广东省佛山市南海区南海一中2019高考三角函数高三一轮复习学案
2019年高考数学一轮： 第3章 三角函数、解三角形 第6节 正弦定理和余弦定理学案 文
第六节 正弦定理和余弦定理 [考纲传真] 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
(对应学生用书第50页) [基础知识填充] 1．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理
公式 asin A＝bsin B＝csin C＝2R.(R为△ABC外接圆半径) a2＝b2＋c2－2bc·cos_A； b2＝c2＋a2－2ca·cos_B； c2＝a2＋b2－2ab·cos_C
公式 变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R cos A＝b2＋c2－a22bc； cos B＝c2＋a2－b22ca；
cos C＝a2＋b2－c22ab 2. 在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角
图形 关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解
3. 三角形常用面积公式 (1)S＝12a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝12absin C＝12acsin B＝12bcsin A． (3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． [知识拓展] 1．三角形内角和定理 在△ABC中，A＋B＋C＝π； 变形：A＋B2＝π2－C2. 2．三角形中的三角函数关系 (1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(2)sinA＋B2＝cos C2；(4)cosA＋B2＝sin C2. 3．在△ABC中，sin A＞sin B⇔A＞B⇔a＞b cosA＞cos B⇔A＜B⇔a＜b [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在△ABC中，若A＞B，则必有sin A＞sin B．( ) (2)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则△ABC为锐角三角形．( ) (3)在△ABC中，若A＝60°，a＝43，b＝42，则B＝45°或135°.( )
【8套】2019年高考数学复习第一轮 三角函数、解三角形【含8套汇总】
n
将θ的范围用不等式(含有k(k∈Z))表示,然后两边同除以n或乘以n,再对k
进行讨论,得到 θ 或nθ(n∈N*)的终边所在的象限.
n
栏目索引
1-1 若角α是第二象限角,则 α 是 ( )
2
A.第一象限角
B.第二象限角
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 D 由sin θ<0,可知θ的终边可能位于第三象限或第四象限,也可
能与y轴的非正半轴重合.由tan θ<0,可知θ的终边可能位于第二象限或
第四象限,故θ的终边只能位于第四象限.
栏目索引
5.已知圆的一条弦的长等于半径长,则这条弦所对的圆心角的大小为 弧度.
当t<0时,cos θ=- 5 . 5
因此cos 2θ=2cos2θ-1= 2 -1=- 3 .
55
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文数
课标版
第二节 同角三角函数基本关系式与诱导公式
教材研读
1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:① sin2α+cos2α=1 .
sin α
(2)商数关系:② cosα =tan α .
答案
3
解析 ∵弦长等于半径长, ∴该弦与两半径构成的三角形为正三角形.
故该弦所对的圆心角的大小为 .
3
考点突破
考点一 角的集合表示及象限角的判断
典例1
(1)设集合M=x
|
x
k 2
180
45,
k
Z
,N=
x
|
[推荐学习]全国版2019版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第6讲正弦定理和余弦定理学案
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[ 介绍学习 ] 全国版 2019 版高考数学一轮复习第3 章三角函数解三角形第6 讲正弦定理和余弦定理教案生活的色彩就是学习第 6 讲正弦定理和余弦定理板块一 知识梳理·自主学习[ 必备知识 ]考点 1正弦定理abcsin A ＝sin B ＝sin C＝2R ，此中 2R 为△ ABC 外接圆的直径．变式：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sinC . a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 考点 2 余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ；生活的色彩就是学习c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .变式：cos A ＝ b 2＋c 2－a 2；cos B ＝a 2＋c 2－b 2；2 b c2accos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.sin2A2B2CB C A＝sin＋sin－2sin sincos .考点 3 在△ ABC 中，已知 a ，b 和 A 时，三角形解的状况A 为A 为钝角锐角或直角图形关a ＝b sina >a系式b sin AA <a <ba ≥b≤bb解一无的个一解两解一解解数解考点 4三角形中常用的面积公式11．S ＝2ah ( h 表示边 a 上的高 ) ．生活的色彩就是学习1112．S＝2bc sin A＝2ac sin B＝2ab sin C.13．S＝2r ( a＋b＋c)( r为三角形的内切圆半径) ．[ 必会结论 ]在△ ABC中，常有以下结论(1)∠A＋∠ B＋∠ C＝π.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．(3)随意两边之和大于第三边，随意两边之差小于第三边．(4)sin(A＋B)＝sin C；cos( A＋B)＝－cos C；tan( A＋B) ＝－ tan C；sin A＋BC A＋B 2＝cos2；cos 2＝Csin 2.(5)tan A＋ tan B＋ tan C＝ tan A·tan B·tan C.(6)∠ A>∠ B ? a>b ? sin A>sin B ? cos A<cos B.[ 考点自测 ]1．判断以下结论的正误． ( 正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ ABC 中， A ＞ B 必有sin A ＞sin B.()(2)在△ ABC中，若 b2＋c2＞a2，则△ ABC为锐角三角形． ()(3)在△ABC 中a＝，Asina＋b－csin A＋sin B－sin C .()(4)在△ ABC中，若 a cos B＝b cos A，则△ ABC 是等腰三角形． ()答案(1) √(2) ×(3) √(4) √2．[ 课本改编] 在△ABC sin A cos B中，若a＝b，则 B的值为()A．30° B ．45° C ．60° D ．90°答案Bsin A cos B分析由正弦定理知：sin A＝sin B，∴sin B ＝cos B，∴B＝45°.3．[2018 ·长春质检 ] 已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，则△ ABC的面积为()1A.2 B．1 C. 3 D．2答案C分析∵ a2＝b2＋ c2－ bc，∴cos A＝12，∴Aπ1＝3，又 bc＝4，∴△ ABC的面积为2bc sin A ＝ 3.4． [ 课本改编 ] 已知在△ABC中， sin A∶sin B∶sin C＝ 3∶5∶7，那么这个三角形的最大内角的大小为 ________．答案120°分析由sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7知，三角形的三边之比a∶b∶c＝3∶5∶7，最大的1角为 C.由余弦定理得cos C＝－2，∴ C＝120°.5．[2017 ·全国卷Ⅲ] △ABC的内角A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 C＝60°， b＝6，c＝3，则 A＝________.答案75°分析如图，由正弦定理，得36＝，2∴s in B＝2 .又 c＞b，∴ B＝45°，∴A＝180°－60°－45°＝75°.6．[2015 ·重庆高考 ] 设△ABC的内角A，B，1 C的对边分别为 a，b，c，且 a＝2，cos C＝－4，3sin A＝2sin B，则c＝________.答案4分析由 3sin A＝ 2sin B及正弦定理，得 3a3＝2b，所以b＝2a＝3. 由余弦定理的推论得cos C生活的色彩就是学习a2＋b2－c2 1 22＋32－c2＝2ab，得－4＝2×2×3，解得 c＝4.板块二典例研究·考向打破考向利用正、余弦定理解三角形例 1 (1)[2018 ·浙江模拟 ] 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为 a，b，c.若 b＋ c＝2a, 3sin A＝5sin B，则角C＝________.答案2π35分析由 3sin A＝ 5sin B，得 3a＝ 5b，a＝3b，7又 b＋c＝2a，所以 c＝3b.222a ＋b －c依据余弦定理的推论cos C＝，2ab571把 a＝3b，c＝3b 代入，化简得cos C＝－2，2π所以C＝3.(2)[2017 ·全国卷Ⅱ ] △ABC的内角A，B，C 的对边分别为a， b，c，若2b cos B＝ a cos C＋c cos A，则 B＝________.生活的色彩就是学习π答案3分析解法一：由 2b cos B＝a cos C＋c cos A 及正弦定理，得 2sin B cos B＝sin A cos C＋sin C cos A.∴2sin B cos B＝sin( A＋C) ．又 A＋B＋C＝π，∴ A＋C＝π－ B.∴2sin B cos B＝sin( π－B) ＝sin B.1π又 sin B≠0，∴ cos B＝2. ∴B＝3 .解法二：∵在△ ABC中，a cos C＋c cos A＝b，1∴条件等式变成2b cos B＝b，∴ cos B＝2.π又 0<B<π，∴B＝3 .举一反三解三角形问题的技巧(1)解三角形时，假如式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；假如式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特点都不显然时，则要考虑两个定理都生活的色彩就是学习有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确立的，其解是独一的；已知两边和一边的对角，该三角形拥有不独一性，往常依据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．【变式训练 1】 (1)[2018 ·河西五市联考 ] 在△ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且知足 ( b－a)sin A＝( b－c) ·(sin B＋sin C) ，则角 C等于()πππ2πA. 3B. 6C.4D.3答案A分析由题意，得( b－a) a＝( b－c)( b＋c) ，a2＋b2－c21222∴ab＝a＋b－ c，∴ cos C＝2ab＝2，∴ C π＝3.应选 A.(2)[2016 ·全国卷Ⅱ ] △ABC的内角A，B，C生活的色彩就是学习45的对边分别为 a ，b ，c ，若 cos A ＝5，cosC ＝13，a ＝1，则b ＝________.答案2113分析由条件可得 sin A ＝3，sin C ＝12，从513而有 sinB ＝sin[ π－ ( A ＋C )] ＝ sin( A ＋ C ) ＝63asin A cos C ＋ cos A sin C ＝ 65. 由正弦定理 sin A ＝ba sin B 21sin B ，可知 b ＝ sin A ＝13.生活的色彩就是学习考向利用正、余弦定理判断三角形形状例 2 [2018 ·陕西模拟 ] 设△ ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若 b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ ABC 的形状为 ()A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确立答案B分析∵ b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理得 sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝ sin 2A ，即 sin A ＝sin 2A . 又 sin A >0，∴sin A ＝1，π∴A ＝ 2 ，故△ ABC 为直角三角形．acos B本例条件变成若 b ＝cos A ，判断△ ABC 的形状．a cos B sin A cos B解 由b＝cos A，得sin B ＝cos A，∴ s in A cos A ＝cos B sin B ，∴ sin2 A ＝sin2 B .∵A 、B 为△ ABC 的内角，∴ 2A ＝ 2B 或 2A ＝π－ 2B ，生活的色彩就是学习π∴A＝B 或 A＋B＝2，∴△ ABC为等腰三角形或直角三角形．本例条件变成若a＝2b cos C，判断△ ABC的形状．解解法一：因为 a＝2b cos C，所以由余弦定理得，a＝2b·a2＋b2－c2，整理得b2＝c2，则2ab此三角形必定是等腰三角形．解法二：∵sin A＝2sin B cos C，∴sin( B＋C)＝2sin B cos C，∴ sin( B－C) ＝ 0 ，∵－π<B－C<π，∴ B－C＝0，B＝C，则此三角形定是等腰三角形．c本例条件变成若b<cos A，判断△ ABC的形状．