4数学习题_高中数学笔记_2017状元笔记_河北衡水中学理科学霸
衡水金卷河北衡水中学2017-2018年高二下学期期中考试数学(理)试卷(解析版)
理数试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 与极坐标表示的不是同一点的极坐标是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用极坐标的表示方法，即可得出结果．详解：点在直角坐标系中表示点，而点在直角坐标系中表示点，所以点和点表示不同的点，故选B．点睛：本题主要考查了极坐标的表示方法，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．2. 给出下列表述:①综合法是由因导果法；②综合法是顺推证法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推证法.其中正确的表述有（）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】结合综合法和分析法的定义可知①②③⑤均正确，分析法和综合法均为直接证明法，故④不正确．考点：综合法和分析法的特征.3. 设复数满足（为虚数单位），则的共轭复数（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，所以,的共轭复数为，故选D.4. 用反证法证明命题“若，则且”时，下列假设的结论正确的是（）A. 或B. 且C. 或D. 且【答案】A【解析】试题分析：反证法要假设所要证明的结论的反面成立，本题中要反设成立考点：反证法5. 方程（为参数）表示的曲线是（）A. 双曲线B. 双曲线的上支C. 双曲线的下支D. 圆【答案】B【解析】由题意得，方程，两式相减，可得，由，所以曲线的方程为，表示双曲线的上支，故选B.考点：曲线的参数方程.6. 若，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用定积分，将已知化简，即可比较大小．详解：由题意，可得，，，则，所以，故选A．点睛：本题主要考查了定积分的运算，其中根据微积分基本定理，求解的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．7. 老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”：有甲、乙、丙个柱子，在甲柱上现有个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上（如图），把这个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束.在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下.设游戏结束需要移动的最少次数为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，根据甲乙丙三图可知最上面的两个是一样大小的，所以比三个操作的此时要多，此四个操作的此时要少，相当与操作三个的时候，最上面的那衣蛾动了几次，就会增加几次，故选C.考点：归纳推理.8. 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，如果用，，表示三个侧面面积，表示截面面积，那么类比得到的结论是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：利用从平面图形到空间图形的类比推理，即可得到结论．详解：建立从平面图形到空间图形的类比，与可得类比得到，故选B．点睛：本题主要考查了从平面图形到空间的类比推理，着重考查了学生的知识量和知识的迁移，类比的基本能力，解答的关键是掌握好类比推理的概念与应用．9. 设函数，则函数的所有极大值之和为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵函数，∴，∵时，时，，∴时原函数递增，时，函数递减，故当时，取极大值，其极大值为，又，∴函数的各极大值之和．故选D．10. 已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），是曲线上的动点.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，若曲线的极坐标方程为，则点到的距离的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：把曲线的极坐标方程，可得曲线的直角坐标方程为，设曲线上点的坐标为，由点到直线的距离公式，即可求得最大值．详解：由曲线的极坐标方程为，可得曲线的直角坐标方程为，由曲线的参数方程，设曲线上点的坐标为，由点到直线的距离公式可得，当时，取得最大值，此时最大值为，故选B．点睛：本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及曲线的参数方程的应用，着重考查了推理与运算能力．11. 已知函数与的图象如图所示，则函数（其中为自然对数的底数）的单调递减区间为（）A. B. ， C. D. ，【答案】D【解析】分析：结合函数的图象求出成立的的取值范围，即可得到结论．详解：结合函数的图象可知：和时，，又由，则，令，解得，所以函数的递减区间为，故选D．点睛：本题主要考查了导数的四则运算，以及利用导数研究函数的单调性，求解单调区间，其中结合图象，得到，进而得到的解集是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．12. 已知函数，若关于的方程有个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：利用导数得函数的单调性并求得最值，求解方程得到或，画出函数的图象，结合图象即可求解． 详解：设，则，令，得，当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数，所以当时，函数取得极大值也是函数的最大值， 由方程，可得或，画出函数的图象，如图所示， 结合图象可得实数的取值范围是，故选C ．点睛：本题主要考查了根的存在性与根的个数的判断，考查了利用导数求解函数的单调性与函数的最值，其中把根的存在性与根的个数问题转化为函数的图象的交点问题是解答的关键，着重考查了转化思想方法，以及数形结合思想的应用，试题属于中档试题．第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13. 复数（为虚数单位）的虚部为__________．【答案】【解析】分析：利用复数的运算，化简得，即可得到复数的虚部．详解：由题意，复数，所以复数的虚部为．点睛：本题主要考查了复数的运算法则和复数的基本概念，其中熟记复数的四则运算法则和复数的基本概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．14. 在极坐标系中，直线的方程为，则点到直线的距离为__________．【答案】【解析】分析：把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，把的极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式求得它到直线的距离即可．详解：把直线的方程化为直角坐标方程得，点的直角坐标为，由点到直线的距离公式，可得．点睛：本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15. 在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”.四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是__________．【答案】甲【解析】试题分析：若负主要责任的是甲，则甲乙丙都在说假话，只有丁说真话，符合题意．若负主要责任的是乙，则甲丙丁都在说真话，不合题意．若负主要责任的是丙，则乙丁都在说真话，不合题意．若负主要责任的是丁，则甲乙丙丁都在说假话，不合题意．考点：逻辑推理．16. 已知实数，满足，，则的最小值为__________．【答案】【解析】分析：分别设，则表曲线上的点到直线的距离，则最小值表示与直线平行的切线之间的距离，求出曲线的切线方程，根据平行线之间的距离公式，即可求解．详解：分别设，则表曲线上的点到直线的距离，所以最小值表示与直线平行的切线之间的距离，因为，所以，令，解得，所以，所以曲线过点的切线方程为，即，所以直线与直线间的距离为，即最小值．点睛：本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，以及两条平行线之间的距离公式的应用，其中解答中把最小值转化为直线平行的切线之间的距离上解答的关键，着重考查了转化与化归思想，以及推理与计算能力，试题属于中档试题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设复数，其中为虚数单位，当实数取何值时，复数对应的点：（1）位于虚轴上；（2）位于一、三象限；（3）位于以原点为圆心，以为半径的圆上.【答案】（1）（2）（3）或【解析】分析：（1）根据题设条件得到复数对应点坐标，当复数位于虚轴上时，实部为零，虚部不为零，即可求解；（2）当复数位于一、三象限时，复数满足实部和虚部之积大于零，即可求解；（3）位于以原点为圆心，以为半径的圆上时，满足，即可求解．详解：（1）复数对应的点位于虚轴上，则.∴时，复数对应的点位于虚轴上.（2）复数对应的点位于一、三象限，则或.∴当时，复数对应的点位于一、三象限.（3）复数对应的点位于以原点为圆心，以为半径的圆上，则或.∴或时，复数对应的点位于以原点为圆心，以为半径的圆上.点睛：本题主要考查了复数表示，解答中根据题设条件求出复数对应点的坐标，结合点的位置列出不等式组或关系式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．18. 已知数列的前项和为，且满足，.（1）写出，，，并推测数列的表达式；（2）用数字归纳法证明（1）中所得的结论.【答案】（1），，.（2）见解析【解析】分析：（1）利用，代入计算，即可得到的值，猜想；（2）利用数学归纳法进行证明，检验当时等式成立，假设是命题成立，证明当时，命题也成立即可．详解：（1）将，，分别代入，可得，，.猜想.（2）①由（1），得时，命题成立；②假设时，命题成立，即，那么当时，，且，所以，所以，即当时，命题也成立.根据①②，得对一切，都成立.点睛：本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及数列归纳、猜想、证明，对于数学归纳法的证明，一般分三步：（1）验证成立；（2）假设是命题成立，证明当时，命题也成立，从而得证，这是数列通项的一种求解方法，着重考查了推理与论证能力．19. 在平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数，），以为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知曲线与曲线交于，两点，且，求实数的值.【答案】（1）,（2）或.【解析】试题分析: （Ⅰ）根据加减相消法将曲线参数方程化为普通方程，利用将曲线（Ⅱ）先将直线参数方程转化为（为参数，），再根据直线参数方程几何意义由得，最后将直线参数方程代入，利用韦达定理得关于的方程，解得的值.试题解析: （Ⅰ）曲线参数方程为,∴其普通方程，由曲线的极坐标方程为,∴∴,即曲线的直角坐标方程.（Ⅱ）设、两点所对应参数分别为，联解得要有两个不同的交点，则,即，由韦达定理有根据参数方程的几何意义可知，又由可得，即或∴当时，有，符合题意．当时，有，符合题意．综上所述，实数的值为或．20. 某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级的对应关系，如下表所示（假设该区域空气质量指数不会超过）：级优级良级轻度污染级中度污染级重度污染级严重污染该社团将该校区在年某天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率.（1）请估算年（以天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）；（2）该校年月、、日将作为高考考场，若这三天中某天出现级重度污染，需要净化空气费用元，出现级严重污染，需要净化空气费用元，记这三天净化空气总费用为元，求的分布列及数学期望.【答案】（1）110（2）见解析【解析】试题分析: （Ⅰ）根据频率分布直方图知小长方形面积为对应区间概率，先计算空气质量优良区间对应的概率，再根据频数等于总数乘以概率得空气质量优良的天数，（Ⅱ）先确定随机变量取法，再分别求对应概率，列表得分布列，最后根据期望公式求数学期望.试题解析: （Ⅰ）由直方图可估算年（以天计算）全年空气质量优良的天数为（天）．（Ⅱ）由题可知，的所有可能取值为：，，，，，，，则：，．的分布列为（元）．21. 已知抛物线的焦点为椭圆：的右焦点，点为此抛物线与椭圆在第一象限的交点，且.（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线，，直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【试题分析】（1）依据题设条件建立方程组求解；（2）借助题设条件，运用直线与椭圆的位置关系，通过研究坐标之间的关系进行分析探求：(1)由已知可得的焦点坐标为，设，则，解得，所以，由点在椭圆上，得，即，又，解得，所以椭圆的方程为.(2)设直线的方程为，由，得，则，，当时，直线的方程为，由，得.即，所以，所以，设，则，则，由于，在上为增函数，，则，当时，的中点为，则，，综上，，故的取值范围是.点睛：椭圆是重要的圆锥曲线代表之一，也是高中数学的重要知识点与高考的必考考点。
河北省衡水中学2017届高三高考猜题卷理数试题
2017 年高考衡水猜题卷理科数学第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 ,每题 5 分,共 60 分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 .1.设全集Q x 2x25x 0, x N ，且P Q ，则知足条件的会合P的个数是（）A．3B．4C．7D．82.已知i是虚数单位，复数5i的虚部为（）12iA．1B．1C．i D．i3.某样本中共有5个个体，此中四个值分别为0,1,2,3 ，第五个值丢掉，但该样本的数为 1，则样本方差为（）A．2B．6C．2D．30 554.双曲线C : x 2y2 1(a 0,b0)的离心率为 2，焦点到渐近线的距离为3，则C的a 2b2焦距等于（）A．4B．22 C.2D．4 2x 0,5.若不等式组y 2x,表示的平面地区是一个直角三角形，则该直角三角形的kx y 10面积是（）A．1B．1C.1D．1或1 542546.已知sin2cos 10，则 tan2（）2A．4B．3C.3D．4 34437.《九章算术》是我国古代的数学名著，表现了古代办感人民的数学智慧，此中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师依据这一问题的思想设计了以下图的程序框图，若输出 m 的值为35，则输入 a 的值为（）A．4B．5 C.7D．118.如图，过抛物线y2 2 px p0 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点A, B，交其准线于点 C，若 BC2BF ，且 AF 3 ，则此抛物线方程为（）A．y29x B．y26x C. y23x D．y23x9.已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是．．该三棱锥的三视图的是（）A．B． C.D．10.在ABC 中， AB AC 2, BCgcos A 1 ，则 cosA 的值所在区间为（）A．0.4, 0.3B．0.2, 0.1 C.0.3, 0.2D．0.4,0.51, x 0,11.已知符号函数 sgn x 0, x 0, 那么 y sgn x 3 3x 2 x 1 的大概图象是（ ）1, x 0,A ．B ．C.D ．12.已知函数 f xe x a x ，关于随意的 x 1, x 2 1,2 ，且2ex 1 x 2 , f x 1f x 2x 1 x 20 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）A ．e 2, e 2B ．e 2 , e 2 C. e 2 , e 2D ． e 2 ,e 24 42233第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知 x 12x 22016a 0 a 1 x 2 a 2 x 22L a 2018 x 22018，则a 1 a 2a 3 La 2018的值是．222232201814.已知一个公园的形状以下图，现有 3 种不一样的植物要种在此公园的A, B, C , D , E ，这五个地区内，要求有公共界限的两块相邻地区种不一样的植物，则不一样的种法共有 种．15.已知函数 f xsin x ，若存在 x 1 , x 2 ,L , x m 知足 0 x 1 x 2 Lx m 6 ，且f x 1 f x 2f x 2f x 3 Lf x m 1 f x m 12 m2,m N，则 m 的最小值为．16.已知等腰直角ABC 的斜边 BC 2 ，沿斜边的高线 AD 将ABC 折起，使二面角B ADC 为，则四周体 ABCD 的外接球的表面积为．3三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17. 已知等差数列 a n 的公差为 2 ，前 n 项和为 S n ，且 S 1 , S 2 , S 4 成等比数列 .（I ）求数列 a n 的通项公式；（II ）令 b n 1n 14n，求数列 b n 的前 n 项和 T n .a nan 118. 如图，在四棱锥 E ABCD 中，底面 ABCD 为正方形， AE 平面 CDE ，已知AE DE2, F 为线段 DF 的中点 .（ I ）求证： BE P 平面 ACF ；（ I I ）求平面 BCF 与平面 BEF 所成锐二面角的余弦角 .19. 龙虎山花语世界位于龙虎山主景区排衙峰下，是一座独具现代园艺风格的花卉公园，园内聚集了 3000余栽花卉苗木， 一年四时如花似锦花香四溢 .花园景观交融法、英、意、美、日、中六大经典园林风格，景观设计唯美新奇，玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、小孩乐园等景点有条有理，交相响应又自成一体，是世界园艺景观的大展现 .该景区自 2015 年春建成，试运转以来， 每日游人如织，郁金香、向日葵、虞佳人等赏花旺季日入园人数最高达万人.某学校社团为认识进园游客的详细情况以及收集游客对园区的建议，特别在 2017年 4 月 1日赏花旺季对进园游客进行取样检查，从当天 12000名游客中抽取 100 人进行统计剖析，结果以下：年纪频数频次男女0,10100.15510,20①②③④20,30250.25121330,40200.2101040,50100.16450,60100.13760,7050.51470,8030.31280,9020.202共计100 1.004555（I）达成表一中的空位①~④，并作答题纸中补全频次散布直方图，并预计2017年 4 月 1日当天招待游客中 30岁以下的游戏的人数.(II)达成表二，并判断可否有 97.5%的掌握以为在观花游客中“年纪达到 50岁以上”与“性别”有关；(表二）50岁以 50 岁以合上下计男生女生合计P K 2k00.15 0.10 0.05 0.0250.010 0.005 0.00110.828k0 6.635 7.8792（参照公式： K 2n ad bc，此中 n a b c d ）a b c d a c b d（III ）按分层抽样（分50岁以上与50岁以下两层）抽取被检查的100位游客中的10人作为好运游客免费领取龙虎山内部景区门票，再从这10 人中选用2 人接受电视台采访，设这 2 人中年纪在 50 岁以上（含 50岁）的人数为，求的散布列.20. 给定椭圆C :x2y2，称圆心在原点 O ，半径为22的圆是椭圆 C a2b21 a b 0a b的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为 F 2,0 ，其短轴上的一个端点到F的距离为3. (I)求椭圆 C 的方程和其“准圆”的方程；(II)点 P 是椭圆 C 的“准圆”上的动点，过点 P 作椭圆的切线l1,l2交“准圆”于点M , N.(i) 当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1,l2的方程，并证明l1l2；(ii)求证 :线段MN的长为定值 .21. 已知函数f x 1 x2 a ln x a R .2(I ）若函数f x在x 2 处的切线方程为y x b ，求 a 和b的值;(II)议论方程 f x 0 的解的个数，并说明原因.