福建省福州市第八中学2015_2016学年高一数学下学期期中试题

福州八中2015—2016学年第二学期期中考试高一数学 必修3考试时间：120分钟 试卷满分：150分2016.4.28第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）1．下列选项中，正确的赋值语句是( ) A ．A ＝x 2－1＝(x ＋1)(x －1) B ．5＝A C ．A ＝A*A ＋A －2D ．4＝2＋2 2. 把77化成四进制数的末位数字为A ．4B ．3C ．2D ．13．某导演先从2个金鸡奖和3个百花奖的5位演员名单中挑选2名演主角，后又从剩下的演员中挑选1名演配角．这位导演挑选出2个金鸡奖演员和1个百花奖演员的概率为A.13B.110C.25D.3104.将一个骰子抛掷一次，设事件A 表示向上的一面出现的点数不超过3，事件B 表示向上的一面出现的点数不小于4，事件C 表示向上的一面出现奇数点，则 A. A 与B 是对立事件 B. A 与B 是互斥而非对立事件C. B 与C 是互斥而非对立事件D. B 与C 是对立事件5．从2 012名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2 012人中剔除12人，剩下的2 000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2 012人中，每人入选的概率A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等，且为140D ．都相等，且为251 0066. 如图所示是某赛季甲、乙两名篮球运动员参加的6场比赛得分的茎叶图，12,s s 分别表示甲、乙两名运动员这个赛季得分的标准差，12,x x 分别表示甲、乙两名运动员这个赛季得分的平均数，则有 A ．12x x > ，12s s > B ．12x x < ，12s s < C ．12x x < ，12s s >D ．12x x > ，12s s <7．程序框图如图所示：如果上述程序运行的结果S ＝1320，那么判断框中应填入 A ．K ＜10?B ．K≤10?C ．K ＜9?D ．K≤11?8．某人从甲地去乙地共走了500 m ，途中要过一条宽为x m 的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能找到的概率为45，则河宽为A ．80 mB ．100 mC ．50 mD ．40 m二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9.一个容量为100的样本分成10组，组距为10，在对应的频率分布直方图中某个小长方形的高为0.03，那么该组的频数是 10．若输入的数字是“68”,则下列程序运行后输出的结果 是_________11．通过模拟试验，产生了20组随机数： 6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884 2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725 6576 5929 9768 6071 9138 6754如果恰有三个数在1,2,3,4,5,6中，那么表示恰有三次击中目标，那么四次射击中恰有三次击中目标的概率约为____12.一只蚂蚁在边长为3的正方形区域内随机地爬行，则其恰在离四个顶点距离都大于1的地方的概率为三、解答题（本大题共有4个小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.） 13．（本小题满分10分）(1)用辗转相除法求840与1764的最大公约数. (2)用秦九韶算法计算函数24532)(34=-++=x x x x x f 当时的函数值.14．（本小题满分10分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].（1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x ）与数学成绩相应分数段的人数（y ）之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.15．（本小题满分10分）《聪明花开》栏目共有五个项目，分别为“和一斗”、“斗麻利”、“文士生”、“讲头知尾”、“正功夫”．《聪明花开》栏目组为了解观众对项目的看法，设计了“你最喜欢的项目是哪一个 ”的调查问卷，对现场观众（I ）在所有参与该问卷调查的人中，用分层抽样的方法抽取n 人座谈，其中恰有4人最喜欢“斗麻利”，求n 的值及所抽取的人中最喜欢“合一斗”的人数；（II ）在（I ）中抽取的最喜欢“合一斗”和“斗麻利”的人中，任选2人参加栏目组互动，求恰有1人最喜欢“合一斗”的概率．16．（本小题满分10分）得到如下数据：(1)求回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ； (2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元(利润＝销售收入－成本)?第Ⅱ卷一、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）17. 已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P －ABC < 12V S －ABC 的概率是Ａ．78 B ． 34 C ．12 D ．1418. 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值为A.13 B ．－13 C ．－223 D.22319. 若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为A.π3 B ． 3 C. 2π3 D ．220．下列说法正确的是A ．在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内sin x>cos xB ．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π5的图象的一条对称轴是x ＝45πC ．函数y ＝π1＋tan 2x的最大值为πD ．函数y ＝sin 2x 的图象可以由函数y ＝sin⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位得到 二、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）21.已知a 、b 、c 为集合A ＝{1,2,3,4,5}中三个不同的数，通过如图所示算法框图给出的一个算法输出一个整数a ，则输出的数a ＝5的概率是________22．已知函数f(x)＝3sin πxk 的图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆x 2＋y 2＝k 2上，则f(x)的最小正周期为_______三、解答题（本大题共有2个小题，共26分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）23．