材料力学静不定

F2
F2
对称结构在正对称载荷作用下：
结构的内力及变形是对称的
位于对称轴上的截面C的内力 FS=0
F1
M
FN FS
FS M
F1
F2
F2
对称结构在反对称载荷作用下：
结构的内力及变形是反对称的
位于对称轴上的截面C的内力 FN=0 ，M=0
能量法的补充：图乘法
M x M x i dx EI
F 6F __ 7
3Fa ___ 7
3Fa ___ 7
M图
4Fa ___ 7 4Fa ___ 7
例14：试求图示平面刚架的支座反力。已知 各杆 EI=常数。
q B a a A C a D
解：
B X1 a C a A
q a D
q
a 1 a
qa2 /2 qa2 /2
M 1图
M F图
4a 3 1 a 2 2a 11 a2 a 3EI EI 2 3
为E，横截面面积为A。求两端的反力。
F A a C a D
F a B
例8：如图所示，AB为刚杆，1、2、3杆 E、A、l 均相同，求各杆内力值。
1 a
2 a
3
A
B F
解： 静力平衡条件：
FN1 FN2 FN3 F 2 FN1 FN2 0
变形协调条件：
l1 l3 l2 2 引用胡克定律，可得：
解：
B a A
a/2
F
a/2 C
Δ
F
a
Fa/2 Fa/2 a
X1
1
a 3 1 2 4a 3 11 1 EI 2 3 3EI
Fa 1 5 1 29Fa Δ1F 8 6 2 48EI EI
3
3
由 11 X 1 Δ1F Δ
M x M x dx M C
a
b
(L+a)/3 (L+b)/3
3L/4
5L/8
3L/8
L
L L
A=1/3Lh
A=2/3Lh
例1：作图示梁的弯矩图 。
F A l/2 C l/2 B
解： 变形协调条件为
MA A A l/2 M
F C l/2 Fl/4 x B
A 0
即 解得
B
解：
q X1 a/2 C a qa 2/8
q 1
qa 2/8
A
a
1 a 2 2a a 3 11 EI 2 3 3EI 1 a 2 qa2 qa4 Δ1F EI 2 8 16EI 由力法正则方程 11 X 1 Δ1F 0得
解得
2 2
5P RB 16
_
M x
1 x
例2：作图示等刚度刚架的弯矩图 。
a C B
q
a
A
a C FBy q a FBy a A B
FBy a
a
1 a
qa 2 /2
qa2 /8
解：变形协调条件为 ΔBV 0
M图
即
FBy a 2 2
2a qa4 3 FBy a 0 3 6
3qa 2 /8
F/2 Fl/8 C Fl/4 1 Fl/8
Fl 3 1 1 1 1 Fl 3 ΔC EI 16 3 16 4 192EI

l/2
例16：刚架的弯曲刚度为EI，承受力F后，支 座C有一下陷量 Δ ，试求刚架C处的反力。
a/2 B
F
a/2 C Δ
a A
a
a a
1 F
Fa
例 18 ： 已 知 结 构 的 弯 曲刚度为EI，试求对称轴 上A截面的内力。 2 2a Fa 解： 11 , Δ1F 4EI EI
a
F
a
a A a
由 11 X 1 1F 0 得
Fa X1 8
a 1 1 A X1 F/2 1
F
FSA 0 FNA F Fa , MA 2 8
例26：图示桁架，各杆长度均为a，拉压刚度 均为EA，试求各杆轴力。
F 1 2 F 3 8 11 9 10 4 F F 5 7 12 6 F F
解： 单位力作用下各杆轴力
F Ni 1 (i 1,2,,6) F Ni 1 (i 7,8,,12)
F
F X1 2 8 11 3 9 10 4 F
例15：两端固定的梁，跨中受集中力F作用,设
梁的抗弯刚度为EI，不计轴力影响。求梁中点的
挠度。
F A C B
l/2
l/2
解：
A
F/2 C
X1
1
1
F/2
l/2
M 1图
Fl/4
M F图
1 l l 11 1 EI 2 2 EI
1 Fl 2 Fl 2 Δ1F 1 EI 16 16EI Fl 由11 X 1 Δ1F 0 得 X 1 8
3qa X1 16
例12：
a/2 a A
F C a/2
B F/2
解：
F/2 X1 C Fa/4
1
Fa/4 A
a
例13：图示刚架 EI为常 量，画出刚架的弯矩图。
F a a A B
3
F
解：
X1 F a/2 1 F
7a 11 24EI Fa Δ1F 4 EI
Fa
3
a/2 A
6F X1 7
解得
FBy
qa 8
例3：求 A、B两点间的相对线位移ΔAB 。
F A R
B F
F A M FS FN FS M B F R M FS FN FS M
由对称性知:
F FN , FS 0 2
A R D MD F/2
变形协调条件:
D
0
A R
F M ( ) M D R(1 cos ) 2
B

7GI p 6 EI 12 EIGI p
42GI
ql 4
C
X 1 FCy
7GI p 6 EI
p
3EI
ql
1
例24：图示刚架水平放置，已知刚架的弯曲 刚度为EI，扭转刚度为GIp。试求支座A的反力。 （设 GI p 4 EI )
5
A F a l/2 C l/2 a
1 FN1 a
2 FN2 a
3 FN3 B F
A
l1
l2
l3
FN 2
FN1 FN3 2
例9：图示桁架结构，三杆拉压刚度EA相同,求 杆1、2、3的内力。
1 l
2

