第20届全国希望杯数学邀请赛高一数学第二试试题及答案
2012年第10届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷(五年级第2试)
2012年第10届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（五年级第2试）一、填空题（每题5分共60分）1．（5分）计算：3.6×（2.45﹣1.9）÷0.4=_________．2．（5分）已知甲乙两数的和是231，已知甲数的末位是0，如果把甲数末位的0去掉，正好等于乙数，那么，甲数是_________，乙数是_________．3．（5分）如图，当n=1时，图中有1个圆；当n=2时，图中有7个圆；当n=3时，图中有19个圆；…，按此规律，当n=5时，图中有_________个圆．4．（5分）54个小朋友排队做游戏，每轮游戏有12个小朋友参加，游戏结束后，这12个小朋友按原来的先后顺序排到队尾，如果游戏开始时，小亮站在队首，当小亮再次站在队首时，已经做了_________轮游戏．5．（5分）有一列数，第1个是1，从第2个数起，们每个数比它前面相邻的数大3，最后一个数是100，将这列数相乘，则在计算结果的末尾中有_________个连续的零．6．（5分）公元纪年法中，每四年含一个闰年，每个平年有365天，每个闰年有366天，2012年是闰年，元旦是星期日，那么，下一个元旦也是星期日的年份是_________年．7．（5分）在平面上有7个点，其中任意3个点都不在同一条直线上，如果连接这7个点中的每两个点，那么最多可以得到_________条线段；以这些线段为边，最多能构成_________个三角形．8．（5分）如图所示，在一个圆周上放了1枚黑色的围棋子和2012枚白色的围棋子．若从黑子开始，按顺时针方向，每隔1枚，取走1枚，则当取到黑子时，圆周上还剩下_________枚白子．9．（5分）正方体木块被砍掉了一个角（这里的角，指三条线相交处），剩余部分最多有_________个角，最少有_________角．10．（5分）如图所示，两个形状和大小都相同的直角△ACB和△EDF的面积都是10cm2，每个直角的直角顶点都恰好落在另一个直角三角形斜边上，这两个直角三角形的重叠部分是一个长方形．那么四边形ABEF的面积是_________cm2．11．（5分）某次数学竞赛以后52 人参加，共考5道题，每道题做错的人数统计如下：题号 1 2 3 4 5做错人数 4 6 10 20 39如果每人都至少做对1道题，只做对1题有7人，5道题都做对的有6人，只做对2道题和只做对3道题的人数相同，那么做对4道题的有_________人．12．（5分）在长、宽、高分别是10cm、10cm、6cm的长方体的容器中盛有深4cm的水，在向容器中放入棱长5cm 的正方体铁块，则水深变为_________cm．二．解答题：（每小题15分共60分）每题都要写出推算过程．13．（15分）将图分割成两部分，两部分恰好能拼成一个正方形．（1）若图中每个小正方形的边长是1，拼成的正方形的边长是多少？（2）用粗线表示分割的路线．14．（15分）甲乙丙三辆汽车从A地去B地，甲车的速度是60千米/时，乙车的速度是48千米/时，与此同时，一辆卡车从B地去A地，卡车在出发后6小时、7小时、8小时的时刻分别与甲乙丙三车相遇，求：（1）甲车与卡车相遇时，甲车与乙车的距离；（2）求卡车的速度；（3）求丙车的速度．15．（15分）某快递公司对从A地发往B地的快件的运费收费标准是：快件重量不超过10千克，每千克收费8元；如果超过10千克，超出部分按每千5元收费，已知甲乙二人向该公司各投递一个快件，甲比乙多交了34元，求甲乙的快件的重量．（甲乙的快件的重量都是整千克数）16．（15分）已知，，，各代表一个自然数，观察下面三个算式呈现的规律：+﹣=6﹣+=3××=140求（+）÷的值．2012年第10届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（五年级第2试）参考答案与试题解析一、填空题（每题5分共60分）1．（5分）计算：3.6×（2.45﹣1.9）÷0.4= 4.95．考点：小数四则混合运算．专题：运算顺序及法则．分析：先算括号内的，再算除法和乘法．解答：解：3.6×（2.45﹣1.9）÷0.4，=3.6×0.55÷0.4，=1.98÷0.4，=4.95；故答案为：4.95．点评：此题考查了小数四则混合运算，注意运算顺序和运算法则．2．（5分）已知甲乙两数的和是231，已知甲数的末位是0，如果把甲数末位的0去掉，正好等于乙数，那么，甲数是210，乙数是21．考点：和倍问题．专题：和倍问题．分析：根据“甲数的末位是0，如果把甲数末位的0去掉，正好等于乙数，”知道甲数是乙数的10倍，再根据题意知道甲乙两数的和是231，由此利用和倍公式解决问题．解答：解：乙数：231÷（10+1），=231÷11，=21，甲数：231﹣21=210，答：甲数是210，乙数是21．故答案为：210，21．点评：解答本题的关键是根据题意找出甲数与乙数的倍数关系，再利用和倍问题的公式{和÷（倍数+1）=小数，小数×倍数=大数，（或者和﹣小数=大数）}解决问题．3．（5分）如图，当n=1时，图中有1个圆；当n=2时，图中有7个圆；当n=3时，图中有19个圆；…，按此规律，当n=5时，图中有61个圆．考点：数与形结合的规律．专题：探索数的规律．分析：所构成的图形是轴对称图形，沿中间的一列分开，两边对称，最左边的一行是n个圆，后面每一列比前面的每一列多一个，直到中间的一列，中间的一排是2n﹣1个．中间的后面的每排依次减少．解答：解：最左边的一列是n，第二列是n+1，第三列是n+2，…，第n列是2n﹣1；第n列以后，各列的个数分别是2n﹣2，2n﹣3…，n．则第n个图形的圆的个数是：n+（n+1）+…（2n﹣1）+（2n﹣2）+（2n﹣3）+…+n=2[n+（n+1）+（n+2）+…+（2n﹣2）]+（2n﹣1）=（n﹣1）[n+（2n﹣2）]+（2n﹣1）=3n2﹣3n+1．所以当n=5时，图中有圆：3×52﹣3×5+1，=3×25﹣15+1，=75﹣15+1，=61（个），答：当n=5时，图中有圆61个．故答案是：61．点评：本题考查了图形的变化规律，可以用圈数表示为：1+6×1+6×2+6×3+…+6×（n﹣1））解决问题．4．（5分）54个小朋友排队做游戏，每轮游戏有12个小朋友参加，游戏结束后，这12个小朋友按原来的先后顺序排到队尾，如果游戏开始时，小亮站在队首，当小亮再次站在队首时，已经做了9轮游戏．考点：排队论问题．专题：数学游戏与最好的对策问题．分析：54和12的最小公倍数为108，也就是说共移动了108人次，做了108÷12=9轮游戏．解答：解：54=2×3×9，12=2×2×3，因此54和12的最小公倍数为：2×2×3×9=108；做了：108÷12=9（轮）．答：已经做了9轮游戏．故答案为：9．点评：此题的关键是运用求最小公倍数的方法解决问题，5．（5分）有一列数，第1个是1，从第2个数起，们每个数比它前面相邻的数大3，最后一个数是100，将这列数相乘，则在计算结果的末尾中有9个连续的零．考点：数字问题．专题：综合填空题．分析：由于从第2个数起，每个数比它前面相邻的数大3，则此数列为1，4，7，10，…100．则一个它们积的末尾有多个数零是由其中因数2与5的个数决定的，而其中因数2的个数一定大于5个的个数，因此只要找出1×4×7×10×…×100中因数的个数即可．这一数列的数可表示为1+3（n﹣1），则5的倍数有10，25，40，55，70，85，100共7个，由于25=5×5，25和100是25的倍数，则1×4×7×10×…×100中共有7+2=9个因数5，则计算结果的末尾中有9个连续的零．解答：解：积的末尾有多个数零是由其中因数2和5的个数决定的，由题意可知，这一数列中5的倍数有10，25，40，55，70，85，100共7个，由于25=5×5，25和100是25的倍数，则1×4×7×10×…×100中共有7+2=9个因数5．所以计算结果的末尾中有9个连续的零．故和案为：9．点评：明确的末尾有多个数零是由其中因数2与5的个数决定的，并根据数列的特点求出这一数列中因数5的个数是完成本题的关键．6．（5分）公元纪年法中，每四年含一个闰年，每个平年有365天，每个闰年有366天，2012年是闰年，元旦是星期日，那么，下一个元旦也是星期日的年份是2017年．考点：平年、闰年的判断方法．分析：一星期有7天，这是定数，闰年有366天，平年有365天，366÷7=52个…2天，365÷7=52个…1天，只要余数加起来是7，就是这年的元旦是星期日．解答：解：2012年366天，是52个星期余2天，然后是3个平年52个星期余1天，接着是闰年，又余2天，2+1+1+1+2，即经过所以5年后即，2012+5=2017年的元旦是星期日；故答案为：2017．点评：本题主要考查年月日的知识，注意一星期有7天，闰年是52个星期余2天，平年是52个星期余1天．7．（5分）在平面上有7个点，其中任意3个点都不在同一条直线上，如果连接这7个点中的每两个点，那么最多可以得到21条线段；以这些线段为边，最多能构成35个三角形．考点：组合图形的计数．专题：操作、归纳计数问题．分析：根据两点确定一条线段即可计算出线段的条数．顺次连接不在同一直线上的三个点可作1个三角形；当有4个点时，可作4个三角形；当有5个点时，可作10个三角形；依此类推当有n个点时，可作个三角形．解答：解：在平面上有7个点，其中任意3个点都不在同一条直线上，连接其中任意两个点，最多能画6+5+4+3+2+1=21条线段．以这些线段为边，最多能构成=35个三角形．答：最多可以得到21条线段；以这些线段为边，最多能构成35个三角形．故答案为：21，35．点评：数三角形的个数，可以按照数线段条数的方法，如果平面上有n个点，其中任意三点都不在同一条直线上，那么就有条线段，得到个三角形．8．（5分）如图所示，在一个圆周上放了1枚黑色的围棋子和2012枚白色的围棋子．若从黑子开始，按顺时针方向，每隔1枚，取走1枚，则当取到黑子时，圆周上还剩下503枚白子．考点：哈密尔顿圈与哈密尔顿链．专题：综合填空题．分析：从黑子的右面第一枚白子开始编号为1，2，3，…2012，则黑子为2013；从黑子计数，按顺时针方向，每隔1枚，取走1枚，首先取走的依次是2、4、6、8…2012号，到此时剩余奇数号；继续取，取走的依次是1、5、9、…4n﹣3号（n=1、2、3…），因为2013=4×504﹣3，所以2013此时被取走；余下的是3，7，11，15，…2011，规律是4n﹣1，n=1，2，3…，求出3到2011以4为等差的等差数列的个数，即可得解．解答：解：（2011﹣3）÷4+1=503（枚），答：若从黑子开始，按顺时针方向，每隔1枚，取走1枚，则当取到黑子时，圆周上还剩下503枚白子．故答案为：503．点评：此题考查了哈密尔顿圈与哈密尔顿链问题，锻炼了学生的认真分析问题的能力．9．（5分）正方体木块被砍掉了一个角（这里的角，指三条线相交处），剩余部分最多有10个角，最少有7角．考点：图形的拆拼（切拼）．专题：立体图形的认识与计算．分析：把正方体木块被砍掉了一个角，如果如果砍切点在组成这个顶点的这三条棱上，将会增加一个三角形，即增加三个顶点，剩余部分用原来的正方体的8个顶点减去一个顶点，再加新增加的3个顶点，此时剩余部分角最多；如果砍切点在另外三个角（顶点）上，这时将比原正方体减少一个角（顶点）．据此解答．解答：解：正方体木块被砍掉了一个角（这里的角，指三条线相交处），剩余部分最多有10个角，最少有7角；故答案为：10，7．点评：此题是考查图形的切拼问题，关键是砍切点的选取．最好是动手操作一下，既可解决问题，又锻炼了动手操作能力．10．（5分）如图所示，两个形状和大小都相同的直角△ACB和△EDF的面积都是10cm2，每个直角的直角顶点都恰好落在另一个直角三角形斜边上，这两个直角三角形的重叠部分是一个长方形．那么四边形ABEF的面积是20 cm2．考点：重叠问题．专题：平面图形的认识与计算．分析：因为重叠部分是一个长方形，所以∠1=∠3，2=∠1，可得∠2=∠3，因此AB∥EF，又因为AB=EF，所以四边形ABEF是平行四边形，那么直角△ACB和△EDF的面积都与四边形ABEF等底等高，直角△ACB 和△EDF的面积都是四边形ABEF的面积的一半，那么四边形ABEF的面积是：10×2=20cm2．解答：解：根据分析可得：直角△ACB和△EDF的面积都是四边形ABEF的面积的一半，那么四边形ABEF的面积是：10×2=20（cm2）．故答案为：20．点评：本题关键是能够看出四边形ABEF是平行四边形，然后利用等底等高的三角形与平行四边形的面积关系解答即可．11．（5分）某次数学竞赛以后52 人参加，共考5道题，每道题做错的人数统计如下：题号 1 2 3 4 5做错人数 4 6 10 20 39如果每人都至少做对1道题，只做对1题有7人，5道题都做对的有6人，只做对2道题和只做对3道题的人数相同，那么做对4道题的有31人．考点：容斥原理．专题：传统应用题专题．