导数及其应用(2)
导数的应用(2)
点a叫做函数y=f(x)的极大值点. 叫做函数 的极大值点. 叫做函数y=f(x)的极小值点. 点b叫做函数 的极小值点.
回味反思
我行 我能 我要成功 我能成功
观察下列图像，结合定义思考以下问题： 观察下列图像，结合定义思考以下问题： （1）极值是某一点附近的小区间而言 ） 1、极值是局部性质还是整体而言？ 、极值是局部性质还是整体而言？ 是函数的局部性质,不是整体的最值 的,是函数的局部性质 不是整体的最值 是函数的局部性质 不是整体的最值; 2、极值唯一吗？ 、极值唯一吗？ （2）函数的极值不一定唯一 在整个定 ）函数的极值不一定唯一,在整个定 义区间内可能有多个极大值和极小值； 义区间内可能有多个极大值和极小值； 3、极大值与极小值大小关系是否确定？ 、极大值与极小值大小关系是否确定？ （3）极大值与极小值没有必然关系， ）极大值与极小值没有必然关系， 极大值可能比极小值还小. 极大值可能比极小值还小 y P(x1,f(x1)) a x1 Q(x2,f(x2)) x2 x3 x4 b x y=f(x)
2 3
x
f ′( x)
f (x)
1 (−∞, ) 12
–
1 12 0
1 ( ,+∞) 12 +
单调递减
49 − 24
单调递增
1 49 1 所以, 所以 当 x = 时, f (x)有极小值 f ( ) = − 有极小值 . 12 24 12
练习2 练习
求下列函数的极值: 求下列函数的极值
(1) f ( x) = 6x − x − 2; (2) f ( x) = x − 27 x; 3 3 (3) f ( x) = 6 +12x − x ; (4) f ( x) = 3x − x . 解: 列表: (2) 令f ′( x) = 3x2 − 27 = 0, 解得 x1 = 3, x2 = −3.列表
_高中数学第一章导数及其应用2
f(x)＝1x
f ′(x)＝－x12＝－x－2
f(x)＝ x
f ′(x)＝21 x＝12x－12
f(x)＝x3
f′(x)＝3x2
结论：若f(x)＝xα(α为有理数)，则f′(x)＝αxα－1.
1．y＝c表示平行于x轴的直线，或与x轴重合的直线， 其斜率为0，故y＝c上任一点处的导数值为____0____， 直线y＝x的斜率为1，故直线y＝x上任一点处的导数值 为___1_____.
[分析] 只需求出K、Q两点的横坐标即可．
[解析]
设P(x0，y0)，则kl1＝y′|x＝x0＝2
1 x0
.
∵直线l1与l2垂直，则kl2＝－2 x0，
∴直线l2的方程为y－y0＝－2 x0(x－x0)．
∵点P(x0，y0)在曲线y＝ x上，∴y0＝ x0.
在直线l2的方程中令y＝0，则－ x0＝－2 x0(x－x0)．
2．当y＝c表示路程关于时间的函数时，常数c表明路 程不变化，因此一直处于__静__止____状态，故瞬时速度 为___0_____，因此y′＝____0____；
当y＝x表示路程关于时间的函数时，路程的改变量等 于时间的改变量，因此物体做匀速直线运动，瞬时速 度为___1_____，故y′＝____1____.
当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切 线的斜率为k＝3x20.
∵A在曲线上，∴y0＝x30，∴xx300－－82＝3x20，
∴x30－3x20＋4＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0， ∴x0＝－1或x0＝2(舍去)，∴y0＝－1，k＝3， 此时切线方程y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0. 故经过点P的曲线的切线有两条，方程为12x－y－16＝0和 3x－y＋2＝0. [警示] 求曲线过点P的切线时，应注意检验点P是否在曲 线上，若点P在曲线上，应分P为切点和P不是切点讨论．
_高中数学第一章导数及其应用2
[提示] ΔΔyx＝x＋Δx2＋xΔ＋2xΔx－x2＋2x
＝2x＋Δx＋xx－＋2Δx
∴ lim Δx→0
2x＋Δx＋xx－＋2Δx
＝2x－x22.
Байду номын сангаас
[问题3] F(x)的导数与f(x)、g(x)的导数有何关系？ [提示] F(x)的导数等于f(x)、g(x)导数和．
[问题 4] 试说明 y＝cos3x－π4如何复合的． [提示] 令 u＝g(x)＝3x－π4，y＝f(u)＝cos u，
(3)y′＝(2x2＋3)′·(3x－2)＋(2x2＋3)·(3x－2)′
＝4x·(3x－2)＋(2x2＋3)·3
＝18x2－8x＋9.
(4)y′＝xl＋n x1′－(2x)′
＝1xx＋x＋1－ 12ln
x －2xln
2
＝1＋x1x＋－1ln2
x －2xln
2.
二. 复合函数的导数
例题 2 求下列函数的导数：
(1)y＝1－12x3；
(2)y＝cos x2；
(3)y＝sin3x－π4； (4)y＝lg(2x2＋3x＋1)．
• [思路点拨] 解答本题可先分析复合函数的复合过 程，然后运用复合函数的求导法则求解．
解析： (1)设 y＝u13，u＝1－2x， 则 y′x＝y′u·u′x ＝u13′·(1－2x)′ ＝－3u－4·(－2) ＝1－62x4. (2)设 y＝cos u，u＝x2， 则 y′x＝y′u·u′x＝(cos u)′·(x2)′ ＝－sin u·2x ＝－2x·sin x2.
