安徽省江淮十校高二数学上学期期中试题 理(扫描版)
安徽省2021版高二上学期期中数学试卷(理科)A卷(新版)
安徽省2021版高二上学期期中数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，一般职员90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为A . 5、10、15B . 3、9、18C . 3、10、17D . 5、9、162. （2分）(2018·广州模拟) 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2015年1月至2017年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A . 年接待游客量逐年增加B . 各年的月接待游客量高峰期在8月C . 2015年1月至12月月接待游客量的中位数为30万人D . 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳3. （2分） (2016高一下·黄山期末) 在平面区域{（x，y）|0≤x≤1，1≤y≤2}内随机投入一点P，则点P 的坐标（x，y）满足y≤2x的概率为（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高二上·南宁期中) 手机给人们的生活带来便利的同时，也给青少年的成长带来不利的影响，有人沉迷于手机游戏无法自拔，严重影响了自己的学业，某学校随机抽取个班，调查各班带手机来学校的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为将数据分组成，，…，，时，所作的频率分布直方图是（）A .B .C .D .5. （2分）若数据x1 ， x2 ，…，xn的平均值为，方差为S2 ，则3x1+5，3x2+5，…，3xn+5的平均值和方差分别为（）A . 和S2B . 3 +5和9S2C . 3 +5和S2D . 和9S26. （2分）函数是奇函数的充要条件是（）A .B .C .D .7. （2分） (2020高一下·徐汇期末) 设是首项为正数的等比数列，公比为q，对于以下两个命题：(甲)“ ”是“ 为递增数列”的充分非必要条件；(乙)“ ”是“对任意的正整数n，”的必要非充分条件，下列判断正确的是（）A . 甲和乙均为真命题B . 甲和乙均为假命题C . 甲为假命题，乙为真命题D . 甲为真命题，乙为假命题8. （2分）设=（1，1，﹣2），=（3，2，8），=（0，1，0），则线段AB的中点P到点C的距离为（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高三上·定州期中) 如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若=λ +μ ，则λ+μ=（）A .B .C .D . 210. （2分） (2016高一下·郑州期末) 某商场想通过检查发票存根及销售记录的2%来快速估计每月的销售总额，采取如下方法：从某本发票的存根中随机抽一张，如15号，然后按序往后将65号，115号，165号，…发票存根上的销售额组成一个调查样本．这种抽取样本的方法是（）A . 抽签法B . 随机数法C . 系统抽样法D . 其他方式的抽样11. （2分）已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F，M分别是AB，AD，AA1的中点，又P，Q分别在线段A1B1 ， A1D1上，且A1P=A1Q=x，0<x<1，设平面MEF∩平面MPQ=l，则下列结论中不成立的是（）A . l∥平面ABCDB . l⊥ACC . 平面MEF与平面MPQ不垂直D . 当x变化时，l不是定直线12. （2分） (2018高二上·临汾月考) 如图，在正方体中，若是线段上的动点，则下列结论不正确的是（）A . 三棱锥的正视图面积是定值B . 异面直线，所成的角可为C . 异面直线，所成的角为D . 直线与平面所成的角可为二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·江都月考) 命题“ ”的否定是________.14. （1分） (2019高一下·鄂尔多斯期中) ________.15. （1分） (2018高二上·黑龙江期中) 假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机，若这两条短信进入手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为________16. （1分）给出下列四个命题：①半径为，圆心角的弧度数为的扇形面积为；②若为锐角，，，则或；③函数图象的一条对称轴是 .其中真命题是________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2020高一下·温州期末) 已知是同一平面内的三个向量，其中 .（1）若，且，求的坐标；（2）若，且，求与的夹角θ的余弦值.18. （15分） (2017高二上·伊春月考) 随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图所示.（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;（2）计算甲班的样本方差;（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学,求身高为176cm的同学被抽中的概率.19. （5分）已知函数f（x）=2x2﹣2ax+b，当x=﹣1时，f（x）取最小值﹣8，记集合A={x|f（x）＞0}，B={x||x ﹣t|≤1}（Ⅰ）当t=1时，求（∁RA）∪B；（Ⅱ）设命题P：A∩B≠∅，若￢P为真命题，求实数t的取值范围．20. （10分） (2019高一下·梅河口月考) 如图所示，四棱锥中，，底面中，，，又，，为中点．（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角．21. （10分） (2019高二下·鹤岗月考) 设命题 :实数满足，其中，命题 :实数满足．（1）若且为真，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．22. （5分）(2018·新疆模拟) 如图，在斜三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共55分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、答案：18-3、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：。
安徽省高二上学期数学期中检测试卷
安徽省高二上学期数学期中检测试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共9题；共18分)1. （2分） (2017高三上·襄阳开学考) 若M、N为两个定点且|MN|=6，动点P满足• =0，则P点的轨迹是（）A . 圆B . 椭圆C . 双曲线D . 抛物线2. （2分） (2018高三上·湖南月考) 已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，则，的关系为（）A .B .C .D .3. （2分）下列说法正确的是（）A . 直角坐标系中横、纵坐标相等的点能够组成一个集合B . π∈{x|x＜3，x∈R}C . ∅={0}D . {（1，2）}⊆{1，2，3}4. （2分）在中, ，,点P在AM上且满足,则等于（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高一下·山西期中) 已知正方形ABCD的边长为1，则等于（）A .B .C .D .6. （2分）(2017·呼和浩特模拟) 已知椭圆（a＞b＞0）的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1 ， F2 ，在线段AB上有且仅有一个点P满足PF1⊥PF2 ，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .7. （2分） (2020高二上·鱼台月考) 已知，，若，则常数（）A . -6B . 6C . -9D . 98. （2分） (2020高一下·杭州月考) 已知向量与的夹角为，，，则（）A . 1B . 3C . 4D . 59. （2分） (2019高二上·淄博月考) 下面命题正确的是（）A . “ ”是“ ”的充分不必要条件B . 命题“若 ,则”的否定是“ 存在 ,则”.C . 设 ,则“ 且”是“ ”的必要而不充分条件D . 设 ,则“ ”是“ ”的必要不充分条件二、多选题 (共3题；共9分)10. （3分） (2020高二上·夏津月考) 在以下命题中，不正确的命题有（）A . 是，共线的充要条件B . 若，则存在唯一的实数，使C . 对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面D . 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底11. （3分） (2020高二上·重庆月考) 已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于，两点，，分别为，在上的射影，且，为中点，则下列结论正确的是（）A .B . 为等腰直角三角形C . 直线的斜率为D . 线段的长为12. （3分） (2020高一下·扬州期末) 如图，已知四棱锥中，平面，底面为矩形，， .若在直线上存在两个不同点，使得直线与平面所成角都为 .则实数的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 4三、填空题 (共3题；共3分)13. （1分） (2019高一上·天津月考) 命题 : ,则命题的否定为________.14. （1分） (2019高二下·上海期末) 已知向量，则向量的单位向量 ________．15. （1分）直线y=2x+1的斜率为________ ．四、双空题 (共1题；共1分)16. （1分） (2019高二下·厦门期末) 已知抛物线的焦点为，平行轴的直线与圆交于两点（点在点的上方），与交于点，则周长的取值范围是________五、解答题 (共6题；共60分)17. （5分） (2017高一上·吉林月考) 已知集合， .（1）若，求；（2）若，，求的取值范围.18. （10分） (2017高二上·高邮期中) 在平面直角坐标系xoy中，已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C的离心率为，且双曲线C与斜率为2的直线l相交，且其中一个交点为P（﹣3，0）．（1）求双曲线C的方程及它的渐近线方程；（2）求以直线l与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程．19. （10分）(2018·榆社模拟) 如图，在各棱长均为2的正三棱柱中，，分别为棱与的中点，，为线段上的动点，其中，更靠近，且 .（1）证明：平面；（2）若与平面所成角的正弦值为，求异面直线与所成角的余弦值.20. （10分） (2019高二上·漠河月考)（1）求与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的标准方程；（2）焦点在坐标轴上，且经过A(－，2)和B( ，1)两点的椭圆的标准方程21. （15分） (2018高二上·太原期中) 已知正方体．（1）求证：平面；（2）求证：平面．22. （10分） (2019高三上·南京月考) 如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆的左、右顶点分别为A，B ，点（，3e)和(b ，）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点C是椭圆上异于左、右顶点的任一点，线段BC的垂直平分线与直线BC，AC分别交于点P，Q ，求证：为定值．参考答案一、单选题 (共9题；共18分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：二、多选题 (共3题；共9分)答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：三、填空题 (共3题；共3分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：四、双空题 (共1题；共1分)答案：16-1、考点：解析：五、解答题 (共6题；共60分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
安徽省江淮名校2020-2021学年高二期中考试试题数学(理)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如果直线 与直线 垂直，则 等于（ ）
A． B． C． D．
2．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()
7．D
【分析】
作出示意图，再结合两点间的斜率公式，即可求得答案.
【详解】
， ，
又 直线 过点 且与线段 相交，作图如下：
则由图可知，直线 的斜率 的取值范围是： 或 ．
故选：D
【点睛】
本题借直线与线段的交点问题，考查两点间的斜率公式，考查理解辨析能力，属于中档题.
8．B
【解析】
因为四边形 是菱形， ，又 平面 ， ，又 平面 ，即有 ，故要使平面 平面 ，只需 或 .
其中正确结论的序号是______．
13．若直线 经过原点和 ，则直线 的倾斜角大小为__________．
14．直线 过 和 的交点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线 的方程为__________．
15．已知圆 ，直线 ： ，当圆上仅有 个点到直线 的距离为 ，则 的取值范围为__________．
A． B． C． D．
3．直线 恒过定点 ，则以 为圆心， 为半径的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 ，腰长为 的等腰直角三角形，则这个平面图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．与两直线 和 的距离相等的直线是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
（2）求与直线 平行，且被圆 截得的线段长为 的直线的方程.
