【压轴题】高二数学上期末试题(及答案)
高二数学上学期期末考试试题含解析(共19页)
镇海中学(zhōngxué)2021学年第一学期期末考试高二年级数学试卷第I卷〔选择题〕一、选择题.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.，，那么〔〕A. B. C. D.或者【答案】C【解析】【分析】求解出集合的取值范围，利用交集定义求解.【详解】由得：或者，即或者那么此题正确选项：【点睛】此题主要考察集合运算中的交集运算，属于根底题.，，那么〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据(gēnjù)单调性，可得，再验证可得最终结果.【详解】在上单调递增，即又又此题正确选项：【点睛】此题考察与对数函数有关的比拟大小类问题，属于根底题.在点〔1，0〕处切线的倾斜角为，那么〔〕A. 2B.C. -1D. 0 【答案】A【解析】【分析】求导得，代入，可得切线斜率，即的值.【详解】由题意得：代入，可得切线斜率又，得此题正确选项：【点睛】此题考察导数的几何意义、直线斜率与倾斜角的关系，属于根底题.R上的函数的图像是连续的，且其中的四组对应值如下表，那么在以下区间中，函数不一定存在零点的是〔〕x 1 2 3 53 -1 2 0A. B. C. D.【答案(dá àn)】D【解析】【分析】根据零点存在定理，依次判断各个选项。
又为的子集，那么区间有零点，那么区间也必有零点；上有零点，那么上必有零点；由此可得结果.【详解】由题意可得：在上必有零点又，在上必有零点在上必有零点又，在上必有零点在上不一定存在零点此题正确选项：【点睛】此题主要考察零点存在定理，关键在于需要明确当，不能得到区间内一定无零点的结论，需要进一步判断.，假设，那么〔〕A. 1B. -1C. -2D. 3【答案】B【解析(jiě xī)】【分析】判断的奇偶性，通过奇偶性求得函数的值.【详解】由题意得：即定义域为，关于原点对称又可得：为奇函数此题正确选项：【点睛】此题考察通过函数奇偶性求函数值。
高级中学高二数学上学期期末考试试题含解析
高级中学2021-2021学年高二数学上学期期末考试试题〔含解析〕第I 卷一、选择题：z满足()1z i =，那么z =〔 〕2i -2i +4iD.4i + 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据所给的等式表示出z ，是一个复数除法的形式，进展复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的一共轭复数，分子和分母同时进展乘法运算，得到最简形式． 【详解】解：()13i z i +=1i z -∴===应选：D ．【点睛】此题考察复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的一共轭复数，把复数整理成整式形式，再进展复数的乘法运算，合并同类项，得到结果．{}2|230A x x x =--≤，{}|lg 0B x x =<，那么A B =〔 〕A. {}|11x x -<<B. {}1|0x x <<C. {}3|1x x <<D. ∅【答案】B 【解析】【分析】根据不等式的解法求出集合的等价条件，结合集合交集的定义进展计算即可． 【详解】解：{}2|230A x x x =--≤，{}|13A x x ∴=-≤≤， {}|lg 0B x x =<， {}|01B x x ∴=<<， {}|01A B x x ∴=<<，应选：B【点睛】此题主要考察集合的根本运算，求出集合的等价条件是解决此题的关键，属于中档题．()2111x x f x lgxx ⎧+≤=⎨>⎩，那么f(f(10)=A. lg101B. 2C. 1D. 0【答案】B 【解析】【详解】因为101>，所以()10lg101f ==. 所以2((10))(1)112f f f ==+=,应选B.【点评】对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值，因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值.另外，要注意自变量x 的取值对应着哪一段区间，就使用哪一段解析式，表达考纲中要求理解简单的分段函数并能应用，来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式，千万别代错解析式.{}n a 的前n 项和为n S ，且144a a +=，258a a +=，那么20202020S=〔 〕 A. 2021 B. 2021 C. 2021 D. 2021【答案】B 【解析】 【分析】首先根据条件构造关于1a ，d 的方程组，求出数列的通项公式，再根据等差数列求和公式计算可得；【详解】解：因为144a a +=，258a a +=，所以11113448a a d a d a d ++=⎧⎨+++=⎩解得112a d =-⎧⎨=⎩，()1123n a a n d n ∴=+-=-，()1222n na a n S n n +∴==-22020202022020201820202020S -⨯∴== 应选：B【点睛】此题考察等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于根底题. 5.40.5=a ，40.5=b log ，0.54c =，那么,,a b c 的大小关系是〔 〕 A. b a c <<B. a c b <<C. a b c <<D.b c a <<【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，分别得出,,a b c 的大致范围，即可得出结果． 【详解】∵()410.50,=∈a ，440.510<==b log log ，0.50441c =>=．∴b a c <<． 应选A【点睛】此题考察了指数与对数函数的单调性，考察了推理才能与计算才能，属于根底题型．22:40C x y x +-=与直线l 切于点(P ，那么直线l 的方程为〔 〕A. 20x +=B. 40x -+=C. 40x +-=D.20x +-=【答案】A 【解析】 【分析】利用点P 与圆心连线的直线与所求直线垂直，求出斜率，即可求过点(P 与圆C 相切的直线方程；【详解】圆22:40C x y x +-=可化为：()2224x y -+= ，显然过点(P 的直线1x =不与圆相切，那么点P = ，那么所求直线斜率为3 ，代入点斜式可得()13y x -=- ，整理得20x +=． 应选A.【点睛】此题考察直线方程，考察直线与圆的位置关系，考察分类讨论的数学思想，属于中档题．7.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是边1AA 和AB 的中点，那么EF 和1BC 所成的角是〔 〕A. 30B. 60︒C. 45︒D. 120︒【答案】B 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义，把直线1BC 平移和直线EF 相交，找到异面直线EF 与1BC 所成的角，解三角形即可求得结果．【详解】如图，取11A D 的中点G ，连接EG ，FG ，在正方体1111ABCD A B C D -中，设正方体边长为2， 易证GEF ∠〔或者补角〕为异面直线EF 与1BC 所成的角， 在GEF ∆中，2EF =2EG =，6FG =由余弦定理得2261cos 42GEF +-∠==-，即120GEF ︒∠=， 所以异面直线EF 与1BC 所成的角为60︒. 应选：B.【点睛】此题考察异面直线所成的角，以及解决异面直线所成的角的方法〔平移法〕的应用，表达了转化的思想和数形结合的思想方法，属于根底题．x xx x e e y e e--+=-的图像大致为〔 〕A. B. C. D.【答案】A 【解析】试题分析：x x x xe e y e e--+=-2211x e =+-为奇函数且x 0=时，函数无意义，可排除,C D ，又在(,0),(0,)-∞+∞是减函数，应选A .考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数的图象.()()sin f x A x ωϕ=+，〔其中0A >， 0>ω， 2πϕ<〕的一局部图象如下图，将函数上的每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象表示的函数可以为〔 〕A. ()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. ()sin 43f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. ()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. ()sin 4π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】由图象可知A=1，周期T π=，所以2ω=，又过点(,0)6π-，所以3πϕ=，即()sin(2)3f x x π=+，每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到()sin()3f x x π=+，应选A.()322f x x ax bx a =--+在1x =处有极值10，那么点(),a b 为〔 〕A. ()3,3-B. ()4,11-C. ()3,3-或者()4,11-D. 不存在【答案】B 【解析】【详解】试题分析：2'()32f x x ax b =++，那么()()110{10f f ='=，2110{320a b a a b +++=++=解得4{11a b ==-或者3{3a b =-=，当3,3a b =-=时，22'()3633(2)0f x x x x =-+=-≥，此时()f x 在定义域R 上为增函数，无极值，舍去.当4,11a b ==-,2'()3811f x x x =--,1x =为极小值点,符合,应选B考点：1.用导数研究函数的极值；2.函数在某一点取极值的条件.【易错点睛】此题主要考察用导数研究函数的极值问题，要求掌握可导函数获得有极值的条件，'()0f x =是函数获得极值的必要不充分条件.求解之后要注意检验，此题中，当3,3a b =-=时，'()0f x ≥，此时()f x 在定义域R 上为增函数，无极值，不符合题意，舍去.此题容易错选A ，认为两组解都符合，一定要注意检验.11.12,F F 分别为双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点，其中点2F 为抛物线()22:20C y px p =>的焦点，设1C 与2C 的一个交点为P ，假设212PF F F =，那么1C 的离心率为( ) A. 51- B. 21+C. 322+D. 51+【答案】B 【解析】设()P m n ，位于第一象限，那么00m n >>， 由题意可得202p F ⎛⎫⎪⎝⎭，，且双曲线的2p c =抛物线的焦点为准线方程为2p x =- 由抛物线的定义可得：21222pm PF F F c +=== 即有2242m c n pm c c ====，即()2P c c ，代入双曲线的方程可得：222241c c a b -= 即为222411e e e -=-，化为42610e e -+=解得)2322322e =+-舍去 可得21e =应选B点睛：，此题主要考察的是抛物线的简单性质和双曲线的简单性质．设()P m n ，位于第一象限，求出抛物线的焦点和准线方程，可得2pc =，再由抛物线的定义，求得m ，代入抛物线的方程可得n ，代入双曲线的方程，再由双曲线a b c ，，和离心率公式，化简整理计算即可得到所求的值．