北师大版八年级数学下册-因式分解
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北师版 八年级 下册
第四章 因式分解
1 因式分解
复习旧知
1.整式乘法有几种形式?
(1)单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式
a(m+n)=
(3)多项式乘以多项式
am+an .
(a+b)(m+n)= am+an+bm+b. n
复习旧知
2.乘法公式有哪些?
(1)平方差公式
(a+b)(a-b)= (2)完全平方公式
哪些是因式分解?
(1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2) 2x(x-3y)=2x2-6xy (3) (5a-1)2=25a2-10a+1 (4) x2+4x+4=(x+2)2 (5) (a-3)(a+3)=a2-9
因式分解 整式乘法 整式乘法 因式分解 整式乘法
讲授新课
巩固概念
下列式子从左到右的变形是否为 因式分解？为什么?
R r 10
2
R–r
所以，铁丝与赤道之间均匀的间隙为
米. 10
2
a2
强化训练
例5 若 x-2x-m=（x+2)(x-3) 则m=_______ 例6 若 x-2ax+b=能分解成（x-1)（x-4），
则a=___,b=___
课堂小结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒等变形. • 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，特
（3）分解后的每个因式必须是整式，次数都低于原来的多项式 的次数； （4）必须分解到每个因式不能再分解为止.
讲授新课
例1 把左右两边对应的式子连起来，并说明哪些变 形是因式分解，哪些是整式乘法.
x2-y2 (3-5x)(3+5x)
(x+1)2 xy-y2
y(x-y)
9-25x2
(x-y)(x+y)
你还能再举一些类似的例子加以说明吗?
讲授新课
因式分解的定义:
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变 形叫做因式分解.因式分解也可称为分解因式.
想一想: 因式分解与整式乘法有什么联系?
讲授新课
善于辨析：因式分解与整式乘法有什么联系?
因式分解
二者是互逆的恒等变形
讲授新课
巩固概念
判断下列各式哪些是整式乘法?
m2-16 =( m+4)( y2-6y+9 =( y-)32 a3-a =( )( )(
a a+1
a+b)+c m)-4
) a-1
讲授新课
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同?
答: 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由 a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是把一个多项式化成几 个整式的积的形式.
讲授新课
计算下列各式:
(1) 3x(x-1)=
3x2-3;x
(2)m(a+b+c)= ma+mb+;mc
(3) (m+4)(m-4)=
m2;-16
(4) ( y-3)2=
y2-6y+9.
来自百度文库
(5)a(a+1)(a-1)=
.
a3-a
根据左面的算式填空:
3x2-3x=( 3x)( x-)1
ma+mb+mc=( )(m
a2 - b2.
(a±b)2= a2 2ab b. 2
讲授新课
数学中的游戏 游戏规则：
1.大家说出一个大于1的正整数. 2.写出它的立方减它本身的式子.
如： 3.不通过计算，说出这个式子能被哪些正
整数整除.
讲授新课
想一想
993-99能被100整除吗? 你 是怎样想的?
小明是这样想的:
你知道每一步的根据吗? 993-99还能被哪些整数整除?
征是向着积化和差的形式发展； • 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积的形
式，特征是向着和差化积的形式发展. • 分解因式要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
•
=2008 ×2009 ∴ 20082+2009能被2009整除
讲授新课
例4 假如用一根比地球赤道长10 米的铁丝将地球赤道围起来, 那么 铁丝与赤道之间均匀的间隙能有 多大(赤道看成圆形，设地球的半 径为r，铁丝围成圆形的半径为R)?
讲授新课
解：根据题意可得，
2 R 2r 10
2 (R r) 10
x2+2x+1
讲授新课
例2 当 a 3.14 , b 2.386 , c 1.386 时， 求 ab ac 的值 .
解: ab-ac=a(b-c) 当a=3.14, b=2.386, c=1.386时, 原式=3.14×(2.386-1.386)
=3.14
讲授新课
例3、 20082+2009能被2008整除吗? 解: ∵20082+2009=2008(2008+1)
（1）a(a 2b) a 2 2ab
否
(2)bx bx 2 bx(1 x)
是
(3)a 2 4 (a 2)(a 2)
是
(4) x2 2 x 1 x( x 2) 1 否
（5）24a 2bc 23 a 2 3bc
否
（6）x 1 x(1 1 )
否
x
讲授新课
归纳
（1）因式分解与整式的乘法是一种互逆关系； （2）因式分解的对象必须是多项式，结果要以积的形式表示；
第四章 因式分解
1 因式分解
复习旧知
1.整式乘法有几种形式?
