全等三角形压轴题及分类解析

B

A O

D

C

E

图8

七年级下三角形综合题归类

一、 双等边三角形模型

１。 (1）如图７,点O 是线段ＡＤ的中点，分别以AO 和DO 为边在线段A Ｄ的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结

ＡC 和BD ，相交于点E,连结ＢC ．求∠A ＥB 的大小;

(2)如图8，ΔＯA Ｂ固定不动，保持ΔＯCD 的形状和大小不变，将ΔＯCD 绕着点O 旋转（ΔO ＡB 和ΔＯC Ｄ不能重叠)，求∠AEB 的大小．

２. 已知:点C 为线段ＡＢ上一点，△ＡCM ，△ＣBN 都是等边三角形,且ＡN 、ＢM 相交于O.

① 求证：AN=BM ② 求 ∠AOB 的度数。

③ 若AN 、M Ｃ相交于点P ，BM 、N Ｃ交于点Q,求证:ＰQ ∥AB 。

（湘潭·中考题）

同类变式： 如图a ，△ABC 和△ＣEF 是两个大小不等的等边三角形,且有一个公共顶点Ｃ，连接AF 和BE. (1)线段ＡF 和ＢE 有怎样的大小关系?请证明你的结论;

(2）将图a 中的△CEF 绕点Ｃ旋转一定的角度,得到图ｂ，（1)中的结论还成立吗？作出判断并说明理由;

（3）若将图a 中的△ABＣ绕点C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c （草图即可),(１)中的结论还成立吗？作出判断不必说明理由。

图c

3． 如图9,若△ABC 和△ADE 为等边三角形，,M N 分别为,EB CD 的中点,易证：

CD BE =，△AMN 是等边三角形.

(１)当把△ADE 绕A 点旋转到图１０的位置时，CD BE =是否仍然成立?若成立,请证明；若不成立，请说明理由; （2）当△ADE 绕A 点旋转到图1１的位置时，△AMN 是否还是等边三角形?若是，请给出证明，若不是,请说明理由.

C

B

O

D

图7 A

E

A B C

M

N

O P

Q

同类变式：已知,如图①所示，在ABC △和ADE △中,AB AC =,AD AE =,BAC DAE ∠=∠,且点B A D ，，在一条直线上,连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点。 (1）求证：①BE CD =;②AN AM =;

（2)在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立．

4. 如图,四边形A ＢCD 和四边形AE ＦＧ均为正方形，连接BG 与DE 相交于点Ｈ．

（１）证明:△ABG ≌△A ＤＥ ； （2)试猜想∠BHD 的度数,并说明理由；

（3）将图中正方形ABCD 绕点Ａ逆时针旋转(0°〈∠B ＡE 〈１80°)，设△ABE 的面积 为1S ，△ADG 的面积为2S ,判断1S 与2S 的大小关系,并给予证明.

C F

G

E

D

B

A

H

图9 图10 图11

C

E

N

D

A B

M

图①

C

A

E

M B

D

N 图②

5。已知：如图,ABC

△是等边三角形,过AB边上的点D作DG BC

∥,交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使

DE DB

，连接AE CD

，.

（1)求证：AGE DAC

△≌△；

(2)过点E作EF DC

∥，交BC于点F，请你连接AF，并判断AEF

△是怎样的三角形,试证明你的结论。

C

G

A

E

D

B F

二、垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容)

考点1：利用垂直证明角相等

1.如图，△ABC中,∠ACＢ＝９0°，ＡC＝ＢC，AE是BC边上的中线，过C作CＦ⊥ＡE，垂足为F,过B作BD⊥ＢC交CＦ的

延长线于D.

求证：（１）AＥ=CD；（2)若AC＝12 cm，求BＤ的长。

2.(西安中考）如图（１), 已知△ABC中，∠BAC＝900， AB=AC, ＡE是过A的一条直线，且Ｂ、C在

A、E的异侧, BD⊥ＡE于Ｄ， CE⊥AＥ于E .

图(1）图（2) 图(3)

(1)试说明: BD=DE+CE．

（2) 若直线AE绕A点旋转到图（2)位置时（ＢD＜CE), 其余条件不变，问BD与ＤＥ、CE的关系如何？写结论,并说明理由. (3）若直线AE绕Ａ点旋转到图(3)位置时（BD>CE），其余条件不变, 问ＢD与DE、ＣＥ的关系如何？写出结论，可不说明理由。

3． 直线C Ｄ经过BCA ∠的顶点C ，CA=CB 。Ｅ、F 分别是直线ＣＤ上两点,且BEC CFA α∠=∠=∠。 (1）若直线CD 经过BCA ∠的内部,且E 、F 在射线ＣD 上，请解决下面两个问题:

①如图1，若90,90BCA α∠=∠=,则EF BE AF -(填“>",“<”或“=”号）;

②如图2，若0180BCA <∠<，若使①中的结论仍然成立，则 α∠与BCA ∠ 应满足的关系是 ; （2）如图3,若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，请探究EF 、与BE 、ＡF 三条线段的数量关系,并给予证明.

考点2:利用角相等证明垂直

1. 已知BE,ＣF 是△ABC 的高，且BP ＝AC ，CQ=ＡＢ，试确定AP 与AQ 的数量关系和位置关系

2。 如图,在等腰Ｒt△ABC 中，∠ACB =9０°，D 为ＢＣ的中点，DE ⊥A Ｂ,垂足为E ，过点B 作BF ∥ＡＣ交D Ｅ的延长线于点F ，连接CF ．

（1）求证：CD=ＢＦ； (2)求证：AD ⊥CF ；

(3）连接A Ｆ,试判断△ACF 的形状．

A

B

C E F D

D

A

B C

E F A

D

F

C E

B

图1 图2 图3

B

A

C

E

F

Q

P

D