勾股定理典型例题归类总结
2021最新新人教版八年级数学下册勾股定理典型例题归类总结(精华版)
勾股定理典型例题归类总结题型一：直接考查勾股定理 例１ .在 ABC 中， ．C BC 90 ⑴已知 6 ， 8 ．求 AB 的长⑵已知 17， AC 15 ，求 BC 的长AC AB 跟踪练习：ABC 中， C 90 1.在 . （ 1）若 a=5,b=12, 则 c= （ 2）若 a:b=3:4,c=15,则 a=（ 3）若∠ A=30 °， BC=2, 则 ; ,b=AB=. ，AC=.分别对的边为 2. 在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A ，∠ B ，∠ C a ， b ，c ，则下列结论正确的是 ( )A 、B 、C 、D 、3.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ()A 、 2、4、 6B 、 4、6、 8C 、 6、 8、 10D 、 3、 4、 54.等腰直角三角形的直角边为 2，则斜边的长为（ ）A 、B 、C 、1D 、 25.已知等边三角形的边长为 2cm ，则等边三角形的面积为（）A 、B 、C 、 1D 、6.已知直角三角形的两边为 2 和 3，则第三边的长为 .7.如图，∠ ACB= ∠ABD=90°， AC=2 ， BC=1 ， ，则 BD=.8.已知△ ABC 中， AB=AC=10 ，BD 是 AC 边上的高线， CD=2 ，那么 BD 等于（ ）A 、 4B 、 6C 、 8D 、9.已知 Rt △ ABC 的周长为，其中斜边，求这个三角形的面积。
10. 如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广 .S 1 、 S 2 、 S 3 之间有(1) 如图，以 Rt △ ABC 的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边三角形的面积 何关系？并说明理由。
（ 2）如图，以 Rt △ ABC 的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积 S 1 、 S 2 、 S 3 之间有何关系？（ 3）如果将上图中的斜边上的半圆沿斜边翻折180°，请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面积之间的关系，并说明理由。
(完整版)八年级勾股定理题型总结
《勾股定理》典型例题解析一、知识重点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说：假如直角三角形的两直角边为 a、 b，斜边为 c ，那么 a 2 + b 2= c 2。
公式的变形： a2 = c 2- b 2， b 2= c 2-a 2。
2、勾股定理的逆定理假如三角形 ABC的三边长分别是a， b， c，且知足 a2 + b2= c2，那么三角形 ABC 是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意办理好以下几个重点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②知足的条件：最大边的平方=最小边的平方 +中间边的平方 .③获得的结论：这个三角形是直角三角形，而且最大边的对角是直角.④假如不知足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数知足 a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。
注意：①勾股数一定是正整数，不可以是分数或小数。
②一组勾股数扩大同样的正整数倍后，还是勾股数。
常有勾股数有：（3，4，5 ） (5 ，12， 13 ) ( 6， 8， 10 )( 7，24， 25 ) ( 8，15， 17 )(9 ， 12，15 )4、最短距离问题：主要运用的依照是两点之间线段最短。
二、考点解析考点一：利用勾股定理求面积1、求暗影部分面积：（1）暗影部分是正方形；（ 2）暗影部分是长方形；（ 3）暗影部分是半圆．2.如图，以 Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，尝试究三个半圆的面积之间的关系．3、以下图，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、 S3，则它们之间的关系是（）A. S1- S2= S3B. S1+ S2= S3C. S2+S3< S1D. S2- S3=S1S 3S 1S 24、四边形 ABCD中，∠ B=90°， AB=3，BC=4，CD=12， AD=13，求四边形 ABCD的面积。
勾股定理章末复习和典型例习题
勾股定理章末复习和典型例习题一、基础知识点：1. 勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：假设直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 2. 勾股定理的证明用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证3. 勾股定理的适用范围 ：只适用于直角三角形4. 勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c =b，a =②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可使用勾股定理解决一些实际问题 5. 勾股定理的逆定理假设三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，在使用这个定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=仅仅一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描绘时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。
完整版八年级勾股定理题型总结
《勾股定理》典型例题分析一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b,斜边为c，那么a2 + b2= c2。
公式的变形：a2 = c2- b 2， b 2= c2-a2。
2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c,且满足a2 + b2= c2,那么三角形ABC是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。
注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。
常见勾股数有：（3, 4, 5 ）（5，12，13 ）（ 6, 8，10 ）（7, 24, 25 ）（ 8, 15, 17 ）（9 , 12, 15 ）4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。
二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆.2. 如图，以Rt△ ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系.3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S、S、S,则它们之间的关系是（）A. S i- S2= S3B. S i+ S2= S3C. S2+S3< SiD. S2- S3=Si4、四边形ABC［中, / B=90°, AB=3 BC=4 CD=12 AD=13 求四边形ABCD勺面积。
5、在直线上依次摆放着七个正方形（如图4所示）o已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是、= ______考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边1在直角二角形中,若两直角边的长分别为5cm 12cm，则斜边长为______________________2•已知直角三角形的两边长为3、4,则另一条边长的平方是_____________________3、已知直角三角形两直角边长分别为6和8，求斜边上的高.4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（）A. 2倍B. 4倍C. 6倍D. 8倍5、在Rt△ ABC中，/ C=90°①若a=5，b=12，贝卩c= _______ ;②若a=15，c=25,则b= _________ ;③若c=61，b=60,则a= _________ ;④若 a : b=3 : 4，c=10 则Rt△ ABC的面积是= ___ 。
(完整版)勾股定理典型例题详解及练习(附答案)
典型例题知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理例1:如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB CD EF、GH四条线段, 其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A.CD、EF、GHC. AB、CD GHB.AB、EF、GHD. AB、CD EF愿路分乐屮1）題意分析’本题考查幻股定理及勾股定理的逆定理.亠2）解題思器；可利用勾脸定理直接求出各边长，再试行判断•』解答过整屮在取DEAF中，Af=l, AE=2,根据勾股定理，得昇EF = Q抡於十£尸° = Q +F二艮同理HE = 2百* QH. = 1 CD = 2^5计算发现W十◎血尸=（鸥31即血+曲=GH2,根据勾股定理的逆宦理得到UAAE、EF\ GH为辺的三角形是直毎三角形.故选B. *縮題后KJ思专：*1.勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于说角三角形和钝角三角形・因此」辭题时一宦妾认真分析题目所蛤■条件■,看是否可用勾股定理来解口*2.在运用勾股左理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认为就是斜迫而“固执”地运用公式川二/十就其实，同样是S6"不一罡就等于餌，疋不一罡就昱斜辺，KABC不一定就是直角三祐3.直角三第形的判定条件与勾股定理是互逆的.区别在于勾股定理的运用是一个从卅形s—个三角形是直角三角形）到懺 y =沖十沪）的过程，而直角三角形的判定是一①从嗦（一个三角形的三辺满足X二护+酹的条件）到偲个三角形是直角三角形）的过程.a4•在应用勾股定理解题叭聲全面地琴虑间题.注意m题中存在的多种可能性，遊免漏辭.初例玉如圏，有一块直角三角形®椀屈U,两直角迫4CM5沁丸m・现将直角边AC沿直绘AD折蠡便它落在斜边AB上.且点C落到点E处, 则切等于（、*C/) "禎B. 3cm G-Icnin題童分析，本题着查勾股定理的应用刎：）解龜思路；車题若直接在△MQ中运用勾股定理是无法求得仞的长的，因为貝知遒一条边卫0的长，由题意可知，AACD和心迓门关于直线KQ对称.因而^ACD^hAED ・进一歩则有应RUm CZAED ED 丄AB,设UD=E2＞黄泱，则在Rt A ABO中，由勾股定理可得^=^（^+^=^83=100,得AB=10cm,在松迟DE 中,W ClO-fl）2= d驚解得尸九4解龜后的思琴尸勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。
勾股定理题型总结材料
勾股定理1：勾股定理2、勾股逆定理 3：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证4：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数cbaHG F EDCBAa bcc baE D CBAbacbac cabcabCABDDABC②记住常见勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17；9,40,41等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）勾股定理典型例题及专项训练 专题一：直接考查勾股定理1．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。
