【必考题】高二数学上期中试题含答案
2023-2024学年河北省部分高中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河北省部分高中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线l ：2x +√3y −1=0的斜率为（ ） A ．−2√33B ．−√32C ．2√33D ．√322．若方程x 2+y 2+4x +2y ﹣m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣5）B ．（﹣5，+∞）C ．（﹣∞，5）D ．（5，+∞）3．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 29+y 25=1的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，若|PF 1|＝2，则|PF 2|＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且PD →=3DC →，则BD →在AC →方向上的投影向量为（ ）A ．34AC →B ．−23AC →C ．−34AC →D ．23AC →5．若圆O 1：x 2+y 2＝25与圆O 2：（x ﹣7）2+y 2＝r 2（r ＞0）相交，则r 的取值范围为（ ） A ．[2，10]B ．（2，10）C ．[2，12]D ．（2，12）6．若A （2，2，1），B （0，0，1），C （2，0，0），则点A 到直线BC 的距离为（ ） A ．2√305B ．√305C ．2√55D ．√557．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作双曲线C 的其中一条渐近线l 的垂线，垂足为A （第一象限），并与双曲线C 交于点B ，若FB →=BA →，则l 的斜率为（ ） A ．2B ．1C ．12D ．−748．已知实数x ，y 满足2x ﹣y +2＝0，则√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8的最小值为（ ） A ．3√13B ．10+√13C ．108D ．117二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，则（ ）A ．BC →−A 1A →=AD 1→B ．BC →−A 1A →=2AD 1→C ．EF →=12A 1C 1→D ．EF →=A 1C 1→10．在同一直角坐标系中，直线l ：y ＝mx +1与曲线C ：x 2+my 2＝1的位置可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，且|PF 1|=43|PF 2|，cos ∠PF 2F 1=35，则下列结论正确的有（ ） A ．椭圆E 的离心率为57B ．椭圆E 的离心率为45C ．PF 1⊥PF 2D ．若△PF 1F 2内切圆的半径为2，则椭圆E 的焦距为1012．苏州博物馆（图一）是地方历史艺术性博物馆，建筑物的顶端可抽象为如图二所示的上、下两层等高的几何体，其中上层EFGH ﹣NPQM 是正四棱柱，下层底面ABCD 是边长为4的正方形，E ，F ，G ，H 在底面ABCD 的投影分别为AD ，AB ，BC ，CD 的中点，若AF =√5，则下列结论正确的有（ ）A ．该几何体的表面积为32+8√2+4√6B ．将该几何体放置在一个球体内，则该球体体积的最小值为36πC ．直线CP 与平面ABF 所成角的正弦值为√63D ．点M 到平面BFG 的距离为√63三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点N 是点M （3，3，4）在坐标平面Oxz 内的射影，则|ON →|= ． 14．若双曲线C ：x 2m+1+y 2m 2−m−2=1的实轴长与虚轴长相等，则m ＝ ．15．过点M(√3，0)作圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为 ．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AM ＝2MB ，N 为DD 1的中点，记平面CMN 与平面ADD 1A 1的交线为l ，则直线l 与直线AC 1所成角的余弦值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知直线l 1：x +ay ﹣a +2＝0与l 2：2ax +（a +3）y +a ﹣5＝0． （1）当a ＝1时，求直线l 1与l 2的交点坐标； （2）若l 1∥l 2，求a 的值．18．（12分）如图，在正四棱锥P ﹣ABCD 中，E ，F 分别为P A ，PC 的中点，DG →=2GP →． （1）证明：B ，E ，G ，F 四点共面．（2）记四棱锥P ﹣BEGF 的体积为V 1，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为V 2，求V 1V 2的值．19．（12分）已知P 是圆C ：x 2+y 2＝12上一动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足PQ →=2PM →，记点M 的轨迹为E ． （1）求E 的方程；（2）若A ，B 是E 上两点，且线段AB 的中点坐标为(−85，25)，求|AB |的值．20．（12分）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB 的长为16米，最大高度CD 的长为4米，以C 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立直角坐标系． （1）求该圆弧所在圆的方程；（2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体）21．（12分）如图，在斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，△ABC 是边长为2的等边三角形，M ，Q 分别为AC ，A 1B 1的中点，且MQ ⊥AB ． （1）证明：MC 1⊥AB ．（2）若BB 1＝4，MQ =√15，求平面MB 1C 1与平面MC 1Q 夹角的余弦值．22．（12分）如图，已知F 1(−√10，0)，F 2(√10，0)分别是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P(−2√103，√63)是E 上一点． （1）求E 的方程．（2）过直线l ：x ＝1上任意一点T 作直线l 1，l 1与E 的左、右两支相交于A ，B 两点．直线l 1关于直线l 对称的直线为l 2（与l 1不重合），l 2与E 的左、右两支相交于C ，D 两点．证明：∠ABD ＝∠ACD ．2023-2024学年河北省部分高中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线l ：2x +√3y −1=0的斜率为（ ） A ．−2√33B ．−√32C ．2√33D ．√32解：将l 的方程转化为y =−2√33x +√33，则l 的斜率为−2√33． 故选：A ．2．若方程x 2+y 2+4x +2y ﹣m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣5）B ．（﹣5，+∞）C ．（﹣∞，5）D ．（5，+∞）解：因为方程x 2+y 2+4x +2y ﹣m ＝0表示一个圆，所以42+22+4m ＞0，解得m ＞﹣5． 故选：B ．3．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 29+y 25=1的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，若|PF 1|＝2，则|PF 2|＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：椭圆E ：x 29+y 25=1，可知a ＝3，因为P 是椭圆E 上一点，所以|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝6，所以|PF 2|＝6﹣|PF 1|＝4． 故选：D ．4．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且PD →=3DC →，则BD →在AC →方向上的投影向量为（ ）A ．34AC →B ．−23AC →C ．−34AC →D ．23AC →解：因为P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，故以A 为坐标原点，AB ，AC ，P A 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，令AB ＝a ，AC ＝b ，P A ＝c ，则A （0，0，0），B （a ，0，0），C （0，b ，0），D(0，34b ，14c)， 则AC →=(0，b ，0)，BD →=(−a ，34b ，14c)，所以BD →在AC →方向上的投影向量为AC →⋅BD →|AC →|⋅AC →|AC →|=34b 2|b|⋅AC →|b|=34AC →．故选：A ．5．若圆O 1：x 2+y 2＝25与圆O 2：（x ﹣7）2+y 2＝r 2（r ＞0）相交，则r 的取值范围为（ ） A ．[2，10]B ．（2，10）C ．[2，12]D ．（2，12）解：∵O 1与O 2相交， ∴|r ﹣5|＜|O 1O 2|＜|r +5|， 又|O 1O 2|＝7，∴|r ﹣5|＜7＜|r +5|，解得2＜r ＜12． 故选：D ．6．若A （2，2，1），B （0，0，1），C （2，0，0），则点A 到直线BC 的距离为（ ） A ．2√305B ．√305C ．2√55D ．√55解：由题意得，BA →=(2，2，0)，BC →=(2，0，−1)，则BA →在BC →上的投影向量的模为|BA →⋅BC →||BC →|=√5，则点A 到直线BC 的距离为√|BA →|2−(|BA →⋅BC →||BC →|)2=√(√8)2−(4√5)2=2√305． 故选：A ．7．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作双曲线C 的其中一条渐近线l 的垂线，垂足为A （第一象限），并与双曲线C 交于点B ，若FB →=BA →，则l 的斜率为（ ）A ．2B ．1C ．12D ．−74解：由已知直线l 的方程为y =b ax ，即bx ﹣ay ＝0，点F （c ，0），则|FA|=|bc|√b +(−a)2=b ，因为FB →=BA →，所以B 为线段AF 的中点，则|BF|=b2， 设双曲线C 的左焦点为F 1，则|BF 1|=2a +b2， 在△BFF 1中，由余弦定理可得：cos ∠BFF 1=|BF|2+|FF 1|2−|BF 1|22|BF||FF 1|=b 24+4c 2−(2a+b 2)22×b2×2c=2b−ac， 又cos ∠BFF 1=bc ，所以a ＝b ，故l 的斜率为1， 故选：B ．8．已知实数x ，y 满足2x ﹣y +2＝0，则√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8的最小值为（ ） A ．3√13B ．10+√13C ．108D ．117解：√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8=√(x −9)2+y 2+√(x −2)2+(y −2)2， 该式表示直线l ：2x ﹣y +2＝0上一点到P （9，0），Q （2，2）两点距离之和的最小值． 而P ，Q 两点在l 的同一侧，设点P 关于l 对称的点P ′（x 0，y 0），则{y 0−0x 0−9=−122×x 0+92−y 0+02+2=0，解得{x 0=−7y 0=8，∴P ′（﹣7，8），故√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8≥|P′Q|=√(−7−2)+(8−2)2=3√13． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，则（ ）A ．BC →−A 1A →=AD 1→B ．BC →−A 1A →=2AD 1→C ．EF →=12A 1C 1→D ．EF →=A 1C 1→解：BC →−A 1A →=AD →+AA 1→=AD 1→，A 正确，B 不正确，又因为EF →=12A 1C 1→，故C 正确，D 不正确． 故选：AC ．10．在同一直角坐标系中，直线l ：y ＝mx +1与曲线C ：x 2+my 2＝1的位置可能是（ ）A ．B ．C ．D ．解：A ．取m ＝1，则直线l ：y ＝x +1与曲线C ：x 2+y 2＝1满足图中的位置关系，因此A 正确； B ．联立{y =mx +1x 2+my 2=1，化为（1+m 3）x 2+2m 2x +m ﹣1＝0，若直线l ：y ＝mx +1与曲线C ：x 2+my 2＝1有交点，则Δ＝4m 4﹣4（1+m 3）（m ﹣1）＝m 3﹣m +1＞0． 由曲线C ：x 2+my 2＝1结合图形，则0＜1m ＜1，∴m ＞1，满足Δ＞0，因此B 正确；C ．由曲线C ：x 2+my 2＝1结合图形，则0＜1m ＜1，∴m ＞1，直线l 与椭圆应该有交点，因此C 不正确；D ．由图可知：直线l 经过点（1，0），则m ＝﹣1，联立{y =−x +1x 2−y 2=1，化为x ＝1，y ＝0，即直线l 与双曲线的交点为（1，0），因此D 正确． 故选：ABD ．11．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，且|PF 1|=43|PF 2|，cos ∠PF 2F 1=35，则下列结论正确的有（ ） A ．椭圆E 的离心率为57B ．椭圆E 的离心率为45C ．PF 1⊥PF 2D ．若△PF 1F 2内切圆的半径为2，则椭圆E 的焦距为10解：A 、B 选项，由椭圆的定义得，|PF 1|+|PF 2|＝2a ，已知|PF 1|=43|PF 2|，解得|PF 1|=87a ，|PF 2|=67a ，由cos ∠PF 2F 1=|PF 2|2+|F 1F 2|2−|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|=4c 2−47a 2247ac=35， 整理得5a 2+18ac ﹣35c 2＝0，即（a +5c ）（5a ﹣7c ）＝0，则a ＝﹣5c （舍去）或a =75c ，即c a=57，故椭圆E 的离心率为57，故A 正确，B 不正确；C 选项，由a =75c ，得|F 1F 2|=2c =107a ，则|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2，故PF 1⊥PF 2，故C 正确； D 选项，由PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2内切圆的半径为2，得2c ＝2a ﹣4，因为a =75c ，所以c ＝5，即椭圆E 的焦距为10，故D 正确． 故选：ACD ．12．苏州博物馆（图一）是地方历史艺术性博物馆，建筑物的顶端可抽象为如图二所示的上、下两层等高的几何体，其中上层EFGH ﹣NPQM 是正四棱柱，下层底面ABCD 是边长为4的正方形，E ，F ，G ，H 在底面ABCD 的投影分别为AD ，AB ，BC ，CD 的中点，若AF =√5，则下列结论正确的有（ ）A ．该几何体的表面积为32+8√2+4√6B ．将该几何体放置在一个球体内，则该球体体积的最小值为36πC ．直线CP 与平面ABF 所成角的正弦值为√63D ．点M 到平面BFG 的距离为√63解：设F ，G 在平面ABCD 的投影分别为AB ，BC 的中点R ，S ，由于AF =√5，AB ＝4，所以F 到平面ABCD 的距离为FR =√AF 2−(12AB)2=1， 由于上、下两层等高，所以P 到平面ABCD 的距离为2，又FG =RS =12AC =2√2，由于GS ＝FR ＝1，BS =RB =12×4=2 所以BG =GC =√GS 2+BS 2=√5=BF =AF ，所以△AFB ≌△BGC ，同理可得△CDH ≌△ADE ≌△AFB ≌△BGC ，△BFG ≌△CHG ≌△DEH ≌△AEF ， 则点B 到FG 的距离为√BF 2−(12FG)2=√(√5)2−(√2)2=√3，则△ABF 的面积为12AB ⋅FR =12×4×1=2，△BFG 的面积为12×2√2×√3=√6，故该几何体的表面积4×2+4×√6+4×4+2√2×2√2+2√2×4=32+8√2+4√6，故A 正确； 将该几何体放置在一个球体内，要使该球体体积最小，则球心在该几何体上下底面中心所连直线上， 且A 、B 、C 、D ，N 、P 、Q 、M 均在球面上，设球心到下底面ABCD 的距离为x ， 由于四边形MNPQ 为边长为2√2的正方形，四边形ABCD 为边长为4的正方形， 则其对角线长度分别为4，4√2，则(2√2)2+x 2=22+(2−x)2，解得x ＝0，则该球体的半径为2√2，体积为4π3×(2√2)3=64√2π3，故B 错误；以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则C （4，4，0），P （2，0，2），B （4，0，0），F （2，0，1），G （4，2，1），M （2，4，2），CP →=(−2，−4，2)，BF →=（﹣2，0，1），BG →=(0，2，1)，BM →=（﹣2，4，2）， 平面ABF 的一个法向量为m →=（0，1，0），则cos ＜CP →，m →＞=−42√6=−√63，设直线CP 与平面ABF 所成角为θ，则sinθ=|cos ＜CP →，m →＞|=√63，故直线CP 与平面ABF 所成角的正弦值为√63，故C 正确； 设平面BFG 的法向量为n →=(x 1，y 1，z 1)，则{n →⋅BF →=−2x 1+z 1=0n →⋅BG →=2y 1+z 1=0，令x 1＝1，得n →=（1，﹣1，2）， 则点M 到平面BFG 的距离为|n →⋅BM →||n →|=222=√63，故D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点N 是点M （3，3，4）在坐标平面Oxz 内的射影，则|ON →|= 5 ． 解：由题可知，N （3，0，4），则ON →=(3，0，4)，∴|ON →|=√32+42=5． 故答案为：5．14．若双曲线C ：x 2m+1+y 2m 2−m−2=1的实轴长与虚轴长相等，则m ＝ 1 ．解：由题可知（m +1）+（m 2﹣m ﹣2）＝0，解得m ＝1或m ＝﹣1（舍去），∴m ＝1． 故答案为：1．15．过点M(√3，0)作圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为 √3x −y =0 ．