(4)开始学习求复合函数的导数要一步步写清楚，熟 练后中间步骤可省略．
特别提醒：只要求会求形如f(ax＋b)的复合函数的导 数．
导数的应用(二)
导数应用（二）教学目标：了解函数的极大（小）值、最大（小）值与导数的关系；会求不超过三次的多项式函数的极大（小）值，以及在指定区间上不超过三次的多项式函数的最大（小）值，2010年考试说明要求为B 级。
知识点回顾：1.利用导数求极值：ⅰ）求导数)(x f '；ⅱ）求方程0)(='x f 的根；ⅲ）列表得极值2.利用导数最大值与最小值：ⅰ）求极值；ⅱ——求区间端点值（如果有）；ⅲ）得最值 课前训练：1. 求下列函数的极值（1）x x y 1+=； （2）31431)(3+-=x x x f ； （3）32+=x x y ；（4）x x y cos 2-=，)2,23(ππ∈x （5）ex e y x -=2．求下列函数在所给区间上的值域（1）]3,31[,1)(∈+=x x x x f ；（2）]3,2[,5323-∈+-=x x x y ；（3）]2,0[,sin π∈+=x x x y（4）]2,0[,21∈+-=x x x y ； （5）]2,2[,cos 21ππ-∈-=x x x y ；（6）x x x f sin 21)(+=在 ]2,0[π3.已知函数f(x)= sinx+cosx ，x ∈(0,π2)（1）求0x ，使得0)(0'=x f ；（2）解释（1）中的0x 及)(0x f 的意义。
典型例题：已知0>a ，)ln()(a x x x f +-=，),0(+∞∈x ．若)(x f 在),0(+∞上存在极值，求实数a 取值范围．设函数)1ln (2)1()(2x x x f +-+=．若当]1,11[--∈e ex （其中⋅⋅⋅=71828.2e ）时，不等式m x f <)(恒成立，求实数m 的取值范围。
课堂检测：1．已知函数qx px x x f --=23)(的图象与x 轴切于点)0,1(，则)(x f 的极大值和极小值分别为 和2. 函数()3221f x x ax bx a x =+++=在处有极小值10，则a+b 的值为__ __4. 0≠=，且关于x 的函数f(x)=x x ⋅++2331在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为______18．已知a 是实数，函数2()()f x x x a =-．（Ⅰ）若'(1)3f =，求a 值及曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 在区间[]2,0上的最大值．12.已知2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-．(1)求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；(2)对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围。
高三数学总复习优质课件 函数 导数及其应用 第2节 函数的单调性与最值
(B)(1,+∞)
(C)(-∞,1)
(D)(0,+∞)
解析:因为f(x)是R上的减函数且f(2a-1)<f(a),所以2a-1>a,所以a>1,故
选B.
4.若函数f(x)=(m-2)x+b在R上是减函数,则f(m)与f(2)的大小关系是
( A )
(A)f(m)>f(2)
(B)f(m)<f(2)
在这一区间具有(严格的)单调性, 区间D 叫做函数y=f(x)的单调区间.
2.函数的最值
前提
条件
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
(3)对于任意的 x∈I,
(1)对于任意的x∈I,都有 f(x)≤M ; 都有 f(x)≥M
;
(2)存在x ∈I,使得 f(x0)=M _
(4)存在x ∈I,使得
所以(2a+2b)x+c=0,所以 c=0,a=-b,
所以二次函数图象的对称轴方程为 x= .
因为 f(x)在区间[2m,m+1]上不单调,所以 2m< <m+1,所以- <m< .
答案:(- , )
[对点训练3] 若函数f(x)=2|x-a|+3在区间[1,+∞)上不单调,则a的取值范
是增函数;如果y=f(u)和u=g(x)的单调性相反,那么y=f(g(x))是减函数.在
应用这一结论时,必须注意:函数u=g(x)的值域必须是y=f(u)的单调区间的
子集;
(3)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数;一个增(减)函数与一个减(增)函
2021届高考数学压轴题专题训练——导数及其应用(2)
2021届高考数学压轴题专题训练——导数及其应用（2）1.已知函数f （x ）=a x +x 2﹣x ln a （a ＞0，a ≠1）． （1）求函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； （2）求函数f （x ）单调增区间；（3）若存在x 1，x 2∈[﹣1，1]，使得|f （x 1）﹣f （x 2）|≥e ﹣1（e 是自然对数的底数），求实数a 的取值范围．2.已知函数1()ln f x x x=-，()g x ax b =+． （1）若函数()()()h x f x g x =-在()0,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若直线()g x ax b =+是函数1()ln f x x x=-图像的切线，求a b +的最小值； （3）当0b =时，若()f x 与()g x 的图像有两个交点1122(,),(,)A x y B x y ，求证：2122x x e >3.某工艺品厂要设计一个如图1所示的工艺品，现有某种型号的长方形材料如图2所示，其周长为4m ，这种材料沿其对角线折叠后就出现图1的情况．如图，ABCD （AB ＞AD ）为长方形的材料，沿AC 折叠后AB '交DC 于点P ，设△ADP 的面积为2S ，折叠后重合部分△ACP 的面积为1S ．（△）设AB x =m ，用x 表示图中DP 的长度，并写出x 的取值范围； （△）求面积2S 最大时，应怎样设计材料的长和宽？ （△）求面积()122S S +最大时，应怎样设计材料的长和宽？4.已知()()2ln xf x ex a =++.（1）当1a =时，求()f x 在()0,1处的切线方程；（2）若存在[)00,x ∈+∞，使得()()20002ln f x x a x <++成立，求实数a 的取值范围.5.已知函数()()()2ln 1f x ax x x a R =--∈恰有两个极值点12,x x ，且12x x <. （1）求实数a 的取值范围；（2）若不等式12ln ln 1x x λλ+>+恒成立，求实数λ的取值范围.6.已知函数f （x ）=（ln x ﹣k ﹣1）x （k △R ） （1）当x ＞1时，求f （x ）的单调区间和极值．（2）若对于任意x △[e ，e 2]，都有f （x ）＜4ln x 成立，求k 的取值范围． （3）若x 1≠x 2，且f （x 1）=f （x 2），证明：x 1x 2＜e 2k ．7.已知函数()21e 2xf x a x x =--（a ∈R ）. （△）若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线与y 轴垂直，求a 的值； （△）若函数()f x 有两个极值点，求a 的取值范围； （△）证明：当1x >时，1e ln xx x x>-.8.已知函数321233f xx x x b b R . (1)当0b 时，求f x 在1,4上的值域；(2)若函数f x 有三个不同的零点，求b 的取值范围.9.已知函数2ln 21)(2--=x ax x f . （1）当1=a 时，求曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程； （2）讨论函数)(x f 的单调性.10.已知函数1()ln sin f x x x θ=+在[1,]+∞上为增函数，且(0,)θπ∈.（△）求函数()f x 在其定义域内的极值；（△）若在[1,]e 上至少存在一个0x ，使得0002()ekx f x x ->成立，求实数k 的取值范围.参考答案1.