2、已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。
求：四边形ABCD 的面积。
3：在∆ABC 中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC 的长为多少？4：已知如图，在△ABC 中，∠C=60°，AB=34，AC=4，AD 是BC 边上的高，求BC 的长。
勾股定理(题型归纳)(解析版)
勾股定理的性质应用【思维导图】◎考点题型1：用勾股定理解三角形例．（2022·全国·八年级课前预习）直角△ABC 的两直角边BC ＝12，AC ＝16，则△ABC 的斜边AB 的长是（ ） A ．20 B ．10C ．9.6D ．8【答案】A 【解析】 略变式1．（2021·山东沂源·七年级期中）已知ABC 中，10AB AC ==，BD 是AC 边上的高线，2DC=，那么BD等于（）A．2B．4C．6D．8【答案】C【解析】【分析】由题意根据已知可求得AD的长，再根据勾股定理即可求得BD的长．【详解】解：∵AB=AC=10，DC=2，∴AD= AC-DC=8，∴6BD.故选：C．【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握直角三角形勾股定理是解题的关键.变式2．（2022·全国·八年级）已知，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，BC＝5，AC边的长为（）A．3B C．3D【答案】A【解析】【分析】根据勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示，∵∠A＝90°，AB＝4，BC＝5，∴3AC =． 故选：A ． 【点睛】此题考查了勾股定理的运用，解题的关键是熟练掌握勾股定理．勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．变式3．（2021·山东章丘·八年级期中）直角三角形的边长分别为a ，b ，c ，且∠C ＝90°，若a 2＝9，b 2＝16，那么c 2的值是（ ） A ．5 B ．7C ．25D ．49【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵直角三角形的边长分别为a ，b ，c ，且∠C ＝90°， ∴c 2=a 2+b 29+16=25， 故选C ． 【点睛】本题主要考查勾股定理，掌握直角三角形中，直角边的平方和等于斜边长的平方，是解题的关键．◎考点题型2：求两点间的距离例．（2022·甘肃玉门·八年级期末）点P （－3，4）到坐标原点的距离是（ ） A ．3 B ．4C ．－4D ．5【答案】D 【解析】 【分析】利用两点之间的距离公式即可得． 【详解】解：点(3,4)P -到坐标原点(0,0)5=， 故选：D ． 【点睛】本题考查了两点之间的距离公式，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键．变式1．（2022·河北·宽城满族自治县教研室八年级期末）如图，数轴上点A 对应的数是0，点B 对应的数是1，BC AB ⊥，垂足为B ，且2BC =，以A 为圆心，AC 为半径画弧，交数轴于点D ，则点D 表示的数为（ ）A ．2.2BCD 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据勾股定理求出AC 的长，再根据同圆的半径相等可知AD ＝AC ，再根据条件：点A 对应的数是原点，可求出D 点坐标． 【详解】解：∵BC AB ⊥， ∴ABC ∠＝90︒，∴AC =∵以A 为圆心，AC 为半径画弧，交数轴于点D ，∴AD AC ==，∴点D 故选D ． 【点睛】此题考查实数与数轴，勾股定理，解题关键是利用勾股定理求出AC ．变式2．（2021·湖南永兴·八年级期末）关于点P （﹣3，4），下列说法正确的个数有（ ）（1）点P到x轴的距离为4；（2）点P到y轴的距离为﹣3；（3）点P在第四象限；（4）点P到原点的距离为5；（5）点P关于x轴的对称点的坐标是（﹣3，﹣4）．A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解析】【分析】根据已知点所在象限，画出图形，进而分析得出答案．【详解】解：如图所示：（1）点P到x轴的距离为4，故（1）正确；（2）点P到y轴的距离为3，故（2）错误；（3）点P在第二象限，故（3）错误；（4）点P到x轴的距离为4，点P到y轴的距离为3，根据勾股定理可得，点P到原点的距离为5，故（4）正确；（5）点P关于x轴的对称点的坐标是（﹣3，﹣4），故（5）正确．所以正确的个数有3个．故选：B．【点睛】本题主要考查了点的坐标，正确确定P点位置是解题关键．变式3．（2021·广东·高州市长坡中学八年级期中）在直角坐标系中，点A(3，2)到原点的距离是（）B C D．2A【解析】【分析】根据勾股定理求解即可．【详解】解：如图，AB⊥x轴于点B，∵A（3，2），∴OB=3，AB=2，∴OA∴点A（3，2故选：C．【点睛】本题考查的是勾股定理，利用勾股定理求解是解答此题的关键．◎考点题型3：勾股数问题例．（2022·福建省福州第十六中学八年级期末）在下列四组数中，不是．．勾股数的一组是（）A．15，8，7B．4，5，6C．24，25，7D．5，12，13【答案】B【解析】【分析】利用勾股数的定义（勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数），最大数的平方=最小数的平方和，直接判断即可．【详解】解：A、222+=，故A不符合题意．8715B、222+≠，故B符合题意．456C、222+=，故C不符合题意．72425D、222+=，故D不符合题意．51213【点睛】本题主要是考查了勾股数的判别，熟练掌握勾股数的定义，是求解该题的关键．变式1．（2022·甘肃会宁·八年级期末）下列各组数，是勾股数的是（）A．13，14，15B．0.3，0.4，0.5C．6，7，8D．5，12，13【答案】D【解析】【分析】根据能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即可求解【详解】解：A、不是正整数，则不是勾股数，故本选项不符合题意；B、不是正整数，则不是勾股数，故本选项不符合题意；C、222678+≠，则不是勾股数，故本选项不符合题意；D、2225+12=13，是勾股数，故本选项符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了勾股数的定义，熟练掌握能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．变式2．（2021·江苏江都·八年级阶段练习）下列各组数中，是勾股数的是（）A2B．0.3 0.4 0.5,,C．5,12,13D．9,12,13【答案】C【解析】【分析】根据勾股数的定义，对选项逐个判断即可，勾股数是指满足222+=a b c的正整数．【详解】解：A和B不是正整数，不符合题意；C、22251213+=，且为正整数，为勾股数，符合题意；D、22291222513+=≠，不是勾股数，不符合题意；故选：C【点睛】此题考查了勾股数的判断，解题的关键是掌握勾股数的定义．变式3．（2021·陕西莲湖·八年级期中）下列四组数中，是勾股数的是（）A．5，12，13B．32，42，52C．1D．7，24，26【答案】A【解析】【分析】、、为勾股数．根据勾股数的概念求解即可，满足222a b c的正整数a b c+=【详解】解：A、∵222+=，∴5，12，13是勾股数，符合题意；51213B、∵22≠，∴32，42，52不是勾股数，不符合题意；52=2704，27882704+，23227842=8C1D、22≠，∴7，24，26不是勾股数，不符合题意；72462526=676，625676+=，2故选A【点睛】此题考查了勾股数的判断，解题的关键是熟练掌握勾股数的概念．◎考点题型4：以直角三角形的三边长为边的三角形的面积例．（2021·福建福安·八年级期中）图中字母A所代表的正方形的面积为（）．A．64B．8C．16D．6【答案】A【解析】【分析】根据勾股定理和正方形的性质即可得出结果．【详解】解：根据勾股定理以及正方形的面积公式知：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，所以A=289-225=64．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式，勾股定理最大的贡献就是沟通“数”与“形”的关系，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题转化为数量关系的问题来解决．能否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键．变式1．（2021·四川东坡·八年级期中）如图，黑色部分长方形的面积为（）A．24B．30C．40D．48【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，再利用长方形面积公式进行求解即可．【详解】解：在直角三角形中，两直角边为6和8，=，10⨯=，∴长方形面积为：10330故选B．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，长方形面积的计算，解题的关键是熟练掌握勾股定理．变式2．（2021·江西乐平·八年级期中）如图，分别以直角三角形的三条边向外部作了三个正方形A、B、C，已知正方形A的面积是67cm2，正方形C的面积是100cm2，那么，正方形B的面积是（）A．33cm2B．36cm2C．43cm2D．50cm2【答案】A【解析】【分析】根据勾股定理得出三个正方形A 、B 、C 之间的面积关系，然后代入数据求解即可． 【详解】解：如图，设直角三角形三边分别为：a ，b ，c ， 则由勾股定理得：222+=a b c ，∴三个正方形的面积之间关系为：A B C S S S +=，∵267cm A S =，2100cm C S =，∴21006733cm B C A S S S =-=-=，故选：A ．【点睛】本题考查勾股定理的运用，理解并熟练运用勾股定理是解题关键．变式3．（2021·浙江·温州市南浦实验中学八年级期中）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以AB ，BC ，AC 为边向外作三个正方形，已知其中两个正方形面积分别为25，169，则正方形M 的面积为（ ）A ．100B ．144C ．154D ．194【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°， ∴AC 2＝AB 2﹣BC 2＝169﹣25＝144， ∴正方形M 的面积为144，【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．◎考点题型5：勾股定理与网格问题例．（2021·广东清新·八年级期中）如图，大正方形是由4个小正方形组成，小正方形的边长为2，连接小正方形的三个顶点，得到△ABC ，则△ABC 的面积为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可得ABCS ＝S 正方形DEF A －ADC CEB ABF S S S --△△△，代入求解即可．【详解】 如图所示，∵大正方形是由4个小正方形组成，小正方形的边长为2， ∴由题意可得， ABCS＝S 正方形DEF A －ADC CEB ABF S S S --△△△11122211144422242222164246AD DE AD CD CE BE AF BF =---=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=---=【点睛】此题考查了割补法求三角形面积，解题的关键是根据题意正确得到ABCS ＝S 正方形DEF A －ADC CEB ABF S S S --△△△．变式1．（2021·广西·南宁市第八中学八年级阶段练习）如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 在边长为1的正方形网格的格点上，则BC 边长的高为（ ）A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】求出△ABC 的面积，根据勾股定理求出BC 长，利用面积公式求解即可． 