12.0a >且1a ≠，假设当1x ≥时，不等式x a ax 恒成立，那么a 的最小值是〔 〕A. eB.1ee C. 2D. ln 2【答案】A 【解析】 【分析】推导出1x a x -，从而(1)x lna lnx -，令()(1)p x lnx x lna =--，那么1x 时，()0p x ，1()p x lna x'=-，由此利用导数性质结合分类讨论思想能求出a 的最小值． 【详解】解：0a >且1a ≠，当1x 时，不等式x a ax 恒成立，1x a x -∴，两边取自然对数，得：(1)x lna lnx -，令()(1)p x lnx x lna =--，那么1x 时，()0p x ， 1()p x lna x'=-， 当0lna <，即(0,1)a ∈时，()0p x '>，()p x 递增， 当1x 时，()()10p x p =，与()0p x 矛盾； 当0lna >，即(1,)∈+∞a 时，令)0(p x '=，得1x lna=， 10,x lna ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0p x '>，()p x 递增； 1,x lna ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0p x '<，()p x 递减． 假设11lna >，即(1,)a e ∈，当11,x lna ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()p x 递增，()()10p x p =，矛盾； 假设11lna，即[),a e ∈+∞，当[)1,x ∈+∞时，()()10p x p =，成立．综上，a 的取值范围是[),e +∞． 故a 的最小值是e ． 应选：A ．【点睛】此题考察实数值的最小值的求法，考察导数与函数的单调性、极值、最值，着重考察学生的逻辑推理才能以及运算求解才能，属于中档题．第二卷二、填空题：x y xe =在点()0,0处的切线方程为______．【答案】y x = 【解析】 【分析】利用导数求出曲线xy xe =在点()0,0处的切线的斜率，然后利用点斜式可写出所求切线的方程.【详解】依题意得xxy e xe '=+，因此曲线xy xe =在0x =处的切线的斜率等于1， 所以函数xy xe =在点()0,0处的切线方程为y x =.故答案为：y x =．【点睛】本小题主要考察直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等根底知识，考察运算求解才能．属于根底题．22142x y +=的左、右焦点分别为12F F 、，椭圆上的点P 满足12||||2PF PF -= ，那么12PF F ∆ 的面积为_______.【解析】由椭圆定义得12224PF PF +=⨯=，由122PF PF -=得1231PF PF ==，，因为12|F F =，所以223=+1（ ，即12PF F ∆为直角三角形，其面积为12⨯15.sin 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 2θ=________【答案】2425【解析】 【分析】根据诱导公式及二倍角公式计算可得；【详解】解：因为sin 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 2cos 2cos 224ππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦212sin 4πθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭21210⎛=-⨯ ⎝⎭2425=故答案为：2425【点睛】此题考察诱导公式及二倍角公式的应用，属于根底题.()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，()()'>xf x f x ，假设()20f =，那么不等式()0x f x ⋅>的解集为________【答案】()()2,02,-+∞【解析】 【分析】()f x 是定义在R 上的偶函数，说明()f x x 奇函数，假设0x >时，2()()0xf x f x x '->，可得()f x x 为增函数，假设0x <，()f x x为增函数，根据()()220f f -==，求出不等式的解集；构造函数()()f x g x x=，利用导数可得函数的单调性，结合()20f =及函数的奇偶性即可求得不等式()0x f x >的解集．【详解】解：由题意，令()()f x g x x=， 0x 时，2()()()0xf x f x g x x'-'=>． ()g x ∴在(0,)+∞递增，()()f x f x -=，()()g x g x ∴-=-，那么()g x 是奇函数，且()g x 在(,0)-∞递增， 又()()2202f g ==， ∴当02x <<时，()0<g x ，当2x >时，()0>g x ；根据函数的奇偶性，可得当20x -<<时，()0>g x ，当2x <-时，()0<g x ．∴不等式()0x f x >的解集为{|20x x -<<或者2}x >．故答案为：()()2,02,-+∞．【点睛】此题考察函数奇偶性的应用，考察函数的单调性，构造函数是关键，属于中档题． 三、解答题：17.在ABC ∆中，222a c b ac +=+．〔1〕求cos B的值；〔2〕假设1,87cosA a==，求b以及ABCS∆的值．【答案】〔1〕12；〔2〕7，【解析】【分析】〔1〕利用余弦定理可求cos B的值；〔2〕先利用同角三角函数关系式求出角,A B的正弦值，再借助于正弦定理求出b，代入条件求出c，进而求出三角形的面积．【详解】〔1〕由余弦定理及得：2221 cos22a c bBac+-==.〔2〕因为,A B为三角形内角，所以sin A===，sin2B===，由正弦定理得：8sin7sina BbA⋅===，又∵2221cos72b c aAbc+-==．22150c c∴--=，解得5c=或者3c=-〔舍〕．1sin2ABCS bc A∆∴=⋅=【点睛】此题主要考察余弦定理以及同角三角函数根本关系式，并涉及到三角形的面积公式和计算才能，属于中档题目．{}n a 满足11a =，且112nn naa a+=+．〔1〕求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；〔2〕设1n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕21n nS n =+ 【解析】 【分析】 〔1〕根据112n n na a a +=+，得到1112n n a a +=+，根据等差数列的定义，即可得出结论成立； 〔2〕先由〔1〕得*1,21n a n n =∈-N ，推出11(21)(21)+=⋅=-+n n n b a a n n ，根据裂项求和的方法，即可得出结果. 【详解】〔1〕因为112n n n a a a +=+，所以112112n n n na a a a ++==+，即1112n n a a +-= ， 又11a =，所以111a ，∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公差的等差数列． 〔2〕由〔1〕得*121,n n n a =-∈N ，所以*1,21n a n n =∈-N ， 所以11111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫=⋅==- ⎪-+-+⎝⎭，所以11111111112335212122121n nS n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭ ∴数列{}n b 的前n 项和21n nS n =+． 【点睛】此题主要考察由递推关系证明等差数列，以及数列的求和，熟记等差数列的定义与通项公式，以及裂项相消的方法求数列的和即可，属于常考题型.19.如图,ABCD 是平行四边形，24,23AB BC BD ===，BE CE =,平面BCE ⊥平面ABCD .〔1〕证明：BD CE ⊥；〔2〕假设10BE CE ==，求平面ADE 与平面BCE 所成二面角的平面角的余弦值．【答案】(1)见解析;(2)217. 【解析】 【分析】〔1〕推导出BD BC ⊥，取BC 的中点F ，连结EF ，可推出EF BC ⊥，从而EF ⊥平面ABCD ，进而EF BD ⊥，由此得到BD ⊥平面BCE ，从而BD CE ⊥；〔2〕以B 为坐标原点，BC ，BD 所在直线分别为x ，y 轴，以过点B 且与EF 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ADE 与平面BCE 所成二面角的余弦值． 【详解】〔1〕∵ABCD 是平行四边形，且24,23CD AB BC BD ==== ∴222CD BD BC =+，故90o CBD ∠=，即BD BC ⊥ 取BC 的中点F ，连结EF . ∵BE CE =∴EF BC ⊥ 又∵平面BCE ⊥平面ABCD∴EF ⊥平面ABCD ∵BD ⊂平面ABCD∴EF BD ⊥ ∵,,EF BC F EF BC ⋂=⊂平面BCE ∴BD ⊥平面BCE ， ∵EC ⊂平面BCE ∴BD CE ⊥〔2〕∵10BE CE ==,由〔Ⅰ〕得221013EF BE BF =-=-=以B 为坐标原点，,BC BD 所在直线分别为,x y 轴,建立空间直角坐标系(如图)，那么()()()2,23,0,0,23,0,1,0,3A D E ---∴()()3,23,3,1,23,3AE DE =-=-设平面ADE 的法向量为(),,a x y z =，那么·0·0a AE a DE ⎧=⎨=⎩，即323302330x y z x y z ⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩得平面ADE 的一个法向量为()0,3,2a =- 由〔1〕知BD ⊥平面BCE ，所以可设平面BCE 的法向量为()0,1,0b = 设平面ADE 与平面BCE 所成二面角的平面角为θ，那么·031021cos 771·a b a bθ+⨯+===⨯即平面ADE 与平面BCE 所成二面角的平面角的余弦值为217.【点睛】用空间向量求解立体几何问题的注意点〔1〕建立坐标系时要确保条件具备，即要证明得到两两垂直的三条直线，建系后要准确求得所需点的坐标．〔2〕用平面的法向量求二面角的大小时，要注意向量的夹角与二面角大小间的关系，这点需要通过观察图形来判断二面角是锐角还是钝角，然后作出正确的结论．21()ln 2f x x a x =-. 〔1〕当1a =，求函数()f x 的极值； 〔2〕当0a >时，1()2f x ≥在定义域内恒成立，务实数a 的值. 