【常考题】高二数学上期中试题(带答案)
高二(上学期)期中考试数学试卷及答案
高二（上学期）期中考试数学试卷及答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．一直线过点(0,3),(3,0)-，则此直线的倾斜角为（ ）A ．45°B ．135°C ．－45°D ．－135°2．已知{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 为其前n 项和．若3133S a =+，则d =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．23．已知ABC 的顶点B ，C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC 的周长是（ ）A ．B ．6C ．4D ．4．设a R ∈，若直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行，则a 的值是（ ）A ．1B ．1,1-C ．0D ．0，15．已知直线:sin cos 1l x a y a -=，其中a 为常数且[0,2)a π∈．有以下结论：①直线l 的倾斜角为a ；①无论a 为何值，直线l 总与一定圆相切；①若直线l 与两坐标轴都相交，则与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1；①若(,)p x y 是直线l 上的任意一点，则221x y +≥．其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>满足b a =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则双曲线C 的方程为（ ）A ．22145x y -= B ．221810x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 7．在平面直角坐标系xoy 中，已知点()3,1P -在圆222:22150C x y mx y m +--+-=内，动直线AB 过点P 且交圆C 于,A B 两点，若ABC 的面积的最大值为8，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(3-+B ．[]1,5C ．][(35,3-⋃+D ．][(),15,∞∞-⋃+8．已知A ，B 为圆22:2430C x y x y +--+=上的两个动点，P 为弦AB 的中点，若90ACB ∠=︒，则点P 的轨迹方程为（）A ．221(1)(2)4x y -+-=B ．22(1)(2)1x y -+-=C ．221(1)(2)4x y +++=D ．22(1)(2)1x y +++=二、多选题9．已知直线30ax y a -+-=在两坐标轴上的截距相等，则实数=a （ ）A ．1B ．1-C ．3D ．3-10．设抛物线24y x =，F 为其焦点，P 为抛物线上一点.则下列结论正确的是（ ）A ．若()1,2P ，则2PF =B ．若P 点到焦点的距离为3，则P 的坐标为(2,.C ．若()2,3A ，则PA PF +D ．过焦点F 做斜率为2的直线与抛物线相交于A ，B 两点，则6AB =11．如图，椭圆221:13+=x C y 和222:13y C x +=的交点依次为,,,.A B C D 则下列说法正确的是（ ）A ．四边形ABCD 为正方形B ．阴影部分的面积大于3.C ．阴影部分的面积小于4.D ．四边形ABCD 的外接圆方程为222x y +=12．已知圆222:22(1)2230()C x y mx m y m m m R ++-+++-=∈上存在两个点到点(0,1)A -的距离为4，则m 的可能的值为A ．1B ．1-C ．3-D ．5-三、填空题13．设()1,0F c -，()2,0F c 分别为椭圆()222210x y a b a b +=>>的左，右焦点，若直线22a x c=上存在点P ，使22PF c =，则椭圆离心率的取值范围为______.14．已知在数列{}n a 中，12a =，111n na a +=-，*n N ∈，则2021a =________．15．已知焦点为1F ，2F 的双曲线C P 为C 上一点，且满足2123PF PF =，若12PF F △的面积为C 的实轴长为________四、双空题16．抛物线2:2C y x =的焦点坐标是______；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=______．五、解答题17．已知{n a }为等差数列，Sn 为其前n 项和，若1356,0a a a =+=．(1)求数列{n a }的通项公式；(2)求Sn ．18．已知A (4, 9), B (6, 3)两点，求以线段AB 为直径的圆的方程．19．已知直线10:4l mx y ++=和直线()()2:2100,0l m x ny m n +-+=>>互相垂直，求m n 的取值范围． 20．已知①ABC 的顶点A （-1，5），B （-1，-1），C （3，7）.(1)求边BC 上的高AD 所在直线的方程；(2)求边BC 上的中线AM 所在直线的方程；(3)求①ABC 的面积.21．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，且M 点的纵坐标为4，52p MF =．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点(0,4)Q -作直线交抛物线C 于,A B 两点，试问抛物线C 上是否存在定点N 使得直线NA 与NB 的斜率互为倒数？若存在求出点N 的坐标，若不存在说明理由．22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，以椭圆C 的四个顶点为顶点的四边形面积为 (1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的左顶点为A ，右焦点是F ．点P 是椭圆C 上的点（异于左、右顶点），M 为线段PA 的中点，过M 作直线PF 的平行线l ．延长PF 交椭圆C 于Q ，连接AQ 交直线l 于点B ．①求证：直线l 过定点．①是否存在定点1D 、2D ，使得12BD BD +为定值，若存在，求出1D 、2D 的坐标；若不存在说明理由．参考答案：1．A【分析】根据斜率公式求得直线的斜率，得到tan 1α=，即可求解.【详解】设直线的倾斜角为α， 由斜率公式，可得03130k -==--，即tan 1α=， 因为0180α≤<，所以45α=，即此直线的倾斜角为45.故选：A.2．C【解析】根据{}n a 是公差为d 的等差数列，且3133S a =+，利用等差数列的前n 项和公式求解.【详解】因为{}n a 是公差为d 的等差数列，且3133S a =+，所以113333a d a +=+，解得1d =，故选：C3．D【分析】先由椭圆方程求出a =.【详解】由椭圆2213x y +=，得：a =由题意可得ABC 的周长为:221224AC CF F B BF a a a +++=+==.故选：D.4．A【分析】根据两直线平行则两直线斜率相等截距不相等可得答案.【详解】0a =时，两直线为10y -=、直线10x +=，显然不平行；所以0a ≠，两直线为1y ax =-+，1(1)=-+y x a， 所以1a a -=-，且11a -≠， 解得1a =．故选：A.5．C【分析】根据直线的性质及直线与圆的关系对选项一一判断即可.【详解】对于①，直线l 的倾斜角的取值范围为[0,)π，与角a 的不同，故①错误；对于①，(0,0)1=，则无论a 为何值，直线l 总与221x y +=相切，故①正确；对于①，若直线l 与两坐标轴都相交，则截距分别为1sin a ，1cos a -，则与两坐标轴围成的三角形的面积为111112sin cos sin 2a a a⋅=≥，故①正确； 对于①，由①知直线l 总与221x y +=相切，则直线l 上的点到原点的距离大于等于1，即221x y +≥，故①正确；综上所述，①①①共3个正确；故选：C6．A【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的几何性质，列出方程，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由椭圆的标准方程为221123x y +=，可得21239c =-=，即3c =， 因为双曲线C 的焦点与椭圆221123x y +=的焦点相同，所以双曲线C 中，半焦距3c =，又因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>满足b a =，即b =，又由222+=a b c ，即229a ⎫⎪⎪⎝⎭+=，解得24a =，可得25b =， 所以双曲线C 的方程为22145x y -=. 故选：A ．7．C【分析】由题知圆心为(),1,4C m r =，进而根据三角形面积公式得ABC 面积最大时，AB =，圆心C 到直线AB 的距离为4PC ≤<即可得答案.【详解】解：圆222:22150C x y mx y m +--+-=，即圆()()22:116C x m y -+-=，即圆心为(),1,4C m r =， 所以ABC 的面积为21sin 8sin 82ABC S r ACB ACB =∠=∠≤△，当且仅当2ACB π∠=，此时ABC 为等腰直角三角形，AB =C 到直线AB 的距离为= 因为点()3,1P -在圆222:22150C x y mx y m +--+-=内，所以4PC ≤<，即4<，所以，28(3)416m ≤-+<，解得31m -≤或53m ≤<+所以，实数m 的取值范围是][(35,3-⋃+故选：C8．B【分析】在直角三角形中利用几何关系即可获解【详解】圆C 即22(1)(2)2x y -+-=,半径r =因为CA CB ⊥,所以2AB ==又P 是AB 的中点,所以112CP AB == 所以点P 的轨迹方程为22(1)(2)1x y -+-=故选：B9．BC【分析】显然0a ≠，再分30a -=与30a -≠两种情况讨论，若30a -≠，求得直线在,x y 轴上的截距，即可得到方程，解得即可；【详解】解：依题意可知0a ≠，所以当30a -=，即3a =时，直线30ax y a -+-=化为30x y -=，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当30a -≠，即3a ≠时，直线30ax y a -+-=在x 轴上的截距为3a a-，在y 轴上的截距为3a -，故33a a a -=-，解得1a =-； 综上所述，实数3a =或1a =-.故选：BC10．AC【分析】由抛物线的性质依次计算各选项所求，即可得出结果.【详解】抛物线24y x =，()1,0F .对于A ，()1,2P ，2PF ，A 正确；对于B ，设(,P x ±，()22143x x -+=，2x =，P 的坐标为(2,±.B 错误；对于C,()min PA PF AF +==正确；对于D ，直线:22l y x =-，联立24y x =，得：2310x x -+=，3A B x x +=,2=5B A x x AB ++=,D 错误. 故选：AC.11．ABC【分析】根据曲线的对称性，可判定A 正确；联立方程组求得A 的坐标，求得ABCD 的面积为13S =，可判定B 正确；由直线1,1x y =±=±围成的正方形的面积可判定C 正确；由232OA =，得出圆的方程，可判定D 错误．【详解】由题意，椭圆221:13+=x C y 和222:13y C x +=，根据曲线的对称性， 可得四边形ABCD 为正方形，选项A 正确；联立方程组，求得A ，所以正方形ABCD 的面积为13S =， 所以阴影部分的面积大于3，选项B 正确：由直线1,1x y =±=±围成的正方形的面积为2=4S ，所以阴影部分的面积小于4，选项C 正确；由232OA =，所以四边形ABCD 的外接圆方程为2232x y +=，选项D 错误． 故选：ABC .12．ACD【解析】根据题意，圆()()222:12C x m y m ++-+=⎡⎤⎣⎦与圆()222:14A x y ++=相交，再由两圆圆心距大于两圆半径之差，小于两圆半径之和，列出不等式，解得即可.【详解】由题知，圆()()222:12C x m y m ++-+=⎡⎤⎣⎦与圆()222:14A x y ++=相交，所以，4242CA -<<+，即26，解得()()1,20,171m ∈--，即m 的值可以为：1或3-或5-.故选：ACD.【点睛】本题体现了转化的数学思想，解题的关键在于将问题转化为两圆相交，属于基础题. 13．0e <≤【分析】由题设易知222||a PF c c≥-，结合椭圆离心率的性质即可得离心率的取值范围. 【详解】由题设，222||2a PF c c c=≥-，则22223c e a =≤，而01e <<，所以0e <≤故答案为：0e <≤14．12##0.5 【分析】由递推关系依次求出数列的前几项，归纳出周期后可得结论．【详解】由题意12a =，211122a =-=，311112a =-=-，41121a =-=-， 所以数列{}n a 是周期数列，周期为3，所以202136732212a a a ⨯+===． 故答案为：12．15【分析】由2123PF PF =和双曲线定义可得12,46a PF a PF ==，再结合余弦定理和c e a ==122cos 3F PF ∠=，利用面积公式1212121||||sin 2PF F S PF PF F PF =∠=a =. 【详解】由题意，221123PF PF PF PF ∴=> 由双曲线定义可知，122PF PF a -=21,46a PF a PF ==∴222222221212122212||||||36164524cos 2||||4848PF PF F F a a c a c F PF PF PF a a +-+--∴∠===又122cos 3c e c F PF a ===∴∠=又1212(0,)sin F PF F PF π∠∈∴∠=122121211||||sin 2422PF F S PF PF F PF a =∠=⨯=221,a ∴=又0a a >∴=故双曲线C16． ()1,0##0.5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭； 9. 【分析】由抛物线的解析式可知22p =，即可得出焦点坐标为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭；过A 、B 、P 作准线的垂线且分别交准线于点M 、N 、K ，根据抛物线的定义可知AM BN AF BF +=+，由梯形的中位线的性质得出()1942212AM BN PK +==+=，进而可求出AF BF +的结果. 【详解】解：由抛物线2:2C y x =，可知22p =，则122p =， 所以抛物线2:2C y x =的焦点坐标为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 如图，过点A 作AM 垂直于准线交准线于M ，过点B 作BN 垂直于准线交准线于N ，过点P 作PK 垂直于准线交准线于K ，由抛物线的定义可得AM BN AF BF +=+，再根据()4,1P 为线段AB 的中点，而四边形AMNB 为梯形， 由梯形的中位线可知()1942212AM BN PK +==+=， 则9AM BN +=，所以9AF BF +=. 故答案为：1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭；9. 17．(1)an ＝8﹣2n ；(2)27n S n n =-+.【分析】（1）应用等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式； （2）由等差数列前n 项和公式求Sn . （1）设等差数列{an }的公差为d ，由a 1＝6，a 3+a 5＝0，则6+2d +6+4d ＝0，解得d ＝﹣2， 因此an ＝a 1+（n ﹣1）d ＝8﹣2n ， 所以{an }的通项公式为an ＝8﹣2n ． （2）由题意知：()21172n n n S na d n n -=+=-+，18．(x -5)2＋(y -6)2＝10【分析】根据题意，求得圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程.【详解】因为线段AB 为直径，所以线段AB 的中点C 为该圆的圆心，即C (5, 6)．又因为AB ，所以所求圆的半径r ＝2AB， 因此，所求圆的标准方程为(x －5)2＋(y －6)2＝10. 19．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】通过两直线垂直的充要条件得到22n m m =+，然后两边同时除以m ，使用不等式即可解决. 