值为(0)1f =，最大值可能是(1)f -或(1)f ，故只需(1)(0)e 1,(1)(0)e 1,f f f f -≤-⎧⎨--≤-⎩，从而得关于m 的不等式，因不易解出，故利用导数研究其单调性和符号，从而得解．1．【解析】（1）由题可得()e xf 'x x a =-+，设()()e x x x g f 'x a ==-+，则()e 1xg x '=-，所以当0x >时()0g x '>，()f 'x 在(0,)+∞上单调递增，当0x <时()0g x '<，()f 'x 在(,0)-∞上单调递减，所以()(10)f 'f 'x a ≥=+，因为1a >-，所以10a +>，即()0f 'x >，所以函数()f x 在R 上单调递增．（2）由（1）知()f 'x 在[1,)+∞上单调递增，因为1e a <-，所以()e 110f 'a =-+<，所以存在(1,)t ∈+∞，使得()0f 't =，即e 0t t a -+=，即e t a t =-，所以函数()f x 在[1,)t 上单调递减，在(,)t +∞上单调递增，所以当[1,)x ∈+∞时222min 111()()e e (e )e (1)222t t t t f f t at t t t t t x t ==-+=-+-=-+，令21()e (1)2x h x x x =-+，1x >，则()(1e )0xh'x x =-<恒成立，所以函数()h x 在(1,)+∞上单调递减，所以211()e(11)122h x <-+⨯=，所以211e (1)22t t t -+<，即当[1,)x ∈+∞时min 1()2x f <，故函数()f x 在[1,)+∞上的最小值小于12．2．【解析】（1）设它们的公共交点的横坐标为，则.，则，①；，则，②.由②得，由①得.将，代入得，∴，.（2）由，得，即在上恒成立，令，则，其中在上恒成立，∴在上单调递增，在上单调递减， 则，∴.故的取值范围是.1．【解析】（1）依题意，11()1(ln 1)(1ln )22f 'x x x =-+=-， 令()0f 'x >，则1l n 0x ->，解得0e x <<，故函数()f x 的单调增区间为(0,e). （2）不妨设12x x <，由()f x a =得，1ln 02x x x a --=，令1()l n 12a g x x x =+-， 令1t x =，则1()ln 12g t at t =--， 由题意，知方程1ln 102at t --=有两个根12,t t ， 即方程l n 22t a t+=有两个根12,t t ，不妨设111t x =，221t x =．令t t t h 22ln )(+=，则221ln )(t t t h +-='，由0)(>'t h 可得10e t <<，由0)(<'t h 可得1e t >， 当1(0)et ∈，时，()h t 是增函数，当1()e t ∈+∞，时，)(t h 是减函数．故结合已知有 1201et t >>>．要证1212e()20x x x x +->，即证12122e x x x x +>，即证12112e x x +>，即证122et t +>，即证1221e e t t >->，即证122()()e h t h t <-．又12()()h t h t =，即证222()()eh t h t <-， 令2()=()()ex h x h x ϕ--，下面证()0x ϕ<对任意的1(0)ex ∈，恒成立．222ln()12ln 1e ()()()2e 22()e x x 'x h x h x x x ϕ-----''=+-=+-． 1(0,)e x ∈，∴222ln 10()ex x x --><-，， ∴22222ln()1ln[()]2ln 1e e ()2222()2()2()e e e x x x x 'x x x x ϕ-----+--->+=---． ∵222()21e ()[]e 2ex x x x +--<=，∴()0'x ϕ>，∴()x ϕ在1(0)e ，上是增函数，∴1()()0ex ϕϕ<=，∴1212e()20x x x x +->得证.核心考点解读——概率考纲解读里的I ，II 的含义如下：I ：对所列知识要知道其内容及含义，并能在有关问题中识别和直接使用，即了解和认识.II ：对所列知识要理解其确切含义及与其他知识的联系，能够进行叙述和解释，并能在实际问题的分析、综合、推理和判断等过程中运用，即理解和应用.(以下同)(,)B n p.ξ==()CkNμσ(,1．（2017高考新课标Ⅰ，理2）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．π8C ．12D ．π42.(2016高考新课标I ，理4)某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是A ．13 B ．12 C ．23D ．343.（2015高考新课标I ，理4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 A ．0.648 B ．0.432C ．0.36D ．0.3124．（2017高考新课标Ⅲ，理18）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？5．（2017高考新课标I ，理19）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==≈，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=，160.997 40.959 2≈0.09≈．