分析：总共有52×5=260道题，做错的题目数为4+6+10+20+39=79道，所以做对的题目为260﹣79=181道，又只做对1题有7人，5道题都做对的有6人，则做对2道题、3道题、4道题的题目总数为181﹣7﹣5×6=144道，由于做对2道题和3道题的人数一样多，即可以看作是一样的人数做对了5道题，由此可设做对四道题的有x人，只做对2道题和只做对3道题的一样的人数为y，则4x+5y=144①，又只做对1题有7人，5道题都做对的有6人，则做对2、3、4道题的共有x+2y=52﹣1﹣7人②，整理①②即能得出做对道题的有多少人．解答：解：做对的题目有：260﹣（4+6+10+20+39）=60﹣79，=181（道）；做对做对2道题、3道题、4道题的题目总数为181﹣7﹣5×6=144道，设做对四道题的有x人，只做对2道题和只做对3道题道的一样的人数为y，即共做对了（2+3）y题，可得：4x+5y=144①，x+2y=52﹣1﹣7=39②，由②得：x=39﹣2y，由①得：4（39﹣2y）+5y=144，156﹣8y+5y=144，3y=12，y=4．则x=39﹣2×4=31．即做对4道题的有31人．故答案为：31．点评：根据容斥原理求出共做对多少道题的基础上通过设未知数，根据人数与做各题的数量列出等量关系式进行分析是完成本题的关键．12．（5分）在长、宽、高分别是10cm、10cm、6cm的长方体的容器中盛有深4cm的水，在向容器中放入棱长5cm 的正方体铁块，则水深变为 5.25cm．考点：长方体、正方体表面积与体积计算的应用．专题：立体图形的认识与计算．分析：首先根据长方体的容积（体积）公式：v=abh，求出容器中水的体积是多少立方厘米，根据正方体的体积公式：v=a3，再求出棱长5厘米的正方体的体积，用容器中水的体积加上这个正方体铁块的体积，除以容器的底面积就是现在水的深（高）．由此列式解答．解答：解：容器中水的体积：10×10×4=400（立方厘米），正方体铁块的体积：5×5×5=125（立方厘米），水深：（400+125）÷（10×10），=525÷100，=5.25（厘米）；答：水深5.25厘米．故答案为：5.25．点评：此题属于长方体、正方体的容积（体积）的实际应用，长方体的高=体积÷底面积，关键是求出容器中水和铁块的体积之和．再根据体积除以底面积等于高，列式解答．二．解答题：（每小题15分共60分）每题都要写出推算过程．13．（15分）将图分割成两部分，两部分恰好能拼成一个正方形．（1）若图中每个小正方形的边长是1，拼成的正方形的边长是多少？（2）用粗线表示分割的路线．考点：图形划分．专题：几何形体的分、合、移、补的问题．分析：（1）通过观察，图中小正方形的个数是36个，由正方形的面积公式，面积=边长×边长，6×6=36，所以拼成的正方形的边长是6；（2）如下图所示，第一行右边留两个，向下分割，沿水平向左两个小正方形边长分割；第二行右边留4个向下分割，沿水平向左两个小正方形边长分割，第三行，留6个向下分割，分割后，左部分向右两个，向上一个小正方形，即可得解．解答：解：（1）6×6=36，答：拼成的正方形的边长是6；（2）点评：此题考查了图形划分，锻炼了学生的空间想象力和几何直观．14．（15分）甲乙丙三辆汽车从A地去B地，甲车的速度是60千米/时，乙车的速度是48千米/时，与此同时，一辆卡车从B地去A地，卡车在出发后6小时、7小时、8小时的时刻分别与甲乙丙三车相遇，求：（1）甲车与卡车相遇时，甲车与乙车的距离；（2）求卡车的速度；（3）求丙车的速度．考点：相遇问题．专题：综合行程问题．分析：（1）甲车与卡车相遇时行了6小时，由于甲乙两车的速度差为每小时60﹣48=12千米，则此时甲乙两车相距12×6=72千米；（2）由于卡车与甲车相遇时甲乙两车相距72千米，即此时卡车与乙车相距也是72千米，由于卡车又经过了7﹣6=1小时与乙车相遇，则卡车的速度为每小时72÷1﹣48=24千米；（3）由于卡车与乙车相遇时，三车已行了7小时，此时乙车已行48×7=336千米，又过了8﹣7=1小时，卡车与丙车相遇，从与乙车相遇到与丙车相遇，卡车行了24千米，即丙车在8小时内行了336﹣24=312千米，则丙车的速度为每小时：312÷8=39千米．解答：解：（1）（60﹣48）×6=12×6，=72（千米）．答：甲车与卡车相遇时，甲车与乙车的距离为72千米．（2）72÷1﹣48=72﹣48，=24（千米/小时）．答：卡车每小时行24千米．（3）[48×7﹣24×（8﹣7）]÷8=[336﹣24]÷8，=312÷8，=39（千米/小时）．答：丙车每小时行39千米．点评：首先根据速度差×行驶时间=路程差求出甲车与卡车相遇时，甲车与乙车的距离，进而求出卡车的速度是完成本题的关键．15．（15分）某快递公司对从A地发往B地的快件的运费收费标准是：快件重量不超过10千克，每千克收费8元；如果超过10千克，超出部分按每千5元收费，已知甲乙二人向该公司各投递一个快件，甲比乙多交了34元，求甲乙的快件的重量．（甲乙的快件的重量都是整千克数）考点：整数、小数复合应用题．分析：因为34不是8的倍数，也不是5的倍数，所以多付的34元有8元每千克的，也有5元每千克的；然后找出34可以是几个5与几个8的和，由此求出甲比乙多的重量，进而求出甲乙原来的重量．解答：解：34元=8元×3千克+5元×2千克；那么甲比乙多的分成2部分：10千克以上的有2千克；10千克以下的有3千克；甲的重量就是：10+2=12（千克）；乙的重量就是：10﹣3=7（千克）；答：甲的快件的重量是12千克，乙的重量是7千克．点评：本题关键是根据重量都是整千克数，把34分解，找出有几个8元和几个5元即可求解．16．（15分）已知，，，各代表一个自然数，观察下面三个算式呈现的规律：+﹣=6﹣+=3××=140求（+）÷的值．考点：简单的等量代换问题．专题：消元问题．分析：我们把图变成字母，=a，=b，=c，=d，所以a+d﹣c=6，c﹣b+a=3，d×a×c=140，求（d+c）÷b值是多少．解答：解：因为d×a×c=140，140=1×10×14，140=2×7×10，140=4×5×7，又因a+d﹣c=6，所以a+d=6+c，所以只有140=4×5×7，适合题意．在4、5、6、7，所以①c=5，a=4，d=7；②c=5，a=7，d=4．当①c=5，a=4，d=7时．c﹣b+a=3，5﹣b+4=3，9﹣b=3，b=6；则（d+c）÷b值是：=（7+5）÷6，=2；当②c=5，a=7，d=4；c﹣b+a=3，5﹣b+7=3，12﹣b=3，b=9，则（d+c）÷b值是：=（4+5）÷9，=9÷9，=1；答：（+）÷的值是2或1．点评：本题是一道复杂的等量代换，考查了学生的等量的代换的意识．。
2011年第9届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷(四年级第2试)
2011年第9届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（四年级第2试）一、填空（每小题5分，共60分）1．（5分）计算：234+432﹣4×8+330÷5=．2．（5分）四（1）班全体同学站成一排，当从左往右报数时，小华报：18；当从右往左报数时，小华报：13．那么，该班有学生名．3．（5分）如果25×口÷3×15+5=2005，那么口．4．（5分）如图是由25个面积等于1的小正方形组成的大正方形，图中面积是6的长方形有个．5．（5分）在括号内填上两个相邻的整数，使等式成立．6．（5分）由数字0，3，6组成的所有三位数的和．7．（5分）某种品牌的电脑降价20%后，每台售价为4592元，则该品牌电脑降价前每台售价元．8．（5分）已知两个自然数的积是35，差是2，则这两个自然数的和是．9．（5分）把1991，1992，1993，1994，1995分别填入图中的5个方格中，使得横排的三个方格中的数的和等于竖列的三个方格中的数的和．则中间方格中能填的数是．10．（5分）图是3×3的正方形方格，∠1与∠2相比，较大的是．11．（5分）小明从家出发，先向东偏北30°的方向跑了350米到达点A，接着向北偏西30°的方向跑了200米到达点B，然后又向西偏南30°的方向跑了350米到达点C，这时小明距家米．12．（5分）在图的九个方格里，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，则N=．二、解答题（每小题15分，共60分）每题都要写出推算过程．13．（15分）将一副三角板摆放在一起（可以叠放），使同时出现15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°这七个角，请画图说明并表示出这些角．14．（15分）连续写出从1开始的自然数，写到2008时停止，得到一个多位数：123456789…2008请说明：这个多位数除以3，得到的余数是几？为什么？15．（15分）甲、乙、丙三辆车同时从A地出发驶向B地，依次在出发后5小时、5小时、6小时与迎面驶来的一辆卡车相遇．已知甲、乙两车的速度分别是80千米/时和70千米/时，求丙车和卡车的速度．16．（15分）将66个乒乓球放入10个盒子中，要求每只盒子都要有乒乓球，有且只有两个盒子中的乒乓球的个数相同，能办到吗？若能办到，请说明一种具体方法．若办不到，请说明理由．2011年第9届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（四年级第2试）参考答案与试题解析一、填空（每小题5分，共60分）1．（5分）计算：234+432﹣4×8+330÷5=700．【分析】先计算算式中的乘法与除法，得到算式234+432﹣32+66，将这个算式中66使用加法交换律使它与234相加，然后再按照整数的四则混合运算进行计算即可得到答案．【解答】解：234+432﹣4×8+330÷5，=234+432﹣32+66，=234+66+432﹣32，=300+432﹣32，=732﹣32，=700．故答案为：700．2．（5分）四（1）班全体同学站成一排，当从左往右报数时，小华报：18；当从右往左报数时，小华报：13．那么，该班有学生30名．【分析】根据题意，可知小华的左边有17人，右边有12人，由此即可求得该班总人数．【解答】解：小华的左边有17人，右边有12人，17+12+1=30（人）；答：该班有学生30名．故答案为：30．3．（5分）如果25×口÷3×15+5=2005，那么口16．【分析】由题目可以看出：25×口÷3×15是2005与5的差，即为2000；25×口÷3是2000与15的商，即为2000÷15；25×口是2000÷15与3的积，即为400；由此可以求出□的值．【解答】解：25×口÷3×15=2005﹣5=200，25×口÷3=2000÷15，25×口=2000÷15×3=400，25×口=400，□=16；答：ϖ应是16．故此题答案为：16．4．（5分）如图是由25个面积等于1的小正方形组成的大正方形，图中面积是6的长方形有24个．【分析】根据方类数图形的计数原理和方法，分别计算出行、列所包含的面积是6的长方形的个数，然后合并起来即可．【解答】解：图形中行所包含的面积是6的长方形是：3×4=12（个）；图形中列所包含的面积是6的长方形也是12个；一共有：12+12=24（个）；答：图中面积是6的长方形有24个．故答案为：24．5．（5分）在括号内填上两个相邻的整数3、4，使等式成立．【分析】根据题意，由分析分数的拆项，，就可以求出结果．【解答】解：由可知，这两个连续的自然数的积是12，因3×4=12，所以，==，故答案是：3、4．6．（5分）由数字0，3，6组成的所有三位数的和1899．【分析】根据题干，利用枚举法列举出0，3，6可以组成的所有三位数，①0不能为最高位；②3为最高位时可以组成：360；306；③6为最高位时可以组成：603；630．即可计算得出正确答案．【解答】解：根据题干分析可得：360+306+630+603=1899，答：由数字0，3，6组成的所有三位数的和是1899．故答案为：1899．7．（5分）某种品牌的电脑降价20%后，每台售价为4592元，则该品牌电脑降价前每台售价5740元．【分析】“降价20%”是把电脑原来的价格看作单位“1”，按原来价格的1﹣20%=80%出售，所以原来的价格为4592÷80%．【解答】解：4592÷（1﹣20%），=4592÷80%，=5740（元）；答：该品牌电脑降价前每台售价5740元．故答案为：5740．8．（5分）已知两个自然数的积是35，差是2，则这两个自然数的和是12．【分析】因为两个自然数的积是35，所以这两个数一定是5和7，故和为：5+7=12．【解答】解：设这两个数分别为a和b，则a×b=35．又a、b都是自然数，在自然数范围内，积为35的只有5和7．所以a+b=12．故答案为：12．9．（5分）把1991，1992，1993，1994，1995分别填入图中的5个方格中，使得横排的三个方格中的数的和等于竖列的三个方格中的数的和．则中间方格中能填的数是1991，1993，1995．【分析】为了便于计算研究，我们把这五个数只取个位上的数字分别为：1、2、3、4、5．