人教版-任意角和弧度制课件完美版1
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任意角和弧度制ppt 人教课标版共26页
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30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
26
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26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
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27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
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28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
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29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
任意角和弧度制ppt课件人教版
弧AB的长 OB旋转的方向 ∠AOB的弧度数 ∠AOB的度数
∏r
逆时针方向
∏
2∏r
逆时针
2∏
r
逆时针
1
2r
顺时针
-2
∏r
顺时针
-∏
0
未作旋转
0
∏r
逆时针
∏
2∏r
逆时针
2∏
1800 3600 57.30 -114.60 -1800 00 1800 3600
2、角度与弧度之间的换算
把角度换算成弧度 把弧度换算成角度
弧 度
0
6
4
3
2
2
3
3
4
5
6
3
2
2
角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数 集R之间建立起一一对应的关系:每一个角都 有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对 应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角 (即弧度数等于这个实数的角)与它对应
正角 零角 负角
任意角的集合
正实数 0
负实数
实数集R
3、例题讲解
题型二 用弧度制表示角的集合 例2 (1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，
其中0≤α≤2π. (2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α终边相同，求β.
【解】 (1)∵－1 480°＝－1 148800π＝－749π＝－10π＋169π， 又 0≤196π≤2π， ∴－1 480°＝169π－2×5π＝169π＋2×(－5)π.
360 2 rad. 180 rad. 1 rad 0.01745rad.
180
1rad (180) 57.30 5718'
角度与弧度之间 的换算
数学人教A版必修第一册5.1任意角和弧度制课件
角的度量是否也能用不同的单位制？ 能否用十进制的实数来度量角？
角度制
角度(°)
换算
实数
探究：角度与弧长的关系
如图，对于同一圆心角α=60°， 若半径r不同，则所对圆弧长l也不同.
α=60°
半径r
r=1
r=2
r=3
圆弧长l l
l 2
l
3
3
l
r
3
3
3
结果 : 若 60,则 l .
r3
弧长之比 所对圆心角之比
1 rad _(1_8_0_) 57.3
新知2：弧度与角度的换算P174
角度(°) 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360
弧度 (rad)
06
4
2 3 5
32 3 4 6
3
2
2
180 rad 1 rad 1rad (180)
180
(1)2230' 22.5 22.5 rad rad
y
B
与45°终边相同的角为__4_5_°__+_k_·_3_6_0_°__(_k_∈__Z_)_
45° 与角α终边相同的所有角组成的集合：
o
x S | k 360, k Z
巩固：终边相同的角
判定α为第几象限角:先将其化为终边相同且 在0°~360°内的角，再判断终边所在象限.
与 95012' 终边相同的角为 95012'k 360(k Z ) 取k 3,则 95012'3 360 12948', 它为第二象限角.
巩固：任意角的定义
[练习1]判断正误： ①经过过1小时，时针旋转形成的角为30°.( )
角度制
角度(°)
换算
实数
探究：角度与弧长的关系
如图，对于同一圆心角α=60°， 若半径r不同，则所对圆弧长l也不同.
α=60°
半径r
r=1
r=2
r=3
圆弧长l l
l 2
l
3
3
l
r
3
3
3
结果 : 若 60,则 l .
r3
弧长之比 所对圆心角之比
1 rad _(1_8_0_) 57.3
新知2：弧度与角度的换算P174
角度(°) 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360
弧度 (rad)
06
4
2 3 5
32 3 4 6
3
2
2
180 rad 1 rad 1rad (180)
180
(1)2230' 22.5 22.5 rad rad
y
B
与45°终边相同的角为__4_5_°__+_k_·_3_6_0_°__(_k_∈__Z_)_
45° 与角α终边相同的所有角组成的集合：
o
x S | k 360, k Z
巩固：终边相同的角
判定α为第几象限角:先将其化为终边相同且 在0°~360°内的角，再判断终边所在象限.
与 95012' 终边相同的角为 95012'k 360(k Z ) 取k 3,则 95012'3 360 12948', 它为第二象限角.