【详解】解：∵11134232124222ABC S ∆=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯＝4，∵BC∴BC=， 故选：B ． 【点睛】此题考查勾股定理和三角形面积公式，解题关键是会用三角形面积公式求高，利用勾股定理求出边长．变式2．（2021·辽宁铁东·八年级期中）如图，在由边长均为1的小正方形组成的4×4网格中，将连接任意两个格点的线段称作“格点线”，则“格点线”的长度不可能为（ ）A．5B C D【答案】B【解析】【分析】根据题意和各个选项中的数据，可以得到哪个数据不可能是“格点线”的长度，从而可以解答本题．【详解】解：∵5可能是“格点线”的长度，故选项A不符合题意；“格点线”的长度，故选项B符合题意；“格点线”的长度，故选项C不符合题意；“格点线”的长度，故选项D不符合题意．故选：B【点睛】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识解答．变式3．（2020·陕西·西安市黄河中学八年级阶段练习）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，四边形的顶点A，B，C，D都在格点上，则下面5）A．AB B．BC C．CD D．AD【答案】D【解析】【分析】根据勾股定理求得每条线段的长度即可．【详解】解：AB BC=3，CD=ADAD，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．◎考点题型6：勾股定理与折叠问题例．（2021·山东·滕州市大坞镇大坞中学九年级阶段练习）已知，如图长方形ABCD中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．3B．4C．6D．12【答案】C【解析】【分析】首先翻折方法得到ED=BE，再设出未知数，分别表示出线段AE，ED，BE的长度，然后在Rt△ABE 中利用勾股定理求出AE的长度，知道AE的长度后，就可以利用面积公式求得△ABE的面积了．【详解】解：∵长方形折叠，使点B与点D重合，∴ED=BE，设AE=x cm，则ED=BE=（9-x）cm，在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，∴32+x2=（9-x）2，解得：x=4，= 6（cm2），∴△ABE的面积为：3×4×12故选C.本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．变式1．（2021·浙江浙江·八年级期中）如果将长为6cm，宽为5cm的矩形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是（）A．8cm B．C．5.5cm D．3cm【答案】A【解析】【分析】根据勾股定理计算出最长折痕即可作出判断．【详解】，故折痕长不可能为8cm．故选：A．【点睛】本题考查了折叠问题，勾股定理，根据勾股定理计算后即可做出选择，难度不大．变式2．（2019·河南卧龙·七年级期末）如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点C落在AB边上的点E处，AD是折痕，则△BDE的周长为()A．6B．8C．12D．14【答案】C【解析】【分析】利用勾股定理求出AB=10，利用翻折不变性可得AE=AC=6，推出BE=4即可解决问题．【详解】在Rt△ABC中，∵AC=6，BC=8，∠C=90°，∴AB=10，由翻折的性质可知：AE=AC=6，CD=DE，∴△BDE 的周长=DE +BD +BE =CD +BD +E =BC +BE =8+4=12． 故选：C ． 【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 变式3．（2021·江苏江都·八年级阶段练习）如图，有一张直角三角形纸片，90ACB ∠=︒，5cm AB =，3cm AC =，现将ABC ∆折叠，使边AC 与AB 重合，折痕为AE ，则CE 的长为（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cm 2D ．5cm 2【答案】C 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出BC 的长度，再由折叠的性质可得CE=DE ，设CE x =，然后在Rt BDE 中利用勾股定理即可求出x 的值. 【详解】∵90ACB ∠=︒，5cm AB =，3cm AC =∴4BC ==由折叠可知CE=DE,AC=AD ，90ADE ACE ∠=∠=︒ 设CE x =，则4,2,BE x BD AB AD =-=-= 在Rt BDE 中 ∵222DE BD BE +=∴2222(4)x x +=-解得32x = 故选C本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容及方程的思想是解题的关键.◎考点题型7：利用勾股定理求两条线段的平方的和或差例．（2018·全国·八年级单元测试）在Rt △ABC 中，斜边BC=10，则BC 2+AB 2+AC 2等于( ) A ．20 B ．100C ．200D ．144【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理得出，AB 2＋AC 2= BC 2，即可求出答案 【详解】∵在Rt △ABC 中，斜边BC ＝10 ∴AB 2＋AC 2= BC 2=100∴BC 2＋AB 2＋AC 2=100+100=200 故答案为C 【点睛】此题考查了勾股定理的基本运用，三边平方关系是解决此题的关键变式1．（2021·贵州六盘水·八年级阶段练习）在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝3，则AB 2+BC 2+AC 2的值为（ ） A ．6 B ．9C ．12D ．18【答案】D 【解析】 【分析】根据90C ∠=︒，利用勾股定理可得222AB BC AC =+，据此求解即可． 【详解】解：如图示，90C ∠=︒∴在Rt ABC 中，222AB BC AC =+∴222222222318AB BC AC AB AB AB =+==+=+⨯， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的性质，掌握直角三角形中，三角形的三边长a ，b ，c 满足222+=a b c 是解题的关键．变式2．（2021·全国·八年级课时练习）在Rt ABC △中，90C ∠=︒，10AB =，则2222AB AC BC ++=（ ）．A ．100 B ．200C ．300D ．400【答案】C 【解析】 【分析】根据题意90C ∠=︒，那么AB 就为斜边，则根据勾股定理可得：222AC BC AB +=，那么原式则为23AB ，再将AB 的值代入即可求出答案．【详解】解：∵在Rt ABC △中，且90C ∠=︒， ∴AB 为Rt ABC △的斜边，∴根据勾股定理得：222AC BC AB +=， ∴2222223310300AB AC BC AB ++==⨯=， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，正确对应斜边并能灵活运用勾股定理是解题的关键．变式3．（2021·江苏滨海·八年级期中）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，2BC =．以AB 为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ）A ．8B ．12C ．18D ．20【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理解得2AB 的值，再结合正方形的面积公式解题即可． 【详解】在ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，2BC =，222224220AB AC BC ∴=+=+=∴以AB 为一条边向三角形外部作的正方形的面积为220AB =，故选：D ． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．◎考点题型8：利用勾股定理证明线段平方关系例．（2021·江苏兴化·八年级期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD ，点E 为对角线BD 上任意一点，连接AE 、CE ． 若AB =5，BC =3，则AE 2-CE 2等于( )A ．7B ．9C ．16D ．25【答案】C 【解析】 【分析】连接AC ，与BD 交于点O ，根据题意可得AC BD ⊥，在在Rt AOE 与Rt COE 中，利用勾股定理可得2222AE CE AO CO -=-，在在Rt AOB 与Rt COB 中，继续利用勾股定理可得2222AO CO AB BC -=-，求解即可得．【详解】解：如图所示：连接AC ，与BD 交于点O ，∵对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形， ∴AC BD ⊥，在Rt AOE 中，222AE AO OE =+， 在Rt COE 中，222CE CO OE =+， ∴2222AE CE AO CO -=-， 在Rt AOB 中，222AO AB OB =-， 在Rt COB 中，222CO BC OB =-， ∴2222225316AO CO AB BC -=-=-=， ∴2216AE CE -=， 故选：C ． 【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键．变式1．（2021·全国·八年级课时练习）如图，在ABC 中，AB AC >，AH BC ⊥于H ，M 为AH 上异于A 的一点，比较AB AC -与MB MC -的大小，则AB AC -（ ）MB MC -．A ．大于B ．等于C ．小于D ．大小关系不确定【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，AB 2＝AH 2＋BH 2，AC 2＝AH 2＋HC 2，则AB 2−AC 2＝BH 2−HC 2，同理有MB 2−MC 2＝BH 2−HC 2，则AB 2−AC 2＝MB 2−MC 2．再根据平方差公式即可求解． 【详解】解：∵AH ⊥BC ，有AB 2＝AH 2＋BH 2，AC 2＝AH 2＋HC 2，∴AB 2−AC 2＝BH 2−HC 2，又∵MH ⊥BC ，同理有MB 2−MC 2＝BH 2−HC 2， ∴AB 2−AC 2＝MB 2−MC 2，即（AB ＋AC ）（AB −AC ）＝（MB ＋MC ）（MB −MC ）， 又∵M 点在△ABC 内，∵AB ＋AC ＞MB ＋MC ， 则AB −AC ＜MB −MC ． 故选C ． 【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理及平方差公式的应用．变式2．（2019·江苏·常熟市第一中学八年级阶段练习）在ABC 中，A ∠、B 、C ∠的对应边分别是a 、b 、c ，若90A C ∠+∠=︒，则下列等式中成立的是（ ） A ．222+=a b c B ．222b c a +=C ．222a c b +=D ．222c a b -=【答案】C 【解析】 【分析】由已知两角之和为90度，利用三角形内角和定理得到三角形为直角三角形，利用勾股定理即可得到结果． 【详解】解：∵在ABC 中，90A C ∠+∠=︒， ∴90B ∠=︒，∴ABC 为直角三角形， 则根据勾股定理得：222a c b +=． 故选：C ． 【点睛】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．变式3．（2020·江苏东台·八年级阶段练习）在ABC 中，∠BAC=90°，则下列结论成立的是（ ） A ．BC=AC+BC B ．AC 2=AB 2+BC 2 C ．AB 2=AC 2+BC 2 D ．BC 2 =AB 2+AC 2【答案】D 【解析】【分析】根据勾股定理即可求解． 【详解】解：在 △ ABC 中，∠BAC =90°，根据勾股定理可得222BC AB AC =+， 故选：D ． 【点睛】本题考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是解题的关键．◎考点题型9：勾股定理的证明方法例．