导数在实际生活中的应用
高中数学导数的应用
高中数学导数的应用导数是高中数学中的重要概念之一，它在许多实际问题中都有着广泛的应用。
本文将从几个不同的角度来讨论导数的应用。
一、函数的局部性质导数描述了函数在某一点附近的局部变化情况。
通过计算导数，我们可以判断函数在某点上是增函数还是减函数，从而了解函数的局部性质。
例如，对于一条直线函数，导数恒为常数，表示函数在任意一点上都是增函数或减函数；而对于一个二次函数，导数可以告诉我们函数的凹凸性质。
二、切线与法线导数还可以用来求解函数的切线和法线方程。
对于一条曲线，通过求解曲线上某一点的导数，我们可以得到切线的斜率，从而得到切线方程。
同样地，法线的斜率可以通过切线的斜率和导数的关系求解，进而得到法线方程。
这种应用在物理学中特别有用，例如计算质点在曲线上的运动轨迹时，我们需要知道质点的切线方程，以便求解其运动速度和加速度等物理量。
三、最值问题导数也可以用来解决函数的最值问题。
对于一个连续函数，其最值出现在导数为零的点或者定义域的端点上。
因此，通过求解导数为零的方程，我们可以得到函数的极值点，从而求解最值问题。
这一应用在经济学中尤为重要，例如在成本和收益问题中，我们需要确定某种产品的生产数量，以使总利润最大化。
四、曲线的凹凸性与拐点通过导数的符号变化，我们可以判断函数在某一区间上的凹凸性以及确定曲线的拐点。
当导数在某一区间上始终大于零时，函数在该区间上是凹函数；反之，当导数在某一区间上始终小于零时，函数在该区间上是凸函数。
而导数在某一点上发生跃变时，可以判断该点为函数的拐点。
这一应用在优化问题和工程设计中具有重要意义，例如在物体运动问题中，我们需要找到最优的运动轨迹，以使得物体的速度变化最小。
总结起来，导数的应用非常广泛。
无论是研究函数的局部性质、求解切线和法线方程、解决最值问题，还是分析曲线的凹凸性与拐点，导数都发挥着重要的作用。
因此，对于高中数学学习者来说，深入理解导数的概念和应用是非常重要的。
只有掌握了导数的应用，才能更好地解决实际问题，并在日后的学习和工作中受益。
导数在实际生活中的应用
导数在实际生活中的应用导数（Derivative）指的是函数的一阶变化率，它出现在几何、微积分和微分方程以及应用的多个领域，它的应用可以说是极为广泛的，它在实际工作和日常生活中也有所体现。
导数在投资投机中有着重要的应用。
投资投机者通常根据不同行情中股票价格变化速度来进行交易，其中就涉及到导数的概念。
股票指数中的曲线可以用导数来描述，投资者能够从中捕捉到相关行业业绩变化及股市隐含水平的变化，并基于此来进行投资策略的制定，如制定短期仓位动态调整及轮动投资等。
从中可以看出，利用导数的概念就可以获取各种信息，有助于投资者更好地掌握行情变化及做出更好的投资抉择。
另外，导数在运动轨迹预测方面也有着不可替代的作用。
对于大多数移动对象及物料来说，它们的运动轨迹往往是十分复杂的。
通过推导导数可以找出拟合的运动轨迹，让把握运动物体的受控精准。
例如，自主驾驶的车辆速度控制，就可以通过追踪车辆先前的位置和运动方向，来进行预测下一步的运动，再用它来控制车速。
而导数则对于实时位置和运动变化来说有着非常大的作用，它可以求出一定时期内运动轨迹变化的参数，来给出精准的预测。
再者，导数概念可以用到建筑行业，尤其是大型工程施工，主要是基于施工物料的量的控制，其实也蕴含着微积分的概念，从计划完成的时间以及施工过程中所消耗的资金等实际操作中，导数也可以给出科学有效的方案。
例如，高速公路铺设项目中，施工者往往要考虑在规定时间内需铺设多长距离，而对此来说，就需要利用微积分中的导数概念来进行计算，通过不断地尝试各种数值方程，以最大化施工物料投入到规定时间内所完成的距离，来确定施工时间以及施工物料的投入。
总的来说，导数的应用可以说是极为广泛的，上面仅仅是少数应用的一点表现。
但是随着科技的不断发展，它在工程、数学模型、投资领域等的都有着不可替代的作用，它将会在未来不断为各个领域发挥着至关重要的功能。
第3章 2.1 实际问题中导数的意义
§2导数在实际问题中的应用2．1实际问题中导数的意义学习目标 1.了解导数在实际问题中的意义.2.能用导数解释一些实际问题．知识点实际问题中导数的意义(1)功与功率：在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为功率，它是功W关于时间t的导数．瞬时速度：在物理学中，物体在某一时刻的速度称为瞬时速度，它是位移s关于时间t的导数；速度v关于时间t的导数是加速度．(2)降雨强度：在气象学中，通常把在单位时间内的降雨量称为降雨强度，它是降雨量关于时间的导数．(3)边际成本：在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数y＝f(x)的导函数称为边际成本．边际成本f′(x0)指的是当产量为x0时，生产成本的增加速度，也就是当产量为x0时，每增加一个单位的产量，需要增加f′(x0)个单位的成本．(4)线密度：单位长度的物质质量称为线密度，它是质量关于长度的导数．1．对功关于时间的函数，W′(t)就是表示t s内的功率．(×)2．气象学中，用平均降雨量来衡量降雨强度．(√)3．在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数y＝f(x)的导函数称为边际成本．(√)类型一导数在函数图像中的应用例1如图所示，当l从l0开始在平面上绕点O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图像大致是()考点实际问题中导数的意义题点导数在函数图像中的应用答案 D解析选项A表示面积的增速是常数，与实际不符，选项B表示最后时段面积的增速较快，也与实际不符．