sin C解依题意得sin B<cos A，sin C<sin B cos A，所以 sin( A＋B)<sin B cos A.即 sin B cos A＋cos B sin A－sin B cos A<0.所以 cos B sin A<0. 又 sin A>0 ，于是有K12的学习需要努力专业专心坚持cos B<0，B为钝角，所以△ABC是钝角三角形．举一反三判断三角形形状的两种常用门路(1)经过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，经过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断．提示在判断三角形形状时必定要注意解能否独一，并侧重发掘隐含条件．此外，在变形过程中要注意角 A，B，C的范围对三角函数值的影响．【变式训练2】在△ ABC中，角A，B，C 所对的边的长分别为a，b，c，若 a sin A＋b sin B ＜c sin C，则△ ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确立答案C分析依据正弦定理可得a 2＋b 2＜c 2. 由余弦定理的推论得cos C ＝a 2＋b 2－c 2＜0，故 C 是钝 2ab角．考向与三角形面积相关的问题例 3 [2017 ·全国卷Ⅰ ] △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . 已知△ ABC 的面积a2为3sin A.(1) 求 sin B sin C ；(2) 若 6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ ABC 的周长．1a21解 (1) 由题设得 2 ac sin B ＝ 3sin A ，即 2ac sin B ＝3sin A .1sin A由正弦定理得 2sin C sin B ＝3sin A .2故 sin B sin C ＝3.(2) 由题设及 (1) 得 cos B cos C－sin B sin C＝1，－212π即 cos( B＋C) ＝－2. 所以B＋C＝3，故A π＝3 .1a2由题意得2bc sin A＝3sin A，a＝3，所以 bc ＝8.由余弦定理得 b2＋c2－bc＝9，即( b＋c) 2－3bc＝9. 由bc＝8，得b＋c＝33.故△ ABC的周长为3＋33.举一反三三角形面积公式的应用原则111(1)关于面积公式 S＝2ab sin C＝2ac sin B＝2 bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积相关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转变．【变式训练 3】 [2017 ·全国卷Ⅲ ] △ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c.已知sin A＋3cos A＝0，a＝2 7，b＝2.(1)求 c；(2)设 D 为 BC边上一点，且 AD⊥AC，求△ABD的面积．解(1) 由已知可得tan A＝－3，所以A＝2π3.在△ABC 中，由余弦定理得28＝ 4＋c2－2π4c cos3，即 c2＋2c－24＝0，解得 c＝－6(舍去)或c＝4.π(2) 由题设可得∠CAD＝2，π所以∠ BAD＝∠ BAC－∠ CAD＝6.故△ ABD面积与△ ACD面积的比值为1π2AB·AD·si n61＝1.2AC·AD1又△ ABC的面积为2×4×2sin∠BAC＝23，所以△ ABD的面积为 3.核心规律1.在已知关系式中，若既含有边又含有角，往常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再联合正弦定理、余弦定理即可求解．2.在△ABC中，已知a，b 和A，利用正弦定理时，会出现解的不确立性，一般可依据“大边对大角”来弃取．满分策略1.在解三角形中，三角形内角和定理起侧重要作用，在解题中要注意依据这个定理确立角的范围，确立三角函数值的符号，防备出现增解等扩大范围的现象．2. 在判断三角形的形状时， 等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，免得漏解 .板块三 启智培优·破译高考题型技法系列 6——利用均值不等式破解三角函数最值问题[2016 ·山东高考 ] 在△ ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c . 已知 2(tan A ＋tan B ) ＝tan A tan Bcos B ＋cos A.(1) 证明： a ＋b ＝2c ；(2) 求 cos C 的最小值．解题视点 (1) 第一把切函数转变成弦函数，将分式化为整式， 而后依据和角公式及三角形内角和定理化简，最后依据正弦定理即可证明；(2) 第一依据 (1) 中的结论和余弦定理表示出cos C ，而后利用基本不等式求解最值．(1) 证明：由题意知2sin Asin B解cos A ＋cos B＝sin Asin BA cosB ＋cos A cos B ＋ cos A cos B ， 化简得 2(sinsin B cos A ) ＝sin A ＋sin B ，即 2sin( A ＋B ) ＝sin A ＋sin B .因为 A ＋ B ＋ C ＝π，所以sin( A ＋ B ) ＝sin( π－ C ) ＝sin C ，进而sin A ＋sin B ＝2sin C .由正弦定理得 a ＋b ＝2c .a ＋b(2) 由(1)知 c ＝2，22a ＋b 2a 2＋b 2－c 2a＋b － 2所以 cos C ＝ab＝ab223 a b1311＝8 b ＋a －4≥4－4＝2，当且仅当 a ＝b 时，等号建立．1故 cos C 的最小值为 2.答题启迪 关于含有 a ＋b ，ab 及 a 2＋b 2 的等式，求此中一个的范围时， 可利用基本不等式转变成以该量为变量的不等式求解 .追踪训练已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 c tan C＝3( a cos B＋b cos A)．(1)求角 C；(2)若 c＝2 3，求△ ABC面积的最大值．解 (1) ∵c tan C＝ 3( a cos B＋b cos A) ，∴sin C tan C＝ 3(sin A cos B＋sin B cos A) ，∴s in C tan C＝ 3sin( A＋B) ＝ 3sin C，∵0＜C＜π，∴ sin C≠0，π∴tan C＝3，∴C＝3 .π(2) ∵c＝23，C＝3，由余弦定理 c2＝a2＋b2－2ab cos C，得12＝a2＋b2－ab≥2ab－ab，1∴ab≤12，∴ S△ABC＝2ab sin C≤33，当且仅当 a＝b＝2 3时，△ ABC的面积获得最大值 3 3.板块四模拟操练·提能增分[A 级基础达标]1．[2018 ·北京西城期末 ] 已知△ABC中，a ＝1，b＝2，B＝45°，则A等()于A．150° B ．90° C ．60° D ．30°答案D12分析由正弦定理，得sin A＝sin45°，得1sin A＝2. 又a<b，∴A<B＝45°. ∴A＝30°. 应选D.2．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，2C的对边．若 b sin A＝3c sin B，a＝3，cos B＝3，则 b＝()A．14 B ．6 C. 14 D. 6答案D分析b sin A＝3c sin B?ab＝3bc?a＝3c?c ＝1，∴ b2＝ a2＋ c2－2ac cos B ＝9＋1－22×3×1×3＝6，b＝ 6. 应选 D.3．[2018 ·甘肃张掖月考 ] 在△ ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别是 a ， b ，c ，若 c ＝2a ，bB aA1aCB为()sin－ sin＝2 sin ，则 sin7371A. 4B.4C.3 D.3答案A1分析由 b sin B －a sin A ＝2a sin C ，且 c ＝2a ， 得 b ＝2 a ， ∵ cos B ＝a 2＋c 2－b 2＝2aca 2＋4a 2－2a 231－3272＝ ，∴ sin B ＝＝ .a44444．设 A 是△ ABC 的一个内角，且 sin A ＋cos A2＝3，则这个三角形是 ()A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形答案B22分析将 sin A ＋cos A ＝3两边平方得 sin A生活的色彩就是学习＋2sin24A·cos A＋cos A＝9，又sin22A＋cos A＝1，5故 sin A cos A＝－18. 因为 0<A<π，所以 sin A>0，则 cos A<0，即A是钝角．5．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且 cos2B＋ 3cos( A＋C) ＋2＝0，b ＝3，则c∶sin C等于()A．3∶1 B.3∶1 C.2∶1 D ．2∶1答案D分析由 cos2B＋ 3cos(A＋C)＋2＝ 0，得2cos2B－3cos B＋1＝0，解得cos B＝ 1( 舍去 ) 或13cos B＝2，所以 sin B＝2，所以c∶sin C＝b∶sin B＝2∶1.6．[2017 ·浙江高考 ] 我国古代数学家刘徽创办的“割圆术”能够估量圆周率π，理论上能把π 的值计算到随意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π 的值精准到小数点后七位，其结果当先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积 S6，S6＝K12的学生活的色彩就是学习________.3 3答案2分析作出单位圆的内接正六边形，如图，则 OA＝OB＝AB＝1.1 333 S6＝6S△OAB＝6×2×1×2＝2.7．在△ABC中，已知AB＝ 3，A＝120°，且15 3△ABC的面积为4，则 BC＝________.答案7解析由S ABC ＝1531△4得2153×3×AC·sin120 °＝4，所以 AC＝5，所以222＋BC＝ AB＋AC－2AB· AC·cos120°＝9＋2512×3×5×2＝49，解得 BC ＝7.8．[2018 ·渭南模拟 ] 在△ ABC 中，若 a 2－2sinA ＋Bb ＝3bc 且sin B＝23，则 A ＝________.π答案6sinA ＋Bsin C分析因 为sin B＝ 2 3 ，故 sin B ＝2 3 ，即 c ＝ 23 b ，则 cos A ＝b 2＋c 2－a22bc＝12b 2－ 3bc6b23π43b2＝43b 2＝2，所以 A ＝6.9．在△ ABCABC 的对边分别为 a中，， ，，b ，c ，若 tan A ＋tan C ＝ 3(tan A tan C －1) ．(1) 求角 B ；(2) 假如 b ＝2，求△ ABC 面积的最大值．解(1) ∵ tan A ＋ tan C ＝ 3(tan A tan C －1) ，tan A ＋tan C∴tan A tan C －1＝3，tan A＋tan C即1－tan A tan C＝－3，即 tan( A＋C) ＝－3.又∵ A＋B＋ C＝π，π∴tan B＝－ tan( A＋C) ＝3，∴B＝3 .a2＋c2－b2(2) 由余弦定理的推论得cos B＝1＝2，即 4＝a2＋c2－ac≥2ac－ac，2ac∴ac≤4，当且仅当 a＝c＝2时，等号建立．113∴S ABC＝2acsin B≤2×4×2＝ 3.△故△ ABC的面积的最大值为 3.10．[2018 ·长沙模拟 ] 已知△ABC的内角A，B C的对边分别为a b c a C c，，，，若＝1,2cos＋＝2b.(1)求 A；1(2) 若b＝2，求 sin C.生活的色彩就是学习解 (1) 因为 a ＝1,2cos C ＋ c ＝2b ，2 2 2由余弦定理得2×1 ＋b － c＋c ＝2b ，即 b 22b＋c 2－1＝bc .b 2＋c 2－12bc1所以 cos A ＝2bc＝2bc ＝2.因为 0°<A <180°，所以 A ＝60°.12 21(2) 解法一：由 b ＝2及b ＋c－1＝bc ，得22＋c 2－1＝12c ，即 4c 2－2c －3＝0，解得 c ＝1＋ 131－ 134 或 c ＝4(舍去)．ca由正弦定理得 sin C ＝sin A ，得 sin C ＝1＋ 133＋ 39×sin60 °＝.481b解法二：由a ＝1，b ＝2及正弦定理 sin B ＝aK12的学习需要努力专业专心坚持生活的色彩就是学习13得 sin B＝2sin60 °＝4 .因为 b<a，则0°<B<A＝60°，13则 cos B＝ 1－sin 2B＝4 .因为 A＋B＋C＝180°，则 C＝120°－ B.所以 sin C＝sin(120 °－B)＝s in120 °cos B－cos120°sin B31313×4＋2×4＝239＋3＝.8[B 级知能提高]1．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a， b，c, 23cos2A＋cos2A＝0， a＝7，c ＝6，则b＝()A．10 B．9 C．8 D．5答案D分析由 23cos2A＋cos2A＝0 得 23cos2A＋2cos2A－1＝0，生活的色彩就是学习解得1cos A＝± 5.∵A是锐角，∴1cos A＝5.又∵ a2＝b2＋c2－2bc cos A，21∴49＝b＋36－2×b×6×5，13∴b＝5或 b＝－5.又∵ b>0，∴ b＝5.2．[2017 ·全国卷Ⅰ ] △ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C －cos C)＝0，a＝2，c＝2，则C＝()ππππA. 12B.6C.4D.3答案B分析因为a＝2，c＝2，所以由正弦定理可知，2sin＝ 2 ，A sin C故 sin A＝2sin C.又 B＝π－( A＋C)，故 sin B＋sin A(sin C－cos C)＝s in( A＋C) ＋sin A sin C－sin A cos C＝sin A cos C＋ cos A sin C＋ sin A sin C－生活的色彩就是学习sin A cos C＝ (sin A ＋cos A )sin C＝ 0.又 C 为△ ABC 的内角，故 sin C ≠0，则 sin A ＋cos A ＝0，即 tan A ＝－ 1.3π又 A ∈(0 ，π ) ，所以 A ＝ 4 .