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线 C 的极坐标方程是2 4 cos 6 sin 12 ，以极点为原点，极轴为 x 轴x2 1 t的正半轴成立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为2( t为参数） .y1 3 t2(I)写出直线 l 的一般方程与曲线 C 的直角坐标方程，并判断它们的地点关系；(II)将曲线 C 向左平移 2 个单位长度，向上平移 3 个单位长度，获得曲线 D ，设曲线 D 经过伸缩变换x 'x,获得曲线 E ，设曲线 E 上任一点为 M x, y ，求3x1y 的y' 2 y,2取值范围 .23.选修 4-5：不等式选讲设函数 f x x a , a R .(I)当 a 5 时，解不等式 f x 3 ；(II) 当a 1 时，若x R ，使得不等式 f x 1 f 2x 1 2m 成立，务实数m的取值范围 .试卷答案一、选择题1-5: DBAAD 6-10:CACDA11、12： DB二、填空题201816.713. 114.1815.823三、解答题17.解：（I ）由于 S 1 a 1 ，S 22 12a 1 2 ，2a 122S 44 34a 1 12 ，4a 122由题意，得 2a 1 2a 1 4a 1 12 ，2解得因此a 1 1，a n 2n 1, n N .n 14n（II ）由题意，可知 b n1a nan 1n 14n12n1 2n 1n 111.12n12n1当 n 为偶数时，T n111 1 L 13 11 11 11 111 2n ；33 5 2n 2n 2n 2n2n 2n 1当 n 为奇数时，T n(1 1) ( 11) ... (13 1 ) ( 1 1 1 ) 1 1 1 2n 233 52n 2n 1 2n 2n 1 2n 2n 1.2n 2, n 为奇数 ,因此 T n2n 12n, n 为偶数 .2n 12n 11 n 1（或 T n）2n118.解：（1）连结 BD 和 AC 交于点 O ，连结 OF ，由于四边形 ABCD 为正方形，因此O 为 BD 的中点 .由于 F 为 DE 的中点，因此 OF PBE .由于 BE平面 ACF ,OF 平面 AFC ，因此 BE P 平面 ACF .(II) 由于 AE 平面 CDE ,CD 平面 CDE ，因此 AE CD .由于 ABCD 为正方形，因此 CD AD .由于 AEAD A,AD, AE平面 DAE ，因此 CD 平面 DAE .由于 DE平面 DAE ，因此 DE CD .因此以 D 为原点，以 DE 所在直线为 x 轴成立以下图的空间直角坐标系，则 E 2,0,0 , F 1,0,0 , A 2,0,2, D 0,0, 0 .由于因此AE 平面 CDE , DE 平面 CDE ,AE CD .由于 AE DE 2，因此 AD2 2.由于四边形 ABCD 为正方形，因此 CD2 2 ，因此 C 0,2 2,0 .由四边形 ABCD 为正方形，uuuv uuuv uuuv2,2 2,2,得 DB DA DC因此 B 2,3 2,2 .设平面 BEF 的一个法向量为 n 1uuuvuuuv1,0,0 ， x 1 , y 1 , z 1 ，又知 BE0, 2 2,2 ,FEuuuv由n 1 BE 02 2 y 1 2 z 1 0,n 1 uuuvx 1 0,FE 0令 y 1 1 ，得 x 1 0, z 1 2 ，因此 n 10,1, 2.设平面 BCF 的一个法向量为 n 2uuuvuuuv2 2,0) ,x 2 , y 2 , z 1 2 ，又知 BC( 2,0,2), CF (1,n 2 uuuv2x 2 2z 2 0, 由 BCuuuv x 2 2 2y 20,n 2 CF 0令 y 2 1 ，得 x 2 2 2, z 2 2 2 ，因此 n 22 2,1, 2 2 .设平面 BCF 与平面 BEF 所成的锐二面角为 ，又 cos n , nn 1 n 2 1 4 5 51，12n 1 n 2 317 51则 cos5 51. 51因此平面 BCF 与平面 BEF 所成的锐二面角的余弦值为 5 51 .5119.解：（ I）达成表（一）：15;0.15;7;8 .达成以下频次散布直方图：由于年纪在 30 岁以下的频次为 0.1 0.15 0.25 0.5，以频次作为概率，预计2017 年 4 月 1日当天招待游客中 30岁以下的人数为12000 0.5 6000.（II ）达成2 2列联表以下：50岁以50 岁以合上下计男54045生女154055生合2080100计100 54040152K 2的观察值 k400 4.040 5.024，2080554599因此没有的掌握以为在观花游客中“年纪达到岁以上”与“性别”有关.(III)由分层抽样应从这 10 人中抽取到 50 岁以上的人的人数为 10 0.2 2 人，50岁以下的人的人数为8 人，故的全部可能的取值为0,1,2 .P0C20C8228 ，C10245P1C21C8116 ，C10245P2C22C801，C102 45故的散布列为01228161P45454520.解：（ I）由于由题易知c2, a3 ，因此 b 1，因此椭圆的方程为x2y 21，3准圆的方程为x2y2 4 .(II)(i) 由于准圆x2y2 4 与y轴的正半轴的交点为P 0,2 ，设过点 P 0,2 且与椭圆相切的直线为y kx 2 ，y kx2,由x2y21,3得 1 3k2 x2 12kx 9 0 .由于直线 y kx 2 与椭圆相切，因此144k2 4 9 1 3k 20 ，解得 k1.因此 l1 , l2的方程分别为 y kx 2 ， y x 2 .由于 k1 k21 ，因此 l1 , l 2.(ii) 当直线l1,l2中有一条斜率不存在时，不如设直线l1的斜率不存在，则 l1的方程为x3 .当 l1的方程为 x 3 ， l1与准圆交于点3,1 ， 3, 1 ，此时 l2的方程为 y1（或 y1）明显直线 l1, l2垂直.同理可证 l1 : x 3 ，直线l1, l2垂直.②当直线 l1, l2斜率均存在时，设点 P x0 , y0，此中x02y02 4 .设经过点 P x0 , y0与椭圆相切的直线为y t x x0y0 ,y t x x0y0 ,2由xy21,得 1 3t 2 x26t y0 tx0 x 3 y0tx023 0 .由0 ，化简整理，得3x02t22x0 y0t 1 y020 .由于 x02y02 4 ，因此有 3 x02t 22x0 y0t1y020 .设直线 l1 ,l 2的斜率分别为 t1, t2，由于 l1 , l2与椭圆相切，因此 t1, t2知足方程3 x02t22x0 y0t x02 3 0 .因此 t1, t21，即 l1l 2.综合①②知，由于l ,l经过P x, y，又分别交准圆于点M , N ，且 l1 ,l 2互相垂直，因此线段 MN 为准圆x2y2 4 的直径，因此 MN 4，因此经段 MN 的长为定值.21.解：（I ）由于f ' x x a x 0 ，x又 f x 在 x 2 处的切线方程为y x b ，因此解得f 2 2 a ln 2 2 b, f ' 2 2a1，2a 2,b2ln 2 .（II ）当a 0时，f x 在定义域 0,内恒大于 0 ，此时方程无解.当 a0时， f ' x x a0 在区间0,内恒成立，x因此 f x 的定义域内为增函数.11由于 f 11 0, f e a1 e a 1 0 ，22因此方程有独一解 .当 a0 时，f ' x x2 a .x当 x0, a 时，f 'x0 ，f x 在区间0, a 内为减函数，当 x a ,时， f ' x0 ，f x 在区间x a,内为增函数，因此当 x a 时，获得最小值f a 1 a 1 ln a .2当 a 0,e 时，f a1 a 1 ln a0 ，无方程解；2当 a e 时， f a 1a 1ln a 0 ，方程有独一解. 2当 a e,时，f a 1a 1 ln a 0 ，12 0，且 a 1 ，由于 f 12因此方程 f x0 在区间0, a内有独一解，当 x 1 时，设 g x x ln x, g ' x11，x因此 g x 在区间 1,内为增函数，又 g 11，因此 x ln x0 ，即 ln x 0 ，故 f x 1 x2aln x 1 x2ax .22由于 2a a1，因此 f2a122a20 .2a2因此方程 f x0 在区间a,内有独一解，因此方程 f x0 在区间0,内有两解，综上所述，当 a 0,e 时，方程无解，当 a 0 ，或a e时，方程有独一解，当a e 时，方程有两个解.22.解：（I ）直线l的一般方程为3x y2310，曲线 C 的直角坐标方程为2y32x 2 1 .233231由于21，31因此直线 l 和曲线 C 相切.（II ）曲线D为x2y 21.曲线 D 经过伸缩变换x ' x,y ' 2 y,获得曲线 E 的方程为 x 2y 2 1，4则点 M 的参数方程为xcos ,（ 为参数），y 2sin因此因此3x1 2sin，y3 cos sin233x1y 的取值范围为2,2.223.解：（I ）当 a 5 时，原不等式等价于 x 5 3 ，即 3x 5 32 x 8 ，因此解集为 x 2 x 8 .（II ）当 a 1时， f x x 1 .令 g xf x1 f2x3x 3, x 1 ,12 x 22x 1xx 2,1,23x 3, x 2,由图象，易知 x 1时， g x 获得最小值 3.由题意，知321 ， 21 2mm24因此实数 m 的取值范围为, 1 .4。
精品解析：河北省衡水中学2017届高三高考押题2卷理数试题(解析版)
2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学（Ⅱ）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|60,}A x x x x Z =--<∈，{|,,}B z z x y x A y A ==-∈∈，则A B ⋂=（ ） A. {0,1} B. {0,1,2}C. {0,1,2,3}D. {1,0,1,2}-【答案】B 【解析】由题意可得：{}{}1,0,1,2,0,1,2,3A B =-= ，则集合A B ⋂={}0,1,2. 本题选择B 选项.2.设复数z 满足121z i i +=-+，则1||z=（ ）A.B.15C.5D.25【答案】C 【解析】由题意可得： ()()1111213,2,22z i i i z i z i i +=-+=+∴=+===++ .3.若1cos()43πα+=，(0,)2πα∈，则sin α的值为（ ）A.46- B.46+ C.718D.3【答案】A 【解析】 ∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴4πα+∈（4π，34π），又因为1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴sin +43πα=（ 故sin α=sin[（4πα+）-4π]=sin （4πα+）cos 4π-cos （4πα+）sin 4π=13232⨯-⨯= 46, 故选A.点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.4.已知直角坐标原点O 为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的中心，1F ，2F 为左、右焦点，在区间)2,0(任取一个数e ，则事件“以e 为离心率的椭圆C 与圆O ：2222x y a b +=-没有交点”的概率为（ ）A.42B.44- C.D.222- 【答案】A 【解析】满足题意时，椭圆上的点()cos ,sin P a b θθ 到圆心()0,0O 的距离：()()222222cos 0sin 0d a b r a b θθ=-+->=+ ，整理可得2222222222sin sin 11,111sin 1sin 1sin 2b b e a a θθθθθ>∴=-<-=<+++ ，据此有：21,022e e <<<，题中事件的概率02204p -==- .本题选择A 选项.5.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90︒的正角.已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，当其离心率2]e ∈时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（ ） A. [0,]6πB. [,]63ππC. [,]43ππD. ]2,3[ππ【答案】D 【解析】由题意可得：[][]222222212,4,1,3c b b e a a a==+∈∴∈ ，设双曲线的渐近线与x 轴的夹角为θ ， 双曲线的渐近线为b y x a =±，则,46ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 结合题意相交直线夹角的定义可得双曲线的渐近线的夹角的取值范围为,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 本题选择D 选项.6.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为32π+，则它的表面积是（ ）A. 3)2π+B. 3)22π+C. 2+ D.4+【答案】A 【解析】由三视图可知，该几何体是由四分之三圆锥和一个三棱锥组成的组合体，其中：2222313111=3,=3434232V a a V a a ππ⨯⨯⨯=⨯⨯=圆锥三棱锥由题意：223132,242a a a ππ+=+∴= ，据此可知：31=2223242S a ππ⨯+⨯⨯=+底 ，3=24S π=圆锥侧 ，1=2S ⨯=棱锥侧，它的表面积是 322π⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭.本题选择A 选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同．7.函数sin ln y x x =+在区间[3,3]-的图像大致为（ ）．A. B.C. D.【答案】A 【解析】分析：判断()f x 的奇偶性，在(0,1)上的单调性，计算()1f 的值，结合选项即可得出答案. 详解：设()sin ln f x x x =+，当0x > 时，()()1sin ln cos f x x x f x x x=+⇒=+'， 当(0,1)x ∈时，()0f x '>，即函数()f x 在(0,1)上为单调递增函数，排除B ； 由当1x =时，()1sin10f =>，排除D ；因为()()()sin()ln sin ln f x x x f x x x f x -=-+-==-+≠±， 所以函数()f x 为非奇非偶函数，排除C ，故选A.点睛：本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中涉及到函数的单调性、函数的奇偶性和函数值的应用，试题有一定综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.8.二项式1()(0,0)nax a b bx+>>的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则ab 的值为（ ） A. 4 B. 8C. 12D. 16【答案】B 【解析】二项式1(0,0)nax a b bx ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则10n = ， 二项式101ax bx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 展开式的通项公式为：()1010102110101rr r r r rr r T C ax C a b x bx ----+⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，由题意有：282102137331103C a b T T C a b-+-+== ，整理可得：8ab = . 本题选择D 选项.点睛：二项式系数与展开式项的系数的异同一是在T r ＋1＝rn C a n －r b r中，rn C 是该项的二项式系数，与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指rn C ，而后者是字母外的部分，前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负．二是二项式系数的最值与增减性与指数n 的奇偶性有关，当n 为偶数，中间一项的二项式系数最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．9.执行如图的程序框图，若输入的0x =，1y =，1n =，则输出的p 的值为（ ）A. 81B.812C.814D.818【答案】C 【解析】依据流程图运行程序，首先 初始化数值， x =0,y =1,n =1 ，进入循环体：x =n y =1,y =2y n+ =1，时满足条件 y 2≥x ，执行 n =n +1=2 ，进入第二次循环， x =n y =2,y =2y n + =23 ,时满足条件 y 2≥x ，执行 n =n +1=3 ，进入第三次循环， x =n y =2,y =2y n + =94，时不满足条件y 2≥x ，输出814p xy == .10.已知数列11a =，22=a ，且222(1)nn n a a +-=--，*n N ∈，则2017S 的值为（ ）A. 201610101⨯-B. 10092017⨯C. 201710101⨯-D. 10092016⨯【答案】C 【解析】由递推公式可得：当n 为奇数时，24n n a a +-= ，数列{}21n a - 是首项为1，公差为4的等差数列，当n 为偶数时，20n n a a +-= ，数列{}21n a - 是首项为2，公差为0的等差数列，()()20171320172420161100910091008410082220171010 1.S a a a a a a =+++++++=+⨯⨯⨯+⨯=⨯-本题选择C 选项.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．11.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,,)2A x R πωϕ>><∈的图象如图所示，令()()'()g x f x f x =+，则下列关于函数()g x 的说法中不正确的是（ ）A. 函数()g x 图象的对称轴方程为()12x k k Z ππ=-∈B. 函数()g x 的最大值为22C. 函数()g x 的图象上存在点P ，使得在P 点处的切线与直线l ：13-=x y 平行D. 方程2)(=x g 的两个不同的解分别为1x ，2x ，则21x x -最小值为2π【答案】C 【解析】由函数的最值可得2A = ，函数的周期2242,136T ππππωω⎛⎫=⨯-==∴= ⎪⎝⎭， 当6x π=时，()12,2623x k k k Z πππωϕϕπϕπ+=⨯+=+∴=+∈ ，令0k = 可得3πϕ=，函数的解析式()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.则： ()()()'2sin 2cos 3334712g x f x f x x x x x πππππ=+⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭结合函数的解析式有()7'12g x x π⎛⎫⎡=+∈- ⎪⎣⎝⎭，而3⎡∉-⎣ ， 选项C 错误，依据三角函数的性质考查其余选项正确. 本题选择C 选项.12.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在三个零点，则a 的取值范围是（ ） A. (,2)-∞- B. (2,2)- C. (2,)+∞ D. (2,0)(0,2)-【答案】D 【解析】很明显0a ≠ ，由题意可得：()()2'3632f x ax x x ax =-=- ，则由()'0f x = 可得1220,x x a==， 由题意得不等式：()()122281210f x f x a a=-+< ，即：2241,4,22a a a><-<< ，综上可得a 的取值范围是 ()()2,00,2-⋃. 本题选择D 选项.点睛：函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.向量(,)a m n =r，(1,2)b =-，若向量a ，b 共线，且2a b =，则mn 的值为__________．【答案】-8 【解析】由题意可得：()22,4a b ==- 或()22,4a b =-=- ， 则：()248mn =-⨯=- 或()248mn =⨯-=- .14.在平面直角坐标系xoy 中，点M 是椭圆()222210x ya b a b+=>>上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P 、Q 两点．若MPQ 为锐角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是 ．【答案】⎝⎭【解析】试题分析：∵△PQM 是锐角三角形， ∴∴222cos cos 4MD c QMD ac a cb QMaπ∠==>=<-2222,a c ac a c >-<-∴2210,10e e e +->+-<解得122e e ><∴该椭圆离心率的取值范围是122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭故答案为：⎝⎭15.