2019届高考文数一轮复习课件：第3章 第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数

2
4m2 1 1 ∴m＞0，∴ ＝ ，因此m＝2. 64m2＋9 25
[答案] B
考向四
根据三角函数的定义求点的坐标
2π 4．点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动 3 弧长到达Q 点，则Q点的坐标为(
1 A.－ ， 2
)
B.－ D.－
3 2 3 2
3 1 ，－ 2 2 3 1 ， 2 2
1 C.－ ，－ 2
[解析] 由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y) 2π 1 2π 3 满足x＝cos 3 ＝－2，y＝sin 3 ＝ 2 .
[答案] A
考向五
由角的终边所在的直线方程求三角函数值
5．已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．
当 m＝ 5时，r＝2 2，x＝－ 3，y＝ 5， － 3 6 15 ∴cos α＝ ＝－ 4 ，tan α＝－ 3 ； 2 2 当 m＝－ 5时，r＝2 2，x＝－ 3，y＝－ 5， － 3 6 15 ∴cos α＝ ＝－ 4 ，tan α＝ 3 . 2 2 题型三 例2 三角函数线的应用(重点保分题，共同探讨) 3 sin x－ 2 的定义域为 ________ .
[解析] ∵sin αcos β＜0，且α，β是三角形的两个内角． ∴sin α＞0，cos β＜0，∴β为钝角． 故此三角形为钝角三角形． [答案] 钝角三角形
题型一 例1
角的集合及象限角(基础拿分题，自主练透)
(1)(2018· 潍坊二模)集合 中的角所表示的范围(阴影部分)
π π αkπ＋ ≤α≤kπ＋ ，k∈Z 4 2
y＝
域(图中阴影部分)即为角α的终边的范围， 故满足条件的角α的集合为
π 2 x2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ π，k∈Z . 3 3
[答案]
π 2 x2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ π，k∈Z 3 3
方法感悟 利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤： ①用边界值定出角的终边位置； ②根据不等式(组)定出角的范围； ③求交集，找单位圆中公共的部分； ④写出角的表达式．
[解析] ∵角α的终边经过点P(－x，－6)， －x 5 5 且cos α＝－13，∴cos α＝ 2 ＝－13， x ＋36
5 5 5 12 即x＝2或x＝－2(舍去)，∴P －2，－6 ，∴sin α＝－13，
sin α 12 1 1 13 5 2 ∴tan α＝cos α＝ 5 ，则sin α＋tan α＝－12＋12＝－3.
(3)终边相同的角 所有与 α 终边相同的角，包括 α 本身构成一个集合，这个集合 可记为 S＝{β|β＝α＋k· 360° ，k∈Z}．
2．弧度制 (1)定义 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角． 弧度记作 rad.
(2)公式 角 α 的弧度数公式 角度与弧度的换算 弧长公式 扇形面积公式 l |α|＝r(弧长用 l 表示) π ①1° ＝180rad 180 ②1 rad＝( π )° |α|r
3π 4π π 4π [解析] － 4 是第三象限角，故①错误； 3 ＝π＋ 3 ，从而 3 是 第三象限角，故②正确；－400° ＝－360° －40° ，从而③正确；－ 315° ＝－360° ＋45° ，从而④正确．
[答案] C
2．终边在直线y＝ 3x上的角的集合为
[解析] 终边在直线y＝ 3
4．三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin
α＝
y y，cos α＝x，tan α＝x，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sin y x y α＝ r，cos α＝r，tan α＝x.
[知识自测] 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( (2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．( (3)不相等的角终边一定不相同．( ) ) ) )
三角函数
定义域
第一象限符 号 ＋ ＋
第二 象限 符号 ＋ －
第三 象限 符号 － －
第四 象限 符号 － ＋
sin α cos α
R R {α|x∈R，
tan α
π 且 α≠kπ＋2， k∈Z}
＋
－
＋
－
4．三角函数线 如下图，设角 α 的终边与单位圆交于点 P，过 P 作 PM⊥x 轴， 垂足为 M， 过 A(1,0)作单位圆的切线与 α 的终边或终边的反向延长线 相交于点 T.
[答案] B
5．已知角α的终边上一点P(－ 3，m)(m≠0)， 2m 且sin α＝ 4 ，求cos α，tan α的值．
[解] 由题设知x＝－ 3，y＝m， ∴r2＝|OP|2＝(－ 3)2＋m2(O为原点)，r＝ 3＋m2. 2m m m ∴sin α＝ r ＝ 4 ＝ ，∴r＝ 3＋m2＝2 2， 2 2 即3＋m2＝8，解得m＝± 5.
