【公开课】辅助角公式

辅助角公式——和差公式的逆用

学习目标：

1.利用辅助角公式将三角函数化成正弦型，然后用正弦型函数的性质解决函数问题；

2.掌握三角函数解决几何问题中利用辅助角公式求最值问题。

学习重点：利用辅助角公式将三角函数化成正弦型，然后用正弦型函数的性质解决函数问题； 学习难点：三角函数解决几何问题中利用辅助角公式求最值问题。

一．知识回顾

1.两角和与差的正弦公式

βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-

2.两角和与差的正弦公式的应用

ααπαπαπαcos 2

1sin 236sin cos 6cos sin )6sin(+=+=+ ααπαπαπαcos 2

1sin 2365sin cos 65cos sin )65sin(+-=+=+ ααπαπαπαcos 21sin 2365sin cos 65cos sin )65sin(--=-=- ααπαπαπαcos 2

1sin 236sin cos 6cos sin )6sin(-=-=- 思考：

以上四例，从右向左，把异名的函数化成单名函数，你会吗？

)6

sin(6sin cos 6cos sin cos 21sin 23παπαπααα+=+=+ )6

5sin(65sin cos 65cos sin cos 21sin 23παπαπααα+=+=+- )65sin(65sin cos 65cos sin cos 21sin 23παπαπααα-=-=-- )6

sin(6sin cos 6cos sin cos 21sin 23παπαπααα-=-=- 二．合作探究

辅助角公式的推导及简单应用

例1：求证)6sin(2cos sin 3π

+=+x x x

分析：其证法是从右向左展开证明，也可以从左往右“凑”，使等式得到证明，并得出结论。 可见x x cos sin 3+可以化为一个角的三角函数形式

思考：一般的，x b x a sin sin +是否可以化为一个角的三角函数形式呢？

例2：将x b x a sin sin +化为一个角的三角函数形式

解：①若a=0或b=0时，x b x a sin sin +已经是一个角的三角函数形式，无序化简，故有ab ≠0. ②从三角函数的定义出发进行推导

在平面直角坐标系中，以a 为横坐标，b 为纵坐标，p(a,b)如图所示，则总有一个角ϕ，它的终边经过点p,设op=r,r=

22b a +,由三角函数的定义知22sin b a b r b +==

ϕ，22cos b a a r a +==ϕ 所以)

sin(cos sin sin cos sin sin 222222ϕϕφ++=+++=+x b a x b a x b a x

b x a （其中a b =

ϕtan ） 辅助角公式：)sin(sin sin 22ϕ++=+x b a x b x a （a

b =

ϕtan ） 因为上述公式引入了辅助角ϕ，所以把上述公式叫做辅助角公式。

三．巩固延伸

例3：试讲以下各式化为)sin(ϕ+wx A ，（A ＞0,πϕ≤）的形式： （1）ααcos 2

1sin 23-；（2）ααcos 6sin 2+； （3）ααcos sin 3--；（4）)3cos(66)3sin(62απαπ-+--

.

例4：求函数x x y cos 3sin +=的周期，最大值和最小值。

四．课堂小结 一个公式：)sin(sin sin 22ϕ++=+x b a x b x a

两个应用：1.利用辅助角公式将三角函数化成正弦型，然后用正弦型函数的性质解决函数问题；

2.三角函数解决几何问题中利用辅助角公式求最值问题。

五．巩固延伸

1.把下列各式化为一个角的三角函数形式

（1）

ααcos 21sin 23+；（2）ααcos sin --；（3）ααcos sin +-；（4）)6cos(3)6sin(3παπα+++-

2.已知函数x x y cos sin 3+=，R x ∈.

(1)当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；

(2)该函数的图像可由y=sinx(x ∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？