安徽省合肥市2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题含解析
绝密★启用前合肥2023~2024学年度第一学期高二年级期中考试（学考模拟）数学（答案在最后）本试卷共4页.全卷满分100分，考试时间90分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷(选择题共54分)一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，满分54分.每小题4个选项中，只有1个选项符合题目要求，多选不给分)1.已知集合{}1,2A =，{}1,3B =，则A B ⋃=（）A.{}1 B.{}1,2 C.{}1,3 D.{}1,2,3【答案】D 【解析】【分析】利用并集运算求解.【详解】解：因为集合{}1,2A =，{}1,3B =，所以A B ⋃={}1,2,3，故选：D2.下列函数中，在其定义域上单调递减的是（）A.y x=- B.²y x = C.sin y x= D.cos y x=【答案】A 【解析】【分析】利用幂函数与正余弦函数的单调性一一判定即可.【详解】由幂函数的单调性可知y x =-在定义域上单调递减，故A 正确；²y x =在(),0∞-上单调递减，()0,∞+上单调递增，不符题意，sin y x =在()ππ2π,2πZ 22k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，不符题意，cos y x =在[]()π2π,2πZ k k k -+∈上单调递增，不符题意，即B 、C 、D 错误.故选：A3.在平面直角坐标系中，下列与角420o 终边相同的角是（）A.20B.60C.120D.150【答案】B 【解析】【分析】利用终边相同的角的定义计算即可.【详解】由题意可知42036060=+ ，所以60 与420o 终边相同.故选：B4.若12i z =+，则4i 1zz =-A.1 B.-1C.iD.-i【答案】C 【解析】【详解】试题分析：()()4i 4ii 112i 12i 1zz ==-+--，故选C ．【考点】复数的运算、共轭复数．【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成−1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依照平面向量的加、减法的几何意义进行理解．5.下列函数为奇函数的是（）A.1y x=B.y x= C.2xy = D.y =log ₂x【答案】A 【解析】【分析】根据题意，结合初等函数的图象与性质，逐项判定，即可求求解.【详解】对于A 中，函数1y x=为奇函数，符合题意；对于B 中，函数y x =为偶函数，不符合题意；对于C 中，函数2x y =为非奇非偶函数，不符合题意；对于D 中，函数2log y x =为非奇非偶函数，不符合题意.故选：A.6.已知函数()f x 对于任意实数x 满足()()2f x f x +=，若()13f -=，则()5f =（）A.-5B.-3C.3D.5【答案】C 【解析】【分析】首先判断函数的周期，利用周期求函数值.【详解】由R x ∀∈，()()2f x f x +=，可知，函数()f x 的周期2T =，()()()513213f f f =-+⨯=-=.故选：C7.已知a +b >0，b <0，那么a ，b ，-a ，-b 的大小关系是（）A.a >b >-a >-bB.a >b >．-b >-aC.a >-b >-a >bD.a >-b >b >-a【答案】D 【解析】【分析】根据题目信息，a +b >0，b <0，则可知0a >且a b >，在对内容排序即可【详解】因为a +b >0，b <0，则可知0a >且a b >，则a b b a >->>-，因此D 正确.故选：D.8.已知向量()(),1,1,2a b λλ=-=- ，若a b ⊥，则实数λ的值是（）A.-2B.-1C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据a b ⊥，由()()1120λλ⨯-+-⨯=求解.【详解】解：因为向量()(),1,1,2a b λλ=-=- ，且a b ⊥，所以()()1120λλ⨯-+-⨯=，解得2λ=，故选：D9.已知函数()()0,1xf x a a a =>≠的图象过点()2,9P ，则()1f -=（）A.3 B.-3C.13D.13-【答案】C 【解析】【分析】利用指数函数的定义求底数，再计算函数值即可.【详解】由题意可知()()2293,3xf a a f x ==⇒==，所以()113f -=.故选：C10.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB ＝AD ＝2，13AA =，则四棱锥1D ABCD -的体积为（）A.3B.4C.6D.9【答案】B 【解析】【分析】根据长方体的特殊线面关系，结合棱锥体积公式求得结果.【详解】在长方体中，1DD ⊥底面ABCD ，则四棱锥1D ABCD -的体积为122343⨯⨯⨯=.故选：B11.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1sin 2a b A ===，则C =（）A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】B 【解析】【分析】根据正弦定理，即可求解.【详解】根据正弦定理sin sin a bA B =，即sin sin 1b A B a==，则π2B =，sin 2A =，a b <，则π4A =，所以π4C B A π=--=.故选：B12.若函数21y x kx =++的图象与x 轴没有交点，则k 的取值范围是（）A.()2,2- B.()2,+∞C.(),2-∞- D.()(),22,∞∞--⋃+【答案】A 【解析】【分析】利用二次函数的性质计算即可.【详解】由题意可知210y x kx =++=无解，即()2Δ402,2k k =-<⇒∈-.故答案为：A13.已知AB=(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅ =A.-3B.-2C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.【详解】由(1,3)BC AC AB t =-=- ，1BC == ，得3t =，则(1,0)BC = ，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．14.在篮球选修课上，男、女生各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如图所示，试根据折线图通过计算比较本次投篮练习中男、女生的投篮水平，则（）A.男生投篮水平比女生投篮水平高B.女生投篮水平比男生投篮水平高C.男女同学的投篮水平相当，但女同学要比男同学稳定D.男女同学投篮命中数的极差相同【答案】C 【解析】【分析】根据平均数和方差计算公式结合图表数据计算出x 男，x 女，2s 男，2s 女，然后进行比较即可求得结果.【详解】由图可知1(45286)55x =++++=男，1(53764)55x =++++=女，222222(45)(55)(25)(85)()14565s -+-+-⎡⎤==⎣++-⎦-男，2222221(55)(35)(75)(65)(45)25s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦女，所以x x =男女，22s s >男女，所以本次投篮练习中男女同学的投篮水平相当，但女同学要比男同学稳定，故选：C.15.向如图放置的空容器中匀速注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系的是（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】分析容器的形状，结合匀速注水的条件可以直接得到答案.【详解】由于容器上粗下细，所以匀速注水的过程中，高度的增长会越来越慢，只有C 选项的图象符合条件，故选：C.16.函数()22log f x x =-零点所在的区间是（）A.()1,2 B.()2,4 C.()4,8 D.()8,16【答案】B 【解析】【分析】根据零点存在性定理，即可判断选项.【详解】函数()f x 在()0,∞+上单调递减，()120f =>，()2210f =->，()4220f =-<，()()240f f <，且函数单调递减，连续不断，所以函数的零点所在的区间是()2,4.故选：B17.从2名男生和2名女生中任选2人参加社区活动，那么互斥而不对立．．．．．．的两个事件是（）A.“恰有1名男生”与“全是男生”B.“至少有1名男生”与“全是女生”C.“至少有1名男生”与“全是男生”D.“至少有1名男生”与“至少有1名女生”【答案】A 【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的概念结合选项进行判断.【详解】对于A ，“恰有1名男生”与“全是男生”不能同时发生，但不一定必有其一发生，所以是互斥而不对立事件；对于B ，“至少有1名男生”与“全是女生”是对立事件；对于C ，“至少有1名男生”与“全是男生”能同时发生，所以不是互斥事件；对于D ，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”能同时发生，所以不是互斥事件；故选：A.18.如图，在长方形ABCD 中，6,4AB AD ==，点P 满足DP DC λ= ，其中20,3λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则PA PB+ 的取值范围是（）A.[]4,5B.[]8,10C.⎡⎣D.⎡⎤⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，得到()6,4P λ，20,3λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，从而求出PA PB +=，求出最值.【详解】以A 为坐标原点，,AB AD 所在直线分别为,x y 轴，建立平面直角坐标系，则()()()()0,0,6,0,0,4,6,4A B D C ，设(),P s t ，因为DP DC λ=，所以()(),46,0s t λ-=，即6,4s t λ==，故()6,4P λ，20,3λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()()6,466,4612,8PA PB λλλ+=--+--=--，则PA PB +=，因为20,3λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]6122,6λ-∈-，()[]26120,36λ-∈，故[]8,10PA PB +=.故选：B第Ⅱ卷(非选择题共46分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，满分16分，把答案填在题中的横线上)19.若a >0，则1a a+的最小值是___________.【答案】2【解析】【分析】利用基本不等式求解.【详解】解：∵a >0，∴12a a +≥=（当且仅当a =1时取“=”）.故答案为：220.某校高一年级有学生1000人，高二年级有学生800人，为制订学生课外活动方案，采用分层抽样的方法从两个年级分别抽取学生参加问卷调查，若从高一年级抽取学生50人，则应从高二年级抽取的学生人数是_______________.【答案】40【解析】【分析】根据分层抽样计算公式，即可求解.【详解】设高二年级抽取的学生人数为x ，则100050800x=，则40x =.故答案为：4021.设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是___________.【答案】【解析】【分析】正方体外接球球心为其体对角线的中点，体对角线即为外接球的直径.【详解】设正方体棱长为a ，则2262442a a a =⇒=⇒=，根据正方体和球的对称性可知，正方体外接球球心为其体对角线的中点，其体对角线即为外接球的直径，设外接球半径为R ，则22(2)32R a R a =⇒==，∴外接球体积334433V R ππ==⋅=.故答案为：.22.在精准扶贫工作中，某单位帮助农户销售当地特色产品，该产品的成本是30元/千克，产品的日销售量P (千克)与销售单价x (元/千克)满足关系式()1623,30501122,5056x x P x x x -≤<⎧=⎨-≤≤⎩，要使农户获得日利润最大，则该产品销售单价x (元/千克)为_______________.【答案】42【解析】【分析】利用分段函数、二次函数的性质计算即可.【详解】由题意可知农户的日利润()()()()22342432,305030243338,5056x x W x P x x x ⎧--+≤<⎪=-⋅=⎨--+≤≤⎪⎩，由二次函数的单调性可知：若3050x ≤<，有42x =时，max 432W =；若5056x ≤≤，有50x =时，max 240432W =<；故42x =时，日利润取得最大值432.故答案为：42三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，满分30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)23.已知函数()sin 2f x x =.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）已知π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2cos 2θ=，求()f θ的值.