解：（1）∵f（x）=a x+x2﹣xlna，∴f′（x）=a x lna+2x﹣lna，∴f′（0）=0，f（0）=1即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为0，∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（3分）（2）由于f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna＞0①当a＞1，y=2x单调递增，lna＞0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0 故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a＜1，y=2x单调递增，lna＜0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0 故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；综上，函数f（x）单调增区间（0，+∞）；（8分）（3）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，（12分）由（2）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（+1+lna）=a﹣﹣2lna，记g（t）=t﹣﹣2lnt（t＞0），因为g′（t）=1+﹣=（﹣1）2≥0所以g（t）=t﹣﹣2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）（14分）①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e，②当0＜a＜1时，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1⇒+lna≥e﹣1⇒0＜a≤，综上知，所求a 的取值范围为a ∈（0，]∪[e ，+∞）．（16分）2.（1）解：h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=，则， △h （x ）=f （x ）﹣g （x ）在（0，+∞）上单调递增， △对△x ＞0，都有，即对△x ＞0，都有，.…………2分 △，△， 故实数a 的取值范围是；.…………3分（2）解：设切点为，则切线方程为，即，亦即，令，由题意得， ， 令，则，.…………6分当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，△，故的最小值为﹣1；.…………7分 （3）证明：由题意知，， 两式相加得 1ln x ax b x ---211()h x a x x'=+-211()0h x a x x '=+-≥211a x x≤+2110x x+>0a ≤(],0-∞0001,ln x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()002000111ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭00220000011111ln y x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭02000112ln 1y x x x x x ⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭010t x =>220011a t t x x =+=+002ln 1ln 21b x t t x =--=---2()ln 1a b t t t t ϕ+==-+--()()2111()21t t t t ttϕ+-'=-+-=()0,1t ∈()()0,t t ϕϕ'<()0,1()1,t ∈+∞()()0,t t ϕϕ'>()1,+∞()()11a b t ϕϕ+=≥=-a b +1111ln x ax x -=2221ln x ax x -=()12121212ln x x x x a x x x x +-=+两式相减得即 △，即，. 9分不妨令，记， 令，则，△在上单调递增，则， △，则，△， 又△，即，.…………10分 令，则时，，△在上单调递增． 又，△，即．.…………12分3.（△）由题意，,，.…………1分设，则，由△ADP△△CB'P ，故PA=PC=x ﹣y ，()21221112ln x x x a x x x x x --=-212112ln 1x x ax x x x +=-()21211212122112ln1ln x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪+ ⎪-=++- ⎪⎪⎝⎭1212212122112()ln ln x x x x x x x x x x x x ⎛⎫++-= ⎪-⎝⎭120x x <<211x t x =>()21()ln (1)1t F t t t t -=->+()221()0(1)t F t t t -'=>+()21()ln 1t F t t t -=-+()1,+∞()21()ln (1)01t F t t F t -=->=+()21ln 1t t t ->+2211122()ln x x x x x x ->+1212212122112()ln ln 2x x x x x x x x x x x x ⎛⎫++-=> ⎪-⎝⎭1212121212122()ln ln ln 2ln x x x x x x x x x x +-<==2ln 2>1>2()ln G x x x =-0x >212()0G x x x'=+>()G x ()0,+∞1ln 210.8512e =+-≈<ln 1G =>>>2122x x e >AB x =2-BC x =2,12x x x >-∴<<=DP y PC x y =-由PA 2=AD 2+DP 2，得即：..…………3分 （△）记△ADP 的面积为，则分当且仅当时，取得最大值．，宽为时，最大．….…………7分（△） 于是令分 关于的函数在上递增，在上递减，当时， 取得最大值．，宽为时， 最大．.…………12分4.（1）时，， ，，所以在处的切线方程为 （2）存在，，即：在时有解； 设， 令， 所以在上单调递增，所以 1°当时，，△在单调增， 所以，所以()()2222x y x y -=-+121,12y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭2S ()212=1-233S x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1,2x =2S (2m 2S ()()2121114+2=2123,1222S S x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--=-+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()31222142+220,2x S S x x x x-+⎛⎫'=--==∴= ⎪⎝⎭∴x 12+2S S ()2∴x =12+2S S (m 12+2S S 1a =()()2ln 1xf x ex =++()2121x f x e x '=++()01f =()10231f '=+=()f x ()0,131y x =+[)00,x ∈+∞()()20002ln f x x a x <++()02200ln 0x ex a x -+-<[)00,x ∈+∞()()22ln xu x e x a x =-+-()2122x u x e x x a'=--+()2122xm x ex x a =--+()()21420x m x e x a '=+->+()u x '[)0,+∞()()102u x u a''≥=-12a ≥()1020u a'=-≥()u x [)0,+∞()()max 01ln 0u x u a ==-<a e >2°当时，设， 令， 所以在单调递减，在单调递增 所以，所以所以设，，令，所以在上单调递增，所以所以在单调递增，△， 所以， 所以所以，当时，恒成立，不合题意 综上，实数的取值范围为.5.（1）因为，依题意得为方程的两不等正实数根，12a <()1ln ln 2x a x ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭()11ln 22h x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭()11211122x h x x x -'=-=++()102h x x '>⇒>()1002h x x '<⇒<<()h x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()1102h x h ⎛⎫≥=> ⎪⎝⎭11ln 22x x ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭()()222ln ln xx u x e x a x e =-+->-2221122x x x e x x ⎛⎫⎛⎫+->-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22102xg x ex x x ⎛⎫=--+≥ ⎪⎝⎭()2221x g x e x '=--()2221xx ex ϕ=--()242420x x e ϕ'=-≥->()2221xx e x ϕ=--[)0,+∞()()010g x g ''≥=>()g x ()0,+∞()()00g x g >>()()00g x g >>()()()22ln 0xu x e x a x g x =-+->>12a <()()22ln f x x a x >++a 12a ≥()ln 2f x a x x '=-12,x x ln 20a x x -=△，， 令，， 当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，，当时，，所以 △ 解得，故实数的取值范围是.