(1)单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式
a(m+n)=
(3)多项式乘以多项式
am+an .
(a+b)(m+n)= am+an+bm+b. n
复习旧知
2.乘法公式有哪些?
(1)平方差公式
(a+b)(a-b)= (2)完全平方公式
哪些是因式分解?
(1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2) 2x(x-3y)=2x2-6xy (3) (5a-1)2=25a2-10a+1 (4) x2+4x+4=(x+2)2 (5) (a-3)(a+3)=a2-9
因式分解 整式乘法 整式乘法 因式分解 整式乘法
讲授新课
巩固概念
下列式子从左到右的变形是否为 因式分解？为什么?
R r 10
2
R–r
所以，铁丝与赤道之间均匀的间隙为
米. 10
2
a2
强化训练
例5 若 x-2x-m=（x+2)(x-3) 则m=_______ 例6 若 x-2ax+b=能分解成（x-1)（x-4），
则a=___,b=___
课堂小结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒等变形. • 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，特
（3）分解后的每个因式必须是整式，次数都低于原来的多项式 的次数； （4）必须分解到每个因式不能再分解为止.
讲授新课
例1 把左右两边对应的式子连起来，并说明哪些变 形是因式分解，哪些是整式乘法.
x2-y2 (3-5x)(3+5x)
(x+1)2 xy-y2
y(x-y)
9-25x2
(x-y)(x+y)
你还能再举一些类似的例子加以说明吗?
讲授新课
因式分解的定义:
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变 形叫做因式分解.因式分解也可称为分解因式.
想一想: 因式分解与整式乘法有什么联系?
讲授新课
善于辨析：因式分解与整式乘法有什么联系?
因式分解
二者是互逆的恒等变形
讲授新课
巩固概念
判断下列各式哪些是整式乘法?
m2-16 =( m+4)( y2-6y+9 =( y-)32 a3-a =( )( )(
a a+1
a+b)+c m)-4
) a-1
讲授新课
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同?
答: 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由 a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是把一个多项式化成几 个整式的积的形式.
讲授新课
计算下列各式:
(1) 3x(x-1)=
3x2-3;x
(2)m(a+b+c)= ma+mb+;mc
(3) (m+4)(m-4)=
m2;-16
(4) ( y-3)2=
y2-6y+9.
来自百度文库
(5)a(a+1)(a-1)=
.
a3-a
根据左面的算式填空:
3x2-3x=( 3x)( x-)1
ma+mb+mc=( )(m
a2 - b2.
(a±b)2= a2 2ab b. 2
讲授新课
数学中的游戏 游戏规则：
1.大家说出一个大于1的正整数. 2.写出它的立方减它本身的式子.
如： 3.不通过计算，说出这个式子能被哪些正
整数整除.
讲授新课
想一想
993-99能被100整除吗? 你 是怎样想的?
小明是这样想的:
你知道每一步的根据吗? 993-99还能被哪些整数整除?
征是向着积化和差的形式发展； • 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积的形
式，特征是向着和差化积的形式发展. • 分解因式要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
•
=2008 ×2009 ∴ 20082+2009能被2009整除
讲授新课
例4 假如用一根比地球赤道长10 米的铁丝将地球赤道围起来, 那么 铁丝与赤道之间均匀的间隙能有 多大(赤道看成圆形，设地球的半 径为r，铁丝围成圆形的半径为R)?
讲授新课
解：根据题意可得，
2 R 2r 10
2 (R r) 10
x2+2x+1
讲授新课
例2 当 a 3.14 , b 2.386 , c 1.386 时， 求 ab ac 的值 .
解: ab-ac=a(b-c) 当a=3.14, b=2.386, c=1.386时, 原式=3.14×(2.386-1.386)
=3.14
讲授新课
例3、 20082+2009能被2008整除吗? 解: ∵20082+2009=2008(2008+1)
（1）a(a 2b) a 2 2ab
否
(2)bx bx 2 bx(1 x)
是
(3)a 2 4 (a 2)(a 2)
是
(4) x2 2 x 1 x( x 2) 1 否
（5）24a 2bc 23 a 2 3bc
否
（6）x 1 x(1 1 )
否
x
讲授新课
归纳
（1）因式分解与整式的乘法是一种互逆关系； （2）因式分解的对象必须是多项式，结果要以积的形式表示；