2018届云南省保山市普通高中毕业生市级统测试卷---理科数学(解析版)

10.已知数列 的前 项和为 ， ， ，则 为( )
A.50B.55C.100D.110
【答案】D
【解析】依题意 ，化简得 ，故 .
A. B. C. D.
11.双曲线 ，过虚轴端点且平行 轴的直线交 于 两点， 为双曲线的一个焦点，且有 ，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】令 代入双曲线方程，解得 ，不妨设 ，依题意有 ，即 ，化简得 .
又∵ 为 中点，
∴ 为 的中位线，
∴ .
又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
(2)解：如图，过点 在底面内作 ，交 于点 ，设 ，
∵ 底面 ，
∴分别以 所在直线为 轴， 轴，轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
由题意得 ，
且 ，得 ，
∴点 坐标为 ， ，
∴ ， .
设平面 的法向量为 ，
∴ ，令 ，则 ， .
【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，考查垂直关系的转化方法，考查化归与转化的数学思想方法.题目中首先叙述了一条直线和双曲线相交与两点，所以我们根据题意，先求出这两个点的坐标，然后利用两个向量垂直，数量积为零建立方程，将方程化为离心率的形式即可求得离心率.
12.若实数满足方程 ，实数 满足方程 ，则函数 的极值之和为( )
【试题解析】
(1)由题意可知 ，且 ，
∴ ，
∴ .
(2)∵ ， ，
∴当 时， 恒成立， 在 上单调递增，
当 时，由 ，得 ，
， ， ， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
∴当 时，函数 在 上单调递增.
当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
（3）由(2)可知 ， ， ，不妨设 ，
又有 ， ，∴ ，
(2)讨论函数 的单调性；
(3)若函数 有两个零点 ，求证： .
【答案】(1) (2)当 时，函数 在 上单调递增.当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增（3）见解析
【解析】【试题分析】（1）依题意可知切点为 ，斜率为 ，即 ，由此求得的值.（2）先求得函数的导数为 ，对分类讨论，得到函数 的单调区间.（3）由（2）知 ，将两个零点代入函数表达式，设 ，计算 的表达式，通过导数计算的表达式的最小值为 ，由此得证.
【试题解析】
(1)由题意可知分布在 ， ， ， ， 内的频率为 ， ， ， ， ，作频率分布直方图如图所示.
(2) .
(3)记事件“随机选取一名学生的成绩为优秀”为事件 ，则 ，
易知 ，
则 ， ，
， ，
的分布列为
0
1
2
3
.
19.如图，在四棱椎 中，底面 为菱形， 为 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)若 底面 ， ， ，求平面 与平面 所成锐二面角的正弦值.
A.26B.52C.78D.104
【答案】C
【解析】依题意有 ，解得 .故 .
8.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“一楔体，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何？”“术曰：倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一.”(译文：算法：下底长乘以2，再加上上棱长，它们之和用下底宽乘，再乘以高，除以6).现有一楔体，其三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该楔体的体积为( )
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.满足 的整数点 的个数为________.
【答案】4
【解析】画出可行域如下图所示，源自图可知，整数点有 共 个.14.已知圆 与直线 有公共点，则实数 的取值范围是______.
【答案】
【解析】依题意知圆心为 ，半径为 ，圆心到直线的距离 ，解得 .
【试题解析】
(1)直线的普通方程为 ，
曲线 的直角坐标方程为 .
(2)将 代入 ，得 ，
化简得 ，设 对应的参数分别为 ，
则 .
23.已知函数 .
(1)求不等式 的解集；
(2)设 ，若 ， 恒成立，求的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】【试题分析】（1）利用零点分段法，去绝对值符号，求出每一段的解然后取并集.（2）将原不等式等价变形为 ，利用绝对值不等式求得 的最小值为 ，然后解一元二次不等式可求得的取值范围.
A.5B.10C. D.
【答案】B
【解析】根据译文算法，体积为 .
9.已知函数 的部分图象如图所示，则下面结论错误的是( )
A.函数 的最小正周期为
B.函数 的图象可由 的图象向左平移 个单位得到
C.函数 的图象关于直线 对称
D.函数 在区间 上单调递增
【答案】C
【解析】根据题目所给图像上两个零点的坐标，补全函数图像如下图所示，由图像显然可知 是函数的零点，不是对称轴，故 选项错误.
22.在直角坐标系 中，直线的参数方程为 (为参数)，以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
(1)求直线的普通方程与曲线 的直角坐标方程；
(2)设直线与曲线 交于 两点，若点 的坐标为 ，求 的值.