【答案】（1）π（2）1【解析】【分析】（1）根据周期公式求解即可；（2）先根据平方关系求得sin θ，进而结合二倍角的正弦公式求解即可.【小问1详解】函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.【小问2详解】因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则212sin 1cos 122θθ=-=-=，所以()22sin 22sin cos 2122f θθθθ===⨯⨯=.24.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，ABC 为等边三角形，点D 为棱AB 的中点，3,2PA AB ==（1）求证:CD ⊥平面PAB ；（2）求三棱锥P BCD -的体积.【答案】（1）证明见解析（2）12【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质可得PA CD ⊥，再根据线面垂直的判定定理即可得证；（2）根据棱锥的体积公式计算即可.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以PA CD ⊥，因为ABC 为等边三角形，点D 为棱AB 的中点，所以CD AB ⊥，又,,PA AB A PA AB ⋂=⊂平面PAB ，所以CD ⊥平面PAB ；【小问2详解】CD =13122BCD S =⨯= ，因为PA ⊥平面ABC ，所以1132P BCD BCD V PA S -=⋅=.25.某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[)0,0.1[)0.1,0.2[)0.2,0.3[)0.3,0.4[)0.4,0.5[)0.5,0.6[)0.6,0.7频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[)0,0.1[)0.1,0.2[)0.2,0.3[)0.3,0.4[)0.4,0.5[)0.5,0.6频数151310165（1）作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：0.35m的概率；（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于3（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）47.45m.【答案】（1）直方图见解析；（2）0.48；（3）3【解析】【分析】（1）根据题中所给的使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表，算出落在相应区间上的频率，借助于直方图中长方形的面积表示的就是落在相应区间上的频率，从而确定出对应矩形的高，从而得到直方图；（2）结合直方图，算出日用水量小于0.35的矩形的面积总和，即为所求的频率；（3）根据组中值乘以相应的频率作和求得50天日用水量的平均值，作差乘以365天得到一年能节约用水m，从而求得结果.多少3【详解】（1）频率分布直方图如下图所示：（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于30.35m 的频率为0.20.110.1 2.60.120.050.48⨯+⨯+⨯+⨯=；因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于30.35m 的概率的估计值为0.48；（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为()110.0510.1530.2520.3540.4590.55260.6550.4850x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为()210.0510.1550.25130.35100.45160.5550.3550x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．估计使用节水龙头后，一年可节省水()()30.480.3536547.45m -⨯=．【点睛】该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有频率分布直方图的绘制、利用频率分布直方图计算变量落在相应区间上的概率、利用频率分布直方图求平均数，在解题的过程中，需要认真审题，细心运算，仔细求解，就可以得出正确结果.。
2024-2025学年安徽省“江淮名校”高二上学期期中联考数学试题(含答案)
2024-2025学年安徽省“江淮名校”高二上学期期中联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线(a− 3)x−y +2=0的倾斜角为30∘，则a =( )A. 2 3B. 4 33 C. 2 33 D. 02.若复数z 满足(2+3i)z =1+8i ，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.若方程x 2+y 2−x +y +f =0表示一个圆，则( )A. f <12B. f >2C. f <−12D. f <24.已知向量a =(x,1,2)，b =(1,y,−2)，c =(3,1,z)，若a //b ，b ⊥c ，则xyz =( )A. −1B. 1C. −2D. 25.两平行直线l 1:mx−2y− 10=0，l 2:2x−4y +3 10=0之间的距离为( )A. 5 22 B. 3 C. 5 D. 2 26.如图，在三棱锥P−ABC 中，▵PAC 是边长为3的正三角形，M 是AB 上一点，AM =12MB ，D 为BC 的中点，N 为PD 上一点且PN =23PD ，则|MN |=( )A. 5B. 3C. 5D. 37.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2+y 2−4y +3=0，若直线y =kx−1上存在点P ，使以P 点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围是( )A. (−∞,−14]∪[14,+∞)B. (−∞,−12]∪[12,+∞)C. (−∞,− 52]∪[ 52,+∞) D. (−∞,− 52)∪( 52,+∞)8.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin A =(b +c)sin B ，则a−bc 的取值范围是( )A. (13,12)B. (13,1)C. ( 33,1)D. ( 33,12)二、多选题：本题共3小题，共18分。
安徽省江淮名校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷
安徽省江淮名校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷一、单选题1．已知椭圆的方程为22143x y +=，则该椭圆的（）A ．长轴长为2BC ．焦距为1D ．离心率为122．纵截距为1且倾斜角为120︒的直线方程为（）A ．1y =-B ．1y =+C ．1y =-D ．1y =+310=的化简结果是（）A ．22153x y +=B ．22135x y +=C ．221259x y +=D ．221925x y +=4．在空间直角坐标系中，已知()()1,2,4,3,6,22a b λ==- ，则78λ>-是a与b夹角为锐角的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知直线1:210l x y -+=与直线2:240l x y -+=，在1l 上任取一点A ，在2l 上任取一点B ，连接AB ，取AB 的靠近点A 三等分点C ，过点C 作1l 的平行线3l ，则1l 与3l 之间的距离为（）A B C ．15D 6．已知直线():10l kx y k -+-=，圆22:(1)(2)1C x y ++-=，以下说法不正确的是（）A ．l 与圆C 不一定存在公共点B ．圆心C 到lC ．当l 与圆C 相交时，34k -<<D ．当1k =-时，圆C 上有三个点到l 的距离为227．已知O 为坐标原点，1F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点．若椭圆C 上存在两点,A B 满足11F A F B ⊥，且,A B 关于原点O 对称，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A ．()0,1B ．⎛ ⎝⎦C ．⎫⎪⎪⎣⎭D ．⎣⎦8．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，111,90,60AB AD AA BAD A AB ∠∠=====，145A AD =∠ ，则点1A 到平面ABCD 的距离为（）A B ．14C ．12D 二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．“1a =-”是“直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直”的充要条件B ．“2a =-”是“直线220ax y a ++=与直线()110x a y +++=互相平行”的充要条件C ．直线sin 20x y α++=的倾斜角θ的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．若点()1,0A ，()0,2B ，直线l 过点()2,1P 且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是112k -≤≤10．空间直角坐标系O xyz -中，已知向量()(),,0u a b c abc =≠，则经过点()0000,,P x y z ，且法向量为u的平面方程为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=，经过点()0000,,P x y z 且一个方向向量为u的直线l 的方程为000x x y y z z a b c---==，根据上面的材料，以下选项说法正确的是（）A ．若直线l 的方程为123234x y z ---==，则点()3,5,7Q 在直线l 上B ．已知平面α的方程1x y z -+=，平面β的方程为26x y z +-=，则这两平面所成角的余弦值为3C ．已知平面α的方程为3457x y z -+=，则点()1,1,1M 到平面αD ．已知平面α的方程为325x y z +-=，平面β的方程为20x y z ++=，平面γ的方程为0,x y z l αβ-+=⋂=，则直线l 与平面γ的夹角的正弦值为1511．已知椭圆22143x y +=左右焦点分别为12F F ､，点P 是椭圆上任意一点，1221,PF F PF F αβ∠=∠=，则下列结论正确的是（）A ．12PF FB ．()sin 1sin sin 2αβαβ+=+C ．1tantan 223αβ=D ．12PF F 的内心在一定圆上三、填空题12．设直线1l 和2l 的方向向量分别为()()1,1,2,2,3,a b t ==- ，且12l l ⊥，则t =．13．当直线:10l mx y m +--=被圆22:40C x y x +-=截得的弦长最短时，实数m =．14．已知定直线12::22l y l y =-=､，点A B ､分别是12,l l 上的动点，且AB =则AB 的中点M 的轨迹方程为.四、解答题15．已知圆C 经过点()1,0A -和()3,0B ，且圆心在直线0x y -=上．(1)求圆C 的方程；(2)过点()2,2M -作圆C 的切线，切点分别为E F ､点，求四边形MECF 的面积．16．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.在如图所示的“阳马”中，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，PD ⊥底面ABCD .其中3,2AB AD ==，点,E F 分别在棱,AB CD 上，且1AE CF ==，点G 为棱AD 的中点.(1)证明：PE FG ⊥；(2)已知4PD =，求平面PGF 与平面PAB 夹角的余弦值.17．已知椭圆()222210+=>>x y a b a b的离心率为12，点()2,0M 是椭圆上一点，过点()2,0M 作斜率之积为1-的两条直线1212,l l l l ､､与椭圆的另一交点分别为A B ､．(1)求椭圆的方程；(2)求证：直线AB 恒过定点N ．18．如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中，1,2,,AB AC AB AC AA E F ⊥===分别为棱11,AC BC 的中点．(1)求三棱锥1E ACB -的体积．(2)设直线EF 与平面1ACB 的交点为G ，求直线1A G 与平面1ACB 夹角的正弦值．19．如图，过椭圆的左､右焦点12,F F 分别作长轴的垂线12,l l 交椭圆于1122,,,A B A B ，将12,l l 两侧的椭圆弧删除再分别以12,F F 为圆心，1122,F A F A 线段的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”．夹在12,l l 之间的部分称为椭圆帽的“帽体段”，12,l l 两侧的部分称为椭圆帽的“帽檐段”．已知左右两个帽檐段所在的圆方程分别为221(1)2x y ±+=．(1)求“帽体段”的方程；(2)过1F 的直线AB 交“帽体段”于点A ，交“帽檐段”于点B ，点A 在x 轴的上方．设12AF F △与12BF F △的面积分别为12S S ､：①求12S S ⨯的最大值；②求使得12S S +取得最小值时的弦长A ．。
