2021年上海黄浦区中考数学一模
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黄浦区2020学年度第一学期九年级期终调研测试
数学试卷
2021.1
一、选择题
1. 已知ABC与DEF相似，又∠A=40°，∠B=60°，那么∠D不可能是（ ）
A. 40° B. 60° C. 80° D. 100°
2. 抛物线
2
43yxx=−+−
不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 对于锐角，下列等式中成立的是（ ）
A. sincostan= B. costancot=
C. tancotsin= D. cotsincos=
4. 已知向量a与非零向量e方向相同，且其模为e的2倍；向量b与e方向相反，且其模为e的3倍，则
下列等式中成立的是（ ）
A.
23ab= B. 23ab=− C. 32ab= D. 3
2
ab=−
5. 小明准备画一个二次函数的图像，他首先列表（如下），但在填写函数值时，不小心把其中一个蘸上了
墨水（表中），那么这个被蘸上了墨水的函数值是（ ）
A. 1− B. 3 C. 4 D. 0
x
… 1− 0 1 2 3 …
y … 3 4 3 0 …
6. 如图1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，∠BAD=90°，对角线的交点为点O，如果梯形ABCD的两底边
长不变，而腰长发生变化，那么下列量中不变的是（ ）
A. 点O到边AB的距离 B. 点O到边BC的距离
C. 点O到边CD的距离 D. 点O到边DA的距离
二、填空题
7. 已知三角形的三边长为,,abc，满足
234
abc
==
，如果其周长为36，那么该三角形的最大边长为
____________
8. 已知线段MN的长为4，点P是线段MN的黄金分割点，则其较长线段MP的长是____________
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9. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和6，则该三角形的重心到其直角顶点的距离是
____________
10. 已知一个锐角的正切值比余切值大，且两者之和是
1
3
3
，则这个锐角的正切值为____________
11. 在ABC中，AB=5，BC=8，∠B=60°，则ABC的面积是____________
12. 已知点P位于第二象限内，OP=5，且OP与x轴负半轴夹角的正切值为2，则点P的坐标是____________
13. 如果视线与水平线之间的夹角为36°，那么该视线与铅垂线之间的夹角为____________度
14. 已知二次函数图像经过点（3,4）和（7,4），那么该二次函数图像的对称轴是直线____________
15. 如图2，一个管道的截面图，其内径（即内圆半径）为10分米，管壁厚为x分米，假设该管道的截面
（阴影）面积为y平方分米，那么y关于x的函数解析式是____________（不必写定义域）
16. 如图3，点D、E、F分别位于ABC的三边上，且DE//BC，EF//AB，如果ADE的面积为2，CEF
的面积为8，那么四边形BFED的面积是____________
17. 如果抛物线
()
2
32yxbxc=+++
的顶点为（b,c），那么该抛物线的顶点坐标是____________
18. 已知一个矩形的两邻边长之比为1:2.5，一条平行于边的直线将该矩形分为两个小矩形，如果所得两小
矩形相似，那么这两个小矩形的相似比为____________
三、解答题
19. 计算：
2
2
2sin603tan301cot301cos45
−+−
−
20. 将二次函数
2
23yxx=++
的图像向右平移3个单位，求所得图像的函数解析式；请结合以上两个函
数图像，指出当自变量x在什么取值范围内，上述两个函数中恰好其中一个的函数图像是上升的，而另
一个的函数图像是下降的
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21. 如图4，一个33的网格，其中点A、B、C、D、M、N、P、Q均为网格点.
（1）在点M、N、P、Q中，哪个点和点A、B所构成的三角形与ABC相似? 请说明理由；
（2）设,ABaBCb==，写出向量AD关于,ab的分解式.
22. 如图5，是小明家房屋的纵截面图，其中线段AB为屋内地面，线段AE、BC为房屋两侧的墙，线段
CD、DE为屋顶的斜坡，已知AB=6米，AE=BC=3.2米，斜坡CD、DE的坡比均为1:2.
（1）求屋顶点D到地面AB的距离；
（2）已知在墙AE距离地面1.1米处装有窗ST，如果阳光与地面的夹角53MNP==，为了
防止阳光通过窗ST照射到屋内，所以小明请门窗公司在墙AE端点E处安装一个旋转式遮阳棚（如
图中线段EF），公司设计的遮阳棚可作90°旋转，即090FET=，长度为1.4米，即EF=1.4
米，试问：公司设计的遮阳棚是否能达到小明的要求? 说说你的理由
（参考数据：21.41,31.73,52.24,103.16,sin530.8,cos530.6,==
4
tan533=
）
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23. 某班级的“数学学习小组心得分享课”上，小智跟同学们分享了关于梯形的两个正确的研究结论：
①如图6，在梯形ABCD中，AD//BC，过对角线交点O的直线与两底分别交于点M、N，则
AMCN
DMBN
=
；
②如图7，在梯形ABCD中，AD//BC，过两腰延长线交点P的直线与两底分别交于点K、L，则AKBLDKCL=.
接着小明也跟同学们分享了关于梯形的一个推断：
过梯形对角线交点且平行于底边的直线被梯形两腰所截，截得的线段被梯形对角线的交点平分.
（1）经讨论，大家都认为小明所给出的推断是正确的，请你结合图示（见答题卷）写出已知、求证，并给
出你的证明；
（2）小组还出了一个作图题考同学们：只用直尺将图8中两条平行的线段AB、CD同时平分，请保留作
图过程痕迹，并说明你作图方法的正确性（可以直接运用小智和小明得到的正确结论）
（注意：请务必在试卷的图示中完成作图草稿，在答题卷上直接用2B铅笔或水笔完成作图，不要涂
改）
24. 如图9，平面直角坐标系内直线4yx=+与x轴、y轴分别交于点A、B，点C是线段OB的中点.
（1）求直线AC的表达式；
（2）若抛物线2yaxbxc=++经过点C，且其顶点位于线段OA上（不含端点O、A）.
①用含b的代数式表示a，并写出
1
b
的取值范围；
②设该抛物线与直线4yx=+在第一象限内的交点为点D，试问：DBC与DAC能否相似? 如果能，
请求此时抛物线的表达式；如果不能，请说明理由.
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25. 如图10，四边形ABCD中，AB=AD=4，CB=CD=3，∠ABC=∠ADC=90°，点M、N是边AB、AD上
的动点，且
1
2
MCNBCD=
，CM、CN与对角线BD分别交于点P、Q.
（1）求sin∠MCN的值；
（2）当DN=DC时，求∠CNM的度数；
（3）试问：在点M、N的运动过程中，线段比PQMN的值是否发生变化? 如不变，请求出这个值；如变化，
请至少给出两个可能的值，并说明点N相应的位置.
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参考答案
一、选择题
1. D 2. B 3. A 4. B 5. D 6. D
二、填空题
7. 16 8. 252− 9.5 10. 3 11. 103 12.
()
5,25−
13. 54° 14. 5x= 15.
2
20yxx
=+
16. 8 17. ()1,1− 18. 12或1或2
三、解答题
19. 原式=
5
2
20. 12x−
21.（1）点N，说明略
（2）23ADab=−
22.（1）4.7米
（2）符合要求，说明略
23.（1）略 （2）作图略
24.（1）
1
22yx=+
（2）①
2
8
b
a=
，101b
②能，表达式为
()()
2
721021042yxx=−+−+
25.（1）
4
5
（2）45°
（3）不变，值为
3
5
2021年上海市中考数学真题试卷(学生版+解析版)
2021年上海市中考数学试卷一.选择题1．下列实数中，有理数是（ ）A ．√12B ．√13C ．√14D ．√152．下列单项式中，a 2b 3的同类项是（ ） A ．a 3b 2B ．3a 2b 3C ．a 2bD ．ab 33．将函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象向下平移两个单位，以下错误的是（ ） A ．开口方向不变 B ．对称轴不变 C ．y 随x 的变化情况不变D ．与y 轴的交点不变4．商店准备确定一种包装袋来包装大米，经市场调查后，做出如下统计图，请问选择什么样的包装最合适（ ）A ．2kg /包B ．3kg /包C ．4kg /包D ．5kg /包5．如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB →=a →，AD →=b →，E 为AB 中点，则12a →+b →=（ ）A ．EC →B ．CE →C ．ED →D ．DE →6．如图，长方形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，圆B 半径为1，圆A 与圆B 内切，则点C 、D 与圆A 的位置关系是（ ）A ．点C 在圆A 外，点D 在圆A 内B ．点C 在圆A 外，点D 在圆A 外 C ．点C 在圆A 上，点D 在圆A 内D ．点C 在圆A 内，点D 在圆A 外 二.填空题7．计算：x 7÷x 2＝ ．8．已知f （x ）=6x ，那么f （√3）＝ ． 9．已知√x +4=3，则x ＝ ．10．不等式2x ﹣12＜0的解集是 ． 11．70°的余角是 ．12．若一元二次方程2x 2﹣3x +c ＝0无解，则c 的取值范围为 ． 13．已知数据1、1、2、3、5、8、13、21、34，从这些数据中选取一个数据，得到偶数的概率为 ．14．已知函数y ＝kx 经过二、四象限，且函数不经过（﹣1，1），请写出一个符合条件的函数解析式 ．15．某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本5元/千克，现以8元卖出，挣得 元．16．如图所示，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，S △ABD S △BCD=12，则S △BOC S △BCD= ．17．六个带30度角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积 ．18．定义：平面上一点到图形最短距离为d ，如图，OP ＝2，正方形ABCD 边长为2，O 为正方形中心，当正方形ABCD 绕O 旋转时，则d 的取值范围为 ．三.解答题 19．计算：912+|1−√2|﹣2﹣1×√8．20．解方程组：{x +y =3x 2−4y 2=0．21．如图，已知△ABD 中，AC ⊥BD ，BC ＝8，CD ＝4，cos ∠ABC =45，BF 为AD 边上的中线．（1）求AC 的长； （2）求tan ∠FBD 的值．22．现在5G 手机非常流行，某公司第一季度总共生产80万部5G 手机，三个月生产情况如图．（1）求三月份生产了多少部手机？（2）5G手机速度很快，比4G下载速度每秒多95MB，下载一部1000MB的电影，5G 比4G要快190秒，求5G手机的下载速度．23．如图，在圆O中，弦AB等于弦CD，且相交于点P，其中E、F为AB、CD中点．（1）证明：OP⊥EF；（2）联结AF、AC、CE，若AF∥OP，证明：四边形AFEC为为矩形．24．已知抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过点P（3，0）、Q（1，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点A在直线PQ上，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC．①当Q与A重合时，求C到抛物线对称轴的距离；②若C在抛物线上，求C的坐标．25．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O是对角线AC的中点，联结BO并延长交边CD或边AD于点E．