设x ，y 满足约束条件230220220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则yx 的取值范围为__________．【答案】27[,]54【解析】绘制不等式组表示的可行域如图所示，目标函数yx表示可行域内的点(),x y 与坐标原点()0,0 之间连线的斜率，目标函数在点47,55A ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 处取得最大值74 ，在点51,42⎛⎫⎪⎝⎭处取得最小值25 ，230,220,220,x y x y x y +-≥-+≥--≤则y x 的取值范围为27,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦.点睛：本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．16.在平面五边形ABCDE 中，已知︒=∠120A ，90B ∠=︒，120C ∠=︒，︒=∠90E ，3AB =，3AE =，当五边形ABCDE 的面积S ∈时，则BC 的取值范围为__________．【答案】 【解析】 【详解】由题意可设：BC DE a== ，则：()21318393363,22224A BC E S a a ⎡=⨯++-+-⎣ ，则：当a = 时，面积有最大值；当a =时，面积有最小值；结合二次函数的性质可得：BC 的取值范围为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 的前n 项和为()*111,,212,2n n n S a S S n n N -==+≥∈ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()12log *n n b a n N =∈，求11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.n T【答案】(1) *1()2n n a n N =∈;(2) 1n n +. 【解析】试题分析：（1）首先利用S n 与a n 的关系：当n=1时，a 1=S 1，当n≥2时，a n =S n -S n-1；结合已知条件等式推出数列{a n }是等比数列，由此求得数列{a n }的通项公式；（2）()1111111n n b b n n n n +==-++，利用裂项求和即可. 试题解析：（1）当2n =时，由121n n S S -=+及112a =，得2121S S =+，即121221a a a +=+，解得214a =． 又由121n n S S -=+，① 可知121n n S S +=+，② ②-①得12n n a a +=，即()1122n n a a n +=≥．且1n =时， 2112a a =适合上式，因此数列{}n a 是以12为首项，公比为12的等比数列，故12n n a = ()*n N ∈． （2）由（1）及12log n n b a = ()*n N ∈，可知121log 2nn b n ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()1111111n n b b n n n n +==-++， 故2231111n n n n T b b b b b b +=+++= 1111112231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111n n n -=++．18.如图所示的几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为菱形，2AB a =，120ABC =∠，AC 与BD 相交于O 点，四边形BDEF 为直角梯形，//DE BF ，BD DE ⊥，2DE BF ==，平面BDEF ⊥底面ABCD .（1）证明：平面⊥AEF 平面AFC ； （2）求二面角E AC F --的余弦值.【答案】(1)见解析；（2）余弦值为3. 【解析】 【分析】（1）先由菱形的性质以及面面垂直的性质证明AC ⊥平面BDEF ，从而AC EF ⊥，再利用勾股定理证明EF AF ⊥,从而可得EF ⊥平面AFC ，进而可得结果；（2）取EF 中点G ，可证明OG ⊥平面ABCD ，又在菱形ABCD 中，OA OB ⊥，分别以OA ，OB ，OC 的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标，平面AFC 的法向量可取为EF ，再利用向量垂直数量积为零列方程求出平面AEC 的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.【详解】（1）因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，又平面BDEF ⊥底面ABCD ，平面BDEF ⋂平面ABCD BD =， 因此AC ⊥平面BDEF ，从而AC EF ⊥. 又BD DE ⊥，所以DE ⊥平面ABCD ,由2AB =，2DE BF ==，120ABC ∠=︒，可知AF ==2BD =，EF ==AE ==，从而222AF FE AE +=，故EF AF ⊥, 又AF AC A ⋂=，所以EF ⊥平面AFC . 又EF ≠⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面AFC . （2）取EF 中点G ，由题可知OG DE ，所以OG ⊥平面ABCD ，又在菱形ABCD 中，OA OB ⊥，分别以OA ，OB ，OC 的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系O xyz -（如图示），则()0,0,0O ，)3,0,0A，()3,0,0C -，(0,E -，(F .所以()0,AE =-- (=-， ())()3,0,0AC =--=-， (((0,1,0,0,2,EF =--=.由（1）可知EF ⊥平面AFC ，所以平面AFC 的法向量可取为(0,2,EF =,设平面AEC 的法向量为(),,n x y z =，则00n AE n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，即0y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令z =4y =，所以(0,4,2n =.从而63cos ,363n EF n EF n EF⋅===⋅.由图可知，所求二面角的大小为锐角，故所求的二面角E AC F --的余弦值为法二：此题也可以连接EO ，FO ，即EOF ∠为所求的二面角E AC F --的平面角.【点睛】本题主要考查面面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据以上抽样调查数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B 的人数；（2）若等级A 、B 、C 、D 、E 分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求平均分达90分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？ （3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从A 、B 两种级别中，用分层抽样的方法抽取11个学生样本，再从中任意选取3个学生样本分析，求这3个样本为A 级的个数ξ的分布列与数学期望. 【答案】(1) 等级为B 的概率为561410025=,成绩为B 的人数约有1480044825⨯=;(2)见解析；（3）见解析. 【解析】 试题分析：(1)由频率分布直方图估算该校高三年级学生获得成绩为B 的人数为448； (2)计算平均分可得该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.(3)ξ的可能值为0，1，2，3.由超几何分布的概率写出分布列，求得数学期望为1112. 试题解析：（1）从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为B ，所以可以估计该校学生获得成绩等级为B 的概率为561410025=， 则该校高三年级学生获得成绩为B 的人数约有1480044825⨯=. （2）这100名学生成绩的平均分为()1321005690780370260100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 91.3=，因为91.390>，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.（3）由题可知用分层抽样的方法抽取11个学生样本，其中A 级4个，B 级7个，从而任意选取3个，这3个为A 级的个数ξ的可能值为0，1，2，3.则()03473117033C C P C ξ===，()124731128155C C P C ξ===， ()214731114255C C P C ξ===，()304731143165C C P C ξ===. 因此可得ξ的分布列为：则()7281440123335555165E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯ 1211=.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，且过点(22P ，动直线l ：m kx y +=交椭圆C 于不同的两点A ，B ，且0OA OB ⋅=（O 为坐标原点）. （1）求椭圆C 的方程； （2）讨论2232m k -是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由.【答案】(1)2212x y +=;(2)2.【解析】 试题分析：(1)由题意求得21b =，22a =，故所求的椭圆方程为2212x y +=.(2)联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系结合题意可证得22322m k -=为定值. 试题解析： （1）由题意可知2c a =，所以()222222a c a b ==-，即222a b =，①又点,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上，所以有2223144a b +=，② 由①②联立，解得21b =，22a =，故所求的椭圆方程为2212x y +=.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，由0OA OB ⋅=， 可知12120x x y y +=.联立方程组22,{1,2y kx m x y =++=消去y 化简整理得()222124220kxkmx m +++-=，由()()22221681120k m m k∆=--+>，得2212k m +>，所以122412km x x k +=-+，21222212m x x k-=+，③ 又由题知12120x x y y +=， 即()()12120x x kx m kx m +++=， 整理为()()22121210kx xkm x x m ++++=. 将③代入上式，得()22222224101212m kmkkm m k k-+-⋅+=++. 化简整理得222322012m k k--=+，从而得到22322m k -=.21.设函数22()ln ()f x a x x ax a R =-+-∈. （1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）设2()2()ln x x a a x ϕ=+-，记()()()h x f x x ϕ=+，当0a >时，若方程()()h x m m R =∈有两个不相等的实根1x ，2x ，证明12'()02x x h +>. 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 试题分析：(1)求解函数的导函数，分类讨论可得：①若0a >时，当()0,x a ∈时，函数()f x 单调递减，当(),x a ∈+∞时，函数()f x 单调递增； ②若0a =时，函数()f x 单调递增； ③若0a <时，当0,2a x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，函数()f x 单调递减，当,2a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，函数()f x 单调递增. (2)构造新函数()()()h x f x x ϕ=+= ()22ln x a x a x +-- (0)x >，结合新函数的性质即可证得题中的不等式. 试题解析：（1）由()22ln f x a x x ax =-+-，可知()2'2a f x x a x =-+-= ()()2222x a x a x ax a x x+---=. 因为函数()f x 的定义域为()0,+∞，所以，①若0a >时，当()0,x a ∈时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，当(),x a ∈+∞时，()'0f x >，函数()f x 单调递增；②若0a =时，当()'20f x x =>在()0,x ∈+∞内恒成立，函数()f x 单调递增；③若0a <时，当0,2a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，当,2a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，函数()f x 单调递增.（2）证明：由题可知()()()h x f x x ϕ=+= ()22ln x a x a x +-- (0)x >，所以()()'22a h x x a x =+--= ()()()22221x a x a x a x x x+---+=. 所以当0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0h x <；当,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0h x >；当2a x =时，'02a h ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 欲证12'02x x h +⎛⎫> ⎪⎝⎭，只需证12''22x x a h h +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()2''20a h x x =+>，即()'h x 单调递增，故只需证明1222x x a+>. 设1x ，2x 是方程()h x m =的两个不相等的实根，不妨设为120x x <<，则()()211122222,{2,x a x alnx m x a x alnx m +--=+--=两式相减并整理得()1212ln ln a x x x x -+-= 22121222x x x x -+-，从而221212121222ln ln x x x x a x x x x -+-=-+-，故只需证明()2212121212122222ln ln x x x x x x x x x x +-+->-+-， 即22121212121222ln ln x x x x x x x x x x -+-+=-+-.因为1212ln ln 0x x x x -+-<， 所以（*）式可化为12121222ln ln x x x x x x --<+，即11212222ln 1x x x x x x -<+.因为120x x <<，所以1201x x <<， 不妨令12x t x =，所以得到22ln 1t t t -<+，()0,1t ∈. 记()22ln 1t R t t t -=-+，()0,1t ∈，所以()()()()222114'011t R t t t t t -=-=≥++，当且仅当1t =时，等号成立，因此()R t 在()0,1单调递增. 又()10R =，因此()0R t <，()0,1t ∈， 故22ln 1t t t -<+，()0,1t ∈得证， 从而12'02x x h +⎛⎫>⎪⎝⎭得证.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号. 22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：3cos 2sin x ty tαα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a >），在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：4sin ρθ=.（1）试将曲线1C 与2C 化为直角坐标系xOy 中的普通方程，并指出两曲线有公共点时a 的取值范围； （2）当3a =时，两曲线相交于A ，B 两点，求AB .【答案】（1）a 的取值范围为[1,5]；（2）3AB ==. 【解析】 试题分析：(1)由题意计算可得曲线1C 与2C 化为直角坐标系xOy 中的普通方程为()()22232x y a -+-=，()22 24x y +-=；a 的取值范围是[]1,5；(2)首先求解圆心到直线的距离，然后利用圆的弦长计算公式可得3AB =. 试题解析： （1）曲线1C ：3,{2,x cost y sint αα=+=+消去参数t 可得普通方程为()()22232x y a -+-=.曲线2C ：4sin ρθ=，两边同乘ρ.可得普通方程为()2224x y +-=.把()2224y x -=-代入曲线1C 的普通方程得：()22234136a x x x =-+-=-，而对2C 有()22224x x y ≤+-=，即22x -≤≤，所以2125a ≤≤故当两曲线有公共点时，a 的取值范围为[]1,5.（2）当3a =时，曲线1C ：()()22329x y -+-=，两曲线交点A ，B 所在直线方程为23x =. 曲线()2224x y +-=的圆心到直线23x =的距离为23d =，所以3AB ==. 23.已知函数()211f x x x =-++.（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数()y f x =的图象，并由图象找出满足不等式()3f x ≤的解集；（2）若函数()y f x =的最小值记为m ，设,a b R ∈，且有22a b m +=，试证明：221418117a b +≥++. 【答案】（1）解集为[1,1]-；（2）见解析见解析.【解析】试题分析：(1)将函数写成分段函数的形式解不等式可得解集为[]1,1-. (2)整理题中所给的算式，构造出适合均值不等式的形式，然后利用均值不等式的结论证明题中的不等式即可，注意等号成立的条件.试题解析：（1）因为()211f x x x =-++= 3,1,1{2,1,213,.2x x x x x x -<--+-≤≤>所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式()3f x ≤的解集为[]1,1-.（2）证明：由图可知函数()y f x =的最小值为32，即32m =. 所以2232a b +=，从而227112a b +++=， 从而221411a b +=++ ()()22222141171a b a a b ⎛⎫⎡⎤++++= ⎪⎣⎦++⎝⎭ ()222241215711a b a b ⎡⎤⎛⎫++⎢⎥ ⎪++≥⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦218577⎡⎢+=⎢⎣.当且仅当()222241111a b a b ++=++时，等号成立， 即216a =，243b =时，有最小值，所以221418117a b +≥++得证.。
衡水中学2017届高三四调考数学(文)
x = t 已知直线 l 的参数方程为 2 + 3t y = 2
以 设函数 g ( x ) = ( 3a + 1) x − a 2 + a x 2 ，当 x > 1 时， f ( x ) < g ( x ) 恒成立，求 a 的取值范 围.
(
)
请考生在 以以、以3 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
以以. 本小题满分 令0 分 选修 4-4 坐标系 参数方程
π 设 f ( x ) = 4sin 2 x − + 3 . 3 π 令 求 f ( x ) 在 0 ， 的最大值和最小值 2
以 把 y = f ( x ) 的图象 的所有点的横坐标伸长到原来的 以 倍 纵坐标 变 ，再把得到的 图象向左平移
2π 个单位，得到函数 y = g ( x ) 的图象，求 g ( x ) 的单调 3
数学
一、选择题：
令.已知复数 z = −2i + A．第一象限
文科
3−i ，则复数 z 的共轭复数 z 在复平面内对 i
的点在 ∴．第四象限
B．第二象限
C．第 象限
以.设 A ，B 是全集 I = {1 ，2 ，3 ，4} 的子集， A＝{1 ，2} ，则满足 A ⊆ B 的 B 的个数是
A．5
B．4
B． −
1 2
2a − b 平行，则 m =
C.
