勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理
例3 如图是一块四边形绿地的示意图，其中
AB长24米，BC长15米，CD长20米，DA长7米， ∠C＝900 ， 求绿地ABCD的面积.
7
Ｄ
Ａ
24 20
Ｃ Ｂ
15 方法要点: 通过添加辅 助线，将一个不规则的 四边形分割成两个三角 形，再判断其中一个三 角形是直角三角形，从 而求出四边形的面积.
(3) a=1 b=如图，在△ABC中，已知，AB=15，AC=20，BC=25，
AD是BC边上的中线，求AD的长
解：∵AB=15,AC=20,BC=25（已知） ∴AB2+AC2=625,BC2=625 2+AC2=BC2 ∴ AB 25 ∴∠A=90° 15 (勾股定理的逆定理） 20 ∵∠A=90°，AD是BC边上的中线（已知） ∴AD=1/2 BC 方法要点: 一般已知三 （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） 角形的三边长，我们优 ∵BC=25（已知） 先考虑用勾股定理的逆 ∴AD=12.5（等式性质）
19.9(3) 勾股定理的逆定理
四 大 古 代 文 明 ︓ 古 中 国 ︐ 古 埃 及 ︐ 古 印 度 ︐ 古 巴 比 伦
• 猜想：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个 三角形是直角三角形．
猜想的 命题 证明 真命题
A
已知：△ABC,BC=a,AB=c,AC=b,且a2+b2=c2， 求证：△ABC是直角三角形
B
c b
a
C
勾股定理的逆定理： 命题：
如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方
和，那么这个三角形是直角三角形.
互逆定理
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和，等于斜边的
勾股定理的逆定理
例题解析
例1 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
(1) a＝15 , b ＝8 , c＝17 (2) a＝13 , b ＝15 , c＝14 分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是 不是直角三角形，只要看两条较小边的平方 和是否等于最大边的平方。
解：∵152＋82＝225＋64＝289 172＝289
如果三角形的三边长 a、b、c满
足
a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形。且边
C所对的角为直角。
勾股定理
互逆命定题理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么 a2 + b2 = c2
定理与逆定理
定理 定理 如果一个
的逆命题经过证明是真命题 ,那么它是一个
,这两个定
互逆定理 逆定理 理称为
C
S1
S2
A
b
ca
B
S3
C
S2 b
S1
a
A
c
B
S3
自主评价：
1、勾股定理的逆定理 2、什么叫做互逆命题、原命题与逆命题 3、什么称为互为逆定理。
′A C ′
A
A′
5
4
4
C
3
B
在RT? A?B?C? 中根
据勾股定理有 A?B?2 ? A?C?2 ? B?C?2 ? B?C?? 3, A?C?? 4
? A?B?2 ? 32 ? 42 ? 52
A?B?? 5
′C
3
B′
? ABC≌ ? A?B?C?
? C ? ? C?? 90?
A3 B
? 例4： “远航”号、“海天”号轮船
勾股定理(2)勾股定理的逆定理
勾股定理逆定理一． 知识归纳８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：A B C 30°D CB A AD B CCB D A题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴ 在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵ 已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶ 已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21E DCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mAB CD E题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c =例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用 例8.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =证明：D CB A。
勾股定理逆定理
古埃及人把一根绳子打上等距离的13个结，然后 把第1个结和第13个结用木桩钉在一起，再分别用 木桩把第４个结和第８个结钉牢（拉直绳子）。 这时构成了一个三角形，其中有一个角是直角 。
（13） （ 1） （12） （11） （ 2） （10） （ 9） （ 3） （5） （6）（7）
观察下列表格：
列举 3 、4 、5 5、12、13 7、24、25
猜想 32=4+5 52=12+13 72=24+25 ……
13、b、c
132=b+c
请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值. 即b= 84 ，c= 85 能够成为直角三角形三条边长的 三个正整数，称为勾股数
1、如图，有一块地，已知，AD=4m， CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m， BC=12m。求这块地的面积。
4、 在直线l上依次摆放着七个正方形(如图2所示).已知斜 放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个 正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3 ＋S4＝_________.
