高中数学 2.3.1平面向量基本定理课件 新人教A版必修4 (3)
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高二数学平面向量的基本定理
O
A
结
论
若A、B是直线Ｌ上任意两点，Ｏ是Ｌ外一点。 OP 关于基底 则对直线Ｌ上任一点Ｐ，存在实数ｔ，使 OB ｝的分解式为 OP =（1－t） ｛OA ， OA＋t OB （*） 并且满足（*）式的点一定在L上 P B M A L
课堂练习
已知点M 是三角形AOB的边AB的中点， 若OA ＝a，OB＝b，则OM 1 o （ a b ） 2
A
M
B
变式探究：
已知点M 是三角形AOB的边AB的中点， 1 （a b ） 若OA＝a，OB＝b，则OM 2
» 探究定理 1. 基底 e1、e2 条件： 不共线向量 内涵 基底组数： 无数组
2.定理中a1， a 2的值是否唯一？
3.定理的价值何在？
例1. 已知：
ABCD的两条对角线相交于点M，
试一试：请同学们自选基底 表示向量MA和MD.
D
M
C
A
B
例1. 已知：
分析：为了求MA和MD， 关键是先求AC,DB. b
ABCD的两条对角线相交于点M， 且 AB = a ,AD = b ,用 a ,b 表示 MA和 MD
D C
M
A
1 1 1 MA AC (a b) a b 2 2 2
a
B
1 1 1 MD DB a b 2 2 2
=(m+n) e1 +(-2m+3n) e2
m n 3 m 2 所以 ,所以c = 2a+ b 2m 3n 1 n 1
合作交流 自我总结
新人教版数学必修4同步课件：平面向量基本定理
(方法 2)因为������������ = ������������ + ������������,
而������������
=
1 2
������������
=
1 2
(������������
−
������������ ),
所以������������
=
������������
+
1 2
(������������
分析根据平面向量基本定理,结合向量的线性运算进行求解.
解(1)(方法 1)如图,因为������������ = ������������ + ������������, ������������ = ������������ + ������������, 所以 2������������ = ������������ + ������������ + ������������ + ������������.
的其他向量的基底的是( )
A.①②
B.①③
C.①④ D.③④
解析∵������������ 与������������ 不共线,������������ 与������������ 不共线,∴①③可以作为基底,
其他两组分别共线,故不可以,选 B.
答案B
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
平面向量基本定理的应用
2.3.1 平面向量基本定理
-1-
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核心素养培养目标
核心素养形成脉络
1.理解基底的定义,并能判断两个向量是否是 平面向量基本定理
基底.培养数学抽象及逻辑推理素养. 2.理解并掌握平面向量基本定理,会用基底表 示平面向量.培养数学抽象、数学运算素养. 3.掌握两个向量夹角以及两个向量垂直的定 义.培养数学运算、数学抽象素养.
高中数学第二章平面向量2.3-2.3.1平面向量基本定理课件新人教A版必修4
第二章 平面向量
[知识提炼·梳理]
1．平面向量基本定理 条件 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量
对于这一平面内的任意向量 a，有且只 结论
有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2 基底 不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面
内所有向量的一组基底
2.两个非零向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个非零向量 a 和 b，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠AOB＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角(如图所示)．
①范围：向量 a 与 b 的夹角的 范围是 0°≤θ ≤180°． ②当 θ＝0°时，a 与 b 同向； 当 θ＝180°时，a 与 b 反向．
2．在正方形 ABCD 中，A→C与C→D的夹角等于( ) A．45° B．90° C．120° D．135° 解析：如图所示，将A→C平移到C→E，则C→E与C→D的夹 角即为A→C与C→D的夹角，夹角为 135°.
