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平行四边形存在性问题

1．如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边 OA、 OB分别在 x 轴、 y 轴上，且OA、OB的长满足方程 x2﹣16x+64=0．

（1）求点 A、B 的坐标；

（2）将点 A 翻折落在线段 OB的中点 C处，折痕交 OA于点 D，交斜边于点 E，求直线 DE的解析式；

（3）在（ 2）的条件下，在平面直角坐标系内，是否存在点 F 使点 A、 D、E、F 为顶点的四边

形是平行四边形？若存在请直接写出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由．

2．如图， ?ABCD中， AB=4cm，BC=8cm，动点 M从点 D 出发，按折线 DCBAD方向以 2cm/s 的速度运动，动点 N 从点 D 出发，按折线 DABCD方向以 1cm/s 的速度运动，两点均运动到点 D 停止．

（1）若动点 M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？

（2）在相遇前，是否存在过点 M和 N的直线将 ?ABCD的面积平分？若存在，请求出所需时间；若不存在，请说明理由．

（3）若点 E 在线段 BC上，BE=2cm，动点 M、N 同时出发且相遇时均停止运动，那么点M运动到第几秒钟时，与点A、 E、 N 恰好能组成平行四边形？

3．已知矩形 ABCD的一条边 AD=8，将矩形 ABCD折叠，使得顶点 B 落在 CD边上的 P 点处．

（1）如图，已知折痕与边 BC交于点 E，连结 AP、 EP、EA．求证：△ ECP∽△

PDA；（2）若△ ECP与△ PDA的面积比为 1： 4，求边 AB的长；

（3）在（2）的条件下以点 A 为坐标原点， AB所在直线为 x 轴，AD所在直线为 y 轴建立平面

直角坐标系，问在坐标平面内是否存在点 M，使得以点 A、B、E、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在请直接写出点 M的坐标；若不存在请说明理由．

4．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB=4 2cm，AD=24cm，BC=26cm，∠B=90°，动点P 从 A 开始沿 AD边向 D 以 1cm/s 的速度运动，动点 Q从点 C 开始沿 CB以 3cm/s 的速度向点 B 运动．P、Q同时出发，当其中一点到达顶点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 ts ，问：（1）t=时，四边形PQCD是平行四边形．

（2）是否存在一个t 值，使 PQ把梯形 ABCD分成面积相等的两部分？若存在请求出t 的值．（3）当 t 为何值时，四边形PQCD为等腰梯形．

（4）连接 DQ，是否存在 t 值使△ CDQ为等腰三角形？若存在请直接写出t 的值．

5．如图，在平面直角坐标系中直线 AC交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 C，过点 C 作直线 CB⊥AC 交x 轴于点 B，且 AB=25， AO：CO=3：4，点 P 在线段 OC上，且 PO、 PC的长是关于 x 的方程x2﹣12x+32=0的两根（ PO＜ PC）

（1）求 AC、BC的长；

（2）若 M为线段 BC的中点，求直线PM的解析式；

（3）在平面内是否存在点 Q，使以点 A、 C、 P、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在请

直接写出点 Q的坐标；若不存在请说明理由．

6．在平面直角坐标系中，△ABO的三个顶点坐标分别为：A（2，3）、 B（ 3， 1）、O（ 0，0）．（1）将△ ABO向左平移 4 个单位，画出平移后的△A1 B1O1．

（ 2）将点O 为对称中心，画出与△ABO 成中心对称的△ A2B2O．此时四边形ABA2B2的形状是．

（3）在平面上是否存在点 D，使得以 A、 B、 O、D 为顶点的四边形是平行四边形，若存在请

直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．

7．如图，矩形OABC的顶点 O，A，C 都在坐标轴上，点B 的坐标为（ 8，3），M是 BC边的中点．

（1）求出点 M的坐标和△ COM的周长；

（2）若点 P 是矩形 OABC的对称轴 MN上的一点，使以O，M，C，P 为顶点的四边形是平行四

边形，求出符合条件的点P 的坐标；

（3）若 P 是 OA边上一个动点，它以每秒 1 个单位长度的速度从 A 点出发，沿 AO方向向点 O 匀速运动，设运动时间为 t 秒．是否存在在某一时刻 t ，使以 P，O，M为顶点的三角形与△ COM 相似？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由．