（2022·全国·八年级）勾股定理与黄金分割并称为几何学中的两大瑰宝勾股定理的发现可以称为是数学史上的里程碑，2000多年来，人们对它进行了大量的研究，至今已有几百种证法．利用图形中有关面积的等量关系可以证明勾股定理，利用如图①的直角三角形纸片拼成的②③④⑤四个图形中，可以证明勾股定理的图形有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】利用面积与恒等式，②中矩形面积等于两个直角三角形面积之和，都为ab ，无法证明勾股定理； ③中梯形面积等于两个直角边分别为a ，b 的直角三角形与一个直角边为c 的等腰直角三角形面积之和；④中大正方形的面积等于4个小直角三角形面积与一个小正方形面积之和；⑤中大正方形的面积等于4个小直角三角形面积与一个小正方形面积之和，即可求解． 【详解】解：根据题意得：②中矩形面积等于两个直角三角形面积之和，都为ab ，无法证明勾股定理； ③中梯形面积等于两个直角边分别为a ，b 的直角三角形与一个直角边为c 的等腰直角三角形面积之和，即()221112222a b ab c +=⨯+ ，整理得：222+=a b c ，可以证得勾股定理；④中大正方形的面积等于4个小直角三角形面积与一个小正方形面积之和，即 ()22142c ab b a =⨯+- ，整理得：222+=a b c ，可以证得勾股定理；⑤中大正方形的面积等于4个小直角三角形面积与一个小正方形面积之和，即()22142a b ab c +=⨯+， 整理得：222+=a b c ，可以证得勾股定理； 所以可以证明勾股定理的图形有③④⑤，共3个． 故选：C 【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，熟练掌握梯形，正方形的面积的不同求法是解题的关键． 变式1．（2021·山东梁山·八年级期末）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNPQ 的面积分别为S 1，S 2，S 3，若S 1+S 2+S 3＝45，则S 2的值是（ ）A ．12B ．15C ．20D ．25【答案】B 【解析】 【分析】设每个小直角三角形的面积为m ，则S 1＝4m +S 2，S 3＝S 2﹣4m ，依据S 1+S 2+S 3＝60，可得4m +S 2+S 2+S 2﹣4m ＝60，进而得出S 2的值． 【详解】解：设每个小直角三角形的面积为m ，则S 1＝4m +S 2，S 3＝S 2﹣4m ， ∵S 1+S 2+S 3＝45， ∴4m +S 2+S 2+S 2﹣4m ＝45， 即3S 2＝45， 解得S 2＝15．故选B ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和正方形、全等三角形的性质的运用，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．变式2．（2021·河北·临漳县教育体育局教研室八年级期中）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】利用两个以a 和b 为直角边三角形面积与一个直角边为c 的等腰直角三角形面积和等于上底为a,下第为b,高为(a+b)的梯形面积推导勾股定理可判断A ，利用以a 与b 为两直角边四个全等三角形面积与边长为c 的小正方形面积和等于以a+b 的和为边正方形面积推导勾股定理可判断B ，利用以a 与（a+b ）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b 的小正方形面积和等于以c 为边正方形面积推导勾股定理可判断C ，利用四个小图形面积和等于大正方形面积推导完全平方公式可判断D ． 【详解】解: A 、两个以a 和b 为直角边三角形面积与一个直角边为c 的等腰直角三角形面积和等于上底为a,下第为b,高为(a+b)的梯形面积，故()2211112222ab ab c a b ++=+，整理得： 222a b c +=，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B 、以a 与b 为两直角边四个全等三角形面积与边长为c 的小正方形面积和等于以a+b 的和为边正方形面积，故()22142ab c a b ⨯+=+，整理得： 222a b c +=，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C 、以a 与（a+b ）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b 的小正方形面积和等于以c 为边正方形面积，()22142a ab bc ⨯++=，整理得： 222a b c +=，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D 、四个小图形面积和等于大正方形面积，()2222ab a b a b ++=+ ，根据图形证明完全平方公式，不能证明勾股定理，故本选项符合题意； 故选：D ． 【点睛】本题考查利用面积推导勾股定理与完全平方公式，掌握利用面积推导勾股定理与完全平方公公式是关键．变式3．（2019·山东·青岛大学市北附属中学八年级阶段练习）如图1是边长分别为,a b 的两个正方形，经如图2所示的割补可以得到边长为c 的正方形，且面积等于割补前的两正方形的面积之和．利用这个方法可以推得或验证勾股定理．现请你通过对图2的观察指出下面对割补过程的理解不正确的是（ ）A ．割⑤补⑥B ．割③补①C ．割①补④D ．割③补②【答案】B 【解析】 【分析】根据图2所示可以判断如何剪拼能够拼成正方形． 【详解】 解：由题意可得：要拼成一个正方形，应当割⑤补⑥，割①补④，割③补②， 故选B ． 【点睛】本题主要考查了图形的设计，正确理解小正方形的面积的和等于拼成的正方形的面积是解题的关键．◎考点题型10：以弦图为背景的计算题例．（2021·北京·北方工业大学附属学校八年级期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x ，y 表示直角三角形的两直角边（x ＞y ），则下列四个说法：①x 2+y 2=49，②x ﹣y =2，③2xy +4=49，④x +y =9． 其中说法正确的是（ ）A ．②③B ．①②③C ．②④D ．①②④【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质，直角三角形的性质，直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答即可． 【详解】 如图所示，∵△ABC 是直角三角形，∴根据勾股定理：22249x y AB +==，故①正确；由图可知2x y CE -===，故②正确；由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积， 列出等式为144492xy ⨯⨯+=，即2449xy +=，故③正确； 由2449xy +=可得245xy =，又∵2249x y +=，两式相加得：2224945x xy y ++=+，整理得：()294x y +=，9x y +=≠，故④错误；故正确的是①②③． 故答案选B ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正方形性质，完全平方公式的应用，算术平方根，准确分析判断是解题的关键．变式1．（2022·北京房山·八年级期末）如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它被第24届国际数学家大会选定为会徽，是国际数学界对我国古代数学伟大成就的肯定．“弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，大正方形边长为3，小正方形边长为1，那么ab 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】 【分析】根据大正方形的面积是9，小正方形的面积是1，可得直角三角形的面积，即可求得ab 的值． 【详解】解：∵大正方形边长为3，小正方形边长为1， ∴大正方形的面积是9，小正方形的面积是1， ∴一个直角三角形的面积是(9-1)÷4=2， 又∵一个直角三角形的面积是12ab =2， ∴ab =4． 故选：B ． 【点睛】本题考查了与弦图有关的计算，还要注意图形的面积和a ，b 之间的关系．变式2．（2022·山西襄汾·八年级期末）如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中90ABC ∠=︒，13cm AC =，5cm AB =，则阴影部分的面积是（ ）2cmA ．169B ．25C ．49D ．64【答案】C 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出12BC =，再利用大正方形的面积减去四个全等直角三角形的面积即可得． 【详解】解：90ABC ∠=︒，13cm AC =，5cm AB =，12(cm)BC ∴，则阴影部分的面积是211313451249(cm )2⨯-⨯⨯⨯=，故选：C ． 【点睛】本题考查了勾股定理、全等三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题关键．变式3．（2021·吉林珲春·八年级期中）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a 、b （b >a ），则（a +b ）2的值为（ ）．A ．24B ．25C ．49D ．13【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理，可得2225a b += ，再由四个全等的直角三角形的面积之和等于大正方形的面积减去小正方形的面积，可得224ab = ，然后利用完全平方公式，即可求解． 【详解】解：根据题意得：2225a b += ，四个全等的直角三角形的面积之和为25124-= ，∴14242ab ⨯= ，即224ab = ，∴()2222252449a b a b ab +=++=+= ． 故选：C 【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的应用，勾股定理，完全平方公式是解题的关键．◎考点题型11：用勾股定理构造图形解决问题例．（2021·吉林朝阳·八年级期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm ，内壁高12cm ．若这支铅笔长为18cm ，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（ ）A ．3cmB ．5cmC ．6cmD ．8cm【答案】D 【解析】 【分析】当铅笔不垂直于底面放置时，利用勾股定理可求得铅笔露出笔筒部分的最小长度；考虑当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒外面部分的长度是露出的最大长度；从而可确定答案． 【详解】15(cm)=，则铅笔在笔筒外部分的最小长度为：18−15=3(cm)；当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒外面部分的长度为18−12=6（cm ），即铅笔在笔筒外面最长不超过6cm ，从而铅笔露出笔筒部分的长度不短于3cm ，不超过6cm ．。
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勾股定理复习 一.知识归纳 1 .勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a , b ，斜边为c ，那么 2 •勾股定理的证明，常见的是拼图的方法 ① 图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ② 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理b 2c 2常见方法如下：方法一：4S S 正方形EFGH S 正方形ABCD，4 2ab (b 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 2 a) 化简可证.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 S 4 -ab c 22 2ab 大正方形面积为S (a b)2 a 2 2ab b 2 所以 a 2 b 2 ba丄C 2，化简得证 2 方法三：S 梯形-(a b) 2 3 •勾股定理的适用范围： 用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 4 •勾股定理的应用：勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问 题•在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾 股定理进行计算，应设法添加辅助线(通常作垂线) ，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解. (a 2 —ab 2 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系, b) , S 梯形 2S ADE S ABE它只适 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边。