进而 sin C ＝1 2 21.sin A ＝ 2 ×2 ＝223ππ由A ＝ 4 知C 为锐角，故 C ＝6.应选 B.3．[2017 ·浙江高考 ] 已知△ ABC ， AB ＝ AC＝ 4，BC ＝2. 点 D 为 AB 延伸线上一点， BD ＝2，连结 CD ，则△ BDC 的面积是 ________，cos ∠BDC＝ ________.答案151024K12的学习需要努力专业专心坚持生活的色彩就是学习分析依题意作出图形，如下图，则 sin ∠DBC＝sin ∠ABC.由题意知 AB＝AC＝4，BC＝BD＝2，151则 sin ∠ABC＝4 ，cos∠ABC＝4.1所以 S△BDC＝2BC·BD·sin∠ DBC11515＝2×2×2× 4 ＝2.1因为cos ∠DBC＝－cos ∠ABC＝－4＝222BD＋BC－CD2BD·BC28－CD＝，所以 CD＝10.8K12的学习需要努力专业专心坚持生活的色彩就是学习由余弦定理，得cos∠BDC＝4＋10－4＝2×2×10104.4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C·(a cos B＋b cos A)＝c.(1)求 C；3 3(2)若 c＝7，△ABC的面积为2，求△ ABC 的周长．解 (1) 由已知及正弦定理得，2cos C(sin A cos B＋sin B cos A) ＝sin C，2cos C sin( A＋B) ＝sin C.故 2sin C cos C＝sin C.1π可得 cos C＝2，所以C＝3 .3 3(2)由已知，得2ab sin C＝2.1π又 C＝3，所以 ab＝6.由已知及余弦定理得， a2＋b2－2ab cos C＝7.生活的色彩就是学习故 a2＋b2＝13，进而( a＋b)2＝25.所以△ ABC的周长为5＋7.5．[2017 ·天津高考 ] 在△ABC中，内角A，B， C 所对的边分别为 a， b，c.已知 a sin A＝4b sin B，ac＝ 5( a2－b2－c2) ．(1)求 cos A的值；(2)求 sin(2 B－A) 的值．a b解(1) 由a sin A＝4b sin B，及sin A＝sin B，得 a＝2b.由 ac＝5( a2－b2－c2)及余弦定理，5得 cos A＝b2＋c2－a2－5ac5 2bc＝ac＝－5.25(2) 由(1) ，可得 sin A＝5，代入 a sin A＝4b sin B，a sin A5得 sin B＝4b＝5 .由(1) 知，A为钝角，生活的色彩就是学习所以 cos B＝1－sin 2B＝2 55 .4于是 sin2 B＝2sin B cos B＝5，23cos2B＝1－2sin B＝5，故 sin(2 B－A) ＝sin2B cos A－cos2B sin A＝54× －532525－×5＝－5.55K12的学习需要努力专业专心坚持。
[推荐学习]全国版2019版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第3讲三角函数的图象和性质学案
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[ 介绍学习 ] 全国版 2019 版高考数学一轮复习第3 章三角函数解三角形第3 讲三角函数的图象和性质教案第 3 讲三角函数的图象和性质板块一知识梳理·自主学习[ 必备知识 ]考点正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质[ 必会结论 ]1．函数y＝A sin( ωx＋φ) 和y＝A cos( ωx2π＋φ)的最小正周期为T＝|ω|，函数y＝πtan( ωx＋φ) 的最小正周期为T＝|ω|.2．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称1中心与对称轴之间的距离是4周期．而正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期．3 ．三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sinωx或 y＝A tanωx的形式，而偶函数一般可化为 y＝A cosωx＋b 的形式．[ 考点自测 ]生活的色彩就是学习1．判断以下结论的正误． ( 正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y ＝cos x 在第一、二象限内是减函数．()3π(2)函数 y＝sin 2x＋2是偶函数，最小正周期为π.()(3) 函数y＝sin x的对称轴方程为x＝2kππ＋2 ( k∈Z) ．()(4)函数 y＝tan x 在整个定义域上是增函数．()答案(1) × (2) √(3) × (4) ×2．[ 课本改编 ] 若函数 f ( x)＝－cos2x，则f ( x)的一个递加区间为()A. －π，0 B.0，π42π3π3πC. 2，4D.4，π答案B分析由 f ( x)＝－cos2x 知递加区间为生活的色彩就是学习πkπ， kπ＋2，k∈Z，故只有B项知足．3 ． [2018 ·福建模拟 ] 函数 f ( x)＝πsin x－4的图象的一条对称轴是 ()ππA．x＝4B．x＝2ππC．x＝－4D．x＝－2答案Cππ分析由 x－4＝2＋ kπ，得 x＝kπ＋3ππ4，当 k＝－1时， x＝－4.4 ． [2018 ·厦门模拟 ] 函数y ＝2πsin 2x＋4＋1 的图象的一个对称中心的坐标是()A.3π，0B.3π，188ππC.8，1D. －8，－1生活的色彩就是学习答案Bπ 分析对称中心的横坐标知足2x ＋4＝πk πk π，解得 x ＝－ 8 ＋ 2 ，k ∈Z. 当 k ＝1 时， x3π＝8 ，y ＝1. 应选 B.． 课本改编函数y＝π－x 的定义域5 []tan4是()ππA ．{ x x ≠ 4B ．{ x x ≠－ 4C．{ xπ，k ∈Zx ≠k π＋4D．{ x3πx ≠k π＋ 4 ，k ∈Z答案D分析y ＝tanπ4 －x＝－ tanx －π4，由xπ π3π－4≠2＋kπ， k∈Z，得 x≠kπ＋4，k∈Z. K12的学习需要努力专业专心坚持生活的色彩就是学习应选 D.π6．函数y ＝3－2cos x＋4的最大值为________，此时x＝________.3π答案5 4 ＋2kπ(k∈Z)π分析函数 y＝3－2cos x＋4的最大值为π3＋2＝5，此时x＋4＝π＋2kπ(k∈Z)，即 x 3π＝4＋2kπ(k∈Z) ．板块二典例研究·考向打破考向三角函数的定义域、值域例 1 (1)[2018 ·烟台模拟 ] 函数y＝3cos x－2的定义域为 ()ππA.－6，6ππB. kπ－6，kπ＋6 ( k∈Z)生活的色彩就是学习ππC. 2k π－ 6 ，2k π＋ 6 ( k ∈Z)D ．R答案C分析∵ cos x －3≥0，得2cos x ≥32，∴ππ2k π－ 6 ≤x ≤2k π＋ 6 ，k ∈Z.π(2) 函数 y ＝ 2sinπ6x － 3 (0 ≤x ≤9) 的最大值与最小值之和为 ________．答案2－ 3ππ π 7π分析∵0≤ x ≤9，∴－ 3 ≤ 6 x － 3 ≤ 6 ，3ππ∴－ 2 ≤sin6 x － 3≤1，故－ 3≤2sinππ≤2.6－ 3π即函数 y ＝2sinπ6x － 3 (0 ≤x ≤9) 的最大值为 2，最小值为－ 3. 所以最大值与最小值的和为 2－3.生活的色彩就是学习本例(2)中的函数换为2π7π“y＝3－sin x－2cos x，x∈6，6”，怎样解答？π7π1解∵x∈6，6，∴ sin x∈ －2，1 .又 y＝3－sin x－2cos2x＝3－sin x－2(1－sin 2x)＝2 sin x－12＋7，4 817∴当 sin x＝4时，y min＝8；1当 sin x＝－2或 sin x＝ 1 时，y max＝2.7 23故函数的最大值与最小值的和为2＋8＝8 .本例(2) 中的函数换为“y＝sin x－cos x＋sin x cos x，x∈[0，π]”，又该怎样解答？解令 t ＝sin x－cos x，又 x∈[0，π]，生活的色彩就是学习π∴t ＝2sin x－4，t∈[ －1，2] ．由 t ＝sin x－cos x，得 t 2＝1－2sin x cos x，21－t1－t2∴原函数变成 y＝t ＋2，t ∈[－1，2]．121即 y＝－2t＋t ＋2.∴当 t ＝1时， y max＝－1＋1＋1＝1；2211当 t ＝－1时， y min＝－2－1＋2＝－1.故函数的最大值与最小值的和为1－1＝0.举一反三三角函数定义域、值域的求解策略(1)求三角函数的定义域其实是结构简单的三角不等式 ( 组) ，也可借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)求解三角函数的值域( 最值) ，第一把三角函数化为 y＝A sin(ωx＋φ)＋k 的形式，再求最值 ( 值域 ) ，或用换元法 ( 令t＝sin x，或t＝sin x±cos x) 化为对于t的二次函数求值域(最值) ．(3)换元法的应用：把 sin x或 cos x看作一个整体，转变成二次函数，求给定区间上的值域( 最值 ) 问题．此时注意所换元的取值范围．【变式训练 1】(1) 函数y＝2sin x－1的定义域为 ()π5πA.6，6π5πB. 2kπ＋6，2kπ＋6(k∈Z)C. 2kπ＋π，2kπ＋ 5π66(k∈Z)D. kπ＋π，kπ＋5π(k∈Z)答案B分析由2sin x－1≥0，得sin1x≥2，所以2kπ＋π≤x≤2kπ＋ 5π66(k∈Z)．ππ(2)函数 y＝cos x＋6，x∈0，2的值域是________．1 3答案－2，2分析 x∈0，π，x＋π∈π，2π，26631 3∴y∈ －2，2.考向三角函数的单一性π例2已知函数 f ( x)＝2sin 2ωx＋4 ( ω＞0) 的最小正周期为π.(1)求ω 的值；π(2)议论 f ( x)在区间0，2上的单一性．π解(1) 由于f ( x) ＝2sin 2ωx＋4的最小2π正周期为π，且ω＞0.进而有2ω＝π，故ω＝1.π(2) 由于f ( x) ＝2sin 2x＋4 .生活的色彩就是学习πππ5π若 0≤x≤2，则4≤2x＋4≤4 .ππππ当4≤2x＋4≤2，即0≤x≤8时，f( x) 单一递加；当π＜2x＋π≤5π，即π＜x≤π时，f ( x) 24482单一递减．π综上可知， f ( x)在区间0，8上单一递加，ππ在区间8 ，2上单一递减．举一反三三角函数单一性问题的解题策略(1)求形如 y ＝ A sin(ωx＋φ)或 y ＝A cos(ωx＋φ)(此中，ω>0)的单一区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，经过解不等式求解．但假如ω<0，那么必定先借助引诱公式将ω化为正数，防备把单一性弄错．(2)已知三角函数的单一区间求参数．先求出函数的单一区间，而后利用会合间的关系求生活的色彩就是学习解．【变式训练 2】 (1) 设 ω 是正实数，函数2πf ( x ) ＝2cos ωx 在 x ∈ 0， 3上是减函数，那么 ω 的值能够是 ()1A.2B ．2C ．3D ．4答案AT分析由于函数 f ( x ) ＝2cos ωx 在 0，2 上单一递减，所以要使函数f ( x ) ＝2cos ωx (ω>0)0，2π2π T在区间3上单一递减，则有3 ≤2，即4π2π4π3T ≥ 3 ，所以 T ＝ ω ≥3 ，解得 ω≤2. 所以 ω1的值能够是 2. 应选 A.(2)函 数y＝sinπ－ x 的递 增 区 间是32________．生活的色彩就是学习5π11π答案k π＋ 12 ，k π＋ 12( k ∈Z)π分析∵y ＝－ sin2x － 3 ，kπxπk3π∴2π＋ 2 ≤2 － 3 ≤2 π＋ 25π11π∴k π＋ 12≤x ≤k π＋12 (k ∈Z) ．考向三角函数的奇偶性、 周期性及对称性命题角度 1三角函数的周期性与奇偶性例 3 [2018 ·长沙模拟 ] 设函数 f ( x ) ＝ππ2sinωx ＋φ＋ 4ω>0，| φ|< 2 的最小正周期为 π，且是偶函数，则 ()πA ．f ( x ) 在 0， 2 内单一递减π3πB ．f ( x ) 在 4 ， 4内单一递减πC ．f ( x ) 在 0， 2 内单一递加π3πD．f ( x) 在4，4内单一递加答案A分析由条件，知ω＝2.π由于 f ( x)是偶函数，且|φ|<2，所以φ＝π，4π这时 f ( x)＝2sin 2x＋2＝2cos2x.π由于当 x∈0，2时，2x∈(0，π)，π所以 f ( x)在0，2内单一递减．命题角度 2 三角函数的周期性与对称性π例 4 已知ω>0,0< φ<π，直线x＝4和5πx＝4是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ等于 ()ππA.4B.3π3πC. 2D. 4答案A2π5ππ分析由题意得ω＝24－4，∴ω＝1，∴f(x)＝sin(x＋φ)，ππ∴4＋φ＝2＋kπ(k∈Z)，π∴φ＝4＋kπ(k∈Z)．π又∵ 0<φ<π，∴φ＝4 . 应选 A.命题角度 3三角函数的奇偶性与对称性例 5[2018 ·揭阳模拟] 当x＝π4 时，函数 f ( x)＝sin( x＋φ)获得最小值，则函数y＝f 3π－x ()4．是奇函数且图象对于点π，0对称A2B．是偶函数且图象对于点( π， 0) 对称K12的学习需要努力专业专心坚持生活的色彩就是学习C ．是奇函数且图象对于直线x ＝π2 对称D ．是偶函数且图象对于直线x ＝π 对称答案C分析∵当x ＝π4时，函数f(x )获得最小值，∴sinπ4＋φ＝－1，∴φ＝2k π－3π4(k∈Z)，3π∴f ( x )＝sinx ＋2k π－ 4＝3πsin x － 4，∴y ＝f3π－x ＝sin( －x ) ＝－ sin x ，4∴y ＝f3π－x 是奇函数，且图象对于直线4πx ＝ 2 对称．举一反三函数 f ( x ) ＝A sin( ωx ＋φ) 的奇偶性和对称K12的学习需要努力专业专心坚持性(1)若 f ( x)＝A sin(ωx＋φ)为偶函数，则π有φ＝kπ＋2(k∈Z)；若f(x)＝A sin(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．(2)对于函数y＝A sin(ωx＋φ)，其对称轴必定经过图象的最高点或最低点，对称中心必定是函数的零点，所以在判断直线x＝x0或点( x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可经过查验f( x0) 的值进行判断．核心规律1. 