（1）当点E在CD上，①求证：△DAC∽△OBC；②若BE ⊥CD ，求AD BC的值；（2）若DE ＝2，OE ＝3，求CD 的长．2021年上海市中考数学试卷参考答案与试题解析一.选择题1．下列实数中，有理数是（）A．√12B．√13C．√14D．√15【解答】解：A.√12=√22,不是有理数，不合题意；B.√13=√33,不是有理数，不合题意；C.√14=12,是有理数，符合题意；D.√15=√55,不是有理数，不合题意；故选：C．2．下列单项式中，a2b3的同类项是（）A．a3b2B．3a2b3C．a2b D．ab3【解答】解：A、字母a、b的次数不相同，不是同类项，故本选项不符合题意；B、有相同的字母，相同字母的指数相等，是同类项，故本选项符合题意；C、字母b的次数不相同，不是同类项，故本选项不符合题意；D、相同字母a的次数不相同，不是同类项，故本选项不符合题意；故选：B．3．将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，以下错误的是（）A．开口方向不变B．对称轴不变C．y随x的变化情况不变D．与y轴的交点不变【解答】解：A、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，a不变，开口方向不变，故不符合题意．B、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，顶点的横坐标不变，对称轴不变，故不符合题意．C、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，抛物线的性质不变，自变量x不变，则y随x的变化情况不变，故不符合题意．D、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，与y轴的交点也向下平移两个单位，故符合题意．故选：D ．4．商店准备确定一种包装袋来包装大米，经市场调查后，做出如下统计图，请问选择什么样的包装最合适（ ）A ．2kg /包B ．3kg /包C ．4kg /包D ．5kg /包【解答】解：由图知这组数据的众数为1.5kg ~2.5kg ，取其组中值2kg ， 故选：A ．5．如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB →=a →，AD →=b →，E 为AB 中点，则12a →+b →=（ ）A ．EC →B ．CE →C ．ED →D ．DE →【解答】解：∵AB →=a →， ∴12a →=EB →，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC →=AD →=b →，∴12a →+b →=EB →+BC →=EC →，故选：A ．6．如图，长方形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，圆B 半径为1，圆A 与圆B 内切，则点C 、D 与圆A 的位置关系是（ ）A．点C在圆A外，点D在圆A内B．点C在圆A外，点D在圆A外C．点C在圆A上，点D在圆A内D．点C在圆A内，点D在圆A外【解答】解：两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值，设圆A的半径为R，则：AB＝R﹣1，∵AB＝4，圆B半径为1，∴R＝5，即圆A的半径等于5，∵AB＝4，BC＝AD＝3，由勾股定理可知AC＝5，∴AC＝5＝R，AD＝3＜R，∴点C在圆上，点D在圆内，故选：C．二.填空题7．计算：x7÷x2＝x5．【解答】解：x7÷x2＝x7﹣2＝x5，故答案为：x5．8．已知f（x）=6x，那么f（√3）＝2√3．【解答】解：由题意将x═√3代入函数表达式，则有：f(√3)=63=2√3．故答案为：2√3．9．已知√x+4=3，则x＝5．【解答】解：∵√x+4=3，∴x+4＝9∴x ＝5． 故答案为：5．10．不等式2x ﹣12＜0的解集是 x ＜6 ． 【解答】解：移项，得：2x ＜12， 系数化为1，得：x ＜6， 故答案为x ＜6．11．70°的余角是 20° ．【解答】解：根据定义一个角是70°，则它的余角度数是90°﹣70°＝20°， 故答案为，20°．12．若一元二次方程2x 2﹣3x +c ＝0无解，则c 的取值范围为 c ＞98． 【解答】解：∵一元二次方程2x 2﹣3x +c ＝0无解， △＝(﹣3)2﹣4×2×c ＜0， 解得c ＞98，∴c 的取值范围是c ＞98． 故答案为：c ＞98．13．已知数据1、1、2、3、5、8、13、21、34，从这些数据中选取一个数据，得到偶数的概率为13．【解答】解：∵共有9个数据，其中偶数有3个， ∴从这些数据中选取一个数据，得到偶数的概率为39=13，故答案为：13．14．已知函数y ＝kx 经过二、四象限，且函数不经过（﹣1，1），请写出一个符合条件的函数解析式 y ＝﹣2x ．【解答】解：∵函数y ＝kx 经过二、四象限， ∴k ＜0．若函数y ＝kx 经过（﹣1，1），则1＝﹣k ,即k ＝﹣1,故函数y ＝kx 经过二、四象限，且函数不经过（﹣1，1）时，k ＜0且k ≠﹣1， ∴函数解析式为y ＝﹣2x ,故答案为y ＝﹣2x ．15．某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本5元/千克，现以8元卖出，挣得335k 元．【解答】解：设卖出的苹果数量y 与售价x 之间的函数关系式为y ＝mx +n ， {5m +n =4k 10m +n =k ， 解得：{m =−35k n =7k ，∴y =−35kx +7k ，x ＝8时，y ==−35k ×8+7k =115k ， ∴现以8元卖出，挣得（8﹣5）×115k =335k ， 故答案为：335k ．16．如图所示，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，S △ABD S △BCD=12，则S △BOC S △BCD=23．【解答】解：过D 作DM ⊥BC 于M ，过B 作BN ⊥AD 于N ，如图：∵AD ∥BC ，DM ⊥BC ，BN ⊥AD ， ∴四边形BMDN 是矩形，DM ＝BN ，∵S △ABDS △BCD =12， ∴12AD⋅BN 12BC⋅DM =12，∴AD BC =12， ∵AD ∥BC ，∴OD OB =AD BC =12， ∴OB BD =23， ∴S △BOC S △BCD =23， 故答案为：23．17．六个带30度角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积 3√32．【解答】解：如图，∵△ABG ≌△BCH ，∴AG ＝BH ，∵∠ABG ＝30°，∴BG ＝2AG ，即BH +HG ＝2AG ，∴HG ＝AG ＝1，∴小两个正六边形的面积＝6×√34×12=3√32，故答案为：3√32．18．定义：平面上一点到图形最短距离为d，如图，OP＝2，正方形ABCD边长为2，O为正方形中心，当正方形ABCD绕O旋转时，则d的取值范围为2−√2≤d≤1．【解答】解：如图：设AB的中点是E，OP过点E时，点O与边AB上所有点的连线中，OE最小，此时d＝PE最大，OP过顶点A时，点O与边AB上所有点的连线中，OA最大，此时d＝P A最小，如图①：∵正方形ABCD边长为2，O为正方形中心，∴AE＝1，∠OAE＝45°，OE⊥AB，∴OE＝1，∵OP＝2，∴d＝PE＝1；如图②：∵正方形ABCD边长为2，O为正方形中心，∴AE＝1，∠OAE＝45°，OE⊥AB，∴OA=√2，∵OP＝2，∴d＝P A＝2−√2；∴d的取值范围为2−√2≤d≤1．故答案为：2−√2≤d≤1．三.解答题19．计算：912+|1−√2|﹣2﹣1×√8．【解答】解：912+√2−1−12×2√2＝912+√2−1−√2 ＝812．20．解方程组：{x +y =3x 2−4y 2=0． 【解答】解：{x +y =3①x 2−4y 2=0②， 由①得：y ＝3﹣x ，把y ＝3﹣x 代入②，得：x 2﹣4(3﹣x )2＝0，化简得：(x ﹣2)(x ﹣6)＝0，解得：x 1＝2，x 2＝6．把x 1＝2，x 2＝6依次代入y ＝3﹣x 得：y 1＝1，y 2＝﹣3，∴原方程组的解为{x 1=2y 1=1,{x 2=6y 2=−3． 21．如图，已知△ABD 中，AC ⊥BD ，BC ＝8，CD ＝4，cos ∠ABC =45，BF 为AD 边上的中线．（1）求AC 的长；（2）求tan ∠FBD 的值．【解答】解：（1）∵cos ∠ABC =BC AB =45，BC ＝8，∴AB ＝10，∵AC ⊥BD ，在Rt △ACB 中，由勾股定理得，AC =√AB 2−BC 2=√102−82=6，即AC 的长为6；（2）如图，连接CF，过F点作BD的垂线，垂足E，∵BF为AD边上的中线，即F为AD的中点，∴CF=12AD＝FD，在Rt△ACD中，由勾股定理得，AD=√AC2+CD2=√62+42=2√13，∵三角形CFD为等腰三角形，FE⊥CD，∴CE=12CD＝2，在Rt△EFC中，EF=√CF2−CE2=√13−4=3，∴tan∠FBD=FEBE=3BC+CE=310．22．现在5G手机非常流行，某公司第一季度总共生产80万部5G手机，三个月生产情况如图．（1）求三月份生产了多少部手机？（2）5G手机速度很快，比4G下载速度每秒多95MB，下载一部1000MB的电影，5G 比4G要快190秒，求5G手机的下载速度．【解答】解：（1）80×（1﹣30%﹣25%）＝36（万部），答：三月份生产了36万部手机；（2）设5G手机的下载速度是每秒xMB．则4G手机的下载速度是每秒（x﹣95）MB．1000 x +190=1000x−95，解得：x1＝100，x2＝﹣5（不合题意，舍去），经检验，x1＝100是原方程的解，答：5G手机的下载速度是每秒100MB．23．如图，在圆O中，弦AB等于弦CD，且相交于点P，其中E、F为AB、CD中点．（1）证明：OP⊥EF；（2）联结AF、AC、CE，若AF∥OP，证明：四边形AFEC为为矩形．【解答】（1）证明：连接OP,EF,OE,OF,OB＝OD．∵AE＝EB,CF＝FD,AB＝CD,∴OE⊥AB,OF⊥CD,BE＝DF,∴∠OEB＝∠OFD＝90°,∵OB＝OD,∴Rt△OEB≌Rt△OFB(HL),∴OE＝OF,∵∠OEP＝∠OFP＝90°,OP＝OP,∴Rt△OPE≌Rt△OPF(HL),∴PE＝PF,∵OE＝OF,∴OP⊥EF．（2）证明：连接AC,设EF交OP于J．∵AB＝CD,AE＝EB,CF＝DF,∴AE＝CF,BE＝DF,∵PE＝PF,∴P A＝PC,∵PE＝PF,OE＝OF,∴OP垂直平分线段EF,∴EJ＝JF,∵OP∥AF,∴EP ＝P A ,∴PC ＝PF ,P A ＝PE ,∴四边形AFEC 是平行四边形，∵EA ＝CF ,∴四边形AFEC 是矩形．24．已知抛物线y ＝ax 2+c （a ≠0）经过点P （3，0）、Q （1，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点A 在直线PQ 上，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，以AB 为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC ．①当Q 与A 重合时，求C 到抛物线对称轴的距离；②若C 在抛物线上，求C 的坐标．【解答】解：（1）P （3，0）、Q （1，4）代入y ＝ax 2+c 得：{0=9a +c 4=a +c ,解得{a =−12c =92， ∴抛物线的解析式为：y =−12x 2+92；（2）①过C 作CH ⊥AB 于H ，交y 轴于G ，如图：当A 与Q （1，4）重合时，AB ＝4，GH ＝1，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴△ACH 和△BCH 也是等腰直角三角形，∴CH ＝AH ＝BH =12AB ＝2，∴CG ＝CH ﹣GH ＝1，而抛物线y =−12x 2+92的对称轴是y 轴(x ＝0)，∴C 到抛物线对称轴的距离是CG ＝1；②过C 作CH ⊥AB 于H ，如图：设直线PQ 解析式为y ＝kx +b ,将P （3，0）、Q （1，4）代入得：{0=3k +b 4=k +b ,解得{k =−2b =6, ∴直线PQ 为y ＝﹣2x +6，设A (m ,﹣2m +6)，则AB ＝﹣2m +6，∴CH ＝AH ＝BH =12AB ＝﹣m +3，∴y C ＝﹣m +3,x C ＝﹣(﹣m +3﹣m )＝2m ﹣3，将C (2m ﹣3,﹣m +3)代入y =−12x 2+92得：﹣m +3=−12(2m ﹣3)2+92，解得m =12或m ＝3(与P 重合，舍去），∴m =12,2m ﹣3＝﹣2,﹣m +3=52，∴C (﹣2，52)． 