因为在横竖排的和中都含有中间的数字，设中间的数字为a，所以根据题意可表示出每排三个数字的和：（1+2+3+4+5+a）÷2=（15+a）÷2，要使（15+a）能被2整除，a只能等于1或3或5；故中间方格中能填的数是：1991，1993，1995．【解答】解：为了便于计算研究，我们把这五个数只取个位上的数字分别为：1、2、3、4、5．设中间的数字为a，所以根据题意可表示出每排三个数字的和：（1+2+3+4+5+a）÷2，=（15+a）÷2，要使（15+a）能被2整除，又因为这五个数是整数，所以a只能等于1或3或5；也就是代表的原数1991，1993，1995．故答案为：1991，1993，1995．10．（5分）图是3×3的正方形方格，∠1与∠2相比，较大的是∠1．【分析】借助正方形和线段构成的角来比较角的大小．：∠1=180°﹣（∠3+∠4），∠2=180°﹣（∠4+∠5）=180°﹣2∠4．很明显∠3＜∠4，所以180°﹣（∠3+∠4）＞180°﹣2∠4．即∠1＞∠2．【解答】解：∠1=180°﹣（∠3+∠4），∠2=180°﹣（∠4+∠5）=180°﹣2∠4．很明显∠3＜∠4，所以180°﹣（∠3+∠4）＞180°﹣2∠4．即∠1＞∠2．11．（5分）小明从家出发，先向东偏北30°的方向跑了350米到达点A，接着向北偏西30°的方向跑了200米到达点B，然后又向西偏南30°的方向跑了350米到达点C，这时小明距家200米．【分析】可根据上北下南，左西右东的方法进行作图，如图可连接C点与小明的家，可以看出小明跑过的路程为一个长方形，根据长方形的对边相等的性质，小明家距离C点有200米．【解答】解：如图小明站在C点时距离小明家的距离=点A到点B的距离，故答案为：200．12．（5分）在图的九个方格里，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，则N=18．【分析】先确定每行、每列、每条对角线上的三个数的和，8+6+16=30；再确定对角线上的中心数：30﹣8﹣12=10，然后求出右上角的数：30﹣16﹣10=4；最后得出第一行中间的数N=30﹣8﹣4=18．【解答】解：每行、每列、每条对角线上的三个数的和是：8+6+16=30；中心数是：30﹣8﹣12=10，右上角的数是：30﹣16﹣10=4；第一行中间的数是：N=30﹣8﹣4=18．二、解答题（每小题15分，共60分）每题都要写出推算过程．13．（15分）将一副三角板摆放在一起（可以叠放），使同时出现15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°这七个角，请画图说明并表示出这些角．【分析】30°、45°、60°、90°的角在三角板中能找出，可直接利用三角板画出，15°、75°、105°的角要用两个三角板中的角组合画出．【解答】解：所要画出的角如下图：14．（15分）连续写出从1开始的自然数，写到2008时停止，得到一个多位数：123456789…2008请说明：这个多位数除以3，得到的余数是几？为什么？【分析】能被3整除的数的特征，各位数字和被3整除的数，本身能被3整除．各位数字和被3除余几，原数被3除就余几．【解答】解：（1+2+3+ (2008)=（1+2008）×2008÷2=2017036．（2+1+7+3+6）÷3，=19÷3，=6…1；则可推得原数字123…2008被3除余1．答：这个多位数除以3，得到的余数是1．15．（15分）（2010•拱墅区校级自主招生）甲、乙、丙三辆车同时从A地出发驶向B地，依次在出发后5小时、5小时、6小时与迎面驶来的一辆卡车相遇．已知甲、乙两车的速度分别是80千米/时和70千米/时，求丙车和卡车的速度．【分析】已知三车与卡车的相遇时间及甲乙两车的速度，因此可先据速度差×时间=路程差求出甲车与卡车相遇时比乙车多行的路程，即此时卡车和乙车的距离，然后再据路程÷相遇时间=速度和，即能求出卡车的速度；求出卡的速度后再据和丙车的相遇时间即能求出丙的速度．【解答】解：卡车的速度为：[（80﹣70）×5]÷（55）﹣70=50﹣70，=120﹣70，=50（千米/小时）．丙车的速度为：[（80+50）×5]÷﹣50=650÷﹣50，=100﹣50，=50（千米）．答：卡车的速度与丙车的速度同为每小时50千米．16．（15分）将66个乒乓球放入10个盒子中，要求每只盒子都要有乒乓球，有且只有两个盒子中的乒乓球的个数相同，能办到吗？若能办到，请说明一种具体方法．若办不到，请说明理由．【分析】每个盒子都放，且数目都不一样，至少用1+2+…+10=55个乒乓球，还剩下66﹣55=11个，从1﹣﹣9个的里面任取一个盒子，再放入一个球，例如在放了4个的里面再放一个，这样就有两个盒子有5个球，然后把剩下的10个球都放入最后一个盒子，由此即可得出10个盒子里面的数目．【解答】解：此题的答案有很多，只要把66拆成符合条件的10个数相加即可，这里只说一种方法，首先每个盒子都放，且数目都不一样，至少用的乒乓球的个数是：1+2+…+10=55（个），还剩下：66﹣55=11（个），从1﹣﹣9个的里面任取一个盒子，再放入一个球例如在放了4个的里面再放一个，这样就有两个盒子有5个球，然后把剩下的10个球都放入最后一个盒子，10个盒子里面的数目为：1，2，3，5，5，6，7，8，9，20，答：能将66个乒乓球放入10个盒子中，每只盒子都要有乒乓球，并且只有两个盒子中的乒乓球的个数相同．参与本试卷答题和审题的老师有：pyzq；xiaosh；rdhx；姜运堂；吴涛；齐敬孝；xuetao；春暖花开；admin；zhuyum（排名不分先后）菁优网2017年2月8日第11页（共11页）。
第十四届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷(六年级第2试)
2016年第十四届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（六年级第2试）一、填空题（每小题5分，共60分）1．（5分）计算：3×1.3+3÷2＝．2．（5分）已知 a＝0.5，b＝，则a﹣b是的倍．3．（5分）若+++＜，则自然数x的最小值为．4．（5分）定义：如果a：b＝b：c，那么b称为a和c的比例中项；如1：2＝2：4，则2是1和4的比例中项．已知 0.6是0.9和x的比例中项，是和y的比例中项，则x+y＝．5．（5分）A，B，C 三人单独完成一项工程所用的时间如图1所示，若A上午8：00开始工作，27分钟后，B和C加入，三人一起工作，则他们完成这项工作的时刻是时；分．6．（5分）如图，A、B盘的盘面各被四等分和五等分，并且分别标有数字，两盘各自按不同的速度绕盘心转动，若指针指向A盘的数字是a，指针指向B盘的数字是b，则两位ab是质数的概率为．7．（5分）在算式“×8＝×5”中，不同的汉字代表不同的数字，则“”所代表的六位偶数是．8．（5分）如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边DC上，AE ＝2ED，DF＝3FC．则△BEF的面积与正方形ABCD的面积比值为．9．（5分）如图是由两个直径为2的圆和四个腰长为2的等腰直角三角形组成，则图中的阴影部分面积是．（π＝3）10．（5分）已知三个最简真分数的分母分别是 6，15 和 20，它们的乘积是，则在这三个最简真分数中，最大的数是．11．（5分）将100个乒乓球放入从左到右排成一行的26个盒子中，如果最左边的盒子中有4个乒乓球，且任意相邻的4个盒子中乒乓球的个数和都是15，那么最右边的盒子中有乒乓球个．12．（5分）两根粗细相同，材料相同的蜡烛，长度比是21：16，它们同时开始燃烧，18分钟后，长蜡烛与段蜡烛的长度比是15：11，则较长的那根蜡烛还能燃烧分钟．二、解答题（每小题15分，共60分）每题都要写出推算过程.13．（15分）如图所示，图①由1个棱长为1的小正方体堆成，图②由5个棱长为1的小正方体堆成，图③由14个棱长为1的小正方体堆成，按照此规律，求：（1）图⑥由多少个棱长为1的小正方体堆成？（2）图⑩所示的立体图形的表面积．14．（15分）解方程：[x]×{x}+x＝2{x}+9，其中[x]表示如x的整数部分，{x}表示x的小数部分．如[3.14]＝3，{3.14}＝0.14．（要求写出所有的解）15．（15分）阿春、阿天、阿真、阿美、阿丽五个小朋友按顺序取出盒子中的糖果，取完后，他们依次说了下面的话：阿春：“大家取的糖果个数都不同”阿天：“我取了剩下的糖果的个数的一半．”阿真：“我取了剩下的糖果的”阿美：“我取了剩下的全部糖果．”阿丽：“我取了剩下的糖果的个数的一半．”请问：（1）阿真是第几个取糖果的？（2）已知每人都取到糖果，则这盒糖果最少有多少颗？16．（15分）甲、乙两人同时从山底开始沿同一条路爬山，到达山顶后就立即沿原路返回．已知他们两人下山的速度都是各自上山速度的 3 倍．甲乙在离山顶 150 米处相遇，当甲回到山底时，乙刚好下到半山腰，求山底到山顶的路程．2016年第十四届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（六年级第2试）参考答案与试题解析一、填空题（每小题5分，共60分）1．（5分）计算：3×1.3+3÷2＝ 6 ．【解答】解：3×1.3+3÷2＝3.75×1.3+3×＝0.375×13+3×＝×13+3×＝（13+3）×＝16×＝6故答案为：6．2．（5分）已知 a＝0.5，b＝，则a﹣b是的13 倍．【解答】解：（a﹣b）÷＝（0.5﹣）÷＝（﹣）÷＝÷＝13；故答案为：13．3．（5分）若+++＜，则自然数x的最小值为 3 ．【解答】解：+++＜+++＜＜x＞≈2.6因为x是自然数，所以x的最小值为3．答：自然数x的最小值为3．故答案为：3．4．（5分）定义：如果a：b＝b：c，那么b称为a和c的比例中项；如1：2＝2：4，则2是1和4的比例中项．已知 0.6是0.9和x的比例中项，是和y的比例中项，则x+y＝0.48 ．【解答】解：依据题意得：0.9：0.6＝0.6：x0.9x＝0.6×0.60.9x＝0.36x＝0.36÷0.9x＝0.4；：＝：yy＝×y＝÷y＝0.08x+y＝0.4+0.08＝0.48．故答案为：0.48．5．（5分）A，B，C 三人单独完成一项工程所用的时间如图1所示，若A上午8：00开始工作，27分钟后，B和C加入，三人一起工作，则他们完成这项工作的时刻是9 时；57 分．【解答】解：由题意可知A的效率是，B的效率是，C的效率是，A工作27分钟，转换成小时单位是，A工作量是＝，剩余工作总量为，三个人的效率和是，工作时间为：（小时），在8：27分再加上1.5小时是9：57分．故答案为：9：57．6．（5分）如图，A、B盘的盘面各被四等分和五等分，并且分别标有数字，两盘各自按不同的速度绕盘心转动，若指针指向A盘的数字是a，指针指向B盘的数字是b，则两位ab是质数的概率为35% ．【解答】解：数字1开始的质数有11，13，17数字2开始的质数有23数字3开始的数字有31，37数字5开始的质数有53共计7个质数．组成两位数的情况有1开始的后面可以是1，2，3，5，7共5种．2，3，5开始的分别有5种．计算5+5+5+5＝4×5＝20种%＝35%故答案为：35%7．（5分）在算式“×8＝×5”中，不同的汉字代表不同的数字，则“”所代表的六位偶数是256410 ．【解答】解：依题意可知：（+）×8＝整理得：＝×4992；7995与4992有公因数39，可以约分．×205＝×128；此时205和128互质，说明是205的倍数，是128的倍数，根据题目要求本身要为偶数，且这六个数不可以重复．当为205的2倍时满足．故答案为：2564108．（5分）如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边DC上，AE ＝2ED，DF＝3FC．则△BEF的面积与正方形ABCD的面积比值为．【解答】解：依题意可知：设正方形的边长为12．正方形的面积为12×12＝144．阴影的面积为：S＝144﹣（12×8+4×9+3×12）＝60．△BEF的面积与正方形ABCD的面积比值为60：144化简为5：12．故答案为：．9．（5分）如图是由两个直径为2的圆和四个腰长为2的等腰直角三角形组成，则图中的阴影部分面积是 4.5 ．（π＝3）【解答】解：见上图，根据分析可得，大等腰三角形面积为：2×（2×2）÷2＝4，半圆面积为：3×（2÷2）2÷2＝1.5，小等腰三角形面积为：2×（2÷2）÷2＝1，弓形面积为：1.5﹣1＝0.5，整体阴影面积为：4+0.5＝4.5，答：图中的阴影部分面积是 4.5．故答案为：4.5．10．（5分）已知三个最简真分数的分母分别是 6，15 和 20，它们的乘积是，则在这三个最简真分数中，最大的数是．【解答】解：依题可知设这三个数分别为，因为，则abc＝60．将60分解60＝2×2×3×5，因为三个分数均为真分数，故c＝3，a＝5，b＝4．所以最大是．综上所述最大分数是．故答案为：．11．