【针对补偿】
4．设θ是第三象限角，且cos
θ θ θ ＝－cos ，则 是( 2 2 2
)
A．第一象限角 C．第三象限角
B．第二象限角 D．第四象限角
θ [解析] 由θ是第三象限角，知2为第二或第四象限角，
∵cos
θ θ θ θ ＝－cos ，∴cos ≤0，综上知 为第二象限角． 2 2 2 2
[解] 设α终边上任一点为P(－4a,3a)， 3 4 当a＞0时，r＝5a，sin α＝5，cos α＝－5， 3 tan α＝－4； 3 4 当a＜0时，r＝－5a，sin α＝－5，cos α＝5， 3 tan α＝－4.
方法感悟 应用三角函数定义的3种求法 (1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解． (2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的 参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值． (3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数 的定义可求角α终边上某特定点的坐标．
是(
)
π π [解析] 当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋ 4 ≤α≤2nπ＋ 2 ，此时α表示的 π π 范围与4≤α≤2表示的范围一样； π π 当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋ 4 ≤α≤2nπ＋π＋ 2 ，此时α表示 π π 的范围与π＋4≤α≤π＋2表示的范围一样，故选C.
[答案] C
(4)终边相同的角的同一三角函数值相等．(
π (5)若α∈ 0，2，则tan
α＞α＞sin α.(
) )
(6)√
(6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α(5)√
2．已知角α的终边与单位圆的交点为M ( ) 3 A. 2 2 C. 2 3 B．± 2 2 D．± 2
【针对补偿】 1 6．已知cos α≤－2，则角α的集合为 ________ .
1 [解析] 作直线x＝－ 2 交单位圆于C、D两点，连接OC、OD， 则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足 条件的角α的集合为
2 4 α2kπ＋ π≤α≤2kπ＋ π，k∈Z 3 3
6π (2)(2018· 广州调研)若角θ的终边与 7 角的终边相同，则在[0,2π] θ 内终边与3角的终边相同的角的个数为 ________ . 6π θ 2π 2kπ [解析] ∵θ＝ 7 ＋2kπ(k∈Z)，∴3＝ 7 ＋ 3 (k∈Z)，
2π 2kπ 3 18 依题意0≤ 7 ＋ 3 ≤2π，k∈Z，∴－7≤k≤ 7 ， 2π θ ∴k＝0,1,2，即在[0,2π]内与3角的终边相同的角为 7 ， 20π 34π 21 ， 21 共三个． [答案] 三个
α 3．已知角α终边所在的象限，求2α、 2 、π－α等角的终边所在 α 象限问题，可由条件先写出α的范围，解不等式得出角2α、 2 、π－α 等的范围，再根据范围确定象限．
【针对补偿】 1．给出下列四个命题： 3π 4π ①－ 4 是第二象限角；② 3 是第三象限角；③－400° 是第四角 限；④－315° 是第一象限角．其中正确的命题有( A．1个 C．3个 B．2个 D．4个 )
方法感悟 1．利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是 先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的 参数k赋值来求得所需角． 2．表示区间角的三个步骤： (1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界． (2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360° ～360° 范 围内的角α和β，写出最简区间． (3)起始、终止边界对应角α，β再加上360° 的整数倍，即得区间 角集合．
π x上的角的集合为αα＝kπ＋3，k∈Z .
________ .
[答案]
π αα＝kπ＋ ，k∈Z 3
9π 3．下列与 4 的终边相同的角的表达式中正确的是( A．2kπ＋45° (k∈Z) 9 B．k· 360° ＋4π(k∈Z)
)
[答案]
2 4 α2kπ＋ π≤α≤2kπ＋ π，k∈Z 3 3
题型四 例3
扇形的弧长及面积公式(高频考点题，多角突破)
第三章 三角函数、解三角形
• 第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函 数
◆高考导航· 顺风启程◆
[知识梳理] 1．角的概念 (1)角的分类(按旋转的方向)： 正角：按照 逆时针 方向旋转而成的角. 角负角：按照 顺时针 方向旋转而成的角. 零角 ：射线没有旋转.
(2)象限角与轴线角：
考向三
由三角函数值求参数 30° )，
3．(2018· 兰州模拟)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 4 且cos α＝－5，则m的值为( 1 A．－2 3 C．－ 2 ) 1 B.2 3 D. 2
－ 8m 4 [解析] ∵r＝ 64m ＋9，∴cos α＝ ＝－ ， 2 5 64m ＋9