第一讲:整数四则混合运算及简便运算
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一、
整数四则运算定律
(1) 加法交换律:a b b a +=+
(2) 加法结合律:()()a b c a b c ++=++ (3) 乘法交换律:a b b a ⨯=⨯
(4) 乘法结合律:()()a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯
(5) 乘法分配律:()a b c a b a c ⨯+=⨯+⨯;()b c a b a c a +⨯=⨯+⨯ (6) 减法的性质:()a b c a b c --=-+ (7) 除法的性质:()a b c a b c ÷⨯=÷÷;
(8) 除法的“左”分配律:()a b c a c b c +÷=÷+÷;()a b c a c b c -÷=÷-÷,这里尤其
要注意,除法是没有“右”分配律的,即()c a b c a c b ÷+=÷+÷是不成立的! 备注:上面的这些运算律,既可以从左到右顺着用,又可以从右到左逆着用.
二、 加减法中的速算与巧算
速算巧算的核心思想和本质:凑整。常用的思想方法总结如下:
(1) 分组凑整法.把几个互为“补数”的减数先加起来,再从被减数中减去,或先减去
那些与被减数有相同尾数的减数.“补数”就是两个数相加,如果恰好凑成整十、整百、整千……,就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”.
(2) 加补凑整法.有些算式中直接凑整不明显,这时可“借数”或“拆数”凑整.
三、乘法凑整
思想核心:先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起,最后再与前面的数相
乘,使得运算简便。例如:425100⨯=,81251000⨯=,520100⨯=
理论依据:乘法交换律:a ×b=b ×a 乘法结合律:(a ×b) ×c=a ×(b ×c) 乘法分配律:(a+b) ×c=a ×c+b ×c
知识点拨
第一讲 整数四则混合运算
的简便运算
积不变规律:a ×b=(a ×c) ×(b ÷c)=(a ÷c) ×(b ×c)
四、乘、除法混合运算的性质
⑴商不变性质:被除数和除数乘(或除)以同一个非零数,其商不变.即: ()()()()0a b a n b n a m b m m ÷=⨯÷⨯=÷÷÷≠ ,0n ≠
⑵在连除时,可以交换除数的位置,商不变.即:a b c a c b ÷÷=÷÷
⑶在乘、除混合运算中,被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置(即带着符号搬家).
例如:a b c a c b b c a ⨯÷=÷⨯=÷⨯
⑷在乘、除混合运算中,去掉或添加括号的规则
去括号情形:①括号前是“×”时,去括号后,括号内的乘、除符号不变.即
()()a b c a b c a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯⨯÷=⨯÷ ②括号前是“÷”时,去括号后,括号内的“×”变为“÷”,“÷”变为“×”.即
()()a b c a b c a b c a b c ÷⨯=÷÷÷÷=÷⨯
添加括号情形:加括号时,括号前是“×”时,原符号不变;括号前是“÷”时,原符
号“×”变为“÷”,“÷”变为“×”.即()()
()()a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯⨯÷=⨯÷÷÷=÷⨯÷⨯=÷÷
⑸两个数之积除以两个数之积,可以分别相除后再相乘.即 ()()()()()()a b c d a c b d a d b c ⨯÷⨯=÷⨯÷=÷⨯÷ 上面的三个性质都可以推广到多个数的情形.
一、加法
【例1】:278+463+22+37
举一反三:732+580+268
二、减法
【例2】:2871-299
例题精讲
举一反三:
(1)157-99 (2)363-199 (3)968-599
三、连减(5种)
【例3】:528-53-47
举一反三:
(1)489-134-76 (2)470-254-46 (3)545-167-133
【例4】:496-(296+144)
举一反三:
(1)675-(175+89)(2)466-(66+125)(3)354-(154+77)【例5】:496-(144+296)
举一反三:
(1)675-(89+175)(2)466-(125+66)(3)354-(77+154)
【例6】:528-72-28
举一反三:
(1)489-77-389 (2)465-267-65 (3)545-167-145
【例7】:824-224-176-124
举一反三:
(1)643-164-133-243 (2)487-187-139-61 (3)545-167-145
四、乘法分配律(8种)
【例8】:计算:125×(80+32)(24+40)×25
举一反三:
(1)125×(64+80)(2)(80+32)×125 (3)(16+32)×25
【例9】:(1)125×(100-8)(2)(125-40)×8
举一反三:
(1)125×(100-48)(2)(100-16)×25
【例10】:(1)117×56+117×44
举一反三:
(1)269×26+74×269 (2)521×65+35×521 (3)126×72+126×12+126×16
【例11】:125×69-125×61
举一反三:
(1)25×127-25×119 (2)365×251-365×151
(3)156×59-156×27-156×22 (4)137×97-44×137-137×43