（2）由（1）得，，，两式相加得，故 两式相减可得，故 所以等价于， 所以所以， 即， 所以， 0a ≠2ln x a x =()ln x g x x =()21ln x g x x -'=()0,x e ∈()0g x '>(),x e ∈+∞()0g x '<()g x ()0,e (),e +∞()10g =x e >()0g x >()20g e a <<()210g e a e<<=2a e >a ()2,e +∞11ln 2a x x =22ln 2a x x =()()1212ln ln 2a x x x x λ+=+()12122ln ln x x x x aλλ++=()()1212ln ln 2a x x x x -=-12122ln ln x x a x x -=⋅-12ln ln 1x x λλ+>+()1221x x a λλ+>+()()1221x x a λλ+>+()()121212221ln ln x x x x x x λλ-+>+-()()121212ln ln 1x x x x x x λλ+->+-112212ln 11x x x x x x λλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>+-因为，令，所以 即，令，则在上恒成立，， 令， △当时，所以在上单调递减，所以在上单调递增，所以符合题意△当时，所以在上单调递增故在上单调递减，所以不符合题意；△当时，所以在上单调递增，所以所以在上单调递减，故不符合题意综上所述，实数的取值范围是.6.解：（1）△f （x ）=（lnx ﹣k ﹣1）x （k△R ），△x ＞0， =lnx ﹣k ，△当k≤0时，△x ＞1，△f′（x ）=lnx ﹣k ＞0，函数f （x ）的单调增区间是（1，+∞），无单调减区间，无极值；△当k ＞0时，令lnx ﹣k=0，解得x=e k ，当1＜x ＜e k 时，f′（x ）＜0；当x ＞e k ，f′（x ）＞0，△函数f （x ）的单调减区间是（1，e k ），单调减区间是（e k ，+∞），在区间（1，+∞）上的极小值为f （e k ）=（k ﹣k ﹣1）e k =﹣e k ，无极大值．（2）△对于任意x△[e ，e 2]，都有f （x ）＜4lnx 成立，120x x <<()120,1x t x =∈()ln 11t t t λλ+>+-()()()ln 110t t t λλ+-+-<()()()()ln 11h t t t t λλ=+-+-()0h t <()0,1()ln h t t t λλ'=+-()ln I t t t λλ=+-()()()2210,1t I t t t t tλλ-'=-=∈1λ≥()0I t '<()h t '()0,1()()10h t h ''>=()h t ()0,1()()10h t h <=0λ≤()0I t '>()h t '()0,1()()10h t h ''<=()h t ()0,1()()10h t h >=01λ<<()01I t t λ'>⇔<<()h t '(),1λ()()10h t h ''<=()h t (),1λ()()10h t h >=λ[)1,+∞△f（x）﹣4lnx＜0，即问题转化为（x﹣4）lnx﹣（k+1）x＜0对于x△[e，e2]恒成立，即k+1＞对于x△[e，e2]恒成立，令g（x）=，则，令t（x）=4lnx+x﹣4，x△[e，e2]，则，△t（x）在区间[e，e2]上单调递增，故t（x）min=t（e）=e﹣4+4=e＞0，故g′（x）＞0，△g（x）在区间[e，e2]上单调递增，函数g（x）max=g（e2）=2﹣，要使k+1＞对于x△[e，e2]恒成立，只要k+1＞g（x）max，△k+1＞2﹣，即实数k的取值范围是（1﹣，+∞）．证明：（3）△f（x1）=f（x2），由（1）知，函数f（x）在区间（0，e k）上单调递减，在区间（e k，+∞）上单调递增，且f（e k+1）=0，不妨设x1＜x2，则0＜x1＜e k＜x2＜e k+1，要证x1x2＜e2k，只要证x2＜，即证＜，△f（x）在区间（e k，+∞）上单调递增，△f（x2）＜f（），又f（x1）=f（x2），即证f（x1）＜，构造函数h（x）=f（x）﹣f（）=（lnx﹣k﹣1）x﹣（ln﹣k﹣1），即h（x）=xlnx﹣（k+1）x+e2k（），x△（0，e k）h′（x）=lnx+1﹣（k+1）+e2k（+）=（lnx﹣k），△x△（0，e k），△lnx﹣k＜0，x2＜e2k，即h′（x）＞0，△函数h（x）在区间（0，e k）上单调递增，故h′（x）＜h（e k），△，故h（x）＜0，△f（x1）＜f（），即f（x2）=f（x1）＜f（），△x1x2＜e2k成立．7（△）由()21e 2x f x a x x =--得()e 1x f x a x '=--. 因为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线与y 轴垂直，所以()010f a '=-=，解得1a =.（△）由（△）知()e 1x f x a x '=--，若函数()f x 有两个极值点，则()e 10x f x a x '=--=，即1e x x a +=有两个不同的根，且1e xx a +-的值在根的左、右两侧符号相反. 令()1e x x h x +=，则()()()2e 1e e e x x x x x x h x -+'==-， 所以当0x >时，()0h x '<，()h x 单调递减；当0x <时，()0h x '>，()h x 单调递增. 又当x →-∞时，()h x →-∞；0x =时，()01h =；0x >时，()0h x >；x →+∞时，()0h x →，所以01a <<.即所求实数a 的取值范围是01a <<.（△）证明：令()1e ln x g x x x x=-+（1x >），则()10g =，()2e 1e ln 1x xg x x x x '=+--. 令()()h x g x '=，则()e e ln x xh x x x '=+23e e 2x x x x x -++， 因为1x >，所以e ln 0xx >，e 0x x >，()2e 10x x x ->，320x >， 所以()0h x '>，即()()h x g x '=在1x >时单调递增，又()1e 20g '=->，所以1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在1x >时单调递增. 所以1x >时，()0g x >，即1x >时，1e ln x x x x>-.20.(1)当0b 时，321233f x x x x ，2'4313f x x x x x .当1,3x时，'0f x ，故函数f x 在1,3上单调递减； 当3,4x时，'0f x ，故函数f x 在3,4上单调递增. 由30f ，4143f f . △f x 在1,4上的值域为40,3； (2)由(1)可知，2'4313f xx x x x ， 由'0f x 得13x ，由'0f x 得1x 或3x .所以f x 在1,3上单调递减，在,1，3,上单调递增； 所以max 413f xf b ，min 3f x f b ， 所以当403b且0b ，即403b 时，10,1x ，21,3x ，33,4x ，使得1230f x f x f x ， 由f x 的单调性知，当且仅当4,03b时，f x 有三个不同零点.8.（1）当时，函数，， △，， △曲线在点处的切线方程为. （2）. 当时，，的单调递减区间为；当时，在递减，在递增.10.（△）在上恒成立，即. △，△.故在上恒成立1=a 2ln 21)(2--=x x x f x x x f 1)('-=0)1('=f 23)1(-=f )(x f ))1(,1(f 23-=y )0(1)('2>-=x xax x f 0≤a 0)('<x f )(x f ),0(+∞0>a )(x f ),0(a a ),(+∞a a 211()0sin f x x x θ'=-+≥•[1,)-+∞2sin 10sin x x θθ•-≥•(0,)θπ∈sin 0θ>sin 10x θ•-≥[1,)-+∞只须，即，又只有，得. 由，解得. △当时，；当时，.故在处取得极小值1，无极大值.（△）构造，则转化为；若在上存在，使得，求实数的取值范围.当时，，在恒成立，所以在上不存在，使得成立. △当时，. 因为，所以，所以在恒成立.故在上单调递增，，只要， 解得. △综上，的取值范围是.sin 110θ•-≥sin 1θ≥0sin 1θ<≤sin 1θ=2πθ=22111()0x f x x x x-'=-+==1x =01x <<()0f x '<1x >()0f x '>()f x 1x =1212()ln ln e e F x kx x kx x x x x+=---=--[1,]e 0x 0()0F x >k 0k ≤[1,]x e ∈()0F x <[1,]e [1,]e 0x 0002()e kx f x x ->0k >2121()e F x k x x +'=+-2222121()kx e x kx e e e x x x++-+++-==[1,]x e ∈0e x ->()0F x '>[1,]x e ∈()F x [1,]e max 1()()3F x F e ke e ==--130ke e -->231e k e +>k 231(,)e e ++∞。