（5分）将100个乒乓球放入从左到右排成一行的26个盒子中，如果最左边的盒子中有4个乒乓球，且任意相邻的4个盒子中乒乓球的个数和都是15，那么最右边的盒子中有乒乓球 6 个．【解答】解：根据分析，26盒分成：26÷4＝6（组）…2（个）．∵任意相邻的 4 个盒子中乒乓球的个数和都是 15，所以处于位置1，5，9…25 的盒子里球的个数均为 4．最右边的盒子中有乒乓球：100﹣（15×6+4）＝6（个）．故答案是：612．（5分）两根粗细相同，材料相同的蜡烛，长度比是21：16，它们同时开始燃烧，18分钟后，长蜡烛与段蜡烛的长度比是15：11，则较长的那根蜡烛还能燃烧150 分钟．【解答】解：根据分析，21﹣16＝5，15﹣11＝4，则：两段蜡烛的比为21：16＝（21×4）：（16×4）＝84：64；18分钟后：15：11＝（15×5）：（11×5）＝75：55，长蜡烛燃烧了：84﹣75＝9份，段蜡烛也燃烧了：64﹣55＝9份，每份燃烧了：18÷9＝2分钟，较长的蜡烛还能燃烧：75×2＝150分钟．故答案是：150．二、解答题（每小题15分，共60分）每题都要写出推算过程.13．（15分）如图所示，图①由1个棱长为1的小正方体堆成，图②由5个棱长为1的小正方体堆成，图③由14个棱长为1的小正方体堆成，按照此规律，求：（1）图⑥由多少个棱长为1的小正方体堆成？（2）图⑩所示的立体图形的表面积．【解答】解：（1）根据观察，图①中有12小正方体；图②有1+22个小正方体；图③有1+22+32个小正方体；图④有1+22+32+42个小正方体；图⑤有1+22+32+42+52个小正方体；图⑥有1+22+32+42+52+62＝91个小正方体，故答案是：91．（2）堆积体的表面积包括：前后2面、左右2面和上下2面．图⑩中有12+22+32+42+52+62+72+82+92+102＝385个小正方体，表面积为：2×（1+2+3+…+10）+2×（1+2+3+…+10）+2×10×10＝420．故答案为：420．14．（15分）解方程：[x]×{x}+x＝2{x}+9，其中[x]表示如x的整数部分，{x}表示x的小数部分．如[3.14]＝3，{3.14}＝0.14．（要求写出所有的解）【解答】解：根据分析，设x的整数部分为a，a≥1；x的小数部分为b，0≤b＜1，依题意：ab+a+b＝2b+9，整理得：（a﹣1）（b+1）＝8，∵1≤b+1＜2，∴4＜a﹣1≤8，且a﹣1为整数．①当a﹣1＝8，即a＝9，b＝0，x＝9；②当a﹣1＝7，a＝8，b＝，x＝；③当a﹣1＝6，即a＝7，b＝，x＝；④当a﹣1＝5，即a＝6，b＝，x＝．综上，方程的解为：x＝9；x＝；x＝；x＝．故答案是：x＝9；x＝；x＝；x＝．15．（15分）阿春、阿天、阿真、阿美、阿丽五个小朋友按顺序取出盒子中的糖果，取完后，他们依次说了下面的话：阿春：“大家取的糖果个数都不同”阿天：“我取了剩下的糖果的个数的一半．”阿真：“我取了剩下的糖果的”阿美：“我取了剩下的全部糖果．”阿丽：“我取了剩下的糖果的个数的一半．”请问：（1）阿真是第几个取糖果的？（2）已知每人都取到糖果，则这盒糖果最少有多少颗？【解答】解：（1）根据题意，阿春是第1个取糖果的，因为阿美取了剩下的全部糖果，所以阿美是最后1个取糖果的；因为阿天和阿丽不能在倒数第2的位置，否则跟最后1个的个数相同，所以阿真是倒数第2个取糖果的，所以阿真是第4个取糖果的．（2）若使这盒糖果最少，则倒数第1个人取1颗，则倒数第2个人取：1×（÷）＝2（颗）1+2+（1+2）+（1+2+3）+4＝3+3+6+4＝16（颗）答：这盒糖果最少有16颗．16．（15分）甲、乙两人同时从山底开始沿同一条路爬山，到达山顶后就立即沿原路返回．已知他们两人下山的速度都是各自上山速度的 3 倍．甲乙在离山顶 150 米处相遇，当甲回到山底时，乙刚好下到半山腰，求山底到山顶的路程．【解答】解法一：在离山顶 150 米处相遇时，两人的路程差为200米，甲、乙的速度比为8：7，因此甲上山路程为×8＝1600，这1600米中有50米是假设继续上山的结果，因此山底到山顶的路程＝1600﹣50＝1550米．解法二：设甲上山的速度是x，则下山的速度是3x．乙上山的速度是y，则下山的速度是3y，山顶到山底的距离为s．，由①得，由②得，∴，∴s＝1550（米），综上所述答案为1550米．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/4/22 15:47:00；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@；学号：20913800。
第二十三届“ 希望杯” 全国数学邀请赛高二第2试试题
第二十三届 希望杯 全国数学邀请赛高二㊀第2试试题一㊁选择题(每小题4分,共40分.)1.已知集合P ={x |0ɤx ɤ5,x ɪZ },Q ={y |y =|x 2-1|,x ɪP },则P ɘQ 中元素的个数是()(A )3.(B )6.(C )8.(D )9.2.方程l o g 13|x |=s i n (π2-12x )的实根的个数是()(A )2.(B )4.(C )6.(D )8.3.命题p :不经过第一象限的图象所对应的函数一定不是幂函数.命题q :函数y =x +2x的单调递增区间是[-2,0)ɣ[2,+ɕ),则下列命题中,真命题是()(A )p ɡq .(B )(ʏp )ᶱq .(C )(ʏp )ɡ(ʏq ).(D )p ɡ(ʏq ).4.设a ,c 是正实数,则对于每个实数t ,抛物线y =a x 2+t x +c 的顶点在x O y 平面内组成的图形是()(A )一条直线.(B )一条抛物线.(C )一条抛物线的一部分而不是全部.(D )双曲线的一支.5.T h em i n i m u mv a l u e o f t h e f u n c t i o n y =x 2-2x +5+x 2+4i s ()(A )4.(B )32.(C )25.(D )17.6.若对于任意实数x ,都有t 2+5t ɤ|2x -4|-|x +2|恒成立,则t 的取值范围是()(A )[1,4].(B )[-4,-1].(C )(-ɕ,1]ɣ[4,+ɕ).(D )(-ɕ,-4]ɣ[-1,+ɕ).7.已知数列{a n }的通项公式为a n =(49)n -1-(23)n -1(n ɪN ∗),则数列{a n }()(A )有最大项,没有最小项.(B )有最小项,没有最大项.(C )既有最大项又有最小项.(D )既没有最大项也没有最小项.8.已知函数f (x )=(1-t a n 2x 1+t a n 2x )2,则f (x )的最小正周期是()(A )2π.(B )32π.(C )π.(D )π2.9.双曲线x 2-y 22=1在点(-2,2)处的切线的方程是()(A )y =-x +2.(B )y =-x +32.(C )y =-2x -2.(D )y =-2x +32.10.已知向量O A ң=(-2,0),O B ң=(2,2),B C ң=(2c o s θ,2s i n θ)(0ɤθ<2π),则向量O A ң与O C ң的夹角的取值范围是()(A )[7π6,11π6].(B )[7π12,11π12].(C )[2π3,5π3].(D )[5π4,7π4].二㊁填空题(每小题4分,共40分.)11.函数f (x )=l n x x -1的定义域是.12.三角式6t a n 10ʎ+42c o s 80ʎ的值等于.13.已知数列{a n }中,a 1=2,a n +1=1+a n 1-a n .记数列{a n }的前n 项的乘积为ᵑn ,则ᵑ2012=.14.H o w m a n yp o s i t i v e r o o t sd o e s t h ee q u a t i o n (x +12)2012-x 2012+2x +12=0h a v e ?.15.不等式c o s 2θ+22c o s θ>1的解集是.16.已知向量a ,b ,c 是三个具有公共起点的非零向量,且|a |=2|b |=2,又a ㊃b =-1, a -c ,b -c ⓪=π3,则当|a -c |=7时,向量a 与c 的夹角是.17.若数列{x n }满足条件x 1=3,x n +1=x 2n +12x n,则该数列的通项公式x n =.18.已知点M 是әA B C 所在平面内的一点,且满足MA 2+M B 2+M C 2=4,那么әA B C 三条边长之积A B ㊃B C ㊃C A的最大值是.图119.如图1,正方体A B C D A ᶄB ᶄC ᶄD ᶄ中,E E ᶄʊF F ᶄʊB B ᶄ,平面A E E ᶄA ᶄ与平面A B B ᶄA ᶄ成15ʎ角,平面A F F ᶄA ᶄ与平面A D D ᶄA ᶄ成30ʎ角.如果正方体的棱长为1,那么几何体A E F A ᶄE ᶄF ᶄ的体积等于.20.已知A ,B 是抛物线y 2=4x 上的两个动点,且|A B |=3,则当A B 的中点M 到y 轴的距离最短时,点M 的横坐标是.三㊁解答题每题都要写出推算过程.21.(本题满分10分)解不等式l o g a (x 2+1+x )+l o g a (x 2-2x +10+x -1)ȡl o g a 3(a >0且a ʂ1).22.(本题满分15分)已知正三棱锥底面的一个顶点与它所对的侧面的重心的距离为4,求此正三棱锥的体积的最大值.23.(本题满分15分)图2椭圆C :x 2+y 24=1(0ɤx ɤ1,0ɤy ɤ2)在第一象限内的一段弧记为A B ,点P (x ,y )在弧A B 上,如图2.(1)用t (P )表示椭圆C 在P 点处的切线的单位向量,方向是依椭圆的逆时针走向.求向量t (P )的解析式;(2)令函数f (P )=t (P )㊃O P ң,写出函数f (P )ʉf (x )的解析式;(3)求函数f (P )的最大值及取得最大值时的点P 的坐标,并确定函数f (P )ʉf (x )的值域.。
2000年第11届“希望杯”全国数学邀请赛试卷(初二第1试)(解析版)
2000年第11届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初二第1试）一、选择题（共10小题，每小题6分，满分60分）1．（6分）与的关系是（）A．互为倒数B．互为相反数C．互为负倒数D．相等2．（6分）已知x≠0，则的值是（）A．0 B．﹣2 C．0或﹣2 D．0或23．（6分）适合|2a+7|+|2a﹣1|=8的整数a的值的个数有（）A．5 B．4 C．3 D．24．（6分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠D=2∠B，若AD=a，AB=b，则CD 的长等于（）A．b﹣a B．b﹣C．（b﹣a）D．2（b﹣a）5．（6分）有四条线段，a=14，b=13，c=9，d=7，用a、c分别作一个梯形的下、上两底，用b、d分别作这个梯形的两腰（作出的全等的梯形算一种），那么这样的梯形（）A．只能作一种B．可以作两种C．可以作无数种D．一种也作不出6．（6分）当1≤x≤2时，代数式可以化简为（）A．0 B．2 C．2D．﹣27．（6分）已知=a，=b，则用a、b表示为（）A． B． C．D．8．（6分）互不相等的三个正数a、b、c恰为一个三角形的三条边长，则以下列三数为长度的线段一定能构成三角形的是（）A．B．a2，b2，c2C．D．|a﹣b|，|b﹣c|，|c﹣a|9．（6分）在一个凸八边形中，每三个顶点形成三个角（如又A、B、C三个顶点形成∠ABC、∠BAC、∠ACB），一共可以作出168个角，那么这些角中最小的一个一定（）A．小于或等于20°B．小于或等于22.5°C．小于或等于25°D．小于或等于27.5°10．（6分）设a、b、c均为正数，若，则a、b、c三个数的大小关系是（）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜b＜a二、填空题（共15小题，每小题6分，满分90分）11．（6分）分解因式a3b+ab+30b的结果是．12．（6分）若实数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，则﹣|b﹣a|+|b+c|等于．13．（6分）已知分式的值是﹣，那么x的值应是．14．（6分）如图，∠1=27.5°，∠2=85°，∠3=38.5°，则∠4=度．15．（6分）设A1A2A3…A n是一个有n个顶点的凸多边形，对每一个顶点A i（i=1，2，3，…，n），将构成该角的两边分别向外延长至A i1，A i2，连接A i1A i2得到两个角∠A i1，∠A i2，那么所有这些新得到的角的度数的和是．16．（6分）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=7，过顶点A作∠BAD的平分线交BC于E，过E作EF⊥ED交AB于F，则EF的长等于．17．（6分）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2，D是AC的中点，过D作DE⊥AC与CB的延长线交于E，以AB、BE为邻边作长方形ABEF，连接DF，则DF的长等于．