25．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝CD ，O 是对角线AC 的中点，联结BO 并延长交边CD 或边AD 于点E ．（1）当点E 在CD 上，①求证：△DAC ∽△OBC ；②若BE ⊥CD ，求AD BC 的值；（2）若DE ＝2，OE ＝3，求CD 的长．【解答】（1）①证明：如图1,∵AD ＝CD ，∴∠DAC ＝∠DCA ．∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACB ．∵BO 是Rt △ABC 斜边AC 上的中线，∴OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ，∴∠DAC ＝∠DCA ＝∠ACB ＝∠OBC ，∴△DAC ∽△OBC ；②解:如图2，若BE ⊥CD ，在Rt △BCE 中，∠OCE ＝∠OCB ＝∠EBC ，∴∠OCE ＝∠OCB ＝∠EBC ＝30°．过点D 作DH ⊥BC 于点H ，设AD ＝CD ＝2m ，则BH ＝AD ＝2m ，在Rt △DCH 中，DC ＝2m ，∴CH ＝m ，∴BC ＝BH +CH ＝3m ,∴AD BC =2m 3m =23； （2）①如图3，当点E 在AD 上时，∵AD ∥BC ，∴∠EAO ＝∠BCO ，∠AEO ＝∠CBO ，∵O 是AC 的中点，∴OA ＝OC ，∴△AOE ≌△COB （AAS ），∴OB ＝OE ，∴四边形ABCE 是平行四边形，又∵∠ABC ＝90°，∴四边形ABCE 是矩形．设AD ＝CD ＝x ,∵DE ＝2,∴AE ＝x ﹣2,∵OE ＝3,∴AC ＝6,在Rt △ACE 和Rt △DCE 中,CE 2＝AC 2﹣AE 2,CE 2＝CD 2﹣DE 2, ∴62﹣(x ﹣2)2＝x 2﹣22,解得x ＝1+√19,或x ＝1−√19(舍去)．∴CD ＝1+√19．②如图4,当点E 在CD 上时,设AD ＝CD ＝x ,则CE ＝x ﹣2,设OB ＝OC ＝m ,∵OE ＝3,∴EB ＝m +3,∵△DAC ∽△OBC ,∴DC OC =AC BC , ∴x m =2OC BC , ∴OC BC =x 2m． 又∵∠EBC ＝∠OCE ,∠BEC ＝∠OEC ,∴△EOC ∽△ECB ,∴OE EC =EC EB =OC CB , ∴3x−2=x−2m+3=OC CB , ∴3x−2=x−2m+3=x 2m ,∴m =x 2−2x 6,将m =x 2−2x 6代入3x−2=x−2m+3, 整理得,x 2﹣6x ﹣10＝0,解得x＝3+√19,或x＝3−√19(舍去)．∴CD＝3+√19．综合以上可得CD的长为1+√39或3+√39．第21页（共21页）。
2021年上海市中考数学真题(原卷版+解析版)
A. 2kg /包
B. 3kg /包
C. 4kg /包
D. 5kg /包
5.
如图，已知平行四边形
ABCD
中，
AB
a,
AD
b
，E
为
AB
中点，求
1
a
b
（
）
2
2
2021 年上海市中考数学试题（原卷+解析）
A. EC
B. CE
C. ED
D. DE
6. 如图，已知长方形 ABCD 中， AB 4, AD 3 ，圆 B的半径为 1，圆 A 与圆 B 内切，则点 C, D 与圆 A
的位置关系是（ ）
A. 点 C 在圆 A 外，点 D 在圆 A 内
B. 点 C 在圆 A 外，点 D 在圆 A 外
C. 点 C 在圆 A 上，点 D 在圆 A 内
二、填空题 7. 计算： x7 x2 = _____________． 8. 已知 f (x) 6 ，那么 f ( 3) __________．
B. 2a2b3
C. a2b
D. ab3
3. 将抛物线 y ax2 bx c(a 0) 向下平移两个单位，以下说法错误的是（ ）
A. 开口方向不变
B. 对称轴不变
C. y 随 x 的变化情况不变 D. 与 y 轴的交点不变
4. 商店准备一种包装袋来包装大米，经市场调查以后，做出如下统计图，请问选择什么样的包装最合适（ ）
边长为 2，中心为 O，在正方形外有一点 P, OP 2 ，当正方形绕着点 O 旋转时，则点 P 到正方形的最短距
离 d 的取值范围为__________．
4
2021 年上海市中考数学试题（原卷+解析）
2021年上海市中考数学试卷+答案解析,完整word版
2021年上海市中考数学试卷+答案解析，完整word版2021年上海市中考数学试卷一、选择题（共9小题，每小题4分，满分36分） 1．（2021?上海）下列运算中，计算结果正确的是（）3332325336A．x?x=2x B．x÷x=x C．（x）=x D．x+x=2x 2．（2021?密云县）2021北京奥运会主会场“鸟巢”的座席数是91 000个，这个数用科学记数法表示为（）5433A．0.91×10 B．9.1×10 C．91×10 D．9.1×10 3．（2021?锦州）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B．2C． D．4．（2021?上海）若抛物线y=（x+1）��2与x轴的正半轴相交于点A，则点A的坐标为（） A．（��1��，0） B．（，0） C．（��1，��2） D．（��1+，0）5．（2021?上海）若一元二次方程4x+A．x1+x2=��，x1?x2=��2x=1的两个根分别为x1，x2，则下列结论正确的是（） B．x1+x2=��，x1?x2=��1C．x1+x2=，x1?x2=D．x1+x2=，x1?x2=1 6．（2021?上海）下列结论中，正确的是（） A．圆的切线必垂直于半径 B．垂直于切线的直线必经过圆心 C．垂直于切线的直线必经过切点D．经过圆心与切点的直线必垂直于切线 7．（2021?上海）一个布袋中有4个红球与8个白球，除颜色外完全相同，那么从布袋中随机摸一个球是白球的概率是（）8．（2021?上海）若A．||=||是非零向量，则下列等式正确的是（） B．=C．+≠0D．||+||=0A．B．C．D．9．（2021?上海）下列事件中，属必然事件的是（）A．男生的身高一定超过女生的身高 B．方程4x+4=0在实数范围内无解定得满分D．两个无理数相加一定是无理数二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分） 10．（2021?上海）不等式2��3x＞0的解集是 _________ ． 11．（2021?上海）分解因式：xy��x��y+1=_________ ．2C．明天数学考试，小明一12．（2021?上海）化简：13．（2021?上海）方程14．（2021?上海）函数= _________ ．的根是x= _________ ．的定义域是 _________ ．15．（2021?上海）若反比例函数y=（k＜0）的函数图象过点P（2，m）、Q（1，n），则m与n的大小关系是：m _________ n．16．（2021?上海）关于x的方程mx+mx+1=0有两个相等的实数根，那么m=_________ ． 17．（2021?上海）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（��2，3），点B的坐标为（��1，6）．若点C与点A关于y轴对称，则点B与点C之间的距离为_________ ． 18．（2021?上海）如图，将直线OP向下平移3个单位，所得直线的函数解析式为 _________ ．219．（2021?上海）在△ABC中，过重心G且平行BC的直线交AB于点D，那么AD：DB= _________ ．20．（2021?上海）如图，圆O1与圆O2相交于A、B两点，它们的半径都为2，圆O1经过点O2，则四边形O1AO2B的面积为 _________ ．21．（2021?上海）如图，矩形纸片ABCD，BC=2，∠ABD=30度．将该纸片沿对角线BD 翻折，点A落在点E处，EB交DC于点F，则点F到直线DB的距离为 _________ ．三、解答题（共7小题，满分78分） 22．（2021?上海）先化简，再求值：，其中a=+1，b=��1．23．（2021?上海）解方程：24．（2021?上海）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD=CD，cosB=求：（1）cos∠DAC的值；（2）线段AD的长．，BC=26．25．（2021?上海）近五十年来，我国土地荒漠化扩展的面积及沙尘暴发生的次数情况如表1，表2所示．表1：土地荒漠化扩展的面积情况 ?? 年代 50，60年代的20年70，80年代的20年 2100 90年代的20年 2460 平均每年土地荒漠化1360 2扩展的面积（km）表2：沙尘暴发生的次数情况年代每十年沙尘暴发生次数 5 8 50年代的10年60年代的10年 70年代的10年 80年代的10年 90年代的10年 13 14 23 （1）求出五十年来平均每年土地荒漠化扩展的面积；（2）在图中画出不同年代沙尘暴发生的次数的折线图；（3）观察表2或（2）所得的折线图，你认为沙尘暴发生次数呈 _________ （选择“增加”，“稳定”或“减少”）趋势．26．（2021?上海）如图，在△ABC中，点D在边AC上，DB=BC，点E是CD的中点，点F是AB的中点．（1）求证：EF=AB；（2）过点A作AG∥EF，交BE的延长线于点G，求证：△ABE≌△AGE．27．（2021?上海）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，以点A（0，��3）为圆心，5为半径作圆A，交x轴于B，C两点，交y轴于点D，E两点．（1）求点B，C，D的坐标；（2）如果一个二次函数图象经过B，C，D三点，求这个二次函数解析式；（3）P为x轴正半轴上的一点，过点P作与圆A相离并且与x轴垂直的直线，交上述二次函数图象于点F，当△CPF中一个内角的正切之为时，求点P的坐标．28．（2021?上海）正方形ABCD的边长为2，E是射线CD上的动点（不与点D重合），直线AE交直线BC于点G，∠BAE的平分线交射线BC于点O．（1）如图，当CE=时，求线段BG的长；（2）当点O在线段BC上时，设，BO=y，求y关于x的函数解析式；（3）当CE=2ED时，求线段BO的长．2021年上海市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共9小题，每小题4分，满分36分） 1．（2021?上海）下列运算中，计算结果正确的是（）3332325336A．x?x=2x B．x÷x=x C．（x）=x D．x+x=2x考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方。
2021年上海市徐汇区中考一模数学试卷(含详细解析)