解：圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝1①，则圆心C （0，1）， 以C （0，1），M （√3，0）为直径的圆的方程为：(x −√32)2+(y −12)2=1②，①﹣②可得，√3x −y =0，故直线AB 的方程为√3x −y =0． 故答案为：√3x −y =0．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AM ＝2MB ，N 为DD 1的中点，记平面CMN 与平面ADD 1A 1的交线为l ，则直线l 与直线AC 1所成角的余弦值为7√111111．解：设I ∩AA 1＝P ，连接NP ，MP ，直线NP 即为直线l ．易证得MP ∥CN ，由AM ＝2MB ，N 为DD 1的中点，得AP =13AA 1，以D 为坐标原点，DA ．DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝6，则得：N （0，0，3），P （6，0，2），A （6，0，0），C 1（0，6，6）， NP →=（6，0，﹣1），AC 1→=（﹣6，6，6）， 所以得：|cos ＜NP →，AC 1→＞|=|NP →⋅AC 1→||NP →|⋅|AC 1→|=37×63=7√111111，故直线与直线 AC 1 所成角的余弦值为7√111111．故答案为：7√111111． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知直线l 1：x +ay ﹣a +2＝0与l 2：2ax +（a +3）y +a ﹣5＝0． （1）当a ＝1时，求直线l 1与l 2的交点坐标； （2）若l 1∥l 2，求a 的值． 解：（1）因为a ＝1，所以l 1：x +y +1＝0，l 2：2x +4y ﹣4＝0，即x +2y ﹣2＝0， 联立{x +y +1=0x +2y −2=0解得{x =−4y =3，故直线l 1与l 2的交点坐标为（﹣4，3）．（2）因为l 1∥l 2，所以2a 2﹣a ﹣3＝0，解得a ＝﹣1或a =32， 当a ＝﹣1时，l 1与l 2重合，不符合题意． 当a =32时，l 1与l 2不重合，符合题意． 故a =32．18．（12分）如图，在正四棱锥P ﹣ABCD 中，E ，F 分别为P A ，PC 的中点，DG →=2GP →． （1）证明：B ，E ，G ，F 四点共面．（2）记四棱锥P ﹣BEGF 的体积为V 1，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为V 2，求V 1V 2的值．解：（1）证明：因为E ，F 分别为P A ，PC 的中点， 所以BE →=12BA →+12BP →，BF →=12BC →+12BP →， 所以BG →=BD →+DG →=BD →+23DP →=BD →+23(BP →−BD →)=13BD →+23BP →=13BA →+13BC →+23BP →=23(12BA →+12BP →)+23(12BC →+12BP →)=23BE →+23BF →， 故B ，E ，G ，F 四点共面；（2）由正四棱锥的对称性知，V 1＝2V E ﹣PBG ，V 2＝2V A ﹣PBD ， 设点E 到平面PBG 的距离为d 1，点A 到平面PBD 的距离为d 2，由E 是P A 的中点得d 2＝2d 1， 由DG →=2GP →得S △PBD ＝3S △PBG ，所以V 1V 2=V E−PBG V A−PBD=13S △PBG ⋅d 113S △PBD ⋅d 2=16．19．（12分）已知P 是圆C ：x 2+y 2＝12上一动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足PQ →=2PM →，记点M 的轨迹为E ． （1）求E 的方程；（2）若A ，B 是E 上两点，且线段AB 的中点坐标为(−85，25)，求|AB |的值． 解：（1）设M （x ，y ），则Q （x ，0）， 因为PQ →=2PM →，则P （x ，2y ）， 因为P 在圆C 上，所以x 2+（2y ）2＝12， 故E 的方程为x 212+y 23=1．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若A ，B 是E 上两点，则{x 1212+y 123=1x 2212+y 223=1， 两式相减得x 12−x 2212+y 12−y 223=0，即y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x 24(y 1+y 2)．因为线段AB 的中点坐标为(−85，25)，所以y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x 24(y 1+y 2)=1，所以k AB ＝1，则直线AB 的方程为y ＝x +2．联立方程组{y =x +2x 212+y 23=1，整理得5x 2+16x +4＝0，其中Δ＞0， 则x 1+x 2=−165，x 1x 2=45， |AB|=√1+12√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√225． 20．（12分）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB 的长为16米，最大高度CD 的长为4米，以C 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立直角坐标系． （1）求该圆弧所在圆的方程；（2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体）解：（1）由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在y轴上，由图形可得A（﹣8，0），B（8，0），D（0，4），设该圆的半径为r米，则r2＝82+（r﹣4）2，解得r＝10，圆心为（0，﹣6），故该圆弧所在圆的方程为x2+（y+6）2＝100．（2）设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米，则(d2)2+(6+1.6)2=102，解得d=2√42.24．若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度为4×2.5+3×0.5=11.5＜2√42.24．隧道能并排通过4辆该种汽车；若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度为5×2.5+4×0.5=14.5＞2√42.24，故该隧道不能并排通过5辆该种汽车．综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车．21．（12分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，M，Q分别为AC，A1B1的中点，且MQ⊥AB．（1）证明：MC1⊥AB．（2）若BB1＝4，MQ=√15，求平面MB1C1与平面MC1Q夹角的余弦值．（1）证明：因为△A1B1C1是等边三角形，Q为A1B1的中点，所以C1Q⊥A1B1，又AB∥A1B1，所以C1Q⊥AB，因为MQ⊥AB，C1Q∩MQ＝Q，所以AB⊥平面MC1Q，又MC1⊂平面C1MQ，所以MC1⊥AB；（2）解：取AB靠近点A的四等分点N，连接MN，NQ，易证得MN∥C1Q，则MN⊥AB，且MN=√32，由BB 1＝4，得QN =3√72，因为MQ =√15，所以MQ 2+MN 2＝QN 2， 即MQ ⊥MN ，又MQ ⊥AB ，从而MQ ⊥平面ABC ，以M 为坐标原点，MN 所在直线为x 轴，MQ 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则M （0，0，0），B 1（0，1，√15），C 1（−√3，0，√15）， 则MB 1→=（0，1，√15），MC 1→=（−√3，0，√15）， 设平面MB 1C 1的法向量为m →=（x ，y ，z ），则有{m →⋅MB 1→=y +√15z =0m →⋅MC 1→=−√3x +√15z =0，令z ＝1，得m →=(√5，−√15，1)，由图可知，n →=（0，1，0）是平面MC 1Q 的一个法向量，设平面MB 1C 1与平面MC 1Q 的夹角为θ，则cosθ=|m →⋅n →||m →||n →|=√1521=√357．22．（12分）如图，已知F 1(−√10，0)，F 2(√10，0)分别是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P(−2√103，√63)是E 上一点． （1）求E 的方程．（2）过直线l ：x ＝1上任意一点T 作直线l 1，l 1与E 的左、右两支相交于A ，B 两点．直线l 1关于直线l 对称的直线为l 2（与l 1不重合），l 2与E 的左、右两支相交于C ，D 两点．证明：∠ABD ＝∠ACD ．解：（1）∵F 1(−√10，0)，F 2(√10，0)分别是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P(−2√103，√63)是E 上一点，∴{a 2+b 2=10409a2−69b2=1，解得a 2＝4，b 2＝6，∴E 的方程为x 24−y 26=1．（2）证明：设T （1，m ），由题意得直线l 1的斜率存在且不等于0， 设直线l 的方程为y ﹣m ＝k （x ﹣1），则直线l 2的方程为y ﹣m ＝﹣k （x ﹣1）， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）， 联立方程组{y −m =k(x −1)x 24−y 26=1，整理得（3﹣2k 2）x 2+（4k 2﹣4km ）x ﹣2k 2+4km ﹣2m 2﹣12＝0，Δ＝（4k 2﹣4km ）2﹣（12﹣8k 2）（﹣2k 2+4km ﹣2m 2﹣12）＝﹣72k 2﹣48km +24m 2+144＞0， 则x 1+x 2=4k 2−4km 2k 2−3，x 1x 2=2k 2−4km+2m 2+122k 2−3，|AT |=√1+k 2|x 1−1|，|BT |=√1+k 2|x 2﹣1|，|CT |=√1+k 2|x 3﹣1|，|DT |=√1+k 2|x 4﹣1|， ∴|AT ||BT |＝（1+k 2）|（x 1﹣1）（x 2﹣1）|＝（1+k 2）|x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1| ＝（1+k 2）|2k 2−4km+2m 2+122k 2−3−4k 2−4km 2k 2−3+1|＝（1+k 2）|2m 2+92k 2−3|，同理，|CT ||DT |＝（1+k 2）|2m 2+92k 2−3，∴|AT||DT|=|CT||BT|，∴△ACT ∽△DBT ，∴∠ABD ＝∠ACD ．。
高二上学期期中考试数学试卷含答案
高二级上学期期中考试题数学本试卷共8页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。
第一部分选择题（共60分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( )A ．0B ．－1C ．0或1D ．0或－12．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( )A.2π B ．22π C ．2πD ．4π3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 5．下列命题中，正确的是( )A ．任意三点确定一个平面B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 37．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上， 则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．410．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+=B ．30x y +-=C ．20x y -=D ．10x y --=12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，BC =CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6第二部分非选择题（90分）三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______________．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．15．若直线:l y kx =与曲线:1M y =+有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程．18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值；(2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l 与圆C 相离，求a 的取值范围．20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点．(1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．21. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.22. (本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点? 若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.高二级上学期期中考试题 数学答案及说明一、选择题：1.D ，2.A ，3.C ，4.B ，5.C ，6.B ，7.D ，8.A ，9.BCD ，10.ACD ，11.ABC ，12.BC.二、填空题：13.0x ∀<，2210x x --≤；14.y ＝－2x －2；15.13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭；16.36π.题目及详细解答过程：一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．0或1 D ．0或－1 解析：因为l 1⊥l 2，所以2m 2＋2m ＝0，解得m ＝0或m ＝－1. 答案：D2．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( ) A.2π B ．22π C ．2π D ．4π 解析：设底面圆的半径为r ，高为h ，母线长为l ，由题可知，r ＝h ＝22l ，则12(2r )2＝1，r ＝1，l ＝2.所以圆锥的侧面积为πrl ＝2π. 答案：A3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：当三棱锥D ABC 体积最大时，平面DAC ⊥平面ABC .取AC 的中点O ，则∠DBO 即为直线BD 和平面ABC 所成的角．易知△DOB 是等腰直角三角形，故∠DBO ＝45°.答案：C4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 【答案】B【解析】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=.由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为22553255d ⨯--== 圆心到直线230x y --=的距离均为22555d -==； 所以，圆心到直线230x y --=25. 故选：B ．5．下列命题中，正确的是( ) A ．任意三点确定一个平面 B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行 解析：由线面垂直的性质，易知C 正确． 答案：C6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( ) A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 3解析：易知NF 的斜率k ＝－3，故NF 的方程为y ＝－3(x －1)，即3x ＋y －3＝0. 所以M 到NF 的距离为|33＋23－3|（3）2＋12＝2 3. 答案：B7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π解析：由题意知正四棱柱的底面积为4，所以正四棱柱的底面边长为2，正四棱柱的底面对角线长为22，正四棱柱的对角线为2 6.而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R ＝2 6.所以R ＝ 6.所以S 球＝4πR 2＝24π. 答案：D8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎤⎣⎦，D ．2232⎡⎤⎣⎦，【答案】A 【解析】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--,则22AB =.点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离1202222d ++==.故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为2,32⎡⎤⎣⎦，则[]22122,62ABP S AB d d ==∈△.故答案为A.二、多选题(每题5分，共20分)9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BCD【解析】：由220x x --<，解得12x -<<．又220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，(1∴-，2)(2-，)a ，则2a ．∴实数a 的值可以是2，3，4．故选：BCD ．10．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 【答案】ACD 【解析】若m α⊥，则,a b α∃⊂且a b P =使得m a ⊥，m b ⊥，又//m n ，则n a ⊥，n b ⊥，由线面垂直的判定定理得n α⊥，故A 对； 若//m α，n αβ=，如图，设m AB =，平面1111D C B A 为平面α，//m α，设平面11ADD A 为平面β，11A D n αβ⋂==，则m n ⊥，故B 错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C 对；若,//m m n α⊥，则n α⊥，又n β⊥，则//αβ，故D 对； 故选：ACD ．11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+= B ．30x y +-= C ．20x y -= D ．