【精品】2017-2018学年安徽省江淮名校高二(上)期中数学试卷(理科)
2017-2018学年安徽省江淮名校高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）如果直线ax+y=1与直线3x+y﹣2=0垂直，则a等于（）A．3B．C．D．﹣32．（5分）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）A．B．C．D．3．（5分）直线y=kx﹣2k+1恒过定点C，则以C为圆心，5为半径的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=25C．（x+2）2+（y﹣1）2=25D．（x+2）2+（y+1）2=54．（5分）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰长为1的等腰直角三角形，则这个平面图形的面积是（）A．B．C．D．5．（5分）与两直线3x+2y﹣4=0和3x+2y+8=0的距离相等的直线是（）A．3x+2y+2=0B．3x+2y﹣2=0C．3x+2y±2=0D．以上都不对6．（5分）已知m，n表示两条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①α∩β=m，n?α，n⊥m，则α⊥β；②α⊥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m⊥n；③α⊥β，α⊥γ，β∩γ=m，则m⊥α；④m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β其中正确命题的序号为（）A．①②B．②③C．③④D．②④7．（5分）已知两点M（2，﹣3），N（﹣3，﹣2），直线l过点P（1，1）且与线段MN相交，则直线的斜率k的取值范围是（）A．B．k≤﹣4或C．D．8．（5分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为菱形，M是PC上的一个动点，若要使得平面MBD⊥平面PCD，则应补充的一个条件可以是（）A．MD⊥MB B．MD⊥PCC．AB⊥AD D．M是棱PC的中点9．（5分）不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（）A．3个B．4个C．6个D．7个10．（5分）光线沿着直线y=﹣3x+b射到直线x+y=0上，经反射后沿着直线y=﹣ax+3射出，则由（）A．，b=﹣9B．，b=9C．a=3，D．a=﹣3，11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF=，则下列结论错误的是（）A．AC⊥BFB．直线AE、BF所成的角为定值C．EF∥平面ABCD．三棱锥A﹣BEF的体积为定值12．（5分）如图所示，正四棱锥P﹣ABCD的底面面积为3，体积为，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°二、填空题（共4小题，每题5分，满分20分）13．（5分）若直线l经过原点和（﹣1，1），则直线l的倾斜角大小为．14．（5分）直线l过2x+y+5=0和x﹣y+7=0的交点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为．15．（5分）已知圆x2+y2﹣4x﹣4y+4=0，直线l：y=x+b，当圆上仅有2个点到直线l的距离为1，则b的取值范围为．16．（5分）如图，矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中：①|BM|是定值；②点M在某个球面上运动；③存在某个位置，使DE⊥A1C；④存在某个位置，使MB∥平面A1DE．其中正确的命题是．三、解答题（本大题包括6小题，共70分）17．（10分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=1．（1）若直线与圆C相切且斜率为1，求该直线的方程；（2）求与直线x+y﹣1=0平行，且被圆C截得的线段长为的直线的方程．18．（12分）如图的几何体中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点，G为ED的中点．（1）求证：平面AFG∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．（1）求证：PD⊥平面PBC；（2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．20．（12分）已知矩形ABCD的对角线交于点P（2，0），边AB所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，点（﹣1，1）在边AD所在的直线上，（1）求矩形ABCD的外接圆的方程；（2）已知直线l：（1﹣2k）x+（1+k）y﹣5+4k=0（k∈R），求证：直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l的方程．21．（12分）已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点．（1）证明：PF⊥FD；（2）在线段PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD，若存在，确定点G的位置；若不存在，说明理由；（3）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A﹣PD﹣F的余弦值．22．（12分）如图（1），在矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为CD的中点，将△ADE 沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，如图（2）所示．（1）求证：BE⊥平面ADE；（2）求三棱锥B﹣CDE的体积；（3）求二面角B﹣CE﹣D的正弦值．2017-2018学年安徽省江淮名校高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）如果直线ax+y=1与直线3x+y﹣2=0垂直，则a等于（）A．3B．C．D．﹣3【分析】利用直线垂直与斜率之间的关系即可得出．【解答】解：∵直线ax+y=1与直线3x+y﹣2=0垂直，∴﹣a?（﹣3）=﹣1，解得a=﹣．故选：B．【点评】本题考查了直线垂直与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（5分）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）A．B．C．D．【分析】根据已知中的三视图，结合三视图中有两个三角形即为锥体，有两个矩形即为柱体，有两个梯形即为台体，将几何体分解为简单的几何体分析后，即可得到答案．【解答】解：由已知中三视图的上部分有两个矩形，一个三角形故该几何体上部分是一个三棱柱下部分是三个矩形故该几何体下部分是一个四棱柱故选：A．【点评】本题考查的知识点是由三视图还原实物图，考查学生的识图能力，比较基础．3．（5分）直线y=kx﹣2k+1恒过定点C，则以C为圆心，5为半径的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=25C．（x+2）2+（y﹣1）2=25D．（x+2）2+（y+1）2=5【分析】求出直线系经过的定点，得到圆的圆心，然后求解圆的方程．【解答】解：直线y=kx﹣2k+1恒过定点C（2，1），则以C为圆心，5为半径的圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=25．故选：B．【点评】本题考查直线系的应用，圆的方程的求法，考查计算能力．4．（5分）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰长为1的等腰直角三角形，则这个平面图形的面积是（）A．B．C．D．【分析】根据图形的斜二测直观图是等腰直角三角形，它的底角为45°，两腰长均为1，求出直观图的面积，利用原图和直观图的面积关系得到答案【解答】解：∵图形的斜二测直观图是一个等腰直角三角形，它的底角为45°，两腰长均为1，∴直观图的面积S=，则原图的面积S′=2S=，故选：A．【点评】本题考查的知识点是空间几何体的直观图，熟练掌握原图面积S′和直观图的面积S的关系S′=2S是解答的关键5．（5分）与两直线3x+2y﹣4=0和3x+2y+8=0的距离相等的直线是（）A．3x+2y+2=0B．3x+2y﹣2=0C．3x+2y±2=0D．以上都不对【分析】利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：设与两直线3x+2y﹣4=0和3x+2y+8=0的距离相等的直线上的任意一点P（x，y），则=，化为：3x+2y+2=0．故选：A．【点评】本题考查了平行线的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（5分）已知m，n表示两条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①α∩β=m，n?α，n⊥m，则α⊥β；②α⊥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m⊥n；③α⊥β，α⊥γ，β∩γ=m，则m⊥α；④m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β其中正确命题的序号为（）A．①②B．②③C．③④D．②④【分析】根据空间线面关系的定义及几何特征，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．【解答】解：①α∩β=m，n?α，n⊥m，则n⊥β不一定成立，进而α⊥β不一定成立，故错误；②令α，β，γ为底面为直角三角形的三棱柱的三个侧面，且α⊥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m∥n，即m⊥n不一定成立，故错误；③α⊥β，α⊥γ，β∩γ=m，则m⊥α，故正确；④若m⊥α，m⊥n，则n∥α，或n?α，又由n⊥β，则α⊥β，故正确；故选：C．【点评】本题考查的知识点是空间线面关系，命题的真假判断与应用，难度中档．7．（5分）已知两点M（2，﹣3），N（﹣3，﹣2），直线l过点P（1，1）且与线段MN相交，则直线的斜率k的取值范围是（）A．B．k≤﹣4或C．D．【分析】利用斜率的计算公式及其意义即可得出．【解答】解：k PM==﹣4，k PN==，直线L过点P（1，1）且与线段MN 相交，则直线L的斜率k的取值范围是：k≥或k≤﹣4．故选：B．【点评】本题考查了斜率的计算公式及其意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．（5分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为菱形，M是PC上的一个动点，若要使得平面MBD⊥平面PCD，则应补充的一个条件可以是（）A．MD⊥MB B．MD⊥PCC．AB⊥AD D．M是棱PC的中点【分析】由已知得BD⊥PA，BD⊥AC，从而BD⊥平面PAC，进而BD⊥PC．由此得到当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，平面MBD⊥平面PCD．【解答】解：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，∴BD⊥PA，BD⊥AC，∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC．∴当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，即有PC⊥平面MBD．而PC属于平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD．故选：B．【点评】本题考查面面垂直的条件的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．9．（5分）不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（）A．3个B．4个C．6个D．7个【分析】根据题意画出构成的几何体，根据平面两侧的点的个数进行分类，利用三棱锥的结构特征进行求解．【解答】解：空间中不共面的四个定点构成三棱锥，如图：三棱锥D﹣ABC，①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，即对此三棱锥进行换底，则三棱锥有四种表示形式，此时满足条件的平面个数是四个，②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即构成的直线是三棱锥的相对棱，因三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面个数是三个，所以满足条件的平面共有7个，故选：D．【点评】本题考查了三棱锥的结构特征的应用，根据题意画出对应的几何体，再由题意和结构特征进行求解，考查了空间想象能力．10．（5分）光线沿着直线y=﹣3x+b射到直线x+y=0上，经反射后沿着直线y=﹣ax+3射出，则由（）A．，b=﹣9B．，b=9C．a=3，D．a=﹣3，【分析】在直线y=﹣3x+b上任意取一点A（1，b﹣3），则根据点A关于直线x+y=0的对称点B（﹣b+3，﹣1）在直线y=ax+2上，结合选项可得a、b的值．【解答】解：在直线y=﹣3x+b上任意取一点A（1，b﹣3），则点A关于直线x+y=0的对称点B（﹣b+3，﹣1）在直线y=﹣ax+3上，故有﹣1=﹣a（﹣b+3）+3，即﹣1=ab﹣3a+3，∴ab﹣3a=﹣4，结合所给的选项，第11页（共23页）故选：A ．【点评】本题主要考查一条直线关于另一条直线对称的性质，反射定理，属于基础题．11．（5分）如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 是线段B 1D 1上的两个动点，且EF=，则下列结论错误的是（）A ．AC ⊥BFB ．直线AE 、BF 所成的角为定值C ．EF ∥平面ABCD ．三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值【分析】通过直线AC 垂直平面平面BB 1D 1D ，判断A 是正确的；通过直线EF 垂直于直线AB 1，AD 1，判断A 1C ⊥平面AEF 是正确的；计算三角形BEF 的面积和A 到平面BEF 的距离是定值，说明C 是正确的；只需找出两个特殊位置，即可判断D 是不正确的；综合可得答案．【解答】解：∵在正方体中，AC ⊥BD ，∴AC ⊥平面B 1D 1DB ，又BE ?平面BB 1D 1D ，∴AC ⊥BE ，故A 正确；∵当点E 在D 1处，F 为D 1B 1的中点时，异面直线AE ，BF 所成的角是∠OEB ，当E 在上底面的中心时，F 在C 1的位置，异面直线AE ，BF 所成的角是∠OE 1B ，显然两个角不相等，B 不正确；∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，EF ?平面A 1B 1C 1D 1，∴EF ∥平面ABCD ，故C 正确；∵由于点B 到直线B 1D 1的距离不变，故△BEF 的面积为定值．又点A 到平面BEF 的距离为，故V A ﹣BEF 为定值．D 正确；故选：B．。