6.(2016高考新课标I ，理19)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.（I ）求X 的分布列； （II ）若要求()0.5P Xn ≤≥，确定n 的最小值；（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？7.(2016高考新课标II ，理18)某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.1．某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率为A BC D 2．从装有大小、材质完全相同的个红球和个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率为 A ． B ． C ．D ．3．ABC △中，,在线段上任取一点，则PAB △的面积小于的概率是 A ． B ． C ．D ．4． 2018年平昌冬季奥运会于2月9日~2月25日举行，为了解奥运会五环所占面积与单独五个环面积和的比例P ，某学生设计了如下的计算机模拟，通过计算机模拟长为8，宽为5的长方形内随机取了N 个点，经统计落入五环及其内部的点数为，圆环半径为1，如图，则比值的近似值为A ．325πnNB ．32πnNC ．8πnND ．5π32n N5．自2016年底，共享单车日渐火爆起来，逐渐融入大家的日常生活中，某市针对18岁到80岁之间的不同年龄段的城市市民使用共享单车情况进行了抽样调查，结果如下表所示：（1）采用分层抽样的方式从年龄在内的人中抽取人，求其中男性、女性的使用人数各为多少？ （2）在（1）中选出人中随机抽取4人，求其中恰有2人是女性的概率；（3）用样本估计总体，在全市18岁到80岁的市民中抽4人其中男性使用的人数记为，求的分布列.1．在区间内随机取出一个数，使得的概率为A ．B ．C ．D ．2. 袋中装着标有数字1，2，3，4，5的五副羽毛球拍，现从袋中任取4支球拍，每支球拍被取出的可能性都相等.（1）求取出的4支球拍上的数字互不相同的概率；（2）用ξ表示取出的4支球拍上的最大数字，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望.真题回顾：1.B 【解析】设正方形边长为a ，则圆的半径为2a ，正方形的面积为2a ，圆的面积为2π4a .由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221ππ248a a ⋅=，选B ．秒杀解析：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率p 满足1142p <<，故选B ． 2.B3.A 【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为2233C 0.60.40.6⨯+=0.648，故选A.4.（1）由题意知，X 所有可能取值为200,300,500，由表格数据知()2162000.290P X +===，()363000.490P X ===，()25745000.490P X ++===. 因此X 的分布列为（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200500n ≤≤.当300500n ≤≤时，若最高气温不低于25，则642Y n n n =-=；若最高气温位于区间[)20,25，则()63002300412002Y n n n =⨯+--=-；若最高气温低于20，则()6200220048002Y n n n =⨯+--=-；因此()()2.4120E Y nn n =⨯+-⨯+.当200300n <≤时，若最高气温不低于20，则642Y n n n =-=；若最高气温低于20，则()6200220048002Y n n n =⨯+--=-. 因此()()20.40.480020.2160 1.2EY n n n =⨯++-⨯=+. 所以n =300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元.5.（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026，故~(16,0.00X B .因此16(1)1(0)10.99740.0408P X P X ≥=-==-≈.X 的数学期望为160.00260.0416EX =⨯=.（2）（i ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.（ii ）由9.97,0.212x s =≈，得μ的估计值为ˆ9.97μ=，σ的估计值为ˆ0.212σ=，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外，因此需对当天的生产过程进行检查.剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的平均数为1(169.979.22)10.0215⨯-=，因此μ的估计值为10.02. 162221160.212169.971591.134ii x==⨯+⨯≈∑，剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈，因此σ的估计值0.09≈.6.