2021年上海市徐汇区中考一模数学试卷（含详细解析）2021年上海市徐汇区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的1．以下两个图形一定相近的就是（）a．两个菱形b．两个矩形c．两个正方形d．两个等腰梯形2．例如图，如果ab∥cd∥ef，那么以下结论恰当的就是（）a．3．将抛物线y=2（x+1）2向右位移2个单位，再向上位移2个单位税金崭新抛物线的表达式就是（）2222a．y=2（x+3）b．y=（x+3）c．y=（x1）d．y=2（x1）4．点g是△abc的重心，如果ab=ac=5，bc=8，那么ag的长是（）a．1b．2c．3d．45．如果从甲船看看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，那么从乙船看看甲船，甲船在乙船的（）a．南偏西30°方向b．南偏西60°方向c．南偏东30°方向d．南偏东60°方向6．如图，梯形abcd中，ad∥bc，∠bac=90°，ab=ac，点e是边ab上的一点，∠ecd=45°，那么下列结论错误的是（）2=b．=c．=d．=a．∠aed=∠ecbb．∠ade=∠acec．be=二、填空题(本大题共12题，每题4分，满分48分)7．计算：2（2+3）8．如果=，那么=．+=．add．bc=ce9．已知二次函数y=2x1，如果y随x的增大而增大，那么x的取值范围是．10．如果两个相近三角形的面积比是4：9，那么它们对应低的比是．11．如图所示，一皮带轮的坡比是1：2.4，如果将货物从地面用皮带轮送到离地10米的平台，那么该货物经过的路程是米．12．未知点m（1，4）在抛物线y=ax4ax+1上，如果点n和点m关于该抛物线的对称轴等距，那么点n的座标就是．13．点d在△abc的边ab上，ac=3，ab=4，∠acd=∠b，那么ad的长是．14．例如图，在?abcd中，ab=6，ad=4，∠bad的平分线ae分别交bd、cd于f、e，那么=．2215．如图，在△abc中，ah⊥bc于h，正方形defg内接于△abc，点d、e分别在边ab、ac上，点g、f在边bc上．如果bc=20，正方形defg的面积为25，那么ah的长是．16．例如图，在rt△abc中，∠acb=90°，cd⊥ab，像距为d，tan∠acd=，ab=5，那么cd的短就是．17．如图，在梯形abcd中，ad∥bc，bc=2ad，点e是cd的中点，ac与be交于点f，那么△abf和△cef的面积比是．18．例如图，在rt△abc中，∠bac=90°，ab=3，cosb=，将△abc绕着点a转动得△ade，点b的对应点d落到边bc上，连结ce，那么ce的短就是．三、（本大题共7题，第19-22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19．计算：4sin45°2tan30°cos30°+20．抛物线y=x2x+c经过点（2，1）．（1）谋抛物线的顶点座标；2（2）将抛物线y=x2x+c沿y轴向上位移后，税金崭新抛物线与x轴处设a、b两点，如果ab=2，力争上游抛物线的表达式．21．如图，在△abc中，点d、e分别在边ab、ac上，（1）求de的长；（2）过点d作df∥ac交bc于f，设立=，=，谋向量（用向量、表示）=，ae=3，ce=1，bc=6．2．22．例如图，热气球在距地面800米的a处为，在a处测得两大楼顶c的俯角就是30°，热气球沿着水平方向向此大楼飞行器400米后达至b处为，从b处为再次测出此大楼楼顶c的俯角就是45°，求该大楼cd的高度．参考数据：≈1.41，≈1.73．23．例如图，在△abc中，ac=bc，点d在边ac上，ab=bd，be=ed，且∠cbe=∠abd，de与cb处设点f．澄清：（1）bd=ad?be；（2）cd?bf=bc?df．224．例如图，在rt△aob中，∠aob=90°，未知点a（1，1），点b在第二象限，ob=2物线y=x+bx+c经过点a和b．（1）谋点b的座标；（2）求抛物线y=x+bx+c的对称轴；（3）如果该抛物线的对称轴分别和边ao、bo的延长线处设点c、d，设点e在直线ab上，当△b oe和△bcd相近时，轻易写下点e的座标．22，抛25．例如图，四边形abcd中，∠c=60°，ab=ad=5，cb=cd=8，点p、q分别就是边ad、bc上的动点，aq和bp处设点e，且∠beq=90°∠bad，设a、p两点的距离为x．（1）谋∠beq的正弦值；（2）设立=y，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）当△aep就是等腰三角形时，谋b、q两点的距离．。
2021年上海市中考数学考点必杀500题专练13(二次函数压轴题)(30题)(原卷版)
2021中考考点必杀500题专练13（二次函数压轴题）（30道）1．（2021·上海九年级二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x mx n =-++经过点(5,0)A ，顶点为点B ，对称轴为直线3x =，且对称轴与x 轴交于点C ．直线y kx b =+，经过点A ，与线段BC 交于点E ． （1）求抛物线2y x mx n =-++的表达式；（2）联结BO 、EO ．当BOE △的面积为3时，求直线y kx b =+的表达式；（3）在（2）的条件下，设点D 为y 轴上的一点，联结BD 、AD ，当=BD EO 时，求DAO ∠的余切值．2．（2021·上海虹口区·九年级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,0A -、()3,0B 、()0,3C ，抛物线2y ax bx c =++经过A 、B 两点．（1）当该抛物线经过点C 时，求该抛物线的表达式；（2）在（1）题的条件下，点P 为该抛物线上一点，且位于第三象限，当PBC ACB ∠=∠时，求点P 的坐标；（3）如果抛物线2y ax bx c =++的顶点D 位于BOC 内，求a 的取值范围．3．（2021·上海金山区·九年级一模）在平面直角坐标系xoy 中，直线324y x =-+与直线132y x =-相交于点A ，抛物线21(0)y ax bx a =+-≠经过点A ．（1）求点A 的坐标； （2）若抛物线21y ax bx =+-向上平移两个单位后，经过点()1,2-，求抛物线21y ax bx =+-的表达式； （3）若抛物线2y a x b x c =+'+'()0a '<与21y ax bx =+-关于x 轴对称，且这两条抛物线的顶点分别是点P '与点P ，当3OPP S ∆'=时，求抛物线21y ax bx =+-的表达式．4．（2021·上海徐汇区·九年级一模）已知二次函数224(0)y ax ax a a =-++<的大致图像如图所示，这个函数图像的顶点为点 D ．（1）求该函数图像的开口方向、对称轴及点D 的坐标；（2）设该函数图像与y 轴正半轴交于点C ，与x 轴正半轴交于点B ，图像的对称轴与x 轴交于点A ，如果DC BC ⊥，1tan 3DBC ∠=，求该二次函数的解析式； （3） 在（2）的条件下，设点M 在第一象限该函数的图像上，且点M 的横坐标为(1)t t >，如果 ACM ∆的面积是258，求点M 的坐标．5．（2021·上海九年级专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，如果抛物线2y ax bx c =++上存在一点A ，使点A 关于坐标原点O 的对称点A '也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归抛物线，点A 叫做这条抛物线的回归点．（1）已知点M 在抛物线224y x x =-++上，且点M 的横坐标为2，试判断抛物线224y x x =-++是否为回归抛物线，并说明理由；（2）已知点C 为回归抛物线22y x x c =--+的顶点，如果点C 是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，所求得的抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．连接CO 并延长，交该抛物线于点E ．点F 是射线CD 上一点，如果CFE DEC ∠=∠，求点F 的坐标．6．（2021·上海九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴正半轴交于点()4,0A ，与y 轴交于点()0,2B ，点C 在该抛物线上且在第一象限．()1求该抛物线的表达式；()2将该抛物线向下平移m 个单位，使得点C 落在线段AB 上的点D 处，当13AD BD =时，求m 的值； ()3联结BC ，当2CBA BAO ∠=∠时，求点C 的坐标．7．（2021·上海九年级专题练习）在平面直角坐标系xOy 中（如图）．已知点()1,2A -，点()1,6B ，点()1,4C ．如果抛物线()230y ax bx a =++≠恰好经过这三个点之中的两个点．（1）试推断抛物线23y ax bx =++经过点A 、B 、C 之中的哪两个点？简述理由；（2）求常数a 与b 的值：（3）将抛物线23y ax bx =++先沿与y 轴平行的方向向下平移2个单位长度，再与沿x 轴平行的方向向右平移0t t 个单位长度，如果所得到的新抛物线经过点()1,4C ．设这个新抛物线的顶点是D ．试探究ABD △的形状．8．（2021·上海九年级专题练习）我们已经知道二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线．研究二次函数的图像与性质，我们主要关注抛物线的对称轴、抛物线的开口方向、抛物线的最高点（或最低点）的坐标、抛物线与坐标轴的交点坐标、抛物线的上升或下降情况（沿x 轴的正方向看）．已知一个二次函数()20y ax bx c a =++≠的大致图像如图所示．（1）你可以获得该二次函数的哪些信息？（写出四条信息即可）（2）依据目前的信息，你可以求出这个二次函数的解析式吗？如果可以，请求出这个二次函数的解析式；如果不可以，请补充一个条件，并求出这个二次函数的解析式．9．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知对称轴为直线1x =-的抛物线23y ax bx =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为()1,0．（1）求点B 的坐标及抛物线的表达式；（2）记抛物线的顶点为P ，对称轴与线段BC 的交点为Q ，将线段PQ 绕点Q ，按顺时针方向旋转120︒，请判断旋转后点P 的对应点P '是否还在抛物线上，并说明理由；（3）在x 轴上是否存在点M ，使MOC △与BCP 相似？若不存在，请说明理由；若存在请直接写出点M 的坐标（不必书写求解过程）．10．（2021·上海黄浦区·九年级一模）如图，平面直角坐标系内直线4y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点C 是线段OB 的中点．（1）求直线AC 的表达式：（2）若抛物线2y ax bx c =++经过点C ，且其顶点位于线段OA 上（不含端点O 、A ）．①用含b 的代数式表示a ，并写出1b的取值范围； ②设该抛物线与直线4y x =+在第一象限内的交点为点D ，试问：DBC △与DAC △能否相似？如果能，请求此时抛物线的表达式：如果不能，请说明由．11．（2021·上海浦东新区·九年级一模）二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图像经过点A(2，4)、B(5，0)和O(0，0)．（1）求二次函数的解析式；（2）联结AO ，过点B 作BC⊥AO 于点C ，与该二次函数图像的对称轴交于点P ，联结AP ，求⊥BAP 的余切值；（3）在（2）的条件下，点M 在经过点A 且与x 轴垂直的直线上，当AMO 与ABP 相似时，求点M 的坐标．12．（2021·上海静安区·九年级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1(0)2y x m m =-+>与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ．抛物线24y ax bx =++（a ≠0）经过点A ，且与y 轴相交于点C ，⊥OCA =⊥OAB ． （1）求直线AB 的表达式；（2）如果点D 在线段AB 的延长线上，且AD =AC ．求经过点D 的抛物线24y ax bx =++的表达式； （3）如果抛物线24y ax bx =++的对称轴与线段AB 、AC 分别相交于点E 、F ，且EF =1，求此抛物线的顶点坐标．13．（2021·上海宝山区·九年级一模）已知抛物线()20y ax bx a =+≠经过 ()4,0A ，()1,3B -两点，抛物线的对称轴与x 轴交于点C ，点 D 与点B 关于抛物线的对称轴对称，联结BC 、BD ．（1）求该抛物线的表达式以及对称轴；（2）点E 在线段BC 上，当CED OBD =∠∠时，求点 E 的坐标；（3）点M 在对称轴上，点N 在抛物线上，当以点O 、A 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积．14．（2021·上海九年级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点()4,0A -和点()2,0B ，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的表达式及点C 的坐标：（2）如果点D 的坐标为()8,0-，联结AC 、DC ，求ACD ∠的正切值；（3）在（2）的条件下，点P 为抛物线上一点，当OCD CAP ∠=∠时，求点P 的坐标．15．（2021·上海普陀区·九年级一模）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线21y ax bx =++与y 轴交于点A ，顶点B 的坐标为(2,1)-．（1）直接写出点A 的坐标，并求抛物线的表达式；（2）设点C 在x 轴上，且90CAB ∠=︒，直线AC 与抛物线的另一个交点为点D．①求点C 、D 的坐标；②将抛物线21y ax bx =++沿着射线BD 的方向平移；平移后的抛物线顶点仍在线段BD 上；点A 的对应点为点P ．设线段AB 与x 轴的交点为点Q ，如果ADP △与CBQ △相似，求点P 的坐标．