2023-2024学年数学二年级上学期《期中考试卷》含答案
浙江省宁波2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷含答案
浙江省宁波2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（答案在最后）1.已知集合{||11},{14}A x x B x x =-<=≤≤∣∣，则A B = （）A.{12}x x <<∣B.{12}xx ≤<∣C .{04}xx <<∣ D.{04}xx <≤∣【答案】B 【解析】【分析】先求集合A ，再根据交集运算求解即可.【详解】由题意，因为集合{|02},{|14}A x x B x x =<<=≤≤所以{|12}A B x x =≤< .故选：B.2.已知命题2000:1,0p x x x ∃≥-<，则命题p 的否定为（）A.200010x ,x x ∃≥-≥ B.200010x ,x x ∃<-≥C.210x ,x x ∀<-≥ D.210x ,x x ∀≥-≥【答案】D 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定方法对命题p 否定即可.【详解】由命题否定的定义可知，命题2000:1,0p x x x ∃≥-<的否定是：210x ,x x ∀≥-≥．故选：D.3.对于实数a ，b ，c ，下列结论中正确的是（）A.若a b >，则22>ac bcB.若>>0a b ，则11>a bC.若<<0a b ，则<a b b aD.若a b >，11>a b，则<0ab 【答案】D 【解析】【分析】由不等式的性质逐一判断．【详解】解：对于A ：0c =时，不成立，A 错误；对于B ：若>>0a b ，则11<a b，B 错误；对于C ：令2,a =-1b =-，代入不成立，C 错误；对于D ：若a b >，11>a b，则0a >，0b <，则<0ab ，D 正确；故选：D ．4.已知0x 是函数1()33xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的一个零点，则0x ∈（）A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由条件可得函数单调递减，再由零点存在定理即可得到结果.【详解】根据题意知函数1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间1,+∞上单调递减，函数()3f x x =-+在区间()1,∞+单调递减，故函数1()33xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间1,+∞上单调递减，又因1>2>3>0,4<0，又因()133xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在()1,∞+上是连续不中断的，所以根据零点存在定理即可得知存在()03,4x ∈使得()00f x =.故选：C5.“2a ≤”是“函数()2()ln 1f x x ax =-+在区间[)2,+∞上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据复合函数的单调性求函数()2()ln 1f x x ax =-+在区间[)2,+∞上单调递增的等价条件，在结合充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】二次函数21y x ax =-+图象的对称轴为2a x =，若函数()2()ln 1f x x ax =-+在区间[)2,+∞上单调递增，根据复合函数的单调性可得2≤24−2+1>0，即52a <，若2a ≤，则52a <，但是52a <，2a ≤不一定成立，故“2a ≤”是“函数()2()ln 1f x x ax =-+在区间[)2,+∞上单调递增”的充分不必要条件．故选：A 6.函数22()1xf x x =+的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，即可判断A 、B ，再根据0x >时函数值的特征排除C.【详解】函数22()1x f x x =+的定义域为R ，且()()2222()11x x f x f x x x --==-=-+-+，所以22()1xf x x =+为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A 、B ；又当0x >时()0f x >，故排除C.故选：D7.已知42log 3x =，9log 16y =，5log 4z =，则x ，y ，z 的大小关系为（）A.y x z >>B.z x y >>C.x y z >>D.y z x>>【答案】C 【解析】【分析】利用对数运算法则以及对数函数单调性可限定出x ，y ，z 的取自范围，即可得出结论.【详解】根据题意可得2222log 3log 3x ==，2233log 4log 4y ==，5log 4z =利用对数函数单调性可知32223log 3log log log 22x ===，即32x >；又323333331log 3log 4log log log 32y ====<，可得312y <<；而55log 4log 51z ==<，即1z <；综上可得x y z >>.故选：C8.已知函数323log ,03()1024,3x x f x x x x ⎧<≤=⎨-+>⎩，若方程()f x m =有四个不同的实根()12341234,,,x x x x x x x x <<<，则()()3412344x x x x x --的取值范围是（）A.(0,1)B.(1,0)- C.(4,2)- D.(2,0]-【答案】B 【解析】【分析】根据图象分析可得121x x =，()()343410,3,4,6,7x x x x +=∈∈，整理得3431233(4)(4)2410x x x x x x x ⎛⎫--=-++ ⎪⎝⎭，结合对勾函数运算求解.【详解】因为op =3log 3,0<≤32−10+24,>3，当3x >时()22()102451f x x x x =-+=--，可知其对称轴为5x =，令210240x x -+=，解得4x =或6x =；令210243x x -+=，解得3x =或7x =；当03x <≤时3()3log f x x =，令33log 3x =，解得13x =或3x=，作出函数=的图象，如图所示，若方程()f x m =有四个不同的实根12341234,,,()x x x x x x x x <<<，即()y f x =与y m =有四个不同的交点，交点横坐标依次为12341234,,,()x x x x x x x x <<<，则12341134673x x x x <<<<<<<<<，对于12,x x ，则3132log log x x =，可得3132312log log log 0x x x x +==，所以121x x =；对于34,x x ，则()()343410,3,4,6,7x x x x +=∈∈，可得4310x x =-；所以()()3434333431233334161024(4)(4)2410x x x x x x x x x x x x x x x -++--⎛⎫--===-++ ⎪⎝⎭，由对勾函数可知332410y x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在()3,4上单调递增，得()3324101,0x x ⎛⎫-++∈- ⎪⎝⎭，所以34123(4)(4)x x x x x --的取值范围是()1,0-.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是画出函数图象，结合函数图象分析出121x x =，()()343410,3,4,6,7x x x x +=∈∈，从而转化为关于3x 的函数；二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.函数1()21x f x -=+恒过定点(1,1)B.函数3x y =与3log y x =的图象关于直线y x =对称C.0x ∃∈R ，当0x x >时，恒有32x x >D.若幂函数()f x x α=在(0,)+∞单调递减，则0α<【答案】BCD 【解析】【分析】由指数函数的性质可判断A ；由反函数的性质可判断B ；由指数函数的增长速度远远快于幂函数，可判断C ；由幂函数的性质可判断D .【详解】对于A ，函数1()21x f x -=+恒过定点(1,2)，故A 错误；对于B ，函数3x y =与3log y x =的图象关于直线y x =对称，故B 正确；对于C ，因为指数函数的增长速度远远快于幂函数，所以0x x >时，恒有32x x >，故C 正确；对于D ，当0α<时，幂函数()f x x α=在(0,)+∞单调递减，故D 正确；故选：BCD .10.已知函数e 1()e 1x x f x +=-，则下列结论正确的是（）A.函数()f x 的定义域为RB.函数()f x 的值域为(,1)(1,)-∞-+∞C.()()0f x f x +-=D.函数()f x 为减函数【答案】BC 【解析】【分析】根据分母不为0求出函数的定义域，即可判断A ；再将函数解析式变形为2()1e 1xf x =+-，即可求出函数的值域，从而判断B ；根据指数幂的运算判断C ，根据函数值的特征判断D.【详解】对于函数e 1()e 1x x f x +=-，则e 10x -≠，解得0x ≠，所以函数的定义域为{}|0x x ≠，故A 错误；因为e 1e 122()1e 1e 1e 1x x x x xf x +-+===+---，又e 0x >，当e 10x ->时20e 1x >-，则()1f x >，当1e 10x -<-<时22e 1x<--，则()1f x <-，所以函数()f x 的值域为(,1)(1,)-∞-+∞ ，故B 正确；又11e 1e 1e 1e 1e 1e ()()01e 1e 1e 11e e 11e xxxx x x x x x xx xf x f x --++++++-+=+=+=+------，故C 正确；当0x >时()0f x >，当0x <时()0f x <，所以()f x 不是减函数，故D 错误.11.已知0,0a b >>，且1a b +=，则（）A.22log log 2a b +≥- B.22a b +≥C.149a b +≥ D.33114a b ≤+<【答案】BCD 【解析】【分析】利用基本不等式求出ab 的范围，即可判断A ；利用基本不等式及指数的运算法则判断B ；利用乘“1”法及基本不等式判断C ；利用立方和公式及ab 的范围判断D.【详解】因为0,0a b >>，且1a b +=，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取等号，所以()22221log log log log 24a b ab +=≤=-，当且仅当12a b ==时取等号，故A 错误；22a b +≥=22a b =，即12a b ==时取等号，故B 正确；()14144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即13a =，23b =时取等号，故C 正确；()()()2332222313a b a b a ab b a ab b a b ab ab +=+-+=-+=+-=-，因为104ab <≤，所以3034ab <≤，所以11314ab ≤-<，即33114a b ≤+<，故D 正确.故选：BCD12.对于定义在[]0,1上的函数()f x 如果同时满足以下三个条件：①()11f =；②对任意[]()0,1,0x f x ∈≥成立；③当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有()()()1212f x f x f x x +≤+成立，则称()f x 为“天一函数”.若()f x 为“天一函数”，则下列选项正确的是（）A.()00f =B.()0.50.5f ≤C.()f x 为增函数 D.对任意[0,1]x ∈，都有()2f x x ≤成立【答案】ABD【分析】对于A ，令120x x ==，结合题中条件即可求解；对于B ，令120.5x x ==，结合题中条件即可求解；对于C ，令2121101X x x x X +>≥=≥=，结合性质②③可得()()21f X f X ≥，因此有()f x 在[]0,1x ∈上有递增趋势的函数(不一定严格递增)，即可判断；对于D ，应用反证法：若存在[]00,1x ∈，使0>20成立，讨论1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，结合递归思想判断0x 的存在性.