1、请完成以下未完成的勾股数： （1）7、24、（ ）； （2）5、13、（ ）。 2、三角形三边长为 a b 、2ab 、 a
2 2
2
b
2
则这个三角形是——。
3、在正方形ABCD中，F为DC的中点， 1 E为BC上的一点，且 EC BE , 3 求证：∠EFA=90°.
A
D
F B E C
B
24平方米
C
12 D 4 A
勾股定理的逆定理
我们把这样的两个命题叫做互逆
命另命满题一题足如个.如2:叫”果同做把如位它a其果角2的中相三逆一等b角命个2,形两题叫直的.c做线2三原平边命行长题”,a那与,b么,”c
两那直么线这平个行,三同角位角形相是等直”角是三互角逆形命.题.
一起探究
系：
.
2.52 62 6.52
那么画出的三角形是直角三角形吗? 换成三边分别是4cm，7.5cm，8.5cm 呢?
由以上例子,我们猜想:
命题2 如果三角形的三边长a,b,c
满足 a2 b2 c2
那么这个三角形是直角三角形.
观察思考
(什1命)直么命题？角题它1边1和们长命如有分题什果别2么直的为关角题a系、设三？、b角,斜结形边论的分长两别为是 c,那么
命题1经证明是正确的,你能证 明命题2的正确性吗?练习本上试 一试,与同学交流你的想法.
一般地,如果一个定理的逆命题经 过证明是正确的,它也是一个定理,称 这两个定理互为逆定理.
命题2经证明是正确的,所以我 们把它叫做勾股定理的逆定理.
一个命题一定有逆命题,但逆命 题不一定正确.所以一个定理不一定 有逆定理.
练习
1.如果三条线段a,b,c满足 a2 c2 b2 , 这三条线段组成的三角形是不是 直角三角形?为什么?
练习
2.说出下列命题的逆命题.这些命题的逆命题 成立吗?
(1)两条直线平行,内错角相等; (2)如果两个实数相等,那么它们的绝对值相
等; (3)全等三角形的对应角相等; (4)到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
我国古代大禹治水测量工程时,也用 类似方法确定直角．你知道这是为什么 吗？其中蕴涵什么道理？
勾股逆定理
勾股逆定理我们学过勾股定理，但对于它的逆定理却不甚了解。
下面，我们来探究一下它吧。
解题思路：一般地，勾股定理的逆定理与勾股定理是一样的。
把直角三角形中两个直角边的平方和等于斜边的平方证明完毕后，把斜边上的高加到两直角边上，就可以得到了一个直角三角形，再用勾股定理逆定理证明即可。
这个逆定理比较难写，需要平时多练习。
答案是：若，或。
可见，在高线段和角平分线的交点到两条直角边的距离之和相等。
1。
先找出两个直角边。
2。
由勾股定理得出两直角边的平方和等于斜边的平方。
3。
用勾股定理逆定理得出在高线段和角平分线的交点到两直角边的距离之和相等。
最后，检验一下，结果是正确的。
只要能够熟练掌握本节课所讲的知识点，并且大胆发挥想象力，那么逆定理也能很容易的完成。
因为勾股定理有多种逆定理，我们要熟悉各种类型的逆定理。
总而言之，学好勾股定理和它的逆定理很重要，希望同学们在平时的学习生活中经常练习，在考试中取得优异的成绩。
勾股定理（“勾三股四弦五”）我国古代称之为“勾股”定理，是平面几何的基础定理之一。
勾股定理主要内容是：直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方；或直角三角形两直角边平方和的一半等于斜边的平方。
简记作“勾股定理”。
2。
勾股定理逆定理：如果直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，斜边上的高（设为h）等于两直角边长的一半。
记作：或3。
勾股定理的逆定理：如果直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，斜边上的高（设为h）等于两直角边长的一半。
记作：或即：勾股定理的逆定理与勾股定理互为逆定理。
关于勾股定理的逆定理的应用实例如下：(摘自《精英特全脑速读记忆训练》)4。
勾股定理逆定理应用举例说明(摘自《精英特全脑速读记忆训练》)1。
记忆过程及解题步骤(1)先复述已知条件及解题目标(2)回忆起条件，通过定理反推公式，再利用公式解题(3)利用公式计算出答案。
2。
勾股定理的逆定理应用：勾股定理可以运用到直角三角形中，利用勾股定理逆定理得到勾股定理逆定理与勾股定理是互为逆定理。
勾股定理定理和逆定理