16．（2021·上海松江区·九年级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax bx =+-经过点()2,0A 和(1,1)B --与y 轴交于点C ．（1）求这个抛物线的表达式；（2）如果点P 是抛物线位于第二象限上一点，PC 交x 轴于点D ，23PD DC =．①求P 点坐标；②点Q 在x 轴上，如果QCA PCB ∠=∠，求点Q 的坐标．17．（2021·上海杨浦区·九年级一模）已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()24y x m =--+与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C 、D （点C 在点D 左侧），顶点A 在第一象限，异于顶点A 的点()1,P n 在该抛物线上．（1）如果点P 与点C 重合，求线段AP 的长；（2）如果抛物线经过原点，点Q 是抛物线上一点，tan 3OPQ ∠=，求点Q 的坐标；（3）如果直线PB 与x 轴的负半轴相交，求m 的取值范围．18．（2021·上海九年级其他模拟）抛物线21y=x +x+m 4的顶点在直线y=x+3上，过点F （－2，2）的直线交该抛物线于点M 、N 两点（点M 在点N 的左边），MA⊥x 轴于点A ，NB⊥x 轴于点B ．（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m 的代数式表示），再求m 的值；（2）设点N 的横坐标为a ，试用含a 的代数式表示点N 的纵坐标，并说明NF ＝NB ；（3）若射线NM 交x 轴于点P ，且PA×PB ＝1009，求点M 的坐标．19．（2020·上海浦东新区·九年级三模）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点A （−3,0）和点B ，与y 轴相交于点C （0,3），抛物线的顶点为点D ．（1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标；（2）联结AD 、AC 、CD ，求⊥DAC 的正切值；（3）如果点P 是原抛物线上的一点，且⊥PAB =⊥DAC ，将原抛物线向右平移m 个单位（m >0），使平移后新抛物线经过点P ，求平移距离．20．（2020·上海宝山区·九年级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若⊥ACE的面积的最大值为54，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，当以点A、D、P、Q为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点P的坐标．21．（2020·上海普陀区·九年级二模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）经过点A，其顶点为C，直线y＝1与y轴交于点B，与抛物线交于点D（在其对称轴右侧），联结BC、CD．（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；（2）点P是y轴的负半轴上的一点，如果⊥PBC与⊥BCD相似，且相似比不为1，求点P的坐标；（3）将⊥CBD绕着点B逆时针方向旋转，使射线BC经过点A，另一边与抛物线交于点E（点E在对称轴的右侧），求点E的坐标．22．（2020·上海虹口区·九年级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A(﹣1，0)和点B(3，0)，该抛物线对称轴上的点P在x轴上方，线段PB绕着点P逆时针旋转90°至PC（点B对应点C），点C恰好落在抛物线上．（1）求抛物线的表达式并写出抛物线的对称轴；（2）求点P的坐标；（3）点Q在抛物线上，联结AC，如果⊥QAC＝⊥ABC，求点Q的坐标．23．（2020·上海青浦区·九年级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2﹣4ax+3的图象与x 轴正半轴交于点A、B，与y轴相交于点C，顶点为D，且tan⊥CAO＝3．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是对称轴右侧抛物线上的点，联结CP，交对称轴于点F，当S⊥CDF：S⊥FDP＝2：3时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将⊥PCD沿直线MN翻折，当点P恰好与点O重合时，折痕MN交x轴于点M，交y轴于点N，求OMON的值．（﹣3，0）和点B（3，2），与y轴相交于点C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）点P是抛物线在第一象限内一点，联结AP，如果点C关于直线AP的对称点D恰好落在x轴上，求直线AP的截距；（3）在（2）小题的条件下，如果点E是y轴正半轴上一点，点F是直线AP上一点．当⊥EAO与⊥EAF全等时，求点E的纵坐标．25．（2020·上海奉贤区·）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0）．直线y＝1 2x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标；（2）将抛物线y＝x2+bx向右平移，使平移后的抛物线经过点B，求平移后抛物线的表达式；（3）将抛物线y＝x2+bx向下平移，使平移后的抛物线交y轴于点D，交线段BC于点P、Q，（点P在点Q 右侧），平移后抛物线的顶点为M，如果DP⊥x轴，求⊥MCP的正弦值．的正半轴分别交于A 、B 两点，且OA ＝OB ，抛物线的顶点为M ，联结AB 、AM ．（1）求这条抛物线的表达式和点M 的坐标；（2）求sin⊥BAM 的值；（3）如果Q 是线段OB 上一点，满足⊥MAQ ＝45°，求点Q 的坐标．27．（2020·上海嘉定区·九年级二模）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知经过点A （﹣3，0）的抛物线y ＝ax 2+2ax ﹣3与y 轴交于点C ，点B 与点A 关于该抛物线的对称轴对称，D 为该抛物线的顶点． （1）直接写出该抛物线的对称轴以及点B 的坐标、点C 的坐标、点D 的坐标；（2）联结AD 、DC 、CB ，求四边形ABCD 的面积；（3）联结AC ．如果点E 在该抛物线上，过点E 作x 轴的垂线，垂足为H ，线段EH 交线段AC 于点F ．当EF ＝2FH 时，求点E 的坐标．28．（2020·上海长宁区·九年级二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x mx n =++经过点()2,2A -，对称轴是直线1x =，顶点为点B ，抛物线与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的表达式和点B 的坐标；（2）将上述抛物线向下平移1个单位，平移后的抛物线与x 轴正半轴交于点D ，求BCD ∆的面积； （3）如果点P 在原抛物线上，且在对称轴的右侧，联结BP 交线段OA 于点Q ，15BQ PQ =，求点P 的坐标．29．（2020·上海崇明区·九年级二模）已知抛物线24y ax bx =+-经过点(1,0),(4,0)A B -，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线上一点，且在第四象限内，连接AC BC CD BD 、、、．（1）求抛物线的函数解析式，并写出对称轴；（2）当4BCD AOC S S ∆∆=时，求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，如果点E 是x 轴上一点，点F 是抛物线上一点，当以点A D E F 、、、为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点E 的坐标．30．（2020·上海浦东新区·九年级二模）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点(0,3)C ，对称轴是直线1x =．（1）求抛物线的表达式；（2）直线MN 平行于x 轴，与抛物线交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），且34MN AB =，点C 关于直线MN 的对称点为E ，求线段OE 的长；（3）点P 是该抛物线上一点，且在第一象限内，联结CP 、EP ，EP 交线段BC 于点F ，当:1:2CPF CEF S S =△△时，求点P 的坐标．。
上海市浦东新区2021年中考数学一模试卷附答案
中考数学一模试卷一、单选题（共6题；共12分）1.A 、B两地的实际距离AB=250米，如果画在地图上的距离=5厘米，那么地图上的距离与实际距离的比为（）A. 1∶500B. 1∶5 000C. 500∶1D. 5 000∶12.已知在中，，，那么AB的长等于（）A. B. C. D.3.下列关于x的函数中，一定是二次函数的是（）A. B. C. D.4.已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中正确的是（）．A. ；B. ；C. ；D. ．5.如图，在ABC中，点D、F是边AB上的点，点E是边AC上的点，如果∠ACD=∠B，DE BC，EF CD，下列结论不成立的是（）A. B. C. D.6.已知点A（1，2）、B（2，3）、C（2，1），那么抛物线可以经过的点是（）A. 点A、B、CB. 点A、BC. 点A、CD. 点B、C二、填空题（共12题；共12分）7.如果线段a、b满足，那么的值等于________．8.已知线段MN的长是4cm，点P是线段MN的黄金分割点，则较长线段MP的长是________cm．9.计算：________．10.如果从某一高处甲看低处乙的俯角为36度，那么从低处乙看高处甲的仰角是________度．11.已知AD、BE是ABC的中线，AD、BE相交于点F，如果AD=3，那么AF=________．12.如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，设，，那么向量关于、的分解式为________．13.如果抛物线经过原点，那么该抛物线的开口方向________．（填“向上”或“向下”）14.如果（2，）、（3，）是抛物线上两点，那么________ ．（填“>”或“<”）15.如图，矩形DEFG的边EF在ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知ABC的边BC长60厘米，高AH为40厘米，如果DE=2DG，那么DG=________厘米．16.秦九韶的《数书九章》中有一个“峻积验雪”的例子，其原理为：如图，在Rt ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，AD⊥AB，AD=0.4，过点D作DE AB交CB的延长线于点E，过点B作BF⊥CE交DE于点F，那么BF=________．17.如果将二次函数的图像平移，有一个点既在平移前的函数图像上又在平移后的函数图像上，那么称这个点为“平衡点”．现将抛物线：向右平移得到新抛物线，如果“平衡点”为（3，3），那么新抛物线的表达式为________．18.如图，ABC中，AB=10，BC=12，AC=8，点D是边BC上一点，且BD：CD=2：1，联结AD，过AD中点M的直线将ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为________．三、解答题（共7题；共65分）19.已知向量关系式，试用向量、表示向量．20.已知抛物线的顶点在第二象限，求的取值范围．21.如图，已知AD BE CF，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8．（1）求的值；（2）当AD=5，CF=19时，求BE的长．22.如图，燕尾槽的横断面是等腰梯形ABCD，现将一根木棒MN放置在该燕尾槽中，木棒与横断面在同一平面内，厚度等不计，它的底端N与点C重合，且经过点A．已知燕尾角∠B=54.5°，外口宽AD=180毫米，木棒与外口的夹角∠MAE=26.5°，求燕尾槽的里口宽BC（精确到1毫米）．（参考数据：，，，，，）23.Rt ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别为边AB、BC上的点，且CD=CA，DE⊥AB．（1）求证：．（2）联结AE，取AE的中点M，联结CM并延长与AB交于点H．求证：CH⊥AB．24.二次函数（）的图像经过点A（2，4）、B（5，0）和O（0，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）联结AO，过点B作BC⊥AO于点C，与该二次函数图像的对称轴交于点P，联结AP，求∠BAP的余切值；（3）在（2）的条件下，点M在经过点A且与x轴垂直的直线上，当AMO与ABP相似时，求点M的坐标．25.四边形ABCD是菱形，∠B≤90°，点E为边BC上一点，联结AE，过点E作EF⊥AE，EF与边CD交于点F，且EC=3CF．（1）如图1，当∠B=90°时，求与的比值；（2）如图2，当点E是边BC的中点时，求的值；（3）如图3，联结AF，当∠AFE=∠B且CF=2时，求菱形的边长．答案解析部分一、单选题1.【解析】【解答】解：∵250米=25000cm，∴=5：25000=1：5000．故答案为：B．【分析】地图上距离与实际距离的比就是在地图上的距离与实际距离AB的比值．2.【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，BC＝2，∴sinA＝，∴AB＝= ，故答案为：A．【分析】在直角三角形ACB中，根据锐角三角函数的定义，求出答案即可。