【详解】对于A ，令120x x ==，则()()()000f f f +≤，即()00f ≤，又对任意[]()0,1,0x f x ∈≥成立，因此可得()00f =，故A 正确；对于B ，令120.5x x ==，则()()()0.50.51f f f +≤，又()11f =，则()0.50.5f ≤，故B 正确；对于C ，令2121101X x x x X +>≥=≥=，则221(0,1]x X X -∈=，所以()()()()()()12122121f X f X X f X f X f X f X X +-≤⇒-≥-，又对任意[]()0,1,0x f x ∈≥成立，则()221()0f x f X X =-≥，即()()210f X f X -≥，所以()()21f X f X ≥，即对任意1201x x ≤<≤，都有()()12f x f x ≤，所以()f x 在[]0,1x ∈上非递减，有递增趋势的函数(不一定严格递增)，故C 错误；对于D ，由对任意1201x x ≤<≤，都有()()12f x f x ≤，又()00f =，()11f =，故()[]0,1f x ∈，反证法：若存在[]00,1x ∈，使0>20成立，对于1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()1f x ≤，而21x ≥，此时不存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使0>20成立；对于10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，若存在010,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭使0>20成立，则()()()002f f x f x ≥，而[)020,1x ∈，则()()()()000022f x f x f x f x ≥+=，即0≥20>40，由()[)00,1f x ∈，依次类推，必有[)0,1∈t ，0()2nf t x >且*n ∈N 趋向于无穷大，此时()[0,1)f t ∈，而02nx 必然会出现大于1的情况，与>20矛盾，所以在10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上也不存在010,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭使0>20成立，综上，对任意[]0,1x ∈，都有()2f x x ≤成立，故D 正确；故选：ABD.【点睛】关键点点睛：对于D ，应用反证及递归思想推出1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭情况下与假设矛盾的结论.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若23(1)()log (1)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则(0)(8)f f +=______.【答案】4【解析】【分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】因为23(1)()log (1)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，所以()0031f ==，()32228log 8log 23log 23f ====，所以(0)(8)4f f +=.故答案为：414.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()22xf x x =-，则()()10f f -+＝__________．【答案】1-【解析】【分析】根据()f x 是定义在R 上的奇函数，可得(1)(1)f f -=-，(0)0f =，只需将1x =代入表达式，即可求出(1)f 的值，进而求出(1)(0)f f -+的值．【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，可得(1)(1)f f -=-，(0)0f =，又当0x >时，()22xf x x =-，所以12(1)211f =-=，所以(1)(0)101f f -+=-+=-．故答案为：1-【点睛】本题主要考查利用奇函数的性质转化求函数值，关键是定义的灵活运用，属于基础题．15.定义在R 上的偶函数()f x 满足：在[)0,+∞上单调递减，则满足()()211f x f ->的解集________.【答案】()0,1【解析】【分析】利用偶函数，单调性解抽象不等式【详解】因为()f x 为定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递减，所以()()()()211211f x f fx f ->⇔->，所以2111211x x -<⇔-<-<，即01x <<，故答案为：()0,116.设函数31()221x f x =-+，正实数,a b 满足()(1)2f a f b +-=，则2212b aa b +++的最小值为______.【答案】14##0.25【解析】【分析】首先推导出()()2f x f x +-=，再说明()f x 的单调性，即可得到1a b +=，再由乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】因为31()221x f x =-+，所以3132()221221xx xf x --=-=-++，所以331()()22221221x x x f x f x +-=-+-=++，又21x y =+在定义域R 上单调递增，且值域为()1,+∞，1y x =-在()1,+∞上单调递增，所以31()221x f x =-+在定义域R 上单调递增，因为正实数,a b 满足()(1)2f a f b +-=，所以10a b +-=，即1a b +=，所以()()222211212412b a b a a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()()2222211412b b a a b a a b ⎡⎤++=+++⎢⎥++⎣⎦()()22222111124444b a b a ab a b ⎡⎢≥++=++=+=⎢⎣，当且仅当()()222112b b a a a b ++=++，即35a =，25b =时取等号，所以2212b a a b +++的最小值为14.故答案为：14四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.计算下列各式的值.（1）20.5233727228)9643-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）2log 3223(lg5)lg2lg50log 3log 22+⨯+⋅+【答案】（1）229（2）5【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得；（2）根据对数的运算性质及换底公式计算可得.【小问1详解】20.5233727229643-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2223333212139245-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦2323332521334⎛⎫⨯- ⎪⨯⎝⎭⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭5162221399=+-+=.【小问2详解】2log 3223(lg5)lg2lg50log 3log 22+⨯+⋅+()210lg 3lg 2(lg 5)lg lg 10535lg 2lg 3⎛⎫=+⨯⨯+⋅+ ⎪⎝⎭()()2(lg5)1lg51lg513=+-⨯+++()()22lg 51lg 5135=+-++=.18.设全集为R ，已知集合{}2|280A x R x x =∈--≤，(){}2|550B x R x m x m =∈-++≤.（1）若3m =，求A B ，R A ð；（2）若R B A ⊆ð，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}25A B x R x ⋃=∈-≤≤；{2R A x x =<-ð或}4x >；（2）4m >.【解析】【分析】（1）先解不等式求出集合A ，B ，根据补集的概念，以及并集的概念，即可得出结果；（2）由（1）得出R A ð，再对m 分类讨论，即可得出结果.【详解】（1）因为{}{}228024A x R x x x R x =∈--≤=∈-≤≤，则{2R A x x =<-ð或}4x >；若3m =，则{}{}2815035B x R x x x R x =∈-+≤=∈≤≤，所以{}25A B x R x ⋃=∈-≤≤.（2）由（1）{2R A x x =<-ð或}4x >，()(){}|50B x R x x m =∈--≤，当5m =时，则{5}B =，满足R B A ⊆ð；当5m >时，则[5,]B m =，满足R B A ⊆ð；当5m <时，则[,5]B m =，为使R B A ⊆ð，只需4m >，所以45m <<.综上，4m >.19.为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年旳太阳能供电设备．使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费C （单位：万元）与太阳能电池面积x （单位：平方米）之间的函数关系为4,0105(),10m xx C x m x x-⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，（m 为常数），已知太阳能电池面积为5平方米时，每年消耗的电费为12万元．安装这种供电设备的工本费为0.5x （单位：1万元），记()F x 为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和（1）写出()F x 的解析式；（2）当x 为多少平方米时，()F x 取得最小值？最小值是多少万元？【答案】（1）1607.5,010()8000.5,10x x F x x x x-≤≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩；（2）40平方米，最小值40万元.【解析】【分析】（1）根据给定的条件，求出m 值及()C x 的解析式，进而求出()F x 的解析式作答.（2）结合均值不等式，分段求出()F x 的最小值，再比较大小作答.【小问1详解】依题意，当5x =时，()12C x =，即有45125m -⨯=，解得80m =，则804,0105()80,10xx C x x x -⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，于是得1607.5,010()10()0.58000.5,10x x F x C x x x x x -≤≤⎧⎪=+=⎨+>⎪⎩，所以()F x 的解析式是1607.5,010()8000.5,10x x F x x x x-≤≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩.【小问2详解】由（1）知，当010x ≤≤时，()1607.5F x x =-在[0,10]上递减，min ()(10)85F x F ==，当10x >时，800()402x F x x =+≥=，当且仅当8002x x =，即40x =时取等号，显然4085<，所以当x 为40平方米时，()F x 取得最小值40万元.【点睛】方法点睛：在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．20.已知函数1()2(R)2xx m f x m -=-∈是定义在R 上的奇函数.（1）求m 的值；（2）根据函数单调性的定义证明()f x 在R 上单调递增；（3）设关于x 的函数()()()9143xxg x f m f =++-⋅有零点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2m =（2）证明见解析（3）(],3-∞【解析】【分析】（1）由奇函数性质(0)0f =求得参数值，再验证符合题意即可；（2）根据单调性的定义证明；（3）令()0g x =，结合()f x 的单调性得到9431x x m +=⋅-，参变分离可得1943x x m =-+-⨯，依题意可得关于x 的方程1943x x m =-+-⨯有解，令()1943xxh x =-⨯+-，则y m =与()y h x =有交点，利用换元法求出()h x 的值域，即可得解.【小问1详解】因为1()2(R)2xxm f x m -=-∈是定义在R 上的奇函数，所以(0)1(1)0f m =--=，解得2m =，当2m =时，1()2222xx xx f x -=-=-，满足()()f x f x -=-，()f x 是奇函数，所以2m =；【小问2详解】由（1）可得1()22x x f x =-，设任意两个实数12,R x x ∈满足12x x <，则1212121212111()()22(22)(1)2222xx x x x x x x f x f x -=--+=-+⋅，∵12x x <，∴12022x x <<，1211022x x +>⋅，∴12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 在R 上为单调递增；【小问3详解】令()0g x =，则()()9143xxf m f +=--⋅，又()f x 是定义在R 上的奇函数且单调递增，所以()()1943xxf m f +=⋅-，则9431x x m +=⋅-，则1943x x m =-+-⨯，因为关于x 的函数()()()9143xxg x f m f =++-⋅有零点，所以关于x 的方程1943x x m =-+-⨯有解，令()1943xxh x =-⨯+-，则y m =与()y h x =有交点，令3x t =，则()0,t ∈+∞，令()214H t t t +--=，()0,t ∈+∞，则()()222314H t t t t +-==---+，所以()H t 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减，所以()(],3H t ∈-∞，所以()(],3h x ∈-∞，则(],3m ∈-∞，即实数m 的取值范围为(],3-∞.21.