安徽省江淮十校2023-2024学年高一上学期“”三新“”检测(期中)数学试题含解析
安徽江淮十校三新2023-2024学年高一（上）期中数学试卷（答案在最后）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“(1,1)x ∃∈-，221x x +≤”的否定是（）A.(1,1)x ∃∉-，221x x +≤B.(1,1)x ∃∉-，221x x +≥C.(1,1)x ∀∈-，221x x +>D.2(1,1)21x x x ∀∈-+≥【答案】C 【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到答案.【详解】命题“(1,1)x ∃∈-，221x x +≤”的否定是“()21,1,21x x x ∀∈-+>”.故选：C.2.已知全集为R ，集合2{|230}M x x x =+-<，{|23}N x x =-≤<，则()R M N ⋂=ð（）A.{|21}x x -<≤B.{|2x x <-或1}x ≥C.{|21}x x -≤<D.{|2x x ≤-或1}x >【答案】B 【解析】【分析】解不等式确定集合A ，然后由集合的运算法则计算．【详解】因为2{|230}M x x x =+-<{|31}x x =-<<，所以{|31}{|23}{|21}M N x x x x x x ⋂=-<<⋂-≤<=-≤<，R (){|2M N x x ⋂=<-ð或1}x ≥.故选：B.3.若函数()f x 的定义域为1(,1]3，则函数(3)x f 的定义域为（）A.(]0,1 B.[]0,1 C.(]1,0- D.[]1,0-【答案】C 【解析】【分析】运用定义域和值域的关系，结合复合函数定义域的知识分析即可.【详解】解：函数()f x 的定义域为1(,1]3，令1313x <≤，解得10-<≤x ，故函数(3)x f 的定义域为(1,0]-故选：C4.计算：1221log 164-+-=（）A.154-B.34-C.14D.94【答案】C 【解析】【分析】根据指数、对数的运算法则完成计算.【详解】原式12222log 2(4)(2)--=+--112(4)(2)4-=-+--=.故选：C.5.函数3()33x xxf x -=+的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据函数的基本性质逐项排除即可.【详解】因为()f x 的定义域为R ，关于原点对称.3()()33x xxf x f x ---==-+，所以函数()f x 是奇函数，即()f x 的图象关于原点对称，故B 错误；当0x >时，因为30x >，330x x -+>，所以()3033x xxf x -=>+，故C 错误；因为1239627(1),(2)(1)33109341f f f --====<++，所以()f x 在(0,)+∞上并不单调递增，故D 错误.故选：A.6.已知函数()0.211log 1x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，，，若(5)1f a +=-，则()f a =（）A.4-B.4C.0D.1【答案】D 【解析】【分析】分51a +≤，51a +>两种情况，结合()f x 解析式解相应方程可得答案.【详解】当51a +>⇒4a >-时，由(5)1f a +=-，得0.2log (5)1550a a a +=-⇒+=⇒=；当51a +≤⇒4a ≤-时,由(5)1f a +=-得1(5)1a -+=-，解得3a =-（舍去）.所以0a =⇒()()0101f a f ==-=.故选：D.7.函数[]y x =为数学家高斯创造的取整函数.[]x 表示不超过x 的最大整数，如[3.1]4-=-，[2.1]2=，已知函数28()349x f x x x =+++，则函数[()]y f x =的值域是（）A.{}1,1,2- B.{}1,0,1- C.{}0,1,2 D.{}1,0,1,2-【答案】B 【解析】【分析】根据已知条件，对x 分类讨论，根据取整函数的要求，即可求得值域.【详解】当0x =时，8()9f x =，则()0f x ⎡⎤=⎣⎦，此时函数的值域{0}；若0x ≠，则2818()434993x f x x x x x=+=+++++，当0x >时，4337y x x =++≥=，当且仅当2x =时等号成立；则110473x x<≤++，所以865()963f x <≤，则此时函数[()]y f x =的值域为{0，1}；当0x <时，4()331y x x=---+≤-=-，所以110y-≤<，当且仅当2x =-时等号成立，则1188999y -≤+<，即18(),99f x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，则此时函数[()]y f x =的值域为{1,0}-.综上所述，函数[()]y f x =的值域是{1,0,1}-.故选：B8.已知()f x 是定义域为R 的偶函数.且在(),0∞-上单调递减.34⎛⎫=- ⎪⎝⎭a f ，()8log 5=b f ，()0.2log 3=c f ，则（）A.a b c <<B.a c b <<C.c b a <<D.<<c a b【答案】D 【解析】【分析】根据()f x 是定义域为R 的偶函数且在(),0∞-上单调递减，可得()f x 在()0,∞+上单调递增，利用奇偶性、单调性可得答案.【详解】根据题意，因为()f x 是定义域为R 的偶函数，则3344⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a f f ，()()()0.255log 3log 3log 3==-=c f f f ，又由()f x 为R 上的偶函数且在(),0∞-上单调递减，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，又由341255381=>=，则有3453>，两边同时取对数可得：3455log 5log 3>，即53log 34>，同理：由于3483log 84=，而3451285625=<=，所以3485<，故34883log 8log 54=<，所以5830log 3log 54<<<，而()f x 在()0,∞+上单调递增，故有()()583log 3log 54⎛⎫<< ⎪⎝⎭f f f ，即<<c a b .故选：D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的9.已知命题2:430p x x -+<，那么命题p 成立的一个充分不必要条件是（）A.1x ≤ B.12x << C.3x ≥ D.23x <<【答案】BD 【解析】【分析】根据集合的包含关系和充分不必要条件的定义即得.【详解】由2430x x -+<，解得13x <<，命题p :{}|13E x x =<<，命题p 成立的一个充分不必要条件为集合F ，则F E ⊆且F E ≠，所以12x <<和23x <<都是13x <<的充分不必要条件.故选：BD .10.下列函数满足“对任意()12,0,x x ∈+∞，都有1221()[()()]0x x f x f x --<”的是（）A.1()f x x-=- B.e e ()2x xf x --=C.41()1f x x =+ D.()lg(f x x =+【答案】ABD 【解析】【分析】由题意可知：()f x 在()0,+∞上单调递增，由函数解析式可直接判断ABCD 中函数的单调性【详解】 对任意12(0,)x x ∞∈+，都有1221()[()()]0x x f x f x --<，即2121()[()()]0x x f x f x -->，则()f x 在(0,)+∞上单调递增；对于A ：1y x=在(0,)+∞上单调递减，所以1()f x x -=-在(0,)+∞上单调递增，A 正确；对于B ：e x y -=-与e x y =在R 上都为增函数，故()f x 在R 上为增函数，B 正确；对于C ：函数41()1f x x =+在(0,)+∞上单调递减，C 错误；对于D ：y x =+lg y x =在(0,)+∞上都是增函数，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，D 正确.故选：ABD.11.已知正数a ，b 满足33ab a b =+，则下列各选项正确的是（）A.3a b +的最小值为163B.ab 的最小值为43C.229a b +的最小值为8D.12b >【答案】ABC 【解析】【分析】结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断【详解】对于A ，因为33ab a b =+，即1113b a+=，所以111010163(3)(23333b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当43a b ==时取等号，A 正确；对于B ，由基本不等式得，33ab a b =+≥所以43ab ≥，当且仅当32a b ==时取等号，故B 正确；对于C ，即22968a b ab +≥≥，当且仅当32a b ==时取等号，故C 正确；对于D ，由33ab a b =+可得3031ba b =>-，即13b >，故D 错误.故选：ABC.12.已知函数2()ln()f x x mx m =-+，则下列说法正确的是（）A.若()f x 的定义域为R ，则(0,4)m ∈B.若()f x 的最小值为ln32ln 2-，则3m =C.若()f x 在[2,)+∞上为增函数，则m 的值可以为4D.若0m =，则1x ∀，2(0,)x ∈+∞，都有1212()()()22x x f x f x f ++≥【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，直接转换为二次不等式恒成立问题即可；对于B ，等价于222(24m m y x mx m x m =-+=-+-的最小值为34；对于C ，由复合函数单调性得出222(24m m y x mx m x m =-+=-+-在[2,)+∞上也为增函数，但要注意当2x =时，420y m m =-+>；对于D ，画出函数，根据其图象特征即可判断.【详解】对于选项A ，若2()ln()f x x mx m =-+的定义域为R ，则20x mx m -+>在R 上恒成立，所以2()40m m =--<∆.解得04m <<，故A 正确；对于选项B ，若()f x 的最小值为3ln 32ln 2ln4-=，即222(24m m y x mx m x m =-+=-+-的最小值为34，则有2344m m -=，解得1m =或3m =，故B 错误；对于选项C ，根据复合函数单调性同增异减可知222()24m m y x mx m x m =-+=-+-在[2,)+∞上也为增函数，即42022m m m -+>⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得4m <，故C 错误.对于选项D ，当0m =时，()2ln f x x =为上凸的图象如图，在(0,)+∞上任意取两点()1212,x x x x ≠，都有1212()()(22x x f x f x f ++>，若12x x =，则12121()()(()22x x f x f x f f x ++==，故D 正确.故选：AD.【点睛】关键点睛：A 选项关键是明确二次不等式恒成立的充要条件，BC 选项的关键是复合函数的值域、单调性，但是C 选项还要注意()2f 有意义，D 选项的关键是画图，数形结合.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知幂函数2()(27)m f x m m x =+-与坐标轴没有公共点，则m =___________.【答案】4-【解析】【分析】根据幂函数定义和题意计算即可.