2014-2015学年江苏省镇江市扬中二中高二(下)期末数学模拟试卷(理科)
高二年级下学期期末考试数学试题与答案解析(共三套)
高二年级下学期期末考试数学试题（一）注意事项：1．本试卷共22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a2＝3，a5＝9，则S6为（）A．36 B．32 C．28 D．242.的展开式中的常数项为（）A．﹣60 B．240 C．﹣80 D．1803.设曲线在处的切线与直线y＝ax+1平行，则实数a等于（）A．﹣1 B．C．﹣2 D．24.在2022年高中学生信息技术测试中，经统计，某校高二学生的测试成绩X～N（86，σ2），若已知P（80＜X≤86）＝0.36，则从该校高二年级任选一名考生，他的测试成绩大于92分的概率为（）A．0.86 B．0.64 C．0.36 D．0.145.设函数，若f（x）在点（3，f（3））的切线与x轴平行，且在区间[m﹣1，m+1]上单调递减，则实数m的取值范围是（）A．m≤2 B．m≥4 C．1＜m≤2 D．0＜m≤36.利用独立性检验的方法调查高中生的写作水平与喜好阅读是否有关，通过随机询问120名高中生是否喜好阅读，利用2×2列联表，由计算可得K2＝4.236．P（K2≥0.100 0.050 0.025 0.010 0.001k0）k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828参照附表，可得正确的结论是（）A．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”B．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”C．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”D．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”7.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为2个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（i＝1，2，…，6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有（）A．22种B．24种C．25种D．27种8.若两个等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为A n、B n，且满足，则的值为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省镇江市扬中市第二高级中学2022-2023学年高二下学期期末模拟数学试题
江苏省镇江市扬中市第二高级中学2022-2023学年高二下学期期末模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．21111B ．11116．若()512x a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中A ．34-B ．147．已知抛物线2:4C y x =，焦点为()1210a x y a -+-+=的垂线，垂足为A ．522-B ．38．设24ln 4a e -=，ln 22b =，A ．ac b <<B ．a 二、多选题9．某学校一同学研究温差(x 了5天的数据：x 568912y1720252835经过拟合，发现基本符合经验回归方程A ．样本中心点为()8,25C ．5x =，残差为0.2-系数r 增大10．记A ，B 为随机事件，下列说法正确的是（A ．若事件A ，B 互斥，(P AA ．直线1BD ⊥平面11AC DB ．三棱锥11P ACD -的体积为定值C ．异面直线AP 与1AD 所成角的取值范围是D ．直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值的最大值为12．已知直线:l x my t =+与椭圆右焦点，则下列说法正确的有（A ．椭圆C 的离心率为12B ．椭圆C 上存在点P ，使得C ．当1t =时，R m ∃∈，使得D ．当1m =，R t ∀∈，1F A + 三、填空题13．设a ∈Z ，且015a ≤≤，若202249a ＋能被15整除，则=a _________.14．已知圆柱的体积为316dm π，则该圆柱的表面积的最小值为______2dm ．15．中国新冠疫苗研究路径有两种技术路线：一个是灭活疫苗，一个是腺病毒载体疫苗.经过科研工作者长达一年左右的研制，截至目前我国已有4款自主研发的新冠疫苗获批上市.其中在腺病毒载体疫苗研制过程中，科研者要依次完成七项不同的任务，并对任务的顺序提出了如下要求:重点任务A 必须排在前三位，且任务D E 、必须排在一起，则这七项任务的安排方案共有__________种（用数字作答）五、解答题(1)求证：BD//平面A E G；(2)求平面SCD与平面ESD夹角的余弦值；(3)在线段EG上是否存在一点H，出GH的长；若不存在，说明理由21．网上购物就是通过互联网检索商品信息，并通过电子订购单发出购物请求，厂商通过邮购的方式发货或通过快递公司送货上门，货到后通过银行转账等方式在线汇款，根据2019年中国消费者信息研究，超过用网上购物，使得网上购物和送货上门的需求量激增，三方APP､品牌官方网站和微信社群等平台进行购物，某天猫专营店统计了5日至9日这5天到该专营店购物的人数ix12345iy75849398100（1）由表中给出的数据是否可用线性回归模型拟合人数用，估计8月10日到该专营店购物的人数线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合，计算参考数据：434065.88≈.附：相关系数斜率()()1ˆni iix x y yb=--=∑，截距a。
高二下学期期末考试数学试卷(含参考答案)
高中二年级学业水平考试数学（测试时间120分钟，满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知i 是虚数单位，若复数))((R a i a i ∈+-的实部与虚部相等，则=a （A ）2-（B ）1- （C ）1 （D ）2（2）若集合{}0,1,2A =，{}24,B x x x N =≤∈，则AB =（A ）{}20≤≤x x（B ）{}22≤≤-x x （C ）{0,1,2} （D ）{1,2}（3）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 没有公共点”是“平面α和平面β平行”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）若()1sin 3πα-=，且2παπ≤≤，则sin 2α的值为（A ）9-（B ）9-（C ）9（D ）9（5）在区间[]1,4-上随机选取一个数x ，则1≤x 的概率为 （A ）23 （B ）15 （C ）52 （D ）14（6）已知抛物线2y x =的焦点是椭圆22213x y a +=的一个焦点，则椭圆的离心率为（A ）37（B ）13（C ）14 （D ）17（7）以下函数，在区间[3,5]内存在零点的是（A ）3()35f x x x =--+ （B ）()24x f x =-图2俯视图侧视图主视图（C ）()2ln(2)3f x x x =-- （D ）1()2f x x=-+ （8）已知(2,1),(1,1)a b ==，a 与b 的夹角为θ，则cos θ=（A）10 （B）10 （C）5 （D）5（9）在图1的程序框图中，若输入的x 值为2，则输出的y 值为（A ）0 （B ）12 （C ）1- （D ）32- （10）某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的侧面积是（A ）76 （B ）70 （C ）64 （D ）62 （11）设2()3,()ln(3)xf x eg x x =-=+，则不等式(())(())11f g x g f x -≤的解集为（A ）[5,1]- （B ）(3,1]- （C ）[1,5]- （D ）(3,5]-(12) 已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x <，则a 的取值范围为（A ）∞（-,-2） （B ）1∞（-,-) （C ）(1,+)∞ （D ）(2,)+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）函数()cos f x x x =+的最小正周期为 ．（14）已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-3322y x y x x y ，则y x -2的最小值为 .（15）已知直线l ：0x y a -+=，点()2,0A -，()2,0B . 若直线l 上存在点P 满足AP BP ⊥，则实数a 的取值范围为 .（16）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2,b =3B π=，且△ABC 的面DC 1B 1CBA积S =a c += .三、解答题：本大题必做题5小题，选做题2小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足141,4a a ==；数列{}n b 满足12b a =，25b a =，数列{}n n b a -为等比数列． (Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (Ⅱ)求数列{}n b 的前n 项和n S ． （18）（本小题满分12分）某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地区某高级中学一兴趣小组由9名高二级学生和6名高一级学生组成，现采用分层抽样的方法抽取5人，组成一个体验小组去市场体验“共享单车”的使用.问：（Ⅰ）应从该兴趣小组中抽取高一级和高二级的学生各多少人；（Ⅱ）已知该地区有X ,Y 两种型号的“共享单车”，在市场体验中，该体验小组的高二级学生都租X 型车，高一级学生都租Y 型车.如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有1人在市场体验过程中租X 型车的概率.（19）（本小题满分12分）如图3，已知四棱锥11A CBB C -的底面为矩形，D 为1AC 的中点，AC ⊥平面BCC 1B 1． （Ⅰ）证明：AB//平面CDB 1; （Ⅱ）若AC=BC=1，BB 1（1）求BD 的长；（2）求三棱锥C-DB 1C 1的体积. 图3 （20）（本小题满分12分）已知过点(0,1)A 的动直线l 与圆C ：224230x y x y +---=交于M ，N 两点. （Ⅰ）设线段MN 的中点为P ，求点P 的轨迹方程; （Ⅱ）若2OM ON ⋅=-,求直线l 的方程. （21）（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =.（Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若对任意1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()213022f x x ax +++≤成立，求实数a 的取值范围． 请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的14，得曲线C . （Ⅰ）写出C 的参数方程；（Ⅱ）设直线l ：410x y ++=与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1 P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. （23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()|2|||f x x x a =-+-. （Ⅰ）若2a =-，解不等式5)(≥x f ；（Ⅱ）如果当x R ∈时，()3f x a ≥-，求a 的取值范围．数学参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：部分解析：（10）依题意知，该几何体是底面为直角梯形的直棱柱，故其侧面积为42+44+245=64⨯⨯⨯⨯.（11）(())(())11f g x g f x -≤即22(3)3211450x x x x +--≤⇒+-≤51x ⇒-≤≤，注意到30x +>，即3x >-，故31x -<≤.（12）当0a =时，函数2()31f x x =-+有两个零点，不符合题意，故0a ≠，2'()363(2)f x ax x x ax =-=-，令'()0f x =得0x =或2x a =，由题意知，0a >，且2()0f a>，解得2a >．二、填空题：（15）问题转化为求直线l 与圆2222x y +=有公共点时，a 的取值范围，数形结合易得a -≤.