设R a ∈，已知函数()y f x =的表达式为21()log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）当3a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）设0a >，若存在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得函数()y f x =在区间[],2t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(,1)(0,)-∞-⋃+∞（2）1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据函数的单调性转化为自变量的不等式，解得即可；（2）根据函数的单调性求出最值，根据不等式有解分离参数求取值范围.【小问1详解】当3a =时，21()log 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，不等式()1f x >，即21log 31x ⎛⎫+>⎪⎝⎭，所以132x +>，即10x x +>，等价于()10x x +>，解得1x <-或0x >；所以不等式()1f x >的解集为(,1)(0,)-∞-⋃+∞；【小问2详解】因为0a >，1[,1]2t ∈，所以当[,2]x t t ∈+时，函数1y a x=+为减函数，所以函数()21log f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间[],2t t +上单调递减，又函数()y f x =在区间[],2t t +上最大值和最小值的差不超过1，所以()()21f t f t -+≤，即2211log ()log ()12a a t t +-+≤+，即222111log ()1log ()log 2()22a a a t t t +≤++=+++所以112()2a a t t +≤++，即存在1[,1]2t ∈使122a t t ≥-+成立，只需min122a t t ⎛⎫≥- ⎪+⎝⎭即可，考虑函数121,[,1]22y t t t =-∈+，221,[,1]22t y t t t -=∈+，令321,2r t ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，213,1,86826r y r r r r r⎡⎤==∈⎢⎥-+⎣⎦+-，设()8g r r r =+，其中31,2r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，任取123,1,2r r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且12r r <，则()()()212121212121888r r g r g r r r r r r r r r ⎛⎫--=+--=- ⎪⎝⎭，因为12r r <，所以210r r ->，因为123,1,2r r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2180r r -<，所以()()21g r g r <，所以函数()g r 在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以86y r r =+-在31,2r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，所以856,36r r ⎡⎤+-∈⎢⎥⎣⎦，116,8356r r⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦+-，所以13a ≥，所以a 的取值范围为1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.22.已知函数43()21x x f x +=+，函数2()||1g x x a x =-+-.（1）若[0,)x ∈+∞，求函数()f x 的最小值；（2）若对1[1,1]x ∀∈-，都存在2[0,)x ∈+∞，使得()()21f x g x =，求a 的取值范围.【答案】（1）2（2）1313,,44⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】（1）首先利用指数运算，化简函数()()421221xx f x =++-+，再利用换元，结合对勾函数的单调性，即可求解函数的最值；（2）首先将函数()f x 和()g x 在定义域的值域设为,A B ，由题意可知B A ⊆，()02g ≥，确定a 的取值范围，再讨论去绝对值，求集合B ，根据子集关系，比较端点值，即可求解.【小问1详解】若[)0,x ∈+∞，()()()()221221442122121x x x x xf x +-++==++-++，因为[)0,x ∈+∞，令212x t =+≥，则()42,2y t t t=+-≥，又因为42y t t=+-在[)2,+∞上单调递增，当2t =，即0x =时，函数取得最小值2；【小问2详解】设()f x 在[)0,+∞上的值域为A ，()g x 在[]1,1-上的值域为B ，由题意可知，B A ⊆，由（1）知[)2,A =+∞，因为()012g a =-≥，解得：3a ≥或3a ≤-，当3a ≥时，且[]11,1x ∈-，则10x a -<，可得()222111111151124g x x a x x x a x a ⎛⎫=-+-=-+-=-+- ⎪⎝⎭，可得()1g x 的最大值为()11g a -=+，最小值为1524g a ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即5,14B a a ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，可得524a -≥，解得：134a ≥，当3a ≤-时，且[]11,1x ∈-，10x a ->，可得()222111111151124g x x a x x x a x a ⎛⎫=-+-=+--=+-- ⎪⎝⎭，可知，()1g x 的最大值为()11g a =-，最小值为1524g a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即5,14B a a ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦，可得524a --≥，解得：134a ≤-，综上可知，a 的取值范围是1313,,44⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是求函数()g x 的值域，根据()02g ≥，缩小a 的取值范围，再讨论去绝对值.。
2023-2024学年山东省枣庄市市中区一年级(上)期中数学试卷(含答案)
2023-2024学年山东省枣庄市市中区一年级（上）期中数学试卷一、快乐口算，直接写得数。
（20分）1．（20分）快乐口算，直接写得数。
9﹣6＝6+4＝10﹣5＝7﹣3＝5+4＝5+2＝0+9＝10﹣4＝6﹣0＝9﹣2＝4+3＝9﹣6＝3+7﹣5＝6+4﹣10＝10﹣5+3＝7﹣7+2＝8﹣4+2＝2+7﹣1＝10﹣4+2＝3+0+7＝二、想一想，填一填。
（35分）2．（5分）看图写数。
3．（4分）分一分，合一合。
4．（10分）在横线里填上“＞”、“＜”、“＝”。
4﹣3 46﹣2 70+5 57+3 10 2﹣2 2+25+5 810﹣4+3 83+6 5 7 3+38﹣3 65．（4分）6．（4分） 比 多 和 同样多7．（4分）按规律填数。
（1）1、3、 、7、 （2）10、 、6、 、28．（3分）填一填，涂一涂，圈一圈。
（1）一共有 只大公鸡。
（2）给从左边数第8只大公鸡图上颜色。
（3）把右边的4只大公鸡圈起来。
9．（3分）2+ ＝3+ 10﹣ ＝6+ 8＝ + ＝ ﹣ 三、细心比一比。
10．（3分） 号最长， 号最短。
11．（3分）哪种水果最重？重的画△。
四、圈一圈，把每一行中不同类的圈出来。
（5分）12．（5分）圈一圈，把每一行中不同类的圈出来。
五、画一画，填一填。
（6分）13．（3分）△△△ 3+ ＝9〇〇〇〇〇 5+ ＝814．（3分）先用“/”划掉，再填空。
△△△△△△△△△△10﹣ ＝ 六、解决问题，我最棒。
（28分）15．（7分）看图列式。
16．（7分）看图列式。
17．（6分）看图列式。
18．（6分）看图列式。
2023-2024学年山东省枣庄市市中区一年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、快乐口算，直接写得数。
（20分）1．（20分）快乐口算，直接写得数。
9﹣6＝6+4＝10﹣5＝7﹣3＝5+4＝5+2＝0+9＝10﹣4＝6﹣0＝9﹣2＝4+3＝9﹣6＝3+7﹣5＝6+4﹣10＝10﹣5+3＝7﹣7+2＝8﹣4+2＝2+7﹣1＝10﹣4+2＝3+0+7＝【解答】解：9﹣6＝36+4＝1010﹣5＝57﹣3＝45+4＝95+2＝70+9＝910﹣4＝66﹣0＝69﹣2＝74+3＝79﹣6＝33+7﹣5＝56+4﹣10＝010﹣5+3＝87﹣7+2＝28﹣4+2＝62+7﹣1＝810﹣4+2＝83+0+7＝10二、想一想，填一填。
广东省深圳市2023-2024学年六年级上学期数学期中考试试卷(含答案)
广东省深圳市2023-2024学年六年级上学期数学期中考试试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四五总分评分一、细心读题，谨慎填写。
(每小题2分，共20分)1．用圆规画一个半径是4cm的圆，这个圆的周长是cm，面积是cm2。
2．比20千克多 千克是千克；12米比米短 。
3．六(1)班今天到校48人，2人病假，六(1)班今天的出勤率是%。
4．淘气把一根4米长的彩带平均归成5段，其中的3段占全长的 ，长米。
5．在夜晚的路灯下，同样高的杆子离路灯越近．它的影子就越(填“长”或“短")：在黑暗里，小亮把一个球向电灯(点状光源)移动时，球的影子会逐渐变(填“大”或“小”)。
6．把25克糖融化在100克水中，然的质量占糖水质量的%，如果从中取出80克糖水，这些糖水中含有糖克。
7．一根6米长的彩带，先剪去它的 用来做蝴蝶结，做蝴蝶结用去了米彩带，再剪去 米，这根彩带还剩下米。
8．用一张长14厘米，宽6厘米的长方形硬卡纸剪最大的圆，能剪个这样的圆，每个圆的面积是平方厘米。
9．一件衣服打八折后，现价比原价便宜了80元，这件衣服原价是元。
10．一个立体图形，从上面看到的形状是，从左面看到的形状是是，要搭成这样的立体图形，最少需要用个小正方体，最多需要个小正方体。
二、找准目标，择优录取。
(每空2分，共20分)11．一个圆的半径扩大到原来的2倍，它的周长扩大到原米的倍，面积扩大到原来的倍。
A.2B.4C.8D.1012．将46%去掉百分号，这个数将（）。
A．扩大100倍B．大小不变C．缩小到原来的D．无法确定13．将一根绳子剪成两段，第一段占全长的 ，第二段长 米，两段绳子相比较，（）．A．第一段长B．第二段长C．两段一样长D．无法确定哪段长14．如图所示，两个边长相等的正方形，比较图中阴影部分的周长（）A．甲周长>乙周长B．甲周长<乙周长C．甲周长=乙周长D．无法确定15．一个半园圆的半径r厘米，这个半圆的周长是（）厘米。
2023-2024学年福建省福州市台江区人教版二年级上册期末测试数学试卷「含答案」
2023－2024学年福建省福州市台江区二年级（上）期末数学试卷一、仔细读题，我会填。
1．在括号里填上合适的时间单位或长度单位。
爸爸每天工作8( )。
课间休息10( )。
一把钥匙长6( )。
妈妈身高1( )68( )。
2．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。
6×5( )1134＋12( )64－201米－40厘米( )70厘米63－15＋24( )723＋3( )3×33×8＋8( )4×83．表示( )个( )加法算式：( )乘法算式：( )；乘法口诀：( )。
4．如图中有（）条线段，（）个锐角，（）个钝角，（）个直角。
在图中加画一条线段使它增加2个直角。
5．这是王叔叔从厦门出差回福州的动车票，动车晚点（比计划时间慢）一刻钟，开车的时间是( )，动车行驶2小时到福州，到达福州的时间是( )。
二、火眼金睛，我会选。
（填序号）6．如图竖式中的1用（）图表示最合适。
A．B．C．7．△△△□这四个图形共有（）条线段。
A．3×4＋1B．3×3＋1C．3＋48．妈妈带100元钱去商店买如图中的生活用品，保温壶上价格标签的个位数字盖住了。