【详解】由题2()(27)m f x m m x =+-为幂函数，可得2271m m +-=，解得4m =-或2m =，即4()f x x -=或2()f x x =，又幂函数与坐标轴没有公共点，则4m =-.故答案为：4-.14.已知函数()2x mf x n +=+的图象经过定点()2,2-，则()1f =________．【答案】9【解析】【分析】根据指数函数的定点解得21m n =⎧⎨=⎩，代入运算求解即可.【详解】因为函数()2x mf x n +=+的图象经过定点()2,2-，则02022m n -+=⎧⎨+=⎩，解得21m n =⎧⎨=⎩，可知()221x f x +=+，所以()31219f =+=．故答案为：9.15.已知函数2()24f x x x =--+，()log (0a g x x a =>且1)a ≠，若对任意的2[3.5]x ∈，存在13[,1]2x ∈-使得12()()f x g x <成立，则实数a 的取值范围是___________.【答案】(1,3)【解析】【分析】根据题意，由函数()f x 在3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值小于函数()g x 在[3,5]上的最小值求解.【详解】解：当3[,1]2x ∈-时，22()24(1)5f x x x x =--+=-++，则min ()(1)1f x f ==， 对任意的2[3,5]x ∈，存在13[,1]2x ∈-，使得12()()f x g x <成立，∴函数()f x 在3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值小于函数()g x 在[3,5]上的最小值.又当01a <<，2[3,5]x ∈时，2log 0a x <，不符合题意，则1a >，函数()log a g x x =在[3,5]上单调递增，所以min 3()log a g x =，所以log 31a >，即3a <，所以实数a 的取值范围是(1,3).故答案为：(1,3).16.已知()f x 是定义在R 上的减函数，且对于任意x ､R y ∈，总有()()()2f x f y f x y +=++，若使2()()4f x ax f x a -+->成立的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围为___________.【答案】[4,3)(1,2]--⋃【解析】【分析】抽象函数求出单调性，再利用已知条件，求出a 取值范围【详解】令()()2g x f x =-，则()()2f x g x =+，对任意的x ､R y ∈，有()()()2f x f y f x y +=++，则()()()g x g y g x y +=+.令0y =，得()(0)()g x g g x +=，得(0)0g =，令y x =-时，则()()(0)0g x g x g +-==，即()()g x g x -=-，()f x 是定义在R 上的减函数，()g x ∴在R 上单调递减.已知对于任意的实数x ，恒有2()()4f x ax f x a -+->，整理得：2()2()2f x ax f x a -->--+，即2()()g x ax g a x ->-，由于()g x 是减函数，2x ax a x ∴-<-，即2(1)0x a x a +--<.当1a =-时，不等式2(1)0x a x a +--<的解集为∅，不满足题意，舍去；当1a >-时，不等式2(1)0x a x a +--<的解集为{|1}x x a -<<；若使得解集中恰有两个整数，即两个整数只能为0，1，则12a <≤.当1a <-时，不等式2(1)0x a x a +--<的解集为{|1}x a x <<-.若使得解集中恰有两个整数，即两个整数只能为2-，3-，则43a -≤<-.综上所述，实数a 的取值范围为：[4,3)(1,2]--⋃.故答案为：[4,3)(1,2]--⋃四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知集合5{|0}8x M x x +=≥-，{|11}N x a x a =-≤≤+.（1）当9a =时，求M N ⋃；（2）若M N ⊇，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|5M N x x ⋃=≤-或8}x ³（2）(,6](9,)∞∞--⋃+【解析】【分析】（1）解出集合M ，代入a 的值得到集合N ，再根据并集的含义即可得到答案；（2）根据包含关系得到不等式，解出即可.【小问1详解】集合5{|0}{|58x M x x x x +=≥=≤--或8}x >，当9a =时，{|810}N x x =≤≤，{|5M N x x ∴⋃=≤-或8}x ³；【小问2详解】M N ⊇ ，且N ≠∅，15a ∴+≤-或18a ->，解得6a ≤-或9a >，∴实数a 的取值范围为(,6](9,)∞∞--⋃+18.已知奇函数()ln(1),01ax f x a x=+≠-.（1）求实数a 的值；（2）求函数()f x 的定义域，判断并证明该函数的单调性.【答案】（1）2（2）定义域为(1,1)-，()f x 在其定义域上为增函数，证明见解析【解析】【分析】（1）根据奇函数定义计算可得；（2）根据解析式求出定义域，利用函数单调性定义可判断证明.【小问1详解】因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，所以ln(1)ln(1)011ax ax x x-+++=+-，即1(1)1(1)ln ln 011a x a x x x+-+-+=+-，整理得：2221(1)1a x x --=-，解得2a =或0a =（舍).所以实数a 的值为2.【小问2详解】由（1）得1()ln1x f x x +=-，令101x x +>-，即101x x +<-，解得11x -<<，所以函数()f x 的定义域为(1,1)-.函数1()ln 1x f x x+=-在其定义域上为增函数，证明如下：任取1x ，2(1,1)x ∈-且12x x <，则12121212121212121211(1)(1)1()()ln ln ln ln 11(1)(1)1x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x +++-+---=-==---+-+-，因为1211x x -<<<，则120x x -<，1212121211x x x x x x x x +--<-+-，且110x +>，110x ->，210x +>，210x ->，则()()121212*********x x x x x x x x x x -+->+--=+->，所以121212121011x x x x x x x x +--<<-+-，所以12121212121()()ln 01x x x x f x f x x x x x +---=<-+-，所以12()()f x f x <，所以函数1()ln 1x f x x+=-在其定义域上为增函数.19.已知一次函数()f x 满足(())3f f x x =+.（1）求()f x 的解析式；（2）若()1()2x g x f x =-，求111(1)(2)(2023)()()()202320222g g g g g g +++++++ 的值.【答案】（1）3()2f x x =+（2）40452【解析】【分析】（1）直接由待定系数法列出方程组即可求解.（2）所求式子为对称结构，通过验证发现1()()1g x g x+=，由此通过分组求和即可求解.【小问1详解】设()(0)f x ax b a =+≠.则2(())()()3f f x f ax b a ax b b a x ab b x =+=++=++=+，于是有213a ab b ⎧=⎨+=⎩，解得132a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴3()2f x x =+.【小问2详解】由（1）知()1x g x x =+，则111(),0111x g x x x x==≠++，1()(1g x g x +=.∴111(2)((3)()(2023)()1232023g g g g g g +=+==+= ，1(1)2g =，∴1114045(1)(2)(2023)()()202212023222g g g g g ++++++=+⨯= .20.第19届亚运会2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举办，亚运会三个吉祥物琼琼､宸宸､莲莲，设计为鱼形机器人，同时也分别代表了杭州的三大世界遗产良渚古城遗址､京杭大运河和西湖，他们还有一个好听的名字：江南忆.由市场调研分析可知，当前“江南忆”的产量供不应求，某企业每售出x 千件“江南忆”的销售额为()W x 千元.2210,05()400200,5121x x x W x x x ⎧+<≤⎪=⎨-<≤⎪-⎩，且生产的成本总投入为(44)x +千元.记该企业每生产销售x 千件“江南忆”的利润为()f x 千元.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x 的最大值及相应的x 的取值.【答案】（1）2264,05()4001964,5121x x x f x x x x ⎧+-<≤⎪=⎨--≤≤⎪-⎩（2）11x =时，()f x 取得最大值112【解析】【分析】（1）利用利润等于收入减去成本即可得解；（2）分段讨论，利用二次函数与基本不等式求得()f x 的最大值，从而得解.【小问1详解】依题意，得()()(44)f x W x x =-+，又2210,05()400200,5121x x x W x x x ⎧+<≤⎪=⎨-<≤⎪-⎩，则2210(44),05()400200(44),5121x x x x f x x x x ⎧+-+<≤⎪=⎨--+<≤⎪-⎩，即2264,05()4001964,5121x x x f x x x x ⎧+-<≤⎪=⎨--≤≤⎪-⎩；【小问2详解】当05x <≤时，2()264f x x x =+-，其开口向上，对称轴为3x =-，则函数()f x 在(]0,5为增函数，所以当5x =时，函数()f x 取最大值22565476⨯+⨯-=，当512x <≤时，400()1924(1)19221121f x x x ⎡⎤=--+≤-⨯⎢-⎣⎦，当且仅当4004(1)1x x -=-，即11x =时取等号，因为11276>，所以当11x =时，()f x 取得最大值112.21.已知22()log (3)f x x ax a =-+.（1）若()f x 的值域为R ，求实数a 的取值范围；（2）已知()352x g x m m =⋅+-，当4a =时，若对任意的1[1,2x ∈+，总存在2[0,2]x ∈，使12()()f x g x =成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）(,0][12,)-∞⋃+∞（2）2(,][2,)7∞∞--⋃+【解析】【分析】（1）利用对数值域的性质，将问题转化为0∆≥，从而得解；（2）将问题转化为()f x 的值域是()g x 的值域的子集，从而利用二次函数与指数函数的性质即可得解.【小问1详解】依题意，函数22()log (3)f x x ax a =-+的值域为R ，设23y x ax a =-+，可得2120a a ∆=-≥，解得0a ≤或12a ≥，故a 的取值范围是(,0][12,)-∞⋃+∞.【小问2详解】若4a =，则22()log (412)f x x x =-+，因为22412(2)8y x x x =-+=-+，其开口向上，对称轴为2x =，所以当[1,2x ∈+时，y 的最小值为8，当2x =+时，y 取得最大值为2(22)832++=，且2log y x =在定义域内单调递增，可得()f x 在[1,2+上的最小值为2log 83=，最大值为2log 325=，即函数()f x 的值域是[3,5].因为对任意的1[1,2x ∈+，总存在2[0,2]x ∈，使12()()f x g x =成立，所以()f x 的值域是()g x 的值域的子集.当0m >时，()352x g x m m =⋅+-在[0,2]上单调递增，所以()[5,57]g x m m ∈-+，则53557m m -≤<≤+，解得2m ≥；当0m <时，()352x g x m m =⋅+-在[0,2]上单调递减，所以()[57,5]g x m m ∈+-，则57355m m +≤<≤-，解得27m ≤-；当0m =时，()5g x =，不符合题意；综上所述，实数m 的取值范围2(,[2,)7∞∞--⋃+.22.已知二次函数2()f x x ax c =-+.（1）关于x 的不等式()1f x >的解集为(,1)(3,)-∞-⋃+∞.①求实数a ，c 的值；②若对任意R x ∈，24(2)x m m f -<恒成立，求m 的取值范围.（2）若对任意的12,[1,5]x x ∈-，都有12()()10f x f x -≤，求实数a 的取值范围.【答案】（1）①2a =，2c =-；②(1,3)（2）[102--+【解析】【分析】（1）由一元二次不等式的解集特征结合韦达定理求出a ，c ；不等式恒成立转化为最值即求出(2)x f 的最小值即可得解；（2）由题意问题转化为函数()f x 在区间[1,5]-上的最大值与最小值的差小于等于10，讨论二次函数在区间[1,5]-上单调性求出最值即可得解.