（16）由余弦定理得2222cos 4b a c ac B =+-=，即224a c ac +-=，1sin 24S ac B ac ===得4ac =，故2()164a c a c +=⇒+= 三、解答题：（17）解：（Ⅰ）由数列{}n a 是等差数列且141,4a a ==∴公差4113a a d -==， ------------------------------------------------------------------------------1分 ∴1(1)n a a n d n =+-=，------------------------------------------------------------------------------3分 ∵12b a ==2，25b a ==5，∴11221,3,b a b a -=-= ∴数列{}n n b a -的公比22113b a q b a -==-，-----------------------------------------------------------5分∴1111()3n n n n b a b a q ---=-=，∴13n n b n -=+；-------------------------------------------------------------------------------------------7分 (Ⅱ)由13n n b n -=+得21(12)(1333)n n S n -=++++++++--------------------------------------------------------9分(1)31231n n n +-=+- 3(1)12n n n ++-=------------------------------------------------------------------------------------ 12分 （18）解：（Ⅰ）依题意知，应从该兴趣小组中抽取的高一学生人数为56=29+6⨯， ------2分 高二学生的人数为:59=39+6⨯； -------------------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）解法1：记抽取的2名高一学生为12,a a ，3名高二的学生为123,,b b b ，------------5分 则从体验小组5人中任取2人的所有可能为：12111213(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b ，(a 2,b 1), (a 2,b 2), (a 2,b 3), (b 1,b 2), (b 1,b 3), (b 2,b 3)，共10种可能； ----------------------------------------------------------8分 其中至少有1人在市场体验过程中租X 型车的有：111213(,),(,),(,)a b a b a b ，212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b b b b b b b 共9种，------------------------------------------10分故所求的概率910P =.-----------------------------------------------------------------------------------------12分 【解法:2：记抽取的2名高一学生为12,a a ，3名高二的学生为123,,b b b ，------------------------5分 则从体验小组5人中任取2人的所有可能为：12111213(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b ，EABCB 1C 1D212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b b b b b b b 共10种可能；--------------------------------------8分其中所抽的2人都不租X 型车的有：12(,)a a 一种，-------------------------------------------------9分 故所求的概率1911010P =-=. ---------------------------------------------------------------------------12分 （19）解：（Ⅰ）证明：连结1BC 交1B C 于E ，连结DE ， ------------------------------------------1分 ∵D 、E 分别为1AC 和1BC 的中点，∴DE//AB,---------------------------------- --------------------2分 又∵DE ⊂平面1CDB ,AB ⊄平面1CDB ,∴AB//平面CDB 1;---------------------------------------------4分 （Ⅱ）（1）∵AC ⊥平面BCC 1B 1，BC ⊂平面11BCC B ， ∴BC AC ⊥, 又∵1BC CC ⊥,1ACCC C =，∴BC ⊥平面1ACC ， ∵CD ⊂平面1ACC ,∴BC CD ⊥,----------------------------------------------------------------------------------------------------6分 在Rt BCD ∆,∵BC=1，1112CD AC ===, ∴BD =分【注：以上加灰色底纹的条件不写不扣分！】 （2）解法1：∵BC ⊥平面1ACC ，BC//B 1C 1∴11B C ⊥平面1CC A ,-----------------------------------------------------------------------------------------10分 ∴111111113C DB C B CDC CDC V V S B C --∆==⋅111134=⨯⨯=. ---------------------------------12分 【解法2：取1CC 中点F,连结DF ，∵DF 为△1ACC 的中位线，∴DF//AC,-------------------------------------------------------------------9分 ∵AC ⊥平面11CBB C ，从而可得DF ⊥平面11CBB C ,----------------------------------------------10分∴11111113C DB C D CB C CB C V V S DF --∆==⋅1111322=⨯⨯=. --------------------------------12分 （20）解法（Ⅰ）将224230x y x y +---=化为标准方程得:222(2)(1)x y -+-=, ----------------------------------------------------------------------------1分可知圆心C 的坐标为(2,1),半径r =设点P 的坐标为(,)x y ,则(2,1),(,1)CP x y AP x y =--=-,---------------------------------------2分 依题意知CP AP ⊥,∴0CP AP ⋅=(2)(1)(1)0x x y y ⇒-+--=整理得:222210x y x y +--+=, ------------------------------------------------------------------------4分∵点A 在圆C 内部, ∴直线l 始终与圆C 相交,∴点P 的轨迹方程为222210x y x y +--+=.----------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ,若直线l 与x 轴垂直,则l 的方程为0x =,代入224230x y x y +---=得2230y y --=,解得1y =-或3y =,不妨设121,3y y =-=,则3OM ON ⋅=-,不符合题设, ------------------------------------------------7分 设直线l 的斜率为k ,则l 的方程为1y kx =+,由224230,1.x y x y y kx ⎧+---=⎨=+⎩消去y 得:22(1)440k x x +--=, --------------------------------8分 216(2)0k ∆=+>,则12122244,11x x x x k k+==-++,------------------------------------------------------------------------9分 由2OM ON ⋅=-得212121212(1)()12x x y y k x x k x x +=++++=-,∴22244(1)1211kk k k-+++=-++2410k k ⇒-+=,解得:2k =±分∴当2OM ON ⋅=-时,直线l 的方程为(21y x =++或(21y x =-+. --------------12分 （21）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， ∵()ln 1f x x '=+，令'()0f x =得1x e=，-------------------------------------------------------------2分 当10x e <<时'()0f x <，当1x e>时，'()0f x >， ∴函数()f x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增，----------------------------------------4分∴函数()f x 无极大值， 当1x e =时，函数()f x 在(0,)+∞有极小值，11()()f x f e e==-极小，--------------------------5分 （Ⅱ）当1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()213022f x x ax +++≤，得3ln 22x a x x ≤---，--------------6分 记()3ln 22x g x x x =---，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()()()2231113222x x g x x x x +-'=--+=-， 当∈x 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，得'()0g x >，当∈x ()1,e 时， '()0g x <∴()g x 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()1,e 上单调递减，---------------------------------------------------9分又113122e g e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()3122e g e e=---， ∵012)()1(<-+=-e e e g e g ，∴()1g g e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，-------------------------------------------------10分故()g x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1g e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故只需1a g e ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即实数a 的取值范围是13,122e e ⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦．------------------------------------------------------------12分 选做题：（22）解：（Ⅰ）由坐标变换公式1',4'.x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 得4','x x y y ==-------------------------------------2分 代入221x y +=中得2216''1x y +=，--------------------------------------------------------------------3分故曲线C 的参数方程为1cos ,4sin .x y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩(θ为参数）；----------------------------------------------------5分 （Ⅱ）由题知，121(,0),(0,1)4P P --，--------------------------------------------------------------------6分 故线段P 1 P 2中点11(,)82M --，---------------------------------------------------------------------------7分∵直线l 的斜率4k =-∴线段P 1 P 2的中垂线斜率为14，故线段P 1 P 2的中垂线的方程为111()248y x +=+------------------------------------------------------8分即832150x y --=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入得其极坐标方程为8cos 32sin 150ρθρθ--=----------------------------------------------------------10分 （23）解：(Ⅰ)当a ＝－2时，f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|， ①当2x ≤-时，原不等式化为：25,x -≥解得52x ≤-，从而52x ≤-；-------------------------1分 ②当22x -<≤时，原不等式化为：45≥，无解；---------------------------------------------------2分 ③当2x >时，原不等式化为：25,x ≥解得52x ≥，从而52x ≥；----------------------------------3分 综上得不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤2525x x x 或.----------------------------------------------------------------5分(Ⅱ)当x R ∈时，|2||||2()||2|x x a x x a a -+-≥---=- ---------------------------------------7分 所以当x R ∈时，()3f x a ≥-等价于|2|3a a -≥------（*） 当2a ≥时，（*）等价于23,a a -≥-解得52a ≥，从而52a ≥；----------------------------------8分 当2a <时，（*）等价于23,a a -≥-无解；------------------------------------------------------------9分 故所求a 的取值范围为5[,+2∞）. --------------------------------------------------------------------------10分。