F
3
例10：平面刚架受力如图，各杆 EI=常数。 试求C处的约束力及支座A、B的约束反力。
q C a/2
a/2 a A

D
MD F/2
cos 1 FR 2
M ( ) R(1 cos )

R

1
ΔD

0
2
M ( )M ( ) FR3 1 Rd EI EI 8
ΔAB
FR3 2 2 ΔD EI 4
4 qa3 1 qa Δ1F a 2 EI 2 EI
3qa 由11 X 1 Δ1F 0 得 X 1 8
FBx 0, FBy FAx 0, FAy 3qa 8

qa2 逆时针 MA 8
11qa , 8
对称轴两边的部分将完全重合。
F1
F1
F2
F2
正对称载荷：绕对称轴对折后，结构在对称轴
两边的载荷的作用点和作用方向将重合，而且
每对力数值相等。
F1
F1
F2
F2
反对称载荷：绕对称轴对折后，结构在对称轴
两边的载荷的数值相等，作用点重合而作用方
向相反。
Hale Waihona Puke Baidu
F
F/2
F/2
F
F/2
F/2
F1
M
FN FS
FS M F1
F
B
C R A F/2 R F/2 X1

0
πR 3 sin 2 d 4 EI
FR Δ1F 2 EI
3 π/2

0
FR3 (1 cos ) sin d 4 EI
由 11 X 1 1F 0 得
FAy F X1 π ()
F X1 π
1 R
FNA 0
例6：等截面平面框架 的受力情况如图所示。 试求最大弯矩及其作用 位置。
F A
a
F
a B a F a
解：
A FSA
F B F
D F
C
C FSC
2 FSA F cos 45 F 2 Fa M m ax 2
M max 发生在外载荷F作用点处
例7：图示等直杆两端固定，材料弹性模量
Fa/2
F/2
例19：已知刚架的弯曲 刚度为EI。试求截面A处弯 矩。
q
a q
a
a q A a
qa2 FS 2qa , M A 2
q q
q X1 A qa
FS
FS
例22：已知图示半圆曲杆 的弯曲刚度为EI，试求曲 杆支座A处垂直反力FAy。
R 解： 11 EI
3 π/2
C R A
静不定系统
常见的超静定结构
桁架的结构及其超静定
刚架及超静定
外力静不定
二、内力静不定系统
有些结构，支座反力可以由静力平衡条件
全部求出，但无法应用截面法求出所有内力，
这类结构称为内力静不定系统。
求解内力静不定系统，需要解除杆件或杆
系的内部约束。
对称性的利用：
对称结构：若将结构绕对称轴对折后，结构在

M ( ) 1
D
MD F/2
D

s
MM ds EI
F M D R 1 2 2 2
R EI
R

1
0
由此得M D
1 1 FR 2
A R
1 1 F M ( ) FR R(1 cos ) 2 2
得
29F 3EIΔ X1 3 64 4a
例17：已知刚架的弯曲刚度为EI，试求刚架 内最大弯矩及其作用位置。
a A
F B
a C a
E a
D
解：
A
a
F B
a C a
3 2a Fa 11 , Δ1F 3EI EI
3
E a X1 a
D
F () 由 11 X 1 1F 0 得 X 1 6 5Fa M m ax 作用于固定端A 6
例23：图示直角折杆水平放置，已知折杆的 弯曲刚度为EI，扭转刚度为GIp。试求支座C的 反力。 l
q A q B
l C
2 11 EI
1 0 x dx GI p
l 2

l 0
l dx
A
2
q B q
2GI p 3EI 3EIGI p
l3
C X1
lq l 1 lq 3 3 2 Δ1F 0 2 x d x 0 2 x d x 0 qlx d x EI 1 l ql 2 0 2 l d x GI p A
例4：平面框架受切 向分布载荷q作用，求 截面A的剪力、弯矩和 轴力。
a q A
a
b b
例5：图示小曲率杆在力偶Me与均匀分布剪 流q作用下处于平衡状态, 已知q、R与EI=常数, 试求截面A的剪力、弯矩和轴力。
q
A
R
D Me B C
Me
解：
q A F SA
R
Me B
R
FSB
FSA
C FSC
FSA qR, M A 0,
B
F/2 C X1 X1
F/2
1
1
1 11 EI

l/2 0
1 1 dx GI p
2 l 2
2l 5a 0 1 dx 4EI
a 2
1 Δ1F EI

0
Fx 1 dx 2 GI p
Fl (l 5a) 0 4 dx 16 EI Fl
a
l 5a X1 Fl 8l 20 a
M Al 2 Fl 2 1 0 2 3 8 2
3Fl MA 16
1
MA
_
M 1 x
3Fl/16 A l/2 M
F C l/2 5F/16 5Fl/32 x B
3Fl/16
另解：变形协调条件为
F A C l/2 M FBy l x Fl/2 l/2 B FBy
wB 0
RB l 2l Pl 5l 0 即 2 3 8 6
1 2 8 11 3 9 10 4 7 12
F
7
12
6 F 5
F力作用下各杆轴力
FNi 0 (i 1,2,,6)
FNi F (i 7,8,,12)
F
12 a 6 Fa 11 , Δ1F EA EA F F X1 , 各杆轴力均为 2 2
6
5
谢谢大家！