3 2
∴．
5 2
5.圆 x 2 + y 2 = 1
直线 y = kx − 3 有公共点的充分 B． k ≤ −2 2
必要条件是 C. k ≥ 2 ∴． k ≤ −2 2 或 k > 2
河北省衡水中学2017-2018学年高三上学期第四次调研考试理数试题 Word版含解析
2017-2018学年 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}U 08x x =∈Z <<，{}2,3,5M =，{}28120x x x N =-+=，则集合{}1,4,7为（ ） A ．()UMN ð B ．()U MN ð C ．()U M N ð D ．()U M N ð【答案】C考点：集合运算 【名师点睛】1.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解． 2．求交、并、补的混合运算时，先算括号里面的，再按运算顺序求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 4．在解决有关A∩B＝∅，A ⊆B 等集合问题时，往往忽视空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解．2.下列中正确的是（ ） A ．若p q ∨为真，则p q ∧为真 B ．“0a >，0b >”是“2b aa b+≥”的充分必要条件 C ．“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否为“若1x ≠或2x ≠，则2320x x -+≠”D ．:p 0R x ∃∈，使得20010x x +-<，则:p ⌝R x ∀∈，使得210x x +-≥【答案】D【解析】试题分析：若p q ∨为真，则,p q 中至少一个为真，因此p q ∧不一定为真；“0a >，0b >”时“b a a b +≥”，充分性成立， 而2()22000b a b a a b ab a b a b ab-+≥⇒+-≥⇒≥⇒>，即“0a >，0b >”不一定成立，即必要性不成立；“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否为“若1x ≠且2x ≠，则2320x x -+≠”； “:p 0R x ∃∈，使得20010x x +-<”的否定:p ⌝R x ∀∈，使得210x x +-≥，所以选D.考点：充要关系，复合真假 【名师点睛】充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性：若p 是q 的充分条件，则q 是p 的必要条件，即“p ⇒q”⇔“q ⇐p”； (2)传递性：若p 是q 的充分(必要)条件，q 是r 的充分(必要)条件，则p 是r 的充分(必要)条件．注意区分“p 是q 的充分不必要条件”与“p 的一个充分不必要条件是q”两者的不同，前者是“p ⇒q”而后者是“q ⇒p”． 3.函数cos tan y x x =（22x ππ-<<）的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C考点：函数图像与性质 【名师点睛】函数图象的辨识可从以下几方面入手：(1)从函数的定义域判断图象的左右位置；从函数的值域判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性判断图象的对称性； (4)从函数的周期性判断图象的循环往复； (5)从函数的特殊点判断图象的相对位置等．4.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1a ，3a ，13a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2163n n S a ++的最小值为（ ）A ．4B ．3 C．2 D ．92【答案】A考点：等差数列与等比数列综合，基本不等式求最值 【名师点睛】1.等差或等比数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d （q ），n ，S n ，知三求二，体现了方程思想的应用．2．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d （q ）是等差（等比）数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法．5.如图1，已知正方体1111CD C D AB -A B 的棱长为a ，动点M 、N 、Q 分别在线段1D A ，1C B ，11C D 上．当三棱锥Q -BMN 的俯视图如图2所示时，三棱锥Q -BMN 的正视图面积等于（ ）A ．212a B ．214a C．24 D．24【答案】B考点：三视图 【名师点睛】1.解答三视图的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． 2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．6.设x ，y 满足约束条件320x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，若目标函数2m z x y =+（0m >）的最大值为2，则sin 3y mx π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π后的表达式为（ ） A ．sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．sin 2y x =D ．2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】C 【解析】试题分析：可行域为三角形ABC 及其内部，其中2(0,0),(,0),(1,1)3A B C ，因此目标函数2m z x y =+（0m >）过(1,1)C 时取最大值，即1222mm +=⇒=，从而sin sin 233y mx x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，向右平移6π后的表达式为()sin 2()sin 263y x x ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，选C.考点：线性规划求最值，三角函数图像变换 【名师点睛】1.对y ＝A sin(ωx ＋φ)进行图象变换时应注意以下两点：(1)平移变换时，x 变为x ±a (a ＞0)，变换后的函数解析式为y ＝A sin ；(2)伸缩变换时，x 变为x k(横坐标变为原来的k 倍)，变换后的函数解析式为y ＝A sin(ωkx ＋φ)．2.两种变换的差异先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x 而言的．7.已知A ，B ，C ，D 是函数()sin y x ωϕ=+（0ω>，02πϕ<<）一个周期内的图象上的四个点，如图所示，,06π⎛⎫A -⎪⎝⎭，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD 在x 轴上的投影为12π，则ω，ϕ的值为（ ） A ．2ω=，3πϕ= B ．2ω=，6πϕ=C ．12ω=，3πϕ= D ．12ω=，6πϕ= 【答案】A考点：三角函数解析式 【名师点睛】1.求参数φ是确定函数解析式的关键，由特殊点求φ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点．2．用五点法求φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口．“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0.“第二点”(即图象的“峰点”)时，ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.8.已知不等式422xx ay y +-≤+对任意实数x ，y 都成立，则常数a 的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】D 【解析】试题分析：由题意得：max (4)22xxay y +-≤+，而4|4|4y y y y +-≤+-=，因此max 24[2(42)]2xx x x a a +≥⇒≥-，而22(42)2(42)()42x x x x+--≤=，当且仅当22,1x x ==时取等号，即min 4, 4.a a ≥=选D.考点：基本不等式求最值 【名师点睛】利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到．9.如图，正方体1111CD C D AB -A B 的棱线长为1，线段11D B 上有两个动点E ，F ，且F 2E =） A ．C A ⊥BE B ．F//E 平面CD ABC ．三棱锥F A -BE 的体积为定值D ．异面直线AE ，F B 所成的角为定值【答案】D考点：线面关系判定，三棱锥体积，异面直线所成角 【名师点睛】1.求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．2．求异面直线所成的角的三步曲为：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成角，转化为解三角形问题，进而求解．3．异面直线所成的角范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2.10.已知三棱锥C A -B O ，OA ，OB ，C O 两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱OA 上运动，另一个端点N 在C ∆B O 内运动（含边界），则MN 的中点P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为（ ） A ．6π B ．6π或366π+ C ．366π- D ．6π或366π-【答案】D考点：球体积11.设过曲线()x f x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()2cos g x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]1,2- B ．()1,2- C ．[]2,1- D ．()2,1- 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得：12,,x R x R ∀∈∃∈使得12(1)(2sin )1xe a x ---=-，即111x y e =+值域为22sin y a x =-值域的子集，从而(0,1)[2,2]a a ⊂-+，即20,2112a a a -≤+≥⇒-≤≤，选A.考点：恒成立与存在性问题 【名师点睛】恒成立与存在性问题可以转化为最值问题求解,若不能分离参数,可以将参数看成常数直接求解.若不等式()f x A >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()f x B <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x A >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x B <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.12.设函数()f x 满足()()22x e x f x xf x x '+=，()228e f =，则0x >时()f x （ ）A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值 【答案】D考点：函数极值 【名师点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题．在解函数的综合应用问题时,我们常常借助导数,将题中千变万化的隐藏信息进行转化，探究这类问题的根本，从本质入手,进而求解，第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知数列{}n a 对于任意p ，q *∈N ，有p q p q a a a ++=，若119a =，则36a = ． 【答案】4考点：数列递推关系 【名师点睛】递推式的类型的正方形，1PA =，且PA ⊥平面CD AB ，则球体毛坯体积的最小值应为 ．【答案】2【解析】试题分析：将四棱锥CD P -AB 补成一个正方体，则球体毛坯体积的最小时应为正方体的外343π= 考点：正方体外接球体积 【名师点睛】1. 某些空间几何体是某一个几何体的一部分，在解题时，把这个几何体通过“补形”补成完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的几何问题，这是一种重要的解题策略——补形法．常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形．2．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题． 15.若C ∆AB 的内角A ，B 满足()sin 2cos sin B=A +B A，则当B 取最大值时，角C 大小为 ． 【答案】23π考点：两角和正弦公式，基本不等式求最值16.定义函数()y f x =，x ∈I ，若存在常数M ，对于任意1x ∈I ，存在唯一的2x ∈I ，使得()()122f x f x +=M ，则称函数()f x 在I 上的“均值”为M ，已知()2log f x x =，20141,2x ⎡⎤∈⎣⎦，则函数()2log f x x =在20141,2⎡⎤⎣⎦上的“均值”为 ．【答案】1007 【解析】试题分析：由题意得：存在唯一的23,x x ∈20141,2⎡⎤⎣⎦，满足()()2014322014222332()1()log 2014222f f x f f x x x x x ++=⇒=⇒=，而23,x x ∈20142014231,22x x ⎡⎤⇒≤⎣⎦，当且仅当2014232,1x x ==时取等号， 因此“均值”为()20141(2)20141007.22f f +==考点：新定义【名师点睛】对于新定义问题要做到以下两点1.准确转化:解决新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义,将题目所给定义转化成题目要求的形式,切忌同已有概念或定义相混淆.2.方法选取:对于新定义问题,搞清定义是关键,仔细认真地从具体处体会题意,从而找到恰当的解决方法.三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）在C ∆AB 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且满足cos 2cos 22cos cos 66ππ⎛⎫⎛⎫A -B =-A +A ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求角B 的值；（2）若b =b a ≤，求12a c -的取值范围．【答案】（1）3πB =或23π（2）⎣试题解析：解：（1）由已知，cos 2cos 22cos cos 66ππ⎛⎫⎛⎫A -B =-A +A⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 得2222312sin 2sin 2cos sin 44⎛⎫B -A =A -A⎪⎝⎭，考点：二倍角公式、两角和与差余弦公式，正弦定理 【名师点睛】 正弦定理的应用技巧(1)求边:利用公式 或其他相应变形公式求解. (2)求角:先求出正弦值,再求角,即利用公式sinA= sinB= sinC= 或其他相应变形公式求解.(3)相同的元素归到等号的一边:即 可应用这些公式解决边或角的比例关系问题. 18.（本小题满分12分）已知四棱锥CD P -AB 的底面是菱形，CD 60∠B =，D 2AB =PB =P =，C P =C A 与D B 交于O 点，E ，H 分别为PA ，C O 的中点． （1）求证：PH ⊥平面CD AB ；（2）求直线C E 与平面PAB 所成角的正弦值．bsin A asin B asin Ca b ,c sin B sin A sin A==＝，asin B ,b bsin A ,a csin A aasin A b sin B c sin C ,,,b sin B c sin C a sin A===【答案】（1）详见解析（2）47（2）过点O 作//z O PH ，所以z O ⊥平面CD AB ．如图，以O 为原点，OA ，OB ，z O 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．可得，)A，()0,1,0B ，()C ，32⎛⎫P ⎪ ⎪⎝⎭，34⎫E ⎪⎪⎝⎭．考点：线面垂直的判定与性质定理，利用空间向量求线面角 【名师点睛】1.证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；(3)面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；(4)面面垂直的性质．2．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想． 3．线面垂直的性质，常用来证明线线垂直． 19.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为1-，前n 项和为n S ，且27126a a a ++=-． （1）求数列{}n a 的通项公式n a 与前n 项和n S ；（2）将数列{}n a 的前四项抽取其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{}n b 的前三项，记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，若存在m *∈N ，使得对任意n *∈N ，总有n m S λ<T +成立，求实数λ的取值范围．【答案】（1）5n a n =-，2922n n n S =-（2）29,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：（1）求等差数列通项公式，一般利用待定系数法，本题已知公差，因此只需确定一项即可：由27126a a a ++=-利用等差数列性质得736a =-，72a =-，再根据等差数列广义通项公式得：()77275n a a n d n n =+-=--+=-，最后利用等差数列和项公式求前n 项和n S ，（2）先根据题意确定数列{}n a 的前四项抽取的是哪一项，再根据剩下三项，利用待定系数法求等比数列{}n b 通项，然后利用错位相减法求数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，对存在性问题及恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题：()()max max n m S T λ<+，n S 为二次函数，可根据对称轴求其最大值，需注意n *∈N ，而n T 的最值，需根据数列单调性确定. 试题解析： 解：（1）{}n a 为等差数列，且27126a a a ++=-，∴736a =-，即72a =-，又公差1d =-，∴()77275n a a n d n n =+-=--+=-，n *∈N ．()()214592222n n n a a n n n n S ++-===-，n *∈N ． （3分）考点：等差数列通项及求和，错位相减法求和 【名师点睛】一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法．用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形更值得注意．(2)在写出“S n ”和“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便于下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式． 20.（本题小满分12分）如图，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，DC 90∠A =，AE ⊥平面CD AB ，F//CD E ，1C CD F D 12B ==AE =E =A =． （1）求证：C //E 平面F AB ；（2）在直线C B 上是否存在点M ，使二面角D E -M -A 的大小为6π？若存在，求出C M 的长；若不存在，说明理由．【答案】（1）详见解析（2）C 3M =F//CD E 且F CD E =，∴G//CD A ，即点G 在平面CD AB 内．由AE ⊥平面CD AB ，知G AE ⊥A ，∴四边形FG AE 为正方形，四边形CD G A 为平行四边形， （2分） ∴H 为G E 的中点，B 为CG 的中点， ∴//C BH E ．BH ⊂平面F AB ，C E ⊄平面F AB ，∴C //E 平面F AB ． （4分）（2）法一：如图，以A 为原点，G A 为x 轴，D A 为y 轴，AE 为z 轴，建立空间直角坐标系xyz A -．则()0,0,0A ，()0,0,1E ，()D 0,2,0， 设()01,,0y M ，考点：线面平行判定定理，利用空间向量研究二面角 【名师点睛】1.判断或证明线面平行的常用方法有：(1)利用反证法；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．2．利用判定定理判定直线与平面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线． 21.（本小题满分12分）已知函数()32f x x x b =-++，()ln g x a x =． （1）若()f x 在1,12x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭上的最大值为38，求实数b 的值； （2）若对任意[]1,x e ∈，都有()()22g x x a x ≥-++恒成立，求实数a 的取值范围；（3）在（1）的条件下，设()()(),1F ,1f x x xg x x <⎧⎪=⎨≥⎪⎩，对任意给定的正实数a ，曲线()F y x =上是否存在两点P 、Q ，使得Q ∆PO 是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由． 【答案】（1）0b =（2）1a ≤-（3）存在试题解析：解：（1）由()32f x x x b =-++，得()()23232f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=，得0x =或23x =．函数()f x '，()f x 在1,12x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭上的变化情况如下表：1328f b ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，24327f b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴1223f f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 即最大值为133288f b ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，∴0b =． （3分）（3）由条件()()(),1F ,1f x x x g x x <⎧⎪=⎨≥⎪⎩．假设曲线()F y x =上存在两点P ，Q 满足题意，则P ，Q 只能在y 轴的两侧，不妨设()(),F t t P （0t >），则()32Q ,t t t -+（0t ≠）．Q ∆PO 是以O （O 是坐标原点）为直角顶点的直角三角形，∴Q 0OP⋅O =，∴()()232F 0t t t t -++=，是否存在P ，Q 等价于该方程0t >且1t ≠是否有根．当01t <<时，方程可化为()()232320t t ttt -+-++=，化简得4210t t -+=，此时方程无解；当1t >时，方程为()232ln 0t a t t t -++=，即()11ln t t a=+， 设()()1ln h t t t =+（1t >），则()1ln 1h t t t'=++（1t >），显然，当1t >时，()0h t '>，即()h t 在区间()1,+∞上是增函数，()h t 的值域是()()1,h +∞，即()0,+∞．∴当0a >时方程总有解，即对于任意正实数a ，曲线()F y x =上总存在两点P ，Q ，使得Q ∆PO 是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上．（12分）考点：利用导数求函数最值，利用导数研究函数值域，不等式恒成立 【名师点睛】导数及其应用通常围绕四个点进行．第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22.（本小题满分10分）如图，已知圆O 是C ∆AB 的外接圆，C AB =B ，D A 是C B 边上的高，AE 是圆O 的直径．过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点F ． （1）求证：C C D A ⋅B =A ⋅AE ；（2）若F 2A =，CF =AE 的长．【答案】（1）详见解析（2）7考点：三角形相似，切割线定理 【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等． 23.（本小题满分10分）已知函数()21f x x =-，()1g x a x =-．（1）若关于x 的方程()()f x g x =只有一个实数解，求实数a 的取值范围； （2）若当R x ∈时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）0a <（2）2a ≤-【解析】 试题分析：令()()()()2111111x x x x x x x ϕ+>⎧-⎪==⎨--+<⎪⎩， 因为当1x >时，()2x ϕ>；当1x <时，()2x ϕ>-， 所以()2x ϕ>-，故此时2a ≤-． （9分）综合①②，得所求实数a 的取值范围是2a ≤-． （10分） 考点：含绝对值不等式。