【小问1详解】①不等式()1f x >，即210x ax c -+->，所以不等式()1f x >的解集为(,1)(3,)-∞-⋃+∞，所以=1x -与3x =为210x ax c -+-=的两个根，由韦达定理可得：312a =-=，13c -=-，所以2a =，2c =-；②由①得()222f x x x =--，22(2)(2)222(21)3x x x x f ∴=-⨯-=--，又因为20x >，所以()2[3,)xf ∞∈-+，又对任意x ∈R ，24(2)x m m f -<恒成立，所以243m m -<-，即2430m m -+<，解得13m <<，所以m 的取值范围为(1,3)；【小问2详解】设函数()f x 在区间[1,5]-上的最大值为M ，最小值为m ，所以“对任意的12,[1,5]x x ∈-，都有12()()10f x f x -≤等价于10M m -≤，又22()(24a a f x x c =-+-在(,)2a -∞上单调递减，在(,)2a +∞上单调递增，①当12a ≤-即2a ≤-时，()f x 在[1,5]-上单调递增，则()5255M f a c ==-+，(1)1m f a c =-=++，即24610M m a -=-≤，解得73a ≥，又2a ≤-，即a ∈∅；②当122a -<<，即24a -<<，()f x 在1,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,52a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，(5)255M f a c ==-+，2()24a a m f c ==-，由2255()104a M m a c c -=-+--≤，解得1010a -≤≤+24a -<<，即104a -≤<；③当252a ≤≤，即410a ≤≤时，()f x 在1,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,52a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，(1)1M f a c =-=++，2(24a a m f c ==-，由221()11044a a M m a c c a -=++--=++≤.得22a --≤-+，又410a ≤≤，即42a ≤≤-+④当52a >，即10a >时，()f x 在[1,5]-上单调递减，(1)1M f a c =-=++，(5)255m f a c ==-+，由1(255)62410M m a c a c a -=++--+=-≤，得173a ≤，又10a >，即a ∈∅，。
安徽省高二数学(理)上学期期中试题word版
安师大附中2015～2016学年第一学期期中考查高二数学试卷（理科）第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12道小题，每小题3分，共36分） 1、已知ab ＜0，bc ＜0，则直线ax ＋by ＋c ＝0通过( )A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限2、抛物线y =4x 2的焦点坐标是（ ） A ．（0，1）B ．（1，0）C ．D ．3、已知直线012=-+ay x 与直线02)2(=+--ay x a 平行，则a 的值是（ ）A ．23B ．023或C ．－32D ．23-或0 4、若点(2,0)P 到双曲线221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线的距离为2线的离心率为（ ）A 23．22 D ．235、已知点)3,2(-A 、)2,3(--B ，直线l 过点)1,1(P 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值k 范围是（ ）A ．),43[]4,(+∞--∞B ．),43[]41,(+∞--∞C ．]43,4[- D ．]4,43[ 6、一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）A ．53-或35- B ．32-或23- C ．5-或4- D ．4-或3- 7、已知直线l ：0Ax By C ++=（A ，B 不全为0），两点111(,)P x y ，222(,)P x y 1122()()0Ax By C Ax By C++++>，且1122Ax By C Ax By C ++>++，则（ A ．直线l 与直线P 1P 2不相交 B ．直线与线段2 1的延长线相交C ．直线l 与线段P 1 P 2的延长线相交D ．直线l 与线段P 1P 2相交8、已知椭圆222125x y a +=（a ＞5）的两个焦点为F 1、F 2，且|F 1F 2|=8，弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为（ ）A ． 10B ． 20C ．D ．9、F 1，F 2是椭圆22197x y +=的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2=45°，则三角形AF 1F 2的面积为（ ）A ． 7B ．C ．D ．10、过双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的左焦点F （﹣c ，0）（c ＞0），作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若2O P O E O F =-，则双曲线的离心率为( ) A ．B ．C ．D ．11、以下几个命题中，其中真命题．．．的序号为（ ） ①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，k =-||||，则动点P 的轨迹为双曲线； ②过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若1()2OP OA OB =+，则动点P 的轨迹为椭圆；③双曲线13519252222=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点； ④在平面内，到定点)1,2(的距离与到定直线01043=-+y x 的距离相等的点的轨迹是抛物线．A ．①④B ．②③C ．③④D ．③12、抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是（ ）A B C D ．第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4道小题，每小题4分，共16分）13、与直线x －y －4＝0和圆x 2＋y 2＋2x －2y ＝0都相切的半径最小的圆的方程是___________．14、直线()()47112:+=+++m y m x m l .()R m ∈恒经过定点_____________． 15、已知点P 为抛物线221x y =上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是)217,6(，则PM PA +的最小值是______________．16、在平面直角坐标系中，动点P (x ，y )到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点P 的轨迹为曲线W ，给出下列四个结论：①曲线W 关于原点对称；②曲线W 关于直线y ＝x 对称；③曲线W 与x 轴非负半轴，y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于21；④曲线W 上的点到原点距离的最小值为2-其中，所有正确结论的序号是________． 三、解答题（本题共5道小题，共48分）17、（本小题8分）在直角坐标系xOy 中，圆C ：222()x a y a -+=，圆心为C ，圆C 与直线1:l y x =-的一个交点的横坐标为2．（1）求圆C 的标准方程；（2）直线2l 与1l 垂直，且与圆C 交于不同两点A 、B ，若2ABC S ∆=，求直线2l 的方程．18、（本小题8分）已知圆C 的方程为0622=+-++m y x y x ，直线032:=-+y x l . （1）求m 的取值范围；（2）若圆C 与直线l 交于P 、Q 两点，且以PQ 为直径的圆恰过坐标原点，求实数m 的值．19、（本小题10分）已知椭圆C:2222b y a x +=1(0a b >>)的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为3. (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值.20、（本小题10分）给定直线m ：y =2x －16,抛物线C ：y 2=ax (a >0). （1）当抛物线C 的焦点在直线m 上时，确定抛物线C 的方程；（2）若△ABC 的三个顶点都在(1)所确定的抛物线C 上，且点A 的纵坐标y =8，△ABC 的重心恰在抛物线C 的焦点上，求直线BC 的方程．21、（本小题12分）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，过点A 与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且12220F F F Q +=．（1）求椭圆C 的离心率；（2）若过A 、Q 、F 2三点的圆恰好与直线:30l x -=相切，求椭圆C 的方程；（3）在（2）的条件下，过右焦点F 2作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，在x 轴上是否存在点P （m ，0）使得以PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，说明理由．安徽师范大学附属中学2015～2016学年第一学期期中考查高二数学试卷（理科）参考答案一、选择题：A C AAA D C D C C DB 二、填空题：13、(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 14、（3,1） 15、21916、②③④ 三、解答题：17、【解析】解:（1）由 圆C 与直线1:l y x =-的一个交点的横坐标为2，可知交点坐标为（2，-2）∴222(2)(2)a a -+-=解得2a =所以圆的标准方程为22(2)4x y -+=……………………………………………………（4分） （2）由（1）可知圆C 的圆心C 的坐标为（2，0） 由直线2l 与直线1l垂直， 直线1:l y x =-可设直线2l:y x m =+ 法一：设1122(,),(,)A x y B x y联立方程22(2)4{x y y x m-+==+，消去y 可得222(24)0x m x m +-+=解得12x x ==2440m m --+≥∴12|x x -=圆心C 到AB 的距离d =所以1||2ABCS AB d ∆=⋅=212122,2m x x m x x +=-=令2(2)t m =+，化简可得22216322(4)0t t t -+-=--=， 解得2(2)4t m =+=，所以04m m ==-或 ∴直线2l的方程为y x =或4y x =- 法二：圆心C到AB 的距离d =||AB ==所以1||2ABC S AB d ∆=⋅=令2(2)t m =+，化简可得22216322(4)0t t t -+-=--=， 解得2(2)4m t +==，所以04m m ==-或∴直线2l 的方程为y x =或4y x =-……………………………………………………（8分）18、【解析】（1）437<m ；……………………………………………………（4分） （2）由⎩⎨⎧=-+=+-++0320622y x m y x y x 122052++-⇒m y y 又OQ OP ⊥，所以02121=+y y x x ，而2121214)(69y y y y x x ++-=所以305125274=⇒=++-m m m ，这时0>∆，3=m ………………………………………………（8分）19、【解析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意c aa ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴1b =，∴ 所求椭圆方程为2213x y +=．……………………………………………………（4分）（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，． （1）当AB x⊥轴时，AB =（2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+．=223(1)4m k =+．把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，122631km x x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+． 22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++ 2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠≤+=++⨯+++． 当且仅当2219k k =，即3k =±时等号成立．当0k =时，AB =，综上所述m a x 2AB =．当k =时，AB 取得最大值，AOB △面积也取得最大值max 1S AB =⨯=．……………………………………………………（10分） 02知20(,),(,)F A c b AQ x b =-=-∵2,F A AQ ⊥，∴22000,b cx b x c--==-，由于12220F F F Q +=,即F 1为F 2Q 中点．故22bc c c -+=-∴b 2=3c 2=a 2﹣c 2， 故椭圆的离心率12e =. ……………………………………………………（4分）（2）由（1）知12c a =，得12c a =. 于是21(,0)2F a ，3(,0)2Q a -,△AQF 的外接圆圆心为1(,0)2a -，半径r=|FQ|=a所以，解得a=2，∴c=1，b=，所求椭圆方程为. ……………………………………………………（8分）（3）由（Ⅱ）知F2（1，0）l：y=k（x﹣1）代入得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0设M（x1，y1），N（x2，y2）则，y1+y2=k（x1+x2﹣2），（8分）=（x1+x2﹣2m，y1+y2）由于菱形对角线垂直，则故k（y1+y2）+x1+x2﹣2m=0则k2（x1+x2﹣2）+x1+x2﹣2m=0k2由已知条件知k≠0且k∈R∴∴故存在满足题意的点P且m的取值范围是．……………………………………………………（12分）。