选项C表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段快，与实际不符．选项D表示开始时段和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快，符合实际，所以应选D.反思与感悟解决函数图像问题有两种方法：一是计算出该函数的解析式，由解析式得到函数的某些性质，再根据性质选择相对应的图像；二是利用导数知识，判断函数的平均变化率的变化趋势(越来越大、越来越小或是不变)，从而判断出函数图像的特征(下凸、上凸、直线)，再选择相对应的图像．跟踪训练1如图，水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像，它们之间的对应关系分别是________________．考点实际问题中导数的意义题点导数在函数图像中的应用答案①→B②→A③→D④→C类型二导数在实际问题中的应用命题角度1导数在物理学中的应用例2某汽车启动阶段的路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的函数关系是s(t)＝2t3－5t2，则当t＝2时，汽车的加速度是________ m/s2.考点导数在实际问题中的应用题点导数在物理学中的应用答案14解析汽车的速度v(t)＝s′(t)＝6t2－10t，所以汽车的加速度为v′(t)＝12t－10，则v′(2)＝14 m/s2.反思与感悟(1)函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)就是导函数在x0处的函数值．(2)瞬时速度是运动物体的位移s(t)对于时间的导数，即v(t)＝s′(t)．(3)瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间的导数，即a(t)＝v′(t)．跟踪训练2某人拉动一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为W＝W(t)＝t3－6t2＋16t.(1)求t从1 s变到3 s时，功W关于时间t的平均变化率，并解释实际意义；(2)求W′(1)，W′(2)，并解释它们的实际意义．考点导数在实际问题中的应用题点导数在物理学中的应用解(1)当t从1 s变到3 s时，功W从W(1)＝11 J变到W(3)＝21 J，此时功W关于时间t的平均变化率为W(3)－W(1)3－1＝21－113－1＝5(J/s)．它表示从t＝1 s到t＝3 s这段时间，这个人平均每秒做功5 J.(2)首先求W′(t)，根据导数公式和求导法则可得W′(t)＝3t2－12t＋16，W′(1)＝7 J/s，W′(2)＝4 J/s.W′(1)和W′(2)分别表示t＝1 s和t＝2 s时，这个人每秒做的功为7 J和4 J.命题角度2导数在经济生活中的应用例3某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本C(元)与日产量x (件)的函数关系为C (x )＝14x 2＋60x ＋2 050.求当日产量由10件提高到20件时，总成本的平均改变量，并说明其实际意义．考点 导数在实际问题中的应用题点 导数在经济生活中的应用解 当x 从10件提高到20件时，总成本C 从C (10)＝2 675元变到C (20)＝3 350元．此时总成本的平均改变量为C (20)－C (10)20－10＝67.5(元/件)， 其表示日产量从10件提高到20件时平均每件产品的总成本的改变量．引申探究若本例的条件不变，求当日产量为75件时的边际成本，并说明其实际意义．解 因为C ′(x )＝12x ＋60， 所以C ′(75)＝12×75＋60＝97.5(元/件)， 它指的是当日产量为75件时，每多生产一件产品，需增加成本97.5元．反思与感悟 实际生活中的一些问题，如在生活和生产及科研中经常遇到的成本问题、用料问题、效率问题和利润等问题，在讨论其改变量时常用导数解决．跟踪训练3 东方机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c 元与生产量x 台之间的关系式为c (x )＝－2x 2＋7 000x ＋600.(1)求产量为1 000台的总利润与平均利润；(2)求产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量；(3)求c ′(1 000)与c ′(1 500)，并说明它们的实际意义．考点 导数在实际问题中的应用题点 导数在经济生活中的应用解 (1)产量为1 000台时的总利润为c (1 000)＝－2×1 0002＋7 000×1 000＋600＝5 000 600(元)，平均利润为c (1 000)1 000＝5 000.6(元)．(2)当产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量为c (1 500)－c (1 000)1 500－1 000＝6 000 600－5 000 600500＝2 000(元)． (3)∵c ′(x )＝(－2x 2＋7 000x ＋600)′＝－4x ＋7 000，∴c ′(1 000)＝－4×1 000＋7 000＝3 000(元)．c ′(1 500)＝－4×1 500＋7 000＝1 000(元)．c ′(1 000)＝3 000表示当产量为1 000台时，每多生产一台机械可多获利3 000元． c ′(1 500)＝1 000表示当产量为1 500台时，每多生产一台机械可多获利1 000元.1．在一次降雨过程中，降雨量y 是时间t 的函数，用y ＝f (t )表示，则f ′(10)表示( )A ．t ＝10时的降雨强度B ．t ＝10时的降雨量C ．t ＝10时的时间D ．