她带的钱够吗？（）A．够B．不够C．不能确定9．看到的是（）A．B．C．10．如图中，（）不能用“三八二十四”计算出结果。
A．B．C．11．估一估，如图中小猫大约有（）高。
A．1米B．60厘米C．33厘米12．下面能用“5×2”解决的生活问题是（）．A．买文具盒时，乐乐付了2张5元，他花了多少钱？B．买故事书时，甜宝付了1张5元和2张1元，她花了多少钱？C．买数学本时，小飞付了1张5元，收银员找给他2元，他花了多少钱？三、步步为营，我会算。
13．直接写得数。
5×7＝8×4＝96－40＝4×7＋22＝4×6＝26＋5＝6＋46＝63－（6＋4）＝3×9＝89－37＝36－16＝59＋4－40＝8×7＝50－5＝25－8＝5×6＋7＝14．列竖式计算。
浙江省温州市2023-2024学年七年级下学期期中学业质量检测数学试卷(含答案)
七年级期中学业质量检测(数学)考生须知：1．本卷评价内容范围是《数学》七年级下册第一章至第三章3.5节，全卷满分100分； 2．考试时间90分钟，不可以使用计算器． 温馨提示：请仔细审题，细心答题，相信你一定会有出色的表现！一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项） 1．下列方程是二元一次方程的是（ ▲ ）A ．320x B ．232x x C ．11y xD ．31x y2．将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是（ ▲ ）A．B ．C ．D ．3．如图，∠B 的同旁内角是（ ▲ ）A ．∠4B ．∠3C ．∠2D ．∠14．计算34[-10]（）的结果是（ ▲ ）A ．710B ．710C ．1210D ．1210 5．下列运算中，计算结果正确的是（ ▲ ）A ．235a a a B ．236a a a C ．236(2)6a a D ．459236a a a6．下列各式中，不能．．用平方差公式计算的是（ ▲ ） A ．()()a b a b B ．()()a b b a C ．()()a b a b D ．()()a b b a 7．如图所示，点E 在AC 的延长线上，下列条件中能判断AB ∥CD 的是（ ▲ ）A ．34 B ．12 C ．ECD D D ．0180ABD A 8．若关于x ，y 的二元一次方程组2425x y x y ，的解也是方程3x y k 的解，则k 的值为（ ▲ ）A ．2B ．1C ．1D ．2（第2题）（第3题）（第7题）9． 某兴趣小组组织野外活动，男生戴蓝色帽子，女生戴红色帽子，如果每位男生看到蓝色帽子比红色帽子多2个，每位女生看到蓝色帽子是红色帽子的2倍，则该兴趣小组男女生分别有多少人？设男生有x 人，女生有y 人，则下列方程正确的是（ ▲ ） A ．122-1x y x y （）B ．122x y x yC ．122-1x y xy D ．22x y xy10．如图，正方形AEIJ ，正方形EFGH ，正方形LMCK依次放在长为6，宽为4的长方形ABCD 中，要求出 图中阴影两部分的周长之差，只需要知道下列哪条线 段的长（ ▲ ）A ．AEB ．EFC ．CMD ．NL二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分） 11．已知方程2x y ，用含x 的代数式表示y ，则y ▲ ．12．计算：2(1)a ▲ ．13．已知1x a y ，是方程53=+y x 的一组解，则a 的值为 ▲ ．14．计算：4413=3（-） ▲ ．15． 如图，将两块含30角的三角板ABC 和含45角的三角板BDE 按如图所示的位置放置，若BE AC ∥，则DBA 的度数为 ▲ °．16．已知2(231)x y 与431x y 的值互为相反数，则x y 的值为 ▲ ．17．已知240m n ，则42m n ▲ ．18．如图1，将一张长方形纸片ABCD 右端沿着EF 折叠成如图2，再将纸片左端沿着GH折叠成如图3，GD 恰好经过点F ，且GF 平分∠HFB ．在图3中，若2∠GHF +∠BFE =135°，则∠BFE 的度数为 ▲ ° ．三、解答题（本题有6小题，共46分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 19．（本题6分）化简（1）23(21)x xy y （2）(2)(2)(1)x x x x图1图2 图 3（第18题）（第15题）45°30°EDACB（第10题）20．（本题8分）解方程组 （1）3210y x x y （2）327465x y x y21．（本题6分）如图是由边长为1的小正方形构成的8×8网格，线段AB 端点和点P 均在格点上．（1）将线段AB 向上平移1格，再向右平移2格，请在图甲中作出经上述两次平移后所得的线段CD ．（2）请在图乙中找一格点E ，连结PB ，PE ，使得∠PBA=∠EPB ．22．（本题8分）如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，DE ∥AB 交AC 于点E ，点F 在AB 上，∠BFD ＝∠DEC ．（1）说明DF 与AC 平行的理由．理由如下：//DE AB （ ▲ ）， BFD FDE （ ▲ ）． BFD DEC ，FDE▲ ．//DF AC （ ▲ ）．（2）若∠B +∠C ＝120°，求∠FDE 的度数．（第22题）图甲图乙（第21题）23．（本题8分) 某校为了喜迎新春，开展了“巧制花灯，福满校园”的活动，如图1为学生制作的其中一种花灯样式，它的四面是由四个完全相同的平面模板（如图2）折叠拼接而成的．模板是由2个长方形A 、2个长方形C 、1个长方形D 和4个等腰梯形B 构成的，其中尺寸如图2所示：长方形A 的宽为，长为，等腰梯形的高与长方形A 的宽大小一样，长方形C 的长为(4)n ，宽为( 1.5)m ，模板总高为32cm ． （1）请用含的代数式表示模板的面积（结果需化简）． （2）当221n m 时，请求出花灯模板的面积．24．（本题10分）探究学校校服订购的方案．素材1：天气转热，不少学生的夏季校服有损坏或丢失，故学校联系了厂商订制一批校素材2：本届七年级使用的是改版后的校服，每件新版衣服和裤子的价格均比旧版多10元．为保证各年级段校服统一，学校要求七年级学生购买新版，八、九年级学生购买旧版．【任务1】分别求出旧版衣服和旧版裤子的单价．【任务2】依据往年八、九年级的数据统计，衣服数量不超过80件，裤子数量不超过50件．若学校恰好用了4900元为八、九年级购买旧版校服，则衣服和裤子各买了多少件？【任务3】学校统计各班的订购意向后，最终花费9200元订购这批校服．已知七年级订购的衣服数量占所有衣服和裤子总数量的14，且少于50件，则八、九年级订购的裤子共有 ▲ 件．（请直接写出答案）m n m n ，单位：cm图2图1（第23题）七年级期中学业质量检测数学参考答案及评分标准一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）11．2x −+． 12．221a a −+． 13．2． 14．1． 15． 15． 16．0． 17．16． 18．22.5．三、解答题（本题有6小题，共46分） 19. （本题6分）（1）23(21)x xy y −+22=363x y xy x −+解：原式 ..................（3分）（2）(2)(2)(1)x x x x +−−−22=4x x x −−+解：原式4x =− ..................（3分）20．（本题8分） （1）3210y x x y =⎧⎨+=⎩①②解：将①代入②得：2310x x += 解得：2x = 将2x =代入①得：6y =所以原方程组的解是=2...........(4)6x y ⎧⎨=⎩分（2）327465x y x y −=⎧⎨+=⎩①②解： 3⨯①+②得：1326x =解得：2x =将2x =代入①得： 12y =−所以原方程组的解是=2............(4)12x y ⎧⎪⎨=−⎪⎩分（1）（2）22．（本题8分） （1）理由如下：//DE AB （ 已知 ）， BFDFDE （ 两直线平行，内错角相等 ）．BFD DEC ，FDE∠DEC ．//DF AC （ 内错角相等，两直线平行 ）．………….（4分）（2）解：∵//DF AC∴FDB C ∠=∠ ∵//DE AB ∴EDC B ∠=∠ ∵120B C ∠+∠=° ∴120FDB EDC ∠+∠=°∴FDE ∠=180°()60FDB EDC −∠+∠=° ..................（4分） （其它正确答案酌情给分）（1）[]124(4)2( 1.5)(4)3262( 1.5)2mn m n n m n n m m +⨯−++−−+−−− =163212m n −++ ...........................（5分）（其它正确答案酌情给分）（2）当221n m −=时原式=163212m n −++=162)12m n −++( =162112⨯+=348 .................................（3分）24．（本题10分）:任务1 设一件旧版衣服x 元，一件旧版裤子y 元．由题意，得100807300120607500x y x y解得4535x y答：一件旧版衣服45元，一件旧版裤子35元． .................（4分）任务2 设购买衣服m 件，裤子n 件．由题意，得45m +35n =4900， 化简，得91407n m .∵m ≤80，n ≤50且m ，n 均为正整数， ∴7050m n 或7741m n答：衣服70件、裤子50件或衣服77件、裤子41件．............（4分）任务3 11． .................（2分）设新版衣服a 件，旧版裤子b 件．则所有衣服和裤子共4a 件，旧版衣服和新版裤子共(3a -b )件．由题意，得55a +45(3a -b )+35b =9200， 化简，得b =19a - 920． ∵a <50，且a ，b 均为正整数， ∴a =49，b =11．。
山东省潍坊市高密市2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试题(含答案)
山东省潍坊市高密市2023-2024学年七年级下学期期中数学试题一、单项选择题（共8小题，每小题4分，共32分，每小题四个选项中只有一项正确）1.等于（）33332222+++A. B. C. D.4252621222.过点B 画线段AC 所在直线的垂线段，正确的是（ ）A.B.C.D.3.下列运算结果为a 6的是（）A.a 3∙a 2 B.a 2＋a 4 C.（－a 2）3 D.a 4∙（－a ）24.表中给出的每一对x ，y 的值都是二元一次方程ax －y ＝9的解，则m 等于（）x123y －7m －3A ．－5 B.－3 C.3 D.55.如图，AD 是∠EAC 的平分线，AD//BC ，∠C ＝30°，则∠B 等于（）A.20° B.25° C.30° D.60°6.关于x ，y 的方程组的解是方程2x ＋5y ＝－8的一个解，则a 等于（ ）2531x y x ay -=⎧⎨+=-⎩A.1B ．2 C.3 D.47.如图，把一张对边平行的纸条沿EF 折叠，若∠＝70°，则∠等于（）DFD 'C EF 'A.25° B.30° C.35° D.40°8.如图从边长为（a ＋5）cm 的正方形纸片中剪去一个边长为（a ＋2）cm 的正方形（a ＞0），剩余部分沿虚线剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的面积为（ ）A.（2a 2＋7a ）cm 2B.（6a ＋7）cm 2C.（6a ＋9）cm 2D.（6a ＋21）cm 2二、多项选择题（共4小题，共20分．每小题四个选项有多项正确，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的即得0分）9.如图，下列条件能判断直线的有（ ）12l l∥A.∠1＝∠3 B.∠2＝∠3C.∠4＝∠5D.∠2＋∠4＝180°10.下列计算正确的是（）A.a 5·a 4÷a 4＝a 5B.（－3ab ）2·2ab ＝18a 3b 4C.D.－2x （x 2－x －1）＝－2x 3＋2x 2＋2x222()x y x y -=-11.若∠1，∠2互为补角，且∠1＞∠2，则∠2的余角可表示为（）A.B ．C ．D ．1(12)2∠∠+112∠1(12)2∠∠-190∠-12.如图，AB//CD ，P 为AB 上方一点，H ，G 分别为AB，CD 上的点，∠PHB ，∠PGD 的平分线交于点E ，∠PGC 的平分线与EH 的延长线交于点F ，下列结论正确的是（ ）A.EG ⊥FGB.∠P ＝2∠EC.HP ∥GE D ．∠EHP ＋∠FGP ＝∠F三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．只填写最后结果）13.已知，，则＝．5x a =2y a =x y a +14.某小区地下停车场的限高栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时∠ABC ＝120°，若此时CD 平行地面AE ，则∠BCD ＝度．15.在长方形ABCD 中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积之和为cm 2．16.