解：在矩形 OACB 中，O→C＝O→A＋O→B， O→C＝λO→E＋μO→F＝λ(O→A＋A→E)＋μ(O→B＋B→F)＝
1．平面向量基本定理
(1)基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向 量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是 这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的 条件．
则 a，b 夹角为 180°－∠C. 因为|a|＝1，|b|＝ 2，c⊥a， 所以∠C＝45°，
所以 a，b 的夹角为 135°.
类型 3 平面向量基本定理的综合应用
[典例 3] (1)设点 O 是面积为 4 的△ABC 内部一点，
且有O→A＋O→B＋2O→C＝0，则△AOC 的面积为( )
A．2
(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底．
[知识提炼·梳理]
1．平面向量基本定理 条件 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量
对于这一平面内的任意向量 a，有且只 结论
有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2 基底 不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面
内所有向量的一组基底
2.两个非零向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个非零向量 a 和 b，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠AOB＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角(如图所示)．
①范围：向量 a 与 b 的夹角的 范围是 0°≤θ ≤180°． ②当 θ＝0°时，a 与 b 同向； 当 θ＝180°时，a 与 b 反向．
2．在正方形 ABCD 中，A→C与C→D的夹角等于( ) A．45° B．90° C．120° D．135° 解析：如图所示，将A→C平移到C→E，则C→E与C→D的夹 角即为A→C与C→D的夹角，夹角为 135°.
解：在矩形 OACB 中，O→C＝O→A＋O→B， O→C＝λO→E＋μO→F＝λ(O→A＋A→E)＋μ(O→B＋B→F)＝
1．平面向量基本定理
(1)基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向 量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是 这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的 条件．
则 a，b 夹角为 180°－∠C. 因为|a|＝1，|b|＝ 2，c⊥a， 所以∠C＝45°，
所以 a，b 的夹角为 135°.
类型 3 平面向量基本定理的综合应用
[典例 3] (1)设点 O 是面积为 4 的△ABC 内部一点，
且有O→A＋O→B＋2O→C＝0，则△AOC 的面积为( )
A．2
(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底．
高中数学 2.3平面向量基本定理及坐标运算课件 新人教A版必修4
线段的终点的坐标减去起点的坐标.
第十九页，编辑于星期五：十点 三十四分。
例b 、 5c .如 、 d ,并 图求 ，i， 出 用 j分 它 基 .别 们 底 表 a 的 、 示
解：aA1 AA2A 2i3j
y
A2 B
a(2,3)
b a
b2i3j(2,3) c2i3j(2,3)
A
A1
j
Oi
x
d2i3j(2,3) c
a 与 b 反向 a 与 b 垂直，记作 a b
第十四页，编辑于星期五：十点 三十四分。
例2:如图，等边三角形中，求 (1)AB与AC的夹角； (2)AB与BC的夹角。 C
C'
120 0
60
A
B
第十五页，编辑于星期五：十点 三十四分。
一个重要结论
例 3. 如,图 O、 A O不 B 共 , 且 线 AP tAB
22
24
第十三页，编辑于星期五：十点 三十四分。
二、向量的夹角:
B
b
两个非零向量 a 和 b ,作 OAa，
O
a
A
OBb,则AOB (0 180)
叫做向量 a 和 b 的夹角． 注意:两向量必须是