18．（6分）某次数学竞赛第一试有试题25道，阅卷规定：每答对一题得4分，每答错（包括未答）一题扣除一分，若得分不底于60分的同学可以参加二试，那么参加二试的同学在一试中至少需答对的题数是．19．（6分）若510510的所有质因数按照从小到大的顺序排列为a1，a2，a3，…，a k（k是最大的质因数的序号），则（a1﹣a2）（a2﹣a3）（a3﹣a4）…（a k﹣1﹣a k）的值是．20．（6分）两个七进制整数454与5的商的七进制表示为．21．（6分）已知a+=，则a5+=．22．（6分）一项工程，甲单独完成需要a天，乙单独完成需要b天，a、b都是自然数，现在乙先工作3天后，甲、乙再共同工作1天恰好完工，则a+b的值等于或．23．（6分）一个凸多边形的某一个内角的外角与其余内角的和恰为500°，那么这个多边形的边数是或．24．（6分）小张以两种形式储蓄了500元，第一种储蓄的年利率为3.7%，第二种储蓄的年利率为2.25%，一年后得到利息为15.6元，那么小张以这两种形式储蓄的钱数分别是和．25．（6分）若a为整数，且分式﹣的值是正整数，则a的值等于或．2000年第11届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初二第1试）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题6分，满分60分）1．（6分）与的关系是（）A．互为倒数B．互为相反数C．互为负倒数D．相等【解答】解：===﹣（+），故选：B．2．（6分）已知x≠0，则的值是（）A．0 B．﹣2 C．0或﹣2 D．0或2【解答】解：∵x≠0，∴①x＞0，∴==0；②x＜0，∴==﹣2，故选：C．3．（6分）适合|2a+7|+|2a﹣1|=8的整数a的值的个数有（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：由此可得2a为﹣6，﹣4，﹣2，0的时候a取得整数，共四个值．故选：B．4．（6分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠D=2∠B，若AD=a，AB=b，则CD 的长等于（）A．b﹣a B．b﹣C．（b﹣a）D．2（b﹣a）【解答】解：延长AD，BC相交于E．因为CD∥AB，∴∠ABC=∠DCE．∵∠ADC=∠AEB+∠ECD=2∠ABC=2∠ECD，∴∠ECD=∠AEB=∠ABC．∴CD=DE=AE﹣AD=AB﹣AD=b﹣a．故选：A．5．（6分）有四条线段，a=14，b=13，c=9，d=7，用a、c分别作一个梯形的下、上两底，用b、d分别作这个梯形的两腰（作出的全等的梯形算一种），那么这样的梯形（）A．只能作一种B．可以作两种C．可以作无数种D．一种也作不出【解答】解：∵a﹣c=14﹣9=5．（a﹣c）+d＜b∴以b，d，a﹣c为边的三角形不存在．∴这个梯形不存在．故选：D．6．（6分）当1≤x≤2时，代数式可以化简为（）A．0 B．2 C．2D．﹣2【解答】解：代数式=﹣∵0≤x﹣1≤1，∴原式=﹣（1﹣）=2，故选：C．7．（6分）已知=a，=b，则用a、b表示为（）A． B． C．D．【解答】解：由题意得：===．故选：D．8．（6分）互不相等的三个正数a、b、c恰为一个三角形的三条边长，则以下列三数为长度的线段一定能构成三角形的是（）A．B．a2，b2，c2C．D．|a﹣b|，|b﹣c|，|c﹣a|【解答】解：A、任取一组数：a=2，b=4，c=5，∵＞+，∴不能构成三角形．B、任取一组数：a=3，b=4，c=2，∵42＞32+22，∴不能构成三角形．C、能构成三角形．D、任取一组数：a=3，b=4，c=2，∴|a﹣b|=1，|b﹣c|=2，|c﹣a|=1，∵1+1=2，∴不能构成三角形．故选：C．9．（6分）在一个凸八边形中，每三个顶点形成三个角（如又A、B、C三个顶点形成∠ABC、∠BAC、∠ACB），一共可以作出168个角，那么这些角中最小的一个一定（）A．小于或等于20°B．小于或等于22.5°C．小于或等于25°D．小于或等于27.5°【解答】解：因为凸八边形内角和（8﹣2）×180°=1080°，即正凸八边形每个内角为1080°÷8=135°，所以凸八边形最小内角小于等于135°．设最小内角的顶点为A，连接点A与所有和A不相邻的点，可以把角A分为6个角，因为135°÷6=22.5°，所以其中最小的一个角一定小于或等于22.5°．故选：B．10．（6分）设a、b、c均为正数，若，则a、b、c三个数的大小关系是（）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜b＜a【解答】解：∵a、b、c均为正数，根据，则，上式同时加1得：，化简得：，∴c＜a＜b．故选：A．二、填空题（共15小题，每小题6分，满分90分）11．（6分）分解因式a3b+ab+30b的结果是b（a+3）（a2﹣3a+10）．【解答】解：a3b+ab+30b，=b（a3+a+30），=b[（a3+27）+（a+3）]，=b[（a+3）（a2﹣3a+9）+（a+3）]，=b（a+3）（a2﹣3a+10）．故答案为：b（a+3）（a2﹣3a+10）．12．（6分）若实数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，则﹣|b﹣a|+|b+c|等于﹣a﹣2c．【解答】解：由数轴可知，c＜b＜0＜a，∴b﹣a＜0，b+c＜0，=|c|=﹣c，∴|b﹣a|=﹣（b﹣a），|b+c|=﹣（b+c），∴﹣|b﹣a|+|b+c|=﹣c+（b﹣a）﹣（b+c）=﹣c+b﹣a﹣b﹣c=﹣a﹣2c．故答案为﹣a﹣2c．13．（6分）已知分式的值是﹣，那么x的值应是．【解答】解：根据题意得=﹣，那么有x2﹣x+=0，（x﹣）2=0，∴x=≠0．故答案为：．14．（6分）如图，∠1=27.5°，∠2=85°，∠3=38.5°，则∠4=29度．【解答】解：依题意得：∠1+∠4=180°﹣（∠2+∠3）=180°﹣123.5°=56.5°，∴∠4=56.5°﹣27.5°=29°．故填29°．15．（6分）设A1A2A3…A n是一个有n个顶点的凸多边形，对每一个顶点A i（i=1，2，3，…，n），将构成该角的两边分别向外延长至A i1，A i2，连接A i1A i2得到两个角∠A i1，∠A i2，那么所有这些新得到的角的度数的和是360°．【解答】解：n个顶点的凸多边形内角和等于：∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n=（n﹣2）•180，∠A11+∠A12+∠A1=180 （三角形的内角和）．所以（∠A11+∠A12）+（∠A21+∠A22）+…+（∠A n1+∠A n2）=180n﹣180（n﹣2）=180×2=360．故答案为：360°．16．（6分）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=7，过顶点A作∠BAD的平分线交BC于E，过E作EF⊥ED交AB于F，则EF的长等于5．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD=4，∵AE为∠BAD的角平分线，∴∠BAE=45°，∵∠ABE=90°，∴△ABE为等腰直角三角形，即AB=BE．∴BE=CD；∵EF⊥ED，∴∠DEF=90°∴∠CED+∠BEF=90°，又∵直角△CDE中，∠CDE+∠CED=90°，∴∠CDE=∠BEF．又∵∠B=∠C=90°，∴△BEF≌△CDE．∴EF=ED．∵EC=BC﹣BE，∴EF=ED===5．故答案为5．17．（6分）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2，D是AC的中点，过D作DE⊥AC与CB的延长线交于E，以AB、BE为邻边作长方形ABEF，连接DF，则DF的长等于2．【解答】解：直角△ABC中∠ABC=90°，∠ABC=60°，∴AB=BC=2，D为AC的中点，∴CD=CB，∠CDE=∠CBA=90°，∴△CBA≌△CDE，∴AB=DE，∠CED=∠BAC=90°﹣60°=30°，∴∠DEF=60°，作DG∥AF交FE与G，可见DG为梯形ACEF的中位线，同时为FG的垂直平分线，∴DE=EF，∴△DEF为等边三角形，∴AB=DE=DF，∵AB=BC，∴DF=2．故答案为2．18．（6分）某次数学竞赛第一试有试题25道，阅卷规定：每答对一题得4分，每答错（包括未答）一题扣除一分，若得分不底于60分的同学可以参加二试，那么参加二试的同学在一试中至少需答对的题数是17．【解答】解：根据题意，设答对的题数为x，列出不等式：4x﹣（25﹣x）≥60得出x≥17所以至少答对17道题．19．（6分）若510510的所有质因数按照从小到大的顺序排列为a1，a2，a3，…，a k（k是最大的质因数的序号），则（a1﹣a2）（a2﹣a3）（a3﹣a4）…（a k﹣1﹣a k）的值是128．【解答】解：∵510510=2×3×5×7×11×13×17，∴a1=2，a2=3，a3=5，a4=7，a5=11，a6=13，a7=17，∴（a1﹣a2）（a2﹣a3）（a3﹣a4）…（a k﹣a k）=1×2×2×4×2×4=128．﹣1故答案为：128．20．（6分）两个七进制整数454与5的商的七进制表示为65．【解答】解：454（七进制）=4×7×7+5×7+4=235，5=5．235÷5=47，47÷7=6…5，故47（十进制）=65（七进制）．综上454（七进制）÷5=65（七进制）．故答案为：65．21．（6分）已知a+=，则a5+=或．【解答】解：∵a+=，∴a2﹣a+1=0，解得：a=或a=，当a=时，a5+=（）5+=，当a=时，a5+=（）5+=，故答案为：或．22．（6分）一项工程，甲单独完成需要a天，乙单独完成需要b天，a、b都是自然数，现在乙先工作3天后，甲、乙再共同工作1天恰好完工，则a+b的值等于9或10．【解答】解：+×（1+3）=1，∵a、b都是自然数，∴a=3，b=6；或a=5，b=5；或a=2，b=8∴a+b的值等于9或10．故答案为9或10．23．（6分）一个凸多边形的某一个内角的外角与其余内角的和恰为500°，那么这个多边形的边数是4或5．【解答】解：设边数为n，这个内角为x度，则0＜x＜180°根据题意，得（n﹣2）•180°﹣x+（180°﹣x）=500°解得n=3+．∵n为正整数，∴140+2x必为180的倍数，又∵0＜x＜180，∴n=4或5．故答案为：4，5．24．（6分）小张以两种形式储蓄了500元，第一种储蓄的年利率为3.7%，第二种储蓄的年利率为2.25%，一年后得到利息为15.6元，那么小张以这两种形式储蓄的钱数分别是300元和200元．【解答】解：设第一种储蓄的钱数为x元，第二种为y元，根据题意得：，解得：，即第一种储蓄的钱数为300元，第二种储蓄为200元．故答案为：300元、200元．25．（6分）若a为整数，且分式﹣的值是正整数，则a的值等于﹣1或1．【解答】解：﹣，=，=﹣，=﹣，=，∵a为整数，且分式﹣的值是正整数，∴＞0，∴a＜2，＜3，∴只有a=1或﹣1，才符合要求．故填：﹣1，1．。
2013年“希望杯”全国数学邀请赛第二试小学四五六试题
个.
图2
五年级〓第一页 共两页
12.一 个 长 方 体 形 状 的 玻 璃 缸 ,不 计 玻 璃 的 厚 度 ,量 得 长 54 厘 米 ,宽 24 厘 米 ,高 20 厘 米 ,缸 内 水 深 12
厘 米 .将 一 块 正 方 体 形 状 的 石 块 放 入 玻 璃 缸 中 ,水 面 升 高 至 16 厘 米 ,则 石 块 的 体 积 是
应当是
.
8.按规定,晓明这学期数学的综合测 评 成 绩 等 于 4 次 测 验 平 均 分 的 一 半 与 期 末 考 试 成 绩 的 一 半 之
和 .已 知4次 测 验 的 成 绩 分 别 是90分 ,85分 ,77分 ,96分 .若 晓 明 要 使 综 合 测 评 成 绩 不 低 于90分 ,则 他 在 期
到 达 上 海 .问 :这 两 次 列 车 的 运 行 的 时 间 相 差 多 少 分 钟 ?
16.李 叔 叔 承 包 了12亩 水 稻 田 ,亩 产 量 是660千 克 .林 阿 姨 比 李 叔 叔 少 承 包2亩 水 稻 田 ,水 稻 的 总 产 量 比 李 叔 叔 的 少 420 千 克 .问 :
学 载 重 8 吨 的 货 车 运 送 货 物 的 总 重 量 比 载 重 5 吨 的 货 车 运 送 货 物 的 总 重 量 多 3 吨 .则 这 批 货 物 共 多 少 吨 ?
Байду номын сангаас
数
国 15.图 3 是 一 块 宅 基 地 的 平 面 图 ,其 中 相 邻 的 两 条 线 段 都 互 相 垂 直 .求 :
1.计算:(3÷2)× (4÷3)× (5÷4)× … × (2012÷2011)× (2013÷2012)=
.