高考二轮复习 导数及其应用(2)
一、选择题【山东省莱州一中2012届高三第一次质检理】12.已知函数()(R)f x x ∈导函数f ′()x 满足f ′()x <()f x ，则当0a >时，()f a 与(0)a e f 之间的大小关系为（） A.()(0)a f a e f < B.()(0)a f a e f >C.()(0)a f a e f =D.不能确定，与()f x 或a 有关【答案】A【山东滨州2012届高三期中联考理12.函数32()393,f x x x x =--+若函数()()[2,5]g x f x m x =-∈-在上有3个零点，则m 的取值范围为（）A ．（-24,8）B ．（-24,1]C ．[1,8]D ．[1,8）【答案】D【山东济宁梁山二中2012届高三12月月考理】11. 已知函数在区间上是减函数，则的最小值是 A.B.C.2D. 3【答案】C二、解答题【山东省聊城一中2012届高三上学期期中理】21．（本小题满分12分） 函数 （I ）当时，求函数的极值； （II ）设，若，求证：对任意，且，都有. 【答案】21.（本小题满分12分） 解：（1）当时，函数定义域为（）且)(131)(23R b a bx ax x x f ∈+-+=、[-1,3]b a +3223R ,2)1ln()(2∈-++=b x x b x x f 23=b )(x f x x f x g 2)()(+=2≥b ),1(,21+∞-∈x x 21x x ≥)(2)()(2121x x x g x g -≥-23=b ,2)1ln(23)(2x x x x f -++=+∞-,1令，解得或…………………2分当变化时，的变化情况如下表：+_ 0 +增函数 极大值减函数极小值增函数所以当时，， 当时，；……………………6分 （2）因为，所以，因为，所以（当且仅当时等号成立）， 所以在区间上是增函数，……………………10分 从而对任意，当时，，即,所以. …………12分 【山东省临清三中2012届高三12月模拟理】20．（本小题满分12分） 已知函数． （Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）设，若对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】20．解：（I ）的定义域是．．．．．．．．．．．1分 02)1(232=-++x x 211-=x 212=x x )(),('x f x f x )21,1(--21-)21,21(-21),21(+∞)('x f )(x f 21-=x 2ln 2345)21()(-=-=f x f 极大值21=x 23ln 2343)21()(+-==f x f 极小值x x b x x f 2)1ln()(2-++=)1(122212)('2->+-+=-++=x x b x x b x x f 2≥b 0)('≥x f 0,2==x b )(x f ),1(+∞-),1(,21+∞-∈x x 21x x ≥)()(21x f x f ≥22112)(2)(x x g x x g -≥-)(2)()(2121x x x g x g -≥-14341ln )(-+-=xx x x f )(x f 42)(2-+-=bx x x g )2,0(1∈x []2,12∈x )()(21x g x f ≥b 14341ln )(-+-=xx x x f (0,)+∞．．．．．．．．．．．．．．． 2分由及得；由及得， 故函数的单调递增区间是；单调递减区间是．．．．．4分 （II ）若对任意，，不等式恒成立， 问题等价于，．．．．．．．．．5分由（I ）可知，在上，是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，故也是最小值点，所以；．．．．．．．6分当时，；当时，；当时，；．．．．．．．．．．．．8分问题等价于或或．．．．．．．．11分解得或或 即，所以实数的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．12分【山东省聊城市五校2012届高三上学期期末联考】20. （本小题满分12分）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：880312800013+-=x x y )1200(≤<x .已知甲、乙两地相距100千米.（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？22243443411)(x x x x x x f --=--='0>x 0)(>'x f 31<<x 0>x 0)(<'x f 310><<x x 或)(x f )3,1(),3(,)1,0(∞+)2,0(1∈x []2,12∈x )()(21x g x f ≥max min )()(x g x f ≥(0,2)1x =min 1()(1)2f x f ==-[]2()24,1,2g x x bx x =-+-∈1b <max ()(1)25g x g b ==-12b ≤≤2max ()()4g x g b b ==-2b >max ()(2)48g x g b ==-11252b b <⎧⎪⎨-≥-⎪⎩212142b b ≤≤⎧⎪⎨-≥-⎪⎩21482b b >⎧⎪⎨-≥-⎪⎩1b <12b ≤≤b ∈∅b ≤b ,⎛-∞ ⎝⎦【答案】20. （I ）当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040=2.5小时，[来源:Z§xx§]要耗油(1128000×403－380×40+8)×2.5=17.5（升）.所以，当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5.（II ）当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)=(1128000x 3－380x+8)·100x =11280x 2+800x －154(0＜x ≤120)，h '(x)=232640640800800640xx x x ⋅-=-(0＜x ≤120)，令h '(x)=0得x=80当x ∈(0,80)时，h '(x)＜0,h(x)是减函数；当x ∈(80,120)时，h '(x)＞0,h(x)是增函数,∴当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25,因为h(x)在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值.故当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升. 【山东省莱州一中2012届高三第一次质检理】19.（本小题满分12分）32()f x x ax bx c =+++在1x =、2x =-处取得极值（1）求a 、b 的值. （2）若[]113,2,()2x f x c ∈->-恒成立，求c 的取值范围. 【答案】19.（1）f ′()x 2320x ax b =++=的两根为1,2-23132623aa b b ⎧-=-⎧⎪=⎪⎪∴∴⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎪⎩11722c c ∴-<-即2311c c c-->0c <<或c >. 【山东省莱州一中2012届高三第一次质检理】22.（本小题满分14分）已知函数2()ln(1)().f x x ax a x a R =---∈ （1）当1a =时，求函数()f x 的最值； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）试说明是否存在实数(1)a a ≥使()y f x =的图象与5ln 28y =+无公共点. 