【详解】因为12l l ⊥，所以()()210m m n ++⨯-=，所以22n m m =+，因为0m >，所以2221m m m m n m +==+． 因为0m >，所以22m +>，所以11022m <<+，故m n 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． 20．(1)x +2y -9=0 (2)4y x =-+ (3)12【分析】（1）求得BC k ，根据垂直关系可得12AD k =-，再根据点斜式求解高AD 所在直线的方程即可；（2）根据中点坐标公式，结合两点式方程求解即可；（3）根据两点式方程可得边BC 所在直线的方程，再根据点到线的距离公式可得点A 到直线BC 的距离，进而根据三角形的面积公式求解即可. （1） 因为7(1)23(1)BC k --==--，所以12AD k =-，从而边BC 上的高AD 所在直线的方程为()1512y x -=-+，即x +2y -9=0（2）因为M 是BC 的中点，所以M （1，3），从而边BC 上的中线AM 所在直线的方程为315311y x --=---，即4y x =-+ （3）由题意知，边BC 所在直线的方程为()()()()117131y x ----=----，即210,x y BC -+==所以点A 到直线BC 的距离h ==ABC 的面积1122BC h =⋅=.21．(1)24y x =(2)存在，()44，【分析】（1）利用抛物线的焦半径公式求得点M 的横坐标，进而求得p,可得答案;（2）根据题意可设直线方程，和抛物线方程联立，得到根与系数的关系式，利用直线NA 与NB 的斜率互为倒数列出等式，化简可得结论. (1)（1）0(,4)M x 设 则05||22p pMF x =+=， 02x p ∴=， 2416p ∴=，0,2p p >∴=，故C 的方程为：24y x = ；(2)假设存在定点N ，使得直线NA 与NB 的斜率互为倒数， 由题意可知，直线AB 的斜率存在，且不为零，(4)AB x m y =+设的方程为，2011220(,),(,),(,)4y A x y B x y N y ，()244x m y y x ⎧=+⎨=⎩由， 24160y my m --=得，所以{Δ>0y 1+y 2=4m y 1y 2=−16m ， 即4m <- 或0m > ，01020102222222000012010212441444444NA NB y y y y y y y y k k y y y y y y y y y y x x ----∴⋅=⋅=⋅=⋅=++---- 2001212()16y y y y y y ∴+++=，200(416)160y m y ∴-+-=恒成立，则024160160y y -=⎧⎨-=⎩ ，04y ∴=， (4,4),N ∴存在定点使得直线NA 与NB 的斜率互为倒数. 22．(1)2211612x y +=；(2)（i ）证明见解析；（ii ）存在，且()13,0D -、()21,0D -.【分析】（1）根据已知条件得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，可得出椭圆C 的方程； （2）（i ）分析可知直线PQ 不与x 轴重合，设设直线PQ 的方程为2x my =+，设点()00,P x y 、()11,Q x y ，写出点M 的坐标，化简直线l 的方程，即可得出直线l 所过定点的坐标；（ii ）点(),B x y ，写出点B 的坐标，利用相关点法求出点B 的轨迹方程，可知点B 的轨迹为椭圆，求出椭圆的两个焦点坐标，结合椭圆的定义可得出结论. (1)解：由题意可得222121222c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=+⎪⎪⎩42a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 因此，椭圆C 的方程为2211612x y +=. (2)解：（i ）易知点()2,0F 、()4,0A -，若PQ 与x 轴重合，则P 或Q 与点A 重合，不合乎题意，设直线PQ 的方程为2x my =+，设点()00,P x y 、()11,Q x y ，点M 的坐标为004,22x y -⎛⎫⎪⎝⎭，直线MB 的方程为00422x y x m y -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭且002x my =+， 所以，直线l 的方程为1x my =-，因此，直线l 过定点()1,0-. （ii ）因为B 为AQ 的中点，则114,22x y B -⎛⎫ ⎪⎝⎭，且有221111612x y +=， 设点(),B x y ，则11422x x y y -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得11242x x y y =+⎧⎨=⎩， 所以，()()2224211612x y ++=，即()222143x y ++=，即点B 的轨迹方程为()222143x y ++=，因为椭圆22143x y +=的两个焦点坐标分别为()1,0-、()1,0， 椭圆()222143x y ++=可由椭圆22143x y +=向左平移2个单位得到， 故椭圆()222143x y ++=的两个焦点坐标别为()3,0-、()1,0-， 故存在定点()13,0D -、()21,0D -使得124BD BD +=为定值. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.。
高二数学上学期期中试题理含解析 12(共14页)
华侨中学2021-2021学年高二数学上学期期中(q ī zh ōn ɡ)试题 理〔含解析〕一、选择题。
，，那么“或者〞是“〞的〔 〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【详解】x m ∈或者x p ∈，即，x p m ∈⋂，即．∴或者x p ∈，x m ∈或者x p ∈推不出x p m ∈⋂.选B.考点：判断必要性和充分性. ，，，，，，的一个通项公式为〔 〕A.B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】通过观察可得数列，3，，7，，的通项公式，然后添加进展系数调整可得所求的一个通项公式．【详解】由题意得数列1，3，5，7，9，的通项公式为21n a n =-；由题中数列的奇数项为负，故所求数列的通项公式为．应选B ．【点睛】根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般〞的思想，由不完全归纳得出(dé chū)的结果是不可靠的，要注意所得通项公式的正确性；对于数列中项的正负符号的变化，可用或者来调整．中，，那么=A.B.C.D.【答案】C 【解析】,选C.中，假设，那么〔 〕A. 10B. 5C.D.【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列下标和相等对应项的和相等，可得.【详解】因为{}n a 为等差数列，所以，因为26101420a a a a +++=，所以，解得：85a =.选B.【点睛】此题考察等差数列性质，考察运算求解才能.的解集是A. B.C. 或者(huòzhě)D.【答案】B【解析】试题分析：∵，∴，即，∴不等式解集为．考点：分式不等式转化为一元二次不等式．{}a的通项公式为，那么〔〕nA. 153B. 210C. 135D. 120 【答案】A【解析】【分析】根据数列的通项公式，判断数列{}n a为等差数列，并求得数列的前3项均小于，从第4项起均大于0，对所求式子去掉绝对值，利用等差数列前项和，求得式子值.【详解】因为，所以数列{}n a是均小于0，均大于0的等差数列，所以.选A.【点睛】此题考察数列中的根本量法求数列的前n 项和，解题的关键在于判断各项的正负.满足(mǎnzú)约束条件，那么的最大值为( )A. 10B. 8C. 3D. 2【答案】B 【解析】 分析】画出约束条件所表示的可行域，利用线性目的函数的几何意义，即直线在轴上截距的最小值为的最大值.【详解】,x y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩可行域，如下图，直线2z x y =-过点时，其在y 轴上的截距最小，所以.选B.【点睛】目的函数在y 轴上截距z -到达最小值时，z 对应获得最大值.{}n a 中,,前n 项和为,假设数列也是等比数列,那么n S 等于〔 〕 A.B.C.D.【答案】A【解析(jiě xī)】【分析】a+的前三项成等比数列，求得，再求数列{}n a的前n项和n S. 利用等比数列{}1n【详解】设等比数列{}n a的公比为.a+也是等比数列，所以，因为数列{}1nq=，所以.选A.解得：1【点睛】此题考察等比数列的性质、前n项和n S，考察根本量法求解问题.,且,那么的最小值为〔〕A. 6B. 12C. 14D. 16 【答案】D【解析】【分析】利用根本不等式求得，并验证等号成立的条件.【详解】因为，+的最小值为.选D.等号成立当且仅当，所以x y【点睛】此题考察根本不等式求最小值，求解过程中要利用到“1〞的代换这一重要的思想方法，并注意验证等号成立的条件.∆是〔〕ABC∆中，假设，那么ABCA. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰或者(huòzhě)直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】A 【解析】试题分析：根据正弦定理，因此，即，所以或者，由于，所以22B A π+=成立，即；考点：1．正弦定理；2．倍角的正弦公式；3．三角形形状的判断；前n 项的和为〔 〕A. B.C. D.【答案】B 【解析】 数列11111,2,3,4, (24816)前n项的和应选B ．的ABC ∆恰有一个，那么的取值范围是〔 〕A.B.C.D.或者83k =【答案(dá àn)】B 【解析】根据正弦定理得到画出和的图像，使得两个函数图象有一个交点即可；此时k 的取值范围是。
高二数学上学期期中试题含解析1(共21页)
实验(shíyàn)中学2021-2021学年高二数学上学期期中试题〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共12小题〕1.抛物线y=-x2的准线方程是〔〕A. B. C. D.2.相距4k千米的A，B两地，听到炮弹爆炸的时间是相差2秒，假设声速每秒k千米，那么炮弹爆炸点P的轨迹可能是〔〕A. 双曲线的一支B. 双曲线C. 椭圆D. 抛物线3.假设直线mx+2y+m=0与直线3mx+〔m-1〕y+7=0平行，那么m的值是〔〕A. 7B. 0或者7C. 0D. 44.双曲线=1的焦点在x轴上，假设焦距为4，那么a=〔〕A. B. 7 C. D.5.设变量x，y满足约束条件，那么的最小值为〔〕A. B. C. D. 16.半径长为6的圆与y轴相切，且与圆〔x-3〕2+y2=1内切，那么此圆的方程为〔〕A. B.C. D.7.嫦娥四号月球探测器于2021年12月8日搭载HY三号乙运载HY在卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球外表间隔为100公里，远月点与月球外表间隔为400公里．月球的直径为3476公里，那么该椭圆形轨道的离心率约为〔〕8.A. B. C. D.9.抛物线C：y2=4x的焦点(jiāodiǎn)F和准线l，过点F的直线交l于点A，与抛物线的一个交点为B，且，那么|AB|=〔〕A. B. C. D.10.设点F和直线l分别是双曲线的一个焦点和一条渐近线，假设F关于直线l的对称点恰好落在双曲线上，那么该双曲线的离心率为〔〕A. 2B.C.D.11.实数x，y满足约束条件，假设目的函数z=2x-y的最大值为5，那么a的值是〔〕A. B. C. 1 D. 212.点P〔x，y〕是直线kx+y+4=0〔k＞0〕上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2-2y=0的两条切线，A、B为切点，假设四边形PACB面积的最小值是2，那么k的值是〔〕A. B. C. 2 D.13.椭圆+=1〔a＞b＞0〕短轴的两个端点为A、B，点C为椭圆上异于A、B的一点，直线AC与直线BC的斜率之积为-，那么椭圆的离心率为( ).A. B. C. D.二、填空题〔本大题一一共4小题〕14.直线x+y-1=0的倾斜角为α，那么cosα=______．15.顶点在坐标(zuòbiāo)原点，焦点为F〔0，1〕的抛物线上有一动点A，定点M〔-1，4〕，那么|AM|+|AF|的最小值为______．16.过点P〔1，2〕与双曲线C：2x2-y2=2有且只有一个公一共点的直线一共______条．17.斜率为的直线l被椭圆截得的弦恰被点M〔1，1〕平分，那么=______．三、解答题〔本大题一一共6小题〕18.圆C：x2+y2-2x-4y=0．19.〔Ⅰ〕求圆C关于直线x-y-1=0对称的圆D的HY方程；20.〔Ⅱ〕过点P〔4，-4〕的直线l被圆C截得的弦长为8，求直线l的方程．21.22.23.24.25.26.27.28.点F为抛物线C：x2=2py〔P＞0〕的焦点，点A〔m，3〕在抛物线C上，且|AF|=5，假设点P是抛物线C上的一个动点，设点P到直线x-2y-6=0的间隔为d．29.〔Ⅰ〕求抛物线C的方程；30.〔Ⅱ〕求d的最小值．31.32.33.34.35.36.37.38.F1，F2分别(fēnbié)是双曲线E：〔a＞0，b＞0〕的左、右焦点，P是双曲线上一点，F2到左顶点的间隔等于它到渐近线间隔的2倍，39.〔1〕求双曲线的渐近线方程；40.〔2〕当∠F1PF2=60°时，△PF1F2的面积为，求此双曲线的方程．41.42.43.44.45.46.47.48.设椭圆的右顶点为A，上顶点为B．椭圆的离心率为，．〔1〕求椭圆的HY方程；〔2〕设直线l：y＝kx(k＜0)与椭圆交于M，N两点，且点M在第二象限．l与AB延长线交于点P，假设△BNP的面积是△BMN面积的3倍，求k的值．49.F为抛物线C：y2=2px〔P＞0〕的焦点(jiāodiǎn)，过F垂直于x轴的直线被C截得的弦的长度为4．50.〔Ⅰ〕求抛物线C的方程．51.〔Ⅱ〕过点〔m，0〕，且斜率为1的直线被抛物线C截得的弦为AB，假设点F在以AB为直径的圆内，求m的取值范围．52.53.54.55.56.57.58.59.椭圆的左、右焦点为别为F1、F2，且过点和．60.〔1〕求椭圆的HY方程；61.〔2〕如图，点A为椭圆上一位于x轴上方的动点，AF2的延长线与椭圆交于点B，AO的延长线与椭圆交于点C，求△ABC面积的最大值，并写出取到最大值时直线BC的方程．62.64.65.66.67.答案(dáàn)和解析1.【答案】B【解析】解：∵，∴x2=-8y，∴其准线方程是y=2．应选：B．先把抛物线转换为HY方程x2=-8y，然后再求其准线方程．此题考察抛物线的根本性质，解题时要认真审题，仔细求解．2.【答案】B【解析】解：由可得：||PA|-|PB||=2k＜4k=|AB|，根据双曲线的定义可知：点P在以A，B为焦点，实轴长为2k米的双曲线上．那么炮弹爆炸点P的轨迹可能是双曲线．应选：B．由可得：||PA|-|PB||=2k＜4k=|AB|，根据双曲线的定义可判断出答案．此题考察双曲线的定义，考察运算才能和推理才能，属于根底题．3.【答案】B【解析】解：∵直线mx+2y+m=0与直线3mx+〔m-1〕y+7=0平行，∴m〔m-1〕=3m×2，∴m=0或者7，经检验都符合题意．应选：B．由m〔m-1〕=3m×2，求出m值，再进展检验即可．此题考察两直线平行的性质，两直线平行时，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比．4.【答案】C【解析(jiě xī)】解：双曲线=1的焦点在x轴上，可得a-3＞0，2-a＜0，即a＞3，即有双曲线的方程为-=1，由焦距为4，可得a-3+a-2=4，解得a=，应选：C．由题意可得a-3＞0，2-a＜0，即a＞3，写出双曲线的HY方程，由题意可得a-3+a-2=4，即可得到所求值．此题考察双曲线的方程和性质，考察方程思想和运算才能，属于根底题．5.【答案】B【解析】解：作出变量x，y满足约束条件对应的平面区域如图：那么的几何意义是区域内的点到定点D〔4，-1〕的斜率，由得A〔3，3〕，那么AD的斜率k==-4，那么的最小值为：-4．应选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率的几何意义，结合数形结合进展求解即可．此题主要考察线性规划的应用，利用直线斜率的几何意义是解决此题的关键，属于根底题．6.