t ＝10时的温度考点 导数在实际问题中的应用题点 导数在气象学中的应用答案 A解析 f ′(t )表示t 时刻的降雨强度．故选A.2．某旅游者爬山的高度h (单位：m)关于时间t (单位：h)的函数关系式是h (t )＝－100t 2＋800t ，则他在t ＝2 h 这一时刻的高度变化的速度是( )A ．500 m/hB ．1 000 m/hC ．400 m/hD ．1 200 m/h 考点 求瞬时速度题点 瞬时速度在实际问题中的应用答案 C解析 ∵h ′(t )＝－200t ＋800，∴当t ＝2时，h ′(2)＝400.3．圆的面积S 关于半径r 的函数关系式是S (r )＝πr 2，那么在r ＝3时面积的变化率是( )A ．6B ．9C ．9πD ．6π考点 导数定义的应用题点 导数定义在实际问题中的应用答案 D解析∵S′(r)＝2πr，∴S′(3)＝2π×3＝6π.4．一个物体的运动方程为s(t)＝1－t＋t2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在3 s 末的瞬时速度是()A．7 m/s B．6 m/sC．5 m/s D．8 m/s考点求瞬时速度题点瞬时速度在实际问题中的应用答案 C解析∵s′(t)＝2t－1，∴s′(3)＝2×3－1＝5.5．正方形的周长y关于边长x的函数是y＝4x，则y′＝______，其实际意义是_____．考点导数定义的应用题点导数定义在实际问题中的应用答案4边长每增加一个单位，周长增加4个单位1．要理解实际问题中导数的意义，首先要掌握导数的定义，然后再依据导数的定义解释它在实际问题中的意义．2．实际问题中导数的意义(1)功关于时间的导数是功率．(2)降雨量关于时间的导数是降雨强度．(3)生产成本关于产量的导数是边际成本．(4)路程关于时间的导数是速度．(5)速度关于时间的导数是加速度.一、选择题1．吹气球时，气球的体积V (r )与半径r (dm)之间的函数关系是V (r )＝43πr 3，当半径为2 dm 时体积的瞬时变化率为( )A.43π B ．4π C ．12π D ．16π 考点 导数定义的应用题点 导数定义在实际问题中的应用答案 D解析 ∵V ′(r )＝4πr 2，∴V ′(2)＝4π·22＝16π，∴气球的体积V (r )在半径为2 dm 时的瞬时变化率为16π.2．某汽车的紧急刹车在遇到特别情况时需在2 s 内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s (t )＝－13t 3－4t 2＋20t ＋15，则s ′(1)的实际意义为( ) A ．汽车刹车后1 s 内的位移B ．汽车刹车后1 s 内的平均速度C ．汽车刹车后1 s 时的瞬时速度D ．汽车刹车后1 s 时的位移考点 导数定义的应用题点 导数定义在实际问题中的应用答案 C解析由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度．3．某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是y＝f(x)，假设f′(x)>0恒成立，且f′(10)＝10，f′(20)＝1，则这些数据说明第20天与第10天比较()A．公司已经亏损B．公司的盈利在增加，但增加的幅度变小C．公司在亏损且亏损幅度变小D．公司的盈利在增加，增加的幅度变大考点导数在某点处的导数的几何意义题点导数在经济生活中的应用答案 B解析因为导数的含义是变化率，f′(10)>f′(20)>0.4．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是()考点实际问题中导数的意义题点导数在函数图像中的应用答案 A解析根据变化率的大小判断．5．细杆AB的长为20 cm，M为细杆AB上的一点，AM段的质量与A到M的距离的平方成正比，当AM＝2 cm时，AM的质量为8 g，那么当AM＝x cm时，M处的细杆线密度ρ(x)为() A．2x B．3x C．4x D．5x考点导数定义的应用题点导数定义在实际问题中的应用答案 C解析设m(x)＝kx2，当AM＝2时，m(2)＝k·22＝8，∴k＝2.∴m(x)＝2x2.∴ρ(x)＝m′(x)＝4x.6．设球的半径关于时间t的函数为R(t)，若球的体积V以均匀速度C增长，则球的表面积的增长速度与球半径()A．成正比，比例系数为CB．成正比，比例系数为2CC．成反比，比例系数为CD．成反比，比例系数为2C考点导数定义的应用题点导数定义在实际问题中的应用答案 D解析根据题意知，V＝43πR3(t)，S＝4πR2(t)，球的体积增长速度为V′＝4πR2(t)·R′(t)，球的表面积增长速度为S′＝2·4πR(t)·R′(t)．∵球的体积以均匀速度C增长，∴球的表面积的增长速度与球半径成反比，比例系数为2C.二、填空题7．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t s后的位移为s＝3t2＋t，则速度v＝10时的时刻t＝________.考点求瞬时速度题点瞬时速度在实际问题中的应用答案3 2解析s′＝6t＋1＝10，∴t＝3 2.8．若某段导体通过的电量Q(单位：C)与时间t(单位：s)的函数关系为Q＝f(t)＝120t2＋t－80，t∈[0,30]，则f′(15)＝________，它的实际意义是__________________．考点导数定义的应用题点导数定义在实际问题中的应用答案52t＝15 s时的电流强度为52C/s9．假设某国家在20年间的平均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)的函数关系：p(t)＝p0(1＋5%)t，其中p0为t＝0时的物价．