江苏省镇江市扬中市第二高级中学2022-2023学年高二下学期期末检测数学试题
江苏省镇江市扬中市第二高级中学2022-2023学年高二下学期期末检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．数列{}n a 为等比数列，公比q>1，其前n 项和为Sn ，若a 5a ﹣1=15，2416a a ×=，则下列说法正确的是（ ）A ．Sn +1=2Sn +1B ．an =2nC ．数列{log 3(Sn +1)}是等比数列D ．对任意的正整数k (k 为常数)，数列{log 2(Sn +k ﹣Sn )}是公差为1的等差数列（Ⅰ）证明：DM ⊥平面SAB ； （Ⅱ）求二面角A SB C --的大小；（Ⅲ）线段SC 上是否存在一点E ，使得直线//SA 平面BDE . 若存在，确定E 点的位置；若不存在，说明理由.20．网上购物就是通过互联网检索商品信息，并通过电子订购单发出购物请求，厂商通过邮购的方式发货或通过快递公司送货上门，货到后通过银行转账微信或支付宝支､付等方式在线汇款，根据2019年中国消费者信息研究，超过40%的消费者更加频繁地使用网上购物，使得网上购物和送货上门的需求量激增，越来越多的消费者也首次通过第三方APP 品牌官方网站和微信社群等平台进行购物，某天猫专营店统计了､2020年8月5日至9日这5天到该专营店购物的人数i y 和时间第i x 天间的数据，列表如下：是否存在定点M.使得2Ð=Ð？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请QFM QMF说明理由.则有PO¢^平面ABCD，PAO¢Ð为侧棱由于0a >，而点,0b a æö-ç÷èø是直线y ax b =+与x 轴的交点，因为 然虚线不符合题意，实线中直线y ax b =+与函数()f x 相切时，在当直线y ax b =+与函数()f x 相切且切点为函数()f x 与x 轴的交点()ln 10x x x +==，所有函数()f x 与x 轴的交点为1,0e æöç÷èø，故-min1b a e ö=-÷ø.由题意得()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,1,0,0,2,0,0,0,2,1,0,1D A B C S M 所以()1,0,1DM =uuuu v ,()2,0,2SA uu v =-,()0,1,0AB =uuu v .所以0DM SA ×=uuuu v uu v ,0DM AB ×=uuuu v uuu v ,所以DM SA ^,DM AB ^,所以DM ^平面SAB .（Ⅱ）设平面SBC 的法向量为()1,,n x y z =ur ，因为()()0,2,2,2,1,0SC BC =-=-uuu v uuu v .所以1100SC n BC n ì×=ïí×=ïîur uuu v ur uuu v ，即22020y z x y -=ìí-+=î，令1x =，则2,2y z ==.于是()11,2,2n =uu r . 因为DM ⊥平面SAB ，所以DM uuuu v 为平面SAB 的法向量，又=(1,0,1)DM uuuu v .所以2422,43,t t t t +=-ìí-=+î解得1t =-. 即(1,0)M -.综上，满足条件的点M 存在，其坐标()1,0-.【点睛】方法点睛：（1）解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．。
江苏省淮安市2014-2015学年高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
第10题图淮安市2014－2015学年度第二学期期末高二调研测试数 学 试 卷（理） 2015.6本试卷满分共160分；考试时间120分钟。
参考公式：圆锥的体积公式：12V Sh =圆锥，其中S 是圆锥的底面面积，h 是圆锥的高． 一．填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分．只要求写出结果，不必写出计算和推理过程．请把答案写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1．复数21i z =-i(i 为虚数单位)的实部是 ▲ ．2．若命题p ：,sin x R x x ∃∈=，则p ⌝为 ▲ ．3. 设向量()1,31,2m n --a =，()2,31,34m n +-b =，若a ∥b ，则⋅a b = ▲ ． 4．计算12122134-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦▲． 5．已知52x ⎛⎝的展开式中的常数项为__ ▲ ． 6．已知圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为23π的扇形，则该圆锥的体积为 ▲． 7．组合数0243434343434C C C C ++++被9除的余数是 ▲ ． 8．已知双曲线22221x ya b-= (0,0a b >>)的渐近线方程是y =，且与抛物线216y x =有共同焦点，则双曲线中心到准线的距离为_ ▲ _．9．若从4名数学教师中任意选出2人，分配到4个班级任教，每人任教2个班级，则不同的任课方案有 ▲ 种（用数字作答）．10．如图，桌面上摆有三串冰糖葫芦，第一串3颗，第二串2颗，第三串1颗。
小明每次从中取走一颗，若上面的冰糖葫芦取走后才能取下面 的冰糖葫芦，则冰糖葫芦A 恰好在第五次被取走，且 冰糖葫芦B 恰好在第六次被取走的取法数为_ ▲__． 11．从装有编号为1,2,3,,1n +的1+n 个球的口袋中取出m 个球（0,,m n m n <∈N ≤），共有1m n C +种取法。
在这1m n C +种取法中，不取1号球有01m n C C 种取法；必取1号球有111m n C C -种取法。
2014-2015学年江苏省镇江市扬中二中高一(上)期末数学模拟试卷(一)
2014-2015学年江苏省镇江市扬中二中高一（上）期末数学模拟试卷（一）一、填空题1．（3.00分）若角120°的终边上有一点（﹣4，a），则a的值是．2．（3.00分）函数f（x）=的定义域为．3．（3.00分）若函数y=lnx+2x﹣6的零点为x0，则满足k≤x0的最大整数k=．4．（3.00分）函数的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式子是．5．（3.00分）已知，，则tan（2α﹣β）=．6．（3.00分）已知cos（α﹣）=﹣，α∈（0，），则cos（α+）﹣sinα的值是．7．（3.00分）f（x）=sin2ωx+1（ω＞0）在区间[﹣，]上为增函数，则ω的最大值为．8．（3.00分）已知m＞2，则函数f（θ）=sin2θ+mcosθ，θ∈R的最大值g（m）=．9．（3.00分）已知函数log a（0＜a＜1）在区间（a，1）上的值域是（1，+∞），则实数a的值为．10．（3.00分）已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=1+2x，则=．11．（3.00分）已知实数m≠0，函数，若f（2﹣m）=f（2+m），则实数m的值为．12．（3.00分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，则a+b的值为．13．（3.00分）给出下列命题：①函数是奇函数；②存在实数x，使sinx+cosx=2；③若α，β是第一象限角且α＜β，则ta nα＜tanβ；④是函数的一条对称轴；⑤函数的图象关于点成中心对称．其中正确命题的序号为．14．（3.00分）若函数f（x）=min{2x，x+2，10﹣x}（x≥0），则f（x）的最大值是．二、解答题：15．（14.00分）（1）已知角α终边经过点P（x，﹣）（x≠0），且cosα=x．求sinα+的值．（2）已知sin（3π﹣α）=﹣cos（﹣β），sin（﹣α）=﹣cos（π+β），α，β∈（0，π），求α，β的值．16．已知α∈（，π），sinα=．（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值．17．已知函数．（1）当时，若，求函数f（x）的值；（2）当时，求函数的值域；（3）把函数y=f（x）的图象按向量平移得到函数g（x）的图象，若函数g（x）是偶函数，写出最小的向量的坐标．18．（16.00分）某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用y表示出租所有自行车的日净收入（即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得）．（1）求函数y=f（x）的解析式及定义域；（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？19．（16.00分）设函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求常数k的值；（2）若a＞1，试判断函数f（x）的单调性，并加以证明；（3）若已知f（1）=，且函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．20．（16.00分）设a为实数，记函数的最大值为g（a）．（1）若，解关于求x的方程f（x）=1；（2）求g（a）．2014-2015学年江苏省镇江市扬中二中高一（上）期末数学模拟试卷（一）参考答案与试题解析一、填空题1．（3.00分）若角120°的终边上有一点（﹣4，a），则a的值是4．【解答】解：由题意可知：tan120°=，所以a=4故答案为：42．（3.00分）函数f（x）=的定义域为（0，2）∪（2，3] ．【解答】解：要使函数有意义，必须：，解得x∈（0，2）∪（2，3]．所以函数的定义域是：（0，2）∪（2，3]．故答案为：（0，2）∪（2，3]．3．（3.00分）若函数y=lnx+2x﹣6的零点为x0，则满足k≤x0的最大整数k=2．【解答】解：∵f（2）=ln2﹣2＜0，f（3）=ln3＞0，∴函数y=lnx+2x﹣6的零点x0∈（2，3）．∴满足k≤x0的最大整数k=2．故答案为2．4．（3.00分）函数的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式子是．【解答】解：函数的图象向右平移个单位，得到函数=，再将图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式子是：．故答案为：．5．（3.00分）已知，，则tan（2α﹣β）=1．【解答】解：由==2tanα=1，解得tanα=，又tan（α﹣β）=，则tan（2α﹣β）=tan[α+（α﹣β）]===1．故答案为：16．（3.00分）已知cos（α﹣）=﹣，α∈（0，），则cos（α+）﹣sinα的值是．【解答】解：∵cos（α﹣）=﹣，α∈（0，），∴cos（α﹣）=﹣cos （α﹣+π）=﹣cos（α﹣）=，cos（α﹣）=．∴cos（﹣α）=＜．再由α∈（0，），可得﹣α＞（舍去），或﹣＜﹣α＜﹣，∴sin（﹣α）=．cos（α+）﹣sinα=sin（﹣α）﹣sinα=2cos sin=sin（﹣α）=．故答案为：．7．（3.00分）f（x）=sin2ωx+1（ω＞0）在区间[﹣，]上为增函数，则ω的最大值为．【解答】解：∵f（x）=sin2ωx+1（ω＞0）在区间[﹣，]上为增函数，可得﹣•2ω≥2kπ﹣，且•2ω≤2kπ+，k∈z，求得ω≤，故ω的最大值为，故答案为：．8．（3.00分）已知m＞2，则函数f（θ）=sin2θ+mcosθ，θ∈R的最大值g（m）= m．【解答】解：由三角函数的知识可得f（θ）=sin2θ+mcosθ=﹣cos2θ+mcosθ+1，令cosθ=t，则t∈[﹣1，1]可得函数化为y=﹣t2+mt+1，t∈[﹣1，1]配方可得y=，可知关于t的函数图象为开口向下，对称轴为t=的抛物线一段，又m＞2，故，故函数在[﹣1，1]单调递增，故g（m）=﹣12+m×1+1=m故答案为：m9．（3.00分）已知函数log a（0＜a＜1）在区间（a，1）上的值域是（1，+∞），则实数a的值为﹣1．【解答】解：由题意，y=log a在区间（a，1）上是增函数，∵函数在区间（a，1）上的值域是（1，+∞），∴log a=1，∴=a，∴a2+2a﹣1=0，∵0＜a＜1，故答案为：﹣1．10．（3.00分）已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=1+2x，则=﹣9．【解答】解：因为：log8=﹣3；∴=f（﹣3）；∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=1+2x，∴f（﹣3）=﹣f（3）=﹣（1+23）=﹣9．故答案为：﹣9．11．（3.00分）已知实数m≠0，函数，若f（2﹣m）=f（2+m），则实数m的值为和8．【解答】解：∵，∴f（x）在x≤2和x＞2时，函数均为一次函数，∵f（2﹣m）=f（2+m），∴2﹣m和2+m分别在x≤2和x＞2两段上各一个，①当2﹣m≤2，且2+m＞2，即m＞0时，∴f（2﹣m）=3（2﹣m）﹣m=6﹣4m，f（2+m）=﹣（2+m）﹣2m=﹣2﹣3m，∵f（2﹣m）=f（2+m），∴6﹣4m=﹣2﹣3m，∴m=8，；②当2﹣m＞2，且2+m≤2，即m＜0时，∴f（2﹣m）=﹣（2﹣m）﹣2m=﹣2﹣m，f（2+m）=3（2+m）﹣m=6+2m，∵f（2﹣m）=f（2+m），∴﹣2﹣m=6+2m，综合①②，可得实数m的值为和8．故答案为：和8．12．（3.00分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，则a+b的值为1．【解答】解：函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b转化为：g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a∴函数的对称轴方程x=1，∵a＞0，∴x∈[1，+∞）为单调递增函数在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，∴即解得∴a+b=1故答案为：113．（3.00分）给出下列命题：①函数是奇函数；②存在实数x，使sinx+cosx=2；③若α，β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；④是函数的一条对称轴；⑤函数的图象关于点成中心对称．其中正确命题的序号为①④．【解答】解：①函数=﹣sin x，而y=﹣sin x是奇函数，故函数是奇函数，故①正确；②因为sinx，cosx不能同时取最大值1，所以不存在实数x使sinx+cosx=2成立，故②错误．