在 ABC 中， C 90 ，贝y c b 2 , b 忌~a 2 , a 'T c 2~b ② 知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③ 可运用勾股定理解决一些实际问题 5 •勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a , b , c 满足a 2 b 2 c 2，那么这个三角形是直角三角形, ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过 其中c 为斜边。
《勾股定理》经典题型梳理
勾股定理（一）勾股定理的证明【例1】 如图所示，可以利用两个全等的直角三角形拼出一个梯形．借助这个图形，你能用面积法来验证勾股定理吗？（二）翻折中的勾股定理【例2】．如图，折叠矩形的一边，使点D 落在BC 边的点F 处，其中cm 10,cm 8==BC AB ，你知道FC 多长吗？（三）方位角与勾股定理【例3】甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？（四）勾股定理的逆用【例4】如图，已知四边形ABCD 中，∠B =90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积.OAB（五）逆用勾股定理作无理线段【例5】右图是由36个边长为1的小正方形拼成的，连接小正方形中的点A 、B 、C 、D 、E 、F 得线段AB 、BC 、CD 、DE 、EF 、FA ，请说出这些线段中长度是有理数的是哪些？长度是无理数的是哪些？并在数轴上作出表示1、2、3、4、5的点.（六）最值问题【例6】如图一个圆柱，底圆周长6cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行（ ）cm. 当堂练习考点一：已知两边求第三边1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm ，2cm ，则斜边长为_____________． 2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．3．在一个直角三角形中，若斜边长为5cm ，直角边的长为3cm ，则另一条直角边的长为( ). A ．4cm B ．4cm 或cm 34 C ．cm 34 D ．不存在 4．在数轴上作出表示10的点．5．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多长？_ D_ F_ AC_ BEAB考点二：利用列方程求线段的长1．把一根长为10㎝的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是9㎝2，那么还要准备一根长为____的铁丝才能把三角形做好．2．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则EB的长是（）．A．3 B．4C5 D．53.如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？4．如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离．考点三：综合其它考点的应用1．直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为72cm，82cm，则以斜边为边长的正方形的面积为_________2cm．2．小雨用竹杆扎了一个长80cm、宽60cm的长方形框架，由于四边形容易变形，需要用一根竹杆作斜拉杆将四边形定形，则斜拉杆最长需________cm ．3．小杨从学校出发向南走150米，接着向东走了360米到九龙山商场，学校与九龙山商场的距离是（）米．FEDCBAADE BC4．如图：带阴影部分的半圆的面积是多少？（ 取3）5．已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．求①AD的长；②ΔABC的面积．6．在直角ΔABC中，斜边长为2，周长为2+6，求ΔABC的面积．7．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线交BC于D，垂足为E，BD=4cm．求AC的长．8．已知：如图，△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的高．求证：AB2-AC2=BC(BD-DC)．9．已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高．6 8ECDBA 10．小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：先降旗 杆上的绳子接长一些，让它垂到地面还多1米，然后将绳子 下端拉直，使它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆底部5米， 你能帮它计算一下旗杆的高度．11．有一只鸟在一棵高4米的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12米，高20米的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4米/秒的速度飞向大树树梢．那么这只鸟至少几秒才能到达大树和伙伴在一起．12． 如图∠B=90º，AB ＝16cm ，BC ＝12cm ，AD ＝21cm,CD=29cm ，求四边形ABCD 的面积．13．如图，一个梯子AB 长2.5 米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米？14．在加工如图的垫模时，请根据图中的尺寸，求垫模中AB 间的尺寸．考点四：判别一个三角形是否是直角三角形1．若△ABC的三个外角的度数之比为3：4：5，最大边AB 与最小边BC 的关系是_________．2．若一个三角形的周长123cm,一边长为33cm,其他两边之差为3cm,则这个三角形是______． 3．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是 ( )． A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不是直角三角形 4．下列命题中是假命题的是( )．A ．△ABC 中,若∠B=∠C－∠A,则△ABC 是直角三角形.B ．△ABC 中,若a 2=(b+c)(b －c),则△ABC 是直角三角形. C ．△ABC 中,若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5则△ABC 是直角三角形. D ．△ABC 中,若a∶b∶c=5∶4∶3则△ABC 是直角三角形. 5．在△ABC 中，2:1:1::=c b a ，那么△ABC 是（）．A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 6．如图，四边形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且BC CE 41=．你能说明∠AFE 是直角吗？。
专题1.4 勾股定理与最短路径问题的七大类型(北师大版)(解析版)
专题1.4 勾股定理与最短路径问题的七大类型【北师大版】考卷信息：本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对勾股定理与最短路径问题的七大类型的理解！【类型1平面图形上的“捷径”问题】1．（2023春·安徽合肥·八年级期末）课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为了从A处快速到达图书馆B处，直接从长方形草地中穿过．为保护草地，嘉嘉想在A处立一个标牌：“少走■米，踏之何忍？”如图，若AB＝17米，BC＝8米，则标牌上“■”处的数字是（）A．6B．8C．10D．11【答案】A【分析】利用勾股定理求出AC，即可得出答案．【详解】在RtΔABC中，由勾股定理得，AC==15（米)，∴AC+BC−AB=15+8−17=6（米)，故选：A．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．2．（2023春·湖南岳阳·八年级统考期末）如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．．【答案】4【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，与直角边进行比较即可求得结果．【详解】解：依据题意可得：∠C=90°，AC=3m，BC=4m，∴AB==5m，∴少走了3+4−5=2m，∵2步为1米，∴2×2=4，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，会用勾股定理解决问题是解题的关键．3．（2023春·八年级单元测试）如图，有两条互相垂直的街道a和b ，a路上有一小商店A,b路上有一批发部B．小商店主人每次进货都沿着A—O—B路线到达B处，然后原路返回．已A,B两处距十字路口O 的距离分别为600 米、800 米，如果小商店主人重新选一条最近的路线，那么往返一趟最多可比原来少走米．【答案】800【分析】连接AB，由勾股定理解得AB=1000，根据两点之间线段最短，可知最近的路线是从A直接到B，往返一趟需要走2000米，再求出原来走的路线往返一趟需要走2800米，据此求出差即可解答．【详解】解：连接AB，∵∠AOB=90°，∴AB，根据两点之间线段最短，可知最近的路线是从A直接到B，往返一趟需要走1000×2=2000米，原来走的路线往返一趟需要走2×（600+800）=2800米，最近路线比原来路线少走2800-2000=800米，故答案为：800．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出AB的长是解题的关键．4．（2023春·广东深圳·八年级深圳市高级中学校考期末）某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB=9m，BC=12m，CD=17m，AD=8m．技术人员通过测量确定了∠ABC=90°．(1)小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？(2)这片绿地的面积是多少？【答案】(1)6m(2)114m2【分析】（1）连接AC，利用勾股定理求出AC==15(m)，问题随之得解；（2）先利用勾股定理逆定理证明△ADC是直角三角形，∠DAC=90°，再根据三角形的面积公式即可求解．【详解】（1）如图，连接AC，∵∠ABC=90°，AB=9m，BC=12m，∴AC==15(m)，∴AB+BC−AC=9+12−15=6（m），答：居民从点A到点C将少走6m路程．（2）∵CD=17m，AD=8m．AC=15m，∴AD2+AC2=DC2，∴△ADC 是直角三角形，∠DAC =90°，∴S △DAC =12AD ⋅AC =12×8×15=60（m 2）， S △ACB =12AB ⋅AC =12×9×12=54（m 2），∴S 四边形ABCD =60+54=114（m 2），答：这片绿地的面积是114m 2．【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键．5．