2021届上海市黄浦区高三上学期一模数学试题(解析版)
2021届上海市黄浦区高三上学期一模数学试题一、单选题1．已知a b l 、、是空间中的三条直线，其中直线a b 、在平面α上，则“l a ⊥且l b ⊥”是“l ⊥平面α”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件【答案】B【分析】“l a ⊥且l b ⊥”与“l ⊥平面α”中，一个做题设，一个做结论构建互逆的两个命题，再判断其真假即得.【详解】命题p ：若“l a ⊥且l b ⊥”，则“l ⊥平面α”， 命题q ：若“l ⊥平面α”，则，“l a ⊥且l b ⊥”，命题p 的条件真时，若a //b ，l 可能与平面α平行、斜交、垂直相交、还有可能在面α内，即结论不一定成立，即p 是假命题；命题q 的条件真时，由线面垂直的定义知，其结论必真，即q 是真命题， 所以“l a ⊥且l b ⊥”是“l ⊥平面α”的必要非充分条件. 故选：B2．为了得到函数()sin y x x x R =∈的图像，可以将函数()2sin y x x R =∈的图像（ ） A ．向右平移6π个单位 B ．向左平移3π个单位 C ．向右平移3π个单位 D ．向左平移6π个单位 【答案】C【分析】将函数转化为2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后根据三角函数图象变换的知识判断出正确选项.【详解】函数sin 2sin 3y x x x π⎛⎫==-⎪⎝⎭所以将函数2sin y x =的图象向右平移3π个单位，即可得到2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，即得到函数sin y x x =的图象.故选：C.3．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成).已知10OA =米，OB x =米(010)x <<，线段BA 、线段CD ､弧BC ､弧AD 的长度之和为30米，圆心角为θ弧度，则θ关于x 的函数解析式是答（ ）A ．21010x x θ+=+B ．10210x x θ+=+C ．1010xxθ-=+D ．10210xx θ-=+ 【答案】A【分析】根据弧长公式和周长列方程得出θ关于x 的函数解析式.【详解】根据题意，利用弧长公式可知弧BC x θ=⋅（米），弧10AD θ=（米），10AB CD x ==-()2101030x x θθ∴-+⋅+=整理得：21010x x θ+=+(010)x <<故选：A4．已知R k ∈，函数22()|4|f x x x kx =-++的定义域为R ，若函数()f x 在区间(0,4)上有两个不同的零点，则k 的取值范围是（ ） A ．72k -<<- B ．7k <-或2k >- C ．70k -<< D ．20k -<<【答案】A【分析】写出()f x 的分段函数解析式，利用函数()f x 在区间(0,4)上有两个不同的零点，利用参数分离法转化为[)24,(0,2)42,2,4xxk x x x⎧-∈⎪⎪=⎨-⎪∈⎪⎩有两个零点，即函数()g x 的图像与直线y k =有两个交点，数形结合即可得解.【详解】[)2224,(0,2)()424,2,4kx x f x x x kx x kx x +∈⎧=-++=⎨+-∈⎩ 令()0f x =，利用参数分离法得[)24,(0,2)42,2,4x xk x x x ⎧-∈⎪⎪=⎨-⎪∈⎪⎩，令[)24,(0,2)()42,2,4x xg x x x x⎧-∈⎪⎪=⎨-⎪∈⎪⎩ 函数()f x 在区间(0,4)上有两个不同的零点，转化为函数()g x 的图像与直线y k =在区间(0,4)上有两个交点， 作出函数()g x 的草图，如图所示：由图可知，k 的取值范围是：72k -<<- 故选：A【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解二、填空题5．已知集合{}2,(R)A x x x =∈，若1A ∈，则x =___________.【答案】1-【分析】根据元素与集合之间的关系以及集合的特征即可求解. 【详解】{}2,(R)A x xx =∈，1A ∈，则1x =或21x =， 解得1x =或1x =-，当1x =时，集合A 中有两个相同元素，（舍去）， 所以1x =-. 故答案为：1- 6．函数1()lg1xf x x-=+的定义域是___________ 【答案】（-1，1）【分析】解不等式101xx->+即得函数的定义域. 【详解】由题得101xx->+，所以10,(1)(1)0,111x x x x x -<∴-+<∴-<<+. 所以函数的定义域为（-1，1）. 故答案为：（-1，1）【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，考查分式不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 7．已知1sin()3πθ-=-，则cos()2πθ-=___________.【答案】13-【分析】利用诱导公式，将条件等式及目标式作恒等变换，即可求值. 【详解】∵1sin()sin 3πθθ-==-，而cos()sin 2πθθ-=， ∴1cos()23πθ-=-. 故答案为：13-.8．已知幂函数()y f x =的图象过点(14,2)，则()f x =___________. 【答案】12x -【分析】设()f x x α=，代入点求解即可.【详解】设幂函数()y f x x α==，因为()y f x =的图象过点(14,2)， 所以142α=， 解得12α=-所以12()f x x -=， 故答案为：12x -9．已知x 是2-和8的等差中项，2y 是32和8___________.【答案】5【分析】利用等差中项求得x ，利用等比中项求得2y ，代入即可得解.【详解】由x 是2-和8的等差中项，得2286x =-+=，解得：3x = 由2y 是32和8的等比中项，得()22328256y =⨯=，解得：216y =5==故答案为：510．已知直线l 过点(2,1)P -，直线l 的一个方向向量是()3,2d =-，则直线l 的点方向式方程是___________. 【答案】2132x y +-=- 【分析】利用直线的点方向式方程可得出结果.【详解】因为直线l 过点(2,1)P -，它的一个方向向量为()3,2d =-， 所以，直线l 的点方向式方程为2132x y +-=-. 故答案为：2132x y +-=-.11，其侧面展开图是圆心角为23π的扇形，则该圆锥体的体积是___________. 【答案】83π【分析】先求出圆锥的母线长，再求出圆锥的高，由此求出该圆锥体的体积.【详解】，其侧面展开图是圆心角为23π的扇形， ∴圆锥的母线长23l π==∴圆锥的高4h == ∴圆锥的体积218433V ππ=⨯⨯⨯=故答案为：83π【点睛】关键点点睛：本题考查圆锥的体积的求法，利用扇形的弧长公式求出扇形的半径及圆锥的母线长是解题的关键，考查学生的运算求解能力，属于基础题.12．已知91(x-的二项展开式中的常数项的值是a ，若3i 6i 723i z a ⋅+-=+(其中i 是虚数单位)，则复数z 的模||z =___________.(结果用数值表示) 【答案】5【分析】利用二项展开式的通项公式求出a 的值，再根据复数相等，求出z ，进而求得复数z 的模.【详解】91(x 的二项展开式的通项为：93921991((1)rr r rrrr T C C xx --+⎛⎫==- ⎪⎝⎭令3902r -=，得6r =，可得常数项为669(1)84a C =-= 367233846723i z a i i i z i i ⋅+-=+⇒⋅+-=+ 129343iz i i-+∴==+，则复数z 的模||5z == 故答案为：5【点睛】关键点点睛：本题考查二项展开式的通项，及复数的四则运算及复数的模长，熟记()n a b +的二项展开式的通项1C r n r rr n T a b -+=是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题.13．若关于x 、y 的二元一次线性方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的增广矩阵是1302m n ⎛⎫⎪⎝⎭，且11x y =⎧⎨=-⎩是该线性方程组的解，则三阶行列式1010321m n -中第3行第2列的元素的代数余子式的值是___________.【答案】4【分析】由题意可知11x y =⎧⎨=-⎩是二元一次线性方程组32mx y y n+=⎧⎨=⎩的解，求出m 、n 的值，根据代数余子式的定义可求得结果.【详解】由题意可知11x y =⎧⎨=-⎩是二元一次线性方程组32mx y y n +=⎧⎨=⎩的解，所以，132m n -=⎧⎨=-⎩，解得42m n =⎧⎨=-⎩. 所以，三阶行列式10134221--中第3行第2列的元素的代数余子式的值为()()3211114404+--=-⨯-=.故答案为：4.14．某高级中学欲从本校的7位古诗词爱好者(其中男生2人､女生5人)中随机选取3名同学作为学校诗词朗读比赛的主持人．若要求主持人中至少有一位是男同学，则不同选取方法的种数是___________．(结果用数值表示) 【答案】25【分析】要求主持人中至少有一位是男同学，可用间接法求解，用所有种数减去全为女同学的种数即可．【详解】要求主持人中至少有一位是男同学，则不同选取方法的种数是3375765543351025321321C C ⨯⨯⨯⨯-=-=-=⨯⨯⨯⨯．故答案为：2515．已知平面向量,a b 满足||5,||1,3a b a b ==⋅=，向量(1)c a b λλ=⋅+-⋅(R λ∈)，且对任意R λ∈，总有||25c ka +≥成立，则实数k 的取值范围是___________. 【答案】(,6][4,)-∞-⋃+∞【分析】利用向量数量积的运算律，将不等式||25c ka +≥化为2220(444)251960k k k λλ+++-+≥，即该不等式在任意R λ∈成立，根据判别式0∆≤即可求k 的范围.【详解】由题设，22||[()(1)]20c ka k a b λλ+=+⋅+-⋅≥，∴2222()2()(1)(1)20k a k a b b λλλλ+⋅++-⋅⋅+-⋅≥， 由已知条件，得：2225()6()(1)(1)20k k λλλλ+++-+-≥，整理得：2220(444)251960k k k λλ+++-+≥对任意R λ∈成立，即0∆≤， ∴22240k k +-≥，解得k ∈(,6][4,)-∞-⋃+∞. 故答案为：(,6][4,)-∞-⋃+∞.【点睛】关键点点睛：利用向量数量积的运算律，结合一元二次不等式在实数域上恒成立，由判别式求参数范围.16．已知R a b ∈、，函数22()||(R)f x x ax b x ax b x =+++--∈，若函数()f x 的最小值为22b ，则实数b 的取值范围是___________. 【答案】[]0,1.【分析】计算2(0)2b b fb +=≥，得到01b ≤≤，()()[]21212,,,(),,x x x x f x ax b x x x ⎧∈-∞⋃+∞⎪=⎨+∈⎪⎩，讨论0a >，0a =，0a <三种情况，计算得到答案. 