如图，已知射线OP//AE ，∠A ＝，依次作出∠AOP 的角平分线OB ，∠BOP 的角平分α线，∠的角平分线…，∠的角平分线，其中点1OB 1B OP 2OB 1n B OP -n OB B ，，，…，都在射线AE 上，则∠＝．1B 2B n B 2024ABO 四、解答题（共7小题，共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分）（1）计算：（－2a 3）2∙a －a 9÷a 2＋（－a ）7（2）先化简，再求值：（x －4y ）∙（2x ＋y ）＋（－2y ）2，其中x ＝－3，y ＝1．18.（本题满分12分）解方程组：（1）23352x y x y -=-⎧⎨+=⎩（2）3()4()1126x y x y x y x y +--=⎧⎪+-⎨+=⎪⎩19.（本题满分10分）如图，AE//BC ，∠BAD ＝∠BCD ．（1）AB 与CD 平行吗？请说明理由．（2）若AC 平分∠BAD ，且∠1＋∠2＝115°，求∠ADF的度数．20.（本题满分10分）某超市购进A ，B 型两种大米进行销售，其中两种大米的进价、售价如下表：大米种类进价（元/袋）售价（元/袋）A 型2535B 型3042（1）已知购进A ，B 型两种大米共100袋，进货款恰好为2800元，求这两种大米各购进多少袋？（2）若售出两种大米的销售总额为1400元，求售出的大米的进货款为多少元？21.（本题满分12分）如图1，直线AB ，CD 相交于点O ，过点O 作OE ⊥AB ．（1）若∠AOC ＝，求∠DOE 的度数．2744（2）如图2，作射线 OF 使∠EOF ＝∠DOE ，OA 是∠COF 的平分线吗？请说明理由．（3）在图1上作OG ⊥CD ，直接写出∠BOG 与∠EOD 的等量关系为．图1图222.（本题满分10分）用数学的眼光观察：甲、乙两位同学用标有数字1，2，…，9的9张卡片做游戏．甲同学：“你先从这9张卡片中随意抽取两张（按抽取的先后顺序分别称为“卡片A ”和“卡片B ”），别告诉我卡片上是什么数字，然后你把卡片A 上的数字先乘5，再加7，再乘2，再加上卡片B 的数字，把最后得到的数告诉我，我就能猜出你抽出的是哪两张卡片啦！”乙同学：“这么神奇？我不信”…用数学的思维思考：（1）如果乙同学抽出的卡片A 上的数字为3，卡片B 上的数字为6，他最后得到的数M 为．（2）若乙同学最后得到的数M 为76，则卡片A 上的数字为，卡片B 上的数字为．用数学的语言表达：（3）请你说明：对任意告知的数，甲同学是如何猜到卡片的．23.（本题满分14分）综合与实践：借助一副三角板的不同摆放方式，研究并解决以下问题．（1）如图1，∠AOB ＝．利用一副三角板，我们还能画一些度数的角，请你再写出两个：，；（角的范围是0～180°，30°，60°，45°，90°除外）（2）如图2，若∠1的度数比∠2度数的2倍还多15°，求∠2的度数；（3）将一副三角板如图3所示摆放，直线．如图4，现将三角板ABC 绕点A 以每秒12l l ∥2°的速度顺时针旋转，设旋转时间为t 秒（0＜t ＜50）．①当旋转到BC ∥EF 时，请直接写出t 的值；②在三角板ABC 绕点A 旋转的同时，三角板DEF 绕点D 以每秒5°的速度顺时针旋转，若边BC 与三角板DEF 的一条直角边（边DE ，边DF ）平行时，请直接写出t 的值．图1 图2图3图4七年级数学答案及评分标准一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分）题号12345678答案B B D A C B C D二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）题号9101112答案ACD AD CD ABD三、填空题（本大题共4小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得5分）13.1014.15015.17616.20252180α-︒四、解答题（本大题共7小题，共78分）17.（本题满分10分）72923 · 2）（－）（－a a a a a -+÷＝………2分776·4a a a a -－＝ ……4分72a （2）（x －4y ）（2x ＋y ）＋（－2y ）²＝2x ²＋xy －8xy －4y ²＋4y ²………………6分＝2x ²－7xy ………………8分当x ＝－3，y ＝1时，原式＝2×（－3）²－7×（－3）×1……9分＝2×9－（－21）＝18＋21＝39…………10分18.（本题满分12分）（1）⎩⎨⎧=-=-②＋①2533y 2y x x 解：由①得，y ＝2x ＋3 ③将③代入②，得3x ＋5（2x ＋3）＝2解得x ＝－1………………………………2分将x ＝－1代入③，得y ＝1……………………4分所以 ……………………………5分⎩⎨⎧=-=11y x （2）⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--+162143y x y x y x y x ）（）（解：设x ＋y ＝m ，x －y ＝n原方程组变为………………………1分341126m n m n -=⎧⎪⎨=⎪⎩①＋②由②得3m ＋n ＝6 ③………………………2分③－①得n ＝1………………………3分将n ＝1代入③，得m ＝5/3……………………4分所以……………………………5分⎪⎩⎪⎨⎧=-=+135y y x x 解得……………………………7分⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3134y x 19.（本题满分10分）（1）平行．因为AD ∥BC ，所以∠2＋∠BCD ＝180°…………2分因为∠BAD ＝∠BCD所以∠2＋∠BAD ＝180°…………4分所以AB ∥CD ……………………5分（2）因为AC 平分∠BAD所以∠BAD ＝2∠1…………………6分由（1）∠2＋∠BAD ＝180°即∠2＋2∠1＝180°…………………7分因为∠1＋∠2＝115°，所以∠1＝115°－∠2所以∠2＋2（115°－∠2）＝180°解得∠2＝50°…………………8分所以∠ADF ＝180°－∠2＝180°－50＝130°………10分20.（本题满分10分）解：（1）设购进A 型大米x 袋，B 型大米y 袋，由题意得，………………3分⎩⎨⎧==+80023025100y y x x ＋解得⎩⎨⎧==6040y x 答：购进A 型大米40袋，B 型大米60袋． …………………………6分（2）设售出A 型大米m 袋，B 型大米n 袋，由题意得，35m ＋42n ＝1400，………………8分化简得，5m ＋6n ＝200，………………9分进货价25m ＋30n ＝5（5m ＋6n ）＝5×200＝1000元．………………10分21.（本题满分12分）解：（1）∵OE ⊥AB ，∴∠BOE ＝90°，即∠DOE ＋∠DOB ＝90°…………2分∵∠AOC ＝27°44'＝∠DOB ，∴∠DOE ＝90°－∠DOB ＝90°－27°44'＝62°16'……4分（2）∵OE⊥AB，∴∠AOE＝∠BOE＝90°，即∠AOF＋∠FOE＝∠DOE＋∠BOD＝90°，∵∠EOF＝∠DOE∴∠AOF＝∠BOD，…………6分∵∠AOC＝∠BOD，∴∠AOF＝∠AOC，…………7分即OA 是∠COF 的平分线．…………8分∠BOG＝∠EOD或∠BOG＋∠EOD＝180°，…………12分理由如下：①如图1－1，∠BOG＋∠EOD＝180°∵OE⊥AB，OG⊥CD，∴∠BOE＝∠DOG＝90°，即∠2＋∠3＝∠1＋∠2＝90°∴∠1＋∠2＋∠3＋∠2＝180°则∠BOG＋∠EOD＝∠1＋∠2＋∠3＋∠2＝180°②如图1－2，∠BOG＝∠EOD∵OE⊥AB，OG⊥CD，∴∠BOE＝∠DOG＝90°，即∠2＋∠3＝∠1＋∠2＝90°∴∠3＝∠1即∠BOG＝∠EOD综上所述，∠BOG＝∠EOD或∠BOG＋∠EOD＝180°22.（本题满分10分）解：（1）50；………………2分M ＝（3×5＋7）×2＋6＝50，（2）6，2；………………6分设卡片A 上的数字为x ，卡片B 上的数字为y ，则2（5x ＋7）＋y ＝76，10x ＋14＋y ＝76，10x ＋y ＝62，y ＝62－10x ，因为x ，y 都是1至9这9个数字，所以x ＝6， y ＝2，（3）设卡片A 上的数字为x ，卡片B 上的数字为y ，（其中x 、y 为1，2，…，9这9个数字）则M ＝2（5x ＋7）＋y ＝（10x ＋y ）＋14，………………8分得：M －14＝10x ＋y ，其中十位数字是x ，个位数字是y ”，………………9分所以由给出的M 的值减去 14，所得两位数十位上的数字为卡片A 上的数字x ，个位数上的数字为卡片B 上的数字．………………10分23.（本题满分14分）（1）105° 75° 15° （答案不唯一） …………………3分设∠1＝x ° ∠2＝y °，根据题意得…………………5分⎩⎨⎧=-=+15290y y x x 解得x ＝65y ＝25所以∠1＝65° ∠2＝25°………………8分 （其它解法也可）②10或40…………14分（写出一个结论得2分）。
2023-2024学年山东省临沂市人教版二年级上册期末测试数学试卷「含答案」
山东省临沂市2023－2024学年二年级上学期数学期末试卷一、我会填空。
（共26★）1．填上合适的单位名称。
课桌高约70( )一栋楼高约13( )一节课40( )爸爸每天工作8( )2．3米＝( )厘米 52厘米＋28厘米＝( )厘米( )分＝1时 25米－18米＝( )米3．7＋7＋7＋7＝28改写成乘法算式是( )或( )，所用到的乘法口诀是( )。
4．6个5相加是( )，25与45的和是( )。
5．61比28多( )，( )比27少15。
6．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。
46( )8×74×6( )3×880分钟( )1小时7．用3、6、9组成两位数，每个两位数的十位数和个位数不能一样，能组成( )个两位数，其中最大的是( )，最小的是( )。
8．图中有( )个直角，有( )条线段。
9．括号里最大能填几？( )×8＜656×( )＜4530＞5×( )二、我会判断。
（对的在括号里打“√”，错的打“×”。
共5★）10．3×5＝3＋3＋3＋3＋3＝5＋5＋5。
( )11．黑板上的直角比三角尺上的直角大。
( )12．分针从2走到7，经过了5分。
( )13．两个乘数都是8，积是16。
( )14．每两个人握1次手，3人一共握3次手。
( )三、我会选。
（共5★）15．看到的立体图形的一个面是正方形，它不可能是我们学过的（）。
A．球B．正方体C．长方体16．5个6的和可以用算式（）表示。
A．5＋6B．5×6C．5＋5＋5＋5＋5＋5 17．从正面看是的是（）。
A．B．C．18．妈妈9：00吃完早餐，休息一会儿后，再去商场买衣服。
妈妈去商场的时间可能是（）。
A．B．C．19．有红色、黄色、蓝色三种颜色的袜子，兰兰想买两种颜色的袜子，有（）种买法。
A．4B．3C．620．我会连。
五、我会计算。
（24★）21．直接写出得数。
四川省绵阳市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题含答案
绵阳2024年秋季高2023级半期考试数学试题（答案在最后）本测评题分试题卷和答题卷两部份，试题卷共4页，满分150分，时间120分钟.注意事项：1、答题前，请将本人的信息用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填在答题卡的对应位置上；2、选择题的答案，必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑；3、请用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔将每个题目的答案答在答题卷上每题对应的位置上，答在试题卷上的无效.作图一律用2B 铅笔或0.5毫米黑色签字笔；第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.直线020233=+-y x 的倾斜角是（）A.︒30 B.︒60 C.︒120 D.︒1502.在ABC ∆中，,6),0,2(),0,2(=+-AC AB C B 则顶点A 的轨迹方程（）A.)3(15922±≠=+x y xB.)2(14922±≠=+x y x C.15922=+y x D.14922=+y x 3.已知B 为)1,2,1(-A 在坐标平面Oyz 内的射影，则=OB ()A.3B.5C.2D.64.直线1sin cos :-+θθy x l 与圆22:1O x y +=的位置关系为（）A ．相离B ．相交C ．相切D ．无法确定5.与椭圆13622=+y x 共焦点且过)1,2(P 的双曲线方程为（）A ．2214x y -=B ．2212y x -=C ．2212x y -=D ．2213x y -=6.在平行六面体1111D C B A ABCD -中，,311MC AC =若,,,1c AA b AD a AB ===则1MD =（）A.c b a --31B.c b a 323231--C.c b a 3131-+D.a c b 323131-+7.已知四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，点E 是BC 的中2024年11月点，则点E 到直线PD 的距离是（）A ．