（I ）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而04.02.02.0)16(=⨯==X P ；16.04.02.02)17(=⨯⨯==X P ；24.04.04.02.02.02)18(=⨯+⨯⨯==X P ；24.02.04.022.02.02)19(=⨯⨯+⨯⨯==X P ；2.02.02.04.02.02)20(=⨯+⨯⨯==X P ；08.02.02.02)21(=⨯⨯==X P ；04.02.02.0)22(=⨯==X P .所以X 的分布列为.（II ）由（I ）知44.0)18(=≤XP ，68.0)19(=≤X P ，故n 的最小值为19.（III ）记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.当19=n 时，08.0)500220019(2.0)50020019(68.020019⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=EY(192003500)0.044040+⨯+⨯⨯=.当20=n 时，04.0)500220020(08.0)50020020(88.020020⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=EY 4080=.可知当19=n 时所需费用的期望值小于20=n 时所需费用的期望值，故应选19=n .7.（Ⅰ）设A 表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，故()0.20.20.10.050.55.P A =+++=（Ⅱ）设B 表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3，故()0.10.050.15.P B =+=又()()P AB P B =，故()()0.153(|).()()0.5511P AB P B P B A P A P A ==== 因此所求概率为3.11（Ⅲ）记续保人本年度的保费为X ，则X 的分布列为0.8520.051.23.EX a a a =+⨯=因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23 【名师点睛】条件概率的求法：(1)定义法：先求P (A )和P (AB )，再由P (B |A )＝()()P AB P A ，求出P (B |A )； (2)基本事件法：当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n(A)，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝()()n AB n A . 求离散型随机变量均值的步骤：(1)理解随机变量X 的意义，写出X 可能取得的全部值；(2)求X 取每个值时的概率；(3)写出X 的分布列；(4)由均值定义求出EX ．名校预测1．【答案】B 【解析】由题意，此人在50分到整点之间的10分钟内到达，等待时间不多于10故选B . 2．【答案】C 【解析】记个红球分别为，个黑球分别为，则随机取出两个小球共有种可能：，其中两个小球同色共有种可能：，根据古典概型的概率计算公式可得所求概率为，故选C ．3．【答案】C 【解析】由得则1sin 2ABC S AB AC A ⋅==△∴PAB △的面积小于的概率为．故选C ． 4．【答案】C 【解析】设奥运五环所占的面积为，矩形的面积为， 由在长方形内随机取了个点，经统计落入五环及其内部的点数为，得，则，又单独五个圆环的面积为，所以奥运会五环所占面积与单独五个环面积和的比例为4085ππnnN P N==，故选C ．5．【解析】（1）因为年龄在人中男性，女性使用人数占总体的比例分别为，所以抽取的10人中男性，女性人数分别为，（2）由题意知，在（1）中选出的10人中，女性使用者人数为4，所以人中恰有2女性使用者的概率为，(3)由题意知，的可能取值为，因为用样本估计总体，任取1人，是男性使用者的概率为，所以随机变量服从二项分布，即，,,所以分布列为专家押题1．【答案】D【解析】由题意有2+a−a2>0，解得−1<a<2.由几何概型的概率计算公式可得所求的概率为.2．【解析】（1）取出的4支球拍上的数字互不相同的事件记为A,取出的4支球拍恰有一副球拍上的数字相同的事件记为B，取出的4支球拍恰有两副球拍上的数字相同的事件记为C，则事件A为事件B与事件C的和事件的对立事件.12115422410C C C C4()C7P B==,25410C1()C21P C==，8()1()()21P A P B P C∴=--=.答：取出的4支球拍上的数字互不相同的概率为821.（2）由题意，知5,4,3,2=ξ，则2222410C C1(2)C210Pξ===；。
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小题提速练(一) (满分80分，押题冲刺，45分钟拿下客观题满分) 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|－1≤x≤1，x∈Z}，则M∩N为( ) A．(0,1) B．[0,1] C．{0,1} D．∅ 解析：选C.N＝{－1,0,1}，故M∩N＝{0,1}．
2．已知复数z＝3－bii(b∈R)的实部和虚部相等，则|z|＝( ) A．2 B．3 C．22 D．32
解析：选D.令3－bii＝－b－3i，解得b＝3故|z|＝32.