10x y --=【答案】ABC【解析】：当直线经过原点时，斜率为20210k -==-，所求的直线方程为2y x =，即20x y -=； 当直线不过原点时，设所求的直线方程为x y k ±=，把点(1,2)A 代入可得12k -=，或12k +=，求得1k =-，或3k =，故所求的直线方程为10x y -+=，或30x y +-=； 综上知，所求的直线方程为20x y -=、10x y -+=，或30x y +-=． 故选：ABC ．12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，23BC =，26CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6 【答案】BC【解析】作图在四棱锥P ABCD -中：为矩形，由题：侧面PCD ⊥平面ABCD ，交线为CD ，底面ABCDBC CD ⊥，则BC ⊥平面PCD ，过点B 只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；连接AC 交BD 于O ，连接MO ，PAC ∆中，OM ∥PA ，MO ⊆面MBD ，PA ⊄面MBD ，所以//PA 面MBD ，所以选项B 正确；四棱锥M ABCD -的体积是四棱锥P ABCD -的体积的一半，取CD 中点N ，连接PN ，PN CD ⊥，则PN平面ABCD ，32PN =，四棱锥M ABCD -的体积112326321223M ABCD V -=⨯⨯⨯⨯=所以选项D 错误.矩形ABCD 中，易得6,3,3AC OC ON ===，PCD 中求得：16,2NM PC ==在Rt MNO 中223MO ON MN =+=即： OM OA OB OC OD ====，所以O 为四棱锥M ABCD -外接球的球心，半径为3， 所以其体积为36π，所以选项C 正确， 故选：BC三、填空题(每题5分，共20分)13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______． 【答案】0x ∀<，2210x x --≤【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题20210x x x ∃<-->，， 则该命题的否定是：0x ∀<，2210x x --≤ 故答案为：0x ∀<，2210x x --≤．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．解析：由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又l ∥l 1，所以l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，所以l 在y 轴上的截距b ＝－2.由斜截式方程可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.答案：y ＝－2x －215．若直线:l y kx =与曲线()2:113M y x =+--有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．解析：曲线M ：y ＝1＋1－（x －3）2是以(3，1)为圆心，1为半径的，且在直线y ＝1上方的半圆．要使直线l 与曲线M 有两个不同交点，则直线l 在如图所示的两条直线之间转动，即当直线l 与曲线M 相切时，k 取得最大值34；当直线l 过点(2，1)时，k 取最小值12.故k 的取值范围是13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 答案：13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．解析：如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC .又由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，知OA ⊥平面SCB . 设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ，所以三棱锥S ABC 的体积为311323r V SC OB OA ⎛⎫=⨯⋅⋅= ⎪⎝⎭，即r 33＝9.所以r ＝3.所以3344336.33=O V r πππ=⨯=球答案：36π四、解答题(每题5分，共70分)17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程． 解：(1)设l 2的方程为2x －y ＋m ＝0，..........1分因为l 2在x 轴上的截距为32，所以3－0＋m ＝0，m ＝－3，即l 2：2x －y －3＝0.....3分联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2x －y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.所以直线l 1与l 2的交点坐标为(2，1)．..........5分 (2)当l 3过原点时，l 3的方程为y ＝12x ..........6分当l 3不过原点时，设l 3的方程为12x y a a +=...........7分 又直线l 3经过l 1与l 2的交点，所以2112a a+=， 得52a =，l 3的方程为2x ＋y －5＝0...........8分 综上，l 3的方程为y ＝12x 或2x ＋y －5＝0...........10分18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．18.解：(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，..........1分又因为AB ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ，..........3分 所以AB ⊥平面PAD ，..........4分又PD ⊂平面PAD ，..........5分所以AB ⊥PD ...........6分 (2)解：S 梯形ABCD ＝12(AB ＋CD )·AD ＝332，.......8分又PA ⊥平面ABCD ，..........9分所以V 四棱锥P-ABCD ＝13×S 梯形ABCD ·PA ＝13×332×3＝32...........12分19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值； (2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l与圆C 相离，求a 的取值范围．19.解：(1)由题意可知，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1...........2分又|MC |＝（4－1）2＋（4－0）2＝5，..........4分 所以|MN |的最小值为5－1＝4...........5分(2)因为直线l 的斜率为43，且与y 轴相交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线l 的方程为y ＝43x －23.即4x －3y －2＝0..........7分因为直线l 与圆C 相离，所以圆心C (a ，0)到直线l 的距离d ＞r . 则224243a a ->+.........9分又0a <，所以245a a ->-，解得2a >-..........11分 所以a 的取值范围是(－2，0)．.........12分20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点． (1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．20.解：(1)证明：如图，连接BC 1，交B 1C 于点E ，连接DE ，则点E 是BC 1的中点，又点D 是AB 的中点，由中位线定理得DE ∥AC 1，.........1分 因为DE ⊂平面B 1CD ，.........2分AC 1⊄平面B 1CD ，.........3分所以AC 1∥平面B 1CD ..........4分(2)解：当CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1........5分 证明：因为AA 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥CD ..........6分又CD ⊥AB ，AA 1∩AB ＝A ，.........7分所以CD ⊥平面ABB 1A 1，因为CD ⊂平面CDB 1，.........8分 所以平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1，.........9分故点D 满足CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1......10分 因为AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，所以AC 2＋BC 2＝AB 2， 故△ABC 是以角C 为直角的三角形， 又CD ⊥AB ，所以AD ＝95..........12分22. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.21.解： 作于点G ，连接FG ， 四边形ABCD 是菱形,,，为等边三角形,,-----1分平面ABCD ，平面ABCD ，，又，，平面AFG ，BC FG ∴⊥-----2分 G∴为二面角的平面角，------3分----------------------------4分连接AE ，设点E 到平面AFC 的距离为h ， 则， ----------------------5分即，也就是，--------------------6分解得：； ------------------------------------------------7分(3)作CH AB ⊥于点H ，连接FH ，ABC ∆为等边三角形，H ∴为AB 的中点，221,3,5,AH CH FH FA AH ===+= FA ⊥平面ABCD ，CH ⊂平面ABCD ，FA CH ∴⊥，----8分 又,CH AB AB AF A ⊥⋂=，CH ∴⊥平面ABF ，-----9分CFH ∴∠为直线FC 与平面ABF 所成的角，-------10分36sin 422CH CFH CF ∴∠===．-----------------12分 22.(本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点?若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.22.解：（1）当直线AB CD 、的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为:()()()112220,,,,y kx k A x y B x y =-≠------------1分由2229+=y kx x y =-⎧⎨⎩得：()221450k x kx +--=--------------------2分 点()0,2P -在圆内,故0∆>. 又 1212222422,21211M M Mx x k k x x x y kx k k k +∴+=∴===-=-+++ 即 2222,11kM k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭--------------------3分AB CD ⊥以1k -代换k 得22222,11k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭22222222111.22211MNk k k k k k k k k k -+-++∴==+++---------------4分∴直线MN 的方程为：222212121k k y x k k k -⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭化简得2112k y x k-=-，故直线MN 恒过定点()01-，--------------------5分 当直线AB CD 、的斜率不存在或为0时，显然直线MN 恒过定点()01-， 综上，直线MN 恒过定点()01-，--------------------.6分 (2) 解法一:圆心O 到直线AB的距离1d =AB ==分 （或由第（1）问得：21AB x =-==以1k -代换k 得CD =）AB CD ⊥∴以1k -代换k 得:CD =分12ACBD S AB CD ∴=⋅==分14=≤= 当且仅当221,1k k k==±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=-----------12分 解法二：设圆心O 到直线AB 、CD 的距离分别为12,d d 、则22222211229,9AB r d d CD r d d =-=-=-=---------------------7分AB CD ⊥222124d d OP ∴+==--------------------8分()()()2222121221991821818414ACBD S AB CD d d d d OP ∴=⋅=≤-+-=-+=-=-=--------------------10分当且仅当12d d =，即1k =±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=---------12分。
高二上学期数学期中考试卷(含答案)
高二上学期数学期中考试卷（含答案）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线10x y +-=的倾斜角为（ ）A ．30B ．60︒C ．120︒D ．135︒ 2．76是等差数列4，7，10，13， 的第（ ）项A ．25B ．26C ．27D ．283．若两条直线210ax y +-=与3610x y --=互相垂直，则a 的值为（ ）A ．4B ．-4C ．1D ．-14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1073=+a a ，则=9S （ ）A ．22.5B ．45C ．67.5D ．905． 已知直线l 过()2,1A -，且在两坐标轴上的截距为相反数，那么直线l 的方程是（ ）A ．02=+y x 或30x y -+=B ．10x y --=或30x y -+=C ．10x y --=或30x y +-=D ．02=+y x 或30x y +-= 6．设等比数列{}n a 的前n 项和为147258,9,18,n S a a a a a a ++=++=则9S =（ ）A ．27B ．36C ．63D ．727．已知圆()()111:221=-++y x C ，圆2C 与圆1C 关于直线01=--y x 对称，则圆2C 的方程为( )A ．B ．C ．D ．8．若数列{n a }的前n 项和为n S ＝2133n a +，n S =（ ）A ．123n -B ．1(2)3n --C ．2123+ D ．1(2)3n +- 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．9．一条光线从点()0,1射出，经x 轴反射后与圆22430x y x +-+=相切，则反射光线所在直线的方程是（ ）A ．4330x y --=B ．1=yC ．3440x y --=D ．1y =-10．已知等差数列{}n a 中，410a a =，公差0d <，则使其前n 项和n S 取得最大值的自然数n 是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．711．已知圆222450x y x y a +--+-=上有且仅有两个点到直线34150x y --=的距离为1，则实数a 的可能取值为（ ）A ．12-B ．8-C ．6D ．1-12．数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知27n S n n =-+，则下列说法正确的是（ ）A ．{}n a 是递增数列B ．1014a =-C ．当4n >时，0n a <D ．当3n =或4时，n S 取得最大值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知数列{}n a 中，11,111+-==+n n a a a ，则=2022a _________． 14．已知两条直线0162:,033:21=++=-+y x l y ax l ，若12//l l ，则直线1l 与2l 之间的距离=d ______．15．由正数组成的等比数列{}n a 中，若3654=a a a ，则=+++93832313log log log log a a a a ．16．点M 在圆()()93522=-+-y x 上，点M 到直线3x ＋4y －2＝0的最短距离为四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3，0)，B (2，1)，C (－2，3)，求： （1）BC 边所在直线的方程； （2）BC 边的垂直平分线DE 的方程． 18．（本小题满分12分）已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 3＝17，S 7＝98． （1）求{a n }的通项公式；（2）求S n 的最大值． 19．（本小题满分12分）已知圆()()2521:22=-+-y x C 及直线()()()R m m y m x m l ∈+=+++47112:．（1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒相交； （2）求直线l 被圆C 截得的弦长的最短长度及此时的直线方程． 20．（本小题满分12分）数列{}n a 中13a =，已知1(,)n n a a +在直线2y x =+上． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若3nn n b a =⋅,求数列{}n b 的前n 项和n T ．21．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 中，11a =，且22a 是1a 和14a 的等差中项．数列{}n b 满足，且12712,13,1++=+==n n n b b b b b ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和n T ． 22．（本小题满分12分）已知圆C 过点()6,2A ，且与直线010:1=-+y x l 相切于点()4,6B ． （1）求圆C 的方程；（2）过点()24,6P 的直线2l 与圆C 交于N M 、两点，若CMN ∆为直角三角形，求直线2l 的方程；（3）在直线2:3-=x y l 上是否存在一点Q ，过点Q 向圆C 引两切线，切点为F E 、，使QEF ∆为正三角形，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由．