【答案】D【解析(jiě xī)】解：圆〔x-3〕2+y2=1的圆心为〔3，0〕，半径为1，所求圆的半径为6，且两圆相内切，那么圆心间隔d=6-1=5，∵半径长为6的圆与y轴相切，且与圆〔x-3〕2+y2=1内切，∴圆心在y轴的右侧，设圆的圆心为〔6，b〕，那么==5，即b2=25-9=16，那么b=4或者b=-4，即圆的方程为〔x-6〕2+〔y±4〕2=36，应选：D．根据圆与y轴相切以及两圆相内切的条件，建立方程关系进展求解即可．此题主要考察圆的方程的求解，结合圆与圆的相切关系，建立方程是解决此题的关键．难度中等．7.【答案】B【解析】【分析】此题考察椭圆的简单(jiǎndān)性质的应用，是根本知识的考察．利用椭圆的性质列出方程组，求出a，c然后求解椭圆的离心率即可．【解答】解：设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，月球半径为R，那么a+c=400+1738 且a-c=1738+100，解得a=1988，c=150，所以e=≈，应选B．8.【答案】C【解析】解：抛物线C：y2=4x，所以DF=2，如图，，所以AF：FB=3：1，又DF：BC=AF：AB，所以2：BC=3：4，得BC==BF，所以AB=4BF=，应选：C．画出图象，根据抛物线的性质求出BC=，又AB=4BF，求出AB．考察了抛物线的性质，焦点弦问题，根底题．9.【答案】C【解析(jiě xī)】解：如图取双曲线的左焦点为E，设右焦点为F，l为渐近线，F关于直线l的对称点设为P，连接PE，直线l与线段PF的交点为A，因为点P与F关于直线l对称，那么l⊥PF，且A为PF的中点，所以|AF|=b，|OA|=a，|PE|=2|AO|=2a，根据双曲线的定义，有|PF|-|PE|=2a，那么2b-2a=2a，即b=2a，所以e===，应选：C．取双曲线的左焦点为E，设右焦点为F，l为渐近线，l与渐近线的交点为A，F关于直线l的对称点设为P，连接PE，运用三角形的中位线定理和双曲线的定义，离心率公式，计算可得所求值．此题考察双曲线的离心率的求法，注意运用三角形的中位线定理和双曲线的定义，考察化简整理的运算才能，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：作出不等式对应的平面区域如图，A〔2a+2，a〕由z=2x-y，得y=2x-z，由图象可知当直线y=2x-z，经过点A时，直线y=2x-z的截距最小，此时z 最大为5，即2x-y=5，2〔2a+2〕-a=5，得a=，应选：B．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．此题主要考察线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的根本方法，要纯熟掌握目的函数的几何意义．11.【答案】C【解析(jiě xī)】解：∵圆的方程为：x2+〔y-1〕2=1，∴圆心C〔0，1〕，半径r=1．根据题意，假设四边形面积最小，当圆心与点P的间隔最小时，即间隔为圆心到直线l的间隔最小时，切线长PA，PB最小．切线长为2，∴PA=PB=2，∴圆心到直线l的间隔为d=．直线方程为y+4=kx，即kx-y-4=0，∴=，解得k=±2，∵k＞0，∴所求直线的斜率为：2．应选：C．由圆的方程为求得圆心C，半径r，由“假设四边形面积最小，那么圆心与点P的间隔最小时，即间隔为圆心到直线的间隔时，切线长PA，PB最小〞，最后利用点到直线的间隔求出直线的斜率即可．此题的考点是直线与圆的位置关系，主要涉及了构造四边形及其面积的求法，解题的关键是“假设四边形面积最小，那么圆心与点P的间隔最小时，即间隔为圆心到直线的间隔时，切线长PA，PB最小〞属于中档题．12.【答案】A【解析(jiě xī)】[解答]解：由题意可得A〔0，b〕，B〔0，-b〕，设C〔x0，y0〕，由C在椭圆上可得+=1，即有=，①由直线AC与BC的斜率之积为-，可得•=-，即为=4〔-〕，②由①代入②可得=4，即a=2b，c==a，可得离心率e==．应选：A．[分析]由题意可得A〔0，b〕，B〔0，-b〕，设C〔x0，y0〕，代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，由题意可得a，b的关系式，结合椭圆系数的关系和离心率的定义可得．此题考察椭圆的简单性质，涉及椭圆的离心率和直线的斜率公式，考察运算才能，属中档题．13.【答案】【解析(jiě xī)】解：直线x+y-1=0的斜率为-1，那么tanα=-1，又0≤α＜π，∴，那么cos．故答案为：．由直线方程求得直线的斜率，进一步求出倾斜角，那么答案可求．此题考察直线的倾斜角与斜率的关系，训练了三角函数值的求法，是根底题．14.【答案】4【解析】解：设点A到准线的间隔为|AE|，由定义知|AF|=|AE|，故|AM|+|AF|=|AF|+|AM|≥|ME|≥|MN|=4+1=5．〔M到准线的垂足设为N〕故答案为：5．此题假设建立目的函数来求|AF|+|AM|的最小值是困难的，假设巧妙地利用抛物线定义，那么问题不难解决．由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的间隔等于它到准线的间隔．要重视定义在解题中的应用，灵敏地进展抛物线上的点到焦点间隔与到准线间隔的互相转换．15.【答案】4【解析(jiě xī)】解：∵双曲线C：2x2-y2=2；即x2-=1．∴a=1，b=．当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=1，满足题意；因为a=1，b=，所以双曲线的渐近线方程为y=±x，那么过P分别作出两条与渐近线平行的直线即与双曲线只有一个交点；过点P还可以作一条与左支相切的直线，故满足条件的直线一共有4条．故答案为：4．分为三类考虑：直线的斜率不存在；与渐近线平行的直线；与左支相切，即可得到结论．此题考察了直线与双曲线有一个公一共点的情况，做题时极容易丢平行渐近线的情况，做题时一定要细心．16.【答案】5【解析】解：解：设弦的两个端点的坐标分别为〔x1，y1〕，〔x2，y2〕，相减可得，，，∵弦恰被点M〔1，1〕平分，∴，∴，∵直线l斜率为，∴，∴a2=3b2，又∵a2=b2+c2，∴c2=2b2∴故答案为：5．设弦的两个端点的坐标分别为〔x1，y1〕，〔x2，y2〕，代入椭圆的方程，作差变形，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，以及双曲线的离心率公式，即可得到所求值．此题考察椭圆的方程和性质，主要是离心率的求法，考察点差法的运用，以及化简运算求解才能，属于中档题．17.【答案】解：〔1〕化圆C：x2+y2-2x-4y=0为〔x-1〕2+〔y-2〕2=5，可得圆心坐标为C〔1，2〕，半径r=，设C〔1，2〕关于直线x-y-1=0的对称点为D〔x0，y0〕，那么，解得，∴D〔3，0〕．那么圆D：〔x-3〕2+y2=5；〔2〕当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=4，与圆相离，不合题意；圆心C〔1，2〕到直线的间隔d=，由，解得k∈∅．∴过点P〔4，-4〕被圆C截得的弦长为8的直线l不存在．【解析(jiě xī)】〔1〕化圆的方程为HY方程，求出圆心坐标与半径，再求圆心C关于直线的对称点，那么圆D的方程可求；〔2〕由直线与圆相离，可知满足条件的直线l不存在．此题考察圆关于直线的对称圆的求法，考察直线与圆位置关系的应用，考察计算才能，是中档题．18.【答案】解：〔1〕由抛物线的定义得，|AF|=3+=5．解得p=4，所以抛物线C的方程为x2=8y．〔2〕设直线x-2y-6=0的平行线：x-2y+c=0，⇒，△=16+16c=0⇒c=-1．所求d==．【解析】〔1〕利用抛物线的定义，求出p，即可求抛物线C的方程；〔2〕联立直线与抛物线方程，点P到直线x-2y-6=0的间隔为d1，转化求解d1的最小值；此题开学直线与抛物线的位置关系的应用，考察转化思想以及计算才能．19.【答案】解：〔1〕因为双曲线的渐近线方程为bx±ay=0，F2坐标为, 那么点F2到渐近线间隔为，所以c+a=2b．又因为a2+b2=c2，故所求双曲线的渐近线方程是4x±3y=0．〔2〕因为∠F1PF2=60°，由余弦定理得，即．又由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2a，平方得，相减得．根据三角形的面积公式得，得b2=48．再由上小题结论得，故所求双曲线方程是．【解析(jiě xī)】此题考察双曲线方程的求法以及双曲线的简单性质余弦定理三角形的面积公式，属于中档题．〔1〕根据双曲线的渐近线方程和点到直线的间隔即可求出a和b的关系，问题得以解决，〔2〕根据余弦定理和三角形的面积公式以及双曲线的定义可得b2=48，问题得以解决．20.【答案】解：〔Ⅰ〕设椭圆的焦距为2c，由得，a2+b2=13，又a2=b2+c2，解得a=3，b=2，所以，椭圆的方程为．…………………………………………………〔3分〕〔II〕设点P〔x0，y0〕，M〔x1，y1〕，〔x0＜x1＜0〕．那么N〔-x1，-∵△BPN的面积是△BMN面积的3倍，∴|PN|=2|MN|，即，从而-x1-x0=3〔-x1-x1〕，∴x0=5x1，易知直线AB的方程为：2x+3y=6．由消去y，可得x…〔7分〕由方程组消去y，可得x．…………………………〔9分〕由x0=5x1，可得，…………………………………〔10分〕整理得18k2+25k+8=0，解得k=-或者k=-．………………………〔12分〕当k=-时，x0=-9＜0，符合题意；当k=-时，x0=12＞0，不符合题意，舍去．所以，k的值是-．…………………………………………………〔14分〕【解析(jiě xī)】〔Ⅰ〕设椭圆的焦距为2c，由可得，a2+b2=13，又a2=b2+c2，解得a=3，b=2，即可．〔Ⅱ〕设点P〔x1，y1〕，M〔x2，y2〕，〔x2＞x1＞0〕．那么Q〔-x1，-y〕．1由△BNP的面积是△BMN面积的3倍，可得x2-x1=2[x1-〔-x1〕]，x2=5x1，联立方程求出由x1．x2，可得k．此题考察了椭圆的方程、几何性质，考察了直线与椭圆的位置关系，属于中档题．21.【答案】解：〔Ⅰ〕由条件得2p=4，∴抛物线C的方程为y2=4x，〔Ⅱ〕设直线方程为ty=x-m，代入y2=4x得y2-4ty-4m=0，△=16t2+16m＞0．∵F〔1，0〕，∴=〔x-1，y1〕，=〔x2-1，y2〕，1∵点F在以AB为直径的圆内，∴∠AFB为钝角，即•＜0，⇒〔x1-1〕〔x2-1〕+y1y2＜0，即x1x2-〔x1+x2〕+1-4m＜0，∴-[t〔y+y2〕+2m]+1-8m＜0，1-4t2+1-6m＜0，∴m2-6m+1＜0，解得：3-2．【解析(jiě xī)】〔Ⅰ〕可得2p=4，从而可得抛物线C的方程，〔Ⅱ〕直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理，利用•＜0，即可求得m 的取值范围．此题考察抛物线的HY方程，考察直线与抛物线的位置关系，考察向量知识的运用，正确运用韦达定理是关键．22.【答案】解：〔1〕将两点代入椭圆方程，有解得，所以椭圆的HY方程为．〔2〕因为A在x轴上方，可知AF2斜率不为0，故可以设AF2的方程为x=ty+1，，得，所以，设原点到直线AF2的间隔为d，那么，所以S△ABC=2S△OAB===，△ABC面积的最大值为．可得，A〔1，〕，B〔1，-〕，C〔-1，〕，此时BC的方程为：y=，【解析】〔1〕将两点代入椭圆方程，求出a，b，然后求解椭圆的HY方程．〔2〕设AF2的方程为x=ty+1，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式，点到直线的间隔求解三角形的面积结合根本不等式求解最值，然后求解BC的方程即可．此题考察直线与椭圆的位置关系的综合应用，考察转化思想以及计算才能，是中档题．内容总结。
高二数学上学期期中试题含解析试题_2 3(共21页)
2021-2021学年高二数学上学期(xuéqī)期中试题〔含解析〕一、选择题(本大题一一共10小题，每一小题4分，一共40分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的)A(5，0)，B(2，3)两点的直线的倾斜角为〔〕A. 45°B. 60°C. 90°D. 135°【答案】D【解析】【分析】先根据两点的斜率公式求出斜率,结合斜率与倾斜角的关系可得倾斜角.【详解】因为A(5，0)，B(2，3),所以过两点的直线斜率为,所以倾斜角为.应选：D.【点睛】此题主要考察直线倾斜角的求解,明确直线和倾斜角的关系是求解此题的关键,侧重考察数学运算的核心素养.过点且与直线垂直，那么l的方程为〔〕A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析(fēnxī)】根据所求直线与直线垂直,可以设出直线,结合所过点可得. 【详解】因为直线l 与直线2340x y -+=垂直, 所以设直线,因为直线l 过点(1,2)-, 所以,即方程为3210x y ++=.应选：C.【点睛】此题主要考察两直线的位置关系，与直线平行的直线一般可设其方程为；与直线0ax by c垂直的直线一般可设其方程为.3.一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，那么它与另一条( ) A. 相交 B. 异面C. 相交或者异面D. 平行【答案】C 【解析】 如下列图所示,三条直线平行,与异面,而与d 异面,与d 相交,应选C.4. 不在3x+2y＞3表示的平面(píngmiàn)区域内的点是〔〕A. 〔0，0〕B. 〔1，1〕C. 〔0，2〕D. 〔2，0〕【答案】A【解析】试题分析：将各个点的坐标代入，判断不等式是否成立，可得结论．解：将〔0，0〕代入，此时不等式3x+2y＞3不成立，故〔0，0〕不在3x+2y＞3表示的平面区域内，将〔1，1〕代入，此时不等式3x+2y＞3成立，故〔1，1〕在3x+2y＞3表示的平面区域内，将〔0，2〕代入，此时不等式3x+2y＞3成立，故〔0，2〕在3x+2y＞3表示的平面区域内，将〔2，0〕代入，此时不等式3x+2y＞3成立，故〔2，0〕在3x+2y＞3表示的平面区域内，应选A．考点：二元一次不等式〔组〕与平面区域．M(-2，1，3)关于坐标平面xOz的对称点为A，点A关于y轴的对称点为B，那么|AB|=( )A. 2B.C. D. 5【答案(dá àn)】B【解析】【分析】先根据对称逐个求出点的坐标,结合空间中两点间的间隔公式可求.【详解】因为点M(-2，1，3)关于坐标平面xOz的对称点为A,所以,因为点A关于y轴的对称点为B,所以,所以.应选：B.【点睛】此题主要考察空间点的对称关系及两点间的间隔公式,明确对称点间坐标的关系是求解的关系,侧重考察直观想象和数学运算的核心素养.6.如图，在长方体中，M，N分别是棱BB1，B1C1的中点，假设∠CMN=90°，那么异面直线AD1和DM所成角为〔〕A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案(dá àn)】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系，结合，求出的坐标，利用向量夹角公式可求. 【详解】以为坐标原点,所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系,如图,设,那么,,,因为90CMN ∠=︒,所以,即有.因为,所以,即异面直线和所成角为.应选：D.【点睛】此题主要考察异面直线所成角的求解，异面直线所成角主要利用几何法和向量法，几何法侧重于把异面直线所成角平移到同一个三角形内，结合三角形知识求解；向量法侧重于构建坐标系，利用向量夹角公式求解.M ，N 在圆x 2+y 2+kx -2y =0上，且关于(guānyú)直线y =kx +1对称，那么k =〔 〕A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】 【分析】根据圆的对称性可知，直线y =kx +1一定经过圆心，从而可求. 【详解】由题意可知圆心,因为点M ,N 在圆x 2+y 2+kx -2y =0上,且关于直线y =kx +1对称,所以直线y =kx +1一定经过圆心,所以有,即.应选：A.【点睛】此题主要考察利用圆的性质求解参数，假设圆上的两点关于某直线对称，那么直线一定经过圆心，侧重考察直观想象和数学运算的核心素养. ，是两个不同的平面，l ，是两条不同的直线，且，〔 〕A. 假设，那么B. 假设αβ⊥，那么C. 假设，那么D. 假设//αβ，那么【答案】A 【解析】试题分析：由面面垂直的断定定理：假如一个平面经过另一平面的一条垂线，那么两面垂直，可得l β⊥，l α⊂ 可得αβ⊥考点：空间线面平行垂直的断定与性质P 到点A (6，0)的间隔(jiàn gé) 是到点B (2，0)的间隔 的倍，那么动点P 的轨迹方程为〔 〕A. (x+2)2+y2=32B. x2+y2=16C. (x-1)2+y2=16D. x2+(y-1)2=16【答案】A【解析】【分析】先设出动点P的坐标，根据条件列出等量关系，化简可得.