③令α=，β=，则tanα=，tanβ=tan=tan=，tanα＞tanβ，故③不成立．④把x=代入函数y=sin（2x+），得y=﹣1，为函数的最小值，故是函数的一条对称轴，故④正确；⑤因为y=sin（2x+）图象的对称中心在图象上，而点不在图象上，所以⑤不成立．故答案为：①④．14．（3.00分）若函数f（x）=min{2x，x+2，10﹣x}（x≥0），则f（x）的最大值是6．【解答】解：∵min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，∴画出3个函数：y=2x，y=x+2，y=10﹣x的图象，取3个图象中下方的部分，可得函数f（x）=min{2x，x+2，10﹣x}的图象：观察图象可知，当0≤x≤2时，f（x）=2x，当2≤x≤4时，f（x）=x+2，当x＞4时，f（x）=10﹣x，f（x）的最大值在x=4时取得为6，故答案为：6．二、解答题：15．（14.00分）（1）已知角α终边经过点P（x，﹣）（x≠0），且cosα=x．求sinα+的值．（2）已知sin（3π﹣α）=﹣cos（﹣β），sin（﹣α）=﹣cos（π+β），α，β∈（0，π），求α，β的值．【解答】解：（1）（满分14分）∵P（x，﹣）（x≠0），∴点P到原点的距离r=又cosα=x．∴cos=x．∵x≠0，∴x=，∴r=2…（6分）当x=时，P点坐标为（，﹣），由三角函数的定义，有sin α=﹣，，∴sinα+=﹣﹣=﹣；…（10分）当x=﹣时，同样可求得sin α+=…（14分）．（2）∵sin（3π﹣α）=﹣cos（﹣β），sin（﹣α）=﹣cos（π+β），∴由诱导公式化简可得sinα=sinβ，cosα=sinβ，∴两边平方后相加可得：1=2，可解得cosβ=∵α，β∈（0，π），∴可解得：，β=或，β=．16．已知α∈（，π），sinα=．（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值．【解答】解：α∈（，π），sinα=．∴cosα=﹣=（1）sin（+α）=sin cosα+cos sinα==﹣；∴sin（+α）的值为：﹣．（2）∵α∈（，π），sinα=．∴cos2α=1﹣2sin2α=，sin2α=2sinαcosα=﹣∴cos（﹣2α）=cos cos2α+sin sin2α==﹣．cos（﹣2α）的值为：﹣．17．已知函数．（1）当时，若，求函数f（x）的值；（2）当时，求函数的值域；（3）把函数y=f（x）的图象按向量平移得到函数g（x）的图象，若函数g（x）是偶函数，写出最小的向量的坐标．【解答】解：（1）∵，∴，==．（2）∵，∴，，=．（3）设，所以，要使g（x）是偶函数，即要，即，，当k=﹣1时，最小，此时，b=0，即向量的坐标为．18．（16.00分）某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用y表示出租所有自行车的日净收入（即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得）．（1）求函数y=f（x）的解析式及定义域；（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？【解答】解：（1）当x≤6时，y=50x﹣115，令50x﹣115＞0，解得x＞2.3．∵x∈N，∴x≥3，∴3≤x≤6，且x∈N．当6＜x≤20时，y=[50﹣3（x﹣6）]x﹣115=﹣3x2+68x﹣115综上可知（2）当3≤x≤6，且x∈N时，∵y=50x﹣115是增函数，∴当x=6时，y max=185元．当6＜x≤20，x∈N时，y=﹣3x2+68x﹣115=，∴当x=11时，y max=270元．综上所述，当每辆自行车日租金定在11元时才能使日净收入最多，为270元．19．（16.00分）设函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求常数k的值；（2）若a＞1，试判断函数f（x）的单调性，并加以证明；（3）若已知f（1）=，且函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．【解答】解：（1）∵f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．∴f（0）=0，即k﹣1=0，解得k=1．（2）∵f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1），当a＞1时，f（x）在R上递增．理由如下：设m＜n，则f（m）﹣f（n）=a m﹣a﹣m﹣（a n﹣a﹣n）=（a m﹣a n）+（a﹣n﹣a﹣m）=（a m﹣a n）（1+），由于m＜n，则0＜a m＜a n，即a m﹣a n＜0，f（m）﹣f（n）＜0，即f（m）＜f（n），则当a＞1时，f（x）在R上递增．（3）∵f（1）=，∴a﹣=，即3a2﹣8a﹣3=0，解得a=3或a=﹣（舍去）．∴g（x）=32x+3﹣2x﹣2m（3x﹣3﹣x）=（3x﹣3﹣x）2﹣2m（3x﹣3﹣x）+2，令t=3x﹣3﹣x，∵x≥1，∴t≥f（1）=，∴（3x﹣3﹣x）2﹣2m（3x﹣3﹣x）+2=（t﹣m）2+2﹣m2，当m时，2﹣m2=﹣2，解得m=2，不成立舍去．当m时，（）2﹣2m×+2=﹣2，解得m=，满足条件，∴m=．20．（16.00分）设a为实数，记函数的最大值为g（a）．（1）若，解关于求x的方程f（x）=1；（2）求g（a）．【解答】解：（1）由于当，方程f（x）=1，即，即，所以，sinxcosx+sinx+cosx=1 （1）．…1分令t=sinx+cosx，则t2=1+2sinxcosx，所以．…3分所以方程（1）可化为t2+2t﹣3=0，解得t=1，t=﹣3（舍去）．…5分所以sinx+cosx=1，即，解得所求x的集合为．…7分（2）令，∴t的取值范围是．由题意知g（a）即为函数m（t）=at2+t﹣a，的最大值，…9分∵直线是抛物线m（t）=at2+t﹣a的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：①当a＞0时，函数y=m（t），的图象是开口向上的抛物线的一段，由知m（t）在上单调递增，故g（a）==． (11)分②当a=0时，m（t）=t，，有g（a）=；…12分③当a＜0时，函数y=m（t），的图象是开口向下的抛物线的一段，若，即时，g（a）=，…13分若，即时，g（a）==．…15分综上所述，有．…16分．。
2014-2015年江苏省镇江市扬中二中高一(上)数学期末模拟试卷及答案PDF(一)
2014-2015学年江苏省镇江市扬中二中高一（上）期末数学模拟试卷（一）一、填空题1．（3.00分）若角120°的终边上有一点（﹣4，a），则a的值是．2．（3.00分）函数f（x）=的定义域为．3．（3.00分）若函数y=lnx+2x﹣6的零点为x0，则满足k≤x0的最大整数k=．4．（3.00分）函数的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式子是．5．（3.00分）已知，，则tan（2α﹣β）=．6．（3.00分）已知cos（α﹣）=﹣，α∈（0，），则cos（α+）﹣sinα的值是．7．（3.00分）f（x）=sin2ωx+1（ω＞0）在区间[﹣，]上为增函数，则ω的最大值为．8．（3.00分）已知m＞2，则函数f（θ）=sin2θ+mcosθ，θ∈R的最大值g（m）=．9．（3.00分）已知函数log a（0＜a＜1）在区间（a，1）上的值域是（1，+∞），则实数a的值为．10．（3.00分）已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=1+2x，则=．11．（3.00分）已知实数m≠0，函数，若f（2﹣m）=f（2+m），则实数m的值为．12．（3.00分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，则a+b的值为．13．（3.00分）给出下列命题：①函数是奇函数；②存在实数x，使sinx+cosx=2；③若α，β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；④是函数的一条对称轴；⑤函数的图象关于点成中心对称．其中正确命题的序号为．14．（3.00分）若函数f（x）=min{2x，x+2，10﹣x}（x≥0），则f（x）的最大值是．二、解答题：15．（14.00分）（1）已知角α终边经过点P（x，﹣）（x≠0），且cosα=x．求sinα+的值．（2）已知sin（3π﹣α）=﹣cos（﹣β），sin（﹣α）=﹣cos（π+β），α，β∈（0，π），求α，β的值．16．已知α∈（，π），sinα=．（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值．17．已知函数．（1）当时，若，求函数f（x）的值；（2）当时，求函数的值域；（3）把函数y=f（x）的图象按向量平移得到函数g（x）的图象，若函数g（x）是偶函数，写出最小的向量的坐标．18．（16.00分）某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用y表示出租所有自行车的日净收入（即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得）．（1）求函数y=f（x）的解析式及定义域；（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？19．（16.00分）设函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求常数k的值；（2）若a＞1，试判断函数f（x）的单调性，并加以证明；（3）若已知f（1）=，且函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．20．（16.00分）设a为实数，记函数的最大值为g（a）．（1）若，解关于求x的方程f（x）=1；（2）求g（a）．2014-2015学年江苏省镇江市扬中二中高一（上）期末数学模拟试卷（一）参考答案与试题解析一、填空题1．（3.00分）若角120°的终边上有一点（﹣4，a），则a的值是4．【解答】解：由题意可知：tan120°=，所以a=4故答案为：42．（3.00分）函数f（x）=的定义域为（0，2）∪（2，3] ．【解答】解：要使函数有意义，必须：，解得x∈（0，2）∪（2，3]．所以函数的定义域是：（0，2）∪（2，3]．故答案为：（0，2）∪（2，3]．3．（3.00分）若函数y=lnx+2x﹣6的零点为x0，则满足k≤x0的最大整数k=2．【解答】解：∵f（2）=ln2﹣2＜0，f（3）=ln3＞0，∴函数y=lnx+2x﹣6的零点x0∈（2，3）．∴满足k≤x0的最大整数k=2．故答案为2．4．（3.00分）函数的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式子是．【解答】解：函数的图象向右平移个单位，得到函数=，再将图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式子是：．故答案为：．5．（3.00分）已知，，则tan（2α﹣β）=1．【解答】解：由==2tanα=1，解得tanα=，又tan（α﹣β）=，则tan（2α﹣β）=tan[α+（α﹣β）]===1．故答案为：16．（3.00分）已知cos（α﹣）=﹣，α∈（0，），则cos（α+）﹣sinα的值是．【解答】解：∵cos（α﹣）=﹣，α∈（0，），∴cos（α﹣）=﹣cos （α﹣+π）=﹣cos（α﹣）=，cos（α﹣）=．∴cos（﹣α）=＜．再由α∈（0，），可得﹣α＞（舍去），或﹣＜﹣α＜﹣，∴sin（﹣α）=．cos（α+）﹣sinα=sin（﹣α）﹣sinα=2cos sin=sin（﹣α）=．故答案为：．7．（3.00分）f（x）=sin2ωx+1（ω＞0）在区间[﹣，]上为增函数，则ω的最大值为．【解答】解：∵f（x）=sin2ωx+1（ω＞0）在区间[﹣，]上为增函数，可得﹣•2ω≥2kπ﹣，且•2ω≤2kπ+，k∈z，求得ω≤，故ω的最大值为，故答案为：．8．（3.00分）已知m＞2，则函数f（θ）=sin2θ+mcosθ，θ∈R的最大值g（m）= m．【解答】解：由三角函数的知识可得f（θ）=sin2θ+mcosθ=﹣cos2θ+mcosθ+1，令cosθ=t，则t∈[﹣1，1]可得函数化为y=﹣t2+mt+1，t∈[﹣1，1]配方可得y=，可知关于t的函数图象为开口向下，对称轴为t=的抛物线一段，又m＞2，故，故函数在[﹣1，1]单调递增，故g（m）=﹣12+m×1+1=m故答案为：m9．（3.00分）已知函数log a（0＜a＜1）在区间（a，1）上的值域是（1，+∞），则实数a的值为﹣1．【解答】解：由题意，y=log a在区间（a，1）上是增函数，∵函数在区间（a，1）上的值域是（1，+∞），∴log a=1，∴=a，∴a2+2a﹣1=0，∵0＜a＜1，∴a=﹣1，故答案为：﹣1．10．（3.00分）已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=1+2x，则=﹣9．【解答】解：因为：log8=﹣3；∴=f（﹣3）；∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=1+2x，∴f（﹣3）=﹣f（3）=﹣（1+23）=﹣9．故答案为：﹣9．11．（3.00分）已知实数m≠0，函数，若f（2﹣m）=f（2+m），则实数m的值为和8．【解答】解：∵，∴f（x）在x≤2和x＞2时，函数均为一次函数，∵f（2﹣m）=f（2+m），∴2﹣m和2+m分别在x≤2和x＞2两段上各一个，①当2﹣m≤2，且2+m＞2，即m＞0时，∴f（2﹣m）=3（2﹣m）﹣m=6﹣4m，f（2+m）=﹣（2+m）﹣2m=﹣2﹣3m，∵f（2﹣m）=f（2+m），∴6﹣4m=﹣2﹣3m，∴m=8，；②当2﹣m＞2，且2+m≤2，即m＜0时，∴f（2﹣m）=﹣（2﹣m）﹣2m=﹣2﹣m，f（2+m）=3（2+m）﹣m=6+2m，∵f（2﹣m）=f（2+m），∴﹣2﹣m=6+2m，∴m=．综合①②，可得实数m的值为和8．故答案为：和8．12．（3.00分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，则a+b的值为1．【解答】解：函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b转化为：g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a∴函数的对称轴方程x=1，∵a＞0，∴x∈[1，+∞）为单调递增函数在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，∴即解得∴a+b=1故答案为：113．