【答案】〔1〕1()2f x =极小值，不存在极大值；〔2〕1a = 【解析】 【分析】〔1〕求出1a =的函数的导数，求出单调增区间和减区间，从而得到函数的极值； 〔2〕利用转化思想，当0a >时，1()2f x 在定义域内恒成立，即10a alna --进而求解； 【详解】解：〔1〕因为21()ln 2f x x a x =-的定义域为()0,∞+ 所以当1a =时，21()ln 2f x x x =-， ()()()21111x x x f x x x x x-+-'∴=-== 令()0f x '>解得1x >，即()f x 在()1,+∞上单调递增， 令()0f x '<解得01x <<，即()f x 在()0,1上单调递减， 所以()f x 在1x =处获得极小值，1()2f x =极小值，不存在极大值， 〔2〕因为21()ln 2f x x a x =-定义域为()0,∞+， 2()a x af x x x x-'∴=-=因为0a >，令()0f x '>，解得x >()f x在)+∞上单调递增，令()0f x '<，解得0x <<()f x在(上单调递减，所以()min 12f x f a a ==- 要使1()2f x ≥在定义域内恒成立，即()min 1122f x f a a ==-≥即10a alna --，令()1g a a alna =--， ()11()g a a lna lna a'=-⨯+=-， 当(0,1)a ∈时，()0g a '>，当(1,)∈+∞a 时，()0g a '<，∴当1a =时()g a 在1a =处取极大值， ()()10max g g a ==，()()1g a g ∴≤，假设使10a alna --，只能取1a =，故答案为1a =【点睛】此题考察导数的应用，利用导数研究函数的极值与单调性，属于中档题.22221x y a b+=〔0a b >>〕，1F ，2F 是椭圆的左右焦点，以1F ，2F 及椭圆短轴的一个端点的正三角形. 〔1〕求椭圆方程；〔2〕过1F 分别作直线1l ，2l ，且12l l ⊥，设1l 与椭圆交于A ，C 两点，2l 与椭圆交于B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的最小值.【答案】〔1〕22143x y +=；〔2〕()min 28849ABCD S = 【解析】 【分析】〔1〕根据题意，分析可得2a cbc =⎧⎪⎨=⎪⎩，计算可得a 、b 的值，将a 、b 的值代入椭圆的方程即可得答案；〔2〕根据题意，分直线的斜率存在、不存在两种情况讨论，借助根与系数的关系分析可得四边形ABCD 面积，综合即可得答案．【详解】解：〔1〕由题设可得：23a cbc =⎧⎪⎨=⎪⎩，222a b c -=，24a ∴=，23b =，故椭圆方程为22143x y +=；〔2〕由〔1〕可知椭圆22143x y +=的焦点()11,0F当其中一条直线斜率不存在时，令4AC =，那么223b BD a==162S AC BD ∴== 当直线斜率存在时，设直线:()i l y k x m =+，代入椭圆方程得：22222(34)84120k x k mx k m +++-=，那么2122834k m x x k -+=-+，2212241234k m x x k -=+；所以弦长12|x x=-==设直线AC的斜率为k，不妨设0k>，那么2212(1)||43kACk+=+，2212(1)||43kBDk+=+，∴2222112(1)12(1)24343ABCDk kSk k++=++222472(1)122512kk k+=++2222272(1)12(1)kk k+=++2227212(1)kk=++272288[,6)149121kk=∈+⎛⎫+⎪⎝⎭因为0k>，12kk∴+≥=，241kk⎛⎫+⎪⎝≥⎭，21141kk<≤⎛⎫+⎪⎝⎭，2149121241kk<+≤⎛⎫+⎪⎝⎭，2288726149121kk≤<+⎛⎫+⎪⎝⎭272288[,6)149121kk∴∈+⎛⎫+⎪⎝⎭综上，四边形ABCD面积的取值范围是288,649⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故()min28849ABCDS=【点睛】此题考察椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，联立直线与椭圆方程时要注意分析直线的斜率是否存在，属于中档题．2()ln(1)f x x a x x=-+-.〔1〕当1a ≥-时，讨论函数()f x 的单调性.〔2〕当1a <时，证明：对任意的()0,x ∈+∞，有()()2ln 11x f x a x a x<--+-+. 【答案】〔1〕答案见解析；〔2〕证明见解析；【解析】【分析】〔1〕求出原函数的导函数，对a 分类求解原函数的单调区间；〔2〕利用分析法证明，把要证的不等式转化为证明0lnx lnx x x +-成立，即证lnx x lnx x -．令()lnx g x x=，()h x x lnx =-，由导数求出()g x 的最大值和()h x 的最小值，由()g x 的最大值小于()h x 的最小值得答案．【详解】〔1〕解：由2()(1)f x lnx a x x =-+-定义域为()0,∞+，得212(1)1()2(1)1(0)a x x f x a x x x x-+-+'=-+-=>， 当1a =-时，1()x f x x-'=， 当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 为增函数，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 为减函数；当1a >-时，2(1)0a -+<，二次方程22(1)10a x x -+-+=有两根，10x =<，20x =>，当x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为增函数，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 为减函数．综上可得，当1a >-时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减；当1a =-时，()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；〔2〕证明：要证2()(1)1lnx f x a x a x <--+-+， 即证22(1)(1)1lnx lnx a x x a x a x-+-<--+-+， 即1lnx lnx x a x+-<-， 1a <，10a ∴->， 也就是证0lnx lnx x x +-， 即证lnx x lnx x -． 令()lnx g x x =，那么21()lnx g x x -'=， 当(0,)x e ∈时，()0g x '>，()g x 为增函数，当(,)x e ∈+∞时，()0g x '<，()g x 为减函数， ∴1()()max g x g e e==；令()h x x lnx =-，11()1x h x x x -'=-=， 当(0,1)x ∈时，()0h x '<，()h x 为减函数，当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 为增函数， ()()11min h x h ∴==， ∴lnx x lnx x -成立， 故对任意的(0,)x ∈+∞，有2()(1)1lnx f x a x a x <--+-+． 【点睛】此题考察利用导数研究函数的单调性，考察了利用导数求函数的最值，表达了分类讨论的数学思想方法，考察逻辑推理才能和运算才能，属于难题．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
【压轴题】高二数学上期末试题附答案
【压轴题】高二数学上期末试题附答案一、选择题1．在区间[]0,1上随机取两个数x ，y ，记P 为事件“23x y +≤”的概率，则(P = ) A ．23B ．12C ．49 D ．292．口袋里装有大小相同的5个小球，其中2个白球，3个红球，现一次性从中任意取出3个，则其中至少有1个白球的概率为（ ） A ．910B ．710C ．310D ．1103．将A ，B ，C ，D ，E ，F 这6个字母随机排成一排组成一个信息码，则所得信息码恰好满足A ，B ，C 三个字母连在一起，且B 在A 与C 之间的概率为（ ） A ．112B ．15C ．115D ．2154．下面的程序框图表示求式子32×35×311×323×347×395的值, 则判断框内可以填的条件为（ ）A ．90?i ≤B ．100?i ≤C ．200?i ≤D ．300?i ≤5．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.小华同学利用刘徽的“割圆术”思想在半径为1的圆内作正n 边形求其面积，如图是其设计的一个程序框图，则框图中应填入、输出n 的值分别为（ ）（参考数据：020sin 200.3420,sin()0.11613≈≈）A ．01180sin ,242S n n =⨯⨯B ．01180sin ,182S n n =⨯⨯C ．01360sin ,542S n n=⨯⨯D ．01360sin ,182S n n=⨯⨯6．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中随机摸出2个球，则与事件“至少有1个白球”互斥但不对立的事件是（ ） A ．没有白球 B ．2个白球 C ．红、黑球各1个D ．至少有1个红球7．在半径为2圆形纸板中间，有一个边长为2的正方形孔，现向纸板中随机投飞针，则飞针能从正方形孔中穿过的概率为（ ） A ．4πB ．3πC ．2πD ．1π8．已知具有线性相关的两个变量,x y 之间的一组数据如下表所示：x0 1 2 3 4 y 2.24.34.54.86.7若,x y 满足回归方程 1.5ˆˆyx a =+，则以下为真命题的是（ ） A ．x 每增加1个单位长度，则y 一定增加1.5个单位长度 B ．x 每增加1个单位长度，y 就减少1.5个单位长度 C ．所有样本点的中心为(1,4.5) D ．当8x =时，y 的预测值为13.59．运行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为480，则判断框中可以填( )A ．60i >B ．70i >C ．80i >D ．90i > 10．设数据123,,,,n x x x x 是郑州市普通职工*(3,)n n n N ≥∈个人的年收入，若这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确的是（ ）A ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变11．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是 ( )． A ．① B ．②④C ．③D ．①③12．在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为（ ）A ．13 B ．2πC ．12D ．23二、填空题13．将函数sin 23cos 2y x x =-的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则5()6g π__________.14．执行如图所示的程序框图若输人x 的值为3，则输出y 的值为______．15．执行如图所示的程序框图，若输入的1,7s k ==则输出的k 的值为_______．16．在[1,1]-上随机地取一个数k ，则事件“直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相离”发生的概率为_______。
【压轴题】高二数学上期末模拟试题(含答案)
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
根据上表提供的数据得到回归方程
y
b
x
a
中的
b
7
，预测广告费支出
10
万元时，销
售额约为
_____________万元.（参考公式：
a
y
b
x
）
17．执行如图所示的程序框图，若输入 n 的值为 8，则输出的 s 的值为_____．
18．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出 n 的值为___________
【详解】 根据图象可看出，华为在每个季度的销量都最大，所以华为的全年销量最大； 每个季度的销量不知道，根据每个季度的百分比是不能比较苹果在第二季度和第三季度销