【详解】设,那么由题意可得,即,化简可得.应选：A.【点睛】此题主要考察轨迹方程的求法,建系,设点,列式,化简是这类问题的常用求解步骤,侧重考察数学运算的核心素养.与曲线有公一共点，那么b的取值范围是〔〕A.B.C.D.【答案】B【解析(jiě xī)】【分析】先作出曲线234y x x =--的图形,结合图形可求b 的取值范围. 【详解】因为234y x x =--,所以,如图,观察图形可得,直线过点及与半圆相切时可得b 的临界值,由22(2)(3)4-+-=x y 与2y x b =+相切可得,所以b 的取值范围是[125,3]--. 应选：B.【点睛】此题主要考察利用直线与圆的位置关系求解参数，准确作图是求解此题的关键，注意曲线是半圆,侧重考察直观想象和数学运算的核心素养.二、填空题(本大题一一共7小题，单空题每一小题4分，多空题每一小题6分，一共36分)，直线.假设直线的倾斜角为，那么a =_________;假设，那么1l ，之间的间隔 为_____.【答案】 (1). 1 (2).【解析】 【分析】利用(lìyòng)直线1l 的倾斜角和斜率的关系可求a ；根据两条直线平行可得a ，再结合平行直线间的间隔 公式可求. 【详解】因为直线1l 的倾斜角为4π,所以所以它的斜率为1,即;因为12l l //，所以,即,所以1l ，2l 之间的间隔 为.故答案为：1；22.【点睛】此题主要考察直线的倾斜角与方程的关系，平行直线间的间隔 ，明确斜率和直线倾斜角的关系是求解的关键，两条直线平行的条件使用是考虑的方向，侧重考察数学运算的核心素养.C :x 2+y 2-8x -2y =0的圆心坐标是____;关于直线l :y =x -1对称的圆C '的方程为_.【答案】 (1). (4，1) (2). (x -2)2+(y -3)2=17 【解析】 【分析】根据圆的一般式方程和圆心的关系可求，先求解对称圆的圆心，结合对称性，圆的半径不变可得对称圆的方程.【详解】由圆的一般式方程可得圆心坐标,半径;设(4,1)关于直线l 的对称点为,那么,解得,所以圆关于直线l 对称的圆的方程为.故答案为：(4,1)；22(2)(3)17x y -+-=.【点睛】此题主要考察利用圆的一般式方程求解圆心，半径；点关于直线(zhíxiàn)对称的问题一般是利用垂直关系和中点公式建立方程组求解，侧重考察数学运算的核心素养.xOy 中，直线l :mx -y -2m -1=0(m ∈R )过定点__，以点(1，0)为圆心且与l 相切的所有圆中，半径最大的圆的HY 方程为_.【答案】 (1). (2，-1) (2). (x -1)2+y 2=2 【解析】 【分析】先整理直线的方程为,由可得定点;由于直线过定点,所以点(1，0)为圆心且与l 相切的所有圆中,最大半径就是两点间的间隔 .【详解】因为,由2010x y -=⎧⎨+=⎩可得,所以直线l 经过定点(2,1)-;以点为圆心且与l 相切的所有圆中,最大圆的半径为,所以所求圆的HY 方程为.故答案为：(2,1)-;22(1)2x y -+=.【点睛】此题主要考察直线过定点问题和圆的方程求解，直线恒过定点问题一般是整理方程为，由且0ax by c可求.x ，y 满足约束条件，那么目的函数的最小值为_____ ;假设目的函数z =ax +2y 仅在点(1，0)处获得最小值，那么a 的取值范围是_.【答案(dá àn)】 (1). (2).【解析】【分析】作出可行域，平移目的函数，可得最小值；根据可行域形状，结合目的函数仅在点(1，0)处获得最小值可得a的取值范围.【详解】作出可行域,如图,由图可知,平移〔图中虚线〕,12z x y=-在点处取到最小值,联立可得,所以12z x y=-的最小值为52-.当时,如图,由图可知,当斜率时,即时,符合要求；当时,显然符合要求；当时,如图,由图可知(kě zhī),当斜率时,即时,符合要求；综上可得,a 的取值范围是42a -<<. 故答案为：52-；42a -<<. 【点睛】此题主要考察线性规划求解最值和利用最值点求解参数，准确作出可行域是求解的关键，侧重考察直观想象和数学运算的核心素养.15.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1－BD －A 的正切值等于 【答案】2【解析】 如图，连接交于点，连接．因为1111ABCD A B C D -是正方体，所以面，从而可得，所以面，从而有，所以是二面角的平面角．设正方体的边长为1，那么，所以在中有m ，n 是两条不同的直线，α，，是三个不同的平面，给出如下命题:①假设α⊥β，m //α，那么m ⊥β;②假设(jiǎshè)α⊥γ，β⊥γ，那么α//β;③假设α⊥β，m⊥β，，那么m//α;④假设α⊥β，α∩β=m，，n⊥m，那么n⊥β.其中正确的选项是_.【答案】③④【解析】【分析】⊄，那么m//α；对于①②，结合反例可得不正确；对于③，假设α⊥β，m⊥β，mα对于④，由面面垂直的性质定理可得正确.详解】对于①, α⊥β，m//α，可得直线m可能与平面β平行，相交，故不正确；对于②，α⊥γ，β⊥γ，可得平面可能平行和相交，故不正确；对于③，α⊥β，m⊥β，可得直线m可能与平面α平行或者者直线m在平面内，由于⊄，所以，故正确；mα对于④，由面面垂直的性质定理可得正确.故答案为：③④.【点睛】此题主要考察空间位置关系的断定，构建模型是求解此类问题的关键，考虑不全面是易错点，侧重考察直观想象和逻辑推理的核心素养.17.将一张坐标纸折叠一次，使得点P(1，2)与点Q(-2，1)重合，那么直线y=x+4关于折痕对称的直线为_.【答案】x+7y-20=0【解析】【分析】根据(gēnjù)点P (1，2)与点Q (-2，1)重合可得折痕所在直线的方程，然后结合直线关于直线对称可求.【详解】因为点P (1，2)与点Q (-2，1)重合，所以折痕所在直线是的中垂线，其方程为； 联立可得交点. 在直线取一点，设(0,4)A 关于折痕的对称点为， 那么，解得； 由直线两点式方程可得，整理得.故答案为：7200x y +-=.【点睛】此题主要考察直线关于直线的对称问题，相交直线的对称问题一般转化为点关于直线的对称问题，利用垂直关系和中点公式可求，侧重考察数学运算的核心素养.三、解答题(本大题一一共5小题，一共74分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤)l 在两坐标轴上的截距相等，且点P (2，3)到直线l 的间隔 为2，求直线l 的方程.【答案】直线l 的方程为5x -12y =0或者x +y -5+2=0或者x +y -5-22【解析】【分析】分为直线经过原点和直线不过原点两种情况分别求解，可以采用待定系数法，结合点到直线的间隔 可求.【详解(xiánɡ jiě)】解:由题意知，假设截距为0，可设直线1的方程为y=kx.由题意知，解得k=.假设截距不为0，设所求直线l的方程为x+y-a=0.由题意知，解得a=5-22或者a=5+22.故所求直线l的方程为5x-12y=0，x+y-5+22=0或者x+y-5-22=0【点睛】此题主要考察直线方程的求解，求解直线方程时一般是选择适宜的方程形式，利用待定系数法建立方程〔组〕进展求解，侧重考察数学运算的核心素养.19.在平面直角坐标系中，点A(-4，2)是Rt△的直角顶点，点O是坐标原点，点B在x轴上.(1)求直线AB的方程;(2)求△OAB的外接圆的方程.【答案】〔1〕2x-y+10=0.〔2〕x2+y2+5x=0.【解析】【分析】(1)利用可得的斜率，结合点斜式可求方程；(2)先确定B(-5，0)，结合直角三角形的特征可知△OAB的外接圆是以为直径的圆，易求圆心和半径得到方程.【详解】解:(1)∵点A(-4，2)是的直角顶点,∴OA⊥AB，又,,∴直线(zhíxiàn)AB的方程为y-2=2(x+4)，即2x-y+10=0.(2)由(1)知B(-5，0),的直角顶点,∵点A(-4，2)是Rt OAB∴△OAB的外接圆是以OB中点为圆心，为半径的圆,又OB中点坐标为，∴所求外接圆方程是，即x2+y2+5x=0.【点睛】此题主要考察利用直线垂直求解直线方程和求解圆的方程，圆的方程求解的关键是确定圆心和半径，侧重考察数学运算的核心素养.20.如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正△PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点.(1)求证:PA//平面MBD.(2)试问:在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB?假设存在，试指出点N的位置，并证明你的结论;假设不存在，请说明理由.【答案】〔1〕证明见解析(jiě xī);〔2〕存在点N，当N为AB中点时，平面PQB⊥平面PNC，证明见解析.【解析】【分析】(1) 连接AC交BD于点O,证明MO//PA，可得PA//平面MBD；(2)先利用正方形ABCD所在平面与正△PAD所在平面互相垂直可得PQ⊥平面ABCD，结合PQ⊥NC，可得NC⊥平面PQB.【详解】解:(1)证明:连接AC交BD于点O，连接MO，.由正方形ABCD知O为AC的中点，∵M为PC的中点，∴MO//PA.∵平面MBD，平面MBD，∴PA//平面MBD.(2)存在点N，当N为AB中点时，平面PQB⊥平面PNC，证明如下:∵四边形ABCD是正方形，Q为AD的中点，∴BQ⊥NC.∵Q为AD的中点，△PAD为正三角形(zhènɡ sān jiǎo xínɡ)，∴PQ⊥AD又∵平面PAD⊥平面ABCD，且面PAD∩面ABCD=AD，平面PAD∴PQ⊥平面ABCD.又∵平面ABCD，∴.PQ⊥NC.又，∴NC⊥平面PQB.∵NC 平面PCN，∴平面PCN⊥平面PQB.【点睛】此题主要考察线面平行的断定和探究平面与平面垂直，线面平行一般转化为线线平行或者者面面平行来证明，面面垂直一般转化为线面垂直来证明，侧重考察直观想象和逻辑推理的核心素养.M:x2+y2-2y-4=0与圆N:x2+y2-4x+2y=0.(1)求证:两圆相交;(2)求两圆公一共弦所在的直线方程及公一共弦长;(3)在平面上找一点P，过点P引两圆的切线并使它们的长都等于1.【答案】〔1〕证明见解析;〔2〕直线方程x-y-1=0，公一共弦长为;〔3〕点P坐标为2，2)或者2，-2).【解析】【分析】(1)先求两圆的圆心距和半径，结合圆心距与半径间的关系可证；(2)联立两圆方程可得两圆公一共弦所在的直线(zhíxiàn)方程，结合勾股定理可得公一共弦长；(3)结合切线长与半径可得点到圆心的间隔，建立方程组可求P的坐标. 【详解】解:(1)由己知得圆M:x2+(y-1)2=5，圆N:(x-2)2+(y+1)2=5,圆心距,∴,∴两圆相交.(2)联立两圆的方程得方程组两式相减得x-y-1=0，此为两圆公一共弦所在直线的方程.法一:设两圆相交于点A，B，那么A，B两点满足方程组2222240420 x y yx y x y⎧+--=⎨+-+=⎩解得或者所以，即公一共弦长为23. 法二:，得x2+(y-1)2=5，其圆心坐标为(0，1)，半径长r=，圆心到直线x-y-1=0的间隔为设公一共弦长为2l，由勾股定理得，即，解得，故公一共弦长.(3)∵两圆半径均为5，过P点所引的两条切线长均为1,∴点P到两圆心的间隔,设P点坐标(zuòbiāo)为(x，y)，那么解得或者.点P坐标为或者.【点睛】此题主要考察两圆的位置关系及公一共弦的问题，两圆位置关系的断定主要是根据圆心距和两圆半径间的关系，公一共弦长通常利用勾股定理求解，侧重考察逻辑推理和数学运算的核心素养.22.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点.〔1〕求证：PB⊥D M；〔2〕求CD与平面ADMN所成角的正弦值．【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕【解析】【详解】〔1〕证明：建立坐标系，如图设BC=1P〔0，0，2〕 B〔2，0，0〕 D〔0，2，0〕 C〔2，1，0〕 M〔1，12，1〕∴PB⊥DM〔2〕设平面(píngmiàn)ADMN的法向量取z=-1 ，设直线CD与平面ADMN成角为θ内容总结（1）〔2〕直线方程x-y-1=0，公一共弦长为。
【必考题】高二数学上期中试题(含答案)(1)
【必考题】高二数学上期中试题(含答案)(1)一、选择题1．民间有一种五巧板拼图游戏.这种五巧板（图1）可以说是七巧板的变形，它是由一个正方形分割而成（图2），若在图2所示的正方形中任取一点，则该点取自标号为③和④的巧板的概率为（ ）A ．518B ．13C ．718D ．492．为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据： 天数x （天） 3 4 56 繁殖个数y （千个）2.5344.5由最小二乘法得y 与x 的线性回归方程为ˆˆ0.7yx a =+，则当7x =时，繁殖个数y 的预测值为（ ） A ．4.9 B ．5.25 C ．5.95 D ．6.153．设,m n 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则方程20x mx n ++=有实根的概率为（ ） A ．1936B ．1136C ．712D ．124．“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大. 假设李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =；同时，有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1.现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究项目M ，设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，若21P P ≥，则n 的最小值是( ) A ．3B ．4C ．5D ．65．从区间[]0,2随机抽取4n 个数1232,,,...,n x x x x ，1232,,,...,n y y y y 构成2n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，()22,n n x y ，其中两数的平方和小于4的数对有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率疋的近似值为（ ）A ．2m nB ．2mnC ．4m nD ．16m n6．在去年的足球甲A 联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4，你认为下列说法中正确的个数有（ ）①平均来说一队比二队防守技术好；②二队比一队防守技术水平更稳定；③一队防守有时表现很差，有时表现又非常好；④二队很少不失球. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．AQI 即空气质量指数，AQI 越小，表明空气质量越好，当AQI 不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某市3月1日到12日AQI 的统计数据.则下列叙述正确的是（ ）A ．这12天的AQI 的中位数是90B ．12天中超过7天空气质量为“优良”C ．从3月4日到9日，空气质量越来越好D ．这12天的AQI 的平均值为1008．如图所示的程序框图的算法思路源于世界数学名题“3x ＋1问题”．执行该程序框图，若输入的N ＝3，则输出的i ＝A ．9B ．8C ．7D ．69．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺数为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．1610．用秦九韶算法求多项式()54227532f x x x x x x =+++++在2x =的值时，令05v a =，105v v x =+，…，542v v x =+，则3v 的值为（ ）A ．83B ．82C ．166D ．16711．某校高一1班、2班分别有10人和8人骑自行车上学，他们每天骑行路程（单位：千米）的茎叶图如图所示：则1班10人每天骑行路程的极差和2班8人每天骑行路程的中位数分别是 A ．14，9.5B ．9，9C ．9，10D ．14，912．如图所示是为了求出满足122222018n +++>L 的最小整数n ，和两个空白框中，可以分别填入（ ）A ．2018S >？，输出1n -B ．2018S >？，输出nC ．2018S ≤？，输出1n -D ．2018S ≤？，输出n二、填空题13．执行如图所示的程序框图，则输出的m 的值为____.x的平均数为90，则该组数据的方差为______．14．已知一组数据：87,,90,89,93b ，三内角A，B，15．