45B ．25 C.423D ．228.在平面直角坐标系Oxy 中，点)1,0(),0,1(),0,4(C B A ，若点P 满足2PA PB =，则22PC PO +的最大值为（）A ．7B ．9C ．11D ．13二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错项得0分.9.下列关于空间向量的命题中，是真命题的有（）A.将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面B.若非零向量c b a ,,，满足,//,//c b b a 则有c a //C.与一个平面法向量共线的非零向量都是该平面的法向量D.设OC OB OA ,,为空间的一组基底，且,2121OC OB OA OD ++=则D C B A ,,,四点共10.若方程11522=-+-m y m x 所表示的曲线为C ，则（）A ．曲线C 可能是圆B.当2=m 时，表示焦点在x 轴上的椭圆，焦距为2C ．若51<<m ，则C 为椭圆D ．若C 为椭圆，且焦点在x 轴上，则31<<m 11.过点()()0,R P t t ∈的直线与圆22:(2)3C x y -+=相切，切点分别为B A ,，则（）A ．当0t =时，3=AB B ．存在R t ∈，使得65π=∠APB C ．直线AB 经过点)0,21(D ．直线PC 与直线AB 的交点在定圆上三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请将答案填写在答题卷中的横线上.12.双曲线112422=-y x 的左右焦点分别是21,F F ，M 是双曲线左支上一点，且,51=MF 则=2MF .13.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,,F F 过2F 作x 轴垂线交椭圆于P ，若︒=∠3021PF F ，则该椭圆的离心率是.14.如图所示，在四面体ABCD 中，BCD ∆为等边三角形，2π=∠ADB ，则平面ABD 与平面ACD 夹角的最大值是.四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点)5,3(M ，AB 边所在直线的方程为,083=+-y x 点)6,0(N 在AD 边所在直线上．(Ⅰ)求AD 边所在直线的方程；(Ⅱ)求对角线AC 所在直线的方程．16.(15分)已知圆C 与y 轴相切，其圆心在x 轴的正半轴上，且圆C 被直线x y =截得的弦长为22.(Ⅰ)求圆C 的标准方程；(Ⅱ)若过点()0,3P 的直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程.第14题图17.（15分）如图所示，在几何体ABCDEFG 中，四边形ABCD 和ABFE 均为边长为2的正方形，//AD EG ，1EG =,平面ABCD ABFE 平面⊥M 、N 分别为DG 、EF 的中点.(Ⅰ)求证：//MN 平面CFG ；(Ⅱ)求直线AN 与平面CFG 所成角的正弦值．18．（17分）在平面直角坐标系Oxy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为)0,3(F ，短轴长为2.过点F 且不平行于坐标轴的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为M .(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值；(Ⅲ)求AOB ∆面积的最大值.19.(17分)定义：M 是圆C 上一动点，N 是圆C 外一点，记MN 的最大值为m ，MN 的最小值为n ，若2m n =，则称N 为圆C 的“黄金点”；若G 同时是圆E 和圆F 的“黄金点”，则称G 为圆“E F -”的“钻石点”.已知圆A ：()()221113x y +++=，P 为圆A 的“黄金点”(Ⅰ)求点P 的轨迹方程；(Ⅱ)已知圆B ：1)2()2(22=-+-y x ，P ，Q 均为圆“A B -”的“钻石点”.(ⅰ)求直线PQ 的方程；(ⅱ)若圆H 是以线段PQ 为直径的圆，直线31:+=kx y l 与圆H 交于I ，J 两点，对于任意的实数k ，在y 轴上是否存在一点W ，使得y 轴平分IWJ ∠？若存在，求出点W 的坐标；若不存在，请说明理由.绵阳2024年秋季高2023级半期考试数学试题参考答案一、选择题题号1234567891011选项AABCCDCDABCADACD三、填空题12.913.32-14.3π四、解答题15.解：(Ⅰ)法一：因为AB 边所在直线的方程为083=+-y x ，所以31=AB k ．又因为矩形ABCD 中，AB AD ⊥，所以3-=AD k ,所以由点斜式可得AD 边所在直线的方程为：)0(36--=-x y ，即063=-+y x ；法二：因为AB AD ⊥，设AD 边所在直线的方程为：03=++m y x 又因为直线AD 过点)6,0(N ，所以将点)6,0(N 代入上式得:6-=m ．所以AD 边所在直线的方程为：063=-+y x ；(Ⅱ)由⎩⎨⎧=-+=+-063083y x y x ，得：)3,1(A ，得AC 所在直线的方程：131353--=--x y ，即02=+-y x ．16.解：（Ⅰ）由题可设圆C 的方程为)0()(222>=+-a a y a x ，则有2222(2(a a =+，解得)(2舍负=a ；所以圆C 的标准方程为：4)2(22=+-y x ；（Ⅱ）因为43)20(22>+-，所以过P 的切线有两条，当l 斜率存在时，设切线方程为：3+=kx y 即03=+-y kx ，所以有：21322=++k k ，解得：125-=k ；所以l 的方程为：0036125==-+x y x 或。
2023-2024学年数学四年级上学期《期中测试卷》附答案解析
2023—2024学年第一学期期中检测四年级数学试题满分100分，考试时间90分钟一、我会填。
(每空1分，共23分)1. 一个数是由五个亿、七个万、三个千和五个十组成，这个数是( )，读作( )，从左边起的第一个“5”表示( )，第二个“5”表示( )，四舍五入到亿位约是( )。
2. 线段有( )个端点，射线有( )个端点，直线有( )个端点，通过两点可以画( )条线段。
3. 目前亚洲最大的室外四季滑雪—奥森尖锋旱雪四季滑雪场的占地面积约为2公顷，( )个这样的四季滑雪场的占地面积约为1平方千米。
4. ( )时整，时针和分针成直角；( )时整，时针和分针成平角。
5. 小红买了3本《漫画历史》，用了60元，每本《漫画历史》多少钱？题目中已知买《漫画历史》的( )和( )，求( )，列式是( )。
6. 队列练习时，淘气原地向左转一次，转了( )°；向后转一次，转了( )°；连续向右转( )次，才能转过一个周角。
7. 复兴号动车组列车是我国自主研发的，最快每小时行驶350千米，它的速度可以写成( )。
它连续行驶5小时，经过的路程是( )千米。
8. 哈雷彗星是每76.1年环绕太阳一周的周期彗星，是人类首颗有记录的周期彗星。
它下次过近日点的时间是2061年7月28日。
哈雷彗星距离太阳最近为89000000千米，89000000＝( )万；距离太阳最远为5300000000千米，5300000000＝( )亿。
二、我会判。
(对的涂“T”，错的涂“F”)(共5分)9. 自然数的最小计数单位是0。
( )10. 两个锐角拼成的角一定是钝角。
( )11. 公顷和平方米之间进率是1000。
( )12. 用“四舍五入”法得到的近似数不一定比原数大。
( )13. 用10倍的放大镜看一个30°的角，结果看到300°的角。
( )三、我会选。
(将正确答案的序号在答题卡对应位置涂黑)(共10分)14. 与50×190的结果相同的是( )。
四川省成都2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷含答案
四川省成都2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷注意事项：（答案在最后）1、本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.2、本堂考试120分钟，满分150分.3、答题前，考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并使用2B 铅笔填涂.4、考试结束后，将答题卡交回.第I 卷（选择题部分，共58分）一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知两条直线1:3210l x y -+=和2:210l ax y ++=相互垂直，则a =（）A.2 B.3C.43 D.43-【答案】C 【解析】【分析】根据两直线垂直的斜率表示可得3122a -⨯=-，解得43a =.【详解】易知1:3210l x y -+=的斜率为32，2:210l ax y ++=的斜率为2a-，所以3122a -⨯=-；解得43a =.故选：C2.我市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有1200人，其中一、二、三年级的人数比为3:4:3，要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则应抽取的一年级学生的人数为（）A.52B.48C.36D.24【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用分层抽样的抽样比列式计算即得.【详解】依题意，应抽取的一年级学生的人数为312036343⨯=++.故选：C3.若方程22230x y mx y ++-+=表示圆，则m 的取值范围是（）A.(,-∞B.((),-∞-⋃+∞C.(,-∞ D.((),-∞-⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】根据二元二次方程表示圆的条件列不等式求解即可.【详解】因为22230x y mx y ++-+=表示圆，所以24430m +-⨯>,解得m >或m <-故选：B.4.学校组织知识竞赛，某班8名学生的成绩（单位：分）分别是65，60，75，78，86，84，90，94，则这8名学生成绩的75%分位数是（）A.88分B.84分C.85分D.90分【答案】A 【解析】【分析】先对这8名学生的成绩按从小到大排列，然后用百分位数的定义求解即可.【详解】8名学生的成绩从小到大排列为：60，65，75，78，84，86，90，94，因为875%6⨯=，所以75%分位数为第6个数和第7个数的平均数，即()18690882+=分．故选：A.5.无论λ为何值，直线()()()234210x y λλλ++++-=过定点（）A.()2,2- B.()2,2-- C.()1,1-- D.()1,1-【答案】A 【解析】【分析】先化简直线分是否有λ两部分，再求交点得出定点.【详解】由()()()234210x y λλλ++++-=得：()()223420x y x y λ++++-=，由220,3420x y x y ++=⎧⎨+-=⎩得2,2,x y =-⎧⎨=⎩∴直线()()()234210x y λλλ++++-=恒过定点()2,2-.故选：A.6.在一个袋子中装有分别标注1，2，3，4，5，6的6个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出标注的数字之差的绝对值为2或4的小球的概率是（）A.110B.310C.25D.14【答案】C 【解析】【分析】利用列举法得到总的基本事件与满足条件的基本事件的个数，再利用古典概型的概率公式即可得解.【详解】从6个小球中任取2个小球有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)，(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)，共15种情况，其中数字之差的绝对值为2或4的有(1,3),(1,5),(2,4),(2,6),(3,5),(4,6)，共6种情况，则所求概率62155P ==.故选：C.7.如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是矩形，其中6AB =，14,2AD AA ==，且1160A AD A AB ∠=∠=︒，则线段1AC 的长为（）A.9B.C.D.6【答案】C 【解析】【分析】由11AC AC CC =+ ，两边平方，利用勾股定理以及数量积的定义求出2211,,2AC AC CC CC ⋅ 的值，进而可得答案．【详解】由11AC AC CC =+ ，得到2222211111||()2AC AC AC CC AC AC CC CC ==+=+⋅+ ，因为底面ABCD 是矩形，6AB =，14,2AD AA ==，所以22||361652AC AC ==+= ，22114CC AA == ，因为1160A AB A AD ∠=∠=︒，所以111162cos606,42cos604AB CC AB BC CC A A D A AA ⋅=⋅=⨯⨯︒=⋅=⋅=⨯⨯︒=，所以111122()2()2(46)20AC CC AB BC CC AB CC BC CC ⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯+=，21||5220476AC =++=，故1||AC =．