夹角的范围： 00,1800
同起点的
B
a
Ob B
0
a
A Bb O
180
A
b O
a
A
90
a 与b 同向
向量，那么对于这一平面内的任一向
量 a 有且只有一对实数 1、2,使
a1e12e2
其中e，e 叫做表示这一平面内 12
所有向量的一组.基底 第八页，编辑于星期五：十点 三十四分。
第十九页，编辑于星期五：十点 三十四分。
例b 、 5c .如 、 d ,并 图求 ，i， 出 用 j分 它 基 .别 们 底 表 a 的 、 示
解：aA1 AA2A 2i3j
y
A2 B
a(2,3)
b a
b2i3j(2,3) c2i3j(2,3)
A
A1
j
Oi
x
d2i3j(2,3) c
a 与 b 反向 a 与 b 垂直，记作 a b
第十四页，编辑于星期五：十点 三十四分。
例2:如图，等边三角形中，求 (1)AB与AC的夹角； (2)AB与BC的夹角。 C
C'
120 0
60
A
B
第十五页，编辑于星期五：十点 三十四分。
一个重要结论
例 3. 如,图 O、 A O不 B 共 , 且 线 AP tAB
22
24
第十三页，编辑于星期五：十点 三十四分。
二、向量的夹角:
B
b
两个非零向量 a 和 b ,作 OAa，
O
a
A
OBb,则AOB (0 180)
叫做向量 a 和 b 的夹角． 注意:两向量必须是
夹角的范围： 00,1800
同起点的
B
a
Ob B
0
a
A Bb O
180
A
b O
a
A
90
a 与b 同向
向量，那么对于这一平面内的任一向
量 a 有且只有一对实数 1、2,使
a1e12e2
其中e，e 叫做表示这一平面内 12
所有向量的一组.基底 第八页，编辑于星期五：十点 三十四分。
高中数学 平面向量的基本定理及坐标表示 第3课时 平面向量共线的坐标表示课件 新人教A必修4
❖ [答案] 2
❖ [解析] ∵λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ ＋3)，
❖ ∴存在实数k，使(λ＋2,2λ＋3)＝k(－4，－ 7)，
❖ [例5] 已知A(－1,2)，B(1,4)． ❖ (1)求AB的中点M的坐标； ❖ (2)求AB的三等分点P、Q的坐标； ❖ (3)设D为直线AB上与A、B不重合的一点，
❖ 5．已知a＝(3,2)，b＝(2，－1)，若λa＋b 与a＋λb(λ∈R)平行，则λ＝________.
❖ [答案] 1或－1
❖ [解析] λa＋b＝λ(3,2)＋(2，－1)＝(3λ＋ 2,2λ－1)，a＋λb＝(3,2)＋λ(2，－1)＝(3＋ 2λ，2－λ)．
❖ ∵(λa＋b)∥(a＋λb)，
❖ 由(k－6,2k＋4)＝λ(14，－4)，得
❖ 故当k＝－1时，ka＋2b与2a－4b平行． ❖ [点评] 可由向量平行的坐标表示的充要
条件得
❖ (k－6)×(－4)－(2k＋4)×14＝0，得k＝－1.
❖ (08·全国Ⅱ)设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若 向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ ＝______.
❖ 3．[在证明直] 角由坐已标知条系件x得O，y内A→B，＝(已0,1)知－(A－(－2，2－，3)＝－(23,4)，)， A→BC(＝0,(12),5，)－C(－(22,，5)－，3)求＝(证4,8A)．、B、C三点共线．
∵2×8－4×4＝0，∴A→B∥A→C，
∵A→B与A→C有公共点 A，∴A、B、C 三点共线．
❖ 重点：用平面向量坐标表示向量共线条件．
❖ 难点：运用平面向量坐标表示向量共线条件 的应用，体会向量在解题中的工具性作用．
❖ 1．若a与b共线(b≠0)，则存在实数λ，使a ＝λb，这里b≠0的条件千万不可忽视，而 在坐标表示的共线条件中，若a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，对任 意向量a，b都成立，解题时，要区别应 用．
❖ [解析] ∵λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ ＋3)，
❖ ∴存在实数k，使(λ＋2,2λ＋3)＝k(－4，－ 7)，
❖ [例5] 已知A(－1,2)，B(1,4)． ❖ (1)求AB的中点M的坐标； ❖ (2)求AB的三等分点P、Q的坐标； ❖ (3)设D为直线AB上与A、B不重合的一点，
❖ 5．已知a＝(3,2)，b＝(2，－1)，若λa＋b 与a＋λb(λ∈R)平行，则λ＝________.