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若3C成等差数列，则该三角形的外接圆半径等于______________；16．在长为10cm的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面49cm之间的概率为__________．积介于225cm与217．根据下图所示的流程图，回答下面问题：若a＝50.6，b＝0.65，c＝log0.65，则输出的数是________．18．执行如图所示的程序框图，若输入的A，S分别为0,1，则输出的S=____________．19．计算机执行如图所示的程序后，输出的结果是__________．20．某学生每次投篮的命中概率都为40%．现采用随机模拟的方法求事件的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值随机数，制定1、2、3、4表示命中，5、6、7、8、9、0表示不命中；再以每3个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生如下20组随机数：989 537 113 730 488 556 027 393 257 431 683 569 458 812 932 271 925 191 966 907，据此统计，该学生三次投篮中恰有一次命中的概率约为__________．三、解答题21．某地实施乡村振兴战略，对农副产品进行深加工以提高产品附加值，已知某农产品成本为每件3元，加工后的试营销期间，对该产品的价格与销售量统计得到如下数据： 单价x （元）66.2 6.4 6.6 6.8 7 销量y （万件） 807473706558数据显示单价x 与对应的销量y 满足线性相关关系．（1）求销量y （件）关于单价x （元）的线性回归方程ˆˆˆybx a =+；（2）根据销量y 关于单价x 的线性回归方程，要使加工后收益P 最大，应将单价定为多少元？（产品收益=销售收入-成本）．参考公式：ˆb=()121()()ni i i n i i x x y y x x ==---∑∑=1221ni i i n i i x y nxy x nx==--∑∑，ˆˆay bx =- 22．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数， 得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取 2 组，用剩下的 4 组数据求 线性回归方程，再用被选取的 2 组数据进行检验； （Ⅰ）求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率；（Ⅱ）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出 y 关于x 的线性回归方程 ；（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人， 则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？附：对于一组数据11(,)u v ，2,2)u v （ ，…，（,)n n u v ，其回归直线V u αβ=+ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为i 1i i i 12i n()(?)u )ˆ(n u u v uβ==∑-=∑-nn ，ˆ-ˆu ανβ= . 23．现从某医院中随机抽取了7位医护人员的关爱患者考核分数(患者考核:10分制)，用相关的特征量y 表示；医护专业知识考核分数(试卷考试:100分制),用相关的特征量x 表示，数据如下表:（1）求y 关于x 的线性回归方程(计算结果精确到0.01)；（2）利用(1)中的线性回归方程，分析医护专业考核分数的变化对关爱患者考核分数的影响，并估计当某医护人员的医护专业知识考核分数为95分时，他的关爱患者考核分数(精确到0.1).参考公式及数据:回归直线方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 121(x x)(y y)ˆˆˆ,(x x)niii nii ba y bx ==--==--∑∑，其中72193,9.3,()()9.9i ii x y x x y y ===--=∑. 24．某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲、乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在(]195,210内，则为合格品，否则为不合格品．如图是甲流水线样本的频数分布表和乙流水线样本的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，估计乙流水线生产的产品该质量指标值的中位数； （2）若将频率视为概率，某个月内甲、乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲、乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？（3）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”？甲流水线 乙流水线 合计合格品 不合格品 合计附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：()20P K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82825．某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车，调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：[)[)[)[)[)50,100,100,150,150,200,200,250,250,300，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中x 的值及续驶里程在[)200,300的车辆数；（2）若从续驶里程在[)200,300的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程在[)200,250内的概率.26．某企业生产一种产品，质量测试分为：指标不小于90为一等品，不小于80小于90为二等品，小于80为三等品，每件一等品盈利50元，每件二等品盈利30元，每件三等品亏损10元，现对学徒工甲和正式工人乙生产的产品各100件的检测结果统计如下： 测试指标 [70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)甲 5 15 35 35 7 3 乙3720402010根据上表统计得到甲、乙生产产品等级的频率分别估计为他们生产产品等级的概率． （1）求出乙生产三等品的概率；（2）求出甲生产一件产品，盈利不小于30元的概率；（3）若甲、乙一天生产产品分别为40件和30件，估计甲、乙两人一天共为企业创收多少元？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】分别求出③和④的巧板的面积，根据几何概型的概率关系转化为面积比. 【详解】设巧板①的边长为1，则结合图2可知大正方形的边长为3， 其面积239S ==.其中巧板③是底边长为2的等腰直角三角形，其面积为112112S =⨯⨯=的正方形 与腰长为1的等腰直角三角形的组合图形，其面积为22151122S ⨯⨯+==，故所求的概率12718S S P S +==. 故选:C . 【点睛】本题考查几何概型的概率求法，转化为面积比，属于中档题 .2．B解析：B 【解析】 【分析】根据表格中的数据，求得样本中心为97(,)22，代入回归直线方程，求得ˆ0.35a =，得到回归直线的方程为ˆ0.70.35yx =+，即可作出预测，得到答案． 【详解】由题意，根据表格中的数据，可得34569 2.534 4.57,4242x y ++++++====， 即样本中心为97(,)22，代入回归直线方程ˆˆ0.7yx a =+，即79ˆ0.722a=⨯+， 解得ˆ0.35a=，即回归直线的方程为ˆ0.70.35y x =+， 当7x =时，ˆ0.770.35 5.25y=⨯+=，故选B ． 【点睛】本题主要考查了回归直线方程的应用，其中解答中熟记回归直线方程的特征，求得回归直线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3．A解析：A 【解析】由题意知本题是一个等可能事件的概率， 试验发生包含的事件数是6×6=36种结果， 方程x 2+mx +n =0有实根要满足m 2−4n ⩾0， 当m =2，n =1 m =3，n =1，2 m =4，n =1，2，3，4 m =5，n =1，2，3，4，5，6， m =6，n =1，2，3，4，5，6 综上可知共有1+2+4+6+6=19种结果 ∴方程x 2+mx +n =0有实根的概率是1936； 本题选择A 选项.4．B解析：B 【解析】 【分析】设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，则021(0.9)n n P C =-，由21P P …，得10.90.3n-…， 由此能求出n 的最小值． 【详解】Q 李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =，有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1， 现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究M ， 设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，则021(0.9)n nP C =-， 21P P Q …，10.90.3n∴-…， 解得4n ≥．n ∴的最小值是4．故选B ． 【点睛】本题考查实数的最小值的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率的计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．B解析：B 【解析】 【分析】根据随机模拟试验的的性质以及几何概型概率公式列方程求解即可. 【详解】 如下图：由题意，从区间[]0,2随机抽取的2n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，()22,n n x y ，落在面积为4的正方形内，两数的平方和小于4对应的区域为半径为2的圆内，满足条件的区域面积为2124ππ⋅=，所以由几何概型可知42π=m n ，所以2π=m n. 故选：B【点睛】本题主要考查几何概型，属于中档题.6．D解析：D 【解析】在（1）中，一队每场比赛平均失球数是1.5，二队每场比赛平均失球数是2.1， ∴平均说来一队比二队防守技术好，故（1）正确；在（2）中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，∴二队比一队技术水平更稳定，故（2）正确；在（3）中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，∴一队有时表现很差，有时表现又非常好，故（3）正确；在（4）中，二队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4， ∴二队很少不失球，故（4）正确. 故选：D ．7．C解析：C 【解析】这12天的AQI 指数值的中位数是959293.52+= ，故A 不正确；这12天中，空气质量为“优良”的有95，85，77，67，72，92共6天，故B 不正确；；从4日到9日，空气质量越来越好，，故C 正确；这12天的AQI 指数值的平均值为110，故D 不正确. 故选 C ．8．B解析：B 【解析】模拟执行程序，当3,1n i == ，n 是奇数，得10,2n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，5,3n i == ，不满足条件1n =，满足条件n 是奇数，16,4n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，8,5n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，4,6n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，2,7n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，1,8n i ==，满足条件1n =，输出8i =，选B.点睛：本题主要考查的知识点是循环结构的程序框图，当循环的次数不多或有规律时，常常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．9．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】由题意得等差数列{}n a 中258715,28a a a S ++== 求15a25855153155a a a a a ++=⇒=⇒=1774428772845412a a S a a d +=⇒⨯==⇒=∴=-= 154(154)1415415a a ∴=+-⨯=+-=，选C.10．A解析：A 【解析】 【分析】利用秦九韶算法，求解即可. 【详解】利用秦九韶算法，把多项式改写为如下形式：()((((75)3)1)1)2f x x x x x =+++++按照从里到外的顺序，依次计算一次多项式当2x =时的值：07v =172519v =⨯+= 2192341v =⨯+= 3412183v =⨯+=故选：A 【点睛】本题主要考查了秦九韶算法的应用，属于中档题.11．A解析：A 【解析】2班共有8个数据，中间两个是9和10，因此中位数为9.5，只有A 符合，故选A ．（1班10个数据最大为22，最小为8，极差为14）．12．A解析：A 【解析】 【分析】通过要求122222018n +++>L 时输出且框图中在“是”时输出确定“”内应填内容；再通过循环体确定输出框的内容． 【详解】因为要求122222018n +++>L 时输出，且框图中在“是”时输出， 所以“”内输入“2018S >？”，又要求n 为最小整数， 所以“”中可以填入输出1n -，故选：A ． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题．二、填空题13．【解析】【分析】执行如图所示的程序框图逐次计算根据判断条件即可求解得到答案【详解】执行如图所示的程序框图可得：第1次循环满足判断条件；第2次循环满足判断条件；第3次循环满足判断条件；第4次循环满足判 解析：6【解析】 【分析】执行如图所示的程序框图，逐次计算，根据判断条件，即可求解，得到答案. 【详解】执行如图所示的程序框图，可得：0,1S m ==， 第1次循环，满足判断条件，10122,2S m =+⨯==； 第2次循环，满足判断条件，222210,3S m =+⨯==； 第3次循环，满足判断条件，3103234,4S m =+⨯==；第4次循环，满足判断条件，4344298,5S m =+⨯==； 第5次循环，满足判断条件，59852258,6S m =+⨯==； 不满足判断条件，此时输出6m =. 故答案为6. 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中根据给定的程序框图，逐次计算，结合判断条件求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14．【解析】该组数据的方差为 解析：4【解析】8790899390591x x ++++=⨯∴=该组数据的方差为222221[(8790)(9190)(9090)(8990)(9390)]45-+-+-+-+-=15．1【解析】ABC 成等差数列所以解析：1 【解析】A ，B ，C成等差数列，所以2213sin sin3b B R R B ππ=∴===⇒= 16．【解析】若以线段为边的正方形的面积介于与之间则线段的长介于与之间满足条件的点对应的线段长为而线段的总长度为故正方形的面积介于与之间的概率故答案为：解析：15【解析】若以线段AP 为边的正方形的面积介于225cm 与249cm 之间， 则线段AP 的长介于5cm 与7cm 之间， 满足条件的P 点对应的线段长为2cm ， 而线段AB 的总长度为10cm ，故正方形的面积介于225cm 与249cm 之间的概率21105P ==． 故答案为：15. 17．6【解析】因为所以输出解析：6 【解析】因为a b c >>，所以输出50.6.a =18．