（3.00分）给出下列命题：①函数是奇函数；②存在实数x，使sinx+cosx=2；③若α，β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；④是函数的一条对称轴；⑤函数的图象关于点成中心对称．其中正确命题的序号为①④．【解答】解：①函数=﹣sin x，而y=﹣sin x是奇函数，故函数是奇函数，故①正确；②因为sinx，cosx不能同时取最大值1，所以不存在实数x使sinx+cosx=2成立，故②错误．③令 α=，β=，则tanα=，ta nβ=tan=tan=，tanα＞tanβ，故③不成立． ④把x=代入函数y=sin （2x +），得y=﹣1，为函数的最小值，故是函数的一条对称轴，故④正确；⑤因为y=sin （2x +）图象的对称中心在图象上，而点不在图象上，所以⑤不成立． 故答案为：①④．14．（3.00分）若函数f （x ）=min {2x ，x +2，10﹣x }（x ≥0），则f （x ）的最大值是 6 ．【解答】解：∵min {a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值，∴画出3个函数：y=2x ，y=x +2，y=10﹣x 的图象，取3个图象中下方的部分，可得函数f （x ）=min {2x ，x +2，10﹣x }的图象：观察图象可知，当0≤x ≤2时，f （x ）=2x ， 当2≤x ≤4时，f （x ）=x +2， 当x ＞4时，f （x ）=10﹣x ， f （x ）的最大值在x=4时取得为6， 故答案为：6．二、解答题：15．（14.00分）（1）已知角α终边经过点P （x ，﹣）（x ≠0），且cosα=x ．求sinα+的值．（2）已知sin（3π﹣α）=﹣cos（﹣β），sin（﹣α）=﹣cos（π+β），α，β∈（0，π），求α，β的值．【解答】解：（1）（满分14分）∵P（x，﹣）（x≠0），∴点P到原点的距离r=又cosα=x．∴cos=x．∵x≠0，∴x=，∴r=2…（6分）当x=时，P点坐标为（，﹣），由三角函数的定义，有sin α=﹣，，∴sinα+=﹣﹣=﹣；…（10分）当x=﹣时，同样可求得sin α+=…（14分）．（2）∵sin（3π﹣α）=﹣cos（﹣β），sin（﹣α）=﹣cos（π+β），∴由诱导公式化简可得sinα=sinβ，cosα=sinβ，∴两边平方后相加可得：1=2，可解得cosβ=∵α，β∈（0，π），∴可解得：，β=或，β=．16．已知α∈（，π），sinα=．（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值．【解答】解：α∈（，π），sinα=．∴cosα=﹣=（1）sin（+α）=sin cosα+cos sinα==﹣；∴sin（+α）的值为：﹣．（2）∵α∈（，π），sinα=．∴cos2α=1﹣2sin2α=，sin2α=2sinαcosα=﹣∴cos（﹣2α）=cos cos2α+sin sin2α==﹣．cos（﹣2α）的值为：﹣．17．已知函数．（1）当时，若，求函数f（x）的值；（2）当时，求函数的值域；（3）把函数y=f（x）的图象按向量平移得到函数g（x）的图象，若函数g（x）是偶函数，写出最小的向量的坐标．【解答】解：（1）∵，∴，==．（2）∵，∴，，=．（3）设，所以，要使g（x）是偶函数，即要，即，，当k=﹣1时，最小，此时，b=0，即向量的坐标为．18．（16.00分）某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用y表示出租所有自行车的日净收入（即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得）．（1）求函数y=f（x）的解析式及定义域；（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？【解答】解：（1）当x≤6时，y=50x﹣115，令50x﹣115＞0，解得x＞2.3．∵x∈N，∴x≥3，∴3≤x≤6，且x∈N．当6＜x≤20时，y=[50﹣3（x﹣6）]x﹣115=﹣3x2+68x﹣115综上可知（2）当3≤x≤6，且x∈N时，∵y=50x﹣115是增函数，∴当x=6时，y max=185元．当6＜x≤20，x∈N时，y=﹣3x2+68x﹣115=，∴当x=11时，y max=270元．综上所述，当每辆自行车日租金定在11元时才能使日净收入最多，为270元．19．（16.00分）设函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求常数k的值；（2）若a＞1，试判断函数f（x）的单调性，并加以证明；（3）若已知f（1）=，且函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．【解答】解：（1）∵f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．∴f（0）=0，即k﹣1=0，解得k=1．（2）∵f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1），当a＞1时，f（x）在R上递增．理由如下：设m＜n，则f（m）﹣f（n）=a m﹣a﹣m﹣（a n﹣a﹣n）=（a m﹣a n）+（a﹣n﹣a﹣m）=（a m﹣a n）（1+），由于m＜n，则0＜a m＜a n，即a m﹣a n＜0，f（m）﹣f（n）＜0，即f（m）＜f（n），则当a＞1时，f（x）在R上递增．（3）∵f（1）=，∴a﹣=，即3a2﹣8a﹣3=0，解得a=3或a=﹣（舍去）．∴g（x）=32x+3﹣2x﹣2m（3x﹣3﹣x）=（3x﹣3﹣x）2﹣2m（3x﹣3﹣x）+2，令t=3x﹣3﹣x，∵x≥1，∴t≥f（1）=，∴（3x﹣3﹣x）2﹣2m（3x﹣3﹣x）+2=（t﹣m）2+2﹣m2，当m时，2﹣m2=﹣2，解得m=2，不成立舍去．当m时，（）2﹣2m×+2=﹣2，解得m=，满足条件，∴m=．20．（16.00分）设a为实数，记函数的最大值为g（a）．（1）若，解关于求x的方程f（x）=1；（2）求g（a）．【解答】解：（1）由于当，方程f（x）=1，即，即，所以，sinxcosx+sinx+cosx=1 （1）．…1分令t=sinx+cosx，则t2=1+2sinxcosx，所以．…3分所以方程（1）可化为t2+2t﹣3=0，解得t=1，t=﹣3（舍去）．…5分所以sinx+cosx=1，即，解得所求x的集合为．…7分（2）令，∴t的取值范围是．∵直线是抛物线m （t ）=at 2+t ﹣a 的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：①当a ＞0时，函数y=m （t ），的图象是开口向上的抛物线的一段， 由知m （t ）在上单调递增，故g （a ）==． (11)分②当a=0时，m （t ）=t ，，有g （a ）=；…12分③当a ＜0时，函数y=m （t ），的图象是开口向下的抛物线的一段，若，即时，g （a ）=，…13分若，即时，g （a ）==．…15分综上所述，有． (16)分．。
2014-2015学年江苏省南京市江宁高级中学高二(下)期末数学模拟试卷(理科)
2014-2015学年江苏省南京市江宁高级中学高二（下）期末数学模拟试卷（理科） 一、填空题（每题5分，共70分） 1．(★★★★)已知集合U=R，集合M={y|y=2 x，x∈R}，集合N={x|y=lg（3-x）}，则（∁ UM）∩N= （-∞，0 ．
2．(★★★★)若1+2ai=（1-bi）i，其中a、b∈R，i是虚数单位，则|a+bi|= ． 3．(★★★★)某学校高中三个年级的学生人数分别为：高一 950人，髙二 1000人，高三1050人．现要调查该校学生的视力状况，考虑采用分层抽样的方法，抽取容量为60的样本，则应从高三年级中抽取的人数为 21 ．
4．(★★★★)某国际体操比赛，我国将派5名正式运动员和3名替补运动员参加，最终将有3人上场比赛，其中甲、乙两名替补运动员均不上场比赛的概率是 （结果用最简分数表示）．
5．(★★★)以椭圆 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为 ． 6．(★★★★)执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为31，则图中判断框内①处应填的整数为 4 ．
7．(★★★)在直角坐标系中，不等式组 表示平面区域面积是4，则常数a的值 0 ． 8．(★★★★)（文科）已知函数f（x）=a+ 是奇函数，则实数a的值为 ． 9．(★★★★)“ ”是“不等式2x 2-5x-3＜0成立”的 充分不必要 条件（在“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选一个填写）．
10．(★★★★)在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是 ．
11．(★★★★)在平面直角坐标系xOy中，抛物线x 2=2py（p＞0）上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为 4 ．
12．(★★)在△ABC中，若BC⊥AC，AC=b，BC=a，则△ABC的外接圆半径 ，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S-ABC中，若SA、SB、SC两两垂直，SA=a，SB=b，SC=c，则四面体S-ABC的外接球半径R= ．
2015-2016学年江苏省扬州一中高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年江苏省扬州一中高二（下）期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知函数f（x）＝|x﹣2|，g（x）＝﹣|x+3|+m，若函数f（x）的图象恒在函数g （x）图象上，则实数m的取值范围是．2．（5分）命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定是．3．（5分）已知集合A＝{0，a}，B＝{3a，1}，若A∩B＝{1}，则A∪B＝．4．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）+B（A＞0，ω，0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（π）的值为．5．（5分）3＜m＜9是方程+＝1表示的椭圆的条件．（从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选择一个正确的填写）6．（5分）设（1﹣x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，则a0，a1，a2，…，a7中最大的数是．7．（5分）已知定义在R上的奇函数y＝f（x）满足：①当x∈（0，1]时，f（x）＝（）x；②f（x）的图象关于直线x＝1对称，则f（﹣log224）＝．8．（5分）设函数f（x）＝x2﹣2ax+3﹣2a的两个零点x1，x2，且在区间（x1，x2）上恰有两个正整数，则实数a的取值范围为．9．（5分）已知函数f（x）＝3sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜π）的部分图象如图所示，则该函数的解析式为f（x）＝．10．（5分）若复数z满足|z﹣1﹣2i|＝2，则|z﹣3|的最小值为．11．（5分）设函数f（x）＝的值域为R，则实数a的取值范围为．12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）＞1﹣f（x），f（0）＝6，f′（x）是f （x）的导函数，则不等式e x f（x）＞e x+5（其中e为自然对数的底数）的解集为．13．（5分）若函数f（x）＝2ae x﹣x2+3（a为常数，e是自然对数的底）恰有两个极值点，则实数a的取值范围是．14．（5分）如图，矩形ABCD的三个顶点A、B、C分别在函数y＝x，y＝，y ＝（）x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A的纵坐标为2，则点D 的坐标为．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（15分）已知A＝{x|﹣x2+3x﹣2＞0}，B＝{x|x2﹣（a+1）x﹣a≤0}．（1）化简集合B；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．16．（15分）已知虚数z满足|2z+5|＝|z+10|．（1）求|z|；（2）是否存在实数m，是+为实数，若存在，求出m值；若不存在，说明理由；（3）若（1﹣2i）z在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上，求复数z．17．（15分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的图象经过点（0，1），且其相邻两对称轴之间的距离为π．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设若sinα+f（α）＝，α∈（0，π），求的值．18．（15分）现代人对食品安全的要求越来越高，无污染，无化肥农药等残留的有机蔬菜更受市民喜爱，为了适应市场需求，我市决定对有机蔬菜实行政府补贴，规定每种植一亩有机蔬菜性补贴农民x元，经调查，种植亩数与补贴金额x之间的函数关系式为f（x）＝8x+800（x≥0），每亩有机蔬菜的收益（元）与补贴金额x之间的函数关系式为g（x）＝．（1）在政府未出台补贴措施时，我市种植这种蔬菜的总收益为多少元？（2）求出政府补贴政策实施后，我市有机蔬菜的总收益W（元）与政府补贴数额x之间的函数关系式；（3）要使我市有机蔬菜的总收益W（元）最大，政府应将每亩补贴金额x定为多少元？19．（15分）对于函数y＝f（x），若x0满足f（x0）＝x0，则称x0位函数f（x）的一阶不动点，若x0满足f（f（x0））＝x0，则称x0位函数f（x）的二阶不动点，若x0满足f（f（x0））＝x0，且f（x0）≠x0，则称x0为函数f（x）的二阶周期点．（1）设f（x）＝kx+1．①当k＝2时，求函数f（x）的二阶不动点，并判断它是否是函数f（x）的二阶周期点；②已知函数f（x）存在二阶周期点，求k的值；（2）若对任意实数b，函数g（x）＝x2+bx+c都存在二阶周期点，求实数c的取值范围．20．