【答案】22.解：（1）函数2()ln(1)()f x x ax a x a R =---∈的定义域是(1,)+∞.当1a =时，f ′()x 32()122111x x x x x -=--=--，所以()f x 在3(1,)2为减函数， 在3(,)2+∞为增函数，所以函数()f x 的最小值为33()ln 224f =+.(2) f ′()x 22()22,11a x x a x a x x +-=--=-- 若0a ≤时，则22()221,()021a x x a f x x +-+≤=>-在(1,)+∞恒成立，所以()f x 的增区间为(1,)+∞. 若0a >，则212a +>，故当21,2a x +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，f ′()x 22()201a x x x +-=≤-，[来源:学#科#网] 当2,2a x +⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，22()2()0,1a x x f x x +-=≥- 所以0a >时()f x 的减区间为21,2a +⎛⎤ ⎥⎝⎦，()f x 的增区间为2,2a +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（3）1a ≥时，由（2）知()f x 在(1,)+∞上的最小值为22()1ln 242a a af a +=-+-， 令22()()1ln 242a a ag a f a +==-+-在[)1,+∞上单调递减， 所以max 3()(1)ln 24g a g ==+，则max 51()(ln 2)088g a -+=>， 因此存在实数(1)a a ≥使()f x 的最小值大于5ln 28+，故存在实数(1)a a ≥使()y f x =的图象与5ln 28y =+无公共点.【山东省济宁市重点中学2012届高三上学期期中理】22.（本小题满分12分）建造一条防洪堤，其断面为如图等腰梯形ABCD ，腰与底边所成角为60︒，考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其断面面积为63平方米，为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省，则断面的外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）要最小. (1) 求外周长的最小值，此时防洪堤高h 为多少？(2) 如防洪堤的高限制在[3,32]范围内，外周长最小为多少米？【答案】22解：（1）由题意， 所以12(2BC+233h)h= 63, BC=63h -33h …………………4分设外围周长为，则 当，即时等号成立.……………………6分 所以外围的周长的最小值为米，此时堤高米. --------------8分（2）由（1），由导数或定义可证明在单调递增，…10分所以的最小值为米（当） -------------------1236)(21=+h BC AD h BC h BC AD 33260cot 20+=+=l 26363333660sin 220≥+=-+=+=h h h h h BC AB l hh 363=6=h 266=h )6(3hh l +=]24,3[∈h l 3533633=+⨯3=h分【山东省济宁市鱼台一中2012届高三第三次月考理】21．（12分）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S ．（1）求面积S 以x 为自变量的函数式,并写出其定义域; （2）求面积S 的最大值．【答案】21．解: 以AB 所在的直线为x 轴,以AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系．椭圆方程为222214y x r r+=设(,)C x y 则y =（1）1(22)2(2S x r r x =+⋅=+定义域为{}0x x r <<． （2）由（1）知2(S r x =+=设222g(x)=(r+x)(r -x )则22()(2)g (x)x r x r '=-+- 由0g (x)'=得2r x =当02r x <<0g (x)'>当2rx r <<0g (x)'< ∴当2r x =时g(x)取最大值,S 取最大值, 【山东济宁金乡一中2012届高三12月月考理】22、（本小题满分15分）设函数（Ⅰ）求函数的极值点；（Ⅱ）当p ＞0时，若对任意的x ＞0，恒有，求p 的取值范围；（Ⅲ）证明：()ln 1f x x px =-+()f x 0)(≤x f ).2,()1(212ln 33ln 22ln 2222222≥∈+--<+++n N n n n n n n【答案】22、解：（1）， …………2分当上无极值点…………3分当p>0时，令的变化情况如下表：…………4分从上表可以看出：当p>0 时，有唯一的极大值点…………5分（Ⅱ）当p>0时在处取得极大值，此极大值也是最大值，…………7分 要使恒成立，只需，…………8分∴∴p 的取值范围为[1，+∞…………10分 （Ⅲ）令p=1，由（Ⅱ）知，∴，…………11分∴…………12分 ∴ …………13分),0()(,1ln )(+∞∴+-=的定义域为x f px x x f x pxp x x f -=-='11)(),0()(,0)(0+∞>'≤在时，x f x f p x x f x f p x x f 随、，)()(),,0(10)('+∞∈=∴='()f x p x 1=1x=p 11()lnf pp =()0f x £11()ln 0f p p = 1p ³)2,1ln ,01ln ≥∈-≤∴≤+-n N n x x x x ，1ln 22-≤n n 22222111ln n n n nn -=-≤)11()311()211(ln 33ln 22ln 222222222n n n -++-+-≤+++ )13121()1(222n n +++--=…………14分…………15分∴结论成立【山东济宁梁山二中2012届高三12月月考理】21．（本小题满分12分）已知函数，． （1）设（其中是的导函数），求的最大值； （2）证明: 当时，求证：； （3）设,当时,不等式恒成立,求的最大值． 【答案】21．解:（1）,所以． 当时，；当时，． 因此，在上单调递增，在上单调递减．因此，当时，取得最大值；（2）当时，． 由（1）知：当时，，即．因此，有． （3）不等式化为所以对任意恒成立．令，则， ))1(1431321()1(+++⨯+⨯--<n n n )11141313121()1(+-++-+---=n n n )1(212)1121()1(2+--=+---=n n n n n ()ln f x x =21()22g x x x =-/()(1)()h x f x g x =+-/()g x ()g x ()h x 0b a <<()(2)2b af a b f a a-+-<k Z ∈1x >/(1)()3()4k x xf x g x -<++k /()(1)()ln(1)2h x f x g x x x =+-=+-+1x >-1()111xh x x x -'=-=++10x -<<()0h x '>0x >()0h x '<()h x (1,0)-(0,)+∞0x =()h x (0)2h =0b a <<102b aa--<<10x -<<()2h x <ln(1)x x +<()(2)lnln 1222a b b a b af a b f a a a a +--⎛⎫+-==+< ⎪⎝⎭/(1)()3()4k x xf x g x -<++ln 21x x xk x +<+-ln 21x x xk x +<+-1x >()ln 21x x x g x x +=+-()()2ln 21x x g x x --'=-令，则， 所以函数在上单调递增．因为，所以方程在上存在唯一实根，且满足．当，即，当，即， 所以函数在上单调递减，在上单调递增．所以．所以． 故整数的最大值是．【莱州一中2012高三第三次质量检测理】22.（本小题满分14分）已知定义在实数集上的函数(),n n f x x n =∈ N *，其导函数记为()n f x '，且满足222121221()()[(1)]f x f x f ax a x x x -'+-=-，其中a 、1x 、2x 为常数，12x x ≠.设函数()g x = 123()()ln (),(f x mf x f x m +-∈R 且0)m ≠.（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若函数()g x 无极值点，其导函数()g x '有零点，求m 的值； （Ⅲ）求函数()g x 在[0,]x a ∈的图象上任一点处的切线斜率k 的最大值. 【答案】22.