2.计算:1.5+3.16· +5112+7.05=
历年希望杯初一竞赛试题精选及答案
1.1992年第三届希望杯初中一年级第二试试题及答案2.1995年第六届希望杯初中一年第二试试题及答案3.20XX年第二十届希望杯全国数学邀请赛初一第一试希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试题一、选择题（每题1分，共10分）1．若8.0473=521.077119823，则0.80473等于[ ]A．0.521077119823．B．52.1077119823．C．571077.119823．D．0.005210 77119823．2．若一个数的立方小于这个数的相反数，那么这个数是[ ]A．正数． B．负数．C．奇数．D．偶数．3．若a＞0，b＜0且a＜|b|，则下列关系式中正确的是 [ ]A．-b＞a＞-a＞b．B．b＞a＞-b＞-a．C．-b＞a＞b＞-a．D．a＞b＞-a＞-b．4．在1992个自然数：1，2，3，…，1991，1992的每一个数前面任意添上“+”号或“-”号，则其代数和一定是 [ ]A．奇数． B．偶数．C．负整数． D．非负整数．5．某同学求出1991个有理数的平均数后，粗心地把这个平均数和原来的1991个有理数混在一起，成为1992个有理数，而忘掉哪个是平均数了．如果这1992个有理数的平均数恰为1992．则原来的1991个有理数的平均数是 [ ]A．1991.5．B．1991．C．1992．D．1992.5．6．四个互不相等的正数a，b，c，d中，a最大,d最小,且,则a+d与b+c的大小关系是[ ]A．a+d＜b+c．B．a+d＞b+c．C．a+d=b+c．D．不确定的．7.已知p为偶数,q为奇数,方程组199219933x y px y q-=⎧⎨+=⎩的解是整数,那么[ ]A.x是奇数，y是偶数．B．x是偶数，y是奇数．C．x是偶数，y是偶数．D．x是奇数，y是奇数．8．若x-y=2，x2+y2=4，则x1992+y1992的值是 [ ]A．4． B．19922．C．21992．D．41992．9．如果x，y只能取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的数，并且3x-2y=1，那么代数式10x+y可以取到[ ]不同的值．A．1个．B．2个．C．3个．D．多于3个的．10．某中学科技楼窗户设计如图15所示．如果每个符号（窗户形状）代表一个阿拉伯数码，每横行三个符号自左至右看成一个三位数．这四层组成四个三位数，它们是837，571，206，439．则按照图15中所示的规律写出1992应是图16中的[ ]二、填空题（每题1分，共10分）1.a,b,c,d,e,f是六个有理数,关且11111,,,,,23456a b c d eb c d e f=====则fa=_____.2．若三个连续偶数的和等于1992．则这三个偶数中最大的一个与最小的一个的平方差等于______．3．若x3+y3=1000，且x2y-xy2=-496，则(x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)=______．4．三个互不相等的有理数，既可表示为1，a+b,a的形式,又可表示为0,ba,b, 的形式,则a1992+b1993=________.5．海滩上有一堆核桃．第一天猴子吃掉了这堆核桃的个数的25,又扔掉4个到大海中去,第二天吃掉的核桃数再加上3个就是第一天所剩核桃数的58,那么这堆核桃至少剩下____个.6．已知不等式3x-a≤0的正整数解恰是1，2，3．那么a的取值范围是______．7．a，b，c是三个不同的自然数，两两互质．已知它们任意两个之和都能被第三个整除．则a3+b3+c3=______．8．若a=1990，b=1991，c=1992，则a2+b2+c2-ab-bc-ca=______．9．将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11这个10个自然数填到图17中10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于p．则p的最大值是______．10．购买五种教学用具A1，A2，A3，A4，A5的件数和用钱总数列成下表：那么，购买每种教具各一件共需______元．三、解答题（每题5分，共10分）1．将分别写有数码1，2，3，4，5，6，7，8，9的九张正方形卡片排成一排，发现恰是一个能被11整除的最大的九位数．请你写出这九张卡片的排列顺序，并简述推理过程．2．一个自然数a，若将其数字重新排列可得一个新的自然数b．如果a恰是b的3倍，我们称a是一个“希望数”．(1)请你举例说明：“希望数”一定存在．(2)请你证明：如果a，b都是“希望数”，则ab一定是729的倍数．答案与提示一、选择题提示：所以将8.0473=512.077119823的小数点向前移三位得0.512077119823，即为0.80473的值，选A．2．设该数为a，由题意-a为a的相反数，且有a3＜-a，∴a3+a＜0，a(a2+1)＜0，因为a2+1＞0，所以a＜0,即该数一定是负数，选B．3．已知a＞0，b＜0，a＜|b|．在数轴上直观表示出来，b到原点的距离大于a到原点的距离，如图18所示．所以-b＞a＞-a＞b，选A．4．由于两个整数a，b前面任意添加“+”号或“-”号，其代数和的奇偶性不变．这个性质对n个整数也是正确的．因此，1，2，3…，1991，1992，的每一个数前面任意添上“+”号或“-”号，其代数和的奇偶性与(-1)+2-3+4-5+6-7+8-…-1991+1992=996的奇偶性相同，是偶数，所以选B．5．原来1991个数的平均数为m，则这个1991个数总和为m×1991．当m混入以后，那1992个数之和为m×1991+m,其平均数是1992，∴m=1992，选C．6．在四个互不相等的正数a，b，c，d中，a最大，d最小，因此有a＞b，a＞c，a＞d，b＞d，c＞d．所以a+b＞b+c，成立，选B．7．由方程组以及p为偶数，q为奇数，其解x，y又是整数．由①可知x为偶数，由②可知y是奇数，选B．8．由x-y=2 ①平方得x2-2xy+y2=4 ②又已知x2+y2=4 ③所以x，y中至少有一个为0，但x2+y2=4．因此，x，y中只能有一个为0，另一个为2或-2．无论哪种情况，都有x1992+y1992=01992+(±2)1992=21992，选C．9．设10x+y=a，又3x-2y=1，代入前式得由于x，y取0—9的整数，10x+y=a的a值取非负整数．由(*)式知，要a为非负整数，23x必为奇数，从而x必取奇数1，3，5，7，9．三个奇数值，y相应地取1，4，7这三个值．这时，a=10x+y可以取到三个不同的值11，34和57，选C．二、填空题提示：与666，所以最大的一个偶数与最小的一个偶数的平方差等于6662-6622=(666+662)(666-662)=1328×4=5312．3．由于x3+y3=1000，且x2y-xy2=-496，因此要把(x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)分组、凑项表示为含x3+y3及x2y-xy2的形式，以便代入求值，为此有(x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)=x3+y3+2xy2-2x2y=(x3+y3)-2(x2y-xy2)=1000 -2(-496)=1992．4．由于三个互不相等的有理数，既可表示为1，下，只能是b=1．于是a=-1．所以，a1992+b1993=(-1)1992+(1)1993=1+1=2．5．设这堆核桃共x个．依题意我们以m表示这堆核桃所剩的数目（正整数），即目标是求m的最小正整数值．可知，必须20|x即x=20，40，60，80，……m为正整数，可见这堆核桃至少剩下6个．由于x取整数解1、2、3，表明x不小于3，即9≤a＜12．可被第三个整除，应有b|a+c．∴b≥2，但b|2，只能是b=2．于是c=1，a=3．因此a3+b3+c3=33+23+13=27+8+1=36．8．因为a=1990，b=1991，c=1992，所以a2+b2+c2-ab-bc-ca9．将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11填入这10个格子中，按田字格4个数之和均等于p，其总和为3p，其中居中2个格子所填之数设为x与y，则x、y均被加了两次，所以这3个田字形所填数的总和为2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+x+y=65+x+y于是得3p=65+x+y．要p最大，必须x，y最大，由于x+y≤10+11=21．所以3p=65+x+y≤65+21=86．所以p取最大整数值应为28．事实上，如图19所示可以填入这10个数使得p=28成立．所以p的最大值是28．10．设A1，A2，A3，A4，A5的单价分别为x1，x2，x3，x4，x5元．则依题意列得关系式如下：③×2-④式得x1+x2+x3+x4+x5=2×1992-2984=1000．所以购买每种教具各一件共需1000元．三、解答题1．解①（逻辑推理解）我们知道，用1，2，3，4，5，6，7，8，9排成的最大九位数是987654321．但这个数不是11倍的数，所以应适当调整，寻求能被11整除的最大的由这九个数码组成的九位数．设奇位数字之和为x，偶位数字之和为y．则x+y=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45．由被11整除的判别法知x-y=0，11，22，33或44．但x+y与x-y奇偶性相同，而x+y=45是奇数，所以x-y也只能取奇数值11或33．于是有但所排九位数偶位数字和最小为1+2+3+4=10＞6．所以（Ⅱ）的解不合题意，应该排除，由此只能取x=28，y=17．987654321的奇位数字和为25，偶位数字和为20，所以必须调整数字，使奇位和增3，偶位和减3才行。
第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷(四年级第2试)
2011年第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（四年级第2试）一、填空题（每小题5分，共60分）1．（5分）计算：（70÷4+90÷4）÷4＝．2．（5分）计算：898+9898+99898+999898＝．3．（5分）对运算⊙和㊣，规定：a⊙b＝a×b+b，a㊣b＝a×b﹣a，那么（2⊙3）⊙（2㊣4）＝．4．（5分）若一个能被5整除的两位数既不能被3整除，又不能被4整除，它的97倍是偶数，十位数字不小于6，则这个两位数是．5．（5分）如图中每一横行右面的一个数减去它左面相邻的一个数所得的差都相等，每一数列下面的一个数除以它上面相邻的一个数所得的商都相等，则a+b×c＝．6．（5分）如果一个两位数的3倍与4的差是10的倍数，它的4倍与15的差大于60且小于100，则这个两位数是．7．（5分）若四位数的各个数位上的数字都是偶数，并且百位上的数字是2，则这样的四位数有个．8．（5分）将长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片剪去4个同样大小的等腰直角三角形，剩余部分的面积至少是平方厘米．9．（5分）一个除法运算，被除数是10，除数比10小，则可能出现的所有不同的余数的和是．10．（5分）苹果和梨各有若干个，若每袋5个苹果和3个梨，则当梨恰好装完时，还多4个苹果；若每袋装7个苹果和3个梨，则当苹果恰好装完时，梨还多12个，那么苹果和梨共有个．11．（5分）如图，在△ABC中，AB＝BC＝CA，D、E、F分别是三边的中点，AD、BE、CF交于点O，则图中有个三角形；他们的面积有个不同的值．12．（5分）A、B、C、D四人带着一个手电筒，要通过一个黑暗的只容2人走的隧道，每次先让2人带着手电筒通过，再由一人送回手电筒，又由2人带着手电筒通过…，若A、B、C、D四人单独通过隧道分别需要3、4、5、6分钟，则他们4人都通过至少需要分钟．二、解答题（每小题15分，共60分）13．（15分）摩托车行驶120千米与汽车行驶180千米所用的时间相同，7小时内摩托车行驶的路程比6小时内汽车行驶的路程少80千米，若摩托车先出发2小时，然后汽车从同一出发点开始追赶，那么汽车出发后几小时内可以追上摩托车？14．（15分）将1，10，11，15，18，37，40这7个数分别填入图中的7个圆圈内（每个数都用到），能否使其中两条直线上的三个数的和相等，并且等于另一条直线上的三个数的和的3倍？若可以，请给出一种填法；若不能，请说明理由．15．（15分）100人参加速算测试，共10题．每题答对的人数如下表所示：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1093 90 86 91 80 83 72 75 78 59答对人数规定：答对6题或6题以上，为及格，根据上表计算至少有多少人及格．16．（15分）如图，甲乙两只小虫分别从每边长20厘米不透明的正五角星围墙的顶点A、B出发，沿外侧按逆时针方向爬行，甲每秒爬行5厘米，乙每秒爬行4厘米．问：在甲从出发到第一次爬到B的过程中，乙能看到甲的时间有多少秒？2011年第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（四年级第2试）参考答案与试题解析一、填空题（每小题5分，共60分）1．（5分）计算：（70÷4+90÷4）÷4＝10 ．【分析】可以先从括号里开始运算，而括号里两个除式，可以化成分数的形式，最后再算结果．【解答】解：根据分析，原式＝（70÷4+90÷4）÷4＝（70+90）÷4÷4＝160÷4÷4＝40÷4＝10．故答案是：10．【点评】本题考查了四则运算的巧算，突破点是，将括号里的运算进行巧算，再求最后的结果．2．（5分）计算：898+9898+99898+999898＝1110592 ．【分析】此题一看便知，这式子里的数都接近整数，用凑整法把它变成：（898+2﹣2）+（9898+2﹣2）+（99898+2﹣2）+（999898+2﹣2）＝（900﹣2）+（9900﹣2）+（99900﹣2）+（999900﹣2）＝900+9900+99900+999900﹣8．再根据特点易想到把这些凑整的数化成乘积的形式，便发现了乘法的分配律的运用，计算就简便了．【解答】898+9898+99898+999898＝（900﹣2）+（9900﹣2）+（99900﹣2）+（999900﹣2）＝900+9900+99900+999900﹣8＝9×100+99×100+999×100+9999×100﹣8＝（9+99+999+9999）×100﹣8＝（10+100+1000+10000﹣4）×100﹣8＝（11110﹣4）×100﹣8＝11110×100﹣4×100﹣8＝1111000﹣400﹣8＝1110600﹣8＝1110592【点评】此题是反复运用凑整法和乘法的分配律．