勾股定理定理和逆定理The Pythagorean theorem, also known as the Pythagorean theorem, is a fundamental theorem in mathematics that describes the relationship between the lengths of the sides of a right triangle.It states that in a right triangle, the square of the length of the hypotenuse (the side opposite the right angle) is equal to the sum of the squares of the lengths of the other two sides.Mathematically, this can be expressed as a^2 + b^2 = c^2, where a and b are the lengths of the legs of the triangle and c is the length of the hypotenuse.勾股定理，也称为勾股定理，是数学中一个基本定理，描述了直角三角形两边长度的关系。
它表明，在直角三角形中，斜边（与直角相对的边）的长度的平方等于其他两边长度的平方和。
数学上，这可以表示为a^2 + b^2 = c^2，其中a 和b 是三角形的两条直角边的长度，c 是斜边的长度。
The converse of the Pythagorean theorem, known as the Pythagorean theorem"s inverse, states that if the square of the lengths of the sides of a triangle equals the square of the length of its hypotenuse, then the triangle must be a right triangle.This inverse theorem is also important in mathematics and has various applications, such as in geometry and in solving real-world problems involving right triangles.勾股定理的逆定理，即勾股定理的逆定理，表明如果一个三角形的三边长度的平方等于斜边长度的平方，那么这个三角形必定是一个直角三角形。
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勾股定理的逆定理第一篇：勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理18.2_勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理编辑本段勾股定理的逆定理定义在一个三角形中，两条边的平方和等于另一条边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。
这就是勾股定理的逆定理。
概论勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或钝角的一个简单的方法，其中c为最长边:如果A×A+B×B=C×C，则△ABC是直角三角形。
如果A×A+B×B>C×C，则△ABC是锐角三角形。
如果A×A+B×B＜C×C,则△ABC是钝角三角形。
证明方法勾股定理逆定理的证明方法?1、统一法构造一个直角三角形A'B'C'.使得两直角边为a,b由勾股定理，斜边为c。
根据边边边公理。
得到2个三角形全等，所以原三角形为直角三角形。
2、三角函数Cos90如图:已知AB^2+BC^2=AC^2，而任一三角形的边之间均满足，AC^2=AB^2+BC^2-2AB*BA*COSB，比较两式得，COSB=0，B=90度。