议论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx＋φ)(ω>0)的形式．2.函数 y＝A sin(ωx＋φ)和 y＝A cos(ωx2π＋φ)的最小正周期为|ω|，y＝tan(ωx＋φ)π的最小正周期为|ω| .3.对于函数的性质 ( 定义域、值域、单一性、对称性、最值等 ) 能够经过换元的方法律t＝ωx＋φ，将其转变成研究y＝sin t 的性质．满分策略1.闭区间上最值或值域问题，第一要在定义域基础上剖析单一性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2.要注意求函数 y＝A sin(ωx＋φ)的单一区间时ω 的符号，尽量化成ω>0时的状况．3.三角函数的最值可能不在自变量区间的端点处获得，直接将两个端点处的函数值作为最值是错误的 .板块三启智培优·破译高考数学思想系列 4——三角函数中的分类议论思想[2018 ·龙岩模拟 ] 已知函数 f ( x)＝ππ2a sin 2x＋6＋a＋b 的定义域是0，2，值域是[ －5,1] ，求a，b的值．解题视点①先求出 2x＋π的范围，再求6生活的色彩就是学习π出 sin 2x＋6的值域；②系数 a 的正、负影响着 f ( x)的值，因此要分 a>0，a<0两种状况议论；③依据 a>0或 a<0求 f ( x)的最值，列方程组求解．πππ7π解由于 0≤x≤2，所以6≤2x＋6≤6，1π－2≤sin 2x＋6≤1.b＝－5，所以当 a>0时，3a＋b＝1，解得a＝2，b＝－5.当b＝1，解得a<0时，3a＋b＝－ 5，a＝－2，b＝1.所以 a＝2，b＝－5或 a＝－2，b＝1.答题启迪 1 对此类问题的解决，第一利用正弦函数、余弦函数的有界性或单一性求出 y＝K12的学习需要努力专业专心坚持生活的色彩就是学习A sinωx＋φ或 y＝A cosωx＋φ的最值，但要注意对 A 的正负进行议论，以便确立是最大值仍是最小值；2再由已知列方程求解；3此题的易错点是忽略对参数 a>0或 a<0 的分类议论，致使漏解.追踪训练已知 a 是实数，则函数 f ( x)＝1＋a sin ax 的图象不行能是 ()答案D分析当 a＝0时，f ( x)＝1，即图象C；当0<a<1 时，三角函数的最大值为1＋a<2，且最小生活的色彩就是学习2π正周期为 T＝a>2π，即图象A；当 a>1时，三角函数的最大值为a＋1 >2，且最小正周期为T 2π＝a <2π，即图象 B.板块四模拟操练·提能增分[A 级基础达标]1 ． [2018 ·石家庄模拟 ] 函数f ( x)＝πtan 2x－3的单一递加区间是 ()kππkπ5πA.2－12，2＋12 ( k∈Z)π5πkππkB. 2－12，2＋12 ( k∈Z)π2πC. kπ＋6，kπ＋3 ( k∈Z)π5πD. kπ－12，kπ＋12 ( k∈Z)答案Bπππ分析由 kπ－2＜2x－3＜kπ＋2( k∈生活的色彩就是学习k ππk π5πZ) 得， 2 －12＜x ＜ 2＋ 12 ( k ∈Z) ，所以函数f ( x ) ＝ tan 2x －π3的单一递加区间为k ππk π5π2－12， 2 ＋ 12 ( k ∈Z) ．应选 B.2 ． [2018 · 桂 林 模 拟 ] 若 函 数 f ( x ) ＝x ＋φ( φ ∈ [0,2 π]) 是偶函数 ，则 φ ＝sin 3()π2πA. 2B.33π5πC. 2D.3答案C分析∵f ( x ) 为偶函数，对于 y 轴对称， xx ＋φπ＝0 为其对称轴．∴3＝ 2 ＋k π，令 x ＝0，3π3πφ＝3k π＋ 2 ，当 k ＝0 时， φ＝ 2 . 选 C项．3．[2018 ·福州模拟 ] 以下函数中 ，周期为K12的学习需要努力专业专心坚持生活的色彩就是学习πππ，且在4 ， 2 上为减函数的是 ()ππA ．y ＝sin 2x ＋ 2B ．y ＝cos2x ＋ 2C ．y ＝sinx ＋πD ．y ＝cosx ＋π22答案Aπ分析对于选项 A ，注意到 y ＝sin2x ＋ 2＝ cos2xππ的周期为 π，且在4， 2上是减函数．应选 A.4．函数 f ( x ) ＝tan ωx (ω>0) 的图象的相邻π12π的两支截直线 y ＝1 所得的线段长为4 ，则 f值是 ()3A ．0B. 3C ．1D. 3答案Dππ分析 由条件可知， f ( x ) 的周期是 4 . 由ω生活的色彩就是学习πππ＝ 4 ，得 ω＝4，所以 f 12π＝tan4×12 ＝tan 3＝ 3.5．函数 y ＝2sinπ－2x ( x ∈[0 ，π]) 的增6区间是 ()ππ7πA.0， 3B. 12， 12π5π5πC.3 ， 6D. 6，π答案Cπ解 析∵ y＝2sin6 －2x＝ －πππ3π2sin 2x － 6 ，由 2 ＋ 2k π≤2x － 6 ≤2 ＋π5π2k π，k ∈Z ，解得 3 ＋k π≤ x ≤ 6 ＋k π，k ∈Z ，π5π即函数的增区间为3＋k π， 6＋k π ，k ∈Z ，∴当 k ＝0 时，增区间为π5π3， 6 .生活的色彩就是学习6．[2018 ·深圳模拟 ] 函数 y ＝log 1cos x 的2一个单一减区间是 ()A ．( －π， 0)B ．(0 ，π )C. 0，πD. －π，022答案D分析第一应保证 cos x ＞ 0①；函数 y ＝log 1cos x 的单一减区间，即函数μ＝cos x 的2单一增区间②. 易知只有选项 D 切合①② .7．[2018 ·郑州模拟 ] 假如函数 y ＝3sin(2 xπ＋φ) 的图象对于直线x ＝ 6 对称，则 | φ| 的最小值为 ()ππA. 6B. 4ππC. 3D. 2答案Aπφ分析由题意，得 sin 2× 6 ＋＝± 1.生活的色彩就是学习ππ所以＋φ＝32＋kπ，即φ＝π6＋kπ(k∈Z)，π故| φ| min＝6 .．函数y ＝2sin2x＋π－，∈0，π的83 1 x3值域为 ________，而且取最大值时x 的值为________．答案[ －1,1]π12πππ分析∵x∈0，3，∴2x＋3∈ 3 ，π ，π∴s in 2x＋3∈[0,1] ，∴y∈[ －1,1] ．πππ当 2x＋3＝2时，即x＝12时y获得最大值1.9．[2018 ·江苏模拟]函数y＝lg sin2x＋9－x2的定义域为________．ππK12的学习需要努力专业专心坚持生活的色彩就是学习解 析由sin2 x ＞0，得9－x 2≥0，πk π＜ x ＜k π＋ 2 ，k ∈Z ，－ 3≤x ≤3.ππ∴－ 3≤x ＜－ 2 或 0＜x ＜ 2 . ∴函数 y ＝lg9－x 2的 定 义 域 为 －3，－ π∪ 2π0，2 .10．假如函数 y ＝3cos(2 x ＋φ) 的图象对于点4π，0成中心对称，那么| φ| 的最小值为3________．答案π68π8π分析依题意得 3cos3＋φ ＝0， 3 ＋π13πφ＝k π＋ 2 ，φ＝k π－6( k ∈Z) ，所以 | φ|K12的学习需要努力专业专心坚持生活的色彩就是学习π的最小值是6 .[B 级知能提高]1 ． [2017 ·全国卷Ⅲ ] 设函数f ( x)＝πcos x＋3，则以下结论错误的选项是() A．f ( x) 的一个周期为－ 2π8πB．y＝f ( x) 的图象对于直线x＝3对称πC．f ( x＋π ) 的一个零点为x＝6πD．f ( x) 在2，π 单一递减答案Dπ分析 A 项，由于f ( x) ＝cos x＋3的周期为 2kπ(k∈Z) ，所以f ( x) 的一个周期为－ 2π，πA 项正确．B 项，由于f ( x) ＝cos x＋3图象的π对称轴为直线 x＝kπ－3( k∈Z)，所以 y＝f ( x)生活的色彩就是学习8π的图象对于直线 x ＝ 3对称， B 项正确． C 项，4ππ πf ( x ＋π ) ＝cos x ＋ 34. 令 x ＋ 3 ＝k π＋ 2 ( k5π∈Z) ，得 x ＝k π－ 6π，当 k＝1 时， x ＝ 6 ，所以 f ( x ＋π ) 的一个零点为 x ＝ π6 ，C 项正确． D项 ， 因 为 f ( x ) ＝ cosx ＋π的递减区间为3k π－π， kπ＋ 2π( k ∈ Z) ，递加区间为23232π5ππ2π2k π＋ 3 ，2k π＋ 3( k ∈Z) ，所以 2， 32π是减区间，3 ，π 是增区间， D 项错误．应选 D.2．[2018 ·宁夏模拟 ] 已知 ω＞0，函数 f ( x )ππ＝sin ωx ＋ 4 在 2 ，π 上单一递减，则 ω 的取值范围是 ()生活的色彩就是学习A.1， 5B.1， 32424C.0，1．2D(0,2)答案Aπωππ分析由2＜x ＜π，ω＞0 得，2＋ 4＜πππ3πωx ＋ 4 ＜ωπ＋ 4 ，又 y ＝sin x 在 2 ，2上ωπ π π2 ＋4≥2，递减，所以解得π3πωπ＋ 4 ≤ 2 ，152≤ω≤4. 应选 A.．已知函数f ( x ) ＝x ＋π，此中x∈3cos 33π，m m ∈ 且m ＞π6R6 ， 若 f ( x ) 的 值 域 是－1，－3，则 m 的最大值是 ________．2生活的色彩就是学习答案5π18分析由x∈ π，m ，可知5π ≤3 ＋ π66x3≤3m ＋π3，π5π32π∵f 6＝cos 6＝－2 ，且 f9 ＝cos π＝－ 1，∴要使 f ( x ) 的值域是 －1，－3，需2π7π2π5π要 π≤3m ＋ 3 ≤ 6，解得 9 ≤m ≤ 18 ，即 m5π的最大值是 18 .4 ． [2018 · 广 东 模 拟 ] 设 函 数 f ( x ) ＝x πtan 2－ 3 .(1) 求函数 f ( x ) 的定义域、周期和单一区间；(2) 求不等式－ 1≤ f ( x ) ≤ 3的解集．xπ π解(1) 由2－ 3 ≠ 2 ＋k π(k ∈Z) ，生活的色彩就是学习5π得 x ≠ 3 ＋2k π(k ∈Z) ，所以函数 f ( x ) 的定义域是5πx x ∈R ，且 x ≠ 3 ＋2k π， k ∈Z.1π由于 ω＝2，所以周期 T ＝ω＝2π.由－πxπ π＋k π(k ∈Z) ，2 ＋k π< －3 <2 2π5π得－3＋2k π<x < 3 ＋2k π(k ∈Z) ．所 以 函 数 f ( x ) 的 单 调 递 增 区 间 是π5π－ 3 ＋2k π， 3 ＋2k π( k ∈Z) ．(2)由 －1≤tanx －π≤ 3，得－π ＋2 34kxππ kk．π≤ 2－ 3 ≤ 3 ＋π( ∈Z)π4π解得 6 ＋2k π≤ x ≤3 ＋2k π(k ∈Z) ．所以不等式－ 1≤f ( x ) ≤3的解集是生活的色彩就是学习π4πx6＋2kπ≤x≤3＋2kπ，k∈Z.5．已知函数f( x)＝sin(ωx＋φ)(0< ω<1,0 ≤φ≤π ) 是 R 上的偶函数，其图3π象对于点 M 4，0对称．(1)求φ，ω 的值；(2)求 f ( x)的单一递加区间；3ππ(3)x∈ －4，2，求 f ( x)的最大值与最小值．解 (1) 由于f ( x) ＝sin( ωx＋φ) 是 R上的π偶函数，所以φ＝2＋kπ，k∈Z，且0≤φ≤π，π则φ＝2，即f(x)＝cosωx.3π由于图象对于点M 4，0对称，3ππ所以ω·4＝2＋kπ，k∈Z，且0<ω<1，2所以ω＝3.生活的色彩就是学习22(2) 由(1) 得f ( x) ＝cos3x，由－π＋ 2kπ≤33πx≤2kπ且 k∈Z得，3kπ－2≤x≤3kπ，k∈Z，所以函数 f ( x)的递加区间是3π3kπ－2，3kπ，k∈Z.3ππ，所以32x ∈(3)因为 x ∈ －4，2ππ－2，3，2当3x＝0时，即 x＝0，函数 f ( x)的最大值为 1，2π3π当3x＝－2时，即 x＝－4，函数 f ( x)的最小值为 0.。
广东省佛山市南海区南海一中2019高考选做题高三一轮复习学案
极坐标与参数方程1、极坐标系与极坐标(1)极坐标系：如图所示，在平面上取一定点O 叫做极点，自点O 引一条射线Ox 叫做极轴，再选定一个单位长度、角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个一个正方向。
(2)极坐标：设M 是平面上的任一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点 M 的极角，记为θ.有序数对()θρ,称为点M 的极坐标，记作()θρ,M ．一般地，不做特殊说明时，我们认为0≥ρ，θ可取任意实数． 二、相关题型1、极坐标、参数方程与直角坐标方程的互化（1）直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要直接将cos ρθ、sin ρθ代入x 、y 并化简即可； 而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，经常需要两边同时乘以ρ，构造2cos ,sin ,ρθρθρ。
特别地：①3πρ=，表示的是一条射线；,3R πρρ=∈，表示的是一条直线②直角坐标化极坐标是，角θ的确定要看点(),x y 在第几象限，如点()1,1A --的极坐标的2ρ=，tan 1y x θ==，因为点在第三象限，所以54πθ=，所以点A 的极坐标为52,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）化直角坐标方程为参数方程，要熟记圆、椭圆、直线的参数方程；化参数方程为普通方程的方法: 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，从而将参数方程化为普通方程。
消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③恒等式（如22sin cos 1θθ+=，()2sin cos 1sin 2θθθ+=+）消元法；参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围，这一点最易忽视．如已知曲线的参数方程是sin cos ()sin 2x y θθθθ=+⎧⎨=⎩为参数，其普通方程为21y x =-，注意要写上x 的取值范围2,2⎡⎤-⎣⎦第二问：有四种类型①与解析几何有关的问题，如求交点，求距离等，一般会直接用直接坐标方程去解题 1、以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，已知点的直角坐标为，点的极坐标为，若直线过点，且倾斜角为，圆以为圆心、为半径。
2019年高考数学(文)一轮复习第3章三角函数、解三角形第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式学案整理
[ 考纲传真 ] 1. 理解同角三角函数的基本关系式：
sin
2
2
sin
α ＋ cos α ＝ 1，cos
α α ＝ tan
α .2.