巩固：任意角的定义
[练习1]判断正误： ①经过过1小时，时针旋转形成的角为30°.( )
任意角和弧度制PPT课件
轴线角
与x轴正方向形成的角称为轴线角 ，其大小为正负90°。
Part
02
弧度制的基本概念
弧度的定义
弧度的定义
弧度是度量角的一种方式，它是以长度来度量圆弧所对应的中心角的大小。在 圆中，长度等于半径的圆弧所对应的中心角叫做1弧度的角。
弧度的符号
用rad表示弧度，例如，1弧度可以表示为1rad。
弧度与角度的换算
任意角和弧度制ppt 课件
• 任意角的概念 • 弧度制的基本概念 • 任意角的三角函数 • 弧度制下的三角函数 • 任意角和弧度制的实际应用
目录
Part
01
任意角的概念
定义与性质
定义
任意角是平面内一条射线绕着端点从 一个位置旋转到另一个位置所形成的 角。
性质
任意角具有方向性，其正方向由旋转 方向确定；旋转量大于0°小于360°的 角称为正角，旋转量大于360°的角称 为负角。
正弦函数、余弦函数、正 切函数都具有周期性，其 周期为2π弧度。
奇偶性
正弦函数和正切函数是奇 函数，余弦函数是偶函数 。
图像
正弦函数、余弦函数、正 切函数的图像分别呈正弦 波、余弦波和直线形状， 且均在单位圆上表示。
弧度制下三角函数的应用
三角恒等式
利用三角函数的性质，可以推导 出许多三角恒等式，如sin^2(x)
电磁学中的交流电
在电磁学中，交流电的相位角可以用任意角和弧度制来表示，帮助 理解交流电的特性和规律。
振动和波动
在振动和波动的研究中，任意角和弧度制可以用来描述振动相位、 波传播方向等。
在几何学中的应用
平面几何和立体几何
任意角和弧度制可以用来描述平面几何和立体几何中的角度 和旋转，例如旋转矩阵、极坐标等。
与x轴正方向形成的角称为轴线角 ，其大小为正负90°。
Part
02
弧度制的基本概念
弧度的定义
弧度的定义
弧度是度量角的一种方式，它是以长度来度量圆弧所对应的中心角的大小。在 圆中，长度等于半径的圆弧所对应的中心角叫做1弧度的角。
弧度的符号
用rad表示弧度，例如，1弧度可以表示为1rad。
弧度与角度的换算
任意角和弧度制ppt 课件
• 任意角的概念 • 弧度制的基本概念 • 任意角的三角函数 • 弧度制下的三角函数 • 任意角和弧度制的实际应用
目录
Part
01
任意角的概念
定义与性质
定义
任意角是平面内一条射线绕着端点从 一个位置旋转到另一个位置所形成的 角。
性质
任意角具有方向性，其正方向由旋转 方向确定；旋转量大于0°小于360°的 角称为正角，旋转量大于360°的角称 为负角。
正弦函数、余弦函数、正 切函数都具有周期性，其 周期为2π弧度。
奇偶性
正弦函数和正切函数是奇 函数，余弦函数是偶函数 。
图像
正弦函数、余弦函数、正 切函数的图像分别呈正弦 波、余弦波和直线形状， 且均在单位圆上表示。
弧度制下三角函数的应用
三角恒等式
利用三角函数的性质，可以推导 出许多三角恒等式，如sin^2(x)
电磁学中的交流电
在电磁学中，交流电的相位角可以用任意角和弧度制来表示，帮助 理解交流电的特性和规律。
振动和波动
在振动和波动的研究中，任意角和弧度制可以用来描述振动相位、 波传播方向等。
在几何学中的应用
平面几何和立体几何
任意角和弧度制可以用来描述平面几何和立体几何中的角度 和旋转，例如旋转矩阵、极坐标等。
任意角和弧度制课件PPT
②任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是一个 正数 ；负角的弧度数是一个 负数 ；零角 的弧度数是 零 . ③角的弧度数的计算 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数
l 的绝对值是|α|＝ r .
明目标、知重点
2.角度制与弧度制的换算 (1)
角度化弧度 360°＝ 2π rad 180°＝ π rad π 1°＝180 rad≈0.017 45 rad
§1.1 任意角和弧度制
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑点
02
03
探要点 究所然
当堂测 查疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点
1.了解角的概念. 2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义. 3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合 符号表示这些角.
明目标、知重点
填要点·记疑点
明目标、知重点
反思与感悟 当角的集合的表达式分两种或两种以上 情形时，能合并的尽量合并，注意把最后角的集合化 成最简的形式.