（15分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+x．（1）若f（1）＝0，求函数f（x）的单调减区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值；（3）若a＝﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2＝0，证明：x1+x2≥．[附加题]（共4小题，满分0分）21．已知直线l的参数方程：（t为参数）和圆C的极坐标方程：．（1）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）判断直线l和圆C的位置关系．22．已知矩阵M＝，N＝，且MN＝．（Ⅰ）求实数a，b，c，d的值；（Ⅱ）求直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程．23．如图，AB为圆O的直径，BC与圆O相切于点B，D为圆O上的一点，AD∥OC，连接CD．求证：CD为圆O的切线．24．某校开设8门校本课程，其中4门课程为人文科学，4门为自然科学，学校要求学生在高中三年内从中选修3门课程，假设学生选修每门课程的机会均等．（1）求某同学至少选修1门自然科学课程的概率；（2）已知某同学所选修的3门课程中有1门人文科学，2门自然科学，若该同学通过人文科学课程的概率都是，自然科学课程的概率都是，且各门课程通过与否相互独立．用ξ表示该同学所选的3门课程通过的门数，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．2015-2016学年江苏省扬州一中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．【解答】解：f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，即为|x﹣2|＞﹣|x+3|+m对任意实数x恒成立，即|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，又由不等式的性质，对任意实数x恒有|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|＝5，于是得m＜5，∴m的取值范围是（﹣∞，5）．故答案为：（﹣∞，5）．2．【解答】解：命题“∀x∈R，x2+x+1＞0“的否定是：∃x∈R，x2+x+1≤0．故答案为：∃x∈R，x2+x+1≤0．3．【解答】解：集合A＝{0，a}，B＝{3a，1}，又∵A∩B＝{1}，∴a＝1，3a＝3，故A＝{0，1}，B＝{1，3}．∴A∪B＝{0，1，3}故答案为：{0，1，3}．4．【解答】解：由函数f（x）＝A sin（ωx+φ）+B（A＞0，ω，0，|φ|＜）的部分图象，可得A+B＝4，﹣A+B＝0，•＝﹣，求得B＝2，A＝2，ω＝2，∴f（x）＝2sin（2x+φ）+2．再根据图象过点（，2），可得sin（2•+φ）＝0，∴φ＝，f（x）＝2sin（2x+）+2，∴f（π）＝2sin（2π+）+2＝3，故答案为：3．5．【解答】解：（1）若3＜m＜9，则m﹣3＞0，9﹣m＞0；∵m﹣3﹣（9﹣m）＝2m﹣12，3＜m＜9；∴m＝6时，m﹣3＝9﹣m；∴此时方程表示圆，不表示椭圆；∴3＜m＜9得不到方程表示椭圆；即3＜m＜9不是方程表示椭圆的充分条件；（2）若方程表示椭圆，则；∴3＜m＜9，且m≠6；即方程表示椭圆可得到3＜m＜9；∴3＜m＜9是方程表示椭圆的必要条件；综上得，3＜m＜9是方程表示椭圆的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．6．【解答】解：T r+1＝C7r17﹣r（﹣x）r＝C7r（﹣1）r x r所以a0，a1，a2，…，a7中，奇数项为正，偶数项为负，且|a3|＝|a4|＝C73，所以最大的数是a4．故答案为：a47．【解答】解：f（x）的图象关于x＝1对称；∴f（x）＝f（2﹣x）＝﹣f（x﹣2）＝f（x﹣4）；即f（x）＝f（x﹣4）；∴f（﹣log224）＝﹣f（log224）＝﹣f（log224﹣4）＝﹣f（log23﹣1）；∵log23﹣1∈（0，1）；∴＝＝；∴．故答案为：．8．【解答】解：∵f（x）＝x2 ﹣2ax+3﹣2a有两个零点x1，x2，∴△＝4a2+8a﹣12＝4（a2+2a﹣3）＞0，∴a＜﹣3，或a＞1．且x1+x2 ＝2a，x1•x2 ＝3﹣2a．当a＜﹣3时，x1+x2 ＝2a＜0，x1•x2 ＝3﹣2a＞0，x1＜0，x2 ＜0，不满足条件：在区间（x1，x2）上恰有两个正整数，∴应有a＞1．由于f（﹣1）＝4＞0，f（1）＝4（1﹣a）＜0，故这两个正整数分别为1 和2，∴，求得＜a≤，故实数a的取值范围为{a|＜a≤}，故答案为：{a|＜a≤}．9．【解答】解：根据函数f（x）＝3sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜π）的部分图象，可得＝3+1，求得ω＝．再根据五点法作图可得•（﹣1）+φ＝0，求得φ＝，故f（x）＝，故答案为：．10．【解答】解：∵复数z满足|z﹣1﹣2i|＝2，∴复数z到（1，2）点的距离为2，∴|z﹣3|的几何意义是复数对应点，与（3，0）距离，所求的最小值为：﹣2＝2﹣2，故答案为：2﹣2．11．【解答】解：当x≥2时，f（x）＝x+a2≥2+a2，当x＜2时，f（x）＝﹣x2+2x+a+1＝﹣（x﹣1）2+a+2≤a+2，∵f（x）＝的值域为R，∴2+a2≤a+2，即a2﹣a≤0，解得0≤a≤1，故答案为：[0，1]12．【解答】解：设g（x）＝e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）＝e x f（x）+e x f′（x）﹣e x＝e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f'（x）＞1﹣f（x），∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y＝g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+5，∴g（x）＞5，又∵g（0）＝e0f（0）﹣e0＝6﹣1＝5，∴g（x）＞g（0），∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞）故答案为：（0，+∞）．13．【解答】解：函数恰有两个极值点，等价于f′（x）＝2ae x﹣2x恰有两个零点，①当a＜0时，函数f（x）＝2ae x﹣x2+3，函数f′（x）＝2ae x﹣2x，令f′（x）＝0，ae x＝x，由函数图象可知，y＝ae x和y＝x仅有一个交点，∴f（x）＝2ae x﹣x2+3仅有一个极值点；②当a＝0时，f（x）＝﹣x2+3，由二次函数图象可知，f（x）仅有一个极值点；③当a＞0时，函数f（x）＝2ae x﹣x2+3，函数f′（x）＝2ae x﹣2x，令f′（x）＝0，a＝，设g（x）＝，则g′（x）＝，令g′（x）＝0，解得x＝1，当g′（x）＞0，x＜1，当g′（x）＜0，x＞1，g（x）在（﹣∞，1）单调递增，（1，+∞）单调递减；∴g（x）最大值为g（1）＝，总上可知，实数a的取值范围是（0，）．故答案为：（0，）．14．【解答】解：由题意可得，A、B、C点坐标分别为，（4，2），，设D （m，n），再由矩形的性质可得＝，故（m﹣，n﹣2）＝（0，﹣），∴m﹣＝0，n﹣2＝﹣．解得m＝，n＝，故点D的坐标为（，），故答案为（，）．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．【解答】解：（1）原不等式可化为（x﹣a）（x﹣1）≤0．①当a＞1时，1≤x≤a，∴B＝[1，a]；②当a＝1时，x＝1，∴B＝{1}；③当a＜1时，a≤x≤1，∴B＝[a，1]．（2）∵A＝（1，2），A⊆B，∴a≥2．16．【解答】解：（1）设z＝x+yi（x，y∈R且y≠0），由|2z+5|＝|z+10|得：（2x+5）2+4y2＝（x+10）2+y2化简得：x2+y2＝25，所以|z|＝5．…（4分）（2）∵，∴，又y≠0且m2 +n2＝25，∴，解得m＝±5．…（8分）（3）由（1﹣2i）z＝（1﹣2i）（x+yi）＝（x+2y）+（y﹣2x）i及已知得：x+2y＝y﹣2x，即y＝﹣3x，代入x2+y2＝25解得：或，故或．…（14分）17．【解答】解：（1）根据函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的图象经过点（0，1），可得sinφ＝1，∴φ＝，．∵其相邻两对称轴之间的距离为π，∴•＝π，求得ω＝1，∴f（x）＝sin（x+）＝cos x．（2）∵sinα+f（α）＝，α∈（0，π），即sinα+cosα＝，平方可得sinαcosα═﹣，∴α为钝角，sinα﹣cosα＝＝，∴＝＝＝＝﹣．18．【解答】解：（1）在政府未出台补贴措施时，我市种植这种蔬菜的总收益为800×2850＝2280000元；（2）政府补贴政策实施后，我市有机蔬菜的总收益W＝f（x）g（x）＝；（3）x＞50，W＝﹣24（x+100）（x﹣1050）＝﹣24（x﹣475）2+7935000，∴x＝475时，W max＝7935000；0≤x≤50，W═24（x+100）（x+950）单调递增，∴x＝50时，W max＝3600000；综上所述，要使我市有机蔬菜的总收益W（元）最大，政府应将每亩补贴金额x定为475元．19．【解答】解：（1）①当k＝2时，f（x）＝2x+1，f（f（x））＝2（2x+1）+1＝4x+3，解4x+3＝x得：x＝﹣1，即﹣1为函数f（x）的二阶不动点，时f（﹣1）＝﹣1，即﹣1不是函数f（x）的二阶周期点；②∵f（x）＝kx+1，∴f（f（x））＝k2x+k+1，令f（f（x））＝x，则x＝＝，（k≠±1），或x＝0，k＝﹣1，令f（x）＝x，则x＝，若函数f（x）存在二阶周期点，则k＝﹣1，（2）若x0为函数f（x）的二阶周期点．则f（f（x0））＝x0，且f（x0）≠x0，若x1为函数f（x）的二阶不动点，则f（f（x1））＝x1，且f（x1）＝x1，则f（x0）＝f（x1），则x0≠x1，且f（x0）+f（x1）＝﹣b，即函数g（x）＝x2+bx+c＝x恒有两个不等的实数根，故△＝（b﹣1）2﹣4c＞0恒成立，解得：c＜0．20．【解答】解：（1）∵f（x）＝lnx﹣ax2+x，f（1）＝0，∴a＝2，且x＞0．∴f（x）＝lnx﹣x2+x，∴＝，当f′（x）＜0，即x＞1时，函数f（x）的单调递减，∴函数f（x）的单调减区间（1，+∞）．（2）令F（x）＝f（x）﹣ax+1＝lnx﹣ax2+（1﹣a）x+1，则F′（x）＝﹣ax+1﹣a＝﹣＝﹣a，当a≤0时，在（0，+∞）上，函数F（x）单调递增，且F（1）＝2﹣＞0，不符合题意，当a＞0时，函数F（x）在x＝时取最大值，F（）＝ln+，令h（a）＝ln+＝，则根据基本函数性质可知，在a＞0时，h（a）单调递减，又∵h（1）＝＞0，h（2）＝＜0，∴符合题意的整数a的最小值为2．（3）∵a＝﹣2，∴f（x）＝lnx+x2+x，∴f（x1）+f（x2）+x1x2＝lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x1x2+x2＝（x1+x2）2+x1+x2+lnx1x2﹣x1x2令g（x）＝lnx﹣x，则g′（x）＝，∴0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，x＞1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）max＝g（1）＝﹣1，∴f（x1）+f（x2）+x1x2≤（x1+x2）2+（x1+x2）﹣1，即（x1+x2）2+（x1+x2）﹣1≥0，又∵x1，x2是正实数，∴x1+x2≥．[附加题]（共4小题，满分0分）21．【解答】解：（1）消去参数t，把直线l的参数方程化为普通方程是2x﹣y＝﹣3，即2x﹣y+3＝0；圆C的极坐标方程为，化简得，ρ＝2sinθcos+2cosθsin，即ρ2＝2ρsinθ+2ρcosθ，化为普通方程是x2+y2＝2y+2x，∴（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2；（2）圆心C（1，1）到直线l的距离为d＝＝＝＞，∴d＞r，∴直线l和圆C相离．22．【解答】解：（Ⅰ）由题设得，解得；（Ⅱ）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线y＝3x上的两（0，0），（1，3），由＝，＝得点（0，0），（1，3）在矩阵M所对应的线性变换下的像是（0，0），（﹣2，2），从而直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为y＝﹣x．23．【解答】证明：连接OD，∵AD∥OC，∴∠A＝∠COB，∠ADO＝∠COD，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，∴∠COB＝∠COD，在△COB和△COD中，OB＝OD，∠COB＝∠COD，OC＝OC，∴△COB≌△COD（SAS），∴∠ODC＝∠OBC，∵BC与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC，∴∠OBC＝90°，∴∠ODC＝90°，即OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线．24．【解答】解：（1）记“某同学至少选修1门自然科学课程”为事件A，则，…（2分）所以该同学至少选修1门自然科学课程的概率为．…（3分）（2）随机变量ξ的所有可能取值有0，1，2，3．…（4分）因为，，，，…（8分）所以ξ的分布列为所以．…（10分）。
江苏省镇江市扬中二中2014_2015学年高二数学上学期段考试卷(9月份)(含解析)