参考答案一、单选题题目 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DA AB AC BB二、多选题题目 9 10 11 12 答案ADCDABDCD三、填空题：13.2 14.20107 15.34 16.2 三、解答题：17.解：(1)因为直线BC 经过B (2，1)和C (－2，3)两点，所以BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2.因为BC 边的垂直平分线DE 经过BC 的中点(0，2)，所以所求直线方程为y －2＝2(x －0)， 即2x －y ＋2＝0.18.解：（1）因为{a n }是等差数列，设公差为d ，因为a 3＝17，S 77a 4＝98所以a 4＝14， 由d ＝a 4﹣a 3＝﹣3，所以a n ＝a 3+（n ﹣3）d ＝17﹣3（n ﹣3）＝﹣3n +26；（2）易知S n，当n ＝8时，S n 取得最大值S 8＝100．19.（1）将直线的方程变形为，令，解得，即直线过定点．因为，所以点在圆内部．所以不论m 为何实数，直线与圆恒相交．（2）由（1）的结论知直线过定点，且当直线时，此时圆心到直线的距离最大，进而被圆所截的弦长最短，故,从而此时，此时,直线方程为，即.20、【解析】（1）∵1(,)n n a a +在直线2y x =+上， ∴12n n a a +=+，即12n n a a +-=∴{}n a 是以3为首项，以2为公差的等差数列.32(1)21n a n n ∴=+-=+.（2）3,(21)3n n n n n b a b n =⋅∴=+⋅231335373(21)3(21)3n n n T n n -∴=⨯+⨯+⨯+⋯+-⋅++⋅ ① 23133353(21)3(21)3n n n T n n +∴=⨯+⨯+⋯+-⋅++⋅ ②由①-②得()23+12332333(21)3n n n T n -=⨯+++⋯+-+⋅()11191392(21)32313n n n n n -++-=+⨯-+⋅=-⋅-，13n n T n +∴=⋅.21、解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q 因为11a =，所以222131,a a q q a a q q ====.因为22a 是3a 和14a 的等差中项， 所以23144a a a =+， 即244q q =+， 解得2,q =所以1112n n n a a q --==.（2）因为212n n n b b b +++=， 所以{}n b 为等差数列. 因为171,13b b ==， 所以公差131271d -==-. 故21n b n =-.所以1122n n n T a b a b a b =++++⋯++()()1212n n a a a b b b =++⋅⋅⋅++++⋯+2121212112()2n n n n n -+-=+=+--22、（1）设圆心坐标为，则，解得：，圆的半径， 圆的方程为：.（2）为直角三角形，，，则圆心到直线的距离；当直线斜率不存在，即时，满足圆心到直线的距离；当直线斜率存在时，可设，即，，解得：，，即；综上所述：直线的方程为或.（3）假设在直线存在点，使为正三角形，，，设，，解得：或，存在点或，使为正三角形.。
北京市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含答案
北京市2023—2024学年第一学期期中阶段练习高二数学（答案在最后）2023.11班级____________姓名____________学号____________本试卷共3页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效.一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．．．．．．．．．.1.已知(1,3),(3,5)A B --，则直线AB 的斜率为（）A.2 B.1C.12D.不存在【答案】A 【解析】【分析】由斜率公式，可求出直线AB 的斜率.【详解】由(1,3),(3,5)A B --，可得35213AB k --==--.故选：A.2.圆222430x y x y +-++=的圆心为（）．A.(1,2)-B.(1,2)- C.(2,4)- D.(2,4)-【答案】A 【解析】【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，从而可求出其圆心坐标.【详解】由222430x y x y +-++=，得22(1)(2)2x y -++=，所以圆心为(1,2)-，故选：A3.一个椭圆的两个焦点分别是()13,0F -，()23,0F ，椭圆上的点P 到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（）A.2216428x y += B.221167x y += C.221169x y += D.22143x y +=【答案】B 【解析】【分析】利用椭圆的定义求解即可.【详解】椭圆上的点P 到两焦点的距离之和等于8，故28,4a a ==，且()13,0F -，故2223,7c b a c ==-=，所以椭圆的标准方程为221167x y +=.故选：B4.任意的k ∈R ，直线13kx y k -+=恒过定点（）A.()0,0 B.()0,1 C.()3,1 D.()2,1【答案】C 【解析】【分析】将直线方程整理成斜截式，即可得定点.【详解】因为13kx y k -+=，即()31y k x =-+，所以直线13kx y k -+=恒过定点()3,1.故选：C.5.已知圆221:1C x y +=与圆222:870C x y x +-+=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（）A.相离B.相交C.内切D.外切【答案】D 【解析】【分析】求出两圆的圆心和半径，得到12124C C r r ==+，得到两圆外切.【详解】圆221:1C x y +=的圆心为()10,0C ，半径为11r =，圆()22222:87049C x y x x y +-+=⇒-+=，故圆心()24,0C ，半径为23r =，则12124C C r r ==+，所以圆1C 与圆2C 的位置关系是外切.故选：D6.过点1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l 与圆2214x y +=有公共点，则直线l 的倾斜角取值范围是（）A.π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.2π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.π22π,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.5π,π6⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系及倾斜角与斜率的关系计算即可.【详解】易知圆的半径为12，圆心为原点，当倾斜角为π2时，即直线l 方程为12x =-，此时直线l 与圆相切满足题意；当斜率存在时，不妨设直线l方程为122y k x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则圆心到其距离为12d =≤，解不等式得33k ≤-，所以直线l 的倾斜角取值范围为π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：A7.“1a =-”是“直线1:430l ax y +-=与直线()2:320l x a y +-+=平行的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】求出当12l l //时实数的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】当12l l //时，()34a a -=，即2340a a --=，解得1a =-或4.当1a =-时，直线1l 的方程为430x y -+=，直线2l 的方程为420x y -+=，此时12l l //；当4a =时，直线1l 的方程为304x y +-=，直线2l 的方程为20x y ++=，此时12l l //.因为{}1-{}1,4-，因此，“1a =-”是“直线1:430l ax y +-=与直线()2:320l x a y +-+=平行”的充分不必要条件.故选：A.8.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AA AD AB ===，2BAD π∠=，113BAA A AD π∠=∠=，则11AB AD ⋅=（）A.12B.8C.6D.4【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量加法的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.【详解】()()21111111AB AD AB AA AD AA AB AD AB AA AD AA AA ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+ 211110222228,22AB AD ⇒⋅=+⨯⨯+⨯⨯+= 故选：B9.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC 的顶点()2,0A ，()1,2B ，且AC BC =，则△ABC 的欧拉线的方程为（）A.240x y --=B.240x y +-=C.4210x y ++=D.2410x y -+=【答案】D 【解析】【分析】由题设条件求出AB 垂直平分线的方程，且△ABC 的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，结合欧拉线的定义，即垂直平分线即为欧拉线.【详解】由题设，可得20212AB k -==--，且AB 中点为3(,1)2，∴AB 垂直平分线的斜率112AB k k =-=，故垂直平分线方程为131()12224x y x =-+=+，∵AC BC =，则△ABC 的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，∴△ABC 的欧拉线的方程为2410x y -+=.故选：D10.曲线33:1C x y +=.给出下列结论:①曲线C 关于原点对称;②曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1;③曲线C 只经过2个整点(即横､纵坐标均为整数的点).其中,所有正确结论的序号是A.①② B.②C.②③D.③【答案】C 【解析】【分析】将(),x y --代入，化简后可确定①的真假性.对x 分成0,0,01,1,1x x x x x <=<<=>等5种情况进行分类讨论，得出221x y +≥，由此判断曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1.进而判断出②正确.对于③，首先求得曲线C 的两个整点()()0,1,1,0，然后证得其它点不是整点，由此判断出③正确.【详解】①，将(),x y --代入曲线33:1C x y +=，得331x y +=-，与原方程不相等，所以曲线C 不关于原点对称，故①错误.②，对于曲线33:1C x y +=，由于331y x =-，所以y =，所以对于任意一个x ，只有唯一确定的y和它对应.函数y =是单调递减函数.当0x =时，有唯一确定的1y =；当1x =时，有唯一确定的0y =.所以曲线C 过点()()0,1,1,0，这两点都在单位圆上，到原点的距离等于1.当0x <时，1y >，所以221x y +>>.当1x >时，0y <，所以221x y +>>.当01x <<时，01y <<，且()()()()223322221110x y x y x y x x y y -+=+-+=-+-<，所以221x y +>>.综上所述，曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1，所以②正确.③，由②的分析可知，曲线C 过点()()0,1,1,0，这是两个整点.由331x y +=可得()331x y -=-，当0x ≠且1x ≠时，若x 为整数，31x -必定不是某个整数的三次方根，所以曲线C 只经过两个整点.故③正确.综上所述，正确的为②③.故选：C【点睛】本小题主要考查根据曲线方程研究曲线的性质，属于中档题.二、填空题：本大题共5小题，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上．．．．．．．．．．．．．．．.11.已知空间()2,3,1a = ，()4,2,b x =- ，a b ⊥ ，则b ＝_____．【答案】【解析】【分析】根据空间向量的垂直，根据数量积的坐标表示，建立方程，结合模长公式，可得答案.【详解】由a b ⊥ ，且()2,3,1a = ，()4,2,b x =- ，则860a b x ⋅=-++=r r ，解得2x =，故b =r.故答案为：12.已知过点(0,2)的直线l 的方向向量为(1,6)，点(,)A a b 在直线l 上，则满足条件的一组,a b 的值依次为__________．【答案】1；8【解析】【分析】根据方向向量设出直线l 的方程，再由点(0,2)求出其方程，从而得出62b a =+，即可得出答案.【详解】直线l 的方向向量为(1,6)，可设直线l 的方程为60x y C -+=因为点(0,2)在直线l 上，所以2C =，即直线l 为620x y -+=所以620a b -+=，即62b a =+可取1a =，则8b =故答案为：1；813.在正方体ABCD A B C D -''''中，E 是C D ''的中点，则异面直线DE 与AC 所成角的余弦值为______.【答案】10【解析】【分析】利用正方体的特征构造平行线，利用勾股定理及余弦定理解三角形即可.【详解】如图所示，取A B ''的中点F ，易得//AF DE ，则FAC ∠或其补角为所求角，不妨设正方体棱长为2，则,3,AF FC FC AC '====，由余弦定理知：222cos 210AF AC FC FAC AF AC +-∠==⋅，则FAC ∠为锐角，即异面直线DE 与AC 所成角.故答案为：1010.14.将一张坐标纸对折，如果点()0,m 与点()()2,22m m -≠重合，则点()4,1-与点______重合.【答案】()1,2--【解析】【分析】先求线段AB 的中垂线方程，再根据点关于直线对称列式求解即可.【详解】已知点()0,A m 与点()2,2B m -，可知线段AB 的中点为1,122mm M ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，且212AB mk m -==--，则线段AB 的中垂线的斜率1k =，则线段AB 的中垂线方程为1122m m y x ⎛⎫⎛⎫-+=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即20x y -+=，设点()4,1-关于直线20x y -+=的对称点为(),a b ，则114412022b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩，所以所求点为()1,2--.故答案为：()1,2--.15.给定两个不共线的空间向量a 与b，定义叉乘运算：a b ⨯ .规定：（i ）a b ⨯ 为同时与a，b垂直的向量；（ii ）a，b ，a b ⨯三个向量构成右手系（如图1）；（iii ）sin ,a b a b a b ⨯=.如图2，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =.给出下列四个结论：①1AB AD AA ⨯= ；②AB AD AD AB ⨯=⨯；③()111AB AD AA AB AA AD AA +⨯=⨯+⨯ ；④()11111ABCD A B C D V AB AD CC -=⨯⋅.其中，正确结论的序号是______________.【答案】①③④【解析】【分析】由新定义逐一核对四个选项得答案．【详解】解： ||||||sin902214AB AD AB AD ⨯=︒=⨯⨯=，且1AA 分别与,AB AD 垂直，∴1AB AD AA ⨯= ，故①正确；由题意，1AB AD AA ⨯= ，1AD AB A A ⨯=，故②错误；AB AD AC +=，∴11|()|||41AB AD AA AC AA +⨯=⨯=⨯= 且1()AB AD AA +⨯ 与DB 共线同向， 1||2418AB AA ⨯=⨯⨯= ，1AB AA ⨯ 与DA 共线同向，1||2418AD AA ⨯=⨯⨯= ，1AD AA ⨯ 与DB共线同向，11||AB AA AD AA ∴⨯+⨯= 11AB AA AD AA ⨯+⨯ 与DB共线同向，故③正确；11()||||||sin90cos022416AB AD CC AB AD CC ⨯=⨯⨯︒⨯︒=⨯⨯=，故④成立．故答案为：①③④．三、解答题：本大题共6题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，并把答案．．．写在答题纸中相应位置上．．．．．．．．．．．.16.在平面直角坐标系中，已知(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，线段AC 的中点M ；（1）求过M 点和直线BC 平行的直线方程；（2）求BC 边的高线所在直线方程．【答案】（1）3170x y -+=（2）30x y +=【解析】【分析】（1）根据(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，求得点M 的坐标，和直线直线BC 的斜率，写出直线方程；（2）根据13BC k =，得到BC 边的高线的斜率，写出直线方程；【小问1详解】解：因为(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，所以()1,6M ，13BC k =，所以过M 点和直线BC 平行的直线方程为()1613y x -=-，即3170x y -+=；【小问2详解】因为13BC k =，所以BC 边的高线的斜率为-3，所以BC 边的高线所在直线方程()933y x -=-+，即30x y +=17.如图，在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1BB 的中点.（1）求证：1//BC 平面1AED ；（2）求点1A 到平面1AED 的距离；（3）直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）43（3）23【解析】【分析】（1）证明出四边形11ABC D 为平行四边形，可得出11//BC AD ，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点1A 到平面1AED 的距离；（3）利用空间向量法可求得直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值.