❖ [答案] 1或－1
❖ [解析] λa＋b＝λ(3,2)＋(2，－1)＝(3λ＋ 2,2λ－1)，a＋λb＝(3,2)＋λ(2，－1)＝(3＋ 2λ，2－λ)．
❖ ∵(λa＋b)∥(a＋λb)，
❖ 由(k－6,2k＋4)＝λ(14，－4)，得
❖ 故当k＝－1时，ka＋2b与2a－4b平行． ❖ [点评] 可由向量平行的坐标表示的充要
条件得
❖ (k－6)×(－4)－(2k＋4)×14＝0，得k＝－1.
❖ (08·全国Ⅱ)设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若 向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ ＝______.
❖ 3．[在证明直] 角由坐已标知条系件x得O，y内A→B，＝(已0,1)知－(A－(－2，2－，3)＝－(23,4)，)， A→BC(＝0,(12),5，)－C(－(22,，5)－，3)求＝(证4,8A)．、B、C三点共线．
∵2×8－4×4＝0，∴A→B∥A→C，
∵A→B与A→C有公共点 A，∴A、B、C 三点共线．
❖ 重点：用平面向量坐标表示向量共线条件．
❖ 难点：运用平面向量坐标表示向量共线条件 的应用，体会向量在解题中的工具性作用．
❖ 1．若a与b共线(b≠0)，则存在实数λ，使a ＝λb，这里b≠0的条件千万不可忽视，而 在坐标表示的共线条件中，若a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，对任 意向量a，b都成立，解题时，要区别应 用．
高中数学 2.3.1-2.3.3平面向量基本定理课件 新人教版必修4
如果是1只大猴子和4只小猴子呢?
a
5
如果要让这筐桃子往我们指定的方向运动,如何改 变大小猴子的数量?
C
M
a
e2 e1
N
a B e1
A
o e2
OC=OM+ON = xe1+y e2
a
6
给定平面内任意两个不共线向量e1 、 e2，其他任 一向量是否都可以表示为xe1+y e2的形式？
C
M
a
e2 e1
2.3.1平面向量的基本定理 2.3.2平面向量的正交分解 及坐标表示 2.3.3平面向量的坐标运算
a
1
温故知新 向量的加法(三角形法则)
a
b
a+b
向量的加法(平行四边形法则)
a a+b
向量的减法(三角形法则） a
b
a-b
向量的数乘运算
b
对实数λ和向量a
(1) |λa|=|λ| |a|
(2) 当λ>0时,λa的方向与a方向相同；
当λ<0时,λa的方向与a方向相反；
特别地，当λ=0或a=0a时, λa=0
2
设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有： ①λ(μa)=(λμ) a ②(λ+μ) a=λa+μa ③λ(a+b)=λa+λb
特别地: ( ) a (a )( a )
(a b )a b
向量 a（a≠ 0）与 b 共线，当且仅当
有唯一一个实数λ，使 b=λa
a
3
问题:一天,2只住在正西方向的大猴子和4只住在北 偏东30°方向的小猴子同时发现一筐桃子,他们分 别朝着自己住的方向拉,已知每只大猴子的拉力是 100牛顿,每只小猴子的拉力是50牛顿,问这筐桃子 往哪边运动?
a
5
如果要让这筐桃子往我们指定的方向运动,如何改 变大小猴子的数量?