能利用单位圆中的三角函数线推导出
π 2 ±α ， π ± α 的正弦、余弦、正切的诱导公式．
( 对应学生用书第 41 页 )
[ 基础知识填充 ]
1 α cos α ＝ 得 2sin
2 α cos α＝－ ，
3
3
所以 (cos
α － sin
α ) 2＝ 1－2sin
5 α cos α ＝ ，
3
又 α 是第二象限角，所以 cos α － sin α ＜ 0，
15 所以 cos α － sin α ＝－ 3 ，
2
2
3
15
因此 cos 2 α ＝ cos α－ sin α ＝ (cos α ＋ sin α )(cos α － sin α ) ＝ 3 × － 3 ＝
cos_ α
余弦 cos α
－ cos α
cos α
－ cos_ α
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－ tan α
－ tan_ α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变符号看象限
[ 知识拓展 ]
同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)(sin α ±cos α ) 2＝1±2s in α cos α .
( 1) A
5
3
2
cos2α ＋ 4sin α cos α
(2) － 3 [(1) ∵ tan α ＝4，则 cos α ＋ 2sin 2α ＝ sin2 α ＋cos2 α ＝
[推荐学习]全国版2019版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第7讲解三角形的应用举例学案
[推荐学习]全国版2019版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第7讲解三角形的应用举例学案第7讲解三角形的应用举例板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．2．坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为坡度)．坡度又称为坡比．[必会结论]1．仰角与俯角是相对水平视线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．2．“方位角”与“方向角”的区别：方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2. [考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( )(2)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )(3)若点P 在Q 的北偏东44°，则Q 在P 的东偏北46°.( )(4)如果在测量中，某渠道斜坡坡比为34，设α为坡角，那么cosα＝34.( )答案(1)√(2)×(3)×(4)×2．[课本改编]两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B 的( )A．北偏东10° B．北偏西10°C．南偏东10° D．南偏西10°答案 B解析由题可知∠ABC＝50°，A，B，C位置如图．故选B.3.[2018·沈阳模拟]如图，设A，B两点在河的两岸，测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为( )A．50 2 m B．50 3 mC．25 2 m D.2522m答案 A解析由正弦定理得AB＝AC·sin∠ACBsin B＝50×2212＝502(m)．4.如图所示，D，C，B三点在地面的同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB等于( )A.a2B.3a2C.3aD.3a 3答案 B解析因为∠D＝30°，∠ACB＝60°，所以∠CAD＝30°，故CA＝CD＝a.所以AB＝a sin60°＝3a 2.5．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是________m.答案50解析设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC ＝3h，根据余弦定理得(3h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m.板块二典例探究·考向突破考向测量距离问题例 1 如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在岸边定一基线CD，现已测出CD ＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．解在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°，所以AC＝a.①在△BCD中，由正弦定理可得BC＝a sin105°sin45°＝3＋12a.②在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝30°，所以利用余弦定理可以求得A，B两点之间的距离为AB＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos30°＝22a.触类旁通求距离问题的注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定的三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如都可用，就选便于计算的定理．【变式训练1】[2014·四川高考]如图所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos37°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，3≈1.73)答案60解析根据已知的图形可得AB＝46sin67°.在△ABC中，∠BCA＝30°，∠BAC＝37°，由正弦定理，得ABsin30°＝BCsin37°.所以BC≈2×460.92×0.60＝60(m)．考向测量高度问题例 2 [2015·湖北高考]如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.答案100 6解析如图所示，由已知得∠BAC＝30°，AB＝600 m，∠EBC＝75°，∠CBD＝30°，在△ABC中，∠ACB＝∠EBC－∠BAC＝45°，由BCsin∠BAC＝ABsin∠ACB，得BC＝AB·sin∠BACsin∠ACB＝600×1222＝3002(m)．在Rt△BCD中，CD＝BC·tan∠CBD＝3002×33＝1006(m)．触类旁通处理高度问题的注意事项(1)在处理有关高度问题时，正确理解仰角、俯角是一个关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．【变式训练2】某人在C点测得塔底O在南偏西80°，塔顶A的仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D处，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为( )A．15米 B．5米 C．10米 D．12米答案 C解析如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h.在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝3h.在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，OD2＝OC2＋CD2－2OC×CD×cos∠OCD，即(3h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，所以h2－5h－50＝0，解得h＝10 或h＝－5(舍去)，故选C.考向测量角度问题例 3 在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．解如图，设红方侦察艇经过x小时后在C 处追上蓝方的小艇，则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240x cos120°，解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.根据正弦定理，得BCsinα＝ACsin120°，解得sinα＝20sin120°28＝5314.所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为53 14.触类旁通解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义．(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．【变式训练3】如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．解在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800⇒BC＝207.由正弦定理，得ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC⇒sin∠ACB＝ABBC·sin∠BAC＝217.由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝277.由θ＝∠ACB＋30°，得cosθ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos∠ACB cos30°－sin∠ACB sin30°＝21 14.核心规律利用解三角形解决实际问题时，(1)要理解题意，整合题目条件，画出示意图，建立一个三角形模型；(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；(3)三角函数模型中，要确定相应参数和自变量范围，最后还要检验问题的实际意义．满分策略1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混．2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.板块三启智培优·破译高考数学思想系列5——函数思想在解三角形中的应用[2018·永州模拟]某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．解题视点 (1)利用三角形中的余弦定理，将航行距离表示为时间t 的函数，将原题转化为函数最值问题；(2)注意t 的取值范围．解 (1)设相遇时小艇航行的距离为s 海里，则s ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos(90°－30°) ＝900t 2－600t ＋400＝900⎝⎛⎭⎪⎫t －132＋300. 故当t ＝13时，s min ＝103，v ＝10313＝303(海里/小时)．即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在B处相遇．则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，故v2＝900－600t＋400t2.∵0<v≤30，∴900－600t＋400t2≤900，即2t2－3t≤0，解得t≥23.又t＝23时，v＝30，故v＝30时，t取得最小值，且最小值等于23.此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20.故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时．答题启示解三角形在实际中的应用问题有很多是求距离最短、用时最少、速度最大等最值问题，这需要建立有关量的函数关系式，通过求函数最值的方法来解决.函数思想在解三角形实际问题中的应用，经常与正弦定理、余弦定理相结合，此类问题综合性较强，能力要求较高，要有一定的分析问题、解决问题的能力.跟踪训练[2018·郑州模拟]如图所示，一辆汽车从O 点出发沿一条直线公路以50 km/h的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车的行驶方向)．汽车开动的同时，在距汽车出发点O点的距离为5 km，距离公路线的垂直距离为3 km的M点，有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机．问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，并求追上汽车司机时他驾驶摩托车行驶了多少公里？解作MI垂直公路所在的直线于点I，则MI＝3,∵OM＝5，∴OI＝4，∴cos∠MOI＝45 .设骑摩托车的人的速度为v km/h，追上汽车的时间为t h，由余弦定理得(vt)2＝52＋(50t)2－2×5×50t×45，v2＝25t2－400t＋2500＝25⎝⎛⎭⎪⎫1t－82＋900≥900，∴当t＝18时，v的最小值为30 km/h，其行驶距离为vt＝308＝154km.故骑摩托车的人至少以30 km/h的速度行驶才能实现他的愿望，他驾驶摩托车行驶了154km.板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1．已知A，B两地间的距离为10 km，B，C 两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为( )A．10 km B．10 3 kmC．10 5 km D．107 km答案 D解析如图所示，由余弦定理可得：AC2＝100＋400－2×10×20×cos120°＝700，∴AC＝107(km)．2．[2018·武汉模拟]海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC＝( )A．10 3 n mile B.1063n mileC．5 2 n mile D．5 6 n mile答案 D解析由题意可知，∠CAB＝60°，∠CBA＝75°，所以∠C＝45°，由正弦定理得10 sin45°＝BCsin60°，所以BC＝5 6.3.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C 的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )A．a km B.3a kmC.2a km D．2a km答案 B解析在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝a2＋a2－2a2cos120°＝3a2，故|AB|＝3a.4．[2018·临沂质检]在200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底俯角分别为30°、60°，则塔高为( ) A.4003 m B.40033 m C.200 33m D.2003m 答案 A解析 如图，由已知可得∠BAC ＝30°， ∠CAD ＝30°，∴∠BCA ＝60°，∠ACD ＝30°，∠ADC ＝120°，又AB ＝200，∴AC ＝40033. 在△ACD 中，由正弦定理，得ACsin120°＝DCsin30°，即DC ＝AC ·sin30°sin120°＝4003(m)． 5.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( )A ．8 km/hB ．6 2 km/hC ．234 km/hD ．10 km/h 答案 B解析 设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫110v 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2.6.如图，某工程中要将一长为100 m ，倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长________m.答案 100 2 解析 设坡底需加长x m ，由正弦定理得100sin30°＝x sin45°，解得x ＝100 2.7.如图，为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度(单位：km)：AB ＝5，BC ＝8，CD ＝3，DA ＝5，且∠B 与∠D 互补，则AC 的长为________km.答案 7解析 ∵82＋52－2×8×5×cos(π－D )＝32＋52－2×3×5×cos D，∴cos D＝－12.∴AC＝49＝7(km)．8.[2018·河南调研]如图，在山底A点处测得山顶仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1000米至S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为________米．答案1000解析由题图知∠BAS＝45°－30°＝15°，∠ABS＝45°－(90°－∠DSB)＝30°，∴∠ASB＝135°，在△ABS中，由正弦定理可得1000 si n30°＝ABsin135°，∴AB＝10002，∴BC＝AB2＝1000(米)．9.[2018·山西监测]如图，点A，B，C在同一水平面上，AC＝4，CB＝6.现要在点C处搭建一个观测站CD，点D在顶端．(1)原计划CD为铅垂线方向，α＝45°，求CD的长；(2)搭建完成后，发现CD与铅垂线方向有偏差，并测得β＝30°，α＝53°，求CD2.(结果精确到1)(本题参考数据：sin97°≈1，cos53°≈0.6)解(1)∵CD为铅垂线方向，点D在顶端，∴CD⊥AB.又∵α＝45°，∴CD＝AC＝4.(2)在△ABD中，α＋β＝53°＋30°＝83°，AB＝AC＋CB＝4＋6＝10，∴∠ADB＝180°－83°＝97°，∴由AD sin β＝AB sin ∠ADB 得AD ＝AB sin βsin ∠ADB＝10sin30°sin97°＝5sin97°≈5. 在△ACD 中，CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos α＝52＋42－2×5×4×cos53°≈17.10.如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．解 设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝ 103t 海里，BD ＝10t 海里，在△ABC 中，由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(3－1)2＋22－2(3－1)×2×cos120°＝6，解得BC＝ 6.又∵BCsin∠BAC＝ACsin∠ABC，∴sin∠ABC＝AC·sin∠BACBC＝2×sin120°6＝22，∴∠ABC＝45°，故B点在C点的正东方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得BDsin∠BCD＝CDsin∠CBD，∴sin∠BCD＝BD·sin∠CBDCD＝10t·sin120°103t ＝12.∴∠BCD＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，∴∠D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝6，解得t＝610小时≈15分钟．∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．[B级知能提升]1．[2018·天津模拟]一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )A．10 2 海里B．10 3 海里C．20 3 海里D．20 2 海里答案 A解析如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得BCsin30°＝ABsin45°，解得BC＝102(海里)．2.某观察站B在A城的南偏西20°的方向，由A出发的一条公路的走向是南偏东25°.现在B处测得此公路上距B处30 km的C处有一人正沿此公路骑车以40 km/h的速度向A城驶去，行驶了15 min后到达D处，此时测得B与D之间的距离为810 km，则此人到达A城还需要( )A．40 min B．42 min C．48 min D．60 min答案 C解析由题意可知，CD＝40×1560＝10.cos∠BDC＝102＋(810)2－3022×10×810＝－1010，∴cos∠ADB＝cos(π－∠BDC)＝10 10，∴sin∠ABD＝sin[π－(∠ADB＋∠BAD)]＝255.在△ABD中，由正弦定理得ADsin∠ABD＝BDsin∠BAD，∴AD255＝81022，∴AD＝32，∴所需时间t＝3240＝0.8 h，∴此人还需要0.8 h即48 min到达A城．3.[2014·全国卷Ⅰ]如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A 点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA ＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m.答案150解析在Rt△ABC中，AC＝100 2 m，在△MAC中，由正弦定理得MAsin60°＝ACsin45°，解得MA＝100 3 m，在Rt△MNA中，MN＝MA·sin60°＝150 m.即山高MN为150 m.4.如图所示，A，C两岛之间有一片暗礁．一艘小船于某日上午8时从A岛出发，以10海里/小时的速度沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B处．然后以同样的速度沿北偏东15°方向直线航行，下午4时到达C岛．(1)求A，C两岛之间的距离；(2)求∠BAC的正弦值．解(1)在△ABC中，由已知，得AB＝10×5＝50(海里)，BC＝10×3＝30(海里)，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，由余弦定理，得AC2＝502＋302－2×50×30cos120°＝4900，所以AC ＝70(海里)．故A ，C 两岛之间的距离是70海里．(2)在△ABC 中，由正弦定理，得BCsin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC ，sin ∠BAC ＝BC ·sin∠ABC AC ＝30sin120°70＝3314.故∠BAC 的正弦值是3314. 5．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.⎝⎛⎭⎪⎫sin21.8°≈3314解如图所示，根据题意可知AC＝10，∠ACB＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h，并在B处与渔轮相遇，则AB＝21t，BC＝9t，在△ABC中，根据余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos120°，所以212t2＝102＋81t2＋2×10×9t×12，即360t2－90t－100＝0，解得t＝23或t＝－512(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23h.此时AB＝14，BC＝6.在△ABC中，根据正弦定理，得BCsin∠CAB＝ABsin120°，所以sin∠CAB＝6×3214＝3314，即∠CAB≈21.8°或∠CAB≈158.2°(舍去)，即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.所以舰艇以66.8°的方位角航行，需23h才能靠近渔轮．。
【配套K12】全国版2019版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第3讲三角函数的图象和性质学案
