几个常用的连续型分布

别重要的地位。 B
A A，B间真实距离为，测量值为X。 X的概率密度应该是什么形态？
若随机变量

1 e 2
x 2
2 2
X ~ f ( x)
x
其中 为实数， >0 ，则称X服从参数为 ,2的正态
分布,记为N(, 2)，可表为X～N(, 2).
当t >0时， F(t) P{T t } 1 P{T t } =1- {在t时刻之前无汽车过桥}
1 P{Xt 0 } 1 e t
于是
e t f (t ) F ' (t ) 0
t0 t0
3. 正态分布 正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上 研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特
正态 分布
指数分布 无记忆性
P{c<X<d}
两个参数的意义
EX 一种电子元件的使用寿命Ｘ（小时）服从正态分
布Ｎ(100,152),某仪器上装有3个这种元件，三个元 件损坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时内 无一元件损坏的概率.
解:设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数, 则YB(3,p)
(1)求该电子元件寿命超过2年的概率。
(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两年 的概率为多少？ 解
0.5e f ( x) 0
2
0 . 5 x
x0 x 0,
(1)P { X 2 } 0 . 5 e
0.5x
d x e 0.37
1
(2) P{ X 3.5 | X 1.5}
其密度函数表示为
( x)
1 e 2
x2 2
, x .
分布函数表示为
( x ) P { X x }
1 2

x

e
t2 2
dt, x
一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表 供读者查阅(x)的值。(P439附表2)如，若 Z~N（0，1）,（0.5)=0.6915, P{1.32<Z<2.43}=(2.43)-(1.32) 正态分布表 =0.9925-0.9066 注：(1) (x)＝1－ (－x)；
P{ X 3.5, X 1.5} P{ X 1.5}


3.5 1.5
0.5e
0.5x
dx e
1
0.37
0.5e
0.5x
dx
例.某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T，
设[0，t]时段内过桥的汽车数Xt服从
参数为t的泊松分布，求T的概率密度。 解 F(t) P{T t} F(t) 0 当t ≤0时，
d d
f (x)
2. 指数分布
e x , x 0 若 X～ f ( x )＝ 0, x 0
x
0
则称X服从参数为>0的指数分布。 其分布函数为
1 e x , x 0 F ( x )＝ 0, x 0
例 .电子元件的寿命X(年）服从参数为0.5的指数分布
概率与统计
几个常用的连续型分布
1. 均匀分布
1 ,a x b 若X～f(x)＝ b a 0，其它
0
f (x)
。 。
b
a
x
则称X在(a, b)内服从均匀分布。记作 X~U(a, b) 对任意实数c, d (a<c<d<b)，都有
1 d c P{c X d }＝ f ( x)dx＝ dx＝ c c ba ba
(2)令P{X x} 0.05
x 110 则 1 0.05 12 x 110 0.95 12
注:X~N(110,122).
x 110 查表得 1.645 12
x 129.74
几个常用的连续型随机变量
均匀分布
其中
90 100 p P{ X 90} ( ) ( 0.67) 0.2514 15
P{Y 0} (1 p)3 0.4195
故
2.7 随机变量函数的分布
一、离散型随机变量函数的分布律
设X一个随机变量，分布律为
X～P{X＝xk}＝pk, k＝1, 2, …
正态分布有两个特性：
(1) 单峰对称
密度曲线关于直线x=对称；
f()＝maxf(x)＝
1 . 2

(2) 的大小直接影响概率的分布 越大，曲线越平坦， 越小，曲线越陡峻，。 正态分布也称为高斯(Gauss)分布

4.标准正态分布 参数＝0，2＝1的正态分布称为标准正态分 布，记作X~N(0, 1)。
如在质量控制中，常用标准指标值±3作两条
线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发 出警报.表明生产出现异常.
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例 某地区18岁女青年的血压(收缩压)服从N(110,122). 在该地区任选一位18岁女青年,测量她的血压,
(1)求P{X<105},P{100<X<120}; (2)确定最小的x,使P{X>x}<0.05
若y＝g(x)是一元单值实函数，则Y＝g(X)也是一个
随机变量。求Y的分布律. 例:已知 X Pk
1
求：Y=X2的分布律
-1
3
0
1 3
1
1 3
Y Pk
1
2 3
0
1 3
一般地
(2) 若X～N(, 2)，则
F ( x ) P { X x } (
x

).
正态分布表
1 设随机变量X~N(-1,22),P{-2.45<X<2.45}=?
2.设 XN(,2),求P{-3<X<+3}
EX2的结果称为3 原则.在工程应用中，通常认为 P{|X- |≤3} ≈1，忽略{|X- |>3}的值.
105 110 解：（） 1 P{ X 105} 0.42 1 0.6628 0.3371 12
120 110 100 110 P{100 X 120} 12 12 0.83 0.83 2 0.7967 1 0.5934