明目标、知重点
跟踪训练3 求终边在直线y＝－x上的角的集合S. 解 由于直线y＝－x是第二、四象限的角平分线，在0°～ 360°间所对应的两个角分别是135°和315°， 从而S＝{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋315°， k∈Z} ＝ {α|α ＝ 2k·180° ＋ 135° ， k∈Z}∪{α|α ＝ (2k ＋ 1)·180° ＋135°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°＋135°，n∈Z}.
明目标、知重点
1234
4.写出终边落在坐标轴上的角的集合S. 解 终边落在x轴上的角的集合： S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}； 终边落在y轴上的角的集合： S2＝{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}； ∴终边落在坐标轴上的角的集合： S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}∪{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}＝{β|β ＝2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝n·90°，n∈Z}.
任意角和弧度制PPT精品课件
用“弧度”与“度”去度量每一个角时，除了零角以 外，所得到的量数都是不同的，但它们既然是度量同 一个角的结果，二者就可以相互换算．
我们已经知识若弧是一个整圆，它的圆心角是周角， 其弧度数是2π，而在角度制里它是360°，
因此 360 2 rad ，
180 rad ，
1
180
rad
0.01745 rad .
r 逆时针方向
180
2r 顺时针方向
2
360
r 逆时针方向
1
(180 / )
2r 顺时针方向
2
(360 / )
顺时针方向
180
OA，OB重合
0
0
逆时针方向
逆时针方向
2
180 360
悄然转变的
试结合所学列举工业革命后列强给我国带 来的灾难。和工业文明传入我国的事实。
发动侵华战争 通过不平等条约掠夺财富和主权奴役中国人民 镇压中国人民革命
单位不同，量数也不同.
问题2：一定大小的圆心角所对应的弧长与 半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？
提示：初中所学的弧长公式 l nr l n
180 r 180
上式表明，以角α为圆心角所对的弧长与其半径的比 值，由α的大小来确定，与所取的半径大小无关，仅 与角的大小有关．
三、 角度制与弧度制的换算
5. 当时学生的学习内容同过去和现在各有 什么不同？为什么会有这些不同？
○与过去相比，民国时期的课程增加 了科学和技术方面的内容
○与现在相比，那时的课程设置还是 比较少，并且比较单一的。
A由于当时清政府的专制压制和思想 禁锢阻碍了中国科学技术的发展； 清政府闭关自守阻断了中外科技文 化交流；
5.1任意角和弧度制课件(人教版)
问题3：上述问题2中，射线上的一点(不同于点)，= ，在旋转过程中，点所形成的圆弧的长为，求弧长 与半径 的比值，其与问题2中的比值有何关系?
【解析】：因为<m></m>，所以<</m>.故<m></m>.
结论：可以发现，圆心角所对的弧长与半径的比值只与的大小有关.也就是说，这个比值随的确定而唯一确定.
【解析】:(1)设扇形的弧长为 ，因为圆心角 ，所以扇形的弧长，故扇形的面积 (2)设扇形圆心角的弧度数为，弧长为，半径为，面积为，则 ，所以 ，所以，所以当 时， 最大，且 ，因此 ．
反思感悟
方法总结
扇形的弧长和面积的求解策略(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是(其中是扇形的弧长，是扇形的半径，是扇形圆心角的弧度数，).(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.
跟踪训练2 将下列角度与弧度进行互化： (1) ；(2)；(3)；(4)．
【解析】(1) .(．(3) .(4) .
探究二：扇形的弧长及面积公式
如图所示，设公路弯道处弧的长为.(图中长度单位：)
问题1：弧 的长是多少?求扇形的面积 ?
【解析】：.