3、相似三角形证明依题意作△ABC，设BC=a、AC=b、AB=c，满足a^2+b^2=c^2（a的平方+b的平方=c的平方）此时，在AB 边上截取点D使∠DCB=∠A,在△DCB与△ACB中，∠DBC=∠ABC∠DCB=∠A∴△DCB∽△ACB∴DC:AC=BC:AB=BD:BC∴把BC=a、AB=c代入，可求得BD= a^2∕c（c分之a的平方）把AC=b 代入，可求得CD= ab∕c∴AC=AB―BC=c-（a^2∕c）（c-c分之a平方）= c^2-a^2（c平方-a平方）= b^2∕c（c分之b平方）∴在△ACD与△DC B中，DC:AD=BC:AC=BD:CD=a：b∴△ACD∽△DCB∴∠ACB=∠BDC=∠ADC=90°∴原命题得证第二篇：勾股定理逆定理说课稿勾股定理的逆定理说课稿一、教材分析（一）、本节课在教材中的地位作用“勾股定理的逆定理”一节，是在上节“勾股定理”之后，继续学习的一个直角三角形的判断定理，它是前面知识的继续和深化，勾股定理的逆定理是初中几何学习中的重要内容之一，是今后判断某三角形是直角三角形的重要方法之一，在以后的解题中，将有十分广泛的应用，同时在应用中渗透了利用代数计算的方法证明几何问题的思想，为将来学习解析几何埋下了伏笔，所以本节也是本章的重要内容之一。
课标要求学生必须掌握。
（二）、教学目标1、知识技能：1理解并会证明勾股定理的逆定理；2会应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形；3知道什么叫勾股数，记住一些觉见的勾股数.2、过程与方法：通过对勾股定理的逆定理的探索和证明，经历知识的发生，发展与形成的过程，体验“数形结合”方法的应用。
3、情感、态度价值观培养数学思维以及合情推理意识，感悟勾股定理和逆定理的应用价值。
渗透与他人交流、合作的意识和探究精神，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一的关系。
（三）、学情分析：尽管已到初二下学期学生知识增多，能力增强，但思维的局限性还很大，能力也有差距，而勾股定理的逆定理的证明方法学生第一次见到，它要求根据已知条件构造一个直角三角形，根据学生的智能状况，学生不容易想到，因此勾股定理的逆定理的证明又是本节的难点，这样就确定了本节课的重点、难点。
教学重点：勾股定理逆定理的应用教学难点：勾股定理逆定理的证明二、教学过程本节课的设计原则是：使学生在动手操作的基础上和合作交流的良好氛围中，通过巧妙而自然地在学生的认识结构与几何知识结构之间筑了一个信息流通渠道，进而达到完善学生的数学认识结构的目的。
（一）复习回顾复习回顾与直角三角形、勾股定理有关的内容，建立新旧知识之间的联系。
（二）创设问题情境一开课我就提出了与本节课关系密切、学生用现有的知识可探索却又解决不好的问题，去提示本节课的探究宗旨。
（演示）古代埃及人把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉如图那样的三角形，便得到一个直角三角形。
这是为什么？……。
这个问题一出现马上激起学生已有知识与待研究知识的认识冲突，引起了学生的重视，激发了学生的兴趣，因而全身心地投入到学习中来，创造了我要学的气氛，同时也说明了几何知识来源于实践，不失时机地让学生感到数学就在身边。
（三）学生在教师的指导下尝试解决问题，总结规律（包括难点突破）因为几何来源于现实生活，对初二学生来说选择适当的时机，让他们从个体实践经验中开始学习，可以提高学习的主动性和参与意识，所以勾股定理的逆定理不是由教师直接给出的，而是让学生通过动手画图在具体的实践中观察满足条件的三角形直观感觉上是什么三角形，再用直角三角形插入去验证猜想。
这样设计是因为勾股定理逆定理的证明方法是学生第一次见到，它要求按照已知条件作一个直角三角形，根据学生的智能状况学生是不容易想到的，为了突破这个难点，我让学生动手画出了一个两直角边与所给三角形两条较小边相等的直角三角形，通过操作验证两三角形全等，从而不仅显示了符合条件的三角形是直角三角形，还孕育了辅助线的添法，为后面进行逻辑推理论证提供了直观的数学模型。
接下来就是利用这个数学模型，从理论上证明这个定理。
从动手操作到证明，学生自然地联想到了全等三角形的性质，证明它与一个直角三角形全等，顺利作出了辅助直角三角形，整个证明过程自然、无神秘感，实现了从生动直观向抽象思维的转化，同时学生亲身体会了动手操作——观察——猜测——探索——论证的全过程，这样学生不是被动接受勾股定理的逆定理，因而使学生感到自然、亲切，学生的学习兴趣和学习积极性有所提高。
使学生确实在学习过程中享受到自我创造的快乐。
在同学们完成证明之后，同时让学生总结互逆命题、互逆定理的关系，并举例指出哪些为互逆定理。
然后让他们对照课本把证明过程严格的阅读一遍，充分发挥教课书的作用，养成学生看书的习惯，这也是在培养学生的自学能力。
（四）组织变式训练本着由浅入深的原则，安排了两个例题。
（演示）第一题比较简单，让学生口答，让所有的学生都能完成。
第二题则进了一层，不仅判断是否为直接三角形，还绕了一个弯，指出哪一个角是直角。