3．“log2(2x－3)＜1”是“x＞32”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.log2(2x－3)＜1，化为0＜2x－3＜2，解得32＜x＜52.∴“log2(2x－3)＜1”是“x
＞32”的充分不必要条件． 4．函数y＝x2＋ln|x|的图象大致为( )
解析：选A.∵f(x)为偶函数，故排除B，C，当x→0时，y→－∞，故排除D，或者根据当x＞0时，y＝x2＋ln x为增函数，故排除D. 5．函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－π＜φ＜0)的部分图象如图所示，为了得到g(x)＝Acos ωx的图象，只需将函数y＝f(x)的图象( )
A．向左平移2π3个单位长度 B．向左平移π3个单位长度 C．向右平移2π3个单位长度 D．向右平移π3个单位长度 解析：选B.由图象知A＝2，T2＝π3－－π6＝π2， ∴T＝π，ω＝2，f(x)＝2cos(2x＋φ)，将π3，2代入得 cos2π3＋φ＝1，－π＜φ＜0， ∴φ＝－2π3，f(x)＝2cos2x－2π3＝2cos 2x－π3，故可将函数y＝f(x)的图象向左平移π3个单位长度得到g(x)的图象．
6．圆x2＋y2＋4x－2y－1＝0上存在两点关于直线ax－2by＋2＝0(a＞0，b＞0)对称，则1a＋4b的最小值为( )
A．8 B．9 C．16 D．18 解析：选B.由圆的对称性可得，直线ax－2by＋2＝0必过圆心(－2,1)，所以a＋b＝1.所以1a＋4b＝1a＋4b(a＋b)＝5＋ba＋4ab≥5＋4＝9，当且仅当ba＝4ab，即2a＝b时取等号，故选B. 7．已知变量x，y满足： 2x－y≤0，x－2y＋3≥0，x≥0，则z＝(2)2x＋y的最大值为( ) A.2 B．22 C．2 D．4 解析：选D.作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示：
设m＝2x＋y得y＝－2x＋m，平移直线y＝－2x＋m，由图象可知当直线y＝－2x＋m经过点A时，直线y＝－2x＋m的截距最大，此时m最大．
由 2x－y＝0x－2y＋3＝0，解得 x＝1，y＝2.即A(1,2)，代入目标函数m＝2x＋y得m＝2³1＋2＝4. 即目标函数z＝(2)2x＋y的最大值为zmax＝(2)4＝4.故选D. 8．如图所示的程序框图的算法思想源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图(图中“m MOD n”表示m除以n的余数)，若输入的m，n分别为495,135，则输出的m＝( )
A．0 B．5 C．45 D．90 解析：选C.该程序框图是求495与135的最大公约数，由495＝135³3＋90,135＝90³1＋45,90＝45³2，所以495与135的最大公约数是45，所以输出的m＝45，故选C. 9．在[－2,2]上随机地取两个实数a，b，则事件“直线x＋y＝1与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相交”发生的概率为( )
A.1116 B.916
C.34 D.14 解析：选A.如图，由已知基本事件空间Ω＝{(a，b)| －2≤a≤2－2≤b≤2}，为图中正方形内及边界上的点，事件“直线x＋y＝1与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相交”为A＝
a，b||a＋b－1|2＜2＝ a，b|a＋b＜3a＋b＞－1，为图中
阴影部分上的点(不含正方形内的虚线段)．
所以P(A)＝μAμΩ＝16－12³1³1＋12³3³316＝1116. 10．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A.52π＋2＋19 B.32π＋19 C.32π＋2＋19 D．2π＋2＋19 解析：选C.由该几何体的三视图可知，该几何体是一个组合体，左边是底面半径为1、高为3、母线长为2的半圆锥，右边是底面为等腰三角形(底边为2、高为2)、高为3的三棱锥．所
以此组合体左边的表面积S左＝S左底面＋S左侧面＝12π³12＋12π³1³2＝32π， 组合体右边的侧面是两个全等的三角形(其中三角形的三边分别为2，5，7)， 设长为5的边所对的角为α，
则cos α＝22＋72－522³2³7＝3714，所以sin α＝13314， 则S右侧面＝12³2³7³13314³2＝19， 所以该几何体右边的表面积S右＝S右底＋S右侧面＝12³2³2＋19＝2＋19， 故S表面积＝32π＋2＋19，故选C. 11．已知O为坐标原点，F是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，A，B分别为双曲线C的左、右顶点，P为双曲线C上的一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于M，与y轴交于点E，直线BM与y轴交于点N，若|OE|＝3|ON|，则双曲线C的离心率为( )