（本小题满分12分）设O 为坐标原点，点P 的坐标为（x －2 , x －y ).（1）在一个盒子中，放有标号为1,2,3的三张卡片，现从此盒中有放回地先后抽到两张卡片的标号分别记为x,y, 求｜OP ｜的最大值，并求事件“｜OP ｜取到最大值”的概率； （2）若随机在[0,3]上先后取两个数分别记为x,y ，求P 点在第一象限的概率.24．（本小题满分14分）已知函数f(x)＝As in(ωx ＋φ)，其中A>0且ω>0, 0<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若方程f(x)＝a 在⎝⎛⎭⎪⎫0，5π3上有两个不同的实根，试求a 的取值范围．福州八中2015—2016学年第二学期期中考试 高一数学 必修3 试卷参考答案及评分标准第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 1-8 CDDA DCAB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 9. 30 10. 86 11. 25% 12. 19π-三、解答题：本大题共有4个小题，共40分 13. 解：（1）用辗转相除法求840与1 764 的最大公约数.1 764 = 840×2 + 84 ………2分 840 = 84×10 +0 ………4分所以840与1 764 的最大公约数是84 ………5分(2)根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)=(((2x+3)x+0)x+5)x-4 ………7分 从内到外的顺序依次计算一次多项式当x=2时的值：v 0=2 v 1=2×2+3=7 ………8分v 2=7×2+0=14 v 3=14×2+5=33 v 4=33×2-4=62 所以，当x=2时，多项式的值等于62 ………10分14. 解：（1）依题意得，10(20.020.030.04)1a +++=，解得0.005a =………3分 （2）这100名学生语文成绩的平均分为：550.05650.4750.3850.2950.0573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分） ………6分 （3）数学成绩在[50,60)的人数为：1000.055⨯=，数学成绩在[60,70)的人数为：11000.4202⨯⨯=， 数学成绩在[70,80)的人数为：41000.3403⨯⨯=，数学成绩在[80,90)的人数为：51000.2254⨯⨯=所以数学成绩在[50,90)之外的人数为：100520402510----=。

………10分15. 解：（I ）由已知得4115230115345460230n =++++，解得n=22．…………2分抽取的人中最喜欢“合一斗”有11542230⨯=(人)．……………4分 （II ）从（I ）中抽取的最喜欢“合一斗”和“斗麻利”的人中，最喜欢“合一斗”的有2人，记为A 1、A 2，最喜欢“斗麻利”的有4人，记为B 1、B 2、B 3、B 4．……………5分从中随机抽取2人，所有的可能结果共有15种，它们是: (A 1， A 2)、(A 1， B 1)、(A 1， B 2)、(A 1， B 3)、(A 1， B 4)、(A 2， B 1)、(A 2， B 2)、(A 2， B 3)、(A 2， B 4)、 (B 1， B 2)、(B 1， B 3)、(B 1， B 4)、(B 2， B 3)、(B 2， B 4)、(B 3， B 4)．………8分其中，恰有1人最喜欢“合一斗”的可能结果共有8种，它们是：(A 1， B 1)、(A 1， B 2)、(A 1， B 3)、(A 1， B 4)、(A 2， B 1)、(A 2， B 2)、(A 2， B 3)、(A 2， B 4)．………9分 故所求的概率P=815．…………10分 16. 解：(1)∵x ＝8.5，y ＝80， …………4分∴a ^＝y －b ^x ＝250， …………5分∴回归方程为y ^＝－20x ＋250. …………6分 (2)设利润为L 元，则L ＝x(－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20⎝⎛⎭⎪⎫x －3342＋361.25， …………8分当且仅当x ＝334＝8.25时，L 取的最大值．………… 10分第Ⅱ卷一、选择题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 17-20 ABBC二、填空题：本大题共2小题，每小题4分，共8分 21.3522. 4 三、解答题: 本大题共有2个小题，共26分由表格可知｜OP ｜的最大值为5. …………5分 设事件A 为“｜OP ｜取到最大值”，则满足事件A 的(x,y)有（1,3),(3,1)两种情况，所以P （A ）＝92. …………6分 （2）设事件B 为“P 点在第一象限”，若⎩⎨⎧≤≤≤≤,30,30y x 则其所表示的区域面积为3×3=9. …………7分由题意可得事件B 满足 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-≤≤≤≤,0,02,30,30y x x y x …………8分即如图所示的阴影部分， …………10分其区域面积为.185925)(.25112131===⨯⨯-⨯B P 所以 …………12分24. 解: (1)由图象易知函数f(x)的周期为T ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫7π6－2π3＝2π，…………1分A ＝1， …………2分所以ω＝1. …………3分法一： 由图可知此函数的图象是由y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位得到的，故φ＝π3，所以函数解析式为f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3. ………5分法二： 由图象知f(x)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0. 则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0，∴－π3＋φ＝k π，k ∈Z . ∴φ＝k π＋π3，k ∈Z ，又∵φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π3，∴f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3. ………5分 (2)方程f(x)＝a 在⎝⎛⎭⎪⎫0，5π3上有两个不同的实根等价于y ＝f(x)与y ＝a 的图象在⎝⎛⎭⎪⎫0，5π3上有两个交点，…………7分在图中作y ＝a 的图象，如图为函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π3上的图象，…10分当x ＝0时，f(x)＝32，当x ＝5π3时，f(x)＝0，…………12分 由图中可以看出有两个交点时，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1∪(－1,0)．…………14分。