（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）因为222(),()2f x x f x x '==，所以222112212[(1)]x x ax a x x x -+-=-，整理得：12()(21)0,x x a --=又12x x ≠，所以12a =.…………………………………………3分 （Ⅱ）因为23123(),(),()f x x f x x f x x ===，所以2()3ln (0)g x mx x x x =+->.…………………………4分()ln 2h x x x =--()1x >()1110x h x x x-'=-=>()h x ()1,+∞()()31ln30,422ln 20h h =-<=->()0h x =()1,+∞0x ()03,4x ∈01()0x x h x <<<时，()0g x '<0()0x x h x >>时，()0g x '>()ln 21x x xg x x +=+-()01,x ()0,x +∞()()()()()000000min001ln 122225,611x x x x g x g x x x x ++-==+=+=+∈⎡⎤⎣⎦--()()0min 25,6k g x x <=+∈⎡⎤⎣⎦k 5导数2 由条件23230,()21mx x x g x mx x x+-'>=-+=.……………………5分 因为()g x '有零点而()g x 无极值点,表明该零点左右()g x '同号，又0m ≠，所以二次方程2230mx x +-=有相同实根，即1240,m ∆=+= 解得124m =-.…………………………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，2133,()21,22a k g x mx k m x x ''===-+=+，因为1(0,]2x ∈，所以23x ∈[12，+∞]，所以①当60m -≤<或0m >时，0k '≥恒成立，所以()k g x '=在（0，12]上递增， 故当12x =时，k 取得最大值，且最大值为5m -，…………10分 ②当6m <-时，由0k '=得x =，而102<.若x ∈，则0k '>，k 单调递增；若1]2x ∈，则0k '<，k 单调递减.故当x =时，k 取得最大值，且最大值等于2311=-…………………13分综上，max5,(600)16)m m m k m --≤<>⎧⎪=⎨-<-⎪⎩或…………………………14分。
202新数学复习第二章函数导数及其应用2.2函数的单调性与最值学案含解析
第二节函数的单调性与最值课标要求考情分析1。
理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2．会运用基本初等函数的图象分析函数的性质。
1。
主要考查函数单调性的判定、求单调区间、比较大小、解不等式、求最值及不等式恒成立问题．2．题型以选择题、填空题为主，若与导数交汇命题则以解答题的形式出现,属中高档题.知识点一函数的单调性1．增函数、减函数的定义定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I 内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2:(1)增函数：当x1〈x2时，都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f（x)在区间D上是增函数；（2）减函数：当x1〈x2时，都有f（x1）〉f(x2)，那么就说函数f(x）在区间D上是减函数．2．单调性、单调区间的定义若函数y＝f(x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数y ＝f（x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x）的单调区间．注意以下结论1．对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，错误!>0⇔f(x)在D上是增函数，错误!<0⇔f（x)在D上是减函数．2．对勾函数y＝x＋错误!(a〉0）的增区间为(－∞,－错误!]和［错误!，＋∞）,减区间为[－错误!，0）和(0，错误!]．3．在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．4．函数f(g（x))的单调性与函数y＝f（u）和u＝g(x）的单调性的关系是“同增异减”．知识点二函数的最值1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”）(1）对于函数f（x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有（x1－x2）[f（x1）－f(x2)］〉0,则函数f（x)在区间D上是增函数．(√)（2）函数y＝1x的单调递减区间是（－∞,0）∪(0,＋∞)．（×）（3）对于函数y＝f(x）,若f(1）<f（3)，则f（x)为增函数．(×)（4）函数y＝f（x）在［1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1,＋∞）．（×）解析:（2)此单调区间不能用并集符号连接，取x1＝－1，x2＝1,则f（－1)〈f(1），故应说成单调递减区间为(－∞,0）和（0,＋∞）．(3）应对任意的x1<x2，f（x1)〈f(x2）成立才可以．（4)若f（x)＝x,f（x)在[1，＋∞）上为增函数，但y＝f(x）的单调递增区间是R.2．小题热身（1)下列函数中,在区间（0，＋∞)内单调递减的是（A）A．y＝错误!－x B．y＝x2－xC．y＝ln x－x D．y＝e x(2）函数f（x)＝－x＋错误!在区间错误!上的最大值是(A)A．错误!B．－错误!C．－2 D．2（3)设定义在[－1，7］上的函数y＝f(x)的图象如图所示,则函数y＝f（x)的增区间为［－1,1]和[5,7］．(4）函数f（x）＝错误!的值域为（－∞，2）．（5）函数f(x）＝错误!在[2,6]上的最大值和最小值分别是4,错误!.解析：（1）对于A,y1＝错误!在(0，＋∞）内是减函数，y2＝x在（0，＋∞)内是增函数，则y＝1x－x在（0，＋∞)内是减函数；B,C选项中的函数在（0，＋∞）上均不单调；选项D中，y＝e x 在(0,＋∞）上是增函数．（2）∵函数y＝－x与y＝错误!在x∈错误!上都是减函数，∴函数f（x)＝－x＋错误!在错误!上是减函数，故f(x）的最大值为f（－2）＝2－错误!＝错误!.(3）由图可知函数的增区间为[－1，1］和［5,7]．（4）当x≥1时，f(x）＝log错误!x是单调递减的，此时，函数的值域为(－∞，0]；x<1时，f（x）＝2x是单调递增的,此时,函数的值域为（0,2)．综上，f（x)的值域是(－∞,2)．(5）函数f（x）＝错误!＝错误!＝2＋错误!在［2，6]上单调递减，所以f（x）min＝f（6)＝错误!＝错误!。
§3.3-导数的应用(二)
●利用导数解决实际问题中的最值问题的注意事项 (1)在求 实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义， 不符合实际问题的值应舍去. (2)在实际问题中，有时会遇 到函数在区间内只有一个点使 f′(x)＝0的情形，那么不 与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值. (3)在解决实 际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的自变量的函数关 系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的取值范围.
A.－2
B.0
C.2
D.4
解析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0，x＝2(舍去).
比较f(－1)，f(0)，f(1)的大小知f(x)max＝f(0)＝2. 答案：C
第9页
3.已知函数f(x)= 1 x4-2x3+3m,x∈R,若f(x)+9≥0恒成立,则实数 2
m的取值范围是()
第30页
创新预测3某地政府为科技兴市,欲在如图所示的矩形ABCD 的非农业用地中规划出一个高科技工业园区(如图中阴影部 分),形状为直角梯形QPRE(线段EQ和RP为两个底边),已知 AB=2km,BC=6km,AE=BF=4km,其中AF是以A为顶点､AD为 对称轴的抛物线段.试求该高科技工业园区的最大面积. 解析:以A为原点,AB所在直线为x轴,AD 所在直线为y轴建立直角坐标系,如图,则 A(0,0),F(2,4),
第24页
规律方法:不等式f(x)≥m(或≤m)恒成立的问题可以转化为求函 数f(x)的最小(大)值问题,f(x)≥m恒成立,即m≤f(x)min,f(x)≤m恒 成立即f(x)max≤m.