故选：C ．8.已知点(),P x y 在直线280x y -+=的最小值为（）A.4B.6C.8D.10【答案】C 【解析】【分析】利用两点距离公式将问题转化为点s 到点(2,0),(2,0)A B -的距离之和的最小值，再利用将军饮马问题的解决方法，数形结合即可得解.=，设(2,0)A ，(2,0)B -，表示点s 到点(2,0),(2,0)A B -的距离之和，设点(2,0)A 关于直线280x y -+=的对称点为(),A m n '，又直线斜率为12，则2280221122m n n m +⎧-⨯+=⎪⎪⎨⎪⨯=-⎪-⎩，解得28m n =-⎧⎨=⎩，则()2,8A '-，因为点(,)P x y 在直线280x y-+=上，所以8PA PB PA PB A B +=+≥='='，当P 为A B '与直线280x y-+=的交点时，等号成立，的最小值为8.故选：C.二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.9.下列说法正确的是（）A.不经过原点的直线都可以表示为1x y a b+=B.若直线与两坐标轴交点分别为A 、B ，且AB 的中点为()4,1，则直线l 的方程为182x y +=C.过点()1,1且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程为y x =或2x y +=D.直线324x y -=的截距式方程为1423+=-x y 【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，截距式方程不能表示与坐标轴垂直的直线，即可判断；B 选项，直接利用截距式方程判断；C 选项，直接求出过点()1,1且在两轴上截距相等的直线方程，即可判断；D 选项，直接化为截距式方程判断．【详解】对于A ，与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A 选项错；对于B ，AB 的中点为()4,1，则有()()8,0,0,2A B ，则直线l 的方程为182x y+=，故B 选项对；对于C ，直线过点()1,1且过原点时，直线为y x =，直线过点()1,1且不过原点时，直线为2x y +=，故C 选项对；对于D ，方程324x y -=可化为1423+=-x y ，为直线的截距式方程，故D 选项对．故选：BCD.10.一只不透明的口袋内装有9张相同的卡片，上面分别标有19 这9个数字（每张卡片上标1个数），“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字为2或5或8”记为事件A ，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字不超过6”记为事件B ，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字大于等于7”记为事件C ．则下列说法正确的是（）A.事件A 与事件C 是互斥事件B.事件B 与事件C 是对立事件C.事件A 与事件B 相互独立D.()()()P A B P A P B =+ 【答案】BC 【解析】【分析】根据古典概型的概率的计算公式，分别算出事件、、A B C 的概率，然后再根据互斥事件、对立事件、相互独立事件及概率的运算性质即可判断出答案.【详解】样本空间为{}{}{}{}Ω1,2,3,4,5,6,7,8,9,2,5,8,1,2,3,4,5,6,7,8,9A B C ====．因为{}8A C ⋂=，所以事件A 与事件C 不是互斥事件，故A 错误；因为{}1,2,3,4,5,6,8,9,B C B C ⋃=⋂=∅，所以事件B 与事件C 为对立事件，故B 正确；因为()()()23162,,99393P AB P A P B =====，所以()()()P AB P A P B =，即事件A 与事件B 相互独立，故C 正确；因为()79P A B ⋃=，所以()()()P A B P A P B ⋃≠+，故D 错误．故选：BC.11.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球为球O ，E ，F 分别是棱AD ，1BB 的中点，G 在棱AB 上移动，则下列选项正确的是（）A.该内切球的球面面积为4πB.存在点G ，使得//OD 平面EFGC.平面EFC 被球O 截得的截面圆的面积为4π7D.当G 为AB 的中点时，过E ，F ，G 的平面截该正方体所得截面的面积为【答案】ACD 【解析】【分析】根据内切球半径计算表面积判断A ；以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设点()2,,0G a ，其中02a ≤≤，利用空间向量法可判断B ，应用空间向量法计算点到平面距离计算求出截面面积判断C ，确定当G 为AB 的中点时，过,,E F G的平面截该正方体所得截面为边长为2的正六边形，利用面积公式求面积判断D.【详解】对于A ，根据已知条件球O 为以O 为圆心，半径1R =，内切球的球面面积为4π，A 正确；对于B ：以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z轴建立如图所示空间直角坐标系，则由题意可得()1,1,1O ，()1,0,0E ，()2,2,1F ，()()0,0,0,0,2,0D C ，设点()2,,0G a ，其中02a ≤≤，对于()1,1,1OD =--- ，()1,2,1EF = ，()1,,0EG a =，设平面EFG 法向量为(),,n x y z =，n EF ⊥ ，⊥ n EG ，则20n EF x y z n EG x ay ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令x a =，则=−1，2z a =-，(),1,2n a a =--为平面EFG 的一个法向量，若存在点G ，使//OD 平面EFG ，只需n OD ⊥，因为120n OD a a ⋅=-++-=不成立，所以B 错误；对于C ：设平面EFC 法向量为 =1,1,1，()1,2,0EC =-，m EF ⊥，m EC ⊥ ，则111112020m EF x y z m EC x y ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令2x =，则11y =，14z =-，()2,1,4m =-为平面EFC 的法向量，又因为()0,1,1OE =--，则O 到平面EFC 的距离为d，则7OE md m⋅==== ，设平面EFC 被球O 截得的截面圆的半径为r，7r ===，所以平面EFC 被球O 截得的截面圆的面积为4π7，C 选项正确；对于D ，当G 为AB 中点时，过,,E F G 的平面截该正方体所得截面为正六边形EGFHNP ，90EAG ∠=︒，在Rt EAG △中，1==AG AE，所以边长EG =，所以截面面积116sin602S =⨯︒=D 正确；故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查几何体与球的组合问题，垂直关系的转化，平面截球的问题，平面截正方体问题，关键是：（1）利用球的弦长公式计算弦长；（2）确定平面截正方体所得截面的形状.第II 卷（非选择题部分，共92分）三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.圆心为()1,2-，半径为5的圆的方程为__________________.【答案】()()221225x y -++=【解析】【分析】根据圆心和半径结合圆的标准方程即可得结果.【详解】由题意可知：圆的方程为()()221225x y -++=.故答案为：()()221225x y -++=.13.经过()()0,2,1,0A B -两点的直线的方向向量为()1,k ，求k 的值为__________．【答案】2【解析】【分析】求出()1,2AB =--，由直线方向向量定义和向量平行得到方程，求出k 的值.【详解】()()()1,00,21,2AB =--=--，由()1,2--与()1,k 平行可得20k -+=，解得2k =.故答案为：214.若恰有三组不全为0的实数对(,)a b 满足关系式|3||533|a b a b ++=-+=，则实数t 的所有可能取值的和为______.【答案】+【解析】t ==，然后转化为仅有三条直线满足(1,1)A 和(5,3)B -到直线:30l ax by ++=（不过原点）的距离t 相等，然后对进行分类讨论求解即可.【详解】由已知得，0t >t ==，看成有且仅有三条直线满足，(1,1)A 和(5,3)B -到直线:30l ax by ++=（不过原点）的距离t 相等；由||AB ==（1）当||2AB t ==l 为线段AB 的垂直平分线以及直线AB 平行的两条直线.（2）当||2AB t <=时，有4条直线l 会使得点(2,1)A 和(5,3)B -到它们的距离相等，注意到l 不过原点，所以当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去；设点A 到l 的距离为d ，①作为增根被舍去的直线l ，过原点和A ，B 的中点(3,1)M -，其方程为30x y +=，此时，t d ==<，符合；②作为增根被舍去的直线l ，过原点且以AB为方向向量，其方程为0x y +=，此时，t d ==<综上，满足题意的实数t 为，，它们的和为+=故答案为：+【点睛】关键点点睛：本题考查了点到直线距离公式的应用以及方程组解的个数问题解法，解题的关键是把问题转化为有且仅有三条直线满足(1,1)A 和(5,3)B -到直线:30l ax by ++=（不过原点）的距离t 相等，属于难题.四、解答题：本题共5个小题，共77分，其中15题13分，16-17题每道15分，18-19题每道17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知空间三点(2,0,2),(1,1,2),(3,0,4)A B C ---，设,a AB b AC ==.（1）求a和b 的夹角θ的余弦值；（2）若向量ka b +与2ka b -互相垂直，求k 的值.【答案】（1）10（2）2或52-【解析】【分析】（1）利用空间向量的坐标表示求出,a b，再利用向量夹角的坐标表示计算即得.（2）利用垂直关系的向量表示及向量数量积的运算律，结合（1）中信息列出方程求解即可.【小问1详解】由点(2,0,2),(1,1,2),(3,0,4)A B C ---，得(1,1,0)a AB == ，(1,0,2)b AC ==-，所以cos 10a ba bθ⋅==-⋅ ，所以a和b夹角θ的余弦值为10-.【小问2详解】由（1）可得()1,,2ka b k k +=- ，()22,,4ka b k k -=+-，因为向量ka b + 与2ka b - 互相垂直，则()()()()221280ka b ka b k k k +⋅-=-++-= ，由整理可得22100k k +-=，解得2k =或52k =-，所以k 的值为2或52-.16.已知ABC V 的三个顶点分别是()5,1A ，()7,3B -，()8,2C -.（1）求BC 边上的高所在的直线方程；（2）若直线l 过点A ，且与直线10x y ++=平行，求直线l 的方程；（3）求BC 边上的中线所在的直线方程.【答案】（1）3140x y --=；（2）60x y +-=；（3）31140x y --=.【解析】【分析】（1）利用斜率坐标公式及垂直关系求出高所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得.（2）设出直线l 的方程，利用待定系数法求出直线方程.（3）求出中点坐标及中线所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得.【小问1详解】直线BC 的斜率2(3)1873BC k --==---，则BC 边上的高所在的直线斜率为3，所以BC 边上的高所在的直线方程为13(5)y x -=-，即3140x y --=.【小问2详解】依题意，设直线l 的方程为0(1)x y m m ++=≠，而直线l 过点()5,1A ，则510m ++=，解得6m =-，所以直线l 的方程为60x y +-=.【小问3详解】依题意，BC 边的中点11(,)22--，因此BC 边上的中线所在直线的斜率113211152k --==--，所以BC 边上的中线所在直线的方程为31(5)11y x -=-，即31140x y --=.17.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1DD ，11C D 的中点.（1）求点F 到直线1B A 的距离；（2）求点F 到平面1A BE 的距离.【答案】（1）322（2）43【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用计算距离的方式计算即可.