江苏省镇江市扬中二中2014-2015学年高二上学期段考数学试卷（9月份）一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）1．（3分）直线ax﹣2y+2=0与直线x+（a﹣3）y+1=0平行，则实数a的值为．2．（3分）已知点P（0，﹣1），点Q在直线x﹣y+1=0上，若直线PQ垂直于直线x+2y﹣5=0，则点Q的坐标是．3．（3分）已知点P（a，b）在圆C：x2+y2=r2外，则直线l：ax+by=r2与圆C．4．（3分）如果直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0交于M、N两点，且M、N关于直线x+y ﹣1=0对称，则k﹣m的值为．5．（3分）已知O是坐标原点，点A（﹣1，1）．若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的取值范围是．6．（3分）已知动圆x2+y2﹣2mx﹣4my+6m﹣2=0恒过一个定点，这个定点的坐标是．7．（3分）一直线过点M（﹣3，），且被圆x2+y2=25所截得的弦长为8，则此直线方程为．8．（3分）若直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则实数b的取值范围为．9．（3分）若圆（x﹣3）2+（y+5）2=r2上有且只有两个点到直线4x﹣3y=2的距离为1，则半径r的取值范围是．10．（3分）光线沿（y≥0）被x轴反射后，与以A（2，2）为圆心的圆相切，则该圆的方程为．11．（3分）直线l：x+y﹣3=0上恰有两个点A、B到点（2，3）的距离为2，则线段AB的长为．12．（3分）如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是．13．（3分）若直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是．14．（3分）已知圆x2+y2+x﹣6y+m=0与直线x+2y﹣3=0相交于P，Q两点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则m的值为．二、解答题（共6小题，满分0分）15．已知△ABC的一条内角平分线CD的方程为2x+y﹣1=0，两个顶点为A（1，2），B（﹣1，﹣1），求第三个顶点C的坐标．16．已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线L：mx﹣y+1﹣m=0．①求证：对m∈R，直线L与圆C总有两个不同的交点；②求直线L中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程．17．已知圆O1：（x﹣3）2+（y﹣1）2=1，设点p（x，y）是圆O1上的动点．①求P点到直线l：x+y﹣1=0距离的最值，并求对应P点坐标；②分别求，y﹣x，（x+3）2+（y+4）2的最值．18．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．（Ⅰ）求AD边所在直线的方程；（Ⅱ）求矩形ABCD外接圆的方程；（Ⅲ）若动圆P过点N（﹣2，0），且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．19．如图，已知⊙O：x2+y2=1和定点A（2，2），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，Q为切点，且满足|PQ|=|PA|．（Ⅰ）求实数a，b之间满足的关系式；（Ⅱ）求线段PQ的最小值．20．已知圆M的方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的方程为x﹣2y=0，点P在直线l上，过P 点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；（2）若P点的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C，D两点，当时，求直线CD 的方程；（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．江苏省镇江市扬中二中2014-2015学年高二上学期段考数学试卷（9月份）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）1．（3分）直线ax﹣2y+2=0与直线x+（a﹣3）y+1=0平行，则实数a的值为1．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：利用两直线平行的条件，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求得实数a 的值．解答：解：直线ax﹣2y+2=0与直线x+（a﹣3）y+1=0平行，∴，解得 a=1．故答案为 1．点评：本题考查两直线平行的条件，利用一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求得实数a的值．2．（3分）已知点P（0，﹣1），点Q在直线x﹣y+1=0上，若直线PQ垂直于直线x+2y﹣5=0，则点Q的坐标是（2，3）．考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．分析：先设出Q点坐标，再根据题目中信息得关系式．解答：解：设Q（x，y），由题意，解得∴Q（2，3）点评：两直线垂直且斜率存在，则斜率的乘积为﹣1．3．（3分）已知点P（a，b）在圆C：x2+y2=r2外，则直线l：ax+by=r2与圆C相交．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由点P（a，b）在圆C：x2+y2=r2外，求得a2+b2＞r2，求得圆心到直线l：ax+by=r2 的距离为d＜r，可得直线和圆相交．解答：解：∵点P（a，b）在圆C：x2+y2=r2外，∴a2+b2＞r2，故圆心到直线l：ax+by=r2 的距离为d=＜=r，即圆心到直线l：ax+by=r2 的距离小于半径，故直线和圆相交，故答案为：相交．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．4．（3分）如果直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0交于M、N两点，且M、N关于直线x+y ﹣1=0对称，则k﹣m的值为4．考点：直线与圆的位置关系；与直线关于点、直线对称的直线方程．专题：计算题．分析：因为直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0的两个交点关于直线x+y﹣1=0对称，所以直线y=kx+1与直线x+y﹣1=0垂直，且直线x+y﹣1=0过圆x2+y2+kx+my﹣4=0的圆心．这样直线y=kx+1与直线x+y﹣1=0垂直，斜率等于直线x+y﹣1=0的负倒数，直线x+y﹣1=0过圆x2+y2+kx+my﹣4=0的圆心，则圆心坐标满足直线方程，就可求出k，m的值，解出k﹣m．解答：解：∵直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0交于M、N两点，且M、N关于直线x+y ﹣1=0对称，∴直线y=kx+1与直线x+y﹣1=0垂直，且直线x+y﹣1=0过圆x2+y2+kx+my﹣4=0的圆心．∴k=1，解得，m=﹣3∴k﹣m=1﹣（﹣3）=4故答案为4点评：本题主要考查直线与圆的位置关系的判断，圆上两点一定关于直径所在的直线对称．5．（3分）已知O是坐标原点，点A（﹣1，1）．若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的取值范围是[0，2]．考点：简单线性规划；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．分析：先画出满足约束条件的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入分析比较后，即可得到的取值范围．解答：解：满足约束条件的平面区域如下图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式当x=1，y=1时，=﹣1×1+1×1=0当x=1，y=2时，=﹣1×1+1×2=1当x=0，y=2时，=﹣1×0+1×2=2故和取值范围为[0，2]故答案为：[0，2]．点评：本题考查的知识点是线性规划的简单应用，其中画出满足条件的平面区域，并将三个角点的坐标分别代入平面向量数量积公式，进而判断出结果是解答本题的关键．6．（3分）已知动圆x2+y2﹣2mx﹣4my+6m﹣2=0恒过一个定点，这个定点的坐标是（1，1），或（，）．考点：圆的一般方程．专题：直线与圆．分析：由已知得x2+y2﹣2=（2x+4y﹣6）m，从而，由此能求出定点的坐标．解答：解：x2+y2﹣2mx﹣4my+6m﹣2=0，∴x2+y2﹣2=（2x+4y﹣6）m，∴，解得x=1，y=1，或x=，y=，∴定点的坐标是（1，1），或（，）．故答案为：（1，1），或（，）．点评：本题考查动圆经过的定点坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．7．（3分）一直线过点M（﹣3，），且被圆x2+y2=25所截得的弦长为8，则此直线方程为x=﹣3，3x﹣4y+15=0．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：由题意可得弦心距为3，再分所求的直线的斜率存在和不存在两种情况，分别求得直线的方程．解答：解：圆x2+y2=25的圆心为原点（0，0），半径等于5，当所求的直线的斜率不存在时，直线的方程为x=﹣3，弦心距为3，故弦长为8，满足条件．当所求的直线的斜率存在时，设所求的直线的方程为y﹣=k（x+3），即 2kx﹣2y+6k+3=0．再根据弦心距d==3=，求得 k=，可得此时直线的方程为3x﹣4y+15=0，故答案为：x=﹣3，3x﹣4y+15=0．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．8．（3分）若直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则实数b的取值范围为（﹣1，1]∪{﹣}．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：曲线表示以原点O（0，0）为圆心、半径等于1的半圆，数形结合求得当直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则实数b的取值范围．解答：解：曲线即 x2+y2=1 （x≥0），表示以原点O（0，0）为圆心、半径等于1的半圆（位于y轴及y轴右侧的部分），如图：当直线经过点A（0，﹣1）时，求得b=﹣1；当直线经过点C（0，1）时，求得b=1；当直线和圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径可得=1，求得b=（舍去），或 b=﹣，数形结合可得当直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则实数b的取值范围为（﹣1，1]∪{﹣}，故答案为：（﹣1，1]∪{﹣}．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．9．（3分）若圆（x﹣3）2+（y+5）2=r2上有且只有两个点到直线4x﹣3y=2的距离为1，则半径r的取值范围是（4，6）．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：先利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由题意得|5﹣r|＜1，解此不等式求得半径r的取值范围．解答：解：∵圆心P（3，﹣5）到直线4x﹣3y=2的距离等于=5，由|5﹣r|＜1，解得：4＜r＜6，则半径r的范围为（4，6）．故答案为：（4，6）点评：本题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式的应用，以及绝对值不等式的解法，列出关于r的不等式是解本题的关键．10．（3分）光线沿（y≥0）被x轴反射后，与以A（2，2）为圆心的圆相切，则该圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=1．考点：直线与圆的位置关系；与直线关于点、直线对称的直线方程．专题：计算题．分析：令入射光线的解析式，求出x的值为﹣2﹣，由物理知识可得反射角等于入射角，可得反射后的光线与入射光线关于直线x=﹣2﹣对称，根据入射光线的方程，求出反射线的解析式，再由反射后与圆相切，利用点到直线的距离公式求出圆心A 到反射线的距离，即为圆的半径，由圆心和半径写出圆的标准方程即可．解答：解：直线x+2y+2+=0中，令y=0，解得x=﹣2﹣，则直线x+2y+2+=0关于直线x=﹣2﹣对称的方程为：2（﹣2﹣）﹣x+2y+2+=0，即x﹣2y+2+=0，∵光线发射后与圆相切，∴圆心A（2，2）到直线x﹣2y+2+=0的距离d==1=r，则圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=1．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=1点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有关于直线对称的直线方程的求法，直线与坐标轴的交点，点到直线的距离公式，以及会根据圆心和半径写出圆的标准方程，属于各学科间知识的综合应用题．11．（3分）直线l：x+y﹣3=0上恰有两个点A、B到点（2，3）的距离为2，则线段AB的长为2．考点：两点间的距离公式．专题：直线与圆．分析：首先利用点到直线的距离公式d=，然后根据等腰三角形的性质来确定线段AB的长度．解答：解：利用点到直线的距离公式d=则：点（2，3）到直线l：x+y﹣3=0的距离d=|AB|=2=2故答案为：2点评：本题考查的知识点：点到直线间的距离，等腰三角形的性质．12．（3分）如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是（﹣，﹣）∪（，）．考点：圆方程的综合应用．专题：直线与圆．分析：圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=4和圆x2+y2=1相交，两圆圆心距大于两圆半径之差、小于两圆半径之和．解答：解：由题意可得，圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=4和圆x2+y2=1相交，根据两圆圆心距d==|a|，可得2﹣1＜|a|＜2+1，即：＜|a|＜，∴﹣＜a＜﹣或＜a＜，故实数a的取值范围是（﹣，﹣）∪（，），故答案为：（﹣，﹣）∪（，）．点评：体现了转化的数学思想，将问题转化为：圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=4和圆x2+y2=1相交，体现了转化的数学思想，属于中档题．13．（3分）若直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是4．考点：基本不等式；直线与圆相交的性质．专题：计算题．分析：先求出圆心和半径，由弦长公式求得圆心到直线2ax﹣by+2=0的距离d=0，直线2ax ﹣by+2=0经过圆心，可得a+b=1，代入式子再利用基本不等式可求式子的最小值．