高考数学复习必备 精品推荐 -衡水中学2017届高三高考押题理数试题(原卷版)
2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学（Ⅰ）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则=（）A. B. C. D.2. 已知为虚数单位，若复数在复平面内对应的点在第四象限，则的取值范围为（）A. B. C. D.3. 下列函数中，既是偶函数，又在内单调递增的为（）A. B. C. D.4. 已知双曲线：与双曲线：，给出下列说法，其中错误的是（）A. 它们的焦距相等B. 它们的焦点在同一个圆上C. 它们的渐近线方程相同D. 它们的离心率相等5. 在等比数列中，“，是方程的两根”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 执行如图的程序框图，则输出的值为（）A. 1009B. -1009C. -1007D. 10087. 已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.8. 已知函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心可能为（）A. B. C. D.9. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（）A. B.C. D. 学。
科。
网...10. 为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为（）A. 720B. 768C. 810D. 81611. 焦点为的抛物线：的准线与轴交于点，点在抛物线上，则当取得最大值时，直线的方程为（）A. 或B.C. 或D.12. 定义在上的函数满足，且当时，，对，，使得，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 已知，，若向量与共线，则在方向上的投影为_________．14. 已知实数，满足不等式组且的最大值为，则=__________．15. 在中，角，，的对边分别为，，，，且，的面积为，则的值为__________．16. 已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点在线段上，且，过点作圆的截面，则所得截面圆面积的取值范围是__________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知的展开式中的系数恰好是数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，记数列的前项和为，求证：.18. 如图，点在以为直径的圆上，垂直与圆所在平面，为的垂心.（1）求证：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.19. 2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？20. 已知椭圆：的长轴长为6，且椭圆与圆：的公共弦长为.（1）求椭圆的方程.学。
2016-2017学年河北省衡水中学高一(下)期末数学试卷(理科)
2016-2017学年河北省衡水中学高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）过不重合的A（m2+2，m2﹣3），B（3﹣m﹣m2，2m）两点的直线l 倾斜角为45°，则m的取值为（）A．m=﹣1 B．m=﹣2 C．m=﹣1或2 D．m=l或m=﹣22．（5分）在空间直角坐标系中，点A（1，﹣2，3）与点B（﹣1，﹣2，﹣3）关于（）对称．A．x轴 B．y轴 C．z轴 D．原点3．（5分）方程x（x2+y2﹣4）=0与x2+（x2+y2﹣4）2=0表示的曲线是（）A．都表示一条直线和一个圆B．都表示两个点C．前者是两个点，后者是一直线和一个圆D．前者是一条直线和一个圆，后者是两个点4．（5分）在公差大于0的等差数列{a n}中，2a7﹣a13=1，且a1，a3﹣1，a6+5成等比数列，则数列{（﹣1）n﹣1a n}的前21项和为（）A．21 B．﹣21 C．441 D．﹣4415．（5分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体毛坯的三视图，第一次切削，将该毛坯得到一个表面积最大的长方体，第二次切削沿长方体的对角面刨开，得到两个三棱柱，第三次切削将两个三棱柱分别沿棱和表面的对角线刨开得到两个鳖臑和两个阳马，则阳马与鳖臑的体积之比为（）A．3：1 B．2：1 C．1：1 D．1：26．（5分）过直线y=x+1上的点P作圆C：（x﹣1）2+（y﹣6）2=2的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于直线y=x+1对称时，|PC|=（）A．3 B．2 C．1+D．27．（5分）已知函数f（x）=x a的图象过点（4，2），令（n∈N*），记数列{a n}的前n项和为S n，则S2017=（）A．B．C．D．8．（5分）如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC=2CD=2AD=2，若将直角梯形绕BC边旋转一周，则所得几何体的表面积为（）A．3π+π B．3π+2πC．6π+2πD．6π+π9．（5分）若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：mx2﹣xy+mx=0有三个不同的公共点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣∞，﹣）∪（，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣，0）∪（0，）10．（5分）三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两垂直，且PA=PB=PC=1，则其外接球上的点到平面ABC的距离的最大值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且=，a1=m，现有如下说法：①a2=5；②当n为奇数时，a n=3n+m﹣3；③a2+a4+…+a2n=3n2+2n．则上述说法正确的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个12．（5分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1=2，AB=BC=1，∠ABC=90°，外接球的球心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点．有下列判断：①直线AC与直线C1E是异面直线；②A1E一定不垂直于AC1；③三棱锥E﹣AA1O的体积为定值；④AE+EC1的最小值为2．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知直线2x+y﹣2=0与直线4x+my+6=0平行，则它们之间的距离为．14．（5分）如图所示，在正方体AC1中，AB=2，A1C1∩B1D1=E，直线AC与直线DE所成的角为α，直线DE与平面BCC1B1所成的角为β，则cos（α﹣β）=．15．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=．16．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=（n∈N*），若b n+1=（n﹣2λ）•（+1）（n∈N*），b1=﹣λ，且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．（Ⅰ）求AD边所在直线的方程；（Ⅱ）求矩形ABCD外接圆的方程．18．（12分）若圆C1：x2+y2=m与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+16=0外切．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）若圆C1与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，P为第三象限内一点，且点P在圆C1上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，BA∥平面PCD，平面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，△APD为等腰直角三角形，．（1）证明：平面PAB⊥平面PCD；（2）若三棱锥B﹣PAD的体积为，求平面PAD与平面PBC所成二面角的余弦值．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n，且a n=（n∈N*）．（Ⅰ）若数列{a n+t}是等比数列，求t的值；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）记b n=+，求数列{b n}的前n项和T n．21．（12分）如图，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1和四棱锥D﹣BB1C1C构成的几何体中，∠BAC=90°，AB=1，BC=BB1=2，C1D=CD=，平面CC1D⊥平面ACC1A1．（Ⅰ）求证：AC⊥DC1；（Ⅱ）若M为DC1的中点，求证：AM∥平面DBB1；（Ⅲ）在线段BC上是否存在点P，使直线DP与平面BB1D所成的角为？若存在，求的值，若不存在，说明理由．22．（12分）已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a1+a3=20，a2=8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，S n是数列{b n}的前n项和，对任意正整数n不等式恒成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年河北省衡水中学高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）过不重合的A（m2+2，m2﹣3），B（3﹣m﹣m2，2m）两点的直线l 倾斜角为45°，则m的取值为（）A．m=﹣1 B．m=﹣2 C．m=﹣1或2 D．m=l或m=﹣2【解答】解：过A（m2+2，m2﹣3），B（3﹣m﹣m2，2m）两点的直线l的斜率k=，∵直线l倾斜角为45°，∴k==1，解得m=﹣1或m=﹣2，当m=﹣1时，A，B重合，舍去，∴m=﹣2．故选：B．2．（5分）在空间直角坐标系中，点A（1，﹣2，3）与点B（﹣1，﹣2，﹣3）关于（）对称．A．x轴 B．y轴 C．z轴 D．原点【解答】解：∵在空间直角坐标系中，点（x，y，z）关于y轴的对称点的坐标为：（﹣x，y，﹣z），∴点A（1，﹣2，3）与点B（﹣1，﹣2，﹣3）关于y轴对称，故选：B．3．（5分）方程x（x2+y2﹣4）=0与x2+（x2+y2﹣4）2=0表示的曲线是（）A．都表示一条直线和一个圆B．都表示两个点C．前者是两个点，后者是一直线和一个圆D．前者是一条直线和一个圆，后者是两个点【解答】解：由x（x2+y2﹣4）=0，得x=0或x2+y2﹣4=0，即x=0或x2+y2=4，曲线表示一条直线和一个圆；由x2+（x2+y2﹣4）2=0，得x2=0且x2+y2﹣4=0，即x=0，y=﹣2或x=0，y=2，曲线表示点（0，﹣2）或（0，2）．∴前者是一条直线和一个圆，后者是两个点．故选：D．4．（5分）在公差大于0的等差数列{a n}中，2a7﹣a13=1，且a1，a3﹣1，a6+5成等比数列，则数列{（﹣1）n﹣1a n}的前21项和为（）A．21 B．﹣21 C．441 D．﹣441【解答】解：公差d大于0的等差数列{a n}中，2a7﹣a13=1，可得2a1+12d﹣（a1+12d）=1，即a1=1，a1，a3﹣1，a6+5成等比数列，可得（a3﹣1）2=a1（a6+5），即为（1+2d﹣1）2=1+5d+5，解得d=2（负值舍去）则a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，n∈N*，数列{（﹣1）n﹣1a n}的前21项和为a1﹣a2+a3﹣a4+…+a19﹣a20+a21=1﹣3+5﹣7+…+37﹣39+41=﹣2×10+41=21．故选：A．5．（5分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体毛坯的三视图，第一次切削，将该毛坯得到一个表面积最大的长方体，第二次切削沿长方体的对角面刨开，得到两个三棱柱，第三次切削将两个三棱柱分别沿棱和表面的对角线刨开得到两个鳖臑和两个阳马，则阳马与鳖臑的体积之比为（）A．3：1 B．2：1 C．1：1 D．1：2【解答】解：由题意，第一次切削，将该毛坯得到一个表面积最大的长方体，为正方体，第二次切削沿长方体的对角面刨开，得到两个全等的直三棱柱，设正方体的棱长为a，则直三棱柱的体积==鳖臑的体积==，阳马的体积=﹣=，∴阳马与鳖臑的体积之比为2：1，故选：B．6．（5分）过直线y=x+1上的点P作圆C：（x﹣1）2+（y﹣6）2=2的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于直线y=x+1对称时，|PC|=（）A．3 B．2 C．1+D．2【解答】解：由题意，CP⊥l，|PC|为圆心到直线的距离，即d==2，故选：B．7．（5分）已知函数f（x）=x a的图象过点（4，2），令（n∈N*），记数列{a n}的前n项和为S n，则S2017=（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）=x a的图象过点（4，2），可得4a=2，解得a=，f（x）=x，则==﹣，则S2017=﹣1+﹣+…+﹣=﹣1．故选：B．8．（5分）如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC=2CD=2AD=2，若将直角梯形绕BC边旋转一周，则所得几何体的表面积为（）A．3π+π B．3π+2πC．6π+2πD．6π+π【解答】解：几何体由两个底面相待的圆锥和圆柱组合而成，其中圆柱和圆锥的高均为1，由图中数据可得圆锥的母线为，S圆柱侧=π×2×1=2π，．，所以几何体的表面积为s=2π+π+π=3．故选：A．9．（5分）若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：mx2﹣xy+mx=0有三个不同的公共点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣∞，﹣）∪（，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣，0）∪（0，）【解答】解：根据题意，曲线C2：mx2﹣xy+mx=0，即x（mx﹣y+m）=0，则曲线C2表示两条直线：x=0，y=m（x+1），曲线C1：x2+y2﹣2x=0，即（x﹣1）2+y2=1，为圆心（1，0），半径为1的圆；当m=0时，曲线C2表示两条直线：x=0与y=0，与曲线C1：只有2个交点，不符合题意，当m≠0时，直线x=0与曲线C1只有一个交点，则直线y=m（x+1）与曲线C1：x2+y2﹣2x=0有2个交点，即直线y=m（x+1）与圆（x﹣1）2+y2=1相交，则有＜1，解可得：﹣＜m＜，且m≠0；综合可得：m的取值范围是（﹣，0）∪（0，）；故选：D．10．（5分）三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两垂直，且PA=PB=PC=1，则其外接球上的点到平面ABC的距离的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=1，则PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，所以过空间四个点P、A、B、C的球面即为的正方体的外接球，球的直径即是正方体的对角线，长为，球心O到平面ABC的距离为体对角线的，即球心O到平面ABC的距离为．其外接球上的点到平面ABC的距离的最大值为：+=．故选：D．11．（5分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且=，a1=m，现有如下说法：①a2=5；②当n为奇数时，a n=3n+m﹣3；③a2+a4+…+a2n=3n2+2n．则上述说法正确的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：=，a1=m，∴（a n+1+1）（a n+1）=6（S n+n），①n=1时，（a2+1）×（m+1）=6（m+1），∵m+1＞0时，∴a2=5．②n≥2时，（a n+1）（a n﹣1+1）=6（S n﹣1+n﹣1），∴（a n+1）（a n+1﹣a n﹣1）=6a n+6，a n＞0，∴a n+1﹣a n﹣1=6．∴当n=2k﹣1（k∈N*）为奇数时，数列{a2k﹣1}为等差数列，∴a n=a2k﹣1=m+（k﹣1）×6=3n+m﹣3．③当n=2k（k∈N*）为偶数时，数列{a2k}为等差数列，∴a n=a2k=5+（k﹣1）×6=3n ﹣1．∴a2+a4+…+a2n=6×（1+2+…+n）﹣n=﹣n=3n2+2n．因此①②③都正确．故选：D．12．（5分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1=2，AB=BC=1，∠ABC=90°，外接球的球心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点．有下列判断：①直线AC与直线C1E是异面直线；②A1E一定不垂直于AC1；③三棱锥E﹣AA1O的体积为定值；④AE+EC1的最小值为2．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：如图，对于①，∵直线AC经过平面BCC1B1内的点C，而直线C1E在平面BCC1B1内不过C，∴直线AC与直线C1E是异面直线，故①正确；对于②，当A1E垂直于AC1时，而C1B1⊥A1E，可得A1E⊥平面AB1C1，则A1E垂直AB1，故只需A1E⊥AB1即有A1E一定不垂直于AC1，故②错误；对于③，由题意知，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心为O是AC1与A1C 的交点，则△AA1O的面积为定值，由BB1∥平面AA1C1C，∴E到平面AA1O的距离为定值，∴三棱锥E﹣AA1O的体积为定值，故③正确；对于④，设BE=x，则B1E=2﹣x，∴AE+EC1=．由其几何意义，即平面内动点（x，1）与两定点（0，0），（2，0）距离和的最小值知，其最小值为2，故④正确．∴正确命题的个数是3个．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知直线2x+y﹣2=0与直线4x+my+6=0平行，则它们之间的距离为．【解答】解：由2m﹣4=0，解得m=2．直线4x+my+6=0化为：2x+y+3=0．经过验证：m=2时，两条直线平行．它们之间的距离d==．故答案为：．14．（5分）如图所示，在正方体AC1中，AB=2，A1C1∩B1D1=E，直线AC与直线DE所成的角为α，直线DE与平面BCC1B1所成的角为β，则cos（α﹣β）=．【解答】解：∵在正方体AC1中，AB=2，A1C1∩B1D1=E，AC∥A1E，直线AC与直线DE所成的角为α，∴α=∠A1ED，且A1E==，DE=，A1D=，∴cosα===0，sinα=1，过E作EF⊥平面ADD1A1，交A1D1于F，则F是A1D1的中点，∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1，直线DE与平面BCC1B1所成的角为β，∴β=∠EDF，且EF=1，DF=，sinβ==，cosβ==，∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=0×+1×=．