第25页
创新预测2设函数f(x)= 1 x2+ex-xex. 2
(1)求f(x)的单调区间; (2)若当x∈【 -2，2】时,不等式f(x)>m恒成立,求实数m. 解析:(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞), 因为f′(x)=x+ex-(ex+xex)=x(1-ex), 由f′(x)=x(1-ex)>0得x<0,由f′(x)<0得x>0, 则f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(0,+∞).
《2.13导数的应用(Ⅱ)》 教案
适用学科 适用区域 知 识 点 数学 新课标 用导数处理恒成立问题 利用导数解决生活中的优化问题 1.能利用导数研究函数的单调性、极值或最值，并会解决与之有关的不等式问题． 2.会利用导数解决某些简单的实际问题. 用导数处理恒成立问题 用导数处理恒成立问题 适用年级 课时时长（分钟） 高三 60
)
21 / 34
x＋ 3 3 解析：选 B 2xln x≥－x2＋ax－3，则 a≤2ln x＋x＋x ，设 h(x)＝2ln x＋x＋x (x>0)，则 h′(x)＝
x－ x
2
.当 x∈
(0,1)时，h′(x)<0，函数 h(x)单调递减；当 x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数 h(x)单调递增，所以 h(x)min＝h(1)＝4.所以 a≤h(x)min ＝4.
7 / 34
【解析】 (1)依题意，知 f(x)的定义域为(0，＋∞)， 1 1 1 当 a＝b＝2时，f(x)＝ln x－4x2－2x， 1 1 1 －x＋2x－1 f′(x)＝x－2x－2＝ ， 2x 令 f′(x)＝0，解得 x＝1(x＝－2 舍去)． 当 0<x<1 时，f′(x)>0，此时 f(x)单调递增；当 x>1 时，f′(x)<0，此时 f(x)单调递减． 3 所以 f(x)的极大值为 f(1)＝－4. 3 又因为 f′(x)＝0 在(0，＋∞)上有唯一解，所以 f(x)的最大值为－4. a (2)由题意得 F(x)＝ln x＋ x，x∈(0,3]，则 x0 － a 1 k＝F′(x0)＝ x2 ≤2在 x0∈(0,3]上恒成立， 0 1 所以 a≥－2x2 0＋x0max，x0∈(0,3]． 1 1 1 当 x0＝1 时，－2x2 0＋x0 取得最大值 ，所以 a≥ . 2 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
导数及其应用（2）
一、基础训练：
1．设曲线a x
y e =有点()0,1处的切线与直线210x y ++=垂直，则实数a ＝ . 2．函数2sin y x x =-在()0,2π内的单调增区间为 .
3．若函数f (x )＝3
x
＋ln x 在区间(m ，m ＋2)上单调递减，则实数m 的范围是 .
4．将长为72m 铁丝截成12段，搭成一个正四棱柱模型，以此为骨架做成一个容积最大的容器，则最大容积为 . 5．函数()f x （x ∈R ）满足(2)3f =，且()f x 在R 上的导数满足01)(<-'x f ，则不等式
2
2
()1f x x <+的解集为 .
6．已知2
(),()(1)x f x xe g x x a ==-++，若12,,x x R ∃∈使得21()()f x g x ≤成立，则实 数a 的取值范围是 . 二、例题分析： 例1．设ax x
x x f 22
131)(2
3
++
-
=.
（1）若)(x f 在),3
2
(+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围；
（2）当20<<a 时，)(x f 在]4,1[上的最小值为3
16-，求)(x f 在该区间上的最大值.
例2．已知函数2
11()22
f x x =
-
与函数()ln g x a x =在点(1,0)处有公共的切线，设()()()F x f x m g x =-(0)
m ≠.
（1） 求a 的值；（2）求()F x 在区间[1,e ]上的最小值.
例3．如图，在边长为2 （单位：m ）的正方形铁皮的四周切去四个全等的等腰三角形，再把它的四个角沿着虚线折起，做成一个正四棱锥的模型．设切去的等腰三角形的高为x m ．
（1）求正四棱锥的体积V (x )；
（2）当x 为何值时，正四棱锥的体积V (x )取得最大值？
备用题：已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2
－3x (a ，b ∈R )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＋2＝0.
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)若对于区间[－2,2]上任意两个自变量的值x 1，x 2都有|f (x 1)－f (x 2)|≤c ，求实数c 的最小值；
(3)若过点M (2，m )(m ≠2)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，求实数m 的取值范围．
三、巩固练习： 1．函数()x
x f x e
=
在[]0,2上的最大值是________．
2．已知函数()()3
2
2
10f x x m x m x m =+-+>有极大值9，则实数m 的值为________． 3．若函数f (x )＝13x 3－12ax 2
＋(a －1)·x ＋1在区间(1,4)上是减函数，在区间(6，＋∞)上是
增函数，则实数a 的取值范围是________．
4．已知函数f (x )=12mx 2
＋ln x －2x 在定义域内是增函数,则实数m 的取值范围为______．
5．已知函数f (x )＝－12x 2
＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不是单调函数，则实数t 的取值范围
是________．
6．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )<0在D 上恒成立，则
称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2上不是凸函数的是__④______．
①f (x )＝sin x ＋cos x ；②f (x )＝ln x －2x ；③f (x )＝－x 3＋2x －1；④f (x )＝x e x
.
7．设()32
1f x x a x b x =+++的导数()f x '满足(),()f a f b ''1=22=-，其中常数,a b ∈R ．
（1）求曲线()y f x =在点(,())f 11处的切线方程；
（2）设()()x
g x f x e -'=，求函数()g x 的极值．
8．已知函数ax x x a x f ++
-=2
22
1ln 2)()(R a ∈.
（1）当1=a 时,求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 的切线方程；（2）讨论函数)(x f 的单调性.
9．已知函数32
11()()3
2
f x x a x a a =
-+
∈R .
（1）若1,a =求函数()[0,2]f x 在上的最大值；
（2）若对任意(0,+)x ∈∞，有()0f x >恒成立，求a 的取值范围.
10．某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为
803
π立方米，且2l r ≥．假设该容器的建
造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为()3c c >．设该容器的建造费用为y 千元． （1）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （2）求该容器的建造费用最小时的r ．。