C
M
a
e2 e1
N
a B e1
A
o e2
OC=OM+ON = xe1+y e2
a
6
给定平面内任意两个不共线向量e1 、 e2，其他任 一向量是否都可以表示为xe1+y e2的形式？
C
M
a
e2 e1
2.3.1平面向量的基本定理 2.3.2平面向量的正交分解 及坐标表示 2.3.3平面向量的坐标运算
a
1
温故知新 向量的加法(三角形法则)
a
b
a+b
向量的加法(平行四边形法则)
a a+b
向量的减法(三角形法则） a
b
a-b
向量的数乘运算
b
对实数λ和向量a
(1) |λa|=|λ| |a|
(2) 当λ>0时,λa的方向与a方向相同；
当λ<0时,λa的方向与a方向相反；
特别地，当λ=0或a=0a时, λa=0
2
设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有： ①λ(μa)=(λμ) a ②(λ+μ) a=λa+μa ③λ(a+b)=λa+λb
特别地: ( ) a (a )( a )
(a b )a b
向量 a（a≠ 0）与 b 共线，当且仅当
有唯一一个实数λ，使 b=λa
a
3
问题:一天,2只住在正西方向的大猴子和4只住在北 偏东30°方向的小猴子同时发现一筐桃子,他们分 别朝着自己住的方向拉,已知每只大猴子的拉力是 100牛顿,每只小猴子的拉力是50牛顿,问这筐桃子 往哪边运动?
高中数学《平面向量基本定理》课件
17
课前自主预习
课堂互动探究
课堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修4
由于 a，b 为基底，所以113－m＝m＝1－12nn，，
所以A→E＝25a＋15 b．
解得mn＝＝5435，，
18
课前自主预习
课堂互动探究
课堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修4
[条件探究] 若将例 2 中的“A→N＝12N→C”改为“A→N＝14 N→C”，其他条件不变，试用 a，b 表示A→E.
解 由已知得A→N＝15A→C＝15b，A→M＝12A→B＝12a， ∵N，E，B 三点共线， ∴设A→E＝mA→N＋(1－m)A→B＝m5 b＋(1－m)a， 又∵C，E，M 三点共线，
19
课前自主预习
课堂互动探究
课堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修4
∴设A→E＝nA→M＋(1－n)A→C＝n2a＋(1－n)b， ∴m5 b＋(1－m)a＝n2a＋(1－n)b，∵a，b 不共线，
解析 ∵3e1＋3e2＝3(e1＋e2)， ∴两个向量共线，不能作为基底．
6
课前自主预习
课堂互动探究
课堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修4
(2)(教材改编 P94 向量夹角的定义)在锐角三角形 ABC 中，关于向量夹角的说法正确的是( )
A．A→B与B→C的夹角是锐角 B．A→C与A→B的夹角是锐角 C．A→C与B→C的夹角是钝角 D．A→C与C→B的夹角是锐角
由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能 构成一组基底，故①③满足题意．
13
课前自主预习
课堂互动探究
课堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修4
高中数学必修4 2.3.1-2平面向量的基本定理及坐标表示 PPT课件
关系如何？从而向量a与e1，e2的关系如
何？ OM
1e1,
ON 2e2.
a 1e1 2e2.
B
N
C
B
N
C
O
uuur
A
M
OM =
AO
M
uuur ON =
OM 1e1, ON 2e2, a 1e1 2e2
思考5：若上述向量e1，e2，a都为定向量， 且e1，e2不共线，则实数λ1，λ2是否存在？
探究（一）：平面向量基本定理
思考1：给定平面内任意两个向量e1，e2， 如何求作向量3e1＋2e2和e1－2e2？
e1-2e2
B
e2
2e2
C
e1
O e1 D
3e1 A
3e1＋2e2
思考2：如图，设OA，OB，OC为三条共
点射线，P为OC上一点，能否在OA、OB
上分别找一点M、N，使四边形OMPN为平
3.平面向量共线定理是什么？
非零向量a与向量b共线
存在唯
一实数λ ，使b＝λa.