量多少的，同样不能判断华为在哪个季度销量最大，三星在哪个季度销量最小；B ， C ， D 都错误，故选 A ．
【点睛】 本题主要考查对销量百分比堆积图的理解．
b0.78，aybx
元，据此估计，该社
区一户收入为 16 万元家庭年支出为（ ）
A．12.68 万元
B．13.88 万元
C．12.78 万元
D．14.28 万元
8．执行如图所示的程序框图，如果输入的 a 1，则输出的 S
A．2
B．3
C．4
D．5
9．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由 3 个全等的三角形与中间的一
19．如图是一个算法流程图，则输出的 S 的值为______．
20．向面积为 20 的 ABC 内任投一点 M ，则使 MBC 的面积小于 5 的概率是
__________．
高二数学上学期期末考试试题(及答案)
高二数学上学期期末考试试题(及答案)高二数学上学期期末考试试题及答案第I卷（选择题）1.在三角形ABC中，已知a+b=c-2ab，则C=（）。
A。
2π/3 B。
π/3 C。
π D。
3π/4改写：在三角形ABC中，已知a+b=c-2ab，求C的大小。
答案：B2.在三角形ABC中，已知cosAcosB=p，求以下条件p的充要条件。
A。
充要条件B。
充分不必要条件C。
必要不充分条件D。
既非充分也非必要条件改写：在三角形ABC中，已知cosAcosB=p，求p的充要条件。
答案：B3.已知等比数列{an}中，a2a10=6a6，等差数列{bn}中，b4+b6=a6，则数列{bn}的前9项和为（）。
A。
9 B。
27 C。
54 D。
72改写：已知等比数列{an}和等差数列{bn}的一些条件，求{bn}的前9项和。
答案：C4.已知数列{an}的前n项和Sn=n+2n，则数列{a1}的前n 项和为（）。
A。
n^2/(n-1) B。
n(n+1)/(2n+1) C。
3(2n+3)/(2n+1) D。
3(n+1)/(n-1)改写：已知数列{an}的前n项和Sn=n+2n，求数列{a1}的前n项和。
答案：B5.设 2x-2y-5≤2，3x+y-10≥3，则z=x+y的最小值为（）。
A。
10 B。
8 C。
5 D。
2改写：已知不等式2x-2y-5≤2和3x+y-10≥3，求z=x+y的最小值。
答案：C6.对于曲线C：x^2/4+y^2/k^2=1，给出下面四个命题：①曲线C不可能表示椭圆；②“14”的必要不充分条件；④“曲线C表示焦点在x轴上的椭圆”是“1<k<5”的充要条件。
其中真命题的个数为（）。
A。
0个 B。
1个 C。
2个 D。
3个改写：对于曲线C：x^2/4+y^2/k^2=1，判断下列命题的真假，并统计真命题的个数。
答案：C7.对于曲线C：x^2+y^2=1与直线y=k(x+3)交于点A,B，则三角形ABM的周长为（）。
高二数学上学期期末考试试题含解析4
卜人入州八九几市潮王学校淮阴区淮阴二零二零—二零二壹高二数学上学期期末考试试题〔含解析〕一、选择题28y x =的焦点到准线的间隔是()A.1B.2C.4D.8【答案】C 【解析】 【分析】先根据抛物线的方程求出p 的值，再根据抛物线的简单性质即可得到．【详解】由228y px x ==，知p ＝4，而焦点到准线的间隔就是p ．应选C ．【点睛】此题主要考察了抛物线的简单性质．考察了学生对抛物线HY 方程的理解和运用，属于根底题．22112x y m m+=--表示焦点在x 轴上的椭圆，那么m 的取值范围是〔〕 A.12m << B.31 2m <<C.322m << D.12m <<且32m ≠【答案】C 【解析】 【分析】根据焦点在x 轴上的椭圆方程的特点可得不等式，解不等式求得结果.【详解】22112x y m m+=--表示焦点在x 轴上的椭圆120m m ∴->->，解得：322m <<应选：C【点睛】此题考察根据方程表示椭圆及椭圆焦点位置求解参数范围的问题，属于根底题.3.△ABC 的顶点B 、C 在椭圆23x ＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，那么△ABC 的周长是()B.6 D.12【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆定义，椭圆上的点到两焦点间隔之和为长轴长即可得解. 【详解】设另一焦点为F ，由题F 在BC 边上，所以ABC ∆的周长l AB BC CA AB BF CF CA =++=+++==应选：C【点睛】此题考察椭圆的几何意义，椭圆上的点到两焦点间隔之和为定值，求解中要多观察图形的几何特征，将所求问题进展转化，简化计算.22:1916x y E -=的左、右焦点分别为1F ,2F ,点P 在双曲线E 上,且13PF =,那么2PF 等于〔〕A.11B.9C.5D.3【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线方程可知26a =，由双曲线定义构造方程求得结果. 【详解】由双曲线方程得：26a = 由双曲线定义知：21236PF PF PF -=-=，解得：29PF =或者3-〔舍〕应选：B【点睛】此题考察双曲线定义的应用，属于根底题.()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线过点(，且双曲线的一个焦点在抛物线2y=的准线上，那么双曲线的方程为〔〕A.2212128x y -= B.2212821x y -= C.22134x y -=D.22143x y -= 【答案】D 【解析】试题分析：双曲线的一条渐近线是by x a=，那么2b a=①，抛物线2y =的准线是x =，因此c =2227a b c +==②，由①②联立解得2{a b ==，所以双曲线方程为22143x y -=．应选D ． 考点：双曲线的HY 方程．C ：()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公一共焦点，那么C 的方程为〔〕A.221810x y -=B.22145x y -=C.22154x y -=D.22143x y -= 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线渐近线方程可知2b a =；利用椭圆焦点坐标和双曲线中222c a b =+可构造方程求得22,a b ，进而得到双曲线方程.【详解】由双曲线渐近线方程知：b a =，即b =椭圆221123x y +=焦点坐标为()3,0±2229c a b ∴=+=22594a a ∴+=，解得：24a =22554b a ∴==∴双曲线C 的方程为22145x y -=应选：B【点睛】此题考察双曲线方程的求解，涉及到双曲线渐近线方程、椭圆焦点坐标的求解等知识，属于根底题.mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，那么m 的值是()A.4B.－4C.－14D.14【答案】C 【解析】 【分析】先将双曲线方程化为HY 形式，利用虚轴长是实轴长的2倍列方程，解方程求得m 的值.【详解】依题意，双曲线的HY方程为2211x y m-=-，即2211,a b m ==-，由于虚轴长是实轴长的2倍，所以2b a =，即224b a =，也即114,4m m -==-.应选C. 【点睛】本小题主要考察双曲线的HY 方程，考察双曲线实轴和虚轴的概念，属于根底题.22221x y a b +=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，假设1260F PF ∠=，那么椭圆的离心率为〔〕B.2C.12D.13【答案】A 【解析】【详解】根据题意，焦点在x 轴上，设22221x y a b+= 左焦点(-c ，0)，故P 坐标可求为(-c ，±2b a )12F F =2c ，所以1F P2b a2103c ac +-=,同时除以a²，2103e e +-=,求得e =2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．假设3AF FB =，那么k =A.1D.2【答案】B 【解析】因为2c e a ==，所以2c a =，从而22224a b a c =-=，那么椭圆方程为222241x y a a =+．依题意可得直线方程为()2y k x a=-，联立2222()2{41y k x ax ya a=-+=可得22222(14)(31)0k x ax k a+-+-=设,A B坐标分别为1122(,),(,)x y x y，那么2212122(31)14k ax x x xk-+==+因为3AF FB=，所以1122,)3(,)x y x y--=，从而有123x x+=①再由3AF FB=可得3AF FB=，根据椭圆第二定义可得12)3)x x-=-，即213x x-=②由①②可得12,39x a x a==，所以2221225(31)914k ax x ak-⋅==+，那么22(31)5149kk-=+，解得k=0k>，所以k=B10.1F、2F是椭圆的两个焦点，满足120MF MF⋅=的点M总在椭圆内部，那么椭圆离心率的取值范围是A.(0,1)B.1(0,]2C.D.【答案】C【解析】设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为,,a b c．因为12·0MF MF =所以点M的轨迹为以原点为圆心，半径为c的圆．与因为点M在椭圆的内部，所以,c a c b<<，所以2222c b a c<=-，所以22222122cc a ea<∴=<，所以(0,2e∈，应选C．【点睛】求离心率的值或者范围就是找,,a b c的值或者关系．由12·0MF MF =想到点M的轨迹为以原点为圆心，半径为c的圆．再由点M在椭圆的内部，可得,c a c b<<，因为a b<．所以由c b<得2222c b a c <=-，由,a c 关系求离心率的范围．C:22221x y a b-=〔0a >，0b >〕的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，那么C 的离心率为〔〕A.2【答案】A 【解析】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线间隔为d ==，那么点()2,0到直线bx ay +=的间隔为2bd c=== 即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2e ===．应选A ． 点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或者离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式cea=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或者a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，其右准线与轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，那么椭圆离心率的取值范围是〔〕A.(0,2B.1(0,]2C.1,1)D.1[,1)2【答案】D 【解析】解：由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，即F 点到P 点与A 点的间隔相等 |FA|= 二.填空题.221y x m-=的离心率为m =__________．【答案】2 【解析】222222221,,13c a b a b m e m a a +=====+=，2m =.渐近线方程是y ==.14.x ,y 满足y =3yx +的取值范围是_____.