假定某种商品的p0＝1，那么在第10个年头，这种商品价格上涨的速度大约是________元/年．(1.0510≈1.628，ln 1.05≈0.049，结果精确到0.01)考点导数在实际问题中的应用题点导数在经济生活中的应用答案 0.08解析 因为p 0＝1，所以p (t )＝(1＋5%)t ＝1.05t ，在第10个年头，这种商品价格上涨的速度，即为函数的导函数在t ＝10时的函数值．因为p ′(t )＝(1.05t )′＝1.05t ·ln 1.05，所以p ′(10)＝1.0510×ln 1.05≈0.08.因此，在第10个年头，这种商品的价格以约0.08元/年的速度上涨．10．如图，水波的半径以50 cm/s 的速度向外扩张，当半径为250 cm 时，一水波面的圆面积的膨胀率是________．考点 导数定义的应用题点 导数定义在实际问题中的应用答案 25 000π解析 ∵面积S ＝πr 2，半径r ＝50t ，∴S ＝2 500πt 2.令r ＝50t ＝250，∴t ＝5，又S ′＝5 000πt ，∴当t ＝5时的膨胀率为5 000π×5＝25 000π.三、解答题11．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系式为T (t )＝120t ＋5＋15，其中T (t )为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)．(1)从t ＝0 min 到t ＝10 min ，蜥蜴的体温下降了多少？(2)从t ＝0 min 到t ＝10 min ，蜥蜴的体温下降的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？(3)求T ′(5)，并说明它的实际意义．考点 导数定义的应用题点 导数定义在实际问题中的应用解 (1)T (10)－T (0)＝12010＋5＋15－1200＋5－15＝－16 ℃， 所以蜥蜴的体温下降了16 ℃.(2)平均变化率是－1.6 ℃/min ，它表示从t ＝0 min 到t ＝10 min 这段时间内，蜥蜴体温平均每分钟下降1.6 ℃.(3)由已知得T ′(t )＝－120(t ＋5)2，所以T ′(5)＝－1.2，它表示t ＝5 min 时，蜥蜴体温的下降速度为1.2 ℃/min.12．江轮逆水上行300 km ，水速为6 km /h ，船相对于水的速度为x km/h ，已知船航行时每小时的耗油量为0.01x 2 L ，即与船相对于水的速度的平方成正比．(1)试写出江轮在此行程中耗油量y 关于船相对于水的速度x 的函数关系式：y ＝f (x )；(2)求f ′(36)，并解释它的实际意义(船的实际速度＝船相对水的速度—水速)．考点 导数定义的应用题点 导数定义在实际问题中的应用解 (1)船的实际速度为(x －6) km/h ，故全程用时300x －6 h ，所以耗油量y 关于x 的函数关系式为y ＝f (x )＝300×0.01x 2x －6＝3x 2x －6(x >6)． (2)f ′(x )＝3·2x (x －6)－x 2(x －6)2＝3x (x －12)(x －6)2， f ′(36)＝3×36×(36－12)(36－6)2＝2.88(L km/h )， f ′(36)表示当船相对于水的速度为36 km/h 时，耗油量增加的速度为2.88 L km/h，也就是说当船相对于水的速度为36 km /h 时，船的航行速度每增加1 km/h ，耗油量就要增加2.88 L.四、探究与拓展13．在F 1赛车中，赛车位移s 与比赛时间t 存在函数关系s ＝10t ＋5t 2(s 的单位为m ，t 的单位为s)．求：(1)t ＝20，Δt ＝0.1时的Δs 与Δs Δt； (2)求t ＝20时的瞬时速度考点 求瞬时速度题点 瞬时速度在实际问题中的应用解 (1)因为Δs ＝s (20.1)－s (20)＝(10×20.1＋5×20.12)－(10×20＋5×202)＝21.05(m)，所以Δs Δt ＝21.050.1＝210.5(m/s)． (2)因为s ′＝10＋10t ，所以当t ＝20时，s ′＝10＋10×20＝210(m/s)，即当t ＝20时的瞬时速度为210 m/s.14．水以20 m 3/min 的速度流入一圆锥形容器，设容器深30 m ，上底直径为12 m ，试求当水深10 m 时，水面上升的速度．考点 求瞬时速度题点 瞬时速度在实际问题中的应用解 设容器中水的体积在t min 时为V ，水深为h ，则V ＝20t ，V ＝13πr 2h (r 如图所示)．由图知r h ＝630，∴r ＝15h ， ∴V ＝13π·⎝⎛⎭⎫152·h 3＝π75h 3， ∴20t ＝π75h 3，∴h ＝ 3 1 500πt ， 于是h ′＝ 3 1 500π·13·t －23， 当h ＝10时，t ＝2π3，此时h ′＝5π， ∴当水深10 m 时，水面上升的速度为5πm/min.。
三角函数与导数应用案例
三角函数与导数应用案例一、介绍三角函数和导数是高等数学中的重要内容，它们在数学和物理等领域具有广泛的应用。
本文将通过几个实际案例，以介绍三角函数与导数的应用。
二、航天器的轨迹模拟航天器的轨迹模拟是利用三角函数和导数的典型案例之一。
假设我们有一个航天器，我们希望模拟其在太空中的运动轨迹。
通过使用三角函数中的正弦函数和余弦函数，我们可以描述航天器在三维空间中的位置。
而导数则可以帮助我们计算航天器的速度和加速度，从而更加准确地模拟其运动轨迹。
三、音乐波形的分析与合成在音乐领域，三角函数和导数也有着重要的应用。
我们知道，声音可以看作是通过空气中的振动传播而产生的，通过使用三角函数中的正弦函数，我们可以很好地描述声音波形的特征。
而通过导数的计算，我们可以获取到声音波形的频率、振幅和相位等信息，这对于音乐的分析与合成非常重要。