A.43 B.32 C．2 D．3 解析：选C.因为PF⊥x轴，所以设M(－c，t)．
则A(－a,0)，B(a,0)，AE的斜率k＝ta－c，则AE的方程为y＝ta－c(x＋a)，令x＝0，则y
＝taa－c，即E0，taa－c，BN的斜率k＝－ta＋c，则BN的方程为y＝－ta＋c(x－a)，令x＝0，则y＝taa＋c，即N0，taa＋c，因为|OE|＝3|ON|，所以3taa＋c＝taa－c，即3a＋c＝1c－a，则3(c－a)＝a＋c，即c＝2a，则离心率e＝ca＝2.故选C. 12．设函数f(x)＝ 2xx≤0，log2xx＞0，则函数y＝f(f(x))－1的零点个数为( ) A．2 B．4 C．6 D．12 解析：选A.①当x≤0时，y＝f(f(x))－1＝f(2x)－1＝log22x－1＝x－1，令x－1＝0，则x＝1，显然与x≤0矛盾，所以当x≤0时，y＝f(f(x))－1无零点． ②当x＞0时，分两种情况：当x＞1时，log2x＞0，y＝f(f(x))－1＝f(log2x)－1＝log2(log2x)－1， 令log2(log2x)－1＝0，得log2x＝2，解得x＝4；
当0＜x≤1时，log2x≤0，y＝f(f(x))－1＝f(log2x)－1＝2log2x－1＝x－1，令x－1＝0，解得x＝1. 综上，函数y＝f(f(x))－1的零点个数为2.故选A. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分；共20分) 13．函数f(x)＝ax2＋(b－2a)x－2b为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f(x)＞0的解集为________． 解析：由已知f(x)为二次函数且对称轴为y轴，
∴－b－2a2a＝0，a≠0，即b＝2a，∴f(x)＝ax2－4a. 再根据函数在(0，＋∞)单调递增，可得a＞0. 令f(x)＝0，求得x＝2或x＝－2，故由f(x)＞0，可得x＜－2或x＞2，故解集为{x|x＜－2或x＞2}． 答案：{x|x＜－2或x＞2} 14．现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为________．
解析：设该球半径为R，正方体边长为a，由题意得当正方体体积最大时a2＋2a22＝R2， ∴R＝6a2，∴所得工件体积与原料体积之比的最大值为： a312³4πR33＝a312³4π3³6a23＝63π.
答案：63π 15．有下列各式：1＋12＋13＞1,1＋12＋13＋„＋17＞32，1＋12＋13＋„＋115＞2，„，则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：________. 解析：观察各式左边为1n的和的形式，项数分别为：3,7,15，故可猜想第n个式子中应有2n
＋1－1项，不等式右边分别写成22，32，42故猜想第n个式子中应为n＋12，按此规律可猜想此不等式
的一般形式为： 1＋12＋13＋„＋12n＋1－1＞n＋12(n∈N*)．
答案：1＋12＋13＋„＋12n＋1－1＞n＋12(n∈N*) 16．已知向量a，b，c，满足|a|＝4，|b|＝22，〈a²b〉＝π4，(c－a)²(c－b)＝－1，则|c－a|的最大值为________． 解析：如图，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，以OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，
∵|a|＝4，|b|＝22，a与b的夹角为π4，则A(4,0)，B(2，2)，设C(x，y)， ∵(c－a)²(c－b)＝－1，∴x2＋y2－6x－2y＋9＝0，即(x－3)2＋(y－1)2＝1表示以(3,1)为圆心，1为半径的圆，|c－a|表示点A，C的距离，即圆上的点与A(4,0)的距离，因为圆心到A的距离为2，所以|c－a|的最大值为2＋1. 答案：2＋1
小题提速练(二) (满分80分，押题冲刺，45分钟拿下客观题满分) 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设集合A＝{x|x2－4x＋3≤0}，B＝ x1x－1≥1，则A∩B＝( ) A．[1,2] B．(1,2] C．[1,3] D．(1,3]
解析：选B.解不等式x2－4x＋3≤0，得1≤x≤3，∴A＝[1,3]，解不等式1x－1≥1，得1＜x≤2，∴B＝(1,2]，∴A∩B＝(1,2]． 2．复数1＋2i1－i的共轭复数为( )
A．－12＋32i B．－12－32i C．－1＋3i D．－1－3i 解析：选B.∵1＋2i1－i＝1＋2i1＋i1－i1＋i＝1－2＋3i2＝－12＋32i.∴1＋2i1－i的共轭复数为－12－32i.