几种常用的连续型分布

其中
p

P{
X

90}

(
90

100 )

(0.67)

0.2514
15
故
P{Y 0} (1 p)3 0.4195
假定产品的销售额Y与产品成本X之间有如下关 系: Y aX b , 其中a,b已知, 是大于0的常数, 设
X ~ N (, 2) 求产品的销售额Y 的概率密度 .
解：设A—乘客候车时间超过10分钟 X—乘客于某时X分钟到达，则XU(0,60)
P(A) P{10 X 15} P(25 X 45} P{55 X 60} 5 20 5 1 60 2
f (x)
2. 指数分布(P34)
若 X～ f (x)＝ex , x 0
2
其中 为实数， >0 ，则称X服从参数为 ,2的正态
分布,记为N(, 2)，可表为X～N(, 2).
正态分布有两个特性：
(1) 单峰对称
密度曲线关于直线x=对称；(p36)
f()＝maxf(x)＝
1.
2

(2) 的大小直接影响概率的分布 越大，曲线越平坦， 越小，曲线越陡峻。
几个常用的连续型随机变量
均匀分布 P{c<X<d}
正态 分布
指数分布 无记忆性
两个参数的意义
EX1 一种电子元件的使用寿命Ｘ（小时）服从正态
分布Ｎ(100,152),某仪器上装有3个这种元件，三个 元件损坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时 内无一元件损坏的概率.
解:设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数, 则YB(3,p)
对任意实数c, d (a<c<d<b)，都有
P{c X d}＝ d f (x)dx＝ d 1 dx＝d c
c
c ba ba
例1.长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车 ,设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到
达车站，求乘客候车时间超过10分钟的概率.
15
45
一般的概率统计教科书均附有标准正态分 布表供读者查阅(x)的值。
(P218附表1)
注：(1) (-x)＝1－ (x)；
(2) 若X～N(, 2)，则
F ( x)

P{ X

x}

(
x


).
1 设随机变量X~N(-1,22),P{-2.45<X<2.45}=?
2.设 XN(,2),求P{-3<X<+3}
0, x 0
x
0
则称X服从参数为>0的指数分布。 其分布函数为
F (x)＝1 ex , x 0 0, x 0
例2 .电子元件的寿命X(年）服从参数为0.5的指数 分布
(1)求该电子元件寿命超过2年的概率。 (2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用
两年的概率为多少？
EX2的结果称为”3 原则”.在工程应用中，通常 认为P{|X- |≤3} ≈1，忽略{|X- |>3}的值.
如在质量控制中，常用标准指标值±3作两条 线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发
出警报.表明生产出现异常.
例3 一种电子元件的使用寿命Ｘ（小时）服从正态分 布Ｎ(μ,σ2),且知寿命低于800小时的概率约为2.28%; 寿命超过900小时的概率约为84.13%; 问保质期最多 设为多少小时,才能使元件寿命低于保质期的概率小 于0.1?
解：FY
y

PaX
b

y
P

X


yb
a




yb
a







y
b a a



yba 2

fY
y
FY
y



y b a a
1 a

a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 2

e
a 2

概率与统计
几种常用的连续型分布
随机变量的分布函数
单调不减性 非负性
归一性
连续型随机变量 的概率密度
右连续性 F(x)…f(x) P{a<X<b}
二 几种常用的连续型分布
1. 均匀分布(p54)
若X～f(x)＝
1 , a x b b a
0，其它
f(x)
。。
0a b x
则称X在(a, b)内服从均匀分布。记作 X~U(a, b)

1
yba2

e 2a2 2
a 2
Y ~ N a b,a 2

4.标准正态分布(p36) 参数＝0，2＝1的正态分布称为标准正态分 布，记作X~N(0, 1)。
其密度函数表示为
(x)
1
x2
e 2 , x .
2
分布函数表示为
( x) P{X x}
x t2
1 e 2 dt, x 2
3. 正态分布 (p35)
正态分布也称为高斯(Gauss)分布是实践中应用最 为广泛，在理论上 研究最多的分布之一，故它在
概率统计中占有特别重要的地位。
B
A A，B间真实距离为，测量值为X。X的概率密 度应该是什么形态？
若随机变量
X ~ f (x)

1
x 2
e 2 2 x