解答：解：圆x2+y2+2x﹣4y+1=0 即（x+1）2+（y﹣2）2=4，圆心为（﹣1，2），半径为 2，设圆心到直线2ax﹣by+2=0的距离等于 d，则由弦长公式得 2=4，d=0，即直线2ax﹣by+2=0经过圆心，∴﹣2a﹣2b+2=0，a+b=1，则+=+=2++≥2+2=4，当且仅当a=b时等号成立，故式子的最小值为 4，故答案为 4．点评：本题考查直线和圆的位置关系，弦长公式以及基本不等式的应用．14．（3分）已知圆x2+y2+x﹣6y+m=0与直线x+2y﹣3=0相交于P，Q两点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则m的值为3．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：将直线和圆进行联立，利用根与系数之间的关系建立条件方程，利用韦达定理、两个向量垂直的性质，即可求出m的值．解答：解：由题意设P（x1，y1），Q（x2，y2），则由方程组求得消y得5x2+10x+4m﹣27=0，于是根据韦达定理得，x1+x2=﹣2，x1•x2=．∴y1•y2=•=[9﹣3（x1+x2）+x1•x2]=[9+6+]=．再根据OP⊥OQ，可得•=x1•x2+y1•y2=+=0，求得m=3，故答案为：3．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于基础题．二、解答题（共6小题，满分0分）15．已知△ABC的一条内角平分线CD的方程为2x+y﹣1=0，两个顶点为A（1，2），B（﹣1，﹣1），求第三个顶点C的坐标．考点：两直线的夹角与到角问题；直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：先求出点A关于于直线2x+y﹣1=0的对称点P的坐标，再根据点P在直线BC上，利用两点式求得BC的方程，再把BC的方程和CD的方程联立方程组，求得第三个顶点C的坐标解答：解：由题意可知：A（1，2）关于直线2x+y﹣1=0的对称点在直线BC上，设对称点为P（a，b），则由，解得：，所以l BC：即3x﹣4y﹣1=0．再由得C点的坐标为（．点评：本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，利用了垂直、和中点在对称轴上这两个条件．还考查了用两点式求直线的方程，求两条直线的交点，属于基础题．16．已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线L：mx﹣y+1﹣m=0．①求证：对m∈R，直线L与圆C总有两个不同的交点；②求直线L中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程．考点：直线和圆的方程的应用．专题：综合题；直线与圆．分析：①将直线l的方程变形提出m，根据直线方程的斜截式，求出直线恒过点（1，1），即可证明结论；②直线l截圆所得的弦最长时，一定过圆心；当弦长最短时，AC和直线L垂直，即可求得L 的直线方程．解答：①证明：∵直线L：mx﹣y+1﹣m=0即为y=m（x﹣1）+1，∴直线l恒过（1，1），∵12+（1﹣1）2=1＜5，∴A（1，1）在圆C：x2+（y﹣1）2=5的内部，∴对m∈R，直线L与圆C总有两个不同的交点；②解：被圆截得的弦最长的直线一定过圆心，方程为y=1，它的圆心为C（0，1），由弦长最短，可得AC和直线L垂直，故直线l的方程为x=1．点评：判断直线与圆的位置关系，一般利用圆心与直线的距离与半径的大小关系加以判断，有时也可转化为直线恒过的点来判断．17．已知圆O1：（x﹣3）2+（y﹣1）2=1，设点p（x，y）是圆O1上的动点．①求P点到直线l：x+y﹣1=0距离的最值，并求对应P点坐标；②分别求，y﹣x，（x+3）2+（y+4）2的最值．考点：圆方程的综合应用．专题：综合题；直线与圆．分析：①求出圆心到直线l：x+y﹣1=0距离，即可求P点到直线l：x+y﹣1=0距离的最值，从而求对应P点坐标；②利用=t，y﹣x=k，与圆方程联立，可得最值，求出（﹣3，﹣4）与（3，1）的距离为=，即可求出（x+3）2+（y+4）2的最值．解答：解：①圆O1：（x﹣3）2+（y﹣1）2=1的圆心为（3，1），半径为1，圆心到直线l：x+y﹣1=0距离为，∴P点到直线l：x+y﹣1=0距离的最大值为，最小值为，过（3，1）与直线l：x+y﹣1=0垂直的直线方程为x﹣y﹣2=0，与圆O1：（x﹣3）2+（y﹣1）2=1联立，可得对应的P点坐标分别为．②设=t，则y=tx，代入圆O1：（x﹣3）2+（y﹣1）2=1，可得（x﹣3）2+（tx﹣1）2=1，∴（1+t2）x2﹣（6+2t）x+9=0，∴△=（6+2t）2﹣36（1+t2）=0，∴t=0或t=，∴的最大值为，最小值为0；设y﹣x=k，则代入圆O1：（x﹣3）2+（y﹣1）2=1，可得（x﹣3）2+（x+k﹣1）2=1，∴2x2﹣（8﹣2k）x2+k2﹣2k+9=0，∴△=（8﹣2k）2﹣8（k2﹣2k+9）≥0，∴﹣2﹣≤k≤﹣2+，∴y﹣x的最大值为﹣2+，y﹣x最小值为﹣2﹣；（﹣3，﹣4）与（3，1）的距离为=，∴（x+3）2+（y+4）2的最大值为（+1）2=62+2；（x+3）2+（y+4）2的最小值为（﹣1）2=62﹣2．点评：本题考查圆方程的综合应用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．18．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．（Ⅰ）求AD边所在直线的方程；（Ⅱ）求矩形ABCD外接圆的方程；（Ⅲ）若动圆P过点N（﹣2，0），且与矩形A BCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．考点：直线的一般式方程；圆的标准方程；轨迹方程．专题：压轴题．分析：（I）先由AD与AB垂直，求得AD的斜率，再由点斜式求得其直线方程；（II）先求得其圆心和半径，再由圆的标准方程求解；（III）由圆心距等于两半径之和，抽象出双曲线的定义从而求得轨迹方程．解答：解：（I）因为AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，且AD与AB垂直，所以直线AD 的斜率为﹣3又因为点T（﹣1，1）在直线AD上，所以A D边所在直线的方程为y﹣1=﹣3（x+1）．3x+y+2=0．（II）由解得点A的坐标为（0，﹣2），因为矩形ABCD两条对角线的交点为M（2，0）．所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．又．从而矩形ABCD外接圆的方程为（x﹣2）2+y2=8．（III）因为动圆P过点N，所以|PN|是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，所以|PM|=|P N|+2，即|PM|﹣|PN|=2．故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为2的双曲线的左支．因为实半轴长a=，半焦距c=2．所以虚半轴长b=．从而动圆P的圆心的轨迹方程为．点评：本题主要考查直线方程的求法，平面图形外接圆的求法和轨迹方程的求法．19．如图，已知⊙O：x2+y2=1和定点A（2，2），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，Q 为切点，且满足|PQ|=|PA|．（Ⅰ）求实数a，b之间满足的关系式；（Ⅱ）求线段PQ的最小值．考点：直线和圆的方程的应用．专题：综合题；直线与圆．分析：（I）连结OP，根据圆的切线的性质得|PQ|2+|QO|2=|OP|2，即a2+b2﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2，化简得实数a，b间满足的等量关系；（II）当PO⊥l时，PO的长度最小，从而可得线段PQ长的最小值．解答：解：（Ⅰ）连接OP，∵PQ2=PO2﹣1=PA2，…（2分）∴a2+b2﹣1=（a﹣2）2+（b﹣2）2，即4a+4b﹣9=0．…（6分）（Ⅱ）设l：4x+4y﹣9=0，∵PQ2=PO2﹣1，∴∴当PO⊥l时，PO的长度最小，即（OP）min==，∴．…（11分）点评：本题给出单位圆和其外部一个定点A，求切线PQ满足|PQ|=|PA|时，实数a，b间满足的等量关系，并求线段长的最小值．着重考查了直线与圆的位置关系、圆的方程等知识，属于中档题．20．已知圆M的方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的方程为x﹣2y=0，点P在直线l上，过P 点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；（2）若P点的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C，D两点，当时，求直线CD 的方程；（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．考点：圆方程的综合应用．专题：计算题；证明题．分析：（1）设P（2m，m），代入圆方程，解得m，进而可知点P的坐标．（2）设直线CD的方程为：y﹣1=k（x﹣2），由圆心M到直线CD的距离求得k，则直线方程可得．（3）设P（2m，m），MP的中点，因为PA是圆M的切线，进而可知经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，进而得到该圆的方程，根据其方程是关于m 的恒等式，进而可求得x和y，得到经过A，P，M三点的圆必过定点的坐标．解答：解：（1）设P（2m，m），由题可知MP=2，所以（2m）2+（m﹣2）2=4，解之得：，故所求点P的坐标为P（0，0）或．（2）设直线CD的方程为：y﹣1=k（x﹣2），易知k存在，由题知圆心M到直线CD的距离为，所以，解得，k=﹣1或，故所求直线CD的方程为：x+y﹣3=0或x+7y﹣9=0．（3）设P（2m，m），MP的中点，因为PA是圆M的切线，所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，故其方程为：化简得：x2+y2﹣2y﹣m（2x+y﹣2）=0，此式是关于m的恒等式，故x2+y2﹣2y=0且（2x+y﹣2）=0，解得或所以经过A，P，M三点的圆必过定点（0，2）或（，）．点评：本题主要考查了圆方程的综合运用．解题的关键是对圆性质的熟练掌握．。
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2014-2015学年江苏省镇江市扬中二中高二（下）期末数学模拟试
卷（理科）（2）
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．(★★★★)函数f（x）=2 1-|x|的值域为（0，2 ．
2．(★★★★)若二项式的展开式中的第5项是5，则x的值是 3 ．
3．(★★★)4个不同的小球放入3个有编号的盒子，每个盒子至少放一个小球，有 36
种不同的放法．
4．(★★★★)已知矩阵，若矩阵A属于特征值3的一个特征向量为，属于特征值-1的一个特征向量为，则矩阵A= ．
5．(★★★)已知集合A={x|x 2-2x-3＞0}，B={x|ax 2+bx+c≤0，a，b，c∈R，ac≠0}，若
A∩B=（3，4，A∪B=R，则的最小值是．
6．(★★★★)已知tan（α+β）= ，tanβ= ，则tan（α+ ）的值为．
7．(★★★★)若α∈（0，），cos（-α）=2 cos2α，则sin2α= ．
8．(★★★★)f（x）=sin（ωx+ ）（0＜ω＜2），若f（）=1，则函数f（x）的最小正
周期为 4π．
9．(★★★★)在平面直角坐标系xOy中，若函数y=3sin（2x+ ）的图象向左平移φ（0＜
φ＜）个单位后，所得函数图象关于原点成中心对称，则φ的值为．
10．(★★★)若函数f（x）=2 x-（k 2-3）•2 -x，则k=2是函数f（x）为奇函数的充分
不必要条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）
11．(★★★)已知函数f（x）= 在R上是单调递增函数，则实数
a的取值范围是 - ，0 ．
12．(★★★)选做题：若a，b，c＞0，且a 2+ab+ac+bc=4，则2a+b+c的最小值为 4 ．
13．(★★)若不等式a+ ≥在x∈（，2）上恒成立，则实数a的取值范围
为 a≥1 ．
14．(★★)若函数f（x）=ln（ae x-x-3）的定义域为R，则实数a的取值范围是（e 2，+∞）．
2
二、解答题（共6小题，满分90分）
15．(★★)（理科）设数列{a n}满足a 1=3，a n+1=a n2-2na n+2．
（1）求a 2，a 3，a 4；
（2）先猜想出{a n}的一个通项公式，再用数学归纳法证明．
16．(★★★)已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A，ω，φ
为常数，且A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若，求的值．
17．(★★★)如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，A 1A⊥平面ABC，
∠BAC=90o，F为棱AA 1上的动点，A 1A=4，AB=AC=2．
（1）当F为A 1A的中点，求直线BC与平面BFC 1所成角的正弦值；
（2）当的值为多少时，二面角B-FC 1-C的大小是45o．
18．(★★)已知0＜a＜1，函数f（x）=log a（x+1），g（x）=2log a（2x+t）（t∈R）．
（1）若1是关于x的方程f（x）-g（x）=0的一个解，求t的值；
（2）当t=-1时，解不等式f（x）≤g（x）；
（3）若函数F（x）=a f（x）+tx 2+2t+1在区间（-1，2上有零点，求t的取值范围．
19．(★★★)徐州、苏州两地相距500千米，一辆货车从徐州匀速行驶到苏州，规定速度不
得超过100千米/小时．已知货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为0.01；固定部分为a元（a＞0）．（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
20．(★★)已知函数f（x）=4 x-2 x，实数s，t满足f（s）+f（t）=0，设a=2 s+2 t，b=2
s+t．
（1）当函数f（x）的定义域为-1，1时，求f（x）的值域；
（2）求函数关系式b=g（a），并求函数g（a）的定义域；
（3）求8 s+8 t的取值范围．。