【小问1详解】建立如图所示空间直角坐标系A xyz-得0,0,0,()2,0,0B ,()10,0,2A ()12,0,2B ,()0,2,1E ,()1,2,2F 所以()12,0,2AB = ,()1,2,2AF = 所以点F 到直线1B A 2211·322AF AB AF AB ⎛⎫ ⎪-= ⎪⎝⎭ 【小问2详解】设平面1A BE 的一个法向量为 =s s由（1）可知()2,2,1BE =- ,()12,0,2BA =- ,()1,2,2BF =- 易知1·0220220·0BE n x y z x z BA n ⎧=-++=⎧⎪⇒⎨⎨-+==⎩⎪⎩ 令2x =，得1,2y z ==所以()2,1,2n =所以点F 到平面1A BE 的距离为·43BF n n = 18.某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m 人，按年龄分成5组，其中第一组[)20,25，第二组[)25,30，第三组[)30,35，第四组[)35,40，第五组[]40,45，得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计这m 人的平均年龄；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者.若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；（3）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和2，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这m 人中35~45岁所有人的年龄的方差.【答案】（1）31.75（2）35（3）293【解析】【分析】（1）由频率分布直方图的平均数算法可得；（2）根据古典型概念公式可得；（3）根据分层抽样平均数和方差公式可得.【小问1详解】设这m 人的平均年龄为x ，则22.50.02527.50.07532.50.055x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯37.50.04542.50.02531.75+⨯⨯+⨯⨯=.【小问2详解】由题意得，第四组应抽取0.2204⨯=人，记为A （甲），B ，C ，D ，第五组抽取0.1202⨯=人，记为E （乙），F ，对应的样本空间的样本点为：(){()()()()()()()()Ω,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A C A D A E A F B C B D B E B F =()()()()()()},,,,,,,,,,,C D C E C F D E D F E F ，设事件M 为“甲、乙两人至少一人被选上”，则()()()()()()()()(){},,,,,,,,,,,,,,,,,M A B A C A D A E A F B E C E D E E F =，所以()()()93Ω155n M P M n ===.【小问3详解】设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为4x ，5x ，方差分别为24s ，25s ，则436x =，542x =，242s =，251s =，设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为z ，方差为2s ，则45424362423866x x z +⨯+⨯===，()()2222244554266s s x z s x z ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()2242292363814238663⎡⎤⎡⎤=+-++-=⎣⎦⎣⎦，据此估计这m 人中35~45岁所有人的年龄的方差为293.19.如图所示，直角梯形ABCD 中，//,,22AD BC AD AB AB BC AD ⊥===，四边形EDCF 为矩形，CF =EDCF ⊥平面ABCD ．（1）求证：//DF 平面ABE ；（2）求平面ABE 与平面EFB 夹角的余弦值；（3）在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE所成角的余弦值为4，若存在，求出线段BP 的长度，若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）53131（3）存在；2【解析】【分析】（1）根据条件先判定垂直关系再建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量判定线面关系即可；（2）利用空间向量结合（1）的结论计算面面夹角即可；（3）利用空间向量研究线面夹角计算即可.【小问1详解】因为四边形EDCF 为矩形，平面EDCF ⊥平面ABCD ，平面EDCF ⋂平面ABCD DC =，所以ED DC ⊥，则ED ⊥平面ABCD ，根据题意可以以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图，易知()()1,0,0,1,2,0A B，((((),1,2,,1,2,,0,2,0E F BE AB -∴=--= ，设平面ABE 的法向量()20,,,20n AB y n x y z n BE x y ⎧⋅==⎪=∴⎨⋅=--+=⎪⎩ ，不妨令0,1x y z ===，则)n = ，又(1,DF =-，0,DF n DF n ∴⋅=∴⊥ ，又DF ⊄ 平面,//ABE DF ∴平面ABE ．【小问2详解】由上可知((1,,BE BF =--=- ，设平面BEF 的法向量(),,m a b c =，2020m BE a b m BF a ⎧⋅=--+=⎪∴⎨⋅=-+=⎪⎩，令4a b c =⇒==，则()4m =，cos 31m n m n θ⋅∴===⋅ ，∴平面ABE 与平面EFB夹角的余弦值为31．【小问3详解】设(()[]1,,2,0,1DP DF λλλλλ==-=-∈，(),2P λλ∴-()1,2BP λλ∴=--- ，又 平面ABE的法向量)n = ，由直线BP 与平面ABE 所成角的余弦值为4，sin cos ,4BP n θ∴=== ，28610λλ∴-+=，12λ∴=或14λ=．当12λ=时，3,1,,222BP BP ⎛⎫=--∴= ⎪ ⎪⎝⎭ ；当14λ=时，53,,,2424BP BP ⎛⎫=--∴= ⎪ ⎪⎝⎭．综上，2BP = ．。
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2023－2024学年二年级数学上册期中试卷
一、填一填。
(每空1分，共33分)
1. 在括号里填上合适的数。
( )＋18＝26( )－29＝5057－( )＞50
( )×5＜204米＋( )米＝50米
100厘米＋3米＝( )米1米－30厘米＝( )厘米
2. 在括号里填上“＞”“＜”“＝”或“＋”“－”“×”。
21＋29( )29＋21100厘米( )1米5＋6( )5×6
53＋3( )53－255×3( )40－2145厘米( )5米
4( )3＝1230( )6＝24
3. 在括号里填上厘米或米。
床长1( )90( ) ，数学书宽15( )，旗杆高13( ) 。
4. 3＋3＋3＋3＝12表示( )个( )相加，写成乘法算式是( )或( )。
5. 比58多16的数是( )，( )比30少16。
6. 三角板上的直角有( )个。
7. 看一看，这支铅笔长( )厘米。
8. 两个加数都是5，和为( )，两个乘数都是5，积为( )。
9. 补全口诀，根据口诀完成下列填空。
五五( )，乘法算式________，读作：________
10. 图中有( )条线段
11. 一班有48名同学，一班人数比二班的人数多15人，二班有( )名同学。
二、算一算。
(25分)
12. 直接写出得数。
4×4＝78－6＝5×2＝52－25＝
64＋30＝87＋13＝98－6－80＝35－(40－5)＝
13. 用竖式计算。
34＋26＝28＋64＝80－55＝81－18＝
49＋31－52＝93－56－27＝76－(39＋28)＝
三、画一画。
(共15分)
14. 画一条比3厘米多2厘米的线段。
15. 以下面的点为顶点画一个比直角小的角。
16. 在下面的图形里画一条线段，使它增加3个直角。
17. 画图表示下面算式的含义。
4×2
5×3
18. 列算式
( )
19. 列算式。
( )
五、解决问题。
(23分)
20. 星期天，小明和他的4个同学去公园玩，公园票每张5元，他们一共花了多少元？
21. 二(1)班图书角有科技书68本，借走了15本，后来又买回来20本．现在有科技书多少本？
22. 一根绳子长56米，第一次用去14米，第二次用去19米这根绳子短了多少米？还剩多少米？
23.
(1)小灰摘了多少颗松果？
(2)他们三个一共摘了多少颗松果？
(3)你还能提出一个数学问题并解答吗？
答案与解析
一、填一填。
(每空1分，共33分)
1. 在括号里填上合适的数。
( )＋18＝26( )－29＝5057－( )＞50
( )×5＜204米＋( )米＝50米
100厘米＋3米＝( )米1米－30厘米＝( )厘米
【答案】8 79 6 3 46 4 70
【解析】
2. 在括号里填上“＞”“＜”“＝”或“＋”“－”“×”。
21＋29( )29＋21100厘米( )1米5＋6( )5×6
53＋3( )53－255×3( )40－2145厘米( )5米
4( )3＝1230( )6＝24
【答案】① ＝＝＜＞＜＜×－
【解析】
3. 在括号里填上厘米或米。
床长1( )90( ) ，数学书宽15( )，旗杆高13( ) 。
【答案】米厘米厘米米
【解析】
4. 3＋3＋3＋3＝12表示( )个( )相加，写成乘法算式是( )或( )。
【答案】① 4 3 3×4＝12 4×3＝12
【解析】
【分析】先根据加法的意义进行填空即可；计算几个相同加数的和，可用乘法计算，用相同的加数乘相同加数的个数，或者用相同加数的个数乘相同的加数即可，依此解答。
【详解】根据分析，填空如下：
3＋3＋3＋3＝12表示4个3相加，写成乘法算式是3×4＝12或4×3＝12。
【点睛】解答此题的关键是要熟练掌握初步认识乘法的意义。
5. 比58多16的数是( )，( )比30少16。
【答案】74 14
【解析】
【分析】根据加法的意义，用58＋16即可求出比58多16的数；
根据减法意义，用30－16即可求出比30少16的数。
【详解】58＋16＝74
30－16＝14
比58多16的数是74，14比30少16。
【点睛】本题主要考查了两位数和两位数的进位加法，以及两位数和两位数的退位减法的计算，掌握相应的计算方法是解答本题的关键。
6. 三角板上的直角有( )个。
【答案】1
【解析】
7. 看一看，这支铅笔长( )厘米。
【答案】7
【解析】
8. 两个加数都是5，和为( )，两个乘数都是5，积为( )。
【答案】10 25
【解析】
【详解】略
9. 补全口诀，根据口诀完成下列填空。
五五( )，乘法算式________，读作：________。
【答案】二十五5×5＝25 5乘5等于25
【解析】
【分析】直接根据乘法口诀填空即可；再根据这个乘法口诀写出对应的乘法算式即可；两个乘数分别照写，中间的“×”读作乘，“＝”读作等于，积照写下来，依此读出这个乘法算式即可。
【详解】根据分析，填空如下：
五五二十五，乘法算式：5×5＝25；
5×5＝25读作：5乘5等于25。
【点睛】解答此题的关键是要熟记5的乘法口诀，以及应掌握乘法算式的读法。
10. 图中有( )条线段。
【答案】3
【解析】
11. 一班有48名同学，一班的人数比二班的人数多15人，二班有( )名同学。
【答案】33
【解析】
二、算一算。
(25分)
12. 直接写出得数
4×4＝78－6＝5×2＝52－25＝
64＋30＝87＋13＝98－6－80＝35－(40－5)＝
【答案】16；72；10；27
94；100；12；0
【解析】
13. 用竖式计算。
34＋26＝28＋64＝80－55＝81－18＝
49＋31－52＝93－56－27＝76－(39＋28)＝
【答案】60；92；25；63；
28；10；9(竖式略)
【解析】
三、画一画。
(共15分)
14. 画一条比3厘米多2厘米的线段。
【答案】见详解
【解析】
【分析】比3厘米多2厘米的线段，它的长度是3＋2＝5(厘米)，画出一条5厘米的线段即可。
【详解】如图：
【点睛】本题考查了根据长度画线段，掌握线段的作图方法是解题的关键。
15. 以下面的点为顶点画一个比直角小的角。
【答案】
【解析】
16. 在下面图形里画一条线段，使它增加3个直角。
【答案】
【解析】
17. 画图表示下面算式的含义。
4×2
5×3
【答案】4×2
5×3
(答案不唯一)【解析】
【详解】略
18. 列算式。
( )
【答案】5×3＝15(个)
【解析】
19. 列算式。
( )
【答案】28＋6＝34(个)
【解析】
五、解决问题。
(23分)
20. 星期天，小明和他的4个同学去公园玩，公园票每张5元，他们一共花了多少元？
【答案】25元
【解析】
21. 二(1)班图书角有科技书68本，借走了15本，后来又买回来20本．现在有科技书多少本？【答案】73本
【解析】
【详解】68-15+20=73(本)
22. 一根绳子长56米，第一次用去14米，第二次用去19米。
这根绳子短了多少米？还剩多少米？【答案】14＋19＝33(米)
56－33＝23(米)
【解析】
23.
(1)小灰摘了多少颗松果？
(2)他们三个一共摘了多少颗松果？
(3)你还能提出一个数学问题并解答吗？【答案】(1)18颗
(2)85颗
(3)小黄比小白多摘几颗？17颗。