故答案为：．15．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=4．【解答】解：由题意，|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3，∴=3，∴m=﹣∴直线l的倾斜角为30°，∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|==4．故答案为：4．16．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=（n∈N*），若b n+1=（n﹣2λ）•（+1）（n∈N*），b1=﹣λ，且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是．【解答】解：∵数列{a n}满足：a1=1，a n+1=（n∈N*），∴两边取倒数，化为=1+，变形为：+1=2，∴数列{+1}是等比数列，首项为+1=2，公比为2，∴+1=2n，=（n﹣2λ）=（n﹣2λ）•2n，∴b n+1∵数列{b n}是单调递增数列，＞b n，∴b n+1∴（n﹣2λ）•2n＞（n﹣1﹣2λ）•2n﹣1，化为：λ＜，解得λ＜．但是当n=1时，b2＞b1，∵b1=﹣λ，∴（1﹣2λ）•2＞﹣λ，解得λ＜，∴λ∈．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．（Ⅰ）求AD边所在直线的方程；（Ⅱ）求矩形ABCD外接圆的方程．【解答】解：（I）∵AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，且AD与AB垂直，∴直线AD的斜率为﹣3．又∵点T（﹣1，1）在直线AD上，∴AD边所在直线的方程为y﹣1=﹣3（x+1），即3x+y+2=0．（II）由，解得点A的坐标为（0，﹣2），∵矩形ABCD两条对角线的交点为M（2，0）．∴M为矩形ABCD外接圆的圆心，又|AM|2=（2﹣0）2+（0+2）2=8，∴．从而矩形ABCD外接圆的方程为（x﹣2）2+y2=8．18．（12分）若圆C1：x2+y2=m与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+16=0外切．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）若圆C1与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，P为第三象限内一点，且点P在圆C1上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．【解答】解：（Ⅰ）圆C1的圆心坐标（0，0），半径为（m＞0），圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，圆心距为：5，又两圆外切，得，解得m=4．（Ⅱ）由题易得点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，2），圆C1：x2+y2=4，设P点的坐标为（x0，y0），x0，y0∈（﹣2，0）．由题意，得点M的坐标为（0，），点N的坐标为（，0），四边形ABNM的面积S=|AN||BM|==||=||，由点P在圆C1上，得x02+y02=4，∴四边形ABNM的面积S=，∴四边形ABNM的面积为定值4．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，BA∥平面PCD，平面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，△APD为等腰直角三角形，．（1）证明：平面PAB⊥平面PCD；（2）若三棱锥B﹣PAD的体积为，求平面PAD与平面PBC所成二面角的余弦值．【解答】解：（1）证明：依题：⇒CD⊥面PAD⇒CD⊥AP，又AP⊥PD，∴AP⊥平面PCD，又AP⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD；（2）⇒AB∥CD由（1）知AB⊥面PAD∴=，取AD中点O，PO⊥AD，平面PAD平面ABCD，∴PO平面ABCD，以过点O且平行于AB的直线为x轴，如图建系，各点坐标如图．由（1）易知平面PAD的一法向量为，设平面PBC的法向量为.，.，取x=2，.=，故所求二面角的余弦值为．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n，且a n=（n∈N*）．（Ⅰ）若数列{a n+t}是等比数列，求t的值；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）记b n=+，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，由a1=（n∈N*），得a1=1．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣n﹣2a n﹣1+（n﹣1），即a n=2a n﹣1+1，∴a2=3，a3=7，．依题意，得（3+t）2=（1+t）（7+t），解得t=1，当t=1时，a n+1=2（a n+1），n≥2，﹣1即数列{a n+1}是等比数列，故实数t的值为1．（Ⅱ）由（Ⅰ），知当n≥2时，a n+1=2（a n+1），﹣1又因为a1+1=2，所以数列{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．所以，∴a（n∈N+）．（Ⅲ）由（Ⅱ），知b n=+==，则T n==1﹣21．（12分）如图，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1和四棱锥D﹣BB1C1C构成的几何体中，∠BAC=90°，AB=1，BC=BB1=2，C1D=CD=，平面CC1D⊥平面ACC1A1．（Ⅰ）求证：AC⊥DC1；（Ⅱ）若M为DC1的中点，求证：AM∥平面DBB1；（Ⅲ）在线段BC上是否存在点P，使直线DP与平面BB1D所成的角为？若存在，求的值，若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，故AC ⊥CC1，由平面CC1D⊥平面ACC1A1，且平面CC1D∩平面ACC1A1=CC1，所以AC⊥平面CC1D，又C1D⊂平面CC1D，所以AC⊥DC1．（Ⅱ）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，又∠BAC=90°，所以，如图建立空间直角坐标系A﹣xyz，依据已知条件可得A（0，0，0），，，B（0，0，1），B1（2，0，1），，所以，，设平面DBB 1的法向量为，由即令y=1，则，x=0，于是，因为M为DC1中点，所以，所以，由，可得，所以AM与平面DBB1所成角为0，即AM∥平面DBB1．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知平面BB 1D的法向量为．设，λ∈[0，1]，则，．若直线DP与平面DBB1成角为，则，解得，故不存在这样的点．22．（12分）已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a1+a3=20，a2=8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，S n是数列{b n}的前n项和，对任意正整数n不等式恒成立，求实数a的取值范围．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，a1+a3=20，a2=8．则，…（1分）∴2q2﹣5q+2=0…（2分）∵公比q＞1，∴，∴数列{a n}的通项公式为．…（5分）（Ⅱ）解：∴S n=∴…（7分）∴S n ==…（9分）∴对任意正整数n 恒成立，设，易知f（n）单调递增．…（10分）n为奇数时，f（n ）的最小值为，∴得，…（11分）n为偶数时，f（n ）的最小值为，∴，…（12分）综上，，即实数a 的取值范围是．…（13分）。
2017届河北省衡水中学高三高考押题2卷数学(理)试题(解析版)_Word版_含答案
河北省衡水中学2017届高三高考押题2卷理数试题一、选择题1．设集合2{|60,}A x x x x Z =--<∈， {|,,}B z z x y x A y A ==-∈∈，则集合A B ⋂=（ ）A. {}0,1B. {}0,1,2C. {}0,1,2,3D. {}1,0,1,2- 【答案】B【解析】由题意可得： {}{}1,0,1,2,0,1,2,3A B =-= ，则集合A B ⋂={}0,1,2. 本题选择B 选项.2．设复数满足，则=（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得： .3．若1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin α的值为（ ） A.426- B. 426+ C. 718D. 23 【答案】A 【解析】由题意可得：2322,,sin 1cos 444443πππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+∈∴+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 结合两角和差正余弦公式有：42sin sin sin cos cos sin 444444ππππππαααα⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ . 本题选择A 选项.4．已知直角坐标原点O 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的中心， 1F ， 2F 为左、右焦点，在区间()0,2任取一个数e ，则事件“以e 为离心率的椭圆C 与圆O ：2222x y a b +=-没有交点”的概率为（ ）A.4B. 44-C. 2D. 22【答案】A【解析】满足题意时，椭圆上的点()cos ,sin P a b θθ 到圆心()0,0O 的距离：()()222222cos 0sin 0d a b r a b θθ=-+->=+ ，整理可得2222222222sin sin 11,111sin 1sin 1sin 2b b e a a θθθθθ>∴=-<-=<+++ ，据此有：21,02e e <<<，题中事件的概率0220p -==- . 本题选择A 选项.5．定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90︒的正角.已知双曲线E ： 22221(0,0)x y a b a b-=>>，当其离心率e ⎤∈⎦时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（ ） A. 0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. ,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. ,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】由题意可得： [][]222222212,4,1,3c b b e a a a==+∈∴∈ ，设双曲线的渐近线与x 轴的夹角为θ ， 双曲线的渐近线为b y x a =±，则,46ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 结合题意相交直线夹角的定义可得双曲线的渐近线的夹角的取值范围为,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 本题选择D 选项.6．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为32π+，则它的表面积是（ ）A. 31332222π⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭B. 313322242π⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭C.13222π+ D. 13224π+ 【答案】A 【解析】由三视图可知，该几何体是由四分之三圆锥和一个三棱锥组成的组合体，其中：2222313111=3,=3434232V a a V a a ππ⨯⨯⨯=⨯⨯=圆锥三棱锥由题意： 223132,242a a a ππ+=+∴= ，据此可知：31=2223242S a ππ⨯+⨯⨯=+底 ，3313=1324S ππ⨯⨯=圆锥侧 ，1=2211222S ⨯⨯=棱锥侧 ，它的表面积是 31332222π⎛⎫+++⎪ ⎪⎝⎭.本题选择A 选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同．7．函数sin ln y x x =+在区间[]3,3-的图象大致为（ ）A. B. C.D.【答案】A【解析】由题意()()sin ln sin ln f x x x x x -=-+-=-+ ，则()()f x f x -≠ 且()()f x f x -≠- ，函数为非奇非偶函数，选项C,D 错误； 当0x +→ 时， sin 0,ln x x →→-∞ ，则函数值y →-∞ ，排除选项B. 本题选择A 选项.8．二项式1(0,0)nax a b bx ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则ab 的值为（ ）A. 4B. 8C. 12D. 16 【答案】B【解析】二项式1(0,0)nax a b bx ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则10n = ， 二项式101ax bx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 展开式的通项公式为：()1010102110101rrrr r r rr T C ax C a b xbx ----+⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭， 由题意有： 282102137331103C a b T T C a b-+-+== ，整理可得： 8ab = .本题选择D 选项.点睛：二项式系数与展开式项的系数的异同一是在T r ＋1＝r n C a n －r b r 中， rn C 是该项的二项式系数，与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指rn C ，而后者是字母外的部分，前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负．二是二项式系数的最值与增减性与指数n 的奇偶性有关，当n 为偶数，中间一项的二项式系数最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值． 9．执行下图的程序框图，若输入的0x =， 1y =， 1n =，则输出的p 的值为（ ）A. 81B. 812C. 814D. 818【答案】C【解析】依据流程图运行程序，首先 初始化数值， 0,1,1x y n === ，进入循环体：1,12y y nx n y +====，时满足条件2y x ≥ ，执行12n n =+= ，进入第二次循环，32,22y y n xn y +====，时满足条件2y x ≥ ，执行13n n =+= ，进入第三次循环，99,24y y n x n y +====，时不满足条件2y x ≥ ，输出814p xy == . 本题选择C 选项.10．已知数列11a =， 22a =，且()2221nn n a a +-=--， *n N ∈，则2017S 的值为（ ）A. 201610101⨯-B. 10092017⨯C. 201710101⨯-D. 10092016⨯【答案】C【解析】由递推公式可得：当n 为奇数时， 24n n a a +-= ，数列{}21n a - 是首项为1，公差为4的等差数列， 当n 为偶数时， 20n n a a +-= ，数列{}21n a - 是首项为2，公差为0的等差数列，()()20171320172420161100910091008410082220171010 1.S a a a a a a =+++++++=+⨯⨯⨯+⨯=⨯-L L本题选择C 选项.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项． 11．已知函数()()sin (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的图象如图所示，令()()()'g x f x f x =+，则下列关于函数()g x 的说法中不正确的是（ ）A. 函数()g x 图象的对称轴方程为()12x k k Z ππ=-∈B. 函数()g x 的最大值为2C. 函数()g x 的图象上存在点P ，使得在P 点处的切线与直线:31l y x =-平行D. 方程()2g x =的两个不同的解分别为1x ， 2x ，则12x x -最小值为2π 【答案】C【解析】由函数的最值可得2A = ，函数的周期2242,136T ππππωω⎛⎫=⨯-==∴= ⎪⎝⎭，当6x π=时， ()12,2623x k k k Z πππωϕϕπϕπ+=⨯+=+∴=+∈ ，令0k = 可得3πϕ=，函数的解析式()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.则： ()()()'223334712g x f x f x sin x cos x x x πππππ=+⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭结合函数的解析式有()7'12g x x π⎛⎫⎡=+∈- ⎪⎣⎝⎭，而3⎡∉-⎣ ，选项C 错误，依据三角函数的性质考查其余选项正确.本题选择C 选项.12．已知函数()3231f x ax x =-+，若()f x 存在三个零点，则a 的取值范围是（ ）A. (),2-∞-B. ()2,2-C. ()2,+∞D. ()()2,00,2-⋃ 【答案】D【解析】很明显0a ≠ ，由题意可得： ()()2'3632f x ax x x ax =-=- ，则由()'0f x = 可得1220,x x a==， 由题意得不等式： ()()122281210f x f x a a=-+< ，即： 2241,4,22a a a><-<< ，综上可得a 的取值范围是 ()()2,00,2-⋃.本题选择D 选项.点睛：函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．二、填空题13．向量(),a m n =r ， ()1,2b =-r ，若向量a r ， b r 共线，且2a b =r r，则mn 的值为_________． 【答案】-8【解析】由题意可得： ()22,4a b ==-r r 或()22,4a b =-=-r r，则： ()248mn =-⨯=- 或()248mn =⨯-=- .14．在平面直角坐标系xoy 中，点M 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P 、Q 两点．若MPQ V 为锐角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是 ．【解析】试题分析：∵△PQM 是锐角三角形，∴2,c 4b QMD PMD aπ∠=∠<<∴222cos cos ,42MD c QMD ac a c b QM aπ∠==>=<-2222,a c ac a c >-<-∴2210,10e e e +->+-<解得e e ><故答案为：1,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭15．设x ， y 满足约束条件230,{220,220,x y x y x y +-≥-+≥--≤则yx的取值范围为__________． 【答案】27,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】绘制不等式组表示的可行域如图所示，目标函数yx表示可行域内的点(),xy 与坐标原点()0,0之间连线的斜率，目标函数在点47,55A⎛⎫⎪⎝⎭处取得最大值74，在点51,42⎛⎫⎪⎝⎭处取得最小值25，230,220,220,x yx yx y+-≥-+≥--≤则yx的取值范围为27,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦.点睛：本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．16．在平面五边形ABCDE中，已知120A∠=︒，90B∠=︒，120C∠=︒，90E∠=︒，3AB=，3AE=，当五边形ABCDE的面积63,93S⎡∈⎣时，则BC 的取值范围为__________.【答案】3,33【解析】由题意可设：BC DE a==，则：()21313918393333363,93 2244ABCDES a a⎡=⨯+⨯=-∈⎣，则：当33a=时，面积由最大值3；当3a=时，面积由最大值63；结合二次函数的性质可得：BC的取值范围为3,33.三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ， 112a =， ()*1212,n n S S n n N -=+≥∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()*12log n n b a n N =∈求11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）()*12n na n N =∈；（2）1n n +. 【解析】试题分析： (1)由题意可得数列{}n a 是以12为首项， 12为公比的等比数列， 12n n a = ()*n N ∈. (2)裂项求和， 11111n n b b n n +=-+，故1n n T n =+. 试题解析：（1）当2n =时，由121n n S S -=+及112a =， 得2121S S =+，即121221a a a +=+，解得214a =. 又由121n n S S -=+，① 可知121n n S S +=+，② ②-①得12n n a a +=，即()1122n n a n a +=≥. 且1n =时，2112a a =适合上式，因此数列{}n a 是以12为首项， 12为公比的等比数列，故12n n a =()*n N ∈. （2）由（1）及12log n n b a = ()*n N ∈，可知121log 2nn b n ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()1111111n n b b n n n n +==-++， 故2231111n n n n T b b b b b b +=+++=L1111112231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-= ⎪ ⎪⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 1111nn n -=++. 