第3讲三角函数的图象和性质板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质[必会结论]1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝2π|ω|，函数y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|. 2．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期．而正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期．3．三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y ＝cos x 在第一、二象限内是减函数．( )(2)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2是偶函数，最小正周期为π.( ) (3)函数y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝2k π＋π2(k ∈Z )．( )(4)函数y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2．[课本改编]若函数f (x )＝－cos2x ，则f (x )的一个递增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0 B.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2C.⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π4D.⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π答案 B解析 由f (x )＝－cos2x 知递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，故只有B 项满足．3．[2018·福建模拟]函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2答案 C解析 由x －π4＝π2＋k π，得x ＝k π＋3π4，当k ＝－1时，x ＝－π4.4．[2018·厦门模拟]函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1的图象的一个对称中心的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0B.⎝⎛⎭⎪⎫3π8，1C.⎝⎛⎭⎪⎫π8，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，－1 答案 B解析 对称中心的横坐标满足2x ＋π4＝k π，解得x ＝－π8＋k π2，k ∈Z .当k ＝1时，x＝3π8，y ＝1.故选B. 5．[课本改编]函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的定义域是( ) A ．{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π4B ．{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠－π4C ．{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π4，k ∈ZD ．{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋3π4，k ∈Z答案 D解析 y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，由x －π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠k π＋3π4，k∈Z .故选D.6．函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为________，此时x ＝________.答案 53π4＋2k π(k ∈Z ) 解析 函数y ＝3－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∈Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．板块二 典例探究·考向突破 考向三角函数的定义域、值域例 1 (1)[2018·烟台模拟]函数y ＝cos x －32的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) D ．R 答案 C 解析 ∵cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z . (2)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________．答案 2－ 3解析 ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴－32≤s in ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3≤1，故－3≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－π3≤2. 即函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值为2，最小值为－ 3.所以最大值与最小值的和为2－ 3.本例(2)中的函数换为“y ＝3－sin x －2cos 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6”，如何解答？解 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x ) ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －142＋78， ∴当sin x ＝14时，y min ＝78；当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.故函数的最大值与最小值的和为2＋78＝238.本例(2)中的函数换为“y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x∈[0，π]”，又该如何解答？解 令t ＝sin x －cos x ，又x ∈[0，π]，∴t ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，t ∈[－1，2]．由t ＝sin x －cos x ，得t 2＝1－2sin x cos x ， 即sin x cos x ＝1－t22.∴原函数变为y ＝t ＋1－t22，t ∈[－1，2]．即y ＝－12t 2＋t ＋12.∴当t ＝1时，y max ＝－12＋1＋12＝1；当t ＝－1时，y min ＝－12－1＋12＝－1.故函数的最大值与最小值的和为1－1＝0.触类旁通三角函数定义域、值域的求解策略(1)求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，也可借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)，首先把三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)，或用换元法(令t ＝sin x ，或t ＝sin x ±cos x )化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(3)换元法的应用：把sin x 或cos x 看作一个整体，转化为二次函数，求给定区间上的值域(最值)问题．此时注意所换元的取值范围．【变式训练1】 (1)函数y ＝2sin x －1的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋5π6(k ∈Z ) 答案 B解析 由2sin x －1≥0，得sin x ≥12，所以2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6(k ∈Z )．(2)函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32解析 x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，∴y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32.考向三角函数的单调性例 2 已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．解 (1)因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4的最小正周期为π，且ω＞0.从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时， f (x )单调递增；当π2＜2x ＋π4≤5π4，即π8＜x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上单调递增，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤π8，π2上单调递减．触类旁通三角函数单调性问题的解题策略(1)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中，ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．【变式训练2】 (1)设ω是正实数，函数f (x )＝2cos ωx 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上是减函数，那么ω的值可以是( )A.12 B ．2 C ．3 D ．4答案 A解析 因为函数f (x )＝2cos ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，T 2上单调递减，所以要使函数f (x )＝2cos ωx (ω>0)在区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上单调递减，则有2π3≤T 2，即T ≥4π3，所以T ＝2πω≥4π3，解得ω≤32.所以ω的值可以是12.故选A.(2)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x 的递增区间是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z ) 解析 ∵y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，∴2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2∴k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z )．考向三角函数的奇偶性、周期性及对称性命题角度1 三角函数的周期性与奇偶性例 3 [2018·长沙模拟]设函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且是偶函数，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4内单调递减 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递增 D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4内单调递增 答案 A解析 由条件，知ω＝2.因为f (x )是偶函数，且|φ|<π2，所以φ＝π4，这时f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x . 因为当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，2x ∈(0，π)，所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减．命题角度2 三角函数的周期性与对称性例 4 已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ等于( )A.π4 B.π3 C.π2D.3π4答案 A解析 由题意得2πω＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－π4，∴ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)， ∴π4＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )， ∴φ＝π4＋k π(k ∈Z )．又∵0<φ<π，∴φ＝π4.故选A.命题角度3 三角函数的奇偶性与对称性例 5 [2018·揭阳模拟]当x ＝π4时，函数f (x )＝sin(x ＋φ)取得最小值，则函数y＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－x ( )A ．是奇函数且图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称B ．是偶函数且图象关于点(π，0)对称C ．是奇函数且图象关于直线x ＝π2对称D ．是偶函数且图象关于直线x ＝π对称 答案 C解析 ∵当x ＝π4时，函数f (x )取得最小值，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝－1，∴φ＝2k π－3π4(k ∈Z )， ∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2k π－3π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4，∴y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－x ＝sin(－x )＝－sin x ，∴y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－x 是奇函数，且图象关于直线x ＝π2对称．触类旁通函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z )；若f (x )＝A sin(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z )．(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．核心规律1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式．2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.3.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．满分策略1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2.要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0时的情况．3.三角函数的最值可能不在自变量区间的端点处取得，直接将两个端点处的函数值作为最值是错误的.板块三 启智培优·破译高考数学思想系列4——三角函数中的分类讨论思想[2018·龙岩模拟]已知函数f (x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋b 的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，值域是[－5,1]，求a ，b 的值．解题视点 ①先求出2x ＋π6的范围，再求出sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的值域；②系数a 的正、负影响着f (x )的值，因而要分a >0，a <0两种情况讨论；③根据a >0或a <0求f (x )的最值，列方程组求解．解 因为0≤x ≤π2，所以π6≤2x ＋π6≤7π6，－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1. 所以当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5，3a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－5.当a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，3a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.因此a ＝2，b ＝－5或a ＝－2，b ＝1.答题启示 (1)对此类问题的解决，首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y ＝A sin (ωx ＋φ)或y ＝A cos (ωx ＋φ)的最值，但要注意对A 的正负进行讨论，以便确定是最大值还是最小值；(2)再由已知列方程求解；(3)本题的易错点是忽视对参数a >0或a <0的分类讨论，导致漏解.跟踪训练已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )答案 D解析 当a ＝0时，f (x )＝1，即图象C ；当0<a <1时，三角函数的最大值为1＋a <2，且最小正周期为T ＝2πa>2π，即图象A ；当a >1时，三角函数的最大值为a ＋1 >2，且最小正周期为T ＝2πa<2π，即图象B.板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．[2018·石家庄模拟]函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 答案 B解析 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )．故选B. 2．[2018·桂林模拟]若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( ) A.π2 B.2π3 C.3π2D.5π3答案 C解析 ∵f (x )为偶函数，关于y 轴对称，x ＝0为其对称轴．∴x ＋φ3＝π2＋k π，令x ＝0，φ＝3k π＋3π2，当k ＝0时，φ＝3π2.选C 项．3．[2018·福州模拟]下列函数中 ，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2答案 A解析 对于选项A ，注意到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x 的周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减函数．故选A.4．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝1所得的线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值是( )A ．0 B.33C ．1 D. 3答案 D解析 由条件可知，f (x )的周期是π4.由πω＝π4，得ω＝4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×π12＝tan π3＝ 3.5．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x (x ∈[0，π])的增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π答案 C解析 ∵y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z ，即函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π，k ∈Z ，∴当k ＝0时，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6. 6．[2018·深圳模拟]函数y ＝log 12 cos x 的一个单调减区间是( )A ．(－π，0)B ．(0，π)C.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0答案 D解析 首先应保证cos x ＞0 ①；函数y ＝log 12 cos x 的单调减区间，即函数μ＝cos x的单调增区间 ②.易知只有选项D 符合①②.7．[2018·郑州模拟]如果函数y ＝3sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π6对称，则|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案 A解析 由题意，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝±1.所以π3＋φ＝π2＋k π，即φ＝π6＋k π(k ∈Z )，故|φ|min ＝π6.8．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的值域为________，并且取最大值时x 的值为________．答案 [－1,1]π12解析 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈[0,1]，∴y ∈[－1,1]． 当2x ＋π3＝π2时，即x ＝π12时y 取得最大值1.9．[2018·江苏模拟]函数y ＝lg sin2x ＋9－x 2的定义域为________． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧sin2x ＞0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧k π＜x ＜k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x ＜－π2或0＜x ＜π2.∴函数y ＝lg sin2x ＋9－x 2的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.10．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0成中心对称，那么|φ|的最小值为________．答案π6解析 依题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π3＋φ＝0，8π3＋φ＝k π＋π2，φ＝k π－13π6(k ∈Z )，所以|φ|的最小值是π6.[B 级 知能提升]1．[2017·全国卷Ⅲ]设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减 答案 D解析 A 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确．B 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称，B 项正确．C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π－56π，当k ＝1时，x ＝π6，所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6，C 项正确．D 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间，D项错误．故选D.2．[2018·宁夏模拟]已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2)答案 A解析 由π2＜x ＜π，ω＞0得，ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4，又y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2上递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.故选A. 3．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ∈R 且m ＞π6，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，则m 的最大值是________．答案5π18解析 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3， ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 5π6＝－32，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π9＝cos π＝－1，∴要使f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，需要π≤3m ＋π3≤7π6，解得2π9≤m ≤5π18，即m 的最大值是5π18.4．[2018·广东模拟]设函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3.(1)求函数f (x )的定义域、周期和单调区间； (2)求不等式－1≤f (x )≤3的解集．解 (1)由x 2－π3≠π2＋k π(k ∈Z )，得x ≠5π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数f (x )的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，且x ≠5π3＋2k π，k ∈Z. 因为ω＝12，所以周期T ＝πω＝2π.由－π2＋k π<x 2－π3<π2＋k π(k ∈Z )，得－π3＋2k π<x <5π3＋2k π(k ∈Z )．所以函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋2k π，5π3＋2k π(k ∈Z )．(2)由－1≤tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3≤3，得－π4＋k π≤x 2－π3≤π3＋k π(k ∈Z )．解得π6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )．所以不等式－1≤f (x )≤3的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π，k ∈Z. 5．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(0<ω<1,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝⎛⎭⎪⎫3π4，0对称．(1)求φ，ω的值； (2)求f (x )的单调递增区间；(3)x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π2， 求f (x )的最大值与最小值．解 (1)因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)是R 上的偶函数，所以φ＝π2＋k π，k ∈Z ，且0≤φ≤π，则φ＝π2，即f (x )＝cos ωx .因为图象关于点M ⎝⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，所以ω·3π4＝π2＋k π，k ∈Z ，且0<ω<1，所以ω＝23.(2)由(1)得f (x )＝cos 23x ，由－π＋2k π≤23x ≤2k π且k ∈Z 得，3k π－3π2≤x ≤3k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π－3π2，3k π，k ∈Z .(3)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π2，所以23x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π3，当23x ＝0时，即x ＝0，函数f (x )的最大值为1， 当23x ＝－π2时，即x ＝－3π4，函数f (x )的最小值为0.。