新知生成
知识点二 扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为，弧长为，为其圆心角，为圆心角的角度数，则(1)弧长公式：.(2)扇形面积公式：
C
B
A
一、弧度制的概念
例题1 下列说法正确的是( ).A. 1 弧度的圆心角所对的弧长等于半径B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大C.所有1弧度的圆心角所对的弧长都相等D.用弧度表示的弧度的定义知，1弧度的圆心角所对的弧长等于半径，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，不在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是不相等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D错误．
《任意角和弧度制》三角函数PPT教学课件(第一课时任意角)
对终边相同的角的理解 (1)α 为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏． (2)k·360°与 α 中间用“＋”连接，k·360°－α 可理解成 k·360° ＋(－α)． (3)相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．
栏目 导引
第五章 三角函数
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)第一象限的角一定是正角．( × ) (2)终边相同的角一定相等．( × ) (3)锐角都是第一象限角．( √ ) (4)第二象限角是钝角．( × )
栏目 导引
第五章 三角函数
3．终边在直线 y＝－x 上的角 β 的集合 S＝________． 解析：由题意可知，终边在直线 y＝－x 上的角有两种情况： ①当终边在第二象限时，可知{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}； ②当终边在第四象限时，可知{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}． 综合①②可得，终边在直线 y＝－x 上的角的集合 S＝{β|β＝ 135°＋k·180°，k∈Z}． 答案：{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}
栏目 导引
第五章 三角函数
2.如图，α，β 分别是终边落在 OA，OB 位置上的两 个角，且 α＝60°，β＝315°. (1)求终边落在阴影部分(不包括边界)的角 γ 的集 合； (2)求终边落在阴影部分(不包括边界)，且在 0°～360°范围内 的角的集合． 解：(1)因为与角 β 终边相同的一个角可以表示为－45°，所以 阴 影 部 分 (不 包 括 边 界 )所 表 示 的 角 的 集 合 为 {γ|k·360 ° － 45 ° <γ<k·360°＋60°，k∈Z}． (2){θ|0°≤θ<60°或 315°<θ<360°}．
别是( )
栏目 导引
第五章 三角函数
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)第一象限的角一定是正角．( × ) (2)终边相同的角一定相等．( × ) (3)锐角都是第一象限角．( √ ) (4)第二象限角是钝角．( × )
栏目 导引
第五章 三角函数
3．终边在直线 y＝－x 上的角 β 的集合 S＝________． 解析：由题意可知，终边在直线 y＝－x 上的角有两种情况： ①当终边在第二象限时，可知{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}； ②当终边在第四象限时，可知{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}． 综合①②可得，终边在直线 y＝－x 上的角的集合 S＝{β|β＝ 135°＋k·180°，k∈Z}． 答案：{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}
栏目 导引
第五章 三角函数
2.如图，α，β 分别是终边落在 OA，OB 位置上的两 个角，且 α＝60°，β＝315°. (1)求终边落在阴影部分(不包括边界)的角 γ 的集 合； (2)求终边落在阴影部分(不包括边界)，且在 0°～360°范围内 的角的集合． 解：(1)因为与角 β 终边相同的一个角可以表示为－45°，所以 阴 影 部 分 (不 包 括 边 界 )所 表 示 的 角 的 集 合 为 {γ|k·360 ° － 45 ° <γ<k·360°＋60°，k∈Z}． (2){θ|0°≤θ<60°或 315°<θ<360°}．
别是( )
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r
A
B
1rad r
O
人教版-任意角和弧度制课件完美版1
思考4：约定：正角的弧度数为正数，负
角的弧度数为负数，零角的弧度数 为0.如果将半径为r圆的一条 A 2r 半径OA，绕圆心顺时针旋转到 r OB，若弧AB长为2r，那么∠AOB O B
的大小为多少弧度？ －2rad.
思考5：如果半径为r的圆的圆心角α所
.老王对公 司的新 措施有 些看法 ，也是 正常的
感谢聆听，欢迎指导！
人教版-任意角和弧度制课件完美版1
对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝
对值如何计算？
人教版-任意角和弧度制课件完美版1
l
r
人教版-任意角和弧度制课件完美版1
思考6：半径为r的圆的圆心与原点重合，
角的始边与x轴的非负半轴重合，交圆于
点A，终边与圆交于点B，下表中∠AOB的
弧度数分别是多少？
弧AB的长
r 2 r r 2r 3 r
OB旋转的方向 逆时 逆时 顺时 顺时 顺时 针针针针针
知识迁移 例1 按照下列要求，把67°30′化成
弧度： （1）精确值； （2）精确到0.001的近似值.
67030 3 rad 1.178rad 8
人教版-任意角和弧度制课件完美版1
人教版-任意角和弧度制课件完美版1
例2 (1) 已知扇形的圆心角为72°， 半径等于20cm，求扇形的弧长和面积；
（2）已知扇形的周长为10cm，面积为 4cm2，求扇形的圆心角的弧度数.
人教版-任意角和弧度制课件完美版1
小结作业 人教版-任意角和弧度制课件完美版1
1.用度为单位来度量角的单位制叫做角 度制，用弧度为单位来度量角的单位制 叫做弧度制.