【答案】0,5⎡⎢⎣⎦【解析】 【分析】将方程整理为()22104x y y +=≥，可得其图象为半椭圆；将3y x +转化为半椭圆上的点与()3,0-连线的取值范围；由图象可知下底限为0，上限为直线与半椭圆相切的时候；假设切线方程，联立后利用0∆=求得切线斜率，从而得到所求的范围.【详解】由y =()22104x y y +=≥，那么其图象为如以下列图所示的半椭圆3yx +可看做半椭圆上的点(),x y 与()3,0-连线的斜率 当如下列图的过()3,0-的直线l 与椭圆相切时，设直线():3l y k x =+，0k >与椭圆方程联立得：()222241243640kx k x k +++-=()()4225764413640k k k ∴∆=-+-=，解得：5k =∴半椭圆上的点(),x y 与()3,0-连线的斜率的取值范围为0,5⎡⎢⎣⎦35y x ⎡∴∈⎢+⎣⎦故答案为：0,5⎡⎢⎣⎦【点睛】此题考察根据直线与椭圆的位置关系求解参数范围的问题，关键是可以明确所求式子的几何意义为曲线上的点与定点连线的斜率，利用数形结合的方式确定临界值，从而求得结果.15.12,F F 是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥．假设12PF F ∆的面积为9，那么b =_____．【答案】3 【解析】 【分析】由定义得|PF 1|+|PF 2|=2a ，由12PF PF ⊥得|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2，由面积得12|PF 1||PF 2|＝9，由此能得到b 的值.【详解】∵F 1、F 2是椭圆C ：22221x y a b+=〔a ＞b ＞0〕的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥,∴|PF 1|+|PF 2|=2a ，|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2，12|PF 1||PF 2|＝9，∴〔|PF 1|+|PF 2|〕2=4c 2+2|PF 1||PF 2|=4a 2，∴36=4〔a 2-c 2〕=4b 2，∴b=3．故答案为3．【点睛】主要考察椭圆的定义、根本性质和平面向量的知识，重点是三个方程的应用，属于根底题.C 是平面内与两个定点()11,0F -和()21,0F 的间隔的积等于常数()21a a >的点的轨迹,给出以下三个结论:①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称;③假设点P 在曲线C 上,那么12F PF ∆,的面积不大于212a 其中，所有正确结论的序号是_____ 【答案】②③ 【解析】 【分析】首先结合两点间间隔公式确定曲线C 的方程，()0,0不满足曲线方程，可知①错误；当(),x y 在曲线上时，(),x y --满足曲线方程，可知②正确；由三角形面积公式可知12212sin 2F PFa S F PF ∆=∠，由此可得12212F PFS a ∆≤，③正确.【详解】设曲线C 上点的坐标为(),x y ()21a a =>①将()0,0代入曲线方程知：2111a ⨯=≠∴曲线C 不过坐标原点，①错误；②假设(),x y 在曲线C 上，将(),x y --代入曲线方程，可知方程成立，那么曲线C 关于坐标原点对称，②正确；③122212121211sin sin 222F PFa S PF PF F PF F PF a ∆=∠=∠≤，③正确. 故答案为：②③【点睛】此题考察根据曲线方程研究曲线的性质，涉及到关于原点对称的点的特点、三角形面积公式的应用等知识，关键是可以通过的等量关系确定曲线的方程. 三、解答题.(52)P ，、1(60)F -，、2(60)F ，. 〔1〕求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的HY 方程； 〔2〕设点P 、1F 、2F 关于直线y x =的对称点分别为P '、1F '、2F '，求以1F '、2F '为焦点且过点P '的双曲线的HY 方程.【答案】〔1〕221459x y +=〔2〕2212016x y -=.【解析】试题分析：(1)根据题意设出所求的椭圆的HY 方程，然后代入半焦距，根据椭圆的定义求出a =而可得2229b a c =-=，进而可得椭圆的HY 方程；〔2〕点()52P ，、1(60F ，）-、()260F ，关于直线y x =的对称点分别为()25P '，、()'106F -，、()'206F ，.设所求双曲线的HY 方程为2222111y x a b -=〔10a >，10b >〕其半焦距16c =，由双曲线定义得''1122a P F P F =-=''得1a =22211116b c a =-=，进而可得'1F 、'2F 为焦点且过点P '的双曲线的HY 方程.试题解析：〔1〕由题意知，焦点在x 轴上，可设椭圆的HY 方程为22221x ya b+=〔0a b >>〕 其半焦距6c = 由椭圆定义得122a PF PF =+∴a=∴22245369b a c =-=-=故椭圆的HY 方程为221459x y +=.〔2〕点()52P，、1(60F ，）-、()260F ，关于直线y x =的对称点分别为()25P '，、()'106F -，、()'206F ，.设所求双曲线的HY 方程为 2222111y x a b -=〔10a >，10b >〕其半焦距16c =， 由双曲线定义得''1122a P F P F =-''∴1a =222111362016b c a =-=-=，故所求的双曲线的HY 方程为2212016x y -=.()222210x y a b a b +=>>离心率e =，过左焦点F 且垂直于x 轴的直线交椭圆于点P ,且2PF =.(1)求椭圆的方程; (2)点(),Qx y在椭圆上，求x +的最大值.【答案】〔1〕221168x y +=〔2〕【解析】 【分析】〔1〕由题意可知PF 为半通径，得到22b a=，由离心率和椭圆,,a b c 的关系构造方程组求得,a b ，进而得到椭圆方程；〔2〕利用椭圆参数方程表示出Q点坐标，那么利用辅助角公式可将所求式子化为4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由正弦型函数值域可求得所求式子的最大值.【详解】〔1〕PF 为椭圆的半通径22b a ∴=又椭圆离心率2c e a ==，222a b c =+4a ∴=，b c ==∴椭圆的方程为221168x y +=〔2〕设4cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，那么4cos 4sin 4x πθθθ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭∴当sin 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()maxx +=【点睛】此题考察椭圆HY 方程的求解、利用椭圆参数方程求解最值的问题；此题中求解最值的关键是可以利用参数方程将所求式子转化为三角函数式的形式，进而利用三角函数的知识来求解最值.22173x y +=. (1)椭圆的左右焦点为1F ,2F ,点P 在椭圆上运动，求12PF PF ⋅的取值范围; (2)倾斜角为锐角的直线l 过点()1,0M交椭圆于A ，B 两点，且满足2AM MB =,求直线l 的方程.【答案】〔1〕[]1,3-〔2〕:l y x =-【解析】 【分析】 〔1〕设)Pθθ，利用平面向量数量积的坐标运算可整理得到2124cos 1PF PF θ⋅=-，由余弦函数的值域可求得12PF PF ⋅的取值范围；〔2〕由2AM MB =可利用B 点横纵坐标表示出A 点坐标，将A ，B 两点坐标代入椭圆方程可求得B 点坐标；利用两点连线斜率公式求得直线l 斜率后，利用点斜式得到直线方程. 【详解】〔1〕由椭圆方程知：()12,0F -，()22,0F设)Pθθ那么()12,PF θθ=-，()22,PF θθ=20cos 1θ≤≤214cos 13θ∴-≤-≤，即12PF PF ⋅的取值范围为[]1,3-〔2〕设()11,A x y ，()22,B x y ，那么()111,AM x y =--，()221,MB x y =-由2AM MB =得：()12121212x x y y ⎧-=-⎨-=⎩1212322x x y y =-⎧∴⎨=-⎩()2232,2A x y ∴-- 由,A B 两点在椭圆上可得：()22222222324173173x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：225214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩52B ⎛∴ ⎝⎭∴直线l斜率145712k ==-∴直线l 方程为：()717y x =-，即7777y x =- 【点睛】此题考察椭圆中的向量问题的求解，涉及到平面向量数量积的取值范围的求解、直线方程的求解问题；求解平面向量数量积的关键是可以灵敏应用椭圆的参数方程，将问题转化为三角函数的值域求解问题.222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．〔Ⅰ〕证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； 〔Ⅱ〕假设l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？假设能，求此时l 的斜率，假设不能，说明理由． 【答案】〔Ⅰ〕详见解析；〔Ⅱ〕能，47-或者47+．【解析】试题分析：〔1〕设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系，并表示直线OM 的斜率，再表示；〔2〕第一步由(Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ，直线OM 与椭圆方程联立求点P 的坐标，第二步再整理点的坐标，假设能构成平行四边形，只需，假设有值，并且满足0k>，3k ≠的条件就说明存在，否那么不存在.试题解析：解：(1)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．∴由222{9y kx b x y m =++=得2222(9)20kx kbx b m +++-=，∴12229Mx x kbx k +==-+，299M M b y kx b k =+=+． ∴直线OM 的斜率9M OM M y k x k==-，即9OM k k ⋅=-． 即直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值9-． 〔2〕四边形OAPB 能为平行四边形．∵直线l 过点(,)3mm ，∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠ 由(Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ．∴由2229,{9,y x kx y m =-+=得，即将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+． 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x =∴239km k ±=+2(3)23(9)mk k k -⨯+．解得147k =-，247k =+．∵0,3i i k k >≠，1i =，2，∴当l 的斜率为47-或者47+时，四边形OAPB 为平行四边形．