18．如图所示的几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为菱形， 2AB a =， 120ABC ∠=︒， AC 与BD 相交于O 点，四边形BDEF 为直角梯形， //DE BF ，BD DE ⊥， 222DE BF a ==，平面BDEF ⊥底面ABCD .（1）证明：平面AEF ⊥平面AFC ； （2）求二面角E AC F --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（23 【解析】试题分析：(1)利用题意证得EF ⊥平面AFC .由面面垂直的判断定理可得平面AEF ⊥平面AFC .(2)结合(1)的结论和题意建立空间直角坐标系，由平面的法向量可得二面角E AC F --3 试题解析：（1）因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，又平面BDEF ⊥底面ABCD ，平面BDEF ⋂平面ABCD BD =， 因此AC ⊥平面BDEF ，从而AC EF ⊥. 又BD DE ⊥，所以DE ⊥平面ABCD ，由2AB a =， 222DE BF a ==， 120ABC ∠=︒， 可知22426AF a a a =+， 2BD a =，22426EF a a a =+=， 224823AE a a a +=，从而222AF FE AE +=，故EF AF ⊥.又AF AC A ⋂=，所以EF ⊥平面AFC .又EF ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面AFC .（2）取EF 中点G ，由题可知//OG DE ，所以OG ⊥平面ABCD ，又在菱形ABCD中， OA OB ⊥，所以分别以OA u u u r ， OB uuu r ， OG u u u r的方向为x ， y ， z 轴正方向建立空间直角坐标系O xyz -（如图示），则()0,0,0O ， ()3,0,0Aa ， ()3,0,0C a -， ()0,,22E a a -， ()0,2F a a ，所以())0,,223,0,0AE a a a =--=u u u r()3,,22a a a --， ())3,0,03,0,0AC a a =--=u u u r()23,0,0a -，()()0,,20,,22EF a a a a =--u u ur()0,2,2a a =-.由（1）可知EF ⊥平面AFC ，所以平面AFC 的法向量可取为()0,2,2EF a a =-u u u r.设平面AEC 的法向量为(),,nx y z =r，则0,{0,n AE n AC ⋅=⋅=u u u r r u u u rr 即3220,{0,x y z x --+==即22,{0,y z x ==令2z =，得4y =， 所以()0,4,2n =r.从而cos ,n EF =u u u r r 363n EF an EF ⋅==⋅u u u r r u u u r r . 故所求的二面角E AC F --的余弦值为33.点睛：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想．两种思路：(1)选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断．(2)建立空间坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题．19．某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据以上抽样调查数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B 的人数；（2）若等级A 、B 、C 、D 、E 分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求平均分达90分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？（3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从A 、B 两种级别中，用分层抽样的方法抽取11个学生样本，再从中任意选取3个学生样本分析，求这3个样本为A 级的个数ξ的分布列与数学期望.【答案】（1）448；（2）该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关；（3）见解析.【解析】试题分析：(1)由频率分布直方图估算该校高三年级学生获得成绩为B 的人数为448； (2)计算平均分可得该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关. (3) ξ的可能值为0，1，2，3.由超几何分布的概率写出分布列，求得数学期望为1211. 试题解析：（1）从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为B ，所以可以估计该校学生获得成绩等级为B 的概率为561410025=， 则该校高三年级学生获得成绩为B 的人数约有1480044825⨯=.（2）这100名学生成绩的平均分为()1321005690780370260100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯91.3=，因为91.390>，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.（3）由题可知用分层抽样的方法抽取11个学生样本，其中A 级4个， B 级7个，从而任意选取3个，这3个为A 级的个数ξ的可能值为0，1，2，3.则()03473117033C C P C ξ===， ()124731128155C C P C ξ===， ()214731114255C C P C ξ===， ()304731143165C C P C ξ===. 因此可得ξ的分布列为：则()7281440123335555165E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯1211=. 20．已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b +=>>223P ⎝⎭，动直线l ： y kx m -+交椭圆C 于不同的两点A ， B ，且0OA OB ⋅=u u u r u u u r（O 为坐标原点）（1）求椭圆C 的方程.（2）讨论2232m k -是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）22322m k -=. 【解析】试题分析：(1)由题意求得21b =， 22a =，故所求的椭圆方程为2212x y +=. (2)联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系结合题意可证得22322m k -=为定值.试题解析： （1）由题意可知c a =()222222a c a b ==-，即222a b =，①又点,22P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上，所以有2223144a b +=，② 由①②联立，解得21b =， 22a =，故所求的椭圆方程为2212x y +=. （2）设()()1122,,,A x y B x y ，由0OA OB ⋅=u u u r u u u r，可知12120x x y y +=.联立方程组22,{1,2y kx m x y =++=消去y 化简整理得()222124220k x kmx m +++-=，由()()22221681120k m m k ∆=--+>，得2212k m +>，所以122412kmx x k +=-+，21222212m x x k -=+，③又由题知12120x x y y +=， 即()()12120x x kx m kx m +++=，整理为()()22121210k x x km x x m ++++=. 将③代入上式，得()22222224101212m km kkm m k k-+-⋅+=++.化简整理得222322012m k k--=+，从而得到22322m k -=. 21．设函数()()22ln f x a x x ax a R =-+-∈.（1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）设()()22ln x x a a x ϕ=+-，记()()()h x f x x ϕ=+，当0a >时，若方程()()h x m m R =∈有两个不相等的实根1x ， 2x ，证明12'02x x h +⎛⎫>⎪⎝⎭. 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】试题分析：(1)求解函数的导函数，分类讨论可得：①若0a >时，当()0,x a ∈时，函数()f x 单调递减，当(),x a ∈+∞时，函数()f x 单调递增；②若0a =时，函数()f x 单调递增； ③若0a <时，当0,2a x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，函数()f x 单调递减，当,2a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，函数()f x 单调递增.(2)构造新函数()()()h x f x x ϕ=+= ()22ln x a x a x +-- (0)x >，结合新函数的性质即可证得题中的不等式.试题解析： （1）由()22ln f x a x x ax=-+-，可知()2'2a f x x a x=-+-=()()2222x a x a x ax a x x+---=.因为函数()f x 的定义域为()0,+∞，所以，①若0a >时，当()0,x a ∈时， ()'0f x <，函数()f x 单调递减，当(),x a ∈+∞时，()'0f x >，函数()f x 单调递增；②若0a =时，当()'20f x x =>在()0,x ∈+∞内恒成立，函数()f x 单调递增； ③若0a <时，当0,2a x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时， ()'0f x <，函数()f x 单调递减，当,2a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时， ()'0f x >，函数()f x 单调递增.（2）证明：由题可知()()()h x f x x ϕ=+= ()22ln x a x a x +-- (0)x >，所以()()'22ah x x a x=+--= ()()()22221x a x a x a x x x +---+=.所以当0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()'0h x <；当,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时， ()'0h x >；当2a x =时， '02a h ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 欲证12'02x x h +⎛⎫>⎪⎝⎭，只需证12''22x x a h h +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()2''20a h x x =+>，即()'h x 单调递增，故只需证明1222x x a +>. 设1x ， 2x 是方程()h x m =的两个不相等的实根，不妨设为120x x <<，则()()211122222,{2,x a x alnx m x a x alnx m +--=+--=两式相减并整理得()1212ln ln a x x x x -+-= 22121222x x x x -+-，从而221212121222ln ln x x x x a x x x x -+-=-+-，故只需证明()2212121212122222ln ln x x x x x x x x x x +-+->-+-， 即22121212121222ln ln x x x x x x x x x x -+-+=-+-.因为1212ln ln 0x x x x -+-<， 所以（）式可化为12121222ln ln x x x x x x --<+，即11212222ln 1x x x x x x -<+.因为120x x <<，所以1201x x <<， 不妨令12x t x =，所以得到22ln 1t t t -<+， ()0,1t ∈.记()22ln 1t R t t t -=-+， ()0,1t ∈，所以()()()()222114'011t R t t t t t -=-=≥++，当且仅当1t =时，等号成立，因此()R t 在()0,1单调递增. 又()10R =，因此()0R t <， ()0,1t ∈， 故22ln 1t t t -<+， ()0,1t ∈得证， 从而12'02x x h +⎛⎫>⎪⎝⎭得证. 22．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线1C ： 3,{2x cost y sintαα=+=+（t 为参数， 0a >），在以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ： 4sin ρθ=.（1）试将曲线1C 与2C 化为直角坐标系xOy 中的普通方程，并指出两曲线有公共点时a 的取值范围；（2）当3a =时，两曲线相交于A ， B 两点，求AB .【答案】（1）1C ， ()()22232x y a -+-=， 2C ： ()2224x y +-=； []1,5；（2）3. 【解析】试题分析：(1)由题意计算可得曲线1C 与2C 化为直角坐标系xOy 中的普通方程为()()22232x y a -+-=， ()2224x y +-=； a 的取值范围是[]1,5；(2)首先求解圆心到直线的距离，然后利用圆的弦长计算公式可得3AB =. 试题解析： （1）曲线1C ： 3,{2,x cost y sint αα=+=+消去参数t 可得普通方程为()()22232x y a -+-=.曲线2C ： 4sin ρθ=，两边同乘ρ.可得普通方程为()2224x y +-=.把()2224y x -=-代入曲线1C 的普通方程得： ()22234136a x x x =-+-=-，而对2C 有()22224x x y ≤+-=，即22x -≤≤，所以2125a ≤≤故当两曲线有公共点时， a 的取值范围为[]1,5.（2）当3a =时，曲线1C ： ()()22329x y -+-=，两曲线交点A ， B 所在直线方程为23x =. 曲线()2224x y +-=的圆心到直线23x =的距离为23d =，所以482249AB =-=. 23．选修4-5：不等式选讲. 已知函数()211f x x x =-++.（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数()y f x =的图象，并由图象找出满足不等式()3f x ≤的解集；（2）若函数()y f x =的最小值记为m ，设,a b R ∈，且有22a b m +=，试证明：221418117a b +≥++. 【答案】（1）[]1,1-；图见解析（2）见解析. 【解析】试题分析：(1)将函数写成分段函数的形式解不等式可得解集为[]1,1-.(2)整理题中所给的算式，构造出适合均值不等式的形式，然后利用均值不等式的结论证明题中的不等式即可，注意等号成立的条件. 试题解析：（1）因为()211f x x x =-++= 3,1,1{2,1,213,.2x x x x x x -<--+-≤≤> 所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式()3f x ≤的解集为[]1,1-.（2）证明：由图可知函数()y f x =的最小值为32，即32m =. 所以2232a b +=，从而227112a b +++=， 从而221411a b +=++()()22222141171a b a a b ⎛⎫⎡⎤++++= ⎪⎣⎦++⎝⎭()222241215711a b a b ⎡⎤⎛⎫++⎢⎥ ⎪++≥ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦()2222412118527117a b a b ⎡++⎢+⋅=⎢++⎣. 当且仅当()222241111a b a b ++=++时，等号成立， 即216a =， 243b =时，有最小值， 所以221418117a b +≥++得证.。
2017-2018学年河北省衡水中学高二(下)期中数学试卷(理科)含解析
第1页（共23页） 2017-2018学年河北省衡水中学高二（下）期中数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5.00分）与极坐标（﹣2，）不表示同一点的极坐标是（ ）
A．（2，） B．（2，﹣） C．（﹣2，﹣） D．（﹣2，） 2．（5.00分）下列表述： ①综合法是由因到果法； ②综合法是顺推法； ③分析法是执果索因法； ④分析法是间接证明法； ⑤分析法是逆推法． 其中正确的语句与（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（5.00分）若复数z满足（1+i）z=|1﹣i|（i为复数单位），则 z的共轭复数为（ ） A．1+i B．1﹣i C． D．
4．（5.00分）用反证法证明命题“若sinθ+cosθ•=1，则sinθ≥0且cosθ≥0”时，下列假设的结论正确的是（ ） A．sinθ≥0或cosθ≥0 B．sinθ＜0或cosθ＜0 C．sinθ＜0且cosθ＜0 D．sinθ＞0且cosθ＞0
5．（5.00分）方程（t为参数）表示的曲线是（ ） A．双曲线 B．双曲线的上支 C．双曲线的下支 D．圆 6．（5.00分）若a=，b=，c=，则a，b，c大小关
系是（ ） A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b 第2页（共23页）
7．（5.00分）老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”；有3个柱子甲、乙、丙，在甲柱上现有4个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上（如图），把这4个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束，在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下，设游戏结束需要移动的最少次数为n，则n=（ ）
A．15 B．11 C．8 D．7 8．（5.00分）在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2=a2+b2．设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O﹣LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么你类比
河北衡水中学2017~2018学年度上学期高三年级四调考试教师版解析
2017~2018学年度上学期高三年级四调考试数学(理科)试卷一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分,从每小题给出的四个选项中,选出最佳选项,并在答题纸上将该项涂黑)1.已知集合2{|ln(12)},{|}A x y x B x x x ==-=≤,全集U A B =,则()U AB =ð ( ) A . (,0)-∞ B .1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦C .1(,0),12⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦D .1,02⎛⎤-⎥⎝⎦1.答案：C解析：由120x ->,得12x <,所以1,2A ⎛⎫=-∞ ⎪⎝⎭,由2x x ≤,得20,(1)0,x x x x --≤≤ 01x ∴≤≤,全集1(,1],0,2U A B A B ⎡⎫==-∞=⎪⎢⎣⎭,所以1()(,0),12U AB ⎡⎤=-∞⎢⎥⎣⎦ð 2.已知复数232015i i i i 1iz ++++=+,其中i 为虚数单位,则复数z 在复平面内对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.答案：B解析：234232015i i i i i 1i 10,i i i ++i i 1i 1+++=--+=∴++=--=-,所以1(1i)11i 1i (1i)(1i)22z ---===-+++-,位于第二象限 3.运行如图所示的程序,若输入的(1,2,,10)i a i =分别为：1.5,2.6,3.7,4.8,7.2,8.6,9.1,5.3,6.9,7.0,则输出的值为( )A .49B .25C .12D .593.答案：C解析：由程序框图可知,k 表示(1,2,,10)i a i =中大于等于6.8的数目,所以5k =,11i =,所以5111112k i ==--4.已知数列{}n a 的前n 项和为12,1,2n S a a ==,且对于任意1,n n N *>∈,满足112(1)n n n S S S +-+=⋅+,则10S 的值为 ( )A .91B .90C .55D .1004.答案：A解析：由112(1)n n n S S S +-+=⋅+可得112n n n n S S S S +--=-+,即12(2)n n a a n +=+≥, 所以该数列从第二项起是一个公差为2的等差数列,所以10981292912S ⨯=+⨯+⨯= 5.某几何体的三视图如图所示,俯视图是半径为2的圆.则该几何体的表面积为 ( ) A .24π B .16π C .12π D .8π 5.答案：B解析：该几何体为球的34,半径为2R =,表面积222314241642S R R R ππππ=⨯+⨯== 6.若关于x 的方程13log (3)2x a x -=-有解,则实数a 的最小值为 ( )A .4B .6C .8D .26.答案：B解析：由13log (3)2x a x -=-,可得22133363x x x x a --⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭≥,当且仅当233x x -=,即1x =时等号成立,所以实数a 的最小值为67.如图,在ABC △中,2CM MB =,过点M 的直线分别交射线,AB AC 于不同的两点,P Q ,若,AP mAB AQ nAC ==,则mn m +的最小值为( )A.B.C .6D .27.