2.度与弧度的换算关系，由180°＝
rad进行转化，以后我们一般用弧度为 单位度量角.
3.利用弧度制，使得弧长公式和扇形的 面积公式得以简化，这体现了弧度制优 点.
∠AOB的弧度 数
2 -1 -2 3
人教版-任意角和弧度制课件完美版1
探究（二）：度与弧度的换算 人教版-任意角和弧度制课件完美版1
思考1：一个圆周角以度为单位度量是多 少度？以弧度为单位度量是多少弧度？ 由此可得度与弧度有怎样的换算关系？
180°＝ rad.
思考2：根据上述关系，1°等于多少弧
度？1rad等于多少度？
人教版-任意角和弧度制课件完美版1
人教版-任意角和弧度制课件完美版1
作业：
P10 习题1.1 A组： 6，7，8，9，10.
人教版-任意角和弧度制课件完美版1
人教版-任意角和弧度制课件完美版1
1. 一个完美的历史家必须绝对具有足 够的想 象力 2 一个作者的观念看更像是在反映他 自己的 生活于 其中的 那个代 ，而不 是他所 描写的 那个代
弧 度
0
6
4
23 32 3 4
5 6
3
22
今后用弧度制表示角时，“弧度”二字 或“rad”通常略去不写，而只写该角所 对应的弧度数.如α=2表示α是2rad的角.
思考4：在弧度制下，角的集合与实数集 R之间可以建立一个一一对应关系，这个 对应关系是如何理解的？
人教版-任意角和弧度制课件完美版1
思考5：已知一个扇形所在圆的半径为R， 人教版-任意角和弧度制课件完美版1
1.1 任意角和弧度制 1.1.2 弧度制
问题提出
1.角是由平面内一条射线绕其端点从 一个位置旋转到另一个位置所组成的图 形，其中正角、负角、零角分别是怎样 规定的？
2.在直角坐标系内讨论角，象限角是 什么概念？
3.与角α终边相同的角的一般表达式 是什么？
S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}
10 rad0.017r4a5d
180
1rad1805.7305718 人教版-任意角和弧度制课件完美版1
0
0
0
人教版-任意角和弧度制课件完美版1
思考3：根据度与弧度的换算关系，下表
中各特殊角对应的弧度数分别是多少？
度 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 2700 3600
将圆周分成360等份，每一段圆弧所 对的圆心角就是1°的角.
思考2：在半径为r的圆中，圆心角n°所
对的圆弧长如何计算？ l 2r n
360
思考3：如图，把长度等于半径长的圆弧
所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad，
读作1弧度. 那么，1弧度圆心角的大小
与所在圆的半径的大小是否有关？为什
么？
l 2r n 360
弧长为l，圆心角为α（ 0 ）2那么
扇形的面积如何计算？
S 1lR 1 R2 l2
22
2
思考6：在弧度制下，与角α终边相同的 角如何表示？ 终边在坐标轴上的角如何
表示？ 2k(k Z)
终边x轴上：k(kZ)
终边y轴上： k(kZ)
2
人教版-任意角和弧度制课件完美版1
人教版-任意角和弧度制课件完美版1
4.长度可以用米、厘米、英尺、码等 不同的单位度量，物体的重量可以用千 克、磅等不同的单位度量.不同的单位制 能给解决问题带来方便，以度为单位度 量角的大小是一种常用方法，为了进一 步研究的需要，我们还需建立一个度量 角的单位制.
探究1：弧度的概念 思考1：在平面几何中，1°的角是怎样 定义的？
3. 历史是有个人特征的人物的王国， 是本身 有价值 而又不 可能重 演的个 别事件 的王国 4. 不同的历史家对同一现象可以提出 十分不 同乃至 截然对 立，但 又同样 似乎可 能的解 释而不 至于歪 曲事实 ，或违 背通行 的处理 证据的 准则
5、 增 加 阅 读 量，培 养语感 ，积极 发掘规 范使用 虚词的 潜意识 ； 6.这与其说是靠他个人的力量，不如 说是由 于他是 社会的 一个成 员。 7.他的一生自然使我想起了《论语》 中孔子 同他的 弟子的 一段对 话。 8.在这条熟悉的林荫大道上，他偶尔 碰到了 自己在 中学时 代的恋 人。