考点：直线与椭圆的位置关系的综合应用【一题多解】第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点是弦的中点，〔1〕知道中点坐标，求直线的斜率，或者知道直线斜率求中点坐标的关系，或者知道求直线斜率与直线OM 斜率的关系时，也可以选择点差法，设,，代入椭圆方程，两式相减，化简为，两边同时除以得，而,,即得到结果，〔2〕对于用坐标法来解决几何性质问题，那么就要求首先看出几何关系满足什么条件，其次用坐标表示这些几何关系，此题的关键就是假设是平行四边形那么对角线互相平分，即2P M x x =，分别用方程联立求两个坐标，最后求斜率.2212x y +=上两个不同的点A ，B 关于直线12y mx =+对称．〔1〕务实数m 的取值范围；〔2〕求AOB ∆面积的最大值〔O 为坐标原点〕．【答案】〔1〕63m <-或者63m >；〔2〕22. 【解析】〔1〕可设直线AB 的方程为1y x b m=-+，从而可知有两个不同的解，再由AB 中点也在直线上，即可得到关于m 的不等式，从而求解；〔2〕令1t m=，可 将AOB ∆表示为t 的函数，从而将问题等价转化为在给定范围上求函数的最值，从而求解.试题解析：〔1〕由题意知0m ≠，可设直线AB 的方程为1y x b m=-+，由，消去y ，得，∵直线1y x b m=-+与椭圆2212x y +=有两个不同的交点，∴224220b m ∆=-++>，①，将AB 中点2222(,)22mb m bM m m ++代入直线 方程12y mx =+解得2222m b m +=-，②．由①②得63m <-或者63m >；〔2〕令166(t m =∈⋃，那么42223222112t t AB t t -++=++，且O 到直线AB的间隔为22121t d t +=+，设AOB ∆的面积为()S t ， ∴221112()2()22222S t AB d t =⋅=--+≤212t =时，等号成立，故AOB ∆. 考点：1.直线与椭圆的位置关系；2.点到直线间隔公式；3.求函数的最值.C 的方程为()222210,0y x a b a b -=>>，离心率e =(1)求双曲线C 的方程; (2)设P 是双曲线C 上F 点，A ,B 两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，假设1,,23AP PB λλ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，求AOB ∆面积的取值范围.【答案】〔1〕2214y x -=〔2〕82,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】〔1〕由顶点到渐近线间隔、离心率和双曲线,,a b c 的关系可构造方程求得,a b ，进而得到双曲线方程； 〔2〕假设,,A P B 三点坐标，利用AP PB λ=可表示出P 点坐标，代入双曲线方程整理可得12x x ；结合渐近线斜率和倾斜角的关系、同角三角函数和二倍角公式可求得sin AOB ∠，利用三角形面积公式可将所求面积化为关于λ的函数，利用对号函数的性质即可求得所求取值范围. 【详解】〔1〕由双曲线方程可知其渐近线方程为ay x b=±，顶点坐标()0,a ± ∴顶点到渐近线间隔ab d c ===由2225ab cc e a c a b ⎧=⎪⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩得：21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩∴双曲线C 的方程为：2214y x -=〔2〕由〔1〕知：双曲线渐近线方程为2y x =±设()00,P x y ，()11,2A x x ，()22,2B x x -，其中1>0x ，20x <那么()0101,2AP x x y x =--，()2020,2PB x x x y =---由AP PB λ=得：()()0120012022x x x x y x x y λλ⎧-=-⎪⎨-=--⎪⎩1201201221x x x x x y λλλλ+⎧=⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩()()()()2212122241411x x x x λλλλ-+∴-=++，整理可得：()21214x xλλ+=-设2AOB θ∠=tan 22πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭111tan cot 2tan 2θπθθ∴===⎛⎫- ⎪⎝⎭sin 5θ∴=，cos 5θ=4sin 22sin cos 5θθθ==又1OA ===，2OB ===当1,23λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1y λλ=+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[]1,2上单调递增 min 12λλ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，max 1110333λλ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭823AOB S ∆∴≤≤即AOB ∆面积的取值范围为82,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】此题考察双曲线方程的求解、双曲线中三角形面积取值范围的求解问题；求解三角形面积取值范围的关键是可以利用某一变量将所求面积表示为关于该变量的函数的形式，进而利用函数求值域的方法求得所求范围.。
高二数学上学期期末考试试卷含答案(共3套)
高二上学期期末考试数学试卷含答案（全卷满分：120 分 考试用时：120 分钟）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.某社区有500户家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100户的样本，记作①；某学校高三年级有12名足球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②那么完成上述两项调查宜采用的抽样方法是（ ）A. ①用随机抽样法，②用系统抽样法B. ①用系统抽样法，②用分层抽样法C. ①用分层抽样法，②用随机抽样法D. ①用分层抽样法，②用系统抽样法 2.若直线1:(2)10l m x y ---=与直线2:30l x my -=互相平行，则m 的值为（ ）A. 0或-1或3B. 0或3C. 0或-1D. -1或33.用秦九韶算法求多项式542()42016f x x x x x =++++在2x =-时，2v 的值为（ ）A. 2B.-4C. 4D. -34.执行右面的程序框图，如果输入的3N =，那么输出的S =（ ）A. 1B.32C.53D.525.下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件） 若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为（ ）A. 5，5B. 3，5C. 3，7D. 5，7 6.若点P （3，4）和点Q （a ，b ）关于直线10x y --=对称，则（ ）A.5,2a b ==B. 2,1a b ==-C. 4,3a b ==D. 1,2a b ==-7.直线l 过点（0，2），被圆22:4690c x y x y +--+=截得的弦长为l 的方程是（ ）A.423y x =+ B. 123y x =-+ C. 2y = D. 423y x =+ 或2y = 8.椭圆221169x y +=中，以点(1,2)M 为中点的弦所在直线斜率为（ ）A.932-B.932C.964D.9169.刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（ ）C.12πD.14π10.若椭圆22194x y k+=+的离心率为45，则k 的值为( ) A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或21 11.椭圆221164x y +=上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离是( ) A ．3 B.11 C ．2 2D.1012.2=，若直线:12l y kx k =+-与曲线有公共点，则k 的取值范围是（ ）A.1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. )1,1,3⎛⎤⎡-∞⋃+∞ ⎣⎥⎝⎦ D. ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.命题“20,0x x x ∀>+>”的否定为______________________________ ．14.已知x 与y 之间的一组数据：，已求得关于y 与x 的线性回归方程 1.20.55x =+，则a 的值为______ ．15.若,x y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最小值为______．16.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2c. 若直线y ＝3(x ＋c)与椭圆的一个交点M满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本小题10分）已知直线l 的方程为210x y -+=. （1）求过点A （3，2），且与直线l 垂直的直线1l 的方程； （2）求与直线l 平行，且到点P （3，0）的距离2l 的方程.18.（本小题12分）设命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<（0a >）；命题:q 实数x 满足32x x -+＜0． （1）若1a =且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；（2）若¬q 是¬p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19.(本小题12分)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5），[0.5，1）， …[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中的a 值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由； （3）估计居民月均用水量的中位数．20.（本小题12分）某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x 、y ． 奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶． 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动． （1）求小亮获得玩具的概率；（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．21.（本小题12分）已知曲线方程为：22240x y x y m +--+=． （1）若此曲线是圆，求m 的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线240x y +-=相交于M 、N 两点，且OM⊥ON（O 为坐标原点），求m 的值．