【小问1详解】证明：在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB C D 且11AB C D =，故四边形11ABC D 为平行四边形，则11//BC AD ，因为1BC ⊄平面1AED ，1AD ⊂平面1AED ，因此，1//BC 平面1AED .【小问2详解】解：以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()0,2,1E 、()12,0,2D ，所以，()10,0,2AA = ，()12,0,2AD = ，()0,2,1AE = ，设平面1AED 的法向量为(),,n x y z = ，则122020n AD x z n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取2z =-，可得()2,1,2n =- ，所以，点1A 到平面1AED 的距离为143AA n d n⋅== .【小问3详解】解：因为11142cos ,233AA n AA n AA n ⋅<>===⨯⋅ ，因此，直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值为23.18.已知圆C 的圆心在直线20x y -=上，且与x 轴相切于点()1,0.（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 直线:0l x y m -+=交于A ，B 两点，____，求m 的值.从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：圆C 被直线l 分成两段圆弧，其弧长比为2:1；条件②：2AB =；条件③：90ACB ∠=︒.【答案】（1）()()22124x y -+-=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用几何关系求出圆心的坐标即可；（2）任选一个条件，利用选择的条件，求出圆心到直线的距离，然后列方程求解即可.【小问1详解】设圆心坐标为(),C a b ，半径为r .由圆C 的圆心在直线20x y -=上，知：2a b =.又 圆C 与x 轴相切于点()1,0，1a ∴=，2b =，则02r b =-=.∴圆C 圆心坐标为()1,2，则圆C 的方程为()()22124x y -+-=【小问2详解】如果选择条件①：120ACB ∠=°，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离1cos 60d CA =⨯= ，则1d ==，解得1m +或1+.如果选择条件②和③：AB =，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离d =，则d ==，解得1m =-或3.如果选择条件③：90ACB ∠=︒，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离cos 45d CA ⨯== ，则d ==，解得1m =-或3.19.如图，四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面ABP ，,90,2,3,BC AD PAB PA AB AD BC m ∠=︒==== ，E 是PB 的中点．（1）证明：AE ⊥平面PBC ；（2）若二面角C AE D --的余弦值是33，求m 的值；（3）若2m =，在线段A 上是否存在一点F ，使得PF CE ⊥．若存在，确定F 点的位置；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）1（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）推导出⊥BC 平面PAB ．,AE BC AE PB ⊥⊥．由此能证明AE ⊥平面PBC ;（2）建立空间直角坐标系A xyz -，利用向量法能求出m 的值;（3）设()()0,0,03F t t ≤≤，当2m =，()0,0,2C ，()()2,0,,1,1,2PF t CE ==-- ，由PF CE ⊥知，0PF CE ⋅= ,220,1t t --==-，这与03t ≤≤矛盾,从而在线段AD 上不存在点F ，使得PF CE ⊥．【小问1详解】证明：因为AD ⊥平面PAB ，BC AD ∥,所以⊥BC 平面PAB ,又因为AE ⊂平面PAB ，所以AE BC ⊥．在PAB 中，PA AB =，E 是PB 的中点，所以AE PB ⊥．又因为BC PB B = ,,BC PB ⊂平面PBC ,所以AE ⊥平面PBC ．【小问2详解】因为AD ⊥平面PAB ，,AB PA ⊂平面PAB ，所以,AD AB AD PA ⊥⊥,又因为PA AB ⊥,所以如图建立空间直角坐标系A xyz -．则()()()()()()0,0,0,0,2,0,0,2,,1,1,0,2,0,0,0,0,3A B C m E P D ,则()0,2,AC m = ，()1,1,0AE = ，设平面AEC 的法向量为 =s s ．则00AC n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即200y mz x y +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =-，2z m =，故21,1,n m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥,又AE PB ⊥,,,AD AE A AD AE ⋂=⊂平面AED ,所以PB ⊥平面AED ．又因为()2,2,0PB =- ，所以取平面AED 的法向量为()2,2,0PB =-所以cos ,3n PB n PB n PB⋅== ，3=，解得21m =．又因为0m >，所以1m =；【小问3详解】结论：不存在．理由如下：证明：设()()0,0,03F t t ≤≤．当2m =时，()0,0,2C ，()()2,0,,1,1,2PF t CE =-=-- ，由PF CE ⊥知0PF CE ⋅= ,220,1t t --==-，这与03t ≤≤矛盾,所以在线段AD 上不存在点F ，使得PF CE ⊥．20.已知圆()22:1C x a y -+=与直线1y x --=交于M 、N 两点，点P 为线段MN 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为13-.（1）求a 的值及MON △的面积；（2）若圆C 与x 轴交于,A B 两点，点Q 是圆C 上异于,A B 的任意一点，直线QA 、QB 分别交:4l x =-于,R S 两点.当点Q 变化时，以RS 为直径的圆是否过圆C 内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）12,2MON a S =-=（2）()4-【解析】【分析】（1）先确定直线OP 的方程，联立直线方程求得P 点坐标，利用垂径定理及两直线垂直的斜率关系计算可得a ，再根据点到直线的距离公式、弦长公式计算求面积即可；（2）设QA 方程，含参表示QB 方程，求出,R S 坐标，从而求出以RS 为直径的圆的方程，利用待定系数法计算即可.【小问1详解】由题知：直线OP 方程为13y x =-，则由113y x y x =--⎧⎪⎨=-⎪⎩，得到3212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 点P 为线段MN 的中点，MN PC ∴⊥，即1021132MN PC k k a -⋅=-⨯=-+，2a ∴=-，即圆心−2,0；C ∴到直线=1y x --距离为2d ==，MN ∴==，又O 到直线=1y x --的距离为22，MN 边上的高为22.11222MON S ∴=⨯= .【小问2详解】由上可知()()3,0,1,0A B --,不妨设直线QA 的方程为()3y k x =+，其中0k ≠，在直线QA 的方程中，令4x =-，可得()4,R k --，因为QA QB ⊥，则直线QB 的方程为()11y x k =-+，在直线QB 的方程中，令4x =-，可得3y k =，即点34,S k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则线段RS 的中点为234,2k F k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径平方为2232k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以，以线段MN 为直径的圆的方程为()2222233422k k x y k k ⎛⎫⎛⎫-+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()2223430k x y y k -++--=，由()2430031x y x ⎧+-=⎪=⎨⎪-<<-⎩，解得40x y ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，因此，当点Q 变化时，以RS 为直径的圆恒过圆C内的定点()4-+.21.已知{}1,2,,n S = ，A S ⊆，{}12,T t t S =⊆，记{}(),1,2i i A x x a t a A i ==+∈=，用X 表示有限集合X 的元素个数.（1）若4n =，12A A =∅ ，分别指出{}1,2,3A =和{}1,2,4A =时，集合T 的情况（直接写出结论）；（2）若6n =，12A A =∅ ，求12A A ⋃的最大值；（3）若7n =，4A =，则对于任意的A ，是否都存在T ，使得12A A =∅ 说明理由.【答案】（1）{}1,4（2）10（3）不一定存在，理由见解析【解析】【分析】（1）由已知得12t t a b -≠-，其中,a b A ∈，当{}1,2,3A =时，12t t ，相差3；由此可求得T ，当{}1,2,4A =时，同理可得；（2）若6n =，12A A =∅ ，{}123456S =,,,,,，当{}2,3,4,5,6A =时，则12t t ，相差5，所以{}1,6T =，A 中至多有5个元素，所以12,A A 也至多有5个元素，求出12,A A 得出结果；（3）举反例{}1,2,5,7A =和{}{}1,2,3,4,1,6A T ==，根据题意检验即可说明.【小问1详解】若12A A =∅ ，则12t t a b -≠-，其中,a b A ∈，否则12t a t b +=+，12A A ⋂≠∅，若4n =，当{}1,2,3A =时，211-=，312-=，所以121,2t t -≠，则1t ，2t 相差3，因为1,2,3,4S =，{}12,T t t S =⊆，所以{}1,4T =；当{}1,2,4A =时，211-=，422-=，413-=，所以121,2,3t t -≠，因为1,2,3,4S =，{}12,T t t S =⊆，所以T 不存在；【小问2详解】若6n =，12A A =∅ ，{}123456S =,,,,,，当A S =时，211-=，514-=，523-=，716-=，72=5-，752-=，所以A S ≠，121,2,3,4,5t t -≠，所以T 不存在；所以A 中至多有5个元素；当{}2,3,4,5,6A =时，321-=，422-=，523-=，624-=，所以121,2,3,4t t -≠，则1t ，2t 相差5，所以{}1,6T =；{}(),1,2i i A x x a t a A i ==+∈=，所以{}1345,6,7A =,,，{}28910,11,12A =,,，{}12345,6,7,8910,11,12A A = ,,,,.因为A 中至多有5个元素，所以1A ，2A 也至多有5个元素，所以12A A ⋃的最大值为10.【小问3详解】不一定存在，理由如下：例如{}1,2,5,7A =，则211-=514-=，523-=，716-=，72=5-，752-=，则1t ，2t 相差不可能1，2，3，4，5，6，这与{}{}12,1,2,3,4,5,6,7T t t =⊆矛盾，故不都存在T ；例如{}{}1,2,3,4,1,6A T ==，不妨令121,6t t ==，则{}{}122,3,4,5,7,8,9,10A A ==，满足12A A =∅ .【点睛】关键点点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，并把定义进行转化为已知的知识点或结论，方便解题.。
2024-2025学年高二数学上学期期中必刷题精选(压轴6类考点专练)(原卷版)
高二上学期期中必刷题精选（压轴6类考点专练）一、单选题1．（24-25高三上·云南玉溪·阶段练习）在下图所示直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，π1,3AB DAB =Ð=，12AA =，动点P 在体对角线1BD 上，则顶点B 到平面APC 距离的最大值为（ ）A ．12BCD2．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）在正方体1111ABCD A B C D -中，平面a 经过点B ，D ，平面b 经过点A ，1D ，当平面a ，b 分别截正方体所得截面面积最大时，平面a 与平面b 的夹角的余弦值为（ ）ABC ．12D ．133．（24-25高二上·河北·在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，1AA =2BC BO =uuu r uuu r ，M 为棱11B C 上的动点，N 为线段AM 上的动点，且MN MOMOMA=，则线段MN 长度的最小值为（ ）A ．2BC D 4．（24-25高二上·云南大理·阶段练习）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，11AA =，O 是AC 的中点，点P 在线段11A C上，若直线OP 与平面1ACD 所成的角为q ，则sin q 的取值范围是（ ）A．B．C．D ．5．（24-25高二上·重庆·阶段练习）长方体11ABCD ABC D -，1AB BC ==，12BB =，动点P 满足1(,[0,1])BP BC BBl m l m =+Îuuu r uuur uuur，1AP BD ^，则二面角P AD B --的正切值的取值范围是（ ）A ．10,4éùêúëûB ．10,2éùêúëûC ．11,42éùêúëûD ．1,12éùêúëû二、多选题6．（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）在长方体1111ABCD A B C D -中，12,4AB BC CC ===，点E 在棱1AA 上，且13AE EA =．点M 为线段11B D 上动点（包括端点），则下列结论正确的是（ ）A ．当点M 为11B D 中点时，1C M ^平面11BB D DB ．过E 点作与直线1BD 垂直的截面a ，则直线AD 与截面aC ．三棱锥E BDM -的体积是定值D ．点M 到直线1BC 7．（24-25高二上·吉林·阶段练习）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1BB 上一点，且12B P PB =，Q 为正方形11BB C C 内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（ ）A ．若1D Q ∥平面1A PD ，则动点Q 的线段B ．存在点Q ，使得1D Q ⊥平面1A PDC ．三棱锥1Q A PD -的最大体积为518D ．若1D Q ，且1D Q 与平面1A PD 所成的角为q ，则sin q 三、填空题8．（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ^底面ABCD ，DAB Ð为直角，//AB CD ，AD CD ==2AB ，E ，F 分别为PC ，CD 的中点，(0)PA kAB k =>，且二面角E BD C --的平面角大于30°，则k 的取值范围是 .9．（湖北省问津教育联合体2024-2025学年高二上学期10月联考数学试卷）正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是1AA 的中点，点F 为正方形11AA B B 内一动点，且//CF 平面1DEC ，若异面直线CF 与11A D 所成角为q ，则cos q 的最小值为 .一、单选题1．（24-25高二上·江西·阶段练习）点()2,3-关于直线2230x y +-=对称的点的坐标为（ ）A ．37,22æö-ç÷èøB ．73,22æö-ç÷èøC ．53,22æö-ç÷èøD ．35,22æö-ç÷èø2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线1l 过点()2,4A ，与x 轴交于点()3,0B ，直线1l 与2l 关于y 轴对称，则直线2l 的方程为（ ）A ．4120x y +-=B ．4120x y -+=C ．45120x y +-=D ．45120x y -+=3．（2025高三·全国·专题练习）已知0x y +=）AB ．CD ．4．（24-25高二上·天津·开学考试）已知点()3,6A -和()1,2B ，在x 轴上求一点M ，使AM BM +最小，那么点M 的坐标为（ ）A ．()2,0-B ．()1,0C ．()4.4,0D ．()0,05．（24-25高二上·云南玉溪·期中）一光线过点(2,4)，经倾斜角为3π4的且过(0,1)的直线l 反射后过点(5,0)，则反射后的光线不会经过下列哪个点（ ）A ．11,2æö-ç÷èøB ．32,8æö-ç÷èøC ．13,4æö-ç÷èøD ．14,4æö-ç÷èø6．（24-25高二上·全国·课后作业）若点M 在直线:1l y x =--上，则点M 到点()()2,1,3,4A B 的距离之和的最小值为（ ）A ．BC ．D ．7．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）直线1(1):220l x m y m ++--=与直线2:(1)220l m x y m +---=相交于点P ，对任意实数m ，直线12,l l 分别恒过定点,A B ，则||||PA PB +的最大值为（ ）A ．2B ．C ．D ．48．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知P ，Q 是直线:10l x y -+=上两动点，且||PQ (4,6)A -，(0,6)B ，则||||||AP PQ QB ++的最小值为（ ）A．10B．10C．D ．12一、单选题1．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知点A 、B 在圆22:16O x y +=上，且AB 的中点M 在圆22:(2)1C x y -+=上，则弦长AB 的最小值为（ ）A．B．C．D．2．