【详解】2(0)2b bf b +=≥，解得01b ≤≤. ()()[]2221212,,,(),,2x ax b x ax bx x x x f x ax b x x x +++--⎧∈-∞⋃+∞⎪==⎨+∈⎪⎩，其中2140a a b x -+=<，2240a a bx ++=>.函数图象如图，当0a >时，()()2211minf x f x x b ===，故1x b =-24a a b b -+=-，化简得到()10b a b +-=，故0b =或11b a =-<； 当0a =时，()2min f x b b ==，解得0b =或1b =.当0a <时，()()2222minf x f x x b ===，故2x b =，即24a a b b ++=，化简得到()10b b a --=，故0b =或11b a =+<. 综上所述：01b ≤≤. 故答案为：[]0,1.【点睛】关键点点睛：由函数的最小值22b 可知需满足2(0)2b bf b +=≥，即01b ≤≤，在此条件下函数可去掉绝对值转化为分段函数，利用二次函数图象与性质求解，属于中档题.三、解答题17．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点E 是侧面11CDD C 的中心.（1）连接1A D ，求三棱锥11A DED -的体积11A DED V -的数值；（2）求异面直线1A E 与AD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）. 【答案】（1）163；（2）2arctan2. 【分析】（1）计算出1DED 的面积，利用锥体的体积公式可求得三棱锥11A DED -的体积；（2）由11//AD A D 可得出异面直线1A E 与AD 所成角为11D A E ∠，然后在11Rt A D E △中计算出11tan D A E ∠，利用反正切可得出所求角. 【详解】（1）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点E 是侧面11CDD C 的中心，1111114222DED CDD S S CD DD ==⨯⨯⋅=△△， 11A D ⊥平面11DCC D ，∴11111111644333A DED DED V S A D -=⋅⋅=⨯⨯=△；（2）在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AD A D ，11EA D ∴∠就是异面直线1A E 与AD 所成的角（或补角），11A D ⊥平面11DCC D ，1D E ⊂平面11DCC D ，所以，111A D D E ⊥.221111442222D E D C ==+=111112tan D E EA D A D ∠==112arctanEA D ∠=所以，异面直线1A E 与AD 所成的角的大小是2arctan2. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．18．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若A 为钝角，且2sin 20a B b =.（1）求角A 的大小；（2）记B x =，求函数()cos cos()3f x x x π=++的值域.【答案】（1）34π；（2）32⎫⎪⎪⎝⎭.【分析】（1）根据正弦定理对等式2sin 0a B -=边角互化，可得sin A =由A 为钝角，即可求得角A 的值；（2）由三角形内角和定理可得x 的范围，化简函数()cos cos()3f x x x π=++，利用整体法求解三角函数的值域.【详解】（1）ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2sin 0a B =， ∴根据正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，2sin 0a B =可化为22sin sin 2sin 0(0,sin 0)R A B R B B B π⋅=<<≠.∴sin A =，A 为钝角，34A π∴=. （2）B x =，A BC π++=，344C x x πππ∴=--=-，得04x π<<.∴()cos cos()3f x x x π=++1cos cos 2x x x =+-sin()3x π=-. 又因为04x π<<，可得1233πππ<-<x .由函数sin y x =的图像，可知sinsin sin 1233x πππ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，即sin()3π<-<x .3sin()32π<-<x .所以函数()f x 的值域是32⎫⎪⎪⎝⎭. 【点睛】关于三角函数解析式的化简问题，首先需要利用和差公式或者诱导公式展开化为同角，其次利用降幂公式进行降次，最后利用辅助角公式进行合一变换，最终得到()()sin f x A x =+ωϕ的形式.19．已知实数,a b是常数，函数())f x a b =. （1）求函数()f x 的定义域，判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若3,1a b =-=，设t =记t 的取值组成的集合为D ，则函数()f x 的值域与函数321()(3)2g t t t =-(t D ∈)的值域相同.试解决下列问题： （i ）求集合D ； （ii ）研究函数321()(3)2g t t t =-在定义域D 上是否具有单调性？若有，请用函数单调性定义加以证明；若没有，请说明理由.并利用你的研究结果进一步求出函数()f x 的最小值.【答案】（1）定义域为[1,1]-，()f x 为偶函数，理由见解析；（2）（i）2]；（ii ）()g t 在D 上是减函数，证明见解析，()f x 最小值为2-.【分析】（1）由函数解析式，根据根式的性质列不等式组，即可求函数定义域，由函数奇偶性的定义说明(),()f x f x -的关系即可证函数的奇偶性.（2）（i）由题设可得22t =+t 的取值集合D ，（ii ）任意的12,t t D ∈且12t t <，根据解析式判断12(),()g t g t 大小即可确定单调性，利用()f x 与()g t (t D ∈)的值域相同求()f x 最小值. 【详解】（1）实数,a b是常数，函数())f x a b =，∴由2101010x x x +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩，解得11x -≤≤.∴函数的定义域是[1,1]-.对于任意[1,1]x ∈-，有[1,1]x -∈-,())f x a b -=)()a b f x ==，即()()f x f x -=对[1,1]x ∈-都成立(又()f x 不恒为零)，∴函数()f x 是偶函数.（2）由3,1a b =-=，有()1)f x =.（i ）t =11x -≤≤)，则22t =+∴01≤≤，224(0)t t ≤≤≥2t ≤≤.2]D ∴=.（ii ）由（i ）知：321()(3)2g t t t =-的定义域为2]D =. 对于任意的12,t t D ∈且12t t <，有32321211221()()[3(3)]2g t g t t t t t -=---2212112212121[()()3()()]2t t t t t t t t t t =-++--+22121122*********()[(2)(2)()()]222t t t t t t t t t t t t =--+-+-+-1211221221111()[(2)(2)(2)(2)]222t t t t t t t t t t =--+-+-+-. 又12120,0,0t t t t >>-<且1220,20t t -≤-≤(这里二者的等号不能同时成立)，∴1211221221111()[(2)(2)(2)(2)]0222t t t t t t t t t t --+-+-+->，即1212()()0,()()g t g t g t g t ->>. ∴函数()g t 在D 上是减函数.∴()()()32min 1223222g t g ==⨯-⨯=-. 又函数()f x 的值域与函数321()(3)2g t t t =-的值域相同，∴函数()f x 的最小值为2-. 【点睛】关键点点睛：（1）根据根式的性质求定义域，利用函数奇偶性的定义说明奇偶性；（2）由根式性质，求换元后t 的范围，利用单调性定义判断()g t 的单调性，进而由()g t 的值域求()f x 的最小值.20．定义：已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，把圆222222a b x y a b +=+称为该椭圆的协同圆.设椭圆22:142x y C +=的协同圆为圆O (O 为坐标系原点)，试解决下列问题：（1）写出协同圆圆O 的方程；（2）设直线l 是圆O 的任意一条切线，且交椭圆C 于,A B 两点，求OA OB ⋅的值； （3）设,M N 是椭圆C 上的两个动点，且OM ON ⊥，过点O 作OH MN ⊥，交直线MN 于H 点，求证：点H 总在某个定圆上，并写出该定圆的方程. 【答案】（1）2243x y +=；（2）0OA OB ⋅=；（3）证明见解析，定圆的方程为2243x y +=. 【分析】（1）由协同圆的定义，结合椭圆方程的参数写出协同圆圆O 的方程； （2）讨论直线l 的斜率存在和不存在两种情况：斜率不存在时，直接求出交点坐标，利用向量数量积的坐标表示求OA OB ⋅；斜率存在时，设:l y kx t =+联立椭圆方程，由切线的性质确定判别式符号，应用根与系数关系、向量数量积的坐标表示求OA OB ⋅； （3）设1122(,),(,)M x y N x y ，则12120x x y y +=，讨论,OM ON 有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在，分别求||OM ，||ON ，||MN ，由等面积法求||OH ，即可证结论，并写出定圆方程.【详解】（1）由椭圆22:142x y C +=，知224,2a b ==.根据协同圆的定义，可得该椭圆的协同圆为圆224:3O x y +=. （2）设1122(,),(,)A x y B x y ，则1212OA OB x x y y ⋅=+.直线l 为圆O 的切线，分直线l 的斜率存在和不存在两种情况讨论： ①当直线l的斜率不存在时，直线:l x =.若:l x =，由22142x y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，此时121244033OA OB x x y y ⋅=+=-=.若:l x =，同理得：0OA OB ⋅=. ②当直线l 的斜率存在时，设:l y kx t =+.由22142x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(12)4240k x ktx t +++-=，有222222168(12)(2)8(42)k t k t k t ∆=-+-=-+，又直线l 是圆O的切线，故=，可得22344t k =+. ∴0∆>，则12221224122412kt x x k t x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，而1212()()y y kx t kx t =++2222121224()12t k k x x kt x x t k-=+++=+. ∴2222212122222443440121212t t k t k x x y y k k k----+=+==+++，即0OA OB ⋅=. 综上，恒有0OA OB ⋅=. （3）,M N 是椭圆C 上的两个动点且OM ON ⊥，设1122(,),(,)M x y N x y ，则12120x x y y +=.∴直线,OM ON ：有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在两种情况讨论.若直线ON 的斜率不存在，即点N 在y 轴上，则点M 在x 轴上，有22124,2x y ==.∴||2OM =，||ON =||MN ==，由11||||||||22OMNSOM ON OH MN =⋅=⋅，解得||OH =. 若直线,OM ON 的斜率都存在，设1:OM y k x =，则11:ON y x k =-. 