并且是在解题过程中不断发现所用的运算定律．3．（5分）对运算⊙和㊣，规定：a⊙b＝a×b+b，a㊣b＝a×b﹣a，那么（2⊙3）⊙（2㊣4）＝60 ．【分析】按题意，则2⊙3＝2×3+3＝9；2㊣4＝2×4﹣2＝6，则（2⊙3）⊙（2㊣4）＝9⊙6＝9×6+6＝60．【解答】解：根据分析，则2⊙3＝2×3+3＝9，2㊣4＝2×4﹣2＝6，则（2⊙3）⊙（2㊣4）＝9⊙6＝9×6+6＝60，故答案是：60．【点评】本题考查了定义新运算，突破点是：分别算出2⊙3和2㊣4，再算出结果．4．（5分）若一个能被5整除的两位数既不能被3整除，又不能被4整除，它的97倍是偶数，十位数字不小于6，则这个两位数是70 ．【分析】显然，能被5整除，则个位只能是0或5，而它的97倍是偶数，说明此两位数是一个偶数，故可以断定此两位数个位数字为0，而十位不小于6，只能是6、7、8、9，因不能被4整除，则十位不能是6、8，故十位只能是7或9，又因为不能被3整除，故十位上只能是7．【解答】解：根据分析，能被5整除，则个位只能是0或5，而它的97倍是偶数，说明此两位数是一个偶数，故可以断定此两位数个位数字为0，而十位不小于6，只能是6、7、8、9，因不能被4整除，则十位不能是6、8，故十位只能是7或9，又因为不能被3整除，故十位上只能是7．综上，此两位数是70，故答案是：70．【点评】本题考查了数的整除特征，突破点是：从题中已知条件推测出个位数字和十位数字．5．（5分）如图中每一横行右面的一个数减去它左面相邻的一个数所得的差都相等，每一数列下面的一个数除以它上面相邻的一个数所得的商都相等，则a+b×c＝540 ．【分析】首先分析题意，横行为等差，竖列为等比数列，找到第一行公差和数列的公比即可．【解答】解：依题意可知：横行为等差，竖列为等比．根据横行为等差数列可知第一行的数字为2，4，6，8．竖行是等比数列，故18÷2＝9．所以c是2 的3倍即是6．a是4的27倍．4×27＝108．b是8的9倍72．a+b×c＝108+72×6＝540．故答案为：540【点评】本题考查对幻方的理解和运用，关键问题是找到公差和公比问题解决．6．（5分）如果一个两位数的3倍与4的差是10的倍数，它的4倍与15的差大于60且小于100，则这个两位数是28 ．【分析】显然，两位数的3倍与4的差是10的倍数，可知此两位数的三倍得到的数的个位数是4，而乘以3得到个位为4的两位数个位数为8，由它的4倍与15的差大于60且小于100，可求得此两位数的范围，不难求得此两位数．【解答】解：根据分析，两位数的3倍与4的差是10的倍数，可知此两位数的三倍得到的数的个位数是4，而乘以3得到个位为4的两位数个位数为8；由它的4倍与15的差大于60且小于100，可求得此两位数的范围：大于：＝，小于：＝，综上，此两位数为：28．故答案是：28．【点评】本题考查了因数与倍数，突破点是：根据因数与倍数的性质，以及两位数的范围求得两位数．7．（5分）若四位数的各个数位上的数字都是偶数，并且百位上的数字是2，则这样的四位数有100 个．【分析】四位数的最高位是千位，最高位上不能为0，那么可以是2，4，6，8，而百位上只是2，固定好了，那么十位和个位上可以是0，2，4，6，8，根据排列的特点可知：共有4×5×5个不同的四位数．【解答】解：千位可取2，4，6，8，十位和各位都可以取0，2，4，6，8 所以4×5×5＝100（个）故答案为：100．【点评】本题考查每个数位数字的特点，注意千位上不能取0．8．（5分）将长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片剪去4个同样大小的等腰直角三角形，剩余部分的面积至少是24 平方厘米．【分析】长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片，显然最多只能剪下4个直角边为6的等腰直角三角形，故剩下的面积不难求得．【解答】解：根据分析，如图，长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片，最多只能剪下4个直角边为6的等腰直角三角形，故剩下的部分的面积至少＝12×（8﹣6）＝24．故答案是：24【点评】本题考查剪切和拼接，突破点是：利用长方形的长和宽的值，剪切时取最大值，则剩下的部分面积最小．9．（5分）一个除法运算，被除数是10，除数比10小，则可能出现的所有不同的余数的和是10 ．【分析】除数比10小，可以将10除以1～9，得出的余数中有2个是0即除以1、5时余数为0，不同的余数为1、2、3、4，再求和即可．【解答】解：根据分析，10÷6＝1…4；10÷7＝1…3；10÷8＝1…2；10÷9＝1…1；而10÷3和10÷9余数都是1，10÷4和10÷8余数都是2，故不同的余数只有：1、2、3、4，可能出现的所有不同的余数的和＝1+2+3+4＝10．故答案是：10【点评】本题考查带余除法，突破点是：将10除以1～9，得出的余数中有2个是0即除以1、5时余数为0，不同的余数为1、2、3、4，再求和．10．（5分）苹果和梨各有若干个，若每袋5个苹果和3个梨，则当梨恰好装完时，还多4个苹果；若每袋装7个苹果和3个梨，则当苹果恰好装完时，梨还多12个，那么苹果和梨共有132 个．【分析】首先分析根据梨的数量是多12个，证明袋子少了12÷3＝4袋．再根据少的4袋苹果数量为20加上剩余的4个就是24个平均每袋多2个共12袋子，即可求解．【解答】解：依题意可知：根据梨的数量是多12个，证明袋子少了12÷3＝4袋．苹果差是4×5+4＝24个．24÷（7﹣5）＝12袋，水果总数为10×12+12＝132．故答案为：132．【点评】本题考查对分配盈亏问题的理解和运用，关键问题是找到梨的数量差找到袋子的数量差．问题解决．11．（5分）如图，在△ABC中，AB＝BC＝CA，D、E、F分别是三边的中点，AD、BE、CF交于点O，则图中有16 个三角形；他们的面积有 4 个不同的值．【分析】要求三角形的个数和不同的面积的取值，可以分情况讨论，从只含有一个小三角形的三角形开始算起，面积的不同取值也不难求得．【解答】解：根据分析，由题可知，AB＝BC＝CA，D、E、F分别是三边的中点，①只含有1个小三角形的三角形有：6个，且每个三角形的面积均相等，且均等于三角形ABC面积的；②含有2个小三角形的三角形有：3个，且每个三角形的面积均相等，且均等于三角形ABC面积的；③含有3个小三角形的三角形有：6个，且每个三角形的面积均相等，且均等于三角形ABC面积的；④含有6个小三角形的三角形有：1个，即三角形ABC，综上，则图中有16个三角形；他们的面积有4个不同的值．故答案是：16、4【点评】本题考查了三角形的面积，突破点是：根据图形的三角形的特点，分情况讨论，不难求得结果．12．（5分）A、B、C、D四人带着一个手电筒，要通过一个黑暗的只容2人走的隧道，每次先让2人带着手电筒通过，再由一人送回手电筒，又由2人带着手电筒通过…，若A、B、C、D四人单独通过隧道分别需要3、4、5、6分钟，则他们4人都通过至少需要21 分钟．【分析】四人要通过的时间要少，过隧道花费时间少的来回跑，即可得出结论．【解答】解：分两种情况讨论：第一种：A和B过，A回，4+3＝7（分钟）C和D过，B回，6+4＝10（分钟）A和B过，4（分钟）共用7+10+4＝21（分钟）；第二种：A和B过，A回，4+3＝7（分钟）A和C过，A回，5+3＝8（分钟）A和D过，6（分钟）共用7+8+6＝21分钟．所以，至少需要21分钟；故答案为21．【点评】此题是最大与最小问题，解本题的关键是安排过隧道花费时间少的送手电．二、解答题（每小题15分，共60分）13．（15分）摩托车行驶120千米与汽车行驶180千米所用的时间相同，7小时内摩托车行驶的路程比6小时内汽车行驶的路程少80千米，若摩托车先出发2小时，然后汽车从同一出发点开始追赶，那么汽车出发后几小时内可以追上摩托车？【分析】首先分析两车的路程比即是速度比，根据路程差除以速度差即可求解．【解答】解：依题意可知：摩托车速度：汽车的速度＝120：180＝2：3．每一份的路程为：80÷（3×6﹣2×7）＝20（千米）．摩托车7小时的路程为：20×7×2＝280（千米）．摩托车的速度为：280÷7＝40（千米/小时）．汽车6小时的路程为：20×6×3＝360（千米）．汽车的速度是：360÷6＝60（千米/小时）．40×2÷（60﹣40）＝4（小时）答：那么汽车出发后4小时内可以追上摩托车．【点评】本题考查对追及问题的理解和运用，关键问题是找到路程差与速度差问题解决．14．（15分）将1，10，11，15，18，37，40这7个数分别填入图中的7个圆圈内（每个数都用到），能否使其中两条直线上的三个数的和相等，并且等于另一条直线上的三个数的和的3倍？若可以，请给出一种填法；若不能，请说明理由．【分析】首先根据这7个数字求和为132．再根据这些数字除以7的余数和132除以7的余数组成7的倍数即可，【解答】解：依题意可知：设最小的和为1份，那么其他的为3份，最后加的数字和为7的倍数才行．1+10+11+15+18+37+40＝132．这7个数字除以7的余数分别为1，3，4，1，4，2，5．132÷7＝18…6．根据中间数字多加2次，那么数字和为7的倍数，那么余数是4的可以构成7的倍数．132+11+11＝154.154÷7＝21．故答案为：【点评】本题考查对凑数谜的理解和运用，关键是找到数字和是7的倍数，问题解决．15．（15分）100人参加速算测试，共10题．每题答对的人数如下表所示：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答对 93 90 86 91 80 83 72 75 78 59人数规定：答对6题或6题以上，为及格，根据上表计算至少有多少人及格．【分析】先确定出答错的总人次，不及格的至少答错5道，即可得出得出结果．【解答】解：各题答错的总人次数为7+10+14+9+20+17+28+25+22+41＝193，每有一个人不及格，则他至少答错5题，193÷5＝38…3，所以至多有38人不及格，至少有62人及格．为说明是可以的，注意41正好比38多3，所以这38个人全都在第10题上答错，剩余的答错次数恰好平均分配到其他9题上．答：至少有62人及格．【点评】此题是最大与最小问题，主要考查了数的除法，确定出各题答错的总人次是解本题的关键．16．（15分）如图，甲乙两只小虫分别从每边长20厘米不透明的正五角星围墙的顶点A、B出发，沿外侧按逆时针方向爬行，甲每秒爬行5厘米，乙每秒爬行4厘米．问：在甲从出发到第一次爬到B的过程中，乙能看到甲的时间有多少秒？【分析】设五角星的五个顶点按逆时针方向标为B、B1、B2、B3、B4，形成顶点B﹣﹣顶点B1的区间一，顶点B1﹣﹣顶点B2的区间二，以此类推到区间五．根据题意，乙能看到甲的情况是他们必须在同一时间都行走在同一区间．在区间一看到的时间：20÷5＝4（秒）；区间二看到的时间：20×2÷4＝10（秒），20×3﹣10×5＝60﹣50＝10（厘米），10÷5＝2（秒）；区间三的情况：甲到达B3的时间是（10+20+20）÷5＝10（秒），乙移动距离10×4＝40（厘米），此时乙到达B2，乙能看到甲的时间是0，据此可解答．【解答】解：区间一看到的时间：20÷5＝4（秒）；区间二看到的时间：20×2÷4＝10（秒），20×3﹣10×5＝60﹣50＝10（厘米），10÷5＝2（秒）；区间三能看到的时间：0总共乙能看到甲的时间有2+4＝6（秒）答：乙能看到甲的时间有6秒．【点评】此题一定要结合生活实际去想去思考（什么情况下乙能看到甲），然后确定解题思路，就能顺利解答，这真是生活中的数学．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/4/22 16:48:13；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@；学号：20913800。
2004年第2届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷(五年级第1试)
2004年第2届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（五年级第1试）一、填空题（共24小题，每小题5分，满分120分）1．（5分）0.4×[]×26=_________．2．（5分）根据规律填空：0.987654，0.98765，0.9877，0.988，_________，1.0．3．（5分）一个数被7除，余数是3，该数的3倍被7除，余数是_________．4．（5分）2004的约数中，比100大且比200小的约数是_________．5．（5分）右边的加法算式中，每个“□”内有一个数字，所有“□”内的数字之和最大可达到_________．6．（5分）甲、乙、丙三人掷骰子，每人掷三次，他们掷出的点数的积都是24．将每人掷出的点数的和由大到小排列，依次是甲、乙、丙，则点数3是_________掷出的．（点数：向上的一面上的数字．骰子的六个面上的点数分别是1至6）7．（5分）在一个四位数的某位数字的前面添上一个小数点，再和原来的四位数相减，差是1803.6，则原来的四位数是_________．8．（5分）（2013•北京模拟）a，b，c都是质数，并且a+b=33，b+c=44，c+d=66，那么d=_________．9．（5分）如果A#B=，那么1#2﹣2#3﹣3#4﹣…﹣2002#2003﹣2003#2004=_________．10．（5分）用1至8这八个自然数中的四个组成四位数，从个位到千位的数字依次增大，且任意两个数字的差都不是1，这样的四位数共有_________人．11．（5分）甲、乙、丙三个网站定期更新，甲网站每隔一天更新1次，乙网站每隔两天更新1次，丙网站每隔三天更新1次．在一个星期内，三个网站最少更新网站_________次．12．（5分）图中共有_________个正方形．13．（5分）如图，每个小格的边长都是1个单位长度，一只甲虫在水平方向上每爬行1个单位长度需要5秒，在竖直方向上每爬行1个单位长度需要6秒，每拐弯一次需要1秒．它从A点爬到B点，最少需要_________秒．14．（5分）将长15厘米，宽9厘米的长方形的长和宽都分成三等份，长方形内任意一点与分点及顶点连接，如图，则阴影部分的面积是_________平方厘米．15．（5分）沿如图的虚线折叠，可以围成一个长方体，它的体积是_________立方厘米．16．（5分）小永的三门功课的成绩，如果不算语文，平均分是98分；如果不算数学，平均分是93；如果不算英语，平均分是91．小永三门功课的平均成绩是_________分．17．（5分）（2013•北京模拟）A、B、C、D四支球队进行循环赛（即每两队赛1场），比赛进行一段时间后，A赛了3场，B赛了2场，C赛了1场，这时，D赛了_________场．