安徽省江淮名校高二上学期期中考试试题数学(理)---精校解析Word版
江淮名校高二年级（上）期中联考数学（理科）试卷一、选择题（共12小题,每小题5分,共60分）1. 如果直线与直线垂直，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为直线与直线垂直，所以，故选B. 2. 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由已知中三视图的上部分有两个矩形，一个三角形，故该几何体上部分是一个三棱柱，下部分是三个矩形，故该几何体下部分是一个四棱柱．考点：三视图．3. 直线恒过定点，则以为圆心，为半径的圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】直线，化为，时，总有，即直线直线过定点，圆心坐标为，又因为圆的半径是，所以圆的标准方程是，故选B.4. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰长为的等腰直角三角形，则这个平面图形的面积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据斜二测的画法，直观图等腰直角三角形，还原为一条直角边长为、另一条直角边为的直角三角形，由三角形面积公式可得这个平面图形的面积是，故选A.5. 与两直线和的距离相等的直线是（）A. B. C. D. 以上都不对【答案】A【解析】直线平行于直线到两平行直线距离相等的直线与两直线平行，可设直线方程为，利用两平行线距离相等，即，解得直线方程为，故选A.6. 已知，表示两条不同的直线，，，表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①，，，则；②，，，则；③，，，则；④，，，则其中正确命题的序号为（）A. ①②B. ②③C. ③④D. ②④【答案】C【解析】①，，，则可以垂直,也可以相交不垂直，故①不正确；②，则与相交、平行或异面，故②不正确；③若，则，③正确；④，，可知与共线的向量分别是与的法向量，所以与所成二面角的平面为直角，，故④正确，故选C.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面垂直的性质及线面垂直的判定，属于难题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.7. 已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（）A. B. 或 C. D.【答案】B【解析】如图所示，直线的斜率为；直线的斜率为，当斜率为正时，，即；当斜率为负时，，即，直线的斜率的取值范围是或，故选B.8. 如图所示，在四棱锥中，底面，且底面为菱形，是上的一个动点，若要使得平面平面，则应补充的一个条件可以是（）A. B. C. D. 是棱的中点【答案】B【解析】因为四边形是菱形，，又平面，，又平面，即有，故要使平面平面，只需或.9. 不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有（）个A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】D【解析】空间中不共面的四个定点构成三棱锥，如图：三棱锥,①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，即对此三棱锥进行换底，则三棱锥有四种表示形式，此时满足条件的平面个数是四个；②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即构成的直线是三棱锥的相对棱，因三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面个数是三个，所以满足条件的平面共有个，故选D.10. 光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则由（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A...............11. 正方体的棱长为，线段上有两个动点、，且，则下列结论中错误的是（）A. B. 异面直线，所成角为定值C. 平面D. 三棱锥的体积为定值【答案】B【解析】在正方体中，平面平面，故正确；平面平面平面平面，故正确；的面积为定值，，又平面为棱锥的高，三棱锥的体积为定值，故正确；利用图形设异面直线所成的角为，当与重合时；当与重合时异面直线所成角不是定值，错误，故选D.12. 如图所示，正四棱锥的底面面积为，体积为，为侧棱的中点，则与所成的角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】连接交于点，连接正四棱锥的底面是正方形，是中点，是中点，与所成的角为正四棱锥的底面积为，体积为，，在中，，，故选C.【方法点晴】本题主要考查正四棱锥的性质与体积公式、异面直线所成的角，属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.二、填空题（共4小题，每题5分，满分20分）13. 若直线经过原点和，则直线的倾斜角大小为__________．【答案】【解析】原点的坐标为原点与点的斜率，即为倾斜角），又点在第二象限，，故答案为.14. 直线过和的交点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为__________．【答案】或【方法点睛】本题主要考查待定系数法求直线方程以及直线截距式方程，属于中档题.待定系数法求直线方程的一般步骤是：（1）判断，根据题设条件判断出用那种形式的直线方程参数较少；（2）设方程，设出所选定的标准形式的直线方程；（3）求参数，根据条件列方程求出参数；（4）将参数代入求解；（5）考虑特殊位置的直线方程，因为除一般式外，其他四种标准方程都有局限性.15. 已知圆，直线：，当圆上仅有个点到直线的距离为，则的取值范围为__________．【答案】【解析】由圆上仅有个点到直线的距离为可得圆心到直线的距离满足，由于，即，解得，故答案为.16. 如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻转成.若为线段的中点，则翻折过程中：①是定值；②点在某个球面上运动；③存在某个位置，使得；④存在某个位置，使平面其中正确的命题是__________．【答案】①②④【解析】解：取CD中点F，连接MF,BF，则MF∥DA1,BF∥DE，∴平面MBF∥平面DA1E，∴MB∥平面DA1E，故④正确.由，由余弦定理可得，所以为定值，所以①正确；B是定点，M是在以B为圆心，MB为半径的球面上，故②正确.假设③正确，即在某个位置，使得DE⊥A1C，又矩形ABCD中，，满足，从而DE⊥平面A1EC，则DE⊥A1E，这与DA1⊥A1E矛盾.所以存在某个位置，使得DE⊥A1C不正确，即③不正确.综上，正确的命题是①②④点睛：有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．三、解答题（本大题包括6小题，共70分）17. 已知圆：.（1）若直线与圆相切且斜率为，求该直线的方程；（2）求与直线平行，且被圆截得的线段长为的直线的方程.【答案】（1）或；（2）或【解析】试题分析：（1）设切线方程为：,根据圆心到切线的距离等于半径，列方程可得的值，从而求得直线方程；（2）设所求直线方程为，根据点到直线距离公式及勾股定理列方程求出的值，从而可得直线的方程.试题解析：（1）设所求的切线方程为：，由题意可知：圆心到切线的距离等于半径，即，∴，即或.∴切线方程为或.（2）因为所求直线与已知直线平行，可设所求直线方程为.由所截得的线段弦长的一半为，圆的半径为，可知圆心到所求直线的距离为，即：，∴或.∴所求直线方程为或18. 如图的几何体中，平面，平面，为等边三角形，，为的中点，为的中点.（1）求证：平面平面；（2）求证：平面平面.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）由中位线定理可得，可得平面，由线面垂直的性质及线段长度可证明而四边形四边形为平行四边形为平行四边形，从而可得出平面，从而可得结论；（2）取的中点，连接，，先证明，再证明平面，可得平面，从而平面平面.试题解析：（1）∵平面，平面∴.又∵为的中点，.∴四边形为平行四边形.∴.而为的中点，为的中点，∴，又.∴平面平面（2）取的中点，连接，，由（1）知，且，∴为平行四边形，∴，而为等边三角形，为的中点，所以，又，所以平面，所以平面，从而平面平面.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明线面平行后，再证明面面平行的.19. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）由平面，得，由，得，再由，得到平面；（2）过点作的平行线交于点，连结，则与平面所成的角等于与平面所成的角，由平面，得到为直线和平面所成的角，由此能求出直线与平面所成角的正弦值.试题解析：（1）证明：因为平面，直线平面，所以，又因为，所以，而，所以平面.（2）过点作的平行线交于点，连接，则与平面所成的角等于与平面所成的角，因为平面，故为在平面上的射影，所以为直线与平面所成的角，由于，.故.由已知得，，又，故，在中，可得，在中，可得. 所以，直线与平面所成的角的正弦值为【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，属于难题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.20. 已知矩形的对角线交于点，边所在直线的方程为，点在边所在的直线上.（1）求矩形的外接圆的方程；（2）已知直线：（），求证：直线与矩形的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线的方程.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：由且点在边所在的直线上得直线的方程，联立直线方程得交点的坐标，则题意可知矩形外接圆圆心为，半径，可得外接圆方程；（２）由可知恒过点，求得，可证与圆相交，求得与圆相交时弦长，经检验，时弦长最短，可得，进而得，最后可得直线方程．试题解析：（1）∵且，∴，点在边所在的直线上，∴所在直线的方程是，即．由得．∴，∴矩形的外接圆的方程是．（2）证明：直线的方程可化为，可看作是过直线和的交点的直线系，即恒过定点，由知点在圆内，所以与圆恒相交，设与圆的交点为（为到的距离），设与的夹角为，则，当时，最大，最短．此时的斜率为的斜率的负倒数，即，故的方程为，即．考点：圆的标准方程；直线与圆相交．21. 已知在四棱锥中，底面为矩形，且，，平面，，粪分别是线段，的中点.（1）证明：；（2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.（3）若与平面所成的角为.【答案】（1）见解析；（2）当为的一个四等分点（靠近点）时，平面；（3）【解析】试题分析：（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．（2）证明证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化．同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备．试题解析：解法一：（1）∵平面，，，，建立如图所示的空间直角坐标系，则． 2分不妨令∵，∴，即． 4分（2）设平面的法向量为，由，得，令，得：．∴． 6分设点坐标为，，则，要使∥平面，只需，即，得，从而满足的点即为所求． 8分（3）∵，∴是平面的法向量，易得， 9分又∵平面，∴是与平面所成的角，得，，平面的法向量为10分∴，故所求二面角的余弦值为． 12分解法二：（1）证明：连接，则，，又，∴，∴2分又，∴，又，∴4分（2）过点作交于点，则∥平面，且有5分再过点作∥交于点，则∥平面且，∴ 平面∥平面7分∴∥平面．从而满足的点即为所求． 8分（3）∵平面，∴是与平面所成的角，且．∴9分取的中点，则，平面，在平面中，过作，连接，则，则即为二面角的平面角 10分∵∽，∴，∵，且∴，，∴12分考点：1、直线与直线垂直的判定；2、直线与平面垂直的判定；3、二面角的余弦值．22. 如图（1），在矩形中，，为的中点，将沿折起，使平面平面，如图（2）所示.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积；（3）求二面角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】试题分析：（1）由勾股定理可得，再由面面垂直的性质定理可得平面；（2）过作，交于点，可得平面，利用及棱锥的体积公式可得结果；（3）由（2）可知平面，过点作，交的延长线于，连接，则为二面角的平面角，在直角三角形中求出，从而可得结果.试题解析：（1）∵，，∴又平面平面，平面平面∴平面.（2）过作，交于点，∴平面∴（3）由（2）可知平面，过点作，交的延长线于，连接，则为二面角的平面角∵，，且为，∴.∴.即二面角的正弦值为。