[推荐学习]全国版2019版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第6讲正弦定理和余弦定理学案
[推荐学习]全国版2019版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第6讲正弦定理和余弦定理学案第6讲正弦定理和余弦定理板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 正弦定理a sin A ＝bsin B＝csin C＝2R，其中2R为△ABC外接圆的直径．变式：a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C. a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.考点2 余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A；b2＝a2＋c2－2ac cos B；2．S＝12bc sin A＝12ac sin B＝12ab sin C.3．S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．[必会结论]在△ABC中，常有以下结论(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin A＋B2＝cosC2；cosA＋B2＝sin C2.(5)tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C.(6)∠A>∠B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B.[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC 中，A ＞B 必有sin A ＞sin B .( )(2)在△ABC 中，若b 2＋c 2＞a 2，则△ABC 为锐角三角形．( )(3)在△ABC 中，asin A ＝a ＋b －c sin A ＋sin B －sin C.( ) (4)在△ABC 中，若a cos B ＝b cos A ，则△ABC 是等腰三角形．( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√2．[课本改编]在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b ，则B 的值为( )A ．30° B．45° C．60° D．90° 答案 B解析 由正弦定理知：sin A sin A ＝cos B sin B，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°.3．[2018·长春质检]已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A.12B ．1 C. 3 D ．2 答案 C解析 ∵a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴cos A ＝12，∴A ＝π3，又bc ＝4，∴△ABC 的面积为12bc sin A ＝ 3. 4．[课本改编]已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大内角的大小为________．答案 120°解析 由sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7知，三角形的三边之比a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，最大的角为C .由余弦定理得cos C ＝－12，∴C ＝120°. 5．[2017·全国卷Ⅲ]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c＝3，则A＝________.答案75°解析如图，由正弦定理，得3 sin60°＝6 sin B，∴sin B＝22.又c＞b，∴B＝45°，∴A＝180°－60°－45°＝75°. 6．[2015·重庆高考]设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－14，3sin A＝2sin B，则c＝________.答案 4解析由3sin A＝2sin B及正弦定理，得3a＝2b，所以b＝32a＝3.由余弦定理的推论得cos C＝a 2＋b 2－c 22ab ，得－14＝22＋32－c 22×2×3，解得c ＝4. 板块二 典例探究·考向突破考向 利用正、余弦定理解三角形 例 1 (1)[2018·浙江模拟]设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.答案 2π3解析 由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b ，a ＝53b ， 又b ＋c ＝2a ，所以c ＝73b . 根据余弦定理的推论cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab， 把a ＝53b ，c ＝73b 代入，化简得cos C ＝－12，所以C ＝2π3. (2)[2017·全国卷Ⅱ]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________.答案π3解析解法一：由2b cos B＝a cos C＋c cos A 及正弦定理，得2sin B cos B＝sin A cos C＋sin C cos A.∴2sin B cos B＝sin(A＋C)．又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.∴2sin B cos B＝sin(π－B)＝sin B.又sin B≠0，∴cos B＝12.∴B＝π3.解法二：∵在△ABC中，a cos C＋c cos A＝b，∴条件等式变为2b cos B＝b，∴cos B＝12 .又0<B<π，∴B＝π3.触类旁通解三角形问题的技巧(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．【变式训练1】 (1)[2018·河西五市联考]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(b －a )sin A ＝(b －c )·(sin B ＋sin C )，则角C 等于( )A.π3B.π6C.π4D.2π3答案 A解析 由题意，得(b －a )a ＝(b －c )(b ＋c )，∴ab ＝a 2＋b 2－c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝π3.故选A. (2)[2016·全国卷Ⅱ]△ABC 的内角A ，B ，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝45，cos C＝513，a＝1，则b＝________.答案21 13解析由条件可得sin A＝35，sin C＝1213，从而有sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝6365.由正弦定理asin A＝b sin B ，可知b＝a sin Bsin A＝2113.考向利用正、余弦定理判断三角形形状例 2 [2018·陕西模拟]设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定答案 B解析∵b cos C＋c cos B＝a sin A，由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.又sin A>0，∴sin A＝1，∴A＝π2，故△ABC为直角三角形．本例条件变为若ab＝cos Bcos A，判断△ABC的形状．解由ab＝cos Bcos A，得sin Asin B＝cos Bcos A，∴sin A cos A＝cos B sin B，∴sin2A＝sin2B.∵A、B为△ABC的内角，∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝π2，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．本例条件变为若a＝2b cos C，判断△ABC的形状．解解法一：因为a＝2b cos C，所以由余弦定理得，a＝2b·a2＋b2－c22ab，整理得b2＝c2，则此三角形一定是等腰三角形．解法二：∵sin A＝2sin B cos C，∴sin(B＋C)＝2sin B cos C，∴sin(B－C)＝0，∵－π<B－C<π，∴B－C＝0，B＝C，则此三角形定是等腰三角形．本例条件变为若cb<cos A，判断△ABC的形状．解依题意得sin Csin B<cos A，sin C<sin B cos A，所以sin(A＋B)<sin B cos A.即sin B cos A＋cos B sin A－sin B cos A<0.所以cos B sin A<0.又sin A>0，于是有cos B<0，B为钝角，所以△ABC是钝角三角形．触类旁通判定三角形形状的两种常用途径(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断．提醒在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响．【变式训练2】在△ABC中，角A，B，C 所对的边的长分别为a，b，c，若a sin A＋b sin B ＜c sin C，则△ABC的形状是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定答案 C解析根据正弦定理可得a2＋b2＜c2.由余弦定理的推论得cos C＝a2＋b2－c22ab＜0，故C是钝角．考向与三角形面积有关的问题例 3 [2017·全国卷Ⅰ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为a23sin A.(1)求sin B sin C；(2)若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．解(1)由题设得12ac sin B＝a23sin A，即12c sin B＝a3sin A.由正弦定理得12sin C sin B＝sin A3sin A.故sin B sin C＝23 .(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12， 即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3. 由题意得12bc sin A ＝a 23sin A，a ＝3，所以bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9.由bc ＝8，得b ＋c ＝33.故△ABC 的周长为3＋33.触类旁通三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．【变式训练3】[2017·全国卷Ⅲ]△ABC 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin A ＋3cos A＝0，a＝27，b＝2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．解(1)由已知可得tan A＝－3，所以A＝2π3.在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4c cos 2π3，即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)或c＝4.(2)由题设可得∠CAD＝π2，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝π6.故△ABD面积与△ACD面积的比值为12 AB·AD·si nπ61 2AC·AD＝1.又△ABC的面积为12×4×2sin∠BAC＝23，所以△ABD的面积为 3.核心规律1.在已知关系式中，若既含有边又含有角，通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合正弦定理、余弦定理即可求解．2.在△ABC中，已知a，b和A，利用正弦定理时，会出现解的不确定性，一般可根据“大边对大角”来取舍．满分策略1.在解三角形中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围，确定三角函数值的符号，防止出现增解等扩大范围的现象．2.在判断三角形的形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.板块三 启智培优·破译高考题型技法系列6——利用均值不等式破解三角函数最值问题[2016·山东高考]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan B cos A. (1)证明：a ＋b ＝2c ；(2)求cos C 的最小值．解题视点 (1)首先把切函数转化为弦函数，将分式化为整式，然后根据和角公式及三角形内角和定理化简，最后根据正弦定理即可证明；(2)首先根据(1)中的结论和余弦定理表示出cos C ，然后利用基本不等式求解最值．解 (1)证明：由题意知2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin B cos A cos B，化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B .因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，从而sin A ＋sin B ＝2sin C .由正弦定理得a ＋b ＝2c .(2)由(1)知c ＝a ＋b 2， 所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab＝38⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a －14≥34－14＝12， 当且仅当a ＝b 时，等号成立．故cos C 的最小值为12. 答题启示 对于含有a ＋b ，ab 及a 2＋b 2的等式，求其中一个的范围时，可利用基本不等式转化为以该量为变量的不等式求解.跟踪训练已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c tan C ＝3(a cos B ＋b cos A )．(1)求角C ；(2)若c ＝23，求△ABC 面积的最大值． 解 (1)∵c tan C ＝3(a cos B ＋b cos A )， ∴sin C tan C ＝3(sin A cos B ＋sin B cos A )， ∴sin C tan C ＝3sin(A ＋B )＝3sin C ， ∵0＜C ＜π，∴sin C ≠0，∴tan C ＝3，∴C ＝π3. (2)∵c ＝23，C ＝π3， 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得 12＝a 2＋b 2－ab ≥2ab －ab ，∴ab ≤12，∴S △ABC ＝12ab sin C ≤33， 当且仅当a ＝b ＝23时，△ABC 的面积取得最大值3 3.板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1．[2018·北京西城期末]已知△ABC中，a ＝1，b＝2，B＝45°，则A等于( ) A．150° B．90° C．60° D．30°答案 D解析由正弦定理，得1sin A＝2sin45°，得sin A＝12.又a<b，∴A<B＝45°.∴A＝30°.故选D.2．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．若b sin A＝3c sin B，a＝3，cos B＝23，则b＝( )A．14 B．6 C.14 D. 6答案 D解析b sin A＝3c sin B⇒ab＝3bc⇒a＝3c⇒c＝1，∴b2＝a2＋c2－2ac cos B＝9＋1－2×3×1×23＝6，b＝ 6.故选D.3．[2018·甘肃张掖月考]在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝2a ，b sin B －a sin A ＝12a sin C ，则sin B 为( ) A.74 B.34 C.73 D.13答案 A解析 由b sin B －a sin A ＝12a sin C ，且c ＝2a ，得b ＝2a ，∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34，∴sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74. 4．设A 是△ABC 的一个内角，且sin A ＋cos A ＝23，则这个三角形是( ) A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形答案 B 解析 将sin A ＋cos A ＝23两边平方得sin 2A＋2sin A·cos A＋cos2A＝49，又sin2A＋cos2A＝1，故sin A cos A＝－518.因为0<A<π，所以sin A>0，则cos A<0，即A是钝角．5．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且cos2B＋3cos(A＋C)＋2＝0，b ＝3，则c∶sin C等于( )A．3∶1 B.3∶1 C.2∶1 D．2∶1答案 D解析由cos2B＋3cos(A＋C)＋2＝0，得2cos2B－3cos B＋1＝0，解得cos B＝1(舍去)或cos B＝12，所以sin B＝32，所以c∶sin C＝b∶sin B＝2∶1.6．[2017·浙江高考]我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6＝________.答案 332解析 作出单位圆的内接正六边形，如图，则OA ＝OB ＝AB ＝1.S 6＝6S △OAB ＝6×12×1×32＝332. 7．在△ABC 中，已知AB ＝3，A ＝120°，且△ABC 的面积为1534，则BC ＝________. 答案 7解析 由S △ABC ＝1534得12×3×AC ·sin120°＝1534，所以AC ＝5，因此BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos120°＝9＋25＋2×3×5×12＝49，解得BC＝7.8．[2018·渭南模拟]在△ABC中，若a2－b2＝3bc且sin(A＋B)sin B＝23，则A＝________.答案π6解析因为sin(A＋B)sin B＝23，故sin Csin B＝23，即c＝23b，则cos A＝b2＋c2－a22bc＝12b2－3bc 43b2＝6b243b2＝32，所以A＝π6.9．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若tan A＋tan C＝3(tan A tan C－1)．(1)求角B；(2)如果b＝2，求△ABC面积的最大值．解(1)∵tan A＋tan C＝3(tan A tan C－1)，∴tan A＋tan Ctan A tan C－1＝3，即tan A ＋tan C 1－tan A tan C ＝－3，即tan(A ＋C )＝－3.又∵A ＋B ＋C ＝π，∴tan B ＝－tan(A ＋C )＝3，∴B ＝π3. (2)由余弦定理的推论得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝12， 即4＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ， ∴ac ≤4，当且仅当a ＝c ＝2时，等号成立．∴S △ABC ＝12ac sin B ≤12×4×32＝ 3. 故△ABC 的面积的最大值为 3.10．[2018·长沙模拟]已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝1,2cos C ＋c ＝2b .(1)求A ；(2)若b ＝12，求sin C .解 (1)因为a ＝1,2cos C ＋c ＝2b ，由余弦定理得2×12＋b 2－c 22b＋c ＝2b ，即b 2＋c 2－1＝bc . 所以cos A ＝b 2＋c 2－122bc ＝bc 2bc ＝12. 因为0°<A <180°，所以A ＝60°.(2)解法一：由b ＝12及b 2＋c 2－1＝bc ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋c 2－1＝12c ， 即4c 2－2c －3＝0，解得c ＝1＋134或c ＝1－134(舍去)． 由正弦定理得c sin C ＝asin A ， 得sin C ＝1＋134×sin60°＝3＋398. 解法二：由a ＝1，b ＝12及正弦定理b sin B＝asin A ，得sin B ＝12sin60°＝34. 由于b <a ，则0°<B <A ＝60°，则cos B ＝1－sin 2B ＝134. 由于A ＋B ＋C ＝180°，则C ＝120°－B . 所以sin C ＝sin(120°－B )＝sin120°cos B －cos120°sin B ＝32×134＋12×34＝39＋38. [B 级 知能提升]1．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5答案 D解析 由23cos 2A ＋cos2A ＝0得23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，解得cos A＝±15.∵A是锐角，∴cos A＝15.又∵a2＝b2＋c2－2bc cos A，∴49＝b2＋36－2×b×6×15，∴b＝5或b＝－135.又∵b>0，∴b＝5.2．[2017·全国卷Ⅰ]△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C －cos C)＝0，a＝2，c＝2，则C＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3答案 B解析因为a＝2，c＝2，所以由正弦定理可知，2sin A＝2sin C，故sin A＝2sin C.又B＝π－(A＋C)，故sin B＋sin A(sin C－cos C)＝sin(A＋C)＋sin A sin C－sin A cos C＝sin A cos C＋cos A sin C＋sin A sin C－sin A cos C＝(sin A＋cos A)sin C＝0.又C为△ABC的内角，故sin C≠0，则sin A＋cos A＝0，即tan A＝－1.又A∈(0，π)，所以A＝3π4.从而sin C＝12sin A＝22×22＝12.由A＝3π4知C为锐角，故C＝π6.故选B.3．[2017·浙江高考]已知△ABC，AB＝AC ＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC ＝________.答案152104解析 依题意作出图形，如图所示， 则sin ∠DBC ＝sin ∠ABC .由题意知AB ＝AC ＝4，BC ＝BD ＝2， 则sin ∠ABC ＝154，cos ∠ABC ＝14.所以S △BDC ＝12BC ·BD ·sin∠DBC＝12×2×2×154＝152. 因为cos ∠DBC ＝－cos ∠ABC ＝－14＝BD 2＋BC 2－CD22BD ·BC＝8－CD 28，所以CD ＝10.由余弦定理，得cos∠BDC＝4＋10－42×2×10＝104.4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C·(a cos B＋b cos A)＝c.(1)求C；(2)若c＝7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长．解(1)由已知及正弦定理得，2cos C(sin A cos B＋sin B cos A)＝sin C，2cos C sin(A＋B)＝sin C.故2sin C cos C＝sin C.可得cos C＝12，所以C＝π3.(2)由已知，得12ab sin C＝332.又C＝π3，所以ab＝6.由已知及余弦定理得，a2＋b2－2ab cos C＝7.故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25.所以△ABC 的周长为5＋7.5．[2017·天津高考]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2)．(1)求cos A 的值； (2)求sin(2B －A )的值． 解 (1)由a sin A ＝4b sin B ，及asin A＝bsin B，得a ＝2b .由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)及余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a22bc＝－55ac ac＝－55.(2)由(1)，可得sin A ＝255，代入a sin A ＝4b sin B ，得sin B ＝a sin A 4b ＝55.由(1)知，A 为钝角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255.于是sin2B ＝2sin B cos B ＝45，cos2B ＝1－2sin 2B ＝35，故sin(2B －A )＝sin2B cos A －cos2B sin A ＝45×⎝⎛⎭⎪⎫－55－35×255＝－255.。
2019版高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第18讲任意角、弧度制及任意角的三角函数学案
1 第18讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数 考纲要求 考情分析 命题趋势 1．了解任意角的概念，了解弧度制的概念. 2．能进行弧度与角度的互化. 3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
2017²北京卷，12 2016²全国卷Ⅱ，9 1．根据角的终边上的点的坐标求三角函数值. 2．根据三角函数值求参数值. 3．利用三角函数的定义判断三角函数的图象.