36【解析】执行程序可得；不满足条件执行循环体不满足条件执行循环体满足条件推出循环输出故答案为【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图属于中档题解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要解析：36 【解析】执行程序，可得0A =，1S =； 1k =，011A =+=，111S =⨯=，不满足条件4k >，执行循环体，3k =，134A =+=，144S =⨯=，不满足条件4k >，执行循环体，5k =，459A =+=，4936S =⨯=，满足条件4k >，推出循环，输出36S =,故答案为36．【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.19．3【解析】根据伪代码所示的顺序程序中各变量的值如下:循环前:n=5s=0;第一次循环:s=5n=4;第二次循环:s=9n=3;输出此时的n 值为3故填3解析：3 【解析】根据伪代码所示的顺序,程序中各变量的值如下: 循环前:n=5,s=0; 第一次循环:s=5,n=4; 第二次循环:s=9,n=3; 输出此时的n 值为3,故填3.20．【解析】这20组随机数中该学生三次投篮中恰有一次命中的有537730488027257683458925共8组则该学生三次投篮中恰有一次命中的概率约为故填 解析：25【解析】这20组随机数中, 该学生三次投篮中恰有一次命中的有537,730,488,027,257,683,458,925共8组,则该学生三次投篮中恰有一次命中的概率约为82205=,故填25.三、解答题21．（1）ˆ20200yx =-+；（2）6.5元. 【解析】 【分析】（1）由题意计算平均数和回归系数，即可写出回归直线方程；（2）由题意写出收益函数P 的解析式，求出P 取最大值时对应的x 值即可． 【详解】解：（1）由题意得，x =16×（6+6.2+6.4+6.6+6.8+7）=6.5， y =16×（80+74+73+70+65+58）=70； 则()61()5 1.20.30 1.5614iii x x y y =--=------=-∑，621()0.250.090.010.010.090.250.7ii x x =-=+++++=∑；所以142007ˆ.b-==- ，() 7020 6.5200ˆˆa y bx =-=--⨯= 所以所求回归直线方程为20200ˆy x =-+． （2）由题意可得，()()()3202ˆ003P yx x x =-=-+-， 整理得P =-20（x -6.5）2+245， 当x =6.5时，P 取得最大值为245；所以要使收益达到最大，应将价格定位6.5元． 【点睛】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了计算与推理能力，是基础题． 22．(1)1().3P A =(2)183077y x =-.(3)小组所得线性回归方程是理想的. 【解析】 【分析】 【详解】（Ⅰ）设抽到相邻两个月的数据为事件A ，因为从6组数据种选取2组数据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两个月的数据的情况有5种，所以()51.153P A == （Ⅱ）由数据求得11,24x y ==由公式求得187b =，再由a y bx =-求得307a =所以y 关于x 的线性回归方程为183077y x =- （Ⅲ）当10x =时，1501504,222777y =-=< 同样，当6x =时，78786,122777y =-=< 所以，该小组所得线性回归方程是理想的.点睛：求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算211,,,n niiii i x y x x y==∑∑的值；③计算回归系数$,a b$；④写出回归直线方程为$ˆy bxa =+$； 回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.23．(1) ˆ0.12 1.93yx =-. (2) 随着医护专业知识的提高，个人的关爱患者的心态会变得更温和，耐心。
高二上学期数学期中试题(含答案)
高二（上）期中数学试卷第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（每小题4分，共12小题，共48分）1.已知数列{n a }的通项公式是n a ＝252+n n (n ∈*N )，则数列的第5项为( ） A.110 B.16 C.15 D.12 2.在△ABC 中，a b c 、、分别是三内角A B C 、、的对边, ︒=︒=45,75C A ,2b =,则此三角形的最小边长为（ ）A ．46B ．322C ．362D ． 42 3(理)．在等差数列{n a }中，已知,21=a ,1332=+a a 则654a a a ++等于（ ）A.40B.42C.43D.453（文）．已知等差数列a n 中，a 2+a 4=6，则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=（ ） A ． 30 B ． 15 C ． D ．4. 下列说法中正确的是( )A ．若ac ＞bc ，则a ＞bB ．若a 2＞b 2，则a ＞bC ．若1a ＞1b ，则a ＜bD ．若a ＜b ，则a ＜b5. 在ABC ∆中，A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知bc c b a ++=222，则A 等于（ ）A. 120B. 60C. 45D. 306.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5418a a -=，则8S 等于（ ）A ．36B ．54C ．72D ．187（理）. 不等式0442>-+-x x 的解集是（ ）A.RB.ΦC.),0(+∞D.)0,(-∞7（文）.不等式x （2﹣x ）≤0的解集为（ ）A ． {x|0≤x≤2}B ． {x|x≤0，或x≥2}C ． {x|x≤2}D ．{x|x≥0} 8. 在等比数列{n a }中，若2101-=⋅a a ，则74a a ⋅的值为（ ）A.-4B.-2C.4D.29. 已知等比数列{a n }的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为（ ）A ．15B ．17C ．19D ．2110.在一座20m 高的观测台测得对面一水塔塔顶得仰角为 60，塔底的俯角为 45，那么这座水塔的高度是（ ）mA.)331(20+ B.)26(20+ C.)26(10+ D. )31(20+ 11（理）. 下列函数中最小值为4的是 （ ）A. x x y 4+= B.x x y sin 4sin += （0﹤x ﹤π） C. x x y -⋅+=343 D.10log 4lg x x y += 11（文）．设x ＞1，则x+的最小值是（ ） A ． 4 B ． 5 C ． 6 D ． 712．设x ，y ∈R 且，则z=x+2y 的最小值等于（ ）A ． 2B ． 3C ． 5D ．9第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（每小题4分，共4小题，共16分）13（理）.在等差数列{}n a 中，11=a ，2=d ，9=n S ，则项数n=13（文）．在等差数列{a n }中，a 3=7，a 5=a 2+6，则a 6=14．在等比数列{a n }中，若a 3=2，a 6=2，则公比q= ．15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B＋cos B ＝2，则角A 的大小为________16．若角α、β满足，则α﹣β的取值范围是三、解答题（共5小题，共56分）17. （理、10分）在ABC ∆中，A B 、为锐角，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且21a b -=-,510sin ,sin 510A B == （1）求b a ,的值；（2）求角C 和边c 的值。
【典型题】高二数学上期中试卷附答案
【典型题】高二数学上期中试卷附答案一、选择题1．执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( )A ．203B ．72C ．165D ．1582．民间有一种五巧板拼图游戏.这种五巧板（图1）可以说是七巧板的变形，它是由一个正方形分割而成（图2），若在图2所示的正方形中任取一点，则该点取自标号为③和④的巧板的概率为（ ）A ．518B ．13C ．718D ．493．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则 A ．270,75x s =<B ．270,75x s =>C ．270,75x s ><D ．270,75x s <>4．一组数据如下表所示：x1 2 3 4y e3e 4e 6e已知变量y 关于x 的回归方程为+0.5ˆbx ye =，若5x =，则预测y 的值可能为( ) A ．5eB ．112eC ．132eD ．7e5．在本次数学考试中，第二大题为多项选择题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，小明因某原因网课没有学习，导致题目均不会做，那么小明做一道多选题得5分的概率为（ ） A ．115B ．112C ．111D ．146．如图所示的程序框图的算法思路源于世界数学名题“3x ＋1问题”．执行该程序框图，若输入的N ＝3，则输出的i ＝A ．9B ．8C ．7D ．67．从一批产品中取出三件产品，设事件A 为“三件产品全不是次品”，事件B 为“三件产品全是次品”，事件C 为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ） A ．事件A 与C 互斥 B ．事件B 与C 互斥 C ．任何两个事件均互斥D ．任何两个事件均不互斥8．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率是( ) ． A ．12B ．13C ．23D ．19．某校高一1班、2班分别有10人和8人骑自行车上学，他们每天骑行路程（单位：千米）的茎叶图如图所示：则1班10人每天骑行路程的极差和2班8人每天骑行路程的中位数分别是 A ．14，9.5B ．9，9C ．9，10D ．14，910．从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．4n mB ．2n mC ．4mnD ．2mn11．已知函数()cos3xf x π=，根据下列框图，输出S 的值为( )A ．670B ．16702C ．671D ．67212．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3二、填空题13．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为___________．14．为了防止职业病，某企业采用系统抽样方法，从该企业全体1200名员工中抽80名员工做体检，现从1200名员工从1到1200进行编号，在115~中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从4660~这15个数中应抽取的数是__________． 15．如图，四边形ABCD 为矩形，3AB =，1BC =，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧»DE，在DAB ∠内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________.16．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为98、63，则输出的a =_______．17．某单位为了了解用电量y （度）与气温x （℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温（如表），并求得线性回归方程ˆ360yx =-为: x c9 14 -1y 184830d不小心丢失表中数据c ，d ，那么由现有数据知3c d -____________．18．执行如图所示的程序框图，若输入的A ，S 分别为0,1，则输出的S =____________．19．已知x ，y 取值如表，画散点图分析可知y 与x 线性相关，且求得回归方程为$35y x =-，则m 的值为__________．x0 13 5 6y 1 2m 3m - 3.8 9.220．从2个黄球，3个红球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是______．三、解答题21．某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的60名学生，得到数据如下表：喜欢统计课程不喜欢统计课程合计男生201030女生102030合计303060（1）判断是否有99.5％的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关？（2）用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生作进一步调查，将这6名学生作为一个样本，从中任选3人，求恰有2个男生和1个女生的概率．下面的临界值表供参考：0.050.0250.0100.0050.0013.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++）22．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足．．的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.23．某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (1)求y关于t的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝－．24．下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.附注：参考数据：，，，≈2.646.参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：20,45的教师队伍中随机选取25．为了调查教师对教育改革认识水平，现从某市年龄在[]30,35,35,40,40,45中用100名教师，得到的频率分布直方图如图所示，若从年龄在[)[)[]分层抽样的方法选取6名教师代表．（1）求年龄在[)35,40中的教师代表人数；（2）在这6名教师代表中随机选取2名教师，求在[)35,40中至少有一名教师被选中的概率．26．某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x （单位：千万元）对年销售量y （单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用i x 与年销售量()1,2,,10i y i =L 的数据，得到散点图如图所示：（Ⅰ）利用散点图判断，y a bx =+和dy c x =⋅（其中c ，d 为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用x 和年销售量y 的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）；（Ⅱ）对数据作出如下处理：令ln i u x =，ln i y υ=，得到相关统计量的值如下表：根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，求y 关于x 的回归方程； （Ⅲ）已知企业年利润z （单位：千万元）与x ，y 的关系为27z y x e=-（其中2.71828e =L ），根据（Ⅱ）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u u u υυυL ，其回归直线u υαβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()1122211ˆnniii ii i nni i i i u u u nu u uu nuυυυυβ====---==--∑∑∑∑，ˆˆˆu αυβ=-【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：根据题意由13≤成立，则循环，即1331,2,,2222M a b n =+====;又由23≤成立，则循环，即28382,,,33323M a b n =+====;又由33≤成立，则循环，即3315815,,,428838M a b n =+====;又由43≤不成立，则出循环，输出158M =． 