（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）如图，某学校进大门是一直角通道（A →B →C ），为方便学生进入教学楼，学校打开了操场绿色通道（A →C ）进行分流，学生可以走“捷径AC ”直接到达教学楼，若AB ＝80米，BC ＝60米，则走“捷径AC ”可以少走多少米？【答案】走“捷径AC ”可以少走40米．【分析】根据勾股定理求出AC 即可解决问题．【详解】解：在Rt △ABC 中，∵AB =80米，BC =60米，∴AC ==100（米)，AB +BC−AC =60+80−100=40（米)，答：走“捷径AC ”可以少走40米．【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是理解题意求出AC 的长．【类型2 平面图形上的“饮水”问题】1．（2023春·八年级课时练习）如图，已知直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB 2=120．试在直线a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足MN ⊥a 且AM +MN +NB 的长度和最短，则此时AM +NB ＝（ ）A．6B．8C．10D．12【答案】B【分析】MN表示直线a与直线b之间的距离，是定值，只要满足AM+NB的值最小即可．过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′＝4，连接A′B，与直线b交于点N，过N作直线a的垂线，交直线a 于点M，连接AM，过点B作BE⊥AA′，交射线AA′于点E，则A'B为所求，最后利用勾股定理可求得其值．【详解】解：如图，过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′＝4，连接A′B，与直线b交于点N，过N作直线a的垂线，交直线a于点M，连接AM，过点B作BE⊥AA′，交射线AA′于点E，∵AA′⊥a，MN⊥a，∴AA′∥MN．又∵AA′＝MN＝4，∴四边形AA′NM是平行四边形，∴AM＝A′N．由于AM+MN+NB要最小，且MN固定为4，所以AM+NB最小．由两点之间线段最短，可知AM+NB的最小值为A′B．∵AE＝2+3+4＝9，AB2=120，∴BE2=AB2−AE2=39．∵A′E＝AE﹣AA′＝9﹣4＝5，∴A′B=8．所以AM+NB的最小值为8．故答案为：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用、平行线之间的距离，平行四边形的判定和性质、两点间距离最短等知识点，解答本题的关键是找到点M、点N的位置是解答本题的关键．2．（2023春·河南许昌·八年级校考期末）如图，一个牧童在小河正南方向4km的A处牧马，若牧童从A点向南继续前行7km到达点C．则此时牧童的家位于C点正东方向8km的B处．牧童打算先把在A点吃草的马牵到小河边饮水后再回家，请问他应该如何选择行走路径才能使所走的路程最短？最短路程是多少？请先在图上作出最短路径，再进行计算．【答案】画图见详解，牧童选择如图所示的AF+FB的回家路线时，所走的路程最短，最短路程为17km．【分析】作图：先取A点关于河岸l的对称点D，连接BD交直线l于点F，连接AF，即最短路径为：BD．根据题意可知：牧童的行走路线为AF+BF，根据A点关于河岸l的对称点为D，可得AF+BF=DF+BF，即根据两点之间线段最短，可知当点D、F、B三点共线时，路径最短，且最短路径为BD，根据题意可得AD=4×2=8（km），DC=AD+AC=8+7=15（km），利用勾股定理即可求出BD．【详解】作图：先取A点关于河岸l的对称点D，连接BD交直线l于点F，连接AF，即最短路径为：BD，如图：∵牧童先由A点去河边，再从河边直接返回家中，∴牧童的行走路线为AF+BF，∵A点关于河岸l的对称点为D，∴AF=DF，∴AF+BF=DF+BF，即根据两点之间线段最短，可知当点D、F、B三点共线时，路径最短，且最短路径为BD，∵A点距离河岸l为4km，∴AD=4×2=8（km），∵AC=7km，∴DC=AD+AC=8+7=15（km），根据题意可知∠C=90°，BC=8km，∴△BCD是直角三角形，∴BD=17，答：牧童选择如图所示的AF+FB的回家路线时，所走的路程最短，最短路程为17km．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确作出图形，找到最短回家路线是解答本题的关键．3．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米.现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水（水管需直接到A、B村）.(1)水厂应修建在什么地方，可使所用的水管最短（请你在图中设计出水厂的位置）：(2)如果铺设水管的工程费用为每千米20000元，为使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元？【答案】(1)见解析(2)100000元【分析】（1）属于“将军饮马”类型的题目，作点A的对称点E，连接BE，与CD的交点的位置就是修建水厂的位置（2）先作出直角三角形，再利用勾股定理即可【详解】（1）如图，作点A的对称点E，连接BE，交CD于点P，点P的位置就是修建水厂的位置（2）如图，过点E，作BD的垂线EF，交BD的延长线于点FAP+PB=FP+PB=FB520000×5=100000元答：最节省的铺设水管的费用为100000元【点睛】本题考查“将军饮马”类型题的作图，以及勾股定理，准确作图是解题的关键4．（2023春·江苏南京·八年级南京第五初中校考阶段练习）“数学建模”：(1)模型——小马喝水问题：直线MN表示一条河流的岸，在河流同侧有A、B两地，小马从A地出发到B 地，中间要在河边饮水一次，请在图①中用三角板作出使小马行走最短路程的饮水点P的位置．（保留作图痕迹）(2)运用——和最小问题：如图②，长方形ABCD，E是BC的中点，AB=4，BC=P是对角线BD上的一个动点，求PC＋PE的最小值．【答案】(1)见解析(2)PE+PC的最小值为6．【分析】（1）作点A关于直线l的对称点A′．连接A′B交直线l于点P，则点P即为所求点；（2）作E关于BD的对称点E′，连接CE′，则PE+PC的最小值即为CE′的长；由已知可求△EBE′是等边三角形；过点E′作E′G⊥BC，再利用含30度的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．【详解】（1）解：如图所示，点P即为所求点；；（2）解：作E关于BD的对称点E′，连接CE′，则BE′=BE，∠EBD=∠E′BD，则PE+PC的最小值即为CE′的长；∵AB=CD=4，BC=∴BD，∴BD=2CD，E为BC的中点，∴∠DBC=30°，∴∠EBE′=60°，∴△EBE′是等边三角形，且EB=BE′=EE′=过点E′作E′G⊥BC，∴BG=GE在Rt△E′BG中，E′G3，在Rt△CE′G中，CG=∴CE′；∴PE+PC的最小值为6．【点睛】本题考查矩形的性质，轴对称求最短距离，含30度的直角三角形的性质以及勾股定理；通过轴对称将PE+PC转化为线段CE'的长是解（2）题的关键．5．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC、BD，已知AC=200米，BD=600米，且CD=600米．(1)牧童从A处放牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？(2)所走最短路程是多少？【答案】(1)见解析；(2)1000米．【分析】（1）根据题意作点A关于直线CD的对称点A1，连接A1B交CD于点E，所以在点E所在的位置饮水，所走的路程最短（2）最短路程可构建直角三角形求得【详解】（1）如图所示：作点A关于直线CD的对称点A1，连接A1B交CD于点E，∴牧童从A处放牛牵到河边饮水后再回家，在点E处饮水，所走路程最短，最短路程是AE+BE=A1E+BE= A1B在CD上任取一点F（不与点E重合），连接AE，AF，A1F，BF，如果在点F处饮水，则走的路程为AF+BF=A1F+BF下面证明在点E处饮水，所走路程最短∵AE=A1E，AF=A1F∴AE+BE=A1E+BE=A1B，AF+BF=A1F+BF在△A1BF中，A1F+BF>A1B，∴在点E所在的位置饮水，所走的路程最短（2）如图：过点D作BD的延长线DA2，使得DA2=CA1=200米，则△A1BA2是直角三角形，∵A1A2=CD=600，BA2=BD+DA2=600+200=800∴AE+BE=A1B=1000∴所走最短路程是1000米【点睛】本题考查了最短路径问题，这类问题的解答依据是：两点之间线段最短，可以利用对称性的特点，通过等线代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离6．（2023春·全国·八年级专题练习）在进行13.4《最短路径问题》的学习时，同学们从一句唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐•李颀《古从军行》出发，一起研究了蕴含在其中的数学问题——“将军饮马”问题．同学们先研究了最特殊的情况，再利用所学的轴对称知识，将复杂问题转化为简单问题，找到了问题的答案，并进行了证明．下列图形分别说明了以上研究过程．证明过程如下：如图4，在直线l上另取任一点C′，连结AC′,BC′,B′C′，∵点B，B′关于直线l对称，点C，C′在l上，∴CB=_________，C′B=_________，∴AC+CB=AC+CB′=_________．在△AC′B′中，∵AB′<AC′+C′B′，∴AC+CB<AC′+C′B′，即AC+CB最小．(1)请将证明过程补充完整．（直接填在横线上）(2)课堂小结时，小明所在的小组同学提出，如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上是否存在一点P，使PB−PA的值最大呢？请你类比“将军饮马”问题的探究过程，先说明如何确定点P的位置，再证明你的结论是正确的．(3)如图，平面直角坐标系中，M(2,2),N(4,−1),MN=P是坐标轴上的点，则|PM−PN|的最大值为_________，此时P点坐标为_________．（直接写答案）【答案】(1)CB′,C′B′,AB′(2)连结BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求；证明见解析(6,0)或(0,5)【分析】（1）根据点B，B′关于直线l对称，可得CB=CB′，C′B=C′B′，从而得到AC+CB=AC+CB′=A B′．在△AC′B′中，根据三角形的三边关系，即可；（2）连结BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求，根据三角形的三边关系，即可；（3）分两种情况讨论：当时点P在x轴上时，作点N关于x轴的对称点N′，连接MN′，延长MN′交x轴于点P，则点P即为所求；此时|PM−PN|的最大值为MN′；当点P在y轴上时，连接MN，延长NM交y轴于点P′，则点P′即为所求，此时|PM−PN|的最大值为MN【详解】（1）解：证明：如图4，在直线l上另取任一点C′，连结AC′,BC′,B′C′，∵点B，B′关于直线l对称，点C，C′在l上，∴CB=CB′，C′B=C′B′，∴AC+CB=AC+CB′=AB′．在△AC′B′中，∵AB′<AC′+C′B′，∴AC+CB<AC′+C′B′，即AC+CB最小．故答案为：CB′,C′B′,AB′（2）解：连结BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求．证明：如图，在直线l上任取任一点P′，连结AP′,BP′，在△ABP′中，根据两边之差小于第三边得：BP′−AP′<AB，而当点B，A，P共线时，BP−AP=AB，所以此时BP−AP最大；（3）解：如图，当时点P在x轴上时，作点N关于x轴的对称点N′，连接MN′，延长MN′交x轴于点P，则点P即为所求；此时|PM−PN|的最大值为MN′，∵N(4,−1)，∴点N′(4,1)，∵M(2,2)，∴MN′设直线MN′的解析式为y=kx+b，把点M(2,2)，N′(4,1)代入得：2k+b=24k+b=1，解得：k=−12b=3，∴直线MN′的解析式为y=−12x+3，当y=0时，x=6，此时点P的坐标为(6,0)；当点P在y轴上时，连接MN，延长NM交y轴于点P′，则点P′即为所求，此时|PM−PN|的最大值为MN=设直线MN的解析式为y=ax+m，把点M(2,2),N(4,−1)代入得：2a+m=24a+m=−1，解得：a=−32m=5，∴直线MN的解析式为y=−32x+5，当x=0时，y=5，此时点P′的坐标为(0,5)，综上所述，|PM−PN|P点坐标为(6,0)或(0,5)．