这样既可以检查本课知识，又可以提高灵活运用以往知识的能力。
例题讲解后安排了三个练习，循序渐进，由浅入深。
培养了学生灵活转换、举一反三的能力，发展了学生的思维，提高了课堂教学的效果和利用率。
让学生知道勾股逆定理的用途，激发学生的学习兴趣。
我还采用讲、说、练结合的方法，教师通过观察、提问、巡视、谈话等活动、及时了解学生的学习过程，随时反馈，调节教法，同时注意加强有针对性的个别指导，把发展学生的思维和随时把握学生的学习效果结合起来。
（五）归纳小结，纳入知识体系本节课小结先让学生归纳本节知识和技能，然后教师作必要的补充，尤其是注意总结思想方法，培养能力方面，比如辅助线的添法，数形结合的思想，并告诉同学今天的勾股定理逆定理是同学们通过自己亲手实践发现并证明的，这种讨论问题的方法是培养我们发现问题认识问题的好方法，希望同学在课外练习时注意用这种方法，这都是教给学习方法。
（六）作业布置由于学生的思维素质存在一定的差异，教学要贯彻“因材施教”的原则，为此我安排了两题作业。
第一题是基本的思维训练项目，全体都要做，这样有利于学生学习习惯的培养，以及提高他们学好数学的信心。
第二题适当加大难度，拓宽知识，供有能力又有兴趣的学生做，日积月累，对训练和培养他们的思维素质，发展学生的个性有积极作用。
三、说教法学法与教学手段为贯彻实施素质教育提出的面向全体学生，使学生全面发展主动发展的精神和培养创新活动的要求，根据本节课的教学内容、教学要求以及初二学生的年龄和心理特征以及学生的认知规律和认知水平，本节课我主要采用了以学生为主体，引导发现、操作探究的教学方法，即不违反科学性又符合可接受性原则，这样有利于培养学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，发展学生的思维；有利于培养学生动手、观察、分析、猜想、验证、推理能力和创新能力；有利于学生从感性认识上升到理性认识，加深对所学知识的理解和掌握；有利于突破难点和突出重点。
此外，本节课我还采用了理论联系实际的教学原则，以教师为主导、学生为主体的教学原则，通过联系学生现有的经验和感性认识，由最邻近的知识去向本节课迁移，通过动手操作让学生独立探讨、主动获取知识。
总之，本节课遵循从生动直观到抽象思维的认识规律，力争最大限度地调动学生学习的积极性；力争把教师教的过程转化为学生亲自探索、发现知识的过程；力争使学生在获得知识的过程中得到能力的培养。
第三篇：勾股定理逆定理说课稿勾股定理逆定理说课稿此说课稿是我参加第八批哈尔滨市骨干教师考核的说课稿，敬请个位老师指正。
各位评委老师你们好！我是来自阿城市双丰一中的数学教师李明，我今天说课的题目是《勾股定理的逆定理》，选自《人教版》八年级下册，为了更好地发挥教材“蓝本”作用，更好地坚持以学生发展为本的理念，就本节课，我将从以下几个方面做相关的教学解说。
一、知识背景在知识体系上，学生已经学习了勾股定理，经历了勾股定理的探究的过程，积累了相关的数学活动经验，这就具备了勾股定理逆定理的探究条件，通过勾股定理逆定理的探究，对培养学生的分析思维能力，发展推理能力大有裨益，其中蕴涵着类比、转化，从特殊到一般的思想方法，对学生的可持续发展更有不可低估的作用，我所简述的是第一课时的内容。
二、教学目标教学目标既是教学的出发点，也是归宿，或者说：它是教学的灵魂，支配着教学过程，并规定着教与学的方向，教学目标的制定和落实是实施课堂教学的关键。
我认为一个好的教学目标应具备三个基本要素；行为主体、行为动词、表现程度。
具体的说行为主体必须是学生而不是教师。
第二、目标的制定主要是为了后续评价行为，因此行为动词尽可能要清晰可把握而不能含糊其词，否则无法确定教学的正确方向，教学过程的可操作性不强。
第三、表现程度是用以评价学生的学习表现或学习效果所达到的程度，基于以上理念参考《数学课程标准》制定教学目标：1、知识与技能：理解勾股定理逆定理的证明方法，掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形。
2、数学思考：通过勾股定理的逆定理的探索，经历知识发生、发展形成的过程，体会数形结合的思想方法。
3、解决问题：体会数形结合方法在问题解决中的作用，并能利用勾股定理的逆定理解决相关问题。
4、情感态度：通过一系列的探究性问题，渗透与人交流合作的意识，感受定理与逆定理之间和谐及辩证统一的关系。
三、教学重点，难点重点：探索勾股定理逆定理和运用。
难点：勾股定理的逆定理的证明《数学课程标准》中提出：要让学生经历知识发生发展的全过程。