四、电路中的交流信号分析在电路中，交流信号是一种变化频率的电信号。
通过使用三角函数中的正弦函数和余弦函数，我们可以很好地描述交流信号的特征。
而导数则可以帮助我们计算交流信号的幅度和相位差，这对于电路中的分析和设计至关重要。
五、物体的弹性变形物体的弹性变形是力学中一个重要的研究方向。
通过使用三角函数，我们可以描述物体在受力作用下产生的弹性变形。
而导数则可以帮助我们计算物体的应变率和应力分布，从而更好地理解物体的强度和稳定性。
六、总结通过以上实际案例的介绍，我们可以看到三角函数和导数在不同领域都有着广泛的应用。
它们可以帮助我们更准确地描述和预测各种现象和现实问题，并为我们的科学研究和工程实践提供支持和指导。
因此，对于学习三角函数和导数的同学们来说，熟练掌握它们的应用是很有价值的。
在实际运用中，我们还需要结合具体问题，灵活运用三角函数和导数的原理和方法，才能更好地解决各种实际问题。
因此，我们要不断学习和实践，提高自己的数学素养和问题解决能力。
希望通过本文对三角函数和导数的应用案例的介绍，对读者们能够有所帮助，激发大家对数学和科学研究的兴趣，同时也加深对三角函数和导数的理解和认识。
导数与微分在实际问题中的应用
导数与微分在实际问题中的应用在实际问题中，导数与微分是数学中重要的概念，它们广泛应用于各种科学和工程领域。
导数和微分可以帮助我们研究函数的变化率、极值、曲线的切线以及解决实际问题中的优化、最大化和最小化等难题。
一、函数的变化率和极值导数可以表示函数在某一点的变化率。
对于一个函数f(x)，我们可以通过求解f(x)关于x的导数f'(x)，来得到函数在特定点的斜率。
这个斜率可以用于分析函数的增减性、拐点以及函数的极值。
以一个简单的例子来说明，假设有一个物体的位移函数S(t)，我们需要知道物体在某一时刻的速度。
我们可以通过对位移函数求导得到速度函数V(t)，即V(t) = S'(t)。
利用导数，我们可以得到物体在不同时刻的速度情况，进而进行分析和应用。
二、曲线的切线导数的另一个应用是求解曲线的切线。
对于给定的函数f(x)，我们可以通过求解f'(x)得到函数在某一点x=a的斜率。
利用这个斜率，我们可以确定曲线在该点的切线方程。
例如，假设有一个曲线y=f(x)，我们需要知道曲线在x=a处的切线方程。
首先，我们求解函数关于x的导数f'(x)，然后计算该导数在x=a 处的值，得到切线的斜率。
接下来，我们利用切线斜率和曲线在点(x=a, f(a))的坐标，使用点斜式或者斜截式等方法，求解切线方程。
三、实际问题中的优化、最大化和最小化导数和微分在优化、最大化和最小化问题中也有广泛应用。
通过求解导数为零的点，我们可以找到函数的极值点（最大值或最小值）。
以一个实际问题为例说明，假设我们要设计一个开放式矩形围栏，然后找到一个围栏面积最大的设计。
围栏的宽度是已知的，但长度是未知的。
我们可以将围栏的长度表示为x，围栏的面积表示为S(x)。
我们的目标是找到一个x，使得S(x)取得最大值。
为了解决这个问题，我们可以首先根据开放式围栏的特点，建立围栏面积的函数S(x)。
然后，我们对S(x)求导，得到S'(x)，当S'(x)等于零时，我们可以得到可能的极值点。
导数与微分实际问题案例
导数与微分实际问题案例导数和微分是微积分中重要的概念，它们在现实世界中有着广泛的应用。
本文将通过一些实际问题案例，详细介绍导数和微分的应用。
案例一：车辆行驶问题假设一辆汽车在一段时间内以匀速行驶。
我们可以通过求解导数来计算汽车的速度。
设汽车的位移函数为s(t)，其中t表示时间，s表示位移。
那么汽车的速度可以通过求解导数s'(t)来得到。
例如，假设汽车的位移函数为s(t) = 2t^2 + 3t。
我们可以通过求解导数s'(t)来计算汽车的速度，即s'(t) = 4t + 3。
通过求解导数，我们可以得知汽车的速度在任意时间点上是多少。
这对于研究车辆行驶过程中的加速度、减速度等问题非常有帮助。
案例二：物体移动问题在物理学中，有一类常见的问题是求解物体的运动过程。
通过求解导数，我们可以推导出物体的速度和加速度函数。
设物体的位移函数为s(t)，其中t表示时间，s表示位移。
那么物体的速度可以通过求解导数s'(t)来得到，加速度可以通过求解导数s''(t)来得到。
例如，假设物体的位移函数为s(t) = 3t^2 - 4t + 2。
我们可以通过求解导数s'(t)来计算物体的速度，即s'(t) = 6t - 4；通过求解导数s''(t)来计算物体的加速度，即s''(t) = 6。
通过求解导数，我们可以分析物体的运动规律，例如物体的最大速度、加速度的变化情况等。
案例三：利润最大化问题在经济学中，有一个经典的问题是求解利润最大化。
假设某公司生产一种产品，售价为p（单位价格），销量为x（单位数量）。
成本函数可以表示为C(x)，那么利润可以表示为P(x) = px - C(x)。
为了求解利润最大化，我们需要计算利润函数P(x)的导数。
通过求解导数P'(x) = p - C'(x)，我们可以确定最大利润对应的销量。
导数在实际生活中的应用