(6,0)或(0,5)【点睛】本题主要考查了一次函数的实际，最短距离问题，勾股定理，三角形的三边关系，熟练掌握一次函数的图象和性质，勾股定理，三角形的三边关系是解题的关键．7．（2023春·浙江·八年级专题练习）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l 的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B．请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图2，ΔABC中，∠C=90°，AC=BC=2，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，则PA+PE的最小值为 ；（2）几何拓展：如图3，ΔABC中，AC=2，∠A=30°，若在AB、AC上各取一点M、N使CM+MN的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．【答案】（12【分析】（1）作点A关于BC的对称点A′，连接A′E交BC于P，此时PA+PE的值最小．连接BA′，先根据勾股定理求出BA′的长，再判断出∠A′BA=90°，根据勾股定理即可得出结论；（2）作点C关于直线AB的对称点C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，连接AC′，根据等边三角形的性质解答．【详解】解：（1）如图2所示，作点A关于BC的对称点A′，连接A′E交BC于P，此时PA+PE的值最小．连接BA′．由勾股定理得，∵E是AB的中点，BA=∴BE=12∵∠C=90°，AC=BC=2，∴∠A′BC=∠ABC=45°，∴∠A′BA=90°，∴PA+PE的最小值（2）如图3，作点C关于直线AB的对称点C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，连接AC′，则C′A=CA=2，∠C′AB=∠CAB=30°，∴△C′AC为等边三角形，∴∠AC′N=30°，C′A=1，∴AN=12∴CM+MN的最小值为【点睛】本题考查的是轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段．【类型3圆柱上的最短路径问题】1．（2023春·山东临沂·八年级统考期末）如图，已知圆柱底面的周长为6，圆柱高为3，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．∵圆柱底面的周长为6，圆柱高为3，∴AB=3，BC=BC′=3，∴AC2=32+32=18，∴AC=∴这圈金属丝的周长最小为2AC=故选：D．【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．2．（2023春·河南新乡·八年级新乡市第十中学校考期末）如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A 点绕到正上方的B点，已知知圆柱底面周长是3m，高为16m，则所需彩带最短是（ ）m．A．8B．5C．20D．10【答案】C【分析】把曲面展开变为平面，利用两点间线段最短，再根据勾股定理即可求解．【详解】解：如图，线段AB即为所需彩带最短，由图可知AC=3×4=12，BC=16，∴由勾股定理得，AB=20，故选C．【点睛】本题考查两点间线段最短和勾股定理在生活中的应用．将曲面问题变为平面问题是解答本题的关键．3．（2023春·湖北省直辖县级单位·八年级统考期末）如图，已知圆柱高为8cm，底面圆的周长为12cm，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B处吃食，那么它爬行的最短路程是（）A．20cm B．15cm C．12cm D．10cm【答案】D【分析】根据题意，将立体几何展开，可知最短路径AB，根据勾股定理即可求解．【详解】解：根据题意，圆柱的侧面展开图如图所示，∴从点A爬到点B处吃食，爬行的最短路程是AB的长，∵AC=DE=12，BF=8，点B,F分别是DE,AC的中点，∴在Rt△ABF中，AB=10，∴最短路程是10cm，故选：D．【点睛】本题主要考查圆的基础知识，立体几何图形的展开图，勾股定理的综合运用，掌握以上知识的是解题的关键．4．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U形池，该U形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为12m的半圆，其边缘AB=CD=20m（边缘的宽度忽略不计），点E在CD上，CE=4m.一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为（）A．28m B．24m C．20m D．18m【答案】C【分析】滑行的距离最短，即是沿着AE的线段滑行，我们可将半圆展开为矩形来研究，展开后，A、D、E 三点构成直角三角形，AE为斜边，AD和DE为直角边，写出AD和DE的长，根据题意，由勾股定理即可得出AE的距离．【详解】解：将半圆面展开可得：AD=12米，DE=DC−CE=AB−CE=16米，在Rt△ADE中，AE=20（米）．即滑行的最短距离为20米．故选：C．【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，U型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽是半圆的弧长，矩形的长等于AB=CD=20m.本题就是把U型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．5．（2023春·四川乐山·八年级统考期末）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为12 cm，在容器内壁离容器底部1.5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿1.5cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15cm，则该圆柱底面周长为（）A．9cm B．12cm C．18cm D．24cm【答案】C【分析】将容器侧面展开，建立A关于上边沿的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度为最短路径15cm，构造直角三角形，依据勾股定理可以求出底面周长的一半，乘以2即为所求．【详解】解：如下图，将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，根据题意，可知A′B=15cm，BD=12−1.5+AE=12cm，∴A′D==9．所以底面圆的周长为9×2=18cm．故选：C．【点睛】本题主要考查了平面展开——最短路径问题以及勾股定理等知识，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．6．（2023春·福建泉州·八年级统考期末）如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，在容器内壁离容器底部4 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4 cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15 cm，则该圆柱底面周长为（）cm．A．9B．10C．18D．20【答案】C【分析】将容器侧面展开，建立A关于上边沿的对称点A’，根据两点之间线段最短可知A’B的长度为最短路径15，构造直角三角形，依据勾股定理可以求出底面周长的一半，乘以2即为所求．【详解】解：如图，将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，根据题意：A′B=15cm，BD=12−4+AE=12cm，∴A′D==9．所以底面圆的周长为9×2=18cm.故选：C．【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．【类型4圆锥上的最短路径问题】1．（2023·内蒙古赤峰·统考期末）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为20πcm，母线AB长为30cm，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（）vA．30cm B．cm C．60cm D．20πcm【答案】B【分析】根据圆锥的底面圆周长求得半径为10，根据母线长求得展开后的扇形的圆心角为120°，进而即可求解．【详解】解：∵这个圆锥的底面圆周长为20πcm，∴2πr=20π解得：r=10=20π∵nπ×30180解得：n=120∴侧面展开图的圆心角为120°如图所示，AC即为所求，过点B作BD⊥AC，∵∠ABC=120°，BA=BC，则∠BAC=30°∵AB=30，则BD=15∴AD=AC=2AD=故选：B．【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理解直角三角形，求得侧面展开图的圆心角为120°解题的关键．2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是．【答案】【分析】先把圆锥的侧面展开图，再根据两点之间，线段最短确定最短路线，求出展开图扇形圆心角，最后根据勾股定理求解线段长即可．【详解】解：由题意知，底面圆的直径为2，故底面周长等于2π，设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2π=4πn180解得n=90°，所以展开图中圆心角为90°，根据勾股定理求得到点A=故答案为：【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图，最短路问题，弧长公式和勾股定理等知识点，拥有良好的空间想象能力是解题的关键．3．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）已知圆锥的底面半径是4cm，母线长为12cm，C为母线PB 的中点，蚂蚁在圆锥侧面上从A爬到C的最短距离是．【答案】【分析】根据题意可得圆锥的底面周长是8πcm，即可得圆锥侧面展开图的圆心角是120°，展开圆锥的侧面，构造直角三角形即可得．【详解】解：圆锥的底面周长是：2π×4=8π(cm)，则8π=nπ×12180n=120°，即圆锥侧面展开图的圆心角是120°，如图所示，∴∠APB=60°，∵PA=PB，∴△PAB是等边三角形，∵C是PB的中点，∴AC⊥PB，∴∠ACB=90°，∵在圆锥侧面展开图中AP=12cm，PC=6cm，∴在圆锥侧面展开图中：AC=，∴蚂蚁在圆锥侧面上从A爬到C的最短距离是：，故答案为：．【点睛】本题考查了最短距离问题，解题的关键是掌握圆锥的计算，勾股定理，将最短距离转化为平面上两点间的距离并正确计算．4．（2023春·河北保定·八年级统考期末）如图，小明用半径为20，圆心角为θ的扇形，围成了一个底面半径r为5的圆锥.（1）扇形的圆心角θ为；（2）一只蜘蛛从圆锥底面圆周上一点A出发，沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是.【答案】90°/90度【分析】（1）由于圆锥的底面圆周长就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求出侧面展开图的圆心角；（2）根据两点之间线段最短，把圆锥的侧面展开成平面图形，构造直角三角形根据勾股定理即可求得．【详解】解（1）∵圆锥的底面周长=2π×5=10π，=10π，∴θπ×20180解得θ=90°；故答案为90°．（2）圆锥的侧面展开图如图所示，构造Rt△AOA′，根据两点之间线段最短得最短路程为20故答案为【点睛】本题考查了最短路径问题，根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径，在平面图形上构造直角三角形是解题的关键．【类型5正方体上的最短路径问题】1．（2023春·北京西城·八年级北京十四中校考期中）如图，正方体的棱长为2cm，点B为一条棱的中点.蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（）A B．4cm C D．5cm【答案】C【分析】正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁的起点和终点，根据两点之间线段最短，根据勾股定理可求出路径长，【详解】解：如图，它运动的最短路程AB=cm），故选：C．【点睛】本题考查平面展开最短路径问题，掌握两点之间线段最短，找到起点终点，根据勾股定理求出是解题的关键．2．（2023春·广东茂名·八年级茂名市第一中学校考期中）固定在地面上的一个正方体木块（如图①），其棱长为4cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面从点A爬行到点B的最短路程为（）A．+B．+4C．D．【答案】A【分析】根据两点之间线段最短，将图②展开，利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：如图，正方体上表面的对角线为CD，将图②展开，连接AB交CD于点E，线段AB的长度即为蚂蚁爬行的最短路程，由题意可知：△ACD为等边三角形，△CBD为等腰直角三角形，∵AC=AD,BC=BD,AB=AB，∴△ACB≌△ADB(SSS)，∴∠CBE=∠DBE，∴AB⊥CD，∵正方体的棱长为4cm，∴BC=BD=4cm，AC=AD=CD==CD=在Rt△CEB中，BE=CE=12在Rt△CEA中，AE=∴AB=AE+CE==2；故选A.【点睛】本题考查勾股定理的应用．解题的关键，是将立体图像展开，根据两点之间线段最短，确定最短路径．。