考点：算法的循环结构2．C解析：C 【解析】 【分析】分别求出③和④的巧板的面积，根据几何概型的概率关系转化为面积比. 【详解】设巧板①的边长为1，则结合图2可知大正方形的边长为3， 其面积239S ==.其中巧板③是底边长为2的等腰直角三角形， 其面积为112112S =⨯⨯=的正方形 与腰长为1的等腰直角三角形的组合图形，其面积为22151122S ⨯⨯+==， 故所求的概率12718S S P S +==. 故选:C .【点睛】本题考查几何概型的概率求法，转化为面积比，属于中档题 .3．A解析：A 【解析】 【分析】分别根据数据的平均数和方差的计算公式，求得2,x s 的值，即可得到答案． 【详解】由题意，根据平均数的计算公式，可得7050806070907050x ⨯+-+-==，设收集的48个准确数据分别记为1248,,,x x x L ， 则()()()()()2222212481757070706070907050x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦L ()()()2221248170707050050x x x L ⎡⎤=-+-++-+⎣⎦， ()()()()()222222124817070708070707050s x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦L ()()()222124817070701007550x x x ⎡⎤=-+-++-+<⎣⎦L ， 故275s <．选A ． 【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，数基础题．4．C解析：C 【解析】 【分析】令ln z y $=，求得,x z 之间的数据对照表，结合样本中心点的坐标满足回归直线方程，即可求得b ；再令5x =，即可求得预测值y . 【详解】将式子两边取对数，得到$ln 0.5y bx =+，令ln z y $=，得到0.5z bx =+， 根据已知表格数据，得到,x z 的取值对照表如下：12342.54x +++==，1346 3.54z +++==， 利用回归直线过样本中心点，即可得3.5 2.50.5b =+， 求得 1.2b =，则 1.20.5z x =+， 进而得到$ 1.2+0.5x y e =，将5x =代入， 解得136.52y e e ==.故选：C .【点睛】本题考查利用样本中心点坐标满足回归直线方程求参数值，以及由回归方程进行预测值得求解，属中档题.5．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意结合组合的知识可知，总的答案的个数为11个，而正确的答案只有1个，根据古典概型的计算公式，即可求得结果. 【详解】总的可选答案有：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ， ABC ，ABD ，ACD ，BCD ，ABCD ，共11个， 而正确的答案只有1个， 即得5分的概率为111p =. 故选：C. 【点睛】本题考查了古典概型的基本知识，关键是弄清一共有多少个备选答案，属于中档题.6．B解析：B 【解析】模拟执行程序，当3,1n i == ，n 是奇数，得10,2n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，5,3n i == ，不满足条件1n =，满足条件n 是奇数，16,4n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，8,5n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，4,6n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，2,7n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，1,8n i ==，满足条件1n =，输出8i =，选B.点睛：本题主要考查的知识点是循环结构的程序框图，当循环的次数不多或有规律时，常常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．7．B解析：B【解析】 【分析】根据互斥事件的定义，逐个判断，即可得出正确选项． 【详解】A 为三件产品全不是次品，指的是三件产品都是正品，B 为三件产品全是次品，C 为三件产品不全是次品，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件由此知：A 与B 是互斥事件；A 与C 是包含关系，不是互斥事件；B 与C 是互斥事件，故选B ． 【点睛】本题主要考查互斥事件定义的应用． 8．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】解：甲，乙，丙三人中任选两名代表有233C =种选法，甲被选中的情况有两种，所以甲被选中的概率23223P C ==，故选C. 9．A解析：A 【解析】2班共有8个数据，中间两个是9和10，因此中位数为9.5，只有A 符合，故选A ．（1班10个数据最大为22，最小为8，极差为14）．10．C解析：C 【解析】此题为几何概型．数对(,)i i x y 落在边长为1的正方形内，其中两数的平方和小于1的数落在四分之一圆内，概型为41m P n π==，所以4mnπ=．故选C ． 11．C解析：C 【解析】 【分析】根据框图的流程，依次计算前六次的运算结果，判断终止运行的n 值，再根据余弦函数的周期性计算即可. 【详解】由程序框图知：第一次运行()11cos 32f π==，10.1122S n =+=+=； 第二次运行()212cos32f π==-，12S =，213n =+=， 第三次运行()3cos 1f π==-，12S =，314n =+=， 第四次运行()414cos 32f π==-，12S =，415n =+=， 第五次运行()515cos32f π==，1S =，6n =， 第六次运行()6cos21f π==，2S =，7n =， 直到2016n =时，程序运行终止，Q 函数cos3n y π=是以6为周期的周期函数，201563355=⨯+， 又()()2016cos336cos 21381f ππ==⨯=，∴若程序运行2016次时，输出2336672S =⨯=，∴程序运行2015次时，输出33621671S =⨯-=．故选C ． 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．12．D解析：D 【解析】试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.考点：众数、中位数、平均数、方差二、填空题13．【解析】从分别写有12345的5张卡片中随机抽取1张放回后再随机抽取1张基本事件总数n=5×5=25抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有： （21）（31）（32）（41）解析：25【解析】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张， 基本事件总数n=5×5=25， 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）， 共有m=10个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=2.5故答案为25. 14．52【解析】由题意可知抽取的人数编号组成一个首项为7公差为15的等差数列则从这个数中应抽取的数是：故答案为52解析：52 【解析】由题意可知，抽取的人数编号组成一个首项为7，公差为15的等差数列， 则从4660~这15个数中应抽取的数是：715352+⨯=. 故答案为 52．15．【解析】【分析】连接可求得满足条件的事件是直线AP 与线段BC 有公共点根据几何概型的概率公式可得【详解】连接如图所示所以满足条件的事件是直线AP 在∠CAB 内且AP 与BC 相交即直线AP 与线段BC 有公共点解析：13【解析】 【分析】连接AC ，可求得CAB ∠，满足条件的事件是直线AP 与线段BC 有公共点，根据几何概型的概率公式可得CABP DAB∠=∠. 【详解】连接AC，如图所示，tan CB CAB AB ∠==，所以π6CAB ∠=， 满足条件的事件是直线AP 在∠CAB 内且AP 与BC 相交，即直线AP 与线段BC 有公共点，所以所求事件的概率π16π32CAB P DAB ∠===∠.故答案为：13.【点睛】本题考查几何概型的概率计算，考查学生的计算能力与推理能力，属于基础题.16．7【解析】【分析】模拟执行程序框图只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算直到达到输出条件即可得到输出的值【详解】由程序框图可知：则因此输出的为故答案为7【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图属解析： 7 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出a 的值. 【详解】由程序框图可知：9863a b =>=，359863,286335a b ∴←=-←=-， 73528,21287a b ∴←=-←=-，14217,72114a b ←=-←=-，7147a ←=-，则7a b ==，因此输出的a 为7，故答案为7. 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.17．【解析】分析：由题意首先确定样本中心点然后结合回归方程过样本中心点整理计算即可求得最终结果详解：由题意可得：回归方程过样本中心点则：即：整理可得：故答案为：270点睛：(1)正确理解计算的公式和准确解析：【解析】分析：由题意首先确定样本中心点，然后结合回归方程过样本中心点整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得：91412244c c x ++-+==，1848309644d dy ++++==， 回归方程过样本中心点，则：962236044d c ++=⨯-，即：()96322240d c +=+-， 整理可得：3270c d -=. 故答案为：270．点睛：(1)正确理解计算$,ba $的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键． (2)回归直线方程y bx a =+$$$必过样本点中心(),x y ．(3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测．18．36【解析】执行程序可得；不满足条件执行循环体不满足条件执行循环体满足条件推出循环输出故答案为【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图属于中档题解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要解析：36 【解析】执行程序，可得0A =，1S =； 1k =，011A =+=，111S =⨯=，不满足条件4k >，执行循环体，3k =，134A =+=，144S =⨯=，不满足条件4k >，执行循环体，5k =，459A =+=，4936S =⨯=，满足条件4k >，推出循环，输出36S =,故答案为36．【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.19．3【解析】由题意可得：回归方程过样本中心点则：即：解得：点睛：(1)正确理解计算的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键(2)回归直线方程必过样本点中心(3)在分析两个变量的相关关系时可根据样本数据 解析：3 【解析】由题意可得：0135635x ++++== ，回归方程过样本中心点，则：=3354y ⨯-= ，即：()123 3.89.245m m ++-++= ，解得：3m = .点睛：(1)正确理解计算$,a b$的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键． (2)回归直线方程y bx a =+$$$必过样本点中心(),x y ．(3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测．20．【解析】两球颜色不同的概率是解析：35【解析】两球颜色不同的概率是252363105C ⨯== 三、解答题21．(1)见解析;(2)35. 【解析】分析：（1）计算K 2的值，与临界值比较，即可得到结论；（2）确定样本中有4个男生，2个女生，利用列举法确定基本事件，即可求得结论． 详解：（1）由公式，所以没有99.5%的把握认为喜欢统计专业与性别有关．（2）设所抽样本中有m 个男生，则643020mm ，得==人， 所以样本中有4个男生，2个女生， 从中选出3人的基本事件数有20种 恰有两名男生一名女生的事件数有12种所以.点睛：(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的．(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题. 22．（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i ）答案见解析；（ii ）67． 【解析】分析：（Ⅰ）由分层抽样的概念可知应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i ）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．且分布列为超几何分布，即P（X =k ）=34337C C C k k-⋅（k =0，1，2，3）．据此求解分布列即可，计算相应的数学期望为()127E X =．（ii）由题意结合题意和互斥事件概率公式可得事件A发生的概率为67．详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X=k）=34337C CCk k-⋅（k=0，1，2，3）．所以，随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望()0123353535357E X=⨯+⨯+⨯+⨯=．（ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67．所以，事件A发生的概率为67．点睛：本题主要在考查超几何分布和分层抽样.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)nN=样本容量该层抽取的个体数总体的个数该层的个体数；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．23．（Ⅰ）ˆy＝0.5t＋2.3；（Ⅱ）预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.【解析】试题分析：（1）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b$的值，再求出$a的值，即可求出线性回归方程；（2）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，即可预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.试题解析：（1）由已知得1(1234567)47t =⨯++++++=，1(2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9) 4.37y =⨯++++++=.721()941014928ii tt =-=++++++=∑，71()()(3)( 1.4)(2)(1)(1)(0.7)00.110.520.93 1.614ii i tt y y =--=-⨯-+-⨯-+-⨯-+⨯+⨯+⨯+⨯=∑121()()140.58)ˆ2(niii ni i t t y y bt t ==--===-∑∑，$ 4.30.54 2.3ay bt =-=-⨯=$ ∴所求回归方程为$0.5 2.3y t =+．