【答案】(1) ， (2)
【解析】【试题分析】（1）对于直线的参数方程，利用加减消元法可消掉参数，得到普通方程.对于曲线 的极坐标方程，两边乘以 即可求得其直角坐标方程.（2）将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用韦达定理和弦长公式可求得 的值.
∴ 的取值范围是 .
【点睛】本题主要考查抛物线的方程的求法，考查椭圆方程的求法，考查直线与圆锥曲线位置关系和基本不等式求最值的方法.由于抛物线方程只含有一个参数 ，故只需要一个条件就可以求解出来.直线与圆锥曲线位置关系，设直线方程时，首先要注意直线斜率不存在的情况.
21.已知函数 .
(1)若曲线 在点 处的切线为 ，求实数的值；
【答案】(1)见解析(2)
【解析】【试题分析】（1）连接 交 于点 ，连接 ，根据三角形的中位线和线面平行的判定定理可证得 平面 .（2）以 为坐标原点建立空间直角坐标系，分别计算两个平面的法向量，并利用向量夹角公式，计算得二面角的余弦值，然后进一步求得其正弦值.
【试题解析】
(1)证明：如图，连接 交 于点 ，连接 ，由底面 为菱形，可知点 为 的中点，
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意 ，解得 ，故模 .
6.执行如图所示的程序框图，若输入的 ， ，则输出的 的值为( )
A.7B.6C.5D.4
【答案】D
【解析】 ，判断是， ，判断是， ，判断是， ，判断否，输出 ......................
7.正项等比数列 满足 ， ，则 ( )
15.记曲线 与直线 ， 和 轴围成的区别为 ，现向平面区域 内随机投一点，则该点落在 内的概率为________.
【答案】
【解析】 ， ，故概率为 .
【点睛】本题主要考点有两个，一个是定积分的计算，另一个是几何概型的计算.在利用定积分计算面积的过程中，首先要画出函数的图像，求出交点的坐标，确定好被积分的区间，要注意是上面函数减去下面函数.求出面积后利用几何概型求出面积比即可求得概率的值.
①命题“ ”是真命题；②命题“ ”是假命题
③命题“ ”是真命题；④命题“ ”是假命题
其中正确的结论是( )
A.②③B.②④C.③④D.①②③
【答案】A
【解析】如下图可知，命题 为假命题；根据线面角的定义和公里四平行公理可知，命题 为真命题.故 为假命题， 为假命题， 为真命题， 为真命题.
5.已知平面向量 ， ，向量 与 垂直，则向量 的模长为( )
【试题解析】
(1)∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ (舍)， .
又∵ ，∴ .
(2)由于 ，∴ ， ，
∴ ①，
由正弦定理，得 ，
∴ ，
∴ ②，
由①②得 ， .
18.为弘扬“中华优秀传统文化”，某中学在校内对全体学生进行了一次相关测试，规定分数大于等于80分为优秀，为了解学生的测试情况，现从近2000名学生中随机抽取100名学生进行分析，按成绩分组，得到如下的频率分布表：
【试题解析】
(1)∵抛物线 过点 ，
∴有 ，得 ，
∴抛物线 的焦点为 ，
∴椭圆 的半焦距为 ，
又椭圆 的离心率为 ，
∴ ， ，
∴椭圆 的方程为 .
(2)当直线的斜率不存在时，直线 ，此时， ；
当直线的斜率存在时，设直线 ，
由 ，得 ，易知 ，
设 ， ，则 ， ，
，∴ ，
∴ ，
∵ ，且 .
∴ ，当且仅当 时等号成立，
设 ，则 ， ，∴ ，
∴ ，
令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，所以 ，
所以有 .
【点睛】本题是导数知识综合性很强的题目，第一问考查导数与切线有关的问题，解决与切线有关的问题的主要方法是利用切点和斜率列方程组，由此求得参数的值.第二问考查含有参数的函数单调性讨论的问题.第三问要证明两个零点的和大于 ，主要方法是构造函数，利用函数的最值里解决.
2018届云南省保山市普通高中毕业生市级统测试卷---理科数学（解析版）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合 ，集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】对于集合B， ，故 ，所以 .
2.若复数满足 ，则复数的虚部为( )
分数
频数
5
35
30
20
10
（1）在图中作出这些数据的频率分布直方图；
（2）估计这次测试的平均分；
（3）将频率视为概率，从该中学中任意选取3名学生， 表示这3名学生成绩优秀的人数，求 的分布列和数学期望.