答案：D解析：()11213333AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+,又因为 ,,P Q M 三点共线,所以可设(1)AM AP AQ λλ=+-,其中01λ<<,则(1)AM mAB nAC λλ=+-,于是231(1)3m n λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,所以2313(1)m n λλ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩, 2226(1)2(43)9(1)39(1)9(1)mn m λλλλλλλλλ+--∴+=+==---,设43t λ-=,则(1,4)t ∈,且 43t λ-=,所以2222414349333t t mn m t t t t t t +===---+-⎛⎫⨯⨯-+ ⎪⎝⎭,因为42t t +≥,当且仅当4t t =,即22,3t λ==时等号成立,所以431t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤,所以2mn m +≥ 8.若存在正实数,,x y z 满足2z x ez ≤≤且ln y z x z =,则ln yx的取值范围为 ( ) A .[1,)+∞ B .[1,1]e -C .(,1]e -∞-D .11,ln 22⎡⎤+⎢⎥⎣⎦8.答案：B解析：因为2z x ez ≤≤,所以12x e z ≤≤,设x t z =,则1,2t e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,由ln y z x z =,得xz y ze =,,ln ln ln x t tz y z e y e e t t x x t x t ∴====-,设1()ln ,,2f t t t t e ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦,则11()1t f t t t -'=-=当1,12t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时,()0,()f t f t '<单调递减,当(]1,t e ∈时,()0,()f t f t '>单调递增,所以当1t =时,()f t 取得最小值min ()(1)1f t f ==,又因为1111()ln ln 22222f =-=+, ()1f e e =-,13()()ln 2022f e f e -=-->,所以max ()()1f t f e e ==-,故ln yx的取值范围是[1,1]e -.9.正四面体ABCD 中,M 是棱AD 的中点,点O 是点A 在底面BCD 内的射影,则异面直线BM 与AO 所成角的余弦值为 ( )A.6B.3C.4D.59.答案：B解析一：如图,以O 为坐标原点,,,OC BD OA 所在方向为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系,设正四面体的棱长为2,则BO AO ===则1,03B ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭,1,,,3623D A M ⎛⎫⎛⎛-- ⎪ ⎪ ⎝⎝⎭⎝⎭, 336,,,623BM OA ⎛⎫⎛== ⎪ ⎪⎝⎝⎭,异面直线BM与AO 所成角为θ,则 43cos 33BM OA BM OA θ⋅===⋅解法二：设正方体的棱长为2,则(1,0,1),(0,1,0),(0,0,0),(1,1,2)A E B M,点O 在AE 上,所以(1,1,1),(1,1,2),cos 33AE BM AE BM AE BMθ⋅=--====⋅xyB解法一10.已知函数2016()2016log )20162x xf x x -=+-+,则关于x 的不等式(31)()4f x f x ++>的解集为( )A .1,2016⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B .1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C .1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D .1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭10.答案：D解析：设2016()()22016log )2016x xg x f x x -=-=+-,则20162016()()2016log )20162016log )2016x x x x g x g x x x ---+=+-++-20162016log )]log 10x x ===,所以函数()g x 是奇函数,显然函数()g x 也是一个增函数.由(31)()4f x f x ++>可得(31)2()20f x f x +-+->,即(31)()0g x g x ++>, 所以1(31)()(),31,4g x g x g x x x x +>-=-∴+>->-11.若PAD △所在平面与矩形ABCD 所在平面互相垂直,2,PA PD AB ===APD ∠=60︒.若点,,,,P A B C D 都在同一个球面上,则此球的表面积为 ( )A .253πB .283πC.27D.2711.答案：B解析：APD △是一个正三角形,所以ABCD 是正方形,可将该图形还原成一个正三棱柱ADP BCQ -,则球心为两正三角形中心连线12O O 的中点,如图,221AO OO ==, 则22222247133R OA AO OO ==+=+=,所以外接球的表面积22843S R ππ==.PABCD1O 2O OQ12.已知函数2(),0x x f x x e=≠,关于x0λ=有四个相异的实根,则实数λ的取值范围是 ( )A .20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.)+∞C .2,e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭D .224,2e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭12.答案：C解析：222(),()2(2)x x x x f x x e f x xe x e x x e ----'=∴=-=-,当0x <时,()0,()f x f x '<单调递减;当02x <<时,()0,()f x f x '>单调递增;13.若10521001210(1)(1)(1)x x a a x a x a x -=+-+-++-,则5a = .13.答案：251解析：设1x t -=,则1x t =+,所以10521001210(1)(1)t t a a t a t a t +-+=++++,展开式中含5t 的项为5555105251,251C t t t a -=∴=. 14.已知函数()sin 2017cos 201763ππf x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A ,若存在实数12,x x ,使得对任意实数x 总有12()()()f x f x f x ≤≤成立,则12A x x -的最小值为 .14.答案：22017π解析：()sin 2017cos 201763f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin 2017coscos 2017sincos 2017cossin 2017sin6633x x x x ππππ=+++2017cos 20172sin 20176x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,故2A =,由题可知,12,x x 为函数的极小值点和极大值点,故12min22017T x x π-==, 故12A x x -的最小值为22017π15.设实数,,x y z 满足约束条件1010232x y z x y x z ++=⎧⎪⎪⎨⎪⎪+⎩≤≤≤≤≥,则364t x y z =++的最大值为 .15.答案：5解析：由1x y z ++=可得1z x y =--,所以32x z +≥,即21x y -≥,36424t x y z x y =++=-++,由010221x y x y ⎧⎪⎨⎪-⎩≤≤≤≤≥作可行域如图所示,由24z x y =-++,得1422z y x -=+,作直线12y x =并平移,当直线过点(1,1)时,直线在y 轴上的截距最大,z 的最大值为5.1y =16.若,,m n l 是互不重合的直线,,,αβγ是互不重合的平面,给出下列命题：①若,,αβαβm m n ⊥=⊥,则αn ⊥或βn ⊥;②若//,,αβαγβγm n ==,则//m n ;③若m 不垂直α,则m 不可能垂直于α内的无数条直线; ④若,//,,αβαβm m n n n =⊄⊄,则//αn 且//βn ;⑤若,,αββγαγm n l ===,且,,αβαγβγ⊥⊥⊥,则,,m n m l n l ⊥⊥⊥.其中正确的命题是______________.(填序号) 16.答案：②④⑤解析：① 如图,在正方体1111ABCD A BC D -中,记平面11ADD A 为平面α,平面11CDD C 为平面β,直线1DD 为m ,直线11AC 为n ,显然n 与,αβ均不垂直,错误ABC D1A 1B 1C 1D m n② 面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行.正确;③ 当直线//m α或m 与α相交但不垂直,或m α⊂时,在α都可以找到无数条平行线,与m 垂直,错误;④ //,,//m n n m n ααα⊄⊂⇒,同理可证,//n β;⑤ 如果三个平面两两垂直,则它们的交线也两两垂直,正确. 三、解答题(共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生必须作答.第22,23题为选考题,考试根据要求作答) (一)必考题：共60分.17.(本小题满分12分)已知在ABC △中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .且203S BA AC ⋅+=,其中S 是ABC △的面积,4πC =. (1)求cos B 的值;(2)若24S =,求a 的值.17.解：(1)由203S BA AC ⋅+=,得13cos 2sin 2bc A bc A =⨯,化简得：sin 3cos A A =,结合22sin cos 1A A +=及sin 0A >,可得sin cos 1010A A ==,所以cos cos()cos cos sin sin 1021025B AC A C A C =-+=-+=-⨯+=……………………(6分)(2)1sin 24,2S bc A bc ===∴= ① 由(1)得cos 5B =,所以sin B =由正弦定理sin sin b c B C =,得2b = ②联立①②可得8,b c ==则2222cos 72a b c bc A =+-=,所以a =18.(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且32,2n n n S a n N *=-∈. (1)证明数列12n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列,并求出数列{}n a 的通项公式. (2)设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T ,是否存在正整数λ,对任意,m n N *∈,不等式0λm n T S -<恒成立？若存在,求出λ的最小值;若不存在,请说明理由. 18.解：(1)由322n n n S a =-,可知当2n ≥时,111322n n n S a ---=-, (2分) 两式相减,得：132(2)2n n n a a n -=-≥,变形得：11112(2)22n n n n a a n --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭≥, 又111322a S a ==-,故1131,122a a =-=, 所以数列12n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为1,公比为2的等比数列, (4分) 所以11112,2()22n n n n n n a a n N --*-==+∈ (6分) (2)因为1122n n n a -=+,所以312222nn n n n S a =-=-, (8分)因为11111112220222nn n n n n n nS S ----⎛⎫-=---=+> ⎪⎝⎭,所以数列{}n S 是单调递增数列. n S 的最小值为132S =.令21221nn nn b S ==-,则121222221(21)(21)(21)(22)(21)(21)n n n n n n n n n n n n b --==<=--+---- 111(21)(21)11(2)(21)(21)2121n n n n n nn ------==-----≥, 当1n =时,1123T b ==; 当2n =时,212241431515T b b =+=+=, 当3n ≥时,123n n T b b b b =++++12411111119119315377152121252125n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++-+-++-=-<⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以1938151452m n T S <=<,所以存在min 1λ=满足题意. (12分)19.(本小题满分12分)如图,四边形ABCD 是梯形,//90AD BC BAD ∠=︒，,四边形 11CC D D 为矩形,已知1,4,2,1AB BC AD AB BC ⊥===.(1)求证：1//BC 平面1ADD .(2)若12DD =,求平面11AC D 与平面1ADD 所成的锐二面角的余弦值,并求多面体11ABCC D D 的体积.A BCD1C 1D19.(1)证明：由四边形11CC D D 为矩形,得11//CC DD ,又因为1DD ⊂平面1ADD .1CC ⊄平面1ADD .所以1//CC 平面1ADD ,因为//BC AD ,AD ⊂平面1ADD ,BC ⊄平面1ADD ,所以//BC 平面1ADD ,又因为1BCCC C =,所以平面1//BCC 平面1ADD .又因为1BC ⊂平面1BCC ,所以1//BC 平面1ADD (4分) (2)解：因为在平面ABCD 中,//AD BC ,90BAD ∠=︒,所以AB BC ⊥.又因为1AB BC ⊥,1BC BC B =,所以AB ⊥平面1BCC ,所以1AB CC ⊥.又因为四边形11CC D D 为矩形,且底面ABCD 中AB 与CD 相交于一点,所以1CC ⊥平面ABCD .因为11//CC DD ,所以1DD ⊥平面ABCD .过点D 在底面ABCD 中作DM AD ⊥,所以1,,DA DM DD 两两垂直,以1,,DA DM DD 分别为x 轴、y 轴和z 轴,建立空间直角坐标系,如图,则 11(0,0,0),(4,0,0),(4,2,0),(3,2,0),(3,2,2),(0,0,2)D A B C C D ,所以11(1,2,2),(4,0,2)AC AD =-=-.设平面11AC D 的法向量(,,)m x y z =,由1100m AC m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,得220420x y z x z -++=⎧⎨-+=⎩, 令2x =,得(2,3,4)m =-.易得平面1ADD 的一个法向量(0,1,0)n =.所以3cos ,29m n m n m n⋅==-⋅. 即平面11AC D 与平面1ADD 所成的锐二面角的余弦值29. 设多面体11ABCC D D 的体积为V ,则1111(41)211224263232C ABCD C ADD V V V --+⨯⎛⎫=+=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭四棱锥三棱锥(12分)120.(本小题满分12分)如图所示的多面体中,四边形ABCD 是菱形,四边形BDEF 是矩形,ED ⊥平面ABCD ,60BAD ∠=︒,2AD =,DE .(1)求证：平面AEF ⊥平面CEF .(2)在线段AB 上取一点N ,当二面角N EF C --的大小为60︒时,求AN .ABCDEF20.(1)迁明：如图,取EF 的中点M ,连接,AM CM ,因为ED ⊥平面,//ABCD ED FB , 所以,,,ED AD ED DC FB BC FB AB ⊥⊥⊥⊥,又四边形ABCD 是菱形,四边形BDEF 是矩形,所以,,,ADE EDC ABF BC F △△△△是全等三角形,,AE AF CE CF ==,所以,AM EF C M EF ⊥⊥,AMC ∠就是二面角A EF C --的平面角.经计算AM CM ==AC =所以222AM CM AC +=,即AM MC ⊥.所以平面AEF ⊥平面CEF . (6分)(2)解：过点D 在底面ABCD 中作DP DC ⊥交AB 于点P ,所以,,DE DC DP 两两垂直,以,,DP DC DE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示,由2,AD DE ==,得12M ⎝,(0,2,0)C,1,0)A -,E,F .平面CEF 的一个法向量为133,22n AM ⎛==- ⎝.设,0)N λ,则(3,,3),(3,1,0)EN EF λ=-=,设平面NEF 的法向量2(,,)n x y z =,则2200n EF n EN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,得00y y λ+=+=,令1x =,则1yz λ==-,得 2(1,)n λ=-.因为二面角N EF C --的大小为60︒,所以221cos6023n AM n AM⋅︒===⋅ 整理得2+63=0λλ-,解得3λ=.所以2AN = (12分)A21.(本小题满分12分)已知函数2()ln(1)f x x x ax bx =--+(,,,a b R a b ∈为常数,e 为自然对数的底数).(1)当1a =-时,讨论函数()f x 在区间11,1e e ⎛⎫++⎪⎝⎭内的极值点的个数; (2)当1,2a b e ==+时,对任意的(1,)x ∈+∞都有12()x f x ke <成立,求正实数k 的取值范围.解：(1)当1a =-时,()ln(1)21xf x x x b x '=-+++-, 记()()ln(1)21xg x f x b x x x '=-=-++-, 则2232112()21(1)(1)x x g x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭'=-+=---,令()0g x '=,得32x =. 当131,2x e ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时,()0g x '<;当3,12x e ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时,()0g x '>; 所以当32x =时,()g x 取得极小值6ln 2-, 又12112,(1)24g e g e e e e e⎛⎫+=+++=++ ⎪⎝⎭,()0f x '=,即()g x b =-,① 当6ln 2b --≤,即ln 26b -≥时,()0f x '≥,函数()f x 在区间11,1e e ⎛⎫++ ⎪⎝⎭内无极值点;②当26ln 22b e e -<-<++,即22ln 26e b e---<<-时,()0f x '=有两个不同的解,函数()f x 在区间11,1e e ⎛⎫++ ⎪⎝⎭内有两个极值点;③当21224e b e e e ++-<++≤,即12242e b e e e---<---≤时,()0f x '=有一个解,函数()f x 在区间11,1e e ⎛⎫++⎪⎝⎭内有一个极值点; ④ 当124b e e -++≥,即124b e e ---≤时,()0f x '≤,函数()f x 在区间11,1e e ⎛⎫++ ⎪⎝⎭内无极值点. (6分) (2)当1,2a b e ==+时,对任意的(1,)x ∈+∞都有12()x f x ke<成立,即22ln(1)(2)x x x x e x ke --++<,即2ln(1)2x e x x e k x--++<⋅. 记2()ln(1)2,()x e h x x x e x k xϕ=--++=⋅,则12()111xh x x x -'=-=--. 当12x <<时,()0h x '>;当2x >时,()0h x '<. 所以当2x =时,()h x 取得最大值(2)h e =.又222221(2)22()x x xk e x e e x x k x x ϕ--'==,当12x <<时,()0x ϕ'<;当2x >时,()0x ϕ'>.所以当2x =时,()x ϕ取得最小值2ke ,所以只需2kee <,即2k >. 所以正实数k 的取值范围是(2,)+∞.(二)选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在极坐标系中,点P 是曲线2(0)ρθπ=<<上的动点,(2,0)A ,线段AP 的中点为Q ,以极点为原点,极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系. (1)求点Q 的轨迹C 的直角坐标方程;(2)已知M 是轨迹C 上一点,点M处的切线的斜率的取值范围是⎡⎢⎣⎦,求点M 横坐标的取值范围.22.解：(1)由2(0)ρθπ=<<,得224(0)x y y +=>, 设11(,),(,)P x y Q x y ,则112,22x yx y +==,即1122,2x x y y =-=, 代入221114(0)x y y +=>,得22(22)(2)4x y -+=,所以22(1)1(0)x y y -+=>.(不写0y >累计扣1分) (5分)(2)设(1cos ,sin )(0)M ϕϕϕπ+<<,设点M 处的切线l 的倾斜角为α,由l 的斜率的取值范围是⎡⎢⎣⎦,可得2536ππα≤≤,则2πϕα=-,所以63ππϕ≤≤,实数a 的取值 范围.23.解：(1)不等式()62f x x <--,即3226x x ++-<.当23x <-时,3226x x ---+<,解得3223x -<<-; 当223x -≤≤时,即3226x x +-+<,解得：213x -<≤;当2x >时,3226x x ++-<,无解.综上,原不等式的解集为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭. (5分)(2)111111()11144n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥, 令222,,32()()3242,,322,x a x g x x a f x x a x x a x a x a x a ⎧++<-⎪⎪⎪=--=--+=--+-⎨⎪--->⎪⎪⎩≤≤结合函数()g x 的图像,易知当23x =-时,max 2()3g x a =+,所以要使不等式恒成立,只需 max 2()13g x a =+≤,即103a <≤,故所求实数a 的取值范围是10,3⎛⎤⎥⎝⎦.。