导数在实际生活中的应用（1）学习目标1.通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用.2.在解决具体问题的过程中,体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.课前预学：问题1:一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.只要利用导数求出函数y=f(x)的所有,再求出端点的函数值,进行比较,就可以得出函数的最大值和最小值.问题2:生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为问题.导数是求函数最大(小)值的有力工具,可以运用导数解决一些生活中的优化问题.问题3:利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各个量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);(2)求函数的,解方程f'(x)=0;(3)比较函数在区间端点和点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.问题4:解决生活中的优化问题应当注意的问题确定函数关系式中自变量的区间,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际问题的值应舍去.课堂探究：一．利润最大问题某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3<x<6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.(1)求a的值;(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售量价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.二．容积最大问题请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.三．成本最低问题：如图,某工厂拟建一座平面图为矩形,且面积为200平方米的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16米.如果池四周壁建造单价为每米400元,中间两条隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,无盖.(1)写出总造价y(元)与污水处理池的长x(米)的函数关系式,并指出其定义域;(2)污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求出最低总造价.课堂检测：1.把长度为l的铁丝围成一个长方形,则长方形的最大面积为.2.设底为正三角形的直棱柱的体积为V,则其表面积最小时底面边长为.3.做一个无盖圆柱水桶,其体积是27π m3,若用料最省,则圆柱的底面半径为m.4.已知一个扇形的周长为l,扇形的半径和中心角分别为多大时,扇形的面积最大?导数在实际生活中的应用（2）学习目标：1.通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用.2.在解决具体问题的过程中,体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性. 课前预学：1.把长度为16的线段分成两段,各围成一个正方形,这两个正方形面积的最小值为 .2.要做一个圆锥形漏斗,其母线长20 cm,要使其体积最大,则其高是 .3.周长为20的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,则圆柱体积的最大值是 .4.一边长为48 cm 的正方形铁皮,铁皮四角截去四个边长都为x cm 的小正方形,做成一个无盖方盒.求x 多大时,方盒容积最大? 课堂探究：1．如图,等腰梯形ABCD 的三边AB,BC,CD 分别与函数y=-x 2+2,x∈[-2,2]的图象切于点P,Q,R.求梯形ABCD 面积的最小值.2．已知某公司生产的品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件,需要另投入1.9万元,设R(x)(单位:万元)为销售收入,根据市场调查得知R(x)=其中x 是年产量(单位:千件).(1)写出年利润W 关于年产量x 的函数解析式;(2)年产量为多少时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大?3．统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y=x 3-x+8(0<x≤120),已知甲、乙两地相距100千米.(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (2)当汽车以多大速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?课堂检测：某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.。
导数的意义及应用
导数的意义及应用导数是微积分的重要概念之一，真实世界中有许多应用与导数相关。
导数表示一个函数在其中一点上的瞬时变化率。
可以理解为函数曲线在该点处的切线的斜率。
导数能够提供有关函数如何随着自变量的变化而变化的信息。
导数的应用：1.确定函数的递增和递减区间函数在其中一点的导数为正表示函数在该点处递增，即函数的值随自变量的增加而增大。
函数在其中一点的导数为负表示函数在该点处递减，即函数的值随自变量的增加而减小。
通过导数的正负性推断出函数的递增和递减区间。
2.求取最大值和最小值在函数图像上，极大值和极小值对应于导数为零或不存在的点，即导数为零的点可能是函数的极值点。
可以通过导数值的变化确定极值的位置，并通过二次导数的符号推断出最大值和最小值。
3.切线和法线导数可以用来确定函数曲线在其中一点的切线方程。
切线是曲线在该点上的最佳线性逼近。
导数还可以用来确定切线的斜率，进一步确定切线的方程。
法线是切线的垂直线，法线的斜率是切线斜率的相反数。
4.求解速度和加速度在物理学和工程学中，导数用于求解物体的速度和加速度。