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）若经过点()1,2且半径大于1的圆与两坐标轴都相切，若该圆上至少有三个不同的点到直线0x y c -+=的距离等于52，则实数c 的取值范围是（ ）A．æçèB ．55,22æö-ç÷èøC．éêëD ．55,22éù-êúëû3．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知直线1:310(R)l mx y m m --+=Î与直线2:310(R)l x my m m +--=Î相交于点P ，则P 到直线0x y +=的距离d 的取值范围是（ ）A．B．C．D．4．（24-25高二上·四川自贡·阶段练习）.已知点(,)P x y 为直线240l x y ++=：上的动点，过P 点作圆22:(1)1C x y +-=的切线PA ，PB ，切点为,A B ，则PAB V 周长的最小值为（）A．4B．5C．4D．4+5．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）已知,A B 两点的坐标分别为()()0,1,1,0A B ，两条直线1:10l mx y -+=和()2:10l x my m +-=ÎR 的交点为P ，则AP BP +的最大值为（ ）ABC ．1D ．26．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知圆()22:11C x y -+=，直线:(1)l y k x =+，若直线与x 轴交于点A ，过直线l 上一点P 作圆C 的切线，切点为T，且PA =，则k 的取值范围是（ ）.A．éêëB ．11,33éù-êúëûC．13éùêúëûD．13é-êë7．（24-25高二上·黑龙江鹤岗·阶段练习）设m ÎR ，22:260M x y x y +--=e ．若动直线1:20l x my m +--=与M e 交于点A ，C ，动直线2210:mx y l m --+=与M e 交于点B ，D ，则AC BD +的最大值是（ ）A．B．C．D．8．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）已知圆()()221122:(4)4,,,,C x y A x y B x y -+=是圆上的两个动点，且AB =，则112211x y x y -++-+的最大值为（ ）A．10-B1+C．5D．10+一、单选题1．（23-24高二上·湖南常德·阶段练习）如图，已知12F F 、分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，现以2F 为圆心作一个通过双曲线中心的圆并且交双曲线C 于M N 、两点．若直线1MF 是圆2F 的切线，则该双曲线的离心率为（ ）A1BC．D22．（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左焦点为1F ，O 为坐标原点，若在C 的右支上存在关于x 轴对称的两点,P Q ，使得1PF Q △为正三角形，且1OQ F P ^，则C 的离心率为（）A B ．1C D ．13．（2022·陕西榆林·模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线C 的右支上，直线1PF 与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若114PF HF =，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．73B ．53C D 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点为12,,,F F P Q 为C 在第一象限的两个动点，且1212π,6PF QF PF F l =Ð=uuu r uuuu r ，若123PF QF =，则C 的离心率为（ ）A B ．12C D 5．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P是C 上一点，且212PF F F ^，H 是线段1PF 上靠近1F 的四等分点，且10OH PF ×=uuur uuu r，则C 的离心率为（ ）A B 1C 1D 6．（2025·四川巴中·模拟预测）已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左，右焦点，A ，B 是椭圆C 上的两点．若122F A F B =uuu r uuu u r ，且1π4AF F Ð=，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．13BCD ．237．（24-25高二上·浙江温州·阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与椭圆C 交于,M N 两点，若21225MNF MF F S S =V V 且2121F F N F NF ÐÐ=，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．35B C ．13D 8．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆()22112211:10x yE a b a b +=>>与双曲线()22222222:10,0x y C a b a b -=>>共焦点，12,F F 分别为左、右焦点，点P 为E 与C 的一个交点，且12120F PF Ð=°，设E 与C 的离心率分别为12,e e ，则2212e e +的取值范围是（ ）A ．)+¥B ．)+¥C ．()2,+¥D ．()3,+¥一、单选题1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线2:24C y x =的焦点为F ，定点()6,3,Q P 为C 上一动点，则PF PQ +的最小值为（ ）A ．12B ．14C ．16D ．182．（23-24高三上·广东广州·期中）直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点.若3AF BF =，则AB =（ ）A ．83B ．3C ．163D ．323．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点,A B 为抛物线22y x =上异于原点的两个动点，若AB 4=，则线段AB 中点的横坐标的最小值为（ ）A ．1B ．32C ．53D ．24．（2024·辽宁锦州·模拟预测）抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以点F 为圆心，以AF 为半径的圆与l 交于点B ，D ，与x 轴交于点M ，N ，若AB FM =uuu r uuuu r，则AM =uuuu r （ ）A．B．C．D．5．（23-24高二下·浙江·2:4C x y =，过抛物线C 焦点的直线交抛物线C 于A B 、两点，交圆22:20E x y y +-=于M N 、两点，其中A M 、位于第一象限，则14AM BN+的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知,A B 为抛物线()220y px p =>上的两个动点，以AB 为直径的圆C 经过抛物线的焦点F ，且面积为4π，若过圆心C 作该抛物线准线l 的垂线，垂足为D ，则CD 的最大值为（ ）.A ．4B．C．D ．67．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知抛物线28y x =上一点P 到准线的距离为1d ，到直线:43120l x y -+=的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于(,A B A 在第一象限）两点，O 为坐标原点，若39AB BF ==，则OAB △的面积是（ ）A．B ．6C．D ．12一、解答题1．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左焦点为,F P 是椭圆上任意一点，PF 的最大值为3，最小值为1．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知1,12M æöç÷èø是椭圆内一点，过点M 任做一条直线与椭圆交于B C 、两点，求以M 为中点的弦所在的直线方程．2．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，右焦点到双曲线C 的一条渐近线的距离为1A ，B 在双曲线C 上，线段AB 的中点为(2,)(0)M m m m ≠.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)O 为坐标原点，若OAB △的面积为23，求直线AB 的方程.3．（24-25高三上·云南大理·开学考试）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点()3,1P ，焦距为，斜率为13-的直线l 与椭圆C 相交于异于点P 的,M N 两点，且直线,PM PN 均不与x 轴垂直.(1)求椭圆C 的方程.(2)记直线PM 的斜率为1k ，直线PN 的斜率为2k ，证明:12k k 为定值.(3)若MN A =为椭圆C 的上顶点，求AMN V 的面积.4．（23-24高二上·江苏南通·2:2(0)y px p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且3MF OF =，MFO △(1)求E 的方程;(2)若不过点F 的直线l 与E 交于A ，B 两点，ABF △的重心在直线2y =上，且13.AF BF +=则满足条件的直线l 是否存在，若存在求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．5．（24-25高三上·黑龙江大庆·阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点(A 在C 上，且离心率e =(1)求双曲线C 的方程;(2)记点A 在x 轴上的射影为点B ，过点B 的直线l 与C 交于M ，N 两点.探究:2211||||BM BN +是否为定值，若是，求出该定值;若不是，请说明理由.6．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点()3,1P ，焦距为13-的直线l 与椭圆C 相交于异于点P 的,M N 两点，且直线,PM PN 均不与x 轴垂直.(1)求椭圆C 的方程；(2)若MN =MN 的方程；(3)记直线PM 的斜率为1k ，直线PN 的斜率为2k ，证明:12k k 为定值.7．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知动点(,)P x y 到定点(2,0)F 的距离与动点P 到定直线2x =-的距离相等，若动点P 的轨迹记为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)不过点F 的直线与C 交于横坐标不相等的A ，B 两点，且6AF BF +=，若AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，证明：N 为定点．8．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点(2,0)D ，过F 的直线交C 于,M N 两点，直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为,A B ，记直线,MN AB 的斜率分别为12,k k .(1)求证：12k k 为定值；(2)直线AB 是否过定点？若过定点，求出定点坐标．9．（2024高三下·河南·专题练习）动点(),P x y 与定点()2,0F 的距离和它到定直线1:2l x =的距离的比是2，记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)过()2,0R -的直线l 与C 交于,A B 两点，且(0)RA aRB a =>uuu r uuu r ，若点M 满足AM aMB =uuuu r uuu r ，证明：点M 在一条定直线上.10．（2024·青海海南·二模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的虚轴长为(3,2)P -在C 上.设直线l 与C 交于A ，B 两点（异于点P ），直线AP 与BP 的斜率之积为13.(1)求C 的方程；(2)证明：直线l 的斜率存在，且直线l 过定点.11．（24-25高二上·广西梧州·阶段练习）已知O 为坐标原点，动点P 到x 轴的距离为d ，且22||OP d l m =+，其中,l m 均为常数，动点P 的轨迹称为(),l m 曲线.(1)若1,2m æöç÷èø曲线为焦点在y 轴上的椭圆，求m 的取值范围.(2)设曲线Ω为19,8æö-ç÷èø曲线，斜率为()0k k ≠的直线l 过Ω的右焦点，且与Ω交于,A B 两个不同的点.（i ）若2k =，求AB ；（ii ）若点B 关于x 轴的对称点为点D ，证明：直线AD 过定点.12．（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 关于直线2y =-的对称点为()0,5-．(1)求C 的方程；(2)若O 为坐标原点，过焦点F 且斜率为1的直线l 交C 于A B 、两点，求|AB |；(3)过点()4,1M 的动直线l 交C 于不同的,A B 两点，N 为线段AB 上一点，且满足AM BN AN BM ×=×，证明：点N 在某定直线上，并求出该定直线的方程．。
高二上学期期中考试数学试卷Word版含答案
高二数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．对命题“0x R ∃∈,200240x x -+>”的否定正确的是（ ） A.0x R ∃∈， 200240x x -+> B.x R ∀∈， 2240x x -+≤ C.x R ∀∈， 2240x x -+>D.x R ∀∈， 2240x x -+≥2. 已知命题p 及命题q ，则命题“p ∧q ”为假是命题“p ∨q ”为假的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知ABC △的三个内角满足sin sin sin 511:13A B C =:::，则ABC △是 A ．等腰三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形D ．钝角三角形4．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）A.2,4,120a b A ===︒B.3,2,45a b A ===︒C. 6,60b c C ===︒D.4,3,30b c C ===︒5．设等差数列|{}n a 的前n 项和为n S ，若2372a a a =，540S =，则7a =（ ） A.13B.15C.20D.226．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若418a a =，则51S S =（ ） A.32B.31C.16D.157．已知数列{}n a 前n 项和2n S n =-，则数列{}n a 是（ ） A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列8．若数列{n a }满足111n na a +=-，且12a =，则2010a = （ ）A ．-1B ．12C ．2D ．329．若关于x 的不等式2210x ax ++>在[)0,∞上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A.()1,+∞B.[)1,+∞C.()1,-+∞D.[)1,-+∞10．已知a b >，且1ab =，则22a b a b+-的最小值是（ ）A ．3B．2+C ．2D．11．设x ，y 满足24020330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则21y z x =+的范围（）A.19,27⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.118,27⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.161,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.81,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．如图，在ABC ∆中，AD 为BC 边上的高，2AE ED =，3BAC π∠=，3AB =，2AC =，则AE CE ⋅uu u r uur的值为（ ）A.67- B.23-C.-2D.23二．填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．在△ABC 中，A ＝45°，c ＝2，则AC 边上的高等于_________________．14．数列{}n a 中，若1111n n na a a n +==+，，则n a = ______ ． 15．给出下列结论：①若p q ∨为真命题，则p 、q 均为真命题;②已知,p q 为两个命题，若p q ∨“”为假命题，则()()“”p q ⌝⌝∧为真命题；③若命题命题则命题是假命题；④“若0,xy =则0x =且0y =”的逆否命题为真命题. 其中正确的结论有____.16．在数列{}n a 中，11a =，()211nn n a a ++-=，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，则60S =三．解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本大题10分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c，且222b c a +-=.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a =1b =，求ABC ∆的面积.18．（本大题12分）已知等比数列{}n a 的公比2q ＝，且2341a a a ，，+成等差数列．(1)求1a 及n a ；(2)设n n b a n +＝，求数列{}n b 的前5项和5S ．19.（本大题12分）已知m R ∈，命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式22log (1)23x m m+-≥-恒成立；命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得112xm ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭成立.（Ⅰ）若p 为真命题，求m 的取值范围；（Ⅱ）若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围.20.（本大题12分）在公差为d 的等差数列{}n a 中，16a d =，1a N ∈，d N ∈，且1a d >. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若1a ，4a ，13a 成等比数列，求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .21.（本大题12分）在ABC ∆ 中，角A B C ，， 所对的边分别为a b c ，， .已知cos (2)cos ,b C a c B b =-=（1）若2c =，求ABC ∆的周长；（2）若ABC ∆为锐角三角形，求a c - 的取值范围.22.（本大题12分）在数列{}n a ，{}n b 中，已知1111,2n n a a a +==，且()*1212(1)(41),6n b b nb n n n n N ++⋯+=+-∈.(Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (Ⅱ)求数列{}n n a b 的前n 项和n T .高二数学答案一．选择题1．B 【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“存在2000,240x R x x ∈-+>”的否定是：2,240x R x x ∀∈-+≤”，故选B.2.．B 【解析】若命题“p ∧q ”为假命题，则p 为假命题，q 为假命题；p 为真命题，q 为假命题；p 为假命题，q 为真命题。