分值：3～5分
1．角的有关概念 (1)从运动的角度看，角可分为正角、！！！ 负角 ###和！！！ 零角 ###. (2)从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角. (3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为！！！ β＝2kπ＋α，k∈Z ###. 2．弧度与角度的互化 (1)1弧度的角 长度等于！！！ 半径 ###的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. (2)角α的弧度数 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|
＝！！！ lr ###. (3)角度与弧度的换算 ①1°＝！！！ π180 ###rad；②1 rad＝！！！ 180π° ###. (4)弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为l，圆心角大小为α rad，半径为r，则l＝！！！ |α|r ###，扇形
的面积为S＝12lr＝！！！ 12|α|²r2 ###. 3．任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝！！！ 2
y ###，cos α＝！！！ x ###，tan α＝！！！ yx(x≠0) ###；若α终边上有一点P(x，
y)(与O不重合)，则sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx，其中r＝r2＋y2.
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的！！！ 正弦线 ###，！！！ 余弦线 ###和！！！ 正切线 ###.
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（一）三角函数的基本概念（1）角：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的角，射线的起始位置叫始边，终止位置叫终边；（2）正角：按 方向旋转的形成的角； （3）负角：按 方向旋转的形成的角；（4）零角：如果一条射线 所形成的角；（5）象限角：角α的终边落在第几象限就程为第几象限角，终边落在坐标轴上的角不属于任何象限（轴线角）（6）与终边相同的角的集合：（二）弧度制（1）1度的角：把圆周分成360份，每一份所对的圆心角为o 1的角 （2）1弧度的角：弧长等于半径的圆弧所对的角 （3）o 1= 弧度，1弧度= 度（4）扇形的弧长：=l ，面积：=S = .例1：（1）半径为2，圆心角为35π的圆弧长度为 ；（2）半径为6的圆中，长度为6的弦所对的劣狐所对围成的弓形面积为 。
【练习1】一个半径为R 的扇形，周长为4R ，则这个扇形的面积是 .【练习2】如图所示，在半径为10，圆心角为3π的扇形铁皮中ADE 上截去一个半径为4的小扇形ABC ，则剩下的扇环部分面积为（三）任意角的三角函数（5）已知α终边上的一点(,)P x y （非原点），则sin α= ，=αcos ，=αtan ；=r（四）特殊角的三角函数值α6π 4π 3π αsincos α tan α【例1】已知已知角α的终边经过点)7,15(-P ,求αsin ，αcos ，αtan 的值。
【高考链接】已知角α的终边经过点(4,3)-，则cos α=( )A. 45B. 35C. －35D. －45【变式1】已知已知角α的终边为射线)0(43≥-=x x y ,求αsin ，αcos ，αtan 的值。
【变式2】已知角α的终边经过点)0)(4,3(≠a a a P ,求αsin ，αcos ，αtan 的值。
【高考链接】已知角θ的顶点和原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线x y 2=上，则=θ2cos 1．已知角α的顶点是坐标原点，始边是x 轴正半轴，终边过点()1,2-，则αsin =2．已知()3,P y -为角β的终边上的一点，13sin 13β=，则y 的值为（ ） A. 12±B. 12C. 12- D. 2± 3．已知角θ的终边经过点()(),30P x x ＜，且cos 4xθ=，则x 的值为（ ） A. 7 B. 5 C. -5 D. 7-【课前热身】1、 已知α终边上的一点(3,)P m -，0m ≠，2sin 4m α=，则cos α的值为2、 设α在第二象限，(,4)P x 为其终边上一点，1cos 5x α=，求sin α=（五）任意角的三角函数的符号αsin αcos αtan【练习1】确定下列函数值的符号： ①o190sin ②⎪⎭⎫ ⎝⎛-45cos π ③cos796o④tan189o⑤59cos 17π⎛⎫- ⎪⎝⎭⑥⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅ππ415tan 54cos⑦5411sin cos tan 456πππ⋅⋅ ⑧511sin tan 662sin 3πππ⋅【练习2】若sin tan 0αα<，cos 0tan αα<，则α在第几象限？【练习3】()sin 2015,cos 2015A 在直角坐标系的第几象限？xy x y xy（六）同角三角函数基本关系知一求二平方和关系： 商的关系：【例1】（1）已知135cos =α，且α是第四象限角，求αsin 和αtan ； （2）已知125tan =α，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈23,ππα，求αsin 、αcos ；【变式】（1）已知135cos =α，求αsin 和αtan ；练习1：【2017年全国1 卷 】已知π(0)2α∈，，tan 2α=，则πcos ()4α-=__________．【例2】已知()πθαα,0,137cos sin ∈=+ （1）=+ααcos sin （2）αtan =【练习2】已知α是三角形的内角，且51cos sin =+αα，则=-α22sin cos 1课后作业：1、已知4sin cos 3αα-=，则sin2α=（ ） A. 79 B. 29- C. 29 D. 79-2．已知1sin cos 5αα+=，且0απ<<．（1）求sin cos αα、sin cos αα-、1sin cos αα+的值； （2）求sin α、cos α、tan α的值．（七）弦切互化问题【例1】已知tan 2α=，则sin cos sin cos αααα+=-【例2】已知3tan =α，求=+-1cos sin 3sin 2ααα【练习1】（新课标全国卷）若43tan =α，则=+αα2sin 2cos （ ） A. 2564 B.2548 C. 1 D. 2516【练习2】已知2tan =α，则=+1sin 2x课后练习：1、已知2tan =α，则=-+ααααcos sin cos sin 。
2．已知2tan -=α，则=-αθ2cos 2sin __________．3、已知2sin cos cos sin =+-αααα，则=+-1sin 2cos 12αα 4、已知31tan -=α，计算：(1)=-+ααααsin cos 5cos 2sin （2）=+ααα2cos cos sin 21（八）诱导公式目标：熟记三角形诱导公式，并用其进行化简()()()=+=+=+απαπαπk k k 2tan 2cos 2sin ()()()=+=+=+απαπαπt a n c o s s i n()()()=-=-=-απαπαπt a n c o s s i n()()()=-=-=-αααt a n c o s s i n=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-απαπ2cos 2sin=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+απαπ2c o s 2s i n=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-απαπ23cos 23sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+απαπ23cos 23sin记忆规律： 【例1】①=⎪⎭⎫⎝⎛+32sin ππk ②⎪⎭⎫⎝⎛-32c o s ππk ③=32s i n π④=34πc o s⑤=⎪⎭⎫⎝⎛-4s i n π ⑥=⎪⎭⎫⎝⎛-310tan π【练习1】计算：（1）()()=-⋅-+⋅o o o o 660cos 330sin 750cos 420sin （2）()()=-+--+o o o o 690tan 330tan 675tan 765tan （3）=⎪⎭⎫⎝⎛-++425tan 325cos 625sinπππ 【练习2】已知()21sin -=+απ，计算： （1）()=-απ5sin （2）=⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ2sin （3）=⎪⎭⎫ ⎝⎛-23sin πα （4）=⎪⎭⎫⎝⎛-απ2tan【课后练习】 （1）已知2112sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πα，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+127cos πα （2）已知2123sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则()=-απ3cos ，=⎪⎭⎫ ⎝⎛-27s i n πα （3）已知παπ2<<，()537cos -=-πα，则()=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+27tan 3sin πααπ（4）化简：()()απαπαπ⎪⎭⎫⎝⎛---23sin 2cos tan .（九）两角和、差的正弦、余弦和正切公式()()()()()()=-=+=-=+=-=+βαβαβαβαβαβαtan ,tan cos ,cos sin ,sin【例1新课标全国卷】=-oooo10sin 160cos 10cos 20sin （ ） A. 23-B. 23C. 21-D. 21【练习1】①=+oooo30sin 75sin 30cos 75cos ②=+oooo28sin 12cos 28cos 12sin③=+-oo oo 27tan 72tan 127tan 72tan ④=+oooo103sin 47sin 13cos 43cos 【练习2】已知53sin -=α,α是第四象限角，求⎪⎭⎫⎝⎛-4sin πx ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+4cos πx 和⎪⎭⎫ ⎝⎛-4tan πx ；【课后练习】（1）（重庆卷）若错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
（ ）A ． 错误！未找到引用源。
B ． 错误！未找到引用源。
C ． 错误！未找到引用源。
D ． 错误！未找到引用源。
（2）化简()()=---ββαββαsin sin cos cos （3）已知⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈-=0,2,54sin παα，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πα （4）（全国卷）534cos =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则=α2sin(十)三角函数的化简求值【例1】已知()5330sin =+o α，oo 15060<<α，求αcos 。
（课本）【变式】已知534sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πα，434παπ<<，求αsin ，αcos ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+42cos πα。
【练习1】已知2tan =α，()21tan =+βα，则=βtan【练习2】已知736tan =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，526tan =⎪⎭⎫ ⎝⎛+βπ，则()=+βαtan （ ） A ． 4129B ． 错误！未找到引用源。
C ． 错误！未找到引用源。
D ． 411【练习3】已知()5tan =-βα，()3tan =+βα，则==βα2tan ,2tan【练习4】已知336sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ65sin【课后练习】 （1）已知53)3sin(=-x π，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+6cos πx（2）已知316sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+322cos πα （3）已知31)60cos(=+αo ，且o o 90180-<<-α，则()=-αo30cos（4）已知θ为锐角，5528cos =⎪⎭⎫⎝⎛+πθ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-42tan πθ （2018届南海区摸底考） （十一）三角函数求角【例1】已知βα,为锐角，且55sin =A ,1010sin =B ,求B A +的值。
【变式】已知βα,为锐角，53sin =α，()54cos -=+βα，求βα+2的值。
【练习1】已知04332=++x x 的两根分别为βαtan ,tan ，且⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2,ππβα，求βα+的值。
【练习2】已知53cos =α，()1413cos =-βα，且20παβ<<<，求β的值。
（十二）辅助角公式的应用【例1】化简下列各式并求值； ①=+o o 15cos 2215sin 22②=+o o 15cos 15sin③=-o o 75cos 375sin 3④=-o o 105cos 6105sin 2⑤=+ααcos sin b a【练习1 四川卷】=+oo 75cos 15sin【练习2 全国卷】函数()x x x f sin cos 2+=的最大值为【练习3 全国卷】设θ为第二象限角，若21)4tan(=+πθ，则=+θθcos sin （十三）二倍角公式=====ααα2tan ,2cos ,2sin计算：①=o o 15cos 15sin 2 ②=-o o 15sin 15cos 22 ③=-115sin 22o ④=-oo 15sin 15cos 22【例1】已知1352sin =α，24παπ<<，则 （1）=α4sin （2）=α4cos （3）=α4tan【变式】已知548sin -=α，παπ128<<，则 （1）=4sin α（2）=4cosα（3）=4tanα【练习1四川卷】=-8sin 8cos 22ππ【练习2山东卷】已知43cos =x ，则=x 2cos （ ） A ． 41-B ． 错误！未找到引用源。