速度是位移关于时间的导数，加速度是速度关于时间的导数。
通过求解导数，可以确定物体的速度和加速度的变化率。
5.求解曲线的凹凸性曲线的凹凸性可以通过函数的导数的变化来确定。
如果函数的二阶导数为正，表示函数的曲线是凹向上的；如果函数的二阶导数为负，表示函数的曲线是凹向下的。
通过确定曲线的凹凸性，可以优化路径规划和表面设计等。
6.求解函数的方程导数在求解函数的方程时也发挥重要作用。
利用导数可以找到函数的零点，即函数的图像与x轴相交的点。
通过求解导数，可以确定方程的解的存在性和位置。
总之，导数在实际生活和科学研究中具有广泛的应用。
从数学的角度来看，导数提供了函数变化的有用信息。
从物理学、工程学和其他科学领域来看，导数帮助我们了解和解释自然现象以及进行预测和优化。
导数在高中数学中的应用_数学教育
导数在高中数学中的应用_数学教育
导数是高中数学中非常重要的一章节，它不仅具有重要的理论
意义，而且在实际应用中也发挥着巨大的作用。
以下列举了一些导
数在高中数学中的应用：
1. 极值问题：通过求导数可得到函数的极值，即最值。
在应用
中常常需要求某个量的最大值或最小值，例如对于一个正方形，我
们需要求出其面积的最大值，就可以通过对正方形的边长求导得到。
2. 切线和法线：通过求导数我们可以得到某一点处的切线方程
及其斜率，同时又可以得到该点处的法线方程及其斜率，这对于研
究曲线的性质十分有用。
3. 曲率问题：导数还可以用来求曲线在某一点处的曲率，由此
可以得到曲线的曲率半径等重要参数，同时也可以帮助我们了解曲
线的形状。
4. 泰勒展开：泰勒展开是一种重要的数学工具，它可以利用函
数在某一点处的导数来逼近函数的值，从而在数值计算中起到非常
重要的作用。
总之，在高中数学中学习导数，不仅可以帮助我们深刻理解函
数的性质，同时也为我们今后的学习和工作打下了坚实的基础。
实际生活中的应用
例1：在边长为60 cm的正方形铁片的四角切 去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如 图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长 是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多 少？ x
x
60
x
x
60
x
60
x
60 x 设箱底边长为xcm，则箱高 h cm， 2 2 3 60 x x (0 x 60) V ( x) x 2 h 2
２.解决“优化问题”的途径：
通过搜集大量的数据，并对数据进行整理和
分
析建立与其相应的函数模型，再通过研究相
应
审题－－－建模－－－解模－－ 函数的性质，提出优化方案，使问题得到解
决
－－对结果评估并作出判定
３.用导数解决优化问题的基本思路：
优化问题
用函数表示 的数学问题 用导数解决 的数学问题
优化问题的答案
类型三：成本（费用）最低问题
成正比 ,已 知 速 度 为 10千 米 / 小 时 时 ,燃料费为 6元 / 小 时, 而 其 他 与 速 度 无 关 的 用 费 为96元 / 小 时 问 此 轮 船 以 何 中 速 度行 航时 ， 能 使 行 驶 每 千 米 的总费用最少
例 :一 艘 轮 船 在 航 行 中 的料 燃费 与 它 的 速 度 的 立 方
O
O1
类型二：用料最省问题
例2:圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底与 半 径应怎样选取,才能使所用的材料最省？
解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积 S=2π Rh+2π R2 R2h，得
V 由V=π ，则 h 2 2 R 2V V 2 S ( R) 2 R 2 R 2 R 2 R R 2V V 3 R ，从而 令 S '( R) 2 4 R 0 解得， 2 R
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导数在实际生活中的应用
导数是近代数学的重要基础，是联系初、高等数学的纽带，它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野，是研究函数性质、证明不等式、探求函数的极值最值、求曲线的斜率和解决一些物理问题等等的有力工具。
导数知识是学习高等数学的基础，它是从生产技术和自然科学的需要中产生的，同时，又促进了生产技术和自然科学的发展，它不仅在天文、物理、工程领域有着广泛的应用。
而且在工农业生产及实际生活中，也经常会遇到如何才能使“选址最佳”“用料最省”“流量最大”“效率最高”等优化问题。
这类问题在数学上就是最大值、最小值问题，一般都可以应用导数知识得到解决。
接下来就导数在实际生活中的应用略微讨论。
1．导数与函数的极值、最值解读
函数的极值是在局部范围内讨论的问题，是一个局部概念，函数的极值可能不止一个，也可能没有极值。
函数()y f x =在点0x 处可导，则'0()0F x =是0x 是极值点的必要不充分条件，但导数不存在的点也有可能是极值点。
最大值、最小值是函数对整个定义域而言的，是整体范围内讨论的问题，是一个整体性的概念，函数的最大值、最小值最多各有一个。
函数最值在极值点处或区间的断点处取得。
2．导数在实际生活中的应用解读
生活中的优化问题：根据实际意义建立好目标函数，体会导数在解决实际问题中的作用。
例1：在边长为60cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？ 思路：设箱底边长为x cm ，则箱高602
x h -=cm ，得箱子容积V 是箱底边长x 的函数：23
2