人教版高二上学期期中考试数学试题与答案解析(共两套)
人教版高二上学期期中考试数学试题（一） （本卷满分150分，考试时间120分钟）测试范围：选择性必修第一册：第一章、第二章、第三章一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知两个非零向量)(111z y x a ，，=，)(222z y x b ，，=，则这两个向量在一条直线上的充要条件是( )。
A 、||||b b a a ：：= B 、212121z z y y x x == C 、0212121=++z z y y x x D 、存在非零实数k ，使b k a =2．已知焦点在x 轴上的双曲线的焦距为32，焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为( )。
A 、1222=-y xB 、1222=-y xC 、1222=-x y D 、1222=-x y3．若直线m my x +=+2与圆012222=+--+y x y x 相交，则实数m 的取值范围为( )。
A 、)(∞+-∞， B 、)0(，-∞ C 、)0(∞+， D 、)0()0(∞+-∞，， 4．点)24(-，P 与圆422=+y x 上任一点连线的中点的轨迹方程是( )。
A 、1)1()2(22=++-y x B 、4)1()2(22=++-y x C 、1)1()2(22=-++y x D 、4)2()4(22=-++y x5．若P 、Q 分别为直线01243=-+y x 与0586=++y x 上任意一点，则||PQ 的最小值为( )。
A 、59 B 、1029 C 、518 D 、5296．已知椭圆C ：12222=+b y a x (0>>b a )的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为 30的直线与圆222b y x =+相交的弦长为b 3，则椭圆的离心率为( )。
A 、21 B 、22 C 、43 D 、237．已知点1F 是抛物线C ：py x 22=的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F 、2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )。
高二上学期数学期中试题(含答案)
高二（上）期中数学试卷第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（每小题4分，共12小题，共48分）1.已知数列{n a }的通项公式是n a ＝252+n n (n ∈*N )，则数列的第5项为( ） A.110 B.16 C.15 D.12 2.在△ABC 中，a b c 、、分别是三内角A B C 、、的对边, ︒=︒=45,75C A ,2b =,则此三角形的最小边长为（ ）A ．46B ．322C ．362D ． 42 3(理)．在等差数列{n a }中，已知,21=a ,1332=+a a 则654a a a ++等于（ ）A.40B.42C.43D.453（文）．已知等差数列a n 中，a 2+a 4=6，则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=（ ） A ． 30 B ． 15 C ． D ．4. 下列说法中正确的是( )A ．若ac ＞bc ，则a ＞bB ．若a 2＞b 2，则a ＞bC ．若1a ＞1b ，则a ＜bD ．若a ＜b ，则a ＜b5. 在ABC ∆中，A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知bc c b a ++=222，则A 等于（ ）A. 120B. 60C. 45D. 306.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5418a a -=，则8S 等于（ ）A ．36B ．54C ．72D ．187（理）. 不等式0442>-+-x x 的解集是（ ）A.RB.ΦC.),0(+∞D.)0,(-∞7（文）.不等式x （2﹣x ）≤0的解集为（ ）A ． {x|0≤x≤2}B ． {x|x≤0，或x≥2}C ． {x|x≤2}D ．{x|x≥0} 8. 在等比数列{n a }中，若2101-=⋅a a ，则74a a ⋅的值为（ ）A.-4B.-2C.4D.29. 已知等比数列{a n }的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为（ ）A ．15B ．17C ．19D ．2110.在一座20m 高的观测台测得对面一水塔塔顶得仰角为 60，塔底的俯角为 45，那么这座水塔的高度是（ ）mA.)331(20+ B.)26(20+ C.)26(10+ D. )31(20+ 11（理）. 下列函数中最小值为4的是 （ ）A. x x y 4+= B.x x y sin 4sin += （0﹤x ﹤π） C. x x y -⋅+=343 D.10log 4lg x x y += 11（文）．设x ＞1，则x+的最小值是（ ） A ． 4 B ． 5 C ． 6 D ． 712．设x ，y ∈R 且，则z=x+2y 的最小值等于（ ）A ． 2B ． 3C ． 5D ．9第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（每小题4分，共4小题，共16分）13（理）.在等差数列{}n a 中，11=a ，2=d ，9=n S ，则项数n=13（文）．在等差数列{a n }中，a 3=7，a 5=a 2+6，则a 6=14．在等比数列{a n }中，若a 3=2，a 6=2，则公比q= ．15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B＋cos B ＝2，则角A 的大小为________16．若角α、β满足，则α﹣β的取值范围是三、解答题（共5小题，共56分）17. （理、10分）在ABC ∆中，A B 、为锐角，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且21a b -=-,510sin ,sin 510A B == （1）求b a ,的值；（2）求角C 和边c 的值。
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【必考题】高二数学上期中试题含答案一、选择题1．如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 （ ）A ．18π-B ．4π C ．14π-D ．与a 的值有关联2．一组数据如下表所示：x1 2 3 4y e3e 4e 6e已知变量y 关于x 的回归方程为+0.5ˆbx ye =，若5x =，则预测y 的值可能为( ) A ．5eB ．112eC ．132eD ．7e3．设样本数据1210,,,x x x L 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，1,2,,10)i =L ，则1210,,,y y y L 的均值和方差分别为（ ）A ．1,4a +B ．1,4a a ++C ．1,4D ．1,4a +4．从区间[]0,2随机抽取4n 个数1232,,,...,n x x x x ，1232,,,...,n y y y y 构成2n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，()22,n n x y ，其中两数的平方和小于4的数对有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率疋的近似值为（ ） A ．2m nB ．2mnC ．4m nD ．16m n5．AQI 即空气质量指数，AQI 越小，表明空气质量越好，当AQI 不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某市3月1日到12日AQI 的统计数据.则下列叙述正确的是（ ）A．这12天的AQI的中位数是90B．12天中超过7天空气质量为“优良”C．从3月4日到9日，空气质量越来越好D．这12天的AQI的平均值为1006．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，87．微信中有个“微信运动”，记录一天行走的步数，小王的“微信步数排行榜”里有120个人，今天，他发现步数最少的有0.85万步，最多的有1.79万步．于是，他做了个统计，作出下表，请问这天大家平均走了多少万步？（）A．1.19B．1.23C．1.26D．1.318．执行如图的程序框图，则输出x的值是 ( )A．2018B．2019C．12D．29．为计算11111123499100S=-+-++-…，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A．1i i=+B．2i i=+C．3i i=+D．4i i=+10．我国古代名著《庄子g天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是( )A ．17?,,+1i s s i i i≤=-= B ．1128?,,2i s s i i i≤=-= C ．17?,,+12i s s i i i ≤=-= D ．1128?,,22i s s i i i≤=-= 11．从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．4n mB ．2n mC ．4mnD ．2mn12．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 广告费用（万元）4235销售额（万元）49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元二、填空题13．在5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5,然后将它们混合,再任意排列成一行,则得到的数能被2或5整除的概率是___________.14．从标有1，2，3，4，5的五张卡中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为________；15．在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得11x +≥成立的概率为______．16．甲乙两人一起去游“西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是________.17．某单位为了了解用电量y （度）与气温x （℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温（如表），并求得线性回归方程ˆ360yx =-为:不小心丢失表中数据c ，d ，那么由现有数据知3c d -____________．18．高二某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为__________．19．已知函数log 2,3()(5)3,3a x x f x a x x ->⎧=⎨--≤⎩（）满足对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围为______________；20．已知变量,x y 之间的一组数据如下表：则y 与x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+必过点_______________三、解答题21．某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如下表所示．（1）已知此次问卷调查的得分Z 服从正态分布(),210N μ，μ近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求()3679.5P Z <≤；（2）在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案. （ⅰ）得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； （ⅱ）每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.现市民甲要参加此次问卷调查，记X 为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列及数学期望．14.5≈，若()2,X Nμσ:，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，()220.9545P X μσμσ-<≤+=，()330.9973P X μσμσ-<≤+=.22．某车间为了规定工时额定，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了6次试验，得到数据如下：（1）试对上述变量x 与y 的关系进行相关性检验，如果x 与y 具有线性相关关系，求出y 对x 的回归直线方程；（2）根据（1）的结论，你认为每小时加工零件的数量额定为多少（四舍五入为整数）比较合理？附：相关性检验的临界值表()()nniii ix x y y x y nx yr ---==∑∑()()()1122211n niii ii i nni i i i x x y y x y nx ybx xx nx====---==--∑∑∑∑$，$$yabx =+$42.0≈27.5≈23．自从高中生通过高校自主招生可获得加分进入高校的政策出台后，自主招生越来越受到高中生家长的重视.某机构为了调查A 城市和B 城市的高中家长对于自主招生的关注程度，在这两个城市中抽取了100名高中生家长进行了调查，得到下表：（1）完成上面的列联表；（2）根据上面列联表的数据，是否有95%的把握认为家长对自主招生关注与否与所处城市有关；（3）为了进一步研究家长对自主招生的直法，该机构从关注的学生家长里面，按照分层抽样方法抽取了5人，并再从这5人里面抽取2人进行采访，求所抽取的2人恰好,A B 两城市各一人的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）.0k2.072 2.7063.841 5.024 6.63524．已知椭圆的焦距为2，离心率12e =． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 是椭圆上一点，且1260F PF ∠=o，求△F 1PF 2的面积．25．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中a 的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x )与数学成绩相应分数段的人数(y )之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数. 分数段 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) x ∶y1∶12∶13∶44∶526．某保险公司有一款保险产品的历史收益率（收益率=利润÷保费收入）的频率分布直方图如图所示：（1）试估计这款保险产品的收益率的平均值；（2）设每份保单的保费在20元的基础上每增加x 元，对应的销量为y （万份）．从历史销售记录中抽样得到如下5组x 与y 的对应数据：x 元25 30 38 45 52 销量为y （万份）7.57.16.05.64.8由上表，知x 与y 有较强的线性相关关系，且据此计算出的回归方程为10.0ˆybx =-．（ⅰ）求参数b 的值；（ⅱ）若把回归方程10.0ˆybx =-当作y 与x 的线性关系，用（1）中求出的收益率的平均值作为此产品的收益率，试问每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大利润，并求出最大利润．注：保险产品的保费收入=每份保单的保费⨯销量．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】试题分析：本题考查几何概型问题，击中阴影部分的概率为222()214aa a ππ-=-．考点：几何概型，圆的面积公式． 2．C解析：C 【解析】 【分析】令ln z y $=，求得,x z 之间的数据对照表，结合样本中心点的坐标满足回归直线方程，即可求得b ；再令5x =，即可求得预测值y . 【详解】将式子两边取对数，得到$ln 0.5y bx =+，令ln z y $=，得到0.5z bx =+， 根据已知表格数据，得到,x z 的取值对照表如下：x1 2 34 z134612342.54x +++==，1346 3.54z +++==， 利用回归直线过样本中心点，即可得3.5 2.50.5b =+， 求得 1.2b =，则 1.20.5z x =+， 进而得到$ 1.2+0.5x y e =，将5x =代入， 解得136.52y e e ==.故选：C .【点睛】本题考查利用样本中心点坐标满足回归直线方程求参数值，以及由回归方程进行预测值得求解，属中档题.3．