22.（本小题12分）已知1(1,0)F -和2(1,0)F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，且点3(1,)2P 在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线:l y kx m =+（m ＞0）与椭圆C 有且仅有一个公共点，且与x 轴和y 轴分别交于点M ，N ，当△OMN 面积取最小值时，求此时直线l 的方程．数学参考答案13.20000,0x x x ∃>+≤14. 2.1515. -5117.（1）设与直线l ：2x -y +1=0垂直的直线1l 的方程为：x +2y +m =0，-------------------------2分把点A （3，2）代入可得，3+2×2+m =0，解得m =-7．-------------------------------4分 ∴过点A （3，2）且与直线l 垂直的直线1l 方程为：x +2y -7=0；----------------------5分（2）设与直线l ：2x -y +1=0平行的直线2l 的方程为：2x -y +c =0，----------------------------7分∵点P （3，0）到直线2l =，解得c =-1或-11．-----------------------------------------------8分∴直线2l 方程为：2x -y -1=0或2x -y -11=0．-------------------------------------------10分18.（1）由x 2-4ax +3a 2＜0得(x -3a )(x -a )＜0，又a ＞0，所以a ＜x ＜3a ，.------------------------------------------------------2分 当a =1时，1＜x ＜3，即p 为真时实数x 的取值范围是1＜x ＜3．由实数x 满足302x x -<+ 得-2＜x ＜3，即q 为真时实数x 的取值范围是-2＜x ＜3．------4分 若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是1＜x ＜3．---------------------------------------------- 6分（2）¬q 是¬p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件 -----------------------------8分由a ＞0，及3a ≤3得0＜a ≤1，所以实数a 的取值范围是0＜a ≤1．-------------------------------------------------12分19.（1）∵1=（0.08+0.16+a +0.40+0.52+a +0.12+0.08+0.04）×0.5，------------------------2分整理可得：2=1.4+2a ，∴解得：a =0.3-----------------------------------------------------------------4分（2）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，又样本容量为30万-----6分 则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万．---------------------------8分 （3）根据频率分布直方图，得0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.40×0.5=0.47＜0.5， 0.47+0.5×0.52=0.73＞0.5，∴中位数应在（2，2.5]组内，设出未知数x ，---------------------------------------10分 令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.4×0.5+0.5×x =0.5， 解得x =0.06；∴中位数是2+0.06=2.06．--------------------------------------------------------12分 20.（1）两次记录的数为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4）， （4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个， ----------------------------2分 满足xy ≤3，有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），共5个， ----------4分∴小亮获得玩具的概率为516； -------------------------------------------------------6分 （2）满足xy ≥8，（2，4），（3，4），（4，2），（4，3），（3，3），（4，4）共6个， ----8分∴小亮获得水杯的概率为616； --------------------------------------------------------9分 小亮获得饮料的概率为5651161616--=，----------------------------------------------11分 ∴小亮获得水杯大于获得饮料的概率．-------------------------------------------------12分21.（1）由曲线方程x 2+y 2-2x -4y +m =0．整理得：（x -1）2+（y -2）2=5-m ，------------------------------------------------2分 又曲线为圆，则5-m ＞0，解得：m ＜5．------------------------------------------------------------------4分（2）设直线x +2y -4=0与圆：x 2+y 2-2x -4y +m =0的交点为M （x 1，y 1）N （x 2，y 2）．则：22240240x y x y x y m +-=⎧⎨+--+=⎩，消去x 整理得：5y 2-16y +8+m =0， 则：1212168,55m y y y y ++==，------------------------------------------------6分 由OM ⊥ON （O 为坐标原点），可得x 1x 2+y 1y 2=0，-------------------------------------8分又x 1=4-2y 1，x 2=4-2y 2，则（4-2y 1）（4-2y 2）+y 1y 2=0．---------------------------------------------------10分 解得：85m =，故m 的值为85．--------------------------------------------------12分 22.（1）∵1(1,0)F -和2(1,0)F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，且点3(1,)2P 在椭圆C 上，∴依题意，1c =，又3242a ==，故2a =．---------------------2分由222b c a +=得b 2=3．-----------------------------------------------------------3分故所求椭圆C 的方程为22143x y +=．-----------------------------------------------4分（2）由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得（4k 2+3）x 2+8kmx +4m 2-12=0，由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，△=64k 2m 2-4（4k 2+3）（4m 2-12）=0，整理得m 2=4k 2+3．-----------------------------6分 由条件可得k ≠0，(,0)mM k-，N （0，m ）． 所以．①------------------------------8分将m 2=4k 2+3代入①，得．因为|k |＞0，所以，-------------------------------10分当且仅当34k k=，则，即时等号成立，S △OMN 有最小值．-----11分因为m 2=4k 2+3，所以m 2=6，又m ＞0，解得．故所求直线方程为或．----------------------------12分高二级第一学期期末质量检测数学试卷本试卷分两部分，共4页，满分150分。
高二数学上学期期末考试题及答案
高二数学上学期期末考试题一、 选择题：（每题5分，共60分）2、若a,b 为实数，且a+b=2,则3a +3b 的最小值为（ ）（A ）18， （B ）6， （C ）23， （D ）2433、与不等式xx --23≥0同解的不等式是 （ ） （A ）（x-3）(2-x)≥0, (B)0<x-2≤1, (C)32--x x ≥0, (D)(x-3)(2-x)>0 6、已知L 1:x –3y+7=0, L 2:x+2y+4=0, 下列说法正确的是 （ ）（A ）L 1到L 2的角为π43， （B ）L 1到L 2的角为4π （C ）L 2到L 1的角为43π， （D ）L 1到L 2的夹角为π43 7、和直线3x –4y+5=0关于x 轴对称的直线方程是 （ ）（A ）3x+4y –5=0, (B)3x+4y+5=0,(C)-3x+4y –5=0, (D)-3x+4y+5=08、直线y=x+23被曲线y=21x 2截得线段的中点到原点的距离是 （ ） （A ）29 （B ）29 （C ）429 （D ）229 11、双曲线： 的准线方程是191622=-x y （ ） （Ａ）y=±716(B)x=±516 (C)X=±716 (D)Y=±516 12、抛物线：y=4ax 2的焦点坐标为 （ ）（A ）（a 41，0） （B ）（0, a 161） (C)(0, -a 161) (D) (a161,0)二、填空题：（每题4分，共16分）13、若不等式ax 2+bx+2>0的解集是（–21,31），则a-b= . 14、由x ≥0,y ≥0及x+y ≤4所围成的平面区域的面积为 .15、已知圆的方程⎩⎨⎧-=+=θθsin 43cos 45y x 为（θ为参数），则其标准方程为 .16、已知双曲线162x -92y =1，椭圆的焦点恰好为双曲线的两个顶点，椭圆与双曲线的离心率互为倒数，则椭圆的方程为 .三、 解答题：（74分）17、假如a ，b +∈R ，且a ≠b ，求证： 422466b a b a b a +>+（12分）19、已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上随意一点P 向x 轴作线段PP 1，求线段PP 1中点M 的轨迹方程。