60()(060)2x x r x x h x -==<<，从求得的结果发现，箱子的高恰好是原正方形边长的
16
，这个结论是否具有一般性？
变式：从一块边长为a 的正方形铁皮的各角截去相等的方块，把各边折起来，做一个无盖的箱子，箱子的高是这个正方形边长的几分之几时，箱子容积最大？
提示：()2()2(0)2
a V x x a x x =-<< 答案：6
a x =。
评注：这是一道实际生活中的优化问题，建立的目标函数是三次函数，用过去的知识求其最值往往没有一般方法，即使能求出，也要涉及到较高的技能技巧。
而运用导数知识，求三次目标函数的最值就变得非常简单，对于实际生活中的优化问题，如果其目标函数为高次多项式函数，简单的分式函数，简单的无理函数，简单的指数、对数函数，或它们的复合函数，均可用导数法求其最值。
可见，导数的引入，大大拓展了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间。
例2： 已知某商品生产成本C 与常量q 的函数关系式为1004C q =+，价格p 与产量q 的函数关系式1258
p q =-。
求产量q 为何值时，利润L 最大。
分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格。
由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润。
解：收入211252588R q p q q q q ⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎝
⎭ 利润()212510048L R C q q q ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝
⎭ ()212110002008
q q q =-+-<< '1214
L q =-+ 令'0L =，即12104
q -+= 求得唯一的极值点84q = 因为L 只有一个极值点，所以它是最大值。
答：产量为84时，利润L 最大。
点评：上题主要也是考查利用导数研究函数的最值的基础知识，运用数学知识解决利润问题，在实际生活中应用也很广泛。
例3：烟囱向其周围地区散落烟尘而污染环境。
已知落在底面某处的烟尘浓度与该处至烟囱距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比，现有两座烟囱相距20km ，其中一座烟囱喷出的烟尘量是另一座的8倍，试求出两座烟囱连线上的一点，使该点的烟尘浓度最小。
解：不失一般性，设烟囱A 的烟尘量为1，则烟囱B 的烟尘量为8.
并设AC=x (020)x << ∴CB=20x -，
于是点C 的烟尘浓度为：228(20)
k k y x x =
+- (020)x <<， 其中k 为比例系数。
则32'33332162(96012008000)(20)(20)k k x x x y k x x x x -+-=-+=⋅--
令'0y =，有32960120080000x x x -+-=，
即2(320)(3400)0x x -+=。
解得在（0，20）内惟一驻点203
x =。
由于烟尘浓度的最小值客观上存在，并在（0，20）内取得， ∴在惟一驻点203x =
处，浓度y 最小，即在AB 间距A 处203
km 处的烟尘浓度最小。
例4：统计表明，某种型号的汽车的匀速行驶中每小时的耗油量为y （升），关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为： 313812800080
y x x =-+ (0120)x <≤。
已知甲、乙两地相距100千米。
（1） 当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（2） 当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
解：（1）当x =40时，汽车从甲地到乙地行驶了
100 2.540=小时， 要耗油313(40408) 2.517.512800080
⨯-⨯+⨯= （升）。
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。
（2）当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x
小时，设耗油为()h x 依题意:3213100180015()(8)1280008012804
h x x x x x x =-+⋅=+- (0120)x <≤ 33
'
2280080()640640x x h x x x -=-= (0120)x <≤. 令'
()0h x =，得80x =。
当(0,80)x ∈时，'()0h x <，()h x 是减函数；
当(80,120)x ∈时，'()0h x >，()h x 是增函数。
∴当80x =时，()h x 取到极小值(80)11.25h =。
因为()h x 在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值。
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。
点评：以导数知识为工具研究函数单调性对函数单调性的研究，导数座位强有力的工具提供了简单、程序化的方法，具有普遍的可操作方法。
总之，导数座位一种工具，在解决显示生活中的很多问题时使用非常方便，尤其是可以使用导数解决生活中的很多优化组合的问题，这些问题转化为求函数的最值问题，运用导数求解，很大程度上简化了我们的过程，缩短了步骤，起着非常重要的作用。
还可以解析几何相联系，可以在知识网络交汇处设计问题。
因此，在实际生活中，药学会应用导数的作用。