A解析：A 【解析】试题分析：因为样本数据1210,,,x x x L 的平均数是1,所以1210,,...y y y 的平均数是121012101210 (1101010)y y y x a x a x a x x x a a ++++++++++++==+=+；根据i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =L ），以及数据1210,,,x x x L 的方差为4可知数据1210,,,y y y L 的方差为2144⨯=，综上故选A. 考点：样本数据的方差和平均数．4．B解析：B 【解析】 【分析】根据随机模拟试验的的性质以及几何概型概率公式列方程求解即可. 【详解】 如下图：由题意，从区间[]0,2随机抽取的2n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，()22,n n x y ，落在面积为4的正方形内，两数的平方和小于4对应的区域为半径为2的圆内，满足条件的区域面积为2124ππ⋅=，所以由几何概型可知42π=m n ，所以2π=m n. 故选：B【点睛】本题主要考查几何概型，属于中档题.5．C解析：C 【解析】这12天的AQI 指数值的中位数是959293.52+= ，故A 不正确；这12天中，空气质量为“优良”的有95，85，77，67，72，92共6天，故B 不正确；；从4日到9日，空气质量越来越好，，故C 正确；这12天的AQI 指数值的平均值为110，故D 不正确. 故选 C ．6．C解析：C 【解析】试题分析：由题意得5x =，116.8(915101824)85y y =+++++⇒=，选C. 考点：茎叶图7．C解析：C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中平均数的计算方法求解即可. 【详解】由题,区间[)[)[)[)0.8,1.0,1.0,1.2,1.2,1.4,1.6,1.8所占频率分别为：0.20.50.1,0.2 1.250.25,0.2 2.250.45,0.20.250.05,⨯=⨯=⨯=⨯=故区间[)1.4,1.6所占频率为10.10.250.450.050.15----=. 故0.90.1 1.10.25 1.30.45 1.50.15 1.70.05 1.26x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 故选：C 【点睛】本题主要考查了补全频率分布直方图的方法以及根据频率分布直方图计算平均数的问题.属于中档题.8．D解析：D 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x ，y 的值，当2019y = 时，不满足条件退出循环，输出x 的值即可得解． 【详解】解：模拟执行程序框图，可得2,0x y ==.满足条件2019y <，执行循环体，1,1x y =-=；满足条件2019y <，执行循环体，1,22x y == ； 满足条件2019y <，执行循环体，2,3x y ==；满足条件2019y <，执行循环体，1,4x y =-= ； …观察规律可知，x 的取值周期为3，由于20196733⨯＝，可得： 满足条件2019y <，执行循环体，当2,2019x y == ,不满足条件2019y <，退出循环，输出x 的值为2． 故选D ． 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的x ，y 的值，根据循环的周期，得到跳出循环时x 的值是解题的关键．9．B解析：B 【解析】分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项.详解：由11111123499100S =-+-+⋯+-得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入2i i =+，选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.10．B解析：B 【解析】 【分析】分析程序中各变量的作用，再根据流程图所示的顺序，可得该程序的作用是累加并输出S 的值，由此可得到结论. 【详解】由题意，执行程序框图，可得： 第1次循环：11,42S i =-=； 第2次循环：111,824S i =--=；第3次循环：1111,16248S i =--==； 依次类推，第7次循环：11111,256241288S i =----==L ， 此时不满足条件，推出循环，其中判断框①应填入的条件为：128?i ≤， 执行框②应填入：1S S i=-，③应填入：2i i =. 故选：B . 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，其中解答中正确理解程序框图的含义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.11．C解析：C 【解析】此题为几何概型．数对(,)i i x y 落在边长为1的正方形内，其中两数的平方和小于1的数落在四分之一圆内，概型为41m P n π==，所以4mnπ=．故选C ． 12．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：4235492639543.5,4244x y ++++++====Q ， ∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4， ∴42=9．4×3．5+a ， ∴ˆa=9．1， ∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5 考点：线性回归方程二、填空题13．【解析】【分析】首先计算出五位数的总的个数然后根据可被或整除的五位数的末尾是偶数或计算出满足的五位数的个数根据古典概型的概率计算公式求出概率即可【详解】因为五位数的总个数为：能被或整除的五位数的个数解析：35【解析】 【分析】首先计算出五位数的总的个数，然后根据可被2或5整除的五位数的末尾是偶数或5计算出满足的五位数的个数，根据古典概型的概率计算公式求出概率即可. 【详解】因为五位数的总个数为：55A =120，能被2或5整除的五位数的个数为：443A =72⨯， 所以7231205P ==. 故答案为：35. 【点睛】本题考查排列组合在数字个数问题方面的应用，难度一般.涉及到不同数字组成的几位数个数问题时，若要求数字不重复，可以通过排列数去计算相应几位数的个数.14．【解析】【分析】设事件A 表示第一张抽到奇数事件B 表示第二张抽取偶数则P （A ）P （AB ）利用条件概率计算公式能求出在第一次抽到奇数的情况下第二次抽到偶数的概率【详解】解：从标有12345的五张卡片中依 解析：12【解析】 【分析】设事件A 表示“第一张抽到奇数”，事件B 表示“第二张抽取偶数”，则P （A ）35=，P （AB ）3235410=⨯=，利用条件概率计算公式能求出在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率． 【详解】解：从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，设事件A 表示“第一张抽到奇数”，事件B 表示“第二张抽取偶数”， 则P （A ）35=，P （AB ）3235410=⨯=， 则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为：P （A|B ）()()3P AB 1103P A 25===． 【点睛】本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力．15．【解析】【分析】求出不等式的解集计算长度运用几何概型即可求出概率【详解】或则在区间上随机取一个数x 使得成立的概率为故答案为【点睛】本题考查了几何概型中的长度型概率只需将题目中的含有绝对值不等式进行求 解析：23【解析】 【分析】求出不等式的解集，计算长度，运用几何概型即可求出概率 【详解】11x +≥Q0x ∴≥或2x ≤-则在区间[]33-，上随机取一个数x ，使得11x +≥成立的概率为4263= 故答案为23【点睛】本题考查了几何概型中的长度型概率，只需将题目中的含有绝对值不等式进行求解，然后计算出长度，即可得到结果16．【解析】【分析】所有的游览情况共有种则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有种由此求得最后一小时他们同在一个景点的概率【详解】所有的游览情况共有 种则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有 种解析：16 【解析】 【分析】所有的游览情况共有4466A A ⋅ 种，则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有 33556A A ⋅⋅ 种，由此求得最后一小时他们同在一个景点的概率．【详解】所有的游览情况共有4466A A ⋅ 种，则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有 33556A A ⋅⋅ 种，故则最后一小时他们同在一个景点的概率为 33554466616A A A A ⋅⋅=⋅， 故答案为 16． 【点睛】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．17．【解析】分析：由题意首先确定样本中心点然后结合回归方程过样本中心点整理计算即可求得最终结果详解：由题意可得：回归方程过样本中心点则：即：整理可得：故答案为：270点睛：(1)正确理解计算的公式和准确解析：【解析】分析：由题意首先确定样本中心点，然后结合回归方程过样本中心点整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得：91412244c c x ++-+==，1848309644d dy ++++==， 回归方程过样本中心点，则：962236044d c ++=⨯-， 即：()96322240d c +=+-， 整理可得：3270c d -=. 故答案为：270．点睛：(1)正确理解计算$,ba $的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键． (2)回归直线方程y bx a =+$$$必过样本点中心(),x y ．(3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测．18．【解析】∵高二某班有学生56人用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本∴样本组距为56÷4=14则5+14=19即样本中还有一个学生的编号为19 解析：19【解析】∵高二某班有学生56人，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本， ∴样本组距为56÷4=14， 则5+14=19，即样本中还有一个学生的编号为19.19．【解析】为单独递增函数所以点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性除注意各段的单调性外还要注意 解析：45a ≤<【解析】()()12120f x f x x x ->-⇒ log 2,3()(5)3,3a x x f x a x x ->⎧=⎨--≤⎩（）为单独递增函数，所以15045log (32)3(5)3aa a a a >⎧⎪->⇒≤<⎨⎪-≥--⎩ 点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[,]a b 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围20．【解析】由题意∴x 与y 组成的线性回归方程必过点(154) 解析：()1.5,4【解析】由题意,()()110123 1.5,1357444x y =+++==+++= ∴x 与y 组成的线性回归方程必过点(1.5,4)三、解答题21．（1）0.8186；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题中所给的统计表，利用公式计算出平均数μ的值，再利用数据之间的关系将36、79.5表示为362μσ=-，79.5μσ=+，利用题中所给数据，以及正态分布的概率密度曲线的对称性，求出对应的概率；（2）根据题意，高于平均数和低于平均数的概率各为12，再结合得20元、40元的概率，分析得出话费的可能数据都有哪些，再利用公式求得对应的概率，进而得出分布列，之后利用离散型随机变量的分布列求出其数学期望. 【详解】 （1）由题意可得352545150552006525075225851009550651000μ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==，易知14.5σ=≈，36652965214.52μσ∴=-=-⨯=-，79.56514.5μσ=+=+，()()()()3679.522P Z P Z P Z P Z μσμσμσμμμσ∴<≤=-<≤+=-<≤+<≤+()()0.95450.6827022.818622P X P X μσμσμσμσ+===-<≤++-<≤+；（2）根据题意，可得出随机变量X 的可能取值有20、40、60、80元，()13320248P X ==⨯=，()1113313402424432P X ==⨯+⨯⨯=，()113360224416P X ==⨯⨯⨯=，()11118024432P X ==⨯⨯=.所以，随机变量X 的分布列如下表所示：所以，随机变量X 的数学期望为2040608083216322EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查概率的计算，涉及到平均数的求法、正态分布概率的计算以及离散型随机变量分布列及其数学期望，在解题时要弄清楚随机变量所满足的分布列类型，结合相应公式计算对应事件的概率，考查计算能力，属于中等题. 22．（1）答案见解析.（2）96 【解析】 【分析】（1）根据表中所给数据，计算出||r ，即可求得答案.（2）每小时加工零件的数量，即60x =，将60x =代入ˆ0.65757yx =+，即可求得答案. 【详解】（1）由表中数据得：6117950i ii x y==∑，6219100i i x ==∑，62139158i i y ==∑，35,80x y ==∴0.05||0.997r r ==>从而有95%的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系，∴此求回归直线方程是有意义的．计算得：ˆˆ0.657,57ba== ∴ˆ0.65757yx =+ （2）Q 每小时加工零件的数量，即60x =将60x =代入ˆ0.65757y x =+ ˆ96.42y= 故每小时加工零件的数量额定为96比较合理 【点睛】本题考查回归直线方程以及应用，考查基本分析与求解能力，属基本题.23．（1）详见解析；（2）有95%的把握认为家长对自主招生的关注与否与所处城市有关；（3）0.6. 【解析】 【分析】（1）根据相关数据完成.（2）根据2K 的观测值的计算公式求解，再对应2K 下结论.，（3）关注的人共有50人，根据分层抽样的方法，A 城市2人，B 城市3人，算出从5人抽取两的方法数，,A B 两城市各取一人的方法数，再代入古典概型的概率公式求解. 【详解】（1）（2）由题意，得K 的观测值为()()()()()()22100203030304 3.84150505050n ad bc k a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为家长对自主招生的关注与否与所处城市有关. （3）关注的人共有50人，按照分层抽样的方法，A 城市2人，B 城市3人.从5人抽取两人有2510C =种不同的方法，,A B 两城市各取一人有1123236C C =⨯=种不同的方法，故所抽取的2人恰好,A B 两城市各一人的概率为11322560.610C C C ==. 【点睛】本题主要考查独立性检验的应用和古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于中档题.24．（Ⅰ）22143x y +=或22143y x +=（Ⅱ【解析】 【分析】（Ⅰ）由已知可得1c =，再由离心率求得2a =，结合隐含条件求得b 的值，从而求得椭圆的方程；（Ⅱ）在焦点三角形中利用余弦定理求得|PF 1||PF 2|=4，代入三角形的面积公式得答案. 【详解】（Ⅰ）椭圆方程可设为2222222211x y y x a b a b+=+=或且c =1，又12c e a ==，得a =2， ∴b 2=a 2-c 2=4-1=3，∴椭圆的方程为22143x y +=或22143y x +=.（Ⅱ）在△PF 1F 2中，由余弦定理可得：22212124||2c PF PF PF PF cos =+-∠F 1PF 2， 即212124()2PF PF PF PF =+--2|PF 1||PF 2|×cos 60°，∴4=16-3|PF 1||PF 2|，即|PF 1||PF 2|=4．∴△F 1PF 2的面积S =12|PF 1||PF 2|sin 60°=142⨯= 【点睛】该题考查的是有关椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆的标准方程的求解，椭圆焦点三角形的面积，余弦定理，属于简单题目. 25．（1）0.005a ＝（2）73 (分)（3）10 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质列方程即可得到a 的值； （2）由平均数加权公式可得平均数，计算出结果即可；（3）按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数，从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在[5090，）之外的人数．26．（1）0.275;（2）（ⅰ）0.1b =;（ⅱ）99万元 【解析】试题分析：（1）根据平均值为0.275各组的组中值与面积的乘积之和，计算得；（2）（ⅰ）先求得38x =； 6.2y =，由10y bx =-，得1038 6.2b -=．解得0.1b =；（ⅱ）易得这款保险产品的保费收入为()()()()220100.13600.140f x x x x =+-=--⇒当40x =，即每份保单的保费为60元时，保费收入最大为360万元⇒预计这款保险产品的最大利润为3600.27599⨯=万元．试题解析：（1）收益率的平均值为0.050.10.150.20.250.25⨯+⨯+⨯0.350.30.450.10.050.050.275+⨯+⨯+⨯=． （2）（ⅰ）25303845521903855x ++++===； 7.57.1 6.0 5.6 4.831 6.255y ++++===由10y bx =-，得1038 6.2b -=．解得0.1b =．（ⅱ）设每份保单的保费为()20x +元，则销量为100.1y x =-． 则这款保险产品的保费收入为()()()20100.1f x x x =+-万元． 于是，()()2220080.13600.140f x x x x =+-=--．所以，当40x =，即每份保单的保费为60元时，保费收入最大为360万元． 预计这款保险产品的最大利润为3600.27599⨯=万元．。