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【压轴题】高二数学上期末试题(及答案)一、选择题1．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( ) A ．B ．C ．D ．2．气象意义上的春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度不低于022C .现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均气温的记录数据（记录数据都是正整数）： ①甲地：5个数据是中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据是中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8 则肯定进入夏季的地区有（ ） A ．①②③B ．①③C ．②③D ．①3．将A ，B ，C ，D ，E ，F 这6个字母随机排成一排组成一个信息码，则所得信息码恰好满足A ，B ，C 三个字母连在一起，且B 在A 与C 之间的概率为（ ） A ．112B ．15C ．115D ．2154．下面的程序框图表示求式子32×35×311×323×347×395的值, 则判断框内可以填的条件为（ ）A ．90?i ≤B ．100?i ≤C ．200?i ≤D ．300?i ≤5．设A 为定圆C 圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A 2倍的概率（ ） A ．34B ．35C ．13D ．126．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则判断框中应填入的条件为（ ）i≤A．4i≤B．5i≤C．6i≤D．77．如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图（如：第三季度华为销量约占50%，苹果销量约占20%，三星销量约占30%）．根据该图，以下结论中一定正确的是（）A．华为的全年销量最大B．苹果第二季度的销量大于第三季度的销量C．华为销量最大的是第四季度D．三星销量最小的是第四季度8．运行如图所示的程序框图，若输出的S的值为480，则判断框中可以填() i>A．60B ．70i >C ．80i >D ．90i >9．赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元222年赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)类比“赵爽弦图”，赵爽弦图可类似地构造如图所示的图形，它是由个3全等的等边三角形与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形，设DF =2AF ，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是( )A ．B ．C ．D ．10．设数据123,,,,n x x x x 是郑州市普通职工*(3,)n n n N ≥∈个人的年收入，若这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确的是（ ）A ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变11．从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( ) A ．13B ．512C ．12D ．71212．下表是某两个相关变量x ，y 的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆ0.70.35yx =+，那么表中t 的值为（ ） x 3 4 5 6 y2.5t44.5A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.5二、填空题13．已知样本数据为40，42，40，a ，43，44，且这个样本的平均数为43，则该样本的标准差为_________.14．已知实数]9[1x ∈，，执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于55的概率为________．15．现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，则这组数据的标准差是______．16．如果执行如图的程序框图，那么输出的S =__________．17．甲、乙二人约定某日早上在某处会面，甲在7:00~7:20内某一时刻随机到达，乙在7:05~7:20内某一时刻随机到达，则甲至少需等待乙5分钟的概率是________.18．从边长为4的正方形ABCD 内部任取一点P ，则P 到对角线AC 的距离不大于2的概率为________.19．如图，在平放的边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有380粒落到红心阴影部分上，据此估计红心阴影部分的面积为____．20．对具有线性相关关系的变量,x y ，有一组观测数据(,)i i x y （1,2,3,,10i =），其回归直线方程是3ˆ2ˆybx =+，且121012103()30x x x y y y +++=+++=，则b =______.三、解答题21．某中学高二年级的甲、乙两个班中，需根据某次数学预赛成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛，已知这次预赛他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83，乙班5名学生成绩的中位数是86．（1）求出x ，y 的值，且分别求甲、乙两个班中5名学生成绩的方差、，并根据结果，你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛？（2）从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名．求至少有1名来自甲班的概率． 22．在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱. （1）摸出的3个球为白球的概率是多少？（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？23．某县一中学的同学为了解本县成年人的交通安全意识情况，利用假期进行了一次全县成年人安全知识抽样调查.已知该县成年人中40%的拥有驾驶证，先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了100名成年人，然后对这100人进行问卷调查，所得分数的频率分布直方图如下图所示.规定分数在80以上（含80）的为“安全意识优秀”.拥有驾驶证 没有驾驶证 合计得分优秀得分不优秀 25合计100（1）补全上面22⨯的列联表，并判断能否有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关？（2）若规定参加调查的100人中分数在70以上（含70）的为“安全意识优良”，从参加调查的100人中根据安全意识是否优良，按分层抽样的方法抽出5人，再从5人中随机抽取3人，试求抽取的3人中恰有一人为“安全意识优良”的概率.附表及公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.()2P K k≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82824．某公司为研究某产品的广告投入与销售收入之间的关系，对近五个月的广告投入x （万元）与销售收入y（万元）进行了统计，得到相应数据如下表：广告投入x（万元）91081112销售收入y（万元）2123212025（1）求销售收入y关于广告投入x的线性回归方程y bx a=+．（2）若想要销售收入达到36万元，则广告投入应至少为多少.参考公式：()()()121ni iiniix x y ybx x∧==--=-∑∑，ˆˆ•a yb x=-25．盒子里放有外形相同且编号为1，2，3，4，5的五个小球，其中1号与2号是黑球，3号、4号与5号是红球，从中有放回地每次取出1个球，共取两次.（1）求取到的2个球中恰好有1个是黑球的概率；（2）求取到的2个球中至少有1个是红球的概率.26．某学校高一、高二、高三的三个年级学生人数如下表按年级分层抽样的方法评选优秀学生50人，其中高三有10人．（1）求z的值；（2）用分层抽样的方法在高一中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1名女生的概率；（3）用随机抽样的方法从高二女生中抽取8人,经检测她们的得分如下：9．4，8．6，9．2， 9．6，8．7，9．3，9．0，8．2，把这8人的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0．5的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】先求出基本事件总数n＝27，在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上，且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，由此能求出在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率．【详解】∵一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，∴基本事件总数n＝27，在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上，且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，则在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率P =故选：C 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体性质等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．B解析：B 【解析】试题分析：由统计知识①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22可知①符合题意；而②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24中有可能某一天的气温低于22C ，故不符合题意，③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8．若由有某一天的气温低于22C 则总体方差就大于10.8，故满足题意，选C 考点：统计初步 3．C解析：C 【解析】 【分析】将A ，B ，C 三个字捆在一起，利用捆绑法得到答案. 【详解】由捆绑法可得所求概率为242466A A 1A 15P ==. 故答案为C 【点睛】本题考查了概率的计算，利用捆绑法可以简化运算.4．B解析：B 【解析】 【分析】根据题意可知该程序运行过程中，95i =时，判断框成立，191i =时，判断框不成立，即可选出答案。
【详解】根据题意可知程序运行如下： 1S =，2i =； 判断框成立，33122S =⨯=，2215i =⨯+=； 判断框成立，3325S =⨯，25111i =⨯+=； 判断框成立，3332511S =⨯⨯，211123i =⨯+=； 判断框成立，3333251123S =⨯⨯⨯，223147i =⨯+=； 判断框成立，3333325112347S =⨯⨯⨯⨯，247195i =⨯+=；判断框成立，3333332511234795S =⨯⨯⨯⨯⨯，2951191i =⨯+=； 判断框不成立，输出3333332511234795S =⨯⨯⨯⨯⨯. 只有B 满足题意，故答案为B. 【点睛】本题考查了程序框图，属于基础题。