4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重
力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压 力为F2，这三个力的方向分别如何？ 三者有何相互关系？
F1
G
F2
5.在物理中，力是一个向量，力的合成 就是向量的加法运算.力也可以分解， 任何一个大小不为零的力，都可以分解 成两个不同方向的分力之和.将这种力 的分解拓展到向量中来，就会形成一个 新的数学理论.
b
a
思考3：把一个向量分解为两个互相垂直
的向量，叫做把向量正交分解.如图，向 量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量 a与i的夹角是30°，且|a|=4，以向量i、 j为基底，向量a如何表示？
高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件 a必修4a高二必修4数学课件
2021/12/8
第十一页，共二十六页。
(2) 如图所示,在△ABC 中,点 M 是 AB 的中点,且 AN = 1 NC ,BN 与 CM 相交于 2
点 E,设 AB =a, AC =b,试用基底 a,b 表示向量 AE .
解:(2)由已知,在△ABC 中, AM = MB ,且 AN = 1 NC ,已知 BN 与 CM 交于点 E, 2
第五页，共二十六页。
【拓展延伸】
对平面向量基本定理的理解 (1)这个定理告诉我们,在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和,且这 样的分解是唯一的,同一非零向量在不同的基底下的分解式是不同的,而零向量的分解式是唯一的,
即0=λ1e1+λ2e2,且λ1=λ2=0. (2)由平面向量基本定理可知,如果(rúguǒ)将平面内向量的起点放在一起,那么平面 内的任意一个点都可以通过两个不共线的向量得到表示,也就是说,平面内的点可 以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示. (3)由平面向量的基本定理知,在平面内任取两个不共线的向量作为一组基底,则平面内的任 一向量都可以用这组基底表示出来,因而可以简化向量的个数.
2021/12/8
第八页，共二十六页。
3.在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=2CD,M,N 分别为 CD,BC 的中点,若 AB =λ AM + μ AN ,则λ+μ等于( D )
(A) 1 5
(B) 2 5
(C) 3 5
(D) 4 5
解析:因为 AB = AN + NB = AN + CN = AN +( CA + AN )=2 AN + CM + MA =
(6)平面向量基本定理可推广为:在平面内任意(rènyì)三个不共线的向量中,任何一个 向量都可表示为其余两个向量的线性组合,且形式唯一.
高中数学探究导学课型第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理课件新人教版必修4
1 AB 2 AC.
所以6λ1+λ32= 1 .
答案: 1
2
2
第十四页，共46页。
【备选训练】已知G为△ABC的重心(zhòngAxīBn),a,设AC b. 试用基底a,b表示向量 AG(仿. 照教材P94例1的解析过程)
第十五页，共46页。
【解析】连接(liánjiē)AG并延长,交BC于点D,则D为BC的
的夹角为
答案:120°
第十二页，共46页。
4.设D,E分别(fēnbié)是△ABC的边AB,BC上AD的点1 A,B，
2
BE 2 BC，若
3
DE 1AB 2 AC (λ1,λ2为实数),则
λ1+λ2的值为________.
第十三页，共46页。
【解析( jiě xī)】D易E知 1 AB 2 BC 1 AB 2 AC AB 23 23
3
故AG AB BG AB 2 BF a 2 (b 1 a)
3
32
a 2 b 1 a 2 a 2 b. 3333
第三十二页，共46页。
2.若本例中的基向量 “AB, AD”换为“CE，C即F”若 CE a,CF b试, 用(shìyòng)a,b表示D向E,量BF. 【解析】
第十七页，共46页。
2.对于同一向量a,若基底不同,则表示这一向量a的实数 λ1,λ2的值是否相同? 提示(tíshì):不相同,根据平面向量基本定理 a=λ1e1+λ2e2,向量e1,e2改变时,λ1,λ2的值也变化.
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【拓展延伸】平面向量基本定理的实质 这个(zhè ge)定理告诉我们,平面内任意向量都可以沿 两个不共线的方向分解为两个向量的和,并且这种分解 是唯一的.λ1e1+λ2e2叫做e1,e2的一个线性组合.由平 面向量基本定理可知,如果e1,e2不共线,那么由e1,e2的 所有线性组合构成的集合{λ1e1+λ2e2}(λ1,λ2∈R) 就是平面内的全体向量.