（2）由（1）知，ˆ0.50b=>，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号9t =代入(1)中的回归方程，得$0.59 2.3 6.8y =⨯+=，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．24．(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)答案见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据相关系数的公式求出相关数据后，代入公式即可求得的值，最后根据值的大小回答即可；（Ⅱ）准确求得相关数据，利用最小二乘法建立y 关于t 的回归方程，然后预测．试题解析：（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得，，，，.因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，.所以，关于的回归方程为：.将2016年对应的代入回归方程得：.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨. 【考点】线性相关系数与线性回归方程的求法与应用．【方法点拨】（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数公式求出，然后根据的大小进行判断．求线性回归方程时要严格按照公式求解，并一定要注意计算的准确性． 25．（1）2名；（2）35【解析】 【分析】（1）根据分层抽样的比例关系计算得到答案.（2）记在[)35,40中选取2名教师代表为a ，b ，其余的4名代表为A 、B 、C 、D ，列出所有情况和满足条件的情况，相除得到答案. 【详解】（1）由频率分布直方图得：年龄在[)30,35的教师有1000.06530⨯⨯=， 年龄在[)35,40的教师有1000.04520⨯⨯=， 年龄在[]40,45的教师有1000.02510⨯⨯=， 设年龄在[)35,40的教师代表人数为x ，则66020x =，∴2x = ∴从年龄在[)35,40中选取教师代表人数为2名；（2）记在[)35,40中选取2名教师代表为a ，b ，其余的4名代表为A 、B 、C 、D 从这6名教师中选2名教师的选法为： ab ，aA ，aB ，aC ，aD ， bA ，bB ，bC ，bD ， AB ，AC ，AD ， BC ，BD ， CD 以上共15种在[)35,40中至少有一名教师被选中的选法为： ab ，aA ，aB ，aC ，aD ， bA ，bB ，bC ，bD 以上9种在[)35,40中至少有一名教师被选中为事件A ，则()93155P A ==. ∴在[35，40）中至少有一名教师被选中的概率为35. 【点睛】本题考查了频率直方图，分层抽样，概率的计算，意在考查学生的综合应用能力. 26．（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型y c x α=⋅更适合； （Ⅱ）13y e x =⋅；（Ⅲ）要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据散点图的特点可知，相关关系更接近于幂函数类型； （Ⅱ）根据所给数据，代入公式求得回归直线的方程；（Ⅲ）先求出年利润的表达式，结合不等式特点利用导数可得最值. 【详解】（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型dy c x =⋅更适合．（Ⅱ）对dy c x =⋅两边取对数，得ln ln ln y c d x =+，即ln v c du =+ 由表中数据得： 1.5u v ==，∴()()()1122221130.510 1.5 1.5146.510 1.53ˆn niii i i i nni ii i u u v v u v nuvdu u unu ====----⨯⨯====-⨯--∑∑∑∑，∴1ln 1.5 1.51,3ˆc v duc e =-=-⨯=∴=， ∴年研发费用x 与年销售量y 的回归方程为13y e x =⋅. (Ⅲ)由（Ⅱ）知，13()27z x x x =-， ∴23()91z x x-='-，令23()910z x x --'==，得27x =，且当(0,27)x ∈时，()0z x '>,()z x 单调递增； 当(27,)x ∈+∞时，()0z x '<,()z x 单调递减．所以当27x =千万元时，年利润z 取得最大值，且最大值为(27)54z =千万元. 答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元. 【点睛】本题主要考查非线性回归方程的求解及决策判断，非线性回归方程一般是转化为线性回归方程求解，侧重考查数学建模和数据分析的核心素养.。
高二上学期期中考试数学试题(带答案)
高二上学期期中考试数学试题(带答案)高二上学期期中考试数学试题（带答案）注：题号后（A）表示1-7班必做，（B）表示8班必做。
）完卷时间：120分钟，总分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.设$a,b,c\in R$，且$a>b$，则（）A．$ac>bc$B．$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$C．$a^2>b^2$D．$a^3>b^3$2.已知数列$\{a_n\}$是公差为2的等差数列，且$a_1,a_2,a_5$成等比数列，则$a_2=$（）A．$-2$B．$-3$C．$2$D．$3$3.已知集合$A=\{x\in R|x^2-4x-12<0\},B=\{x\in R|x<2\}$，则$A\cap B=$（）A．$\{x|x<6\}$B．$\{x|-2<x<2\}$C．$\{x|x>-2\}$D．$\{x|2\leq x<6\}$4.若变量$x,y$满足约束条件$\begin{cases}x+y\leq 4\\x\geq 1\end{cases}$，则$z=2x+y$的最大值和最小值分别为（）A．4和3B．4和2C．3和2D．2和55.已知等比数列$\{a_n\}$的前三项依次为$a-1,a+1,a+4$，则$a_n=$A．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-1}$B．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-1}$C．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-2}$D．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-2}$6.在$\triangle ABC$中，边$a,b,c$的对角分别为$A,B,C$，且$\sin^2 A+\sin^2 C-\sin A\sin C=\sin^2 B$。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
16．执行如下图所示的程序框图，若输入 的值为6，则输出 的值为__________．
17．已知样本数据 的方差 ，则样本数据 的平均数为__________．
18．已知 ， 取值如表，画散点图分析可知 与 线性相关，且求得回归方程为 ，则 的值为__________．
点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.
9．A
解析：A
【解析】
，
， ，故 ， ， ，由上面比较可知 ，故选A
考点：独立事件的概率,数学期望.
19．为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校 的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见表（单位：人）
若从高校 抽取的人中选2人作专题发言，则这2人都来自高校 的概率 __________．
20．已知 之间的一组数据不小心丢失一个，但已知回归直线过点 ，则丢失的数据是__________．
10．B
解析：B
【解析】
【分析】
分析程序中各变量的作用，再根据流程图所示的顺序，可得该程序的作用是累加并输出 的值，由此可得到结论.
【详解】
由题意，执行程序框图，可得：
第1次循环： ；
第2次循环： ；
第3次循环： ；
依次类推，第7次循环： ，
此时不满足条件，推出循环，
其中判断框①应填入的条件为： ，
D．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门.
8．为计算 ，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入
A．
B．
C．
D．
9．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有 个红球和 个篮球 ，从乙盒中随机抽取 个球放入甲盒中.
（a）放入 个球后，甲盒中含有红球的个数记为 ；
（b）放入 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为 .
一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
【分析】
分别根据数据的平均数和方差的计算公式，求得 的值，即可得到答案．
【详解】
由题意，根据平均数的计算公式，可得 ，
设收集的48个准确数据分别记为 ，
则
，
，
故 ．选A．
【点睛】
本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，数基础题．
【常考题】高二数学上期中试题(带答案)
一、选择题
1．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为 ，方差为 ，则
A． B． C． D．
2．在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为 ( )
执行框②应填入： ，③应填入： .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，其中解答中正确理解程序框图的含义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
A．3B．4C．5D．6
5．已知变量 之间满足线性相关关系 ，且 之间的相关数据如下表所示：
x
1
2
3
4
y
0.1
m
3.1
4
则实数 （ ）
A．0.8B．0.6C．1.6D．1.8
6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺数为（ ）
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，
25．某校命制了一套调查问卷（试卷满分均为100分），并对整个学校的学生进行了测试.现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩，按照 分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）.
（1）求频率分布直方图中x的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
2．D
解析：D
【解析】
【分析】
由题意，恰好两件都是次品，共有 种不同的取法，恰好两件中一件是次品、一件是正品，共有 种不同的取法，即可求解．
【详解】
由题意，从含有3件次品的50件产品中，任取2件，共有 种不同的取法，
恰好两件都是次品，共有 种不同的取法，
恰好两件中一件是次品、一件是正品，共有 种不同的取法，
A．若残差平方和越小，则相关指数 越小
B．将一组数据中每一个数据都加上或减去同一常数，方差不变
C．若 的观测值越大，则判断两个分类变量有关系的把握程度越小
D．若所有样本点均落在回归直线上，则相关系数
12．若同时掷两枚骰子，则向上的点数和是6的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．下列说法正确的个数有_________
【详解】
由图可知，选项A、B、C都正确，对于D，因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅度，所以错误．
故选பைடு நூலகம்．
【点睛】
本题考查了条形统计图的应用，从图表中准确获取信息是关键，属于中档题．
8．B
解析：B
【解析】
分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项.
详解：由 得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入 ，选B.
（1）已知变量 和 满足关系 ，则 与 正相关；（2）线性回归直线必过点 ；
（3）对于分类变量 与 的随机变量 ， 越大说明“ 与 有关系”的可信度越大
（4）在刻画回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，相关指数 的值越大，说明拟合的效果越好.
14．某人向边长分别为5,12,13的三角形区域内随机丢一粒芝麻，假设芝麻落在区域内的任意一点是等可能的，则其恰落在离三个顶点距离都大于2的地方的概率为__.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， .
23．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第 个家庭的月收入 （单位:千元）与月储蓄 （单位:千元）的数据资料，计算得 ， ， ， .
（1）求家庭的月储蓄 关于月收入 的线性回归方程 ，并判断变量 与 之间是正相关还是负相关；
（2）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.（注:线性回归方程 中， ，其中 ， 为样本平均值.）
【详解】
将式子两边取对数，得到 ，令 ，得到 ，
根据已知表格数据，得到 的取值对照表如下：
由上述表格可知：
， ，
利用回归直线过样本中心点，即可得 ，
求得 ，则 ，
进而得到 ，将 代入，
解得 .
故选：C.
【点睛】
本题考查利用样本中心点坐标满足回归直线方程求参数值，以及由回归方程进行预测值得求解，属中档题.
0
1
2
3
1
3
5
三、解答题
21．为保护农民种粮收益，促进粮食生产，确保国家粮食安全，调动广大农民生产粮食的积极性，从2014年开始，国家实施了对种粮农民直接补贴的政策通过对2014~2018年的数据进行调查，发现某地区发放粮食补贴额x（单位：亿元）与该地区粮食产量y（单位：万亿吨）之间存在着线性相关关系，统计数据如下表：
参考公式： ， .
22．随着我国经济的发展，居民收入逐年增长.某地区2014年至2018年农村居民家庭人均纯收入 （单位：千元）的数据如下表：
年份
2014
2015
2016
2017
2018
年份代号
1
2
3
4
5
人均纯收入
5
4
7
8
10
（1）求 关于 的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，分析2014年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测2019年该地区农村居民家庭人均纯收入为多少？
A． B． C． D．
3．一组数据如下表所示：
1
2
3
4
已知变量 关于 的回归方程为 ，若 ，则预测 的值可能为( )
A． B． C． D．
4．“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大. 假设李某智商较高，他独自一人解决项目M的概率为 ；同时，有 个水平相同的人也在研究项目M，他们各自独立地解决项目M的概率都是 .现在李某单独研究项目M，且这 个人组成的团队也同时研究项目M，设这个 人团队解决项目M的概率为 ，若 ，则 的最小值是( )
测试指标
甲
5
15
35
35
7
3
乙
3
7
20
40
20
10
根据上表统计得到甲、乙生产产品等级的频率分别估计为他们生产产品等级的概率．
（1）求出乙生产三等品的概率；
（2）求出甲生产一件产品，盈利不小于30元的概率；
（3）若甲、乙一天生产产品分别为40件和30件，估计甲、乙两人一天共为企业创收多少元？
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
则
A． B．
C． D．
10．我国古代名著《庄子 天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取 天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是( )
A． B．
C． D．