18．（5分）（2013•北京模拟）一只皮箱的密码是一个三位数．小光说：“它是954．”小明说：“它是358．”小亮说：“它是214．”小强说：“你们每人都只猜对了位置不同的一个数字．”这只皮箱的密码是_________．19．（5分）一次校友聚会有50人参加，在参加聚会的同学业中，每个女生认识的男生人数各不相同，而且恰好构成一串连续的自然数，最多的全认识，最少的也认识15人．这次聚会有_________个女生参加．20．（5分）2003年10月28日，“神舟”五号载人飞船发射试验队队长许达哲透露：我国将在2004年下半年发射“神舟”六号载人飞船，共3人乘“神六”遨游太空7天．如果“神六”与“神五”都是平均90分钟绕地球飞行一圈，那么“神六”将绕地球飞行_________圈．21．（5分）列车通过300米长的隧道用15秒，通过180米长的桥梁用12秒，列车的车身长是_________米．22．（5分）一家三口人，爸爸比妈妈大3岁，现在他们一家人的年龄之和是80岁，10年前全家人的年龄之和是51岁，女儿今年_________岁．23．（5分）书店以每本10.08元的价格购进某种图书，每本售价16.8元，卖到还剩10本时，除了收回全部成本外，还获利504元．这个书店购进该种图书_________本．24．（5分）班长计划用班费买一些日记本作为文娱活动的奖品，如果买每本3.5元的日记本，将剩余2.5元；如果买每本4.2元的同样数量的日记本，将缺少2.4元．那么班长计划买_________本日记本．2004年第2届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（五年级第1试）参考答案与试题解析一、填空题（共24小题，每小题5分，满分120分）1．（5分）0.4×[]×26=2．[[÷[××[××××2．（5分）根据规律填空：0.987654，0.98765，0.9877，0.988，0.99，1.0．3．（5分）一个数被7除，余数是3，该数的3倍被7除，余数是2．4．（5分）2004的约数中，比100大且比200小的约数是167．5．（5分）右边的加法算式中，每个“□”内有一个数字，所有“□”内的数字之和最大可达到60．6．（5分）甲、乙、丙三人掷骰子，每人掷三次，他们掷出的点数的积都是24．将每人掷出的点数的和由大到小排列，依次是甲、乙、丙，则点数3是丙掷出的．（点数：向上的一面上的数字．骰子的六个面上的点数分别是1至6）7．（5分）在一个四位数的某位数字的前面添上一个小数点，再和原来的四位数相减，差是1803.6，则原来的四位，原数与新数的差等于8．（5分）（2013•北京模拟）a，b，c都是质数，并且a+b=33，b+c=44，c+d=66，那么d=53．9．（5分）如果A#B=，那么1#2﹣2#3﹣3#4﹣…﹣2002#2003﹣2003#2004=．=﹣﹣，代换为﹣﹣（﹣﹣）﹣﹣（﹣）﹣（﹣=﹣=﹣﹣﹣（﹣）﹣（﹣）﹣﹣（﹣）﹣（﹣，那么2003#2004=故答案为：10．（5分）用1至8这八个自然数中的四个组成四位数，从个位到千位的数字依次增大，且任意两个数字的差都不是1，这样的四位数共有5人．11．（5分）甲、乙、丙三个网站定期更新，甲网站每隔一天更新1次，乙网站每隔两天更新1次，丙网站每隔三天更新1次．在一个星期内，三个网站最少更新网站6次．12．（5分）图中共有28个正方形．13．（5分）如图，每个小格的边长都是1个单位长度，一只甲虫在水平方向上每爬行1个单位长度需要5秒，在竖直方向上每爬行1个单位长度需要6秒，每拐弯一次需要1秒．它从A点爬到B点，最少需要53秒．14．（5分）将长15厘米，宽9厘米的长方形的长和宽都分成三等份，长方形内任意一点与分点及顶点连接，如图，则阴影部分的面积是67.5平方厘米．××××××××××××××××16．（5分）小永的三门功课的成绩，如果不算语文，平均分是98分；如果不算数学，平均分是93；如果不算英语，平均分是91．小永三门功课的平均成绩是94分．17．（5分）（2013•北京模拟）A、B、C、D四支球队进行循环赛（即每两队赛1场），比赛进行一段时间后，A赛了3场，B赛了2场，C赛了1场，这时，D赛了2场．18．（5分）（2013•北京模拟）一只皮箱的密码是一个三位数．小光说：“它是954．”小明说：“它是358．”小亮说：“它是214．”小强说：“你们每人都只猜对了位置不同的一个数字．”这只皮箱的密码是918．19．（5分）一次校友聚会有50人参加，在参加聚会的同学业中，每个女生认识的男生人数各不相同，而且恰好构成一串连续的自然数，最多的全认识，最少的也认识15人．这次聚会有18个女生参加．20．（5分）2003年10月28日，“神舟”五号载人飞船发射试验队队长许达哲透露：我国将在2004年下半年发射“神舟”六号载人飞船，共3人乘“神六”遨游太空7天．如果“神六”与“神五”都是平均90分钟绕地球飞行一圈，那么“神六”将绕地球飞行112圈．21．（5分）列车通过300米长的隧道用15秒，通过180米长的桥梁用12秒，列车的车身长是300米．22．（5分）一家三口人，爸爸比妈妈大3岁，现在他们一家人的年龄之和是80岁，10年前全家人的年龄之和是51岁，女儿今年9岁．23．（5分）书店以每本10.08元的价格购进某种图书，每本售价16.8元，卖到还剩10本时，除了收回全部成本外，还获利504元．这个书店购进该种图书100本．24．（5分）班长计划用班费买一些日记本作为文娱活动的奖品，如果买每本3.5元的日记本，将剩余2.5元；如果买每本4.2元的同样数量的日记本，将缺少2.4元．那么班长计划买7本日记本．。
希望杯数学八年级竞赛真题及答案(1-23届)
1、第一届希望杯初二第1试试题2、第一届希望杯初二第2试试题3、第二届希望杯初二第1试试题4、第二届希望杯初二第2试试题5、第三届希望杯初二第1试试题6、第三届希望杯初二第2试试题7、第四届希望杯初二第1试试题8、第四届希望杯初二第2试试题9、第五届希望杯初二第1试试题10、第五届希望杯初二第2试试题11、第六届希望杯初二第1试试题12、第六届希望杯初二第2试试题13、第七届希望杯初二第1试试题14、第七届希望杯初二第2试试题15、第八届希望杯初二第1试试题16、第八届希望杯初二第2试试题17、第九届希望杯初二第1试试题18、第九届希望杯初二第2试试题19、第十届希望杯初二第1试试题20、第十届希望杯初二第2试试题21、第十一届希望杯初二第1试试题22、第十一届希望杯初二第2试试题23、第十二届希望杯初二第1试试题24、第十二届希望杯初二第2试试题25、第十三届希望杯初二第1试试题26、第十三届希望杯初二第2试试题27、第十四届希望杯初二第1试试题28、第十四届希望杯初二第2试试题28、第十五届希望杯初二第1试试题30、第十五届希望杯初二第2试试题31、第十六届希望杯初二第1试试题32、第十六届希望杯初二第2试试题33、第十七届希望杯初二第1试试题34、第十七届希望杯初二第2试试题35、第十八届希望杯初二第1试试题36、第十八届希望杯初二第2试试题37、第十九届希望杯初二第1试试题38、第十九届希望杯初二第2试试题39、第二十届希望杯初二第1试试题40、第二十届希望杯初二第2试试题41、第二十一届希望杯初二第1试试题42、第二十一届希望杯初二第2试试题43、第二十二届希望杯初二第1试试题44、第二十二届希望杯初二第2试试题45、第二十三届希望杯初二第1试试题46、第二十三届希望杯初二第2试试题希望杯第一届（1990年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．一个角等于它的余角的5倍，那么这个角是 ( )A ．45°.B ．75°.C ．55°.D ．65°2．2的平方的平方根是 ( )A ．2.B ．2. C ．±2. D ．43．当x=1时，a 0x 10-a 1x 9+a 0x 8-a 1x 7-a 1x 6+a 1x 5-a 0x 4+a 1x 3-a 0x 2+a 1x 的值是( ) A ．0B ．a 0.C ．a 1D ．a 0-a 14. ΔABC,若AB=π27则下列式子成立的是( )A ．∠A ＞∠C ＞∠B;B ．∠C ＞∠B ＞∠A;C ．∠B ＞∠A ＞∠C;D ．∠C ＞∠A ＞∠B 5．平面上有4条直线，它们的交点最多有( ) A ．4个B ．5个.C ．6个.D ．76．725-的立方根是[ ] （A ）12-. （B ）21-.（C ）)12(-±. （D ）12+.7．把二次根式a a 1-⋅化为最简二次根式是[ ](A) a . (B)a -. (C) a --. (D) a -8．如图1在△ABC 中，AB=BC=CA ，且AD=BE=CF ，但D ，E ，F 不是AB ，BC ，CA 的中点．又AE ，BF ，CD 分别交于M ，N ，P ，如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角形，那么从图中能找出全等三角形( ) A ．2组B ．3组.C ．4组D ．5组。
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第20届全国希望杯高一数学邀请赛第二试（第1类）
一、选择题（每题4分，40分）
1、设的定义域为D，又()()().hxfxgx若(),()fxgx的最大值分别是M，N，最小值
分别是m，n，则下面的结论中正确的是（ ）
A．()hx的最大值是M+N B．()hx的最小值是m＋n
C．()hx的值域为{|}xmnxMN
D．()hx的值域为{|}xmnxMN的一个子集
2、方程log(0,1)xaaxaa的实数根的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3、已知函数32()1(0)fxaxbxcxa，且(5)3f，那么使()0fx成立的x的
个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．不确定的
4、设22{(,)|Sxyxy是奇数，,}xyR,22{(,)|sin(2)sin(2)Txyxy＝
22
cos(2)cos(2),,}xyxyR
，则S，T的关系是（ ）
A．ST B．TS C．S=T D．ST
5、定义集合M,N的一种运算*，：1212*{|,,}MNxxxxxMxN，若{1,2,3}M，
N={0,1,2}，则M*N中的所有元素的和为（ ）
A．9 B．6 C．18 D．16
6、关于x的整系数一元二次方程20(0)axbxca中，若ab是偶数，c是奇数，
则（ ）
A．方程没有整数根 B．方程有两个相等的整数根
C．方程有两个不相等的整数根 D．不能判定方程整数根的情况
7、设x是某个三角形的最小内角，则coscossin22xyxx的值域是（ ）
A．(2,2] B．31(2,]2 C．31(1,]2 D．(0,2]
8、已知e是自然对数的底，那么1,,sin,taneeee的大小关系是（ ）
A．1sintaneeee B．1sintaneeee
C．1tansineeee D． 1tansineeee
9、()fx是定义在R上的奇函数，且(2)fx是偶函数，则下列命题中错误的是（ ）
A．()fx的图像关于x＝2对称 B．()fx的图像关于点(4,0)对称
C．()fx的周期为4 D．()fx的周期为8
10、某航空公司经营A,B,C,D四个城市之间的客运业务，其中部分单程机票的价格如下：
A,B区间：2000元；A,C区间：1600元；A,D区间：2500元；B,C之间：1200元；C,D区
间：900元。已知这家公司规定的机票与城市间的直线距离成正比，则B,D区间机票价格为
（ ）
A．1200元 B．1500元 C．1600元 D．2000元
二、填空题（每题4分，共40分）
11、如图1，动点P从直角梯形ABCD
的直角顶点B出发，沿B—C—D—A的
顺序运动，得到以点P运动的路程x为
自变量，△ABP的面积y为函数的图像，
如图2，则梯形ABCD的面积
为 。
12、锐角△ABC的三个内角的度数成等
比数列，且B＝2A，则其中最小角的值等于 。
13、已知公差大于零的等差数列的第5项与第13项的绝对值相等，则当前n项和最小时，n
＝ 。
14、已知等比数列｛an｝中，a3＝2，当此数列的前5项和取得最小值时，前5项依次为 。
15、已知3432()23,(())4474fxxxfgxxxxx，则()gx的各项系数（包括
常数项）的和等于 。
16、设O为△ABC内一点,则OABCOBCAOCAB= 。
17、The number 2009 has the following properties:
①It is divisible by 7 ;②When divisible by 8, it has a remainder of 1;③When divisible by 9, it has
a remainder of 2。The 3－digit number with the above properties is 。
18、若21324xy，则23xy的取值范围是 。
19、2009 apples are distributed among a number of children so that each child gets a different
positive mumber of apples。How many children are there at the most？Answer：
20、设集合A＝｛1，2，3，…，n｝，则集合A的所有非空子集中元素和的和等于 。
三、解答题 每题都要写出推算过程
21、本题10分
图1
图2
OABCD81828
已知关于x的不等式250axxa的解集为M，若2及－1有且恰有一个不在M中，求实数
a
的取值范围。
22、本题满分15分
向量a，b的夹角为60°，且|a|＝|b|＝1
（1）当|a＋tb|取得最小值时，求t的值；
（2）当|a＋tb|取得最小值时，证明：b⊥（a＋tb）
23、本题满分15分
数列｛an｝是各项均为正数的等差数列，前n项的和为Sn。数列｛bn｝是等比数列，且满足
11
1ba
，33bS＝144，{}nab的公比＝16，求数列｛an｝，｛bn｝的通项公式。
参考答案
DBCAD ACCCB
11、104
12、327
13、8或9
14、2，－2，2，－2，2
15、0或2
16、0
17、497
18、[9,17]
19、62
20、2(1)2nnn
21、当2,1MM时，有250450a11aaaa或＝
解得a的范围为55][1,)(4,)2（－，－
当2,1MM时，有250a4501aaaa或＝4解得a的范围为
综上所述：a的范围为55][1,)(4,)2（－，－
22、（1）22||1atbtt，∴当t＝12时，||atb最小
（2）当||atb最小时，t＝12，
b·（a－12b）＝ab－12b2＝1212＝0，∴b⊥（a＋tb）
23、an＝2n－1，1n1*44nnnbN－或（－），