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1 9.已知Rt△ABC的周长为，其中斜边，求这个三角形的面积。10. 如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广. (1)如图，以Rt△ABC的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边三角形的面积1S、2S、3S之间有何关系？并说明理由。 （2）如图，以Rt△ABC的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积1S、2S、3S之间有何关系？ （3）如果将上图中的斜边上的半圆沿斜边翻折180°，请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面积之间的关系，并说明理由。（此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”）
题型二：利用勾股定理测量长度 例1. 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？
跟踪练习： 1.如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.
2.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（ ） A、12米 B、13米 C、14米 D、15米 3.如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ） 2
A、8米 B、10米 C、12米 D、14米 题型三：勾股定理和逆定理并用——
例3. 如图3，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且ABFB41那么△DEF是直角三角形吗？为什么？
注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。 跟踪练习： 1. 如图，正方形ABCD中，E为BC边的中点，F点CD边上一点，且DF=3CF，求证：∠AEF=90°
题型四：利用勾股定理求线段长度—— 例1. 如图4，已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.
跟踪练习： 1.如图，将一个有45度角的三角板顶点C放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点B在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，求三角板的最大边AB的长.
2.如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，D为AC的中点，DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，（1）求证：BE=CF;（2）若AE=3，CF=1，求EF的长. 3
3.如图，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上的一点.若AD=1，BD=3，求CD的长. 题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直—— 例1. 有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？
跟踪练习： 1.如图，每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，试判断△ABC的形
状，并说明理由.（1）求证：∠ABD=90°;（2）求的值
2.下列各组数中，以它们边的三角形不是直角三角形的是（ ） A、9，12，15 B、7,24,25 C、 D、，， 4
3.在△ABC中，下列说法①∠B=∠C-∠A；②；③∠A:∠B:∠C=3：4：5；④a:b:c=5:4:3；⑤：：=1:2:3，其中能判断△ABC为直角三角形的条件有（ ） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 4.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c.判断下列三角形是否为直角三角形？并判断哪一个是直角？ （1）a=26，b=10，c=24;（2）a=5，b=7，c=9;（3）a=2，， A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 5.已知△ABC的三边长为a、b、c，且满足，则此时三角形一定是（ ） A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、锐角三角形
6.在△ABC中，若a=12n，b=2n，c=12n，则△ABC是（ ） A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、等腰三角形 D、直角三角形 7.如图，正方形网格中的△ABC是（ ）
A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、锐角三角形或钝角三角形 8.已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法中，错误的是（ ） A、如果∠C-∠B=∠A,那么∠C=90° B、如果∠C=90°，那么 C、如果（a+b）（a-b）=，那么∠A=90° D、如果∠A=30°，那么AC=2BC
9.已知△ABC的三边分别为a，b，c，且a+b=3，ab=1，，求的值，试判断△ABC的形状，并说明理由 10.观察下列各式：，，，……，根据其中规律，写出下一个式子为_____________ 11.已知，m＞n，m、n为正整数，以，2mn，为边的三角形是___三角形. 12.一个直角三角形的三边分别为n+1，n-1，8，其中n+1是最大边，当n为多少时，三角形为直角三角形？ 题型六：旋转问题：
例题6. 如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC的边长.
跟踪练习 1.如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E、F是BC上的点，且∠EAF=45°，试探究 5
222BECFEF、、间的关系，并说明理由.
题型七：关于翻折问题 例题7.如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.
跟踪练习 1.如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿直线AD翻折，点C落在点C’的位置，BC=4,求BC’的长.
(一) 折叠直角三角形 1.如图，在△ABC中，∠A = 90°，点D为AB上一点，沿CD折叠△ABC，点A恰好落在BC边上的'A处，AB=4，AC=3，求BD的长。 6
2. 如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5．将△ABC折叠使C与A重合，折痕为DE，求BE的长． （二）折叠长方形 1.如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=5，F为CD上一点，将长方形沿折痕AF折叠，点D恰好落在BC上的点E处，求CF的长。
2. 如图，长方形ABCD中，AD=8cm，AB=4cm，沿EF折叠，使点D与点B重合，点C与C'重合. （1）求DE的长;（2）求折痕EF的长.
3. （2013•常德）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边CD落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB=3，AD=4，则ED的长为（ ）
4. 如图，长方形ABCD中，AB=6，AD=8，沿BD折叠使A到A′处DA′交BC于F点. （1）求证：FB=FE （2）求证：CA′∥BD 7
（3）求△DBF的面积 7. 如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G,G为BC的中点，连结AG、CF. （1）求证：AG∥CF;（2）求的值.
题型八：关于勾股定理在实际中的应用： 例1、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？
例2.一辆装满货物高为1.8米，宽1.5米的卡车要通过一个直径为5米的半圆形双向行驶隧道，它能顺利通过吗？
跟踪练习： 1. 某市气象台测得一热带风暴中心从A城正西方向300km处，以每小时26km的速度向北偏东60°方向 8
移动，距风暴中心200km的范围内为受影响区域。试问A城是否受这次风暴的影响？如果受影响，请求出遭受风暴影响的时间；如果没有受影响，请说明理由。
2.一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如下图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
3.有一个边长为50dm 的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结果保留整数）
4.如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
题型九：关于最短性问题 例1、如右图1－19，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美 9
餐．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（π取3.14，结果保留1位小数，可以用计算器计算） 例2. 跟踪练习： 1.如图为一棱长为3cm的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点，最少要花几秒钟？
2.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
3.一个长方体盒子的长、宽、高分别为8cm，6cm，12cm,一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点,你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？
4.如图将一根13.5厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为4厘米、3厘米和12厘米的长方体无盖盒子中，能全部放进去吗？
B A 5
3
1
B A A
3 ？ ？ A