由221142x y y k x⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得21222112412412x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，有||OM =同理，得||ON =于是，||MN ==. 由11||||||||22OMNSOM ON OH MN =⋅=⋅，可得||OH =.因此，总有||OH =，即点H . ∴该定圆的方程为圆2243x y +=. 【点睛】关键点点睛：研究直线与曲线相交关系注意讨论直线的斜率是否存在，求出交点坐标或联立椭圆、直线方程，根据判断判别式的符号、根与系数关系，结合题设已知条件列方程求定值或定曲线.21．已知函数()y f x =的定义域为R ，数列{}n a 满足21a a ≠，1()n n a f a -=，*11()()()(2,)n n n n f a kf a t a ka n n N --+=+≥∈(实数k t 、是非零常数).（1）若1k =-，且数列{}n a 是等差数列，求实数t 的值；（2）若210a ka +≠，数列{}n b 满足*1()n n n b a ka n N +=+∈，求通项公式n b ；（3）若11k t =-≠，，数列{}n a 是等比数列，且1(0,R)a a a a =≠∈，21a a ≠，试证明：()f a t a =⋅.【答案】（1）1t =；（2）1*21()(N )n n b a ka t n -=+∈；（3）证明见解析.【分析】（1） 设等差数列的公差0d ≠，根据11()n n n n a a t a a +--=-，得到d td =，即可求解；（2）由210a ka +≠，数列{}n b 满足*1()n n n b a ka n N +=+∈，推得数列{}n b 是首项为1b ，公比为t 的等比数列，即可求解；（3）由题意，得到11()(2)n n n n a a t a a n +--=-≥，根据（2）知121()n n b a a t -=-，利用累加法，求得12()11n n a a a a a a t t t---=+---，结合数列{}n a 是等比数列，即可求解. 【详解】由数列{}n a 满足21a a ≠，1()n n a f a -=，*11()()()(2,)n n n n f a kf a t a ka n n N --+=+≥∈， *11()(2,)n n n n a ka t a ka n n N +-∴+=+≥∈.（1）因为数列{}*(N )n a n ∈是等差数列，21a a ≠，1k =-，记公差为d ，则公差0d ≠，所以11()n n n n a a t a a +--=-，即d td =，解得1t =.（2）因为210a ka +≠，数列{}n b 满足*1()n n n b a ka n N +=+∈，所以1210b a ka =+≠，*1(2,)n n b tb n n N -=≥∈. 所以数列{}n b 是首项为1b ，公比为t 的等比数列.所以1*21()()n n b a ka t n N -=+∈.（3）因为11k t =-≠，，且21a a ≠，所以*11()(2,)n n n n a a t a a n n N +--=-≥∈，根据（2），可知当1k =-时，1*21()(N )n n b a a t n -=-∈，所以112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+1211n n b b b a --=++++11(1)1n b t a t--=+-，所以11*22()(1)()()111n n n a a t a a a a a a a t n N t t t------=+=+-∈---.因为数列{}n a 是等比数列， 所以2()01a a a t-+=-，解得2a ta =， 又因为21()()a f a f a ==，所以()f a ta =. 【点睛】数列与函数的综合问题的求解策略：1、已知函数的条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质，图象等研究数列问题；2、已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的定义，通项公式，前n 项和公式，求和方法等对式子化简变形；3、注意数列和函数的不同，数列只能看成是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性.。
2021年中考一模考试《数学卷》含答案解析
数学中考综合模拟检测试题学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的)1.实数4的相反数是（ ） A. 14-B. -4C.14D. 42.如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（ ）A. B. C. D.3.2019年1月3日10时26分，“嫦娥四号”探测器飞行约380000千米，实现人类探测器首次在月球背面软着陆.数据380000用科学记数法表示为（ ） A. 38×104B. 3.8×104C. 3.8×105D. 0.38×1064.（2018乌鲁木齐）在平面直角坐标系xOy 中，将点()12N --，绕点O 旋转180°，得到的对应点的坐标是（ ）A. ()12， B. ()12-， C. ()12--， D. ()12-， 5.不等式组12220360x x -<⎧⎨-≤⎩的解集是（ ）A. 46x -<≤B. 4x ≤-或2x >C. 42x -<≤D. 24x ≤<6.下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A 正三角形B. 正五边形C. 等腰直角三角形D. 矩形7.化简()22x 的结果是（ ） A. x 4B. 2x 2C. 4x 2D. 4x8.在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（ ） A.16B.13C.12D.239.如图，将矩形纸片ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 落在AD 边的中点C′处，点B 落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（ ）A.103B. 4C. 4.5D. 510.二次函数2y ax bx c =++的图象如图，且,OA OC =则（ ）A. 1ac b +=B. 1ab c += C. 1bc a +=D. 以上都不是二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分)11.如图，EABC ∆边CA 延长线上一点，过点E 作//ED BC ．若070BAC ∠=，050CED ∠=，则B ∠=________°．12.如图，∠AOE ＝∠BOE ＝15°，EF ∥OB ，EC ⊥OB 于C ，若EC ＝1，则OF ＝_____．13.为了建设“书香校园”，某校七年级的同学积极捐书，下表统计了七(1)班40名学生的捐书情况： 捐书(本) 3 4 5 7 10 人数 5710117该班学生平均每人捐书______本．14.中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x 两，牛每头y 两，根据题意可列方程组为_____________．15.如图，无人机于空中A 处测得某建筑顶部B 处的仰角为45，测得该建筑底部C 处的俯角为17．若无人机的飞行高度AD 为62m ，则该建筑的高度BC 为__m ．（参考数据：sin170.29≈，cos170.96≈，tan170.31≈）16.甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步1500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发30秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y(米)与甲出发的时间x(秒)之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是______米.三．解答下列各题(本题共4小题，其中17、18、19题9分、20题12分，共39分)17.计算：1332)182+18.化简： 2212(1)244x x xx x x +--÷--+ 19.如图，EF=BC ，DF=AC ，DA=EB ．求证：∠F=∠C ．20.某校为了解九年级学生每天参加体育锻炼的时间，从该校九年级学生中随机抽取20名学生进行调查，得到如下数据(单位：分钟)：306070103011570607590，，，，，，，，，，157040751058060307045，，，，，，，，，对以上数据进行整理分析，得到下列表一和表二：根据以上提供的信息，解答下列问题：()1填空：①a=，b=；②c=，d=；()2如果该校现有九年级学生200名，请估计该校九年级学生每天参加体育锻炼的时间达到平均水平及以上的学生人数．四、解答题(本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分)21.改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m，宽（AB）9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为1122m，则小路的宽应为多少？22.如图，函数12y x=的图象与函数kyx=（x＞0）的图象相交于点P（4，m）．（1）求m，k的值；（2）直线y=3与函数12y x =的图象相交于点A ，与函数k y x=（x ＞0）的图象相交于点B ，求线段AB 长．23.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 交BC 于点D ，点E 为AC 延长线上一点，且DE 是⊙O 的切线．（1）求证：∠CDE ＝12∠BAC ； （2）若AB ＝3BD ，CE ＝4，求⊙O 的半径．五、解答题(本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分)24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线112y x =+与y 轴，x 轴分别相交于点A B 、．点D 是x 轴上动点，点D 从点B 出发向原点O 运动，点E 在点D 右侧，2DE BD =．过点D 作DH AB ⊥于点,H 将DBH △沿直线DH 翻折，得到,DCH 连接CE ．设,BD t =DCH 与AOB 重合部分面积为.S 求：（1）求线段BC 的长(用含t 的代数式表示)；（2）求S 关于t 的函数解析式，并直接写出自变量t 的取值范围． 25.阅读下面材料，完成()()13-题． 数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，在ABC 中，,.BA BC AB kAC ==点F 在AC 上，点E 在BF 上，2BE EF =．点D 在BC 延长线上，连接,180AD AE ACD DAE ∠+∠=、．探究线段AD 与AE 的数量关系并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现CAD ∠与EAB ∠相等．” 小亮：“通过观察和度量，发现FAE ∠与D ∠也相等．”小伟：“通过边角关系构造辅助线，经过进一步推理， 可以得到线段AD 与AE数量关系．”老师：“保留原题条件，延长图1中的,AE 与BC 相交于点H (如图2)，若知道DH 与AH 的数量关系，可以求出ABCH的值．”（1）求证：CAD EAB ∠=∠； （2）求ADAE的值(用含k 的式子表示)； （3）如图2，若,DH AH =则ABCH的值为 (用含k 的式子表示)． 26.已知抛物线2y x bx c =++过点A(m-2，n)， B （m+4，n ），C （m ，53n -）． （1）b=__________（用含m 的代数式表示）； （2）求△ABC 的面积； （3）当1222m x m ≤≤+时，均有6y m -≤≤，求m 的值．答案与解析一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的)1.实数4的相反数是（）A.14B. -4C.14D. 4【答案】B【解析】【分析】根据相反数的定义即可解答．【详解】∵符号相反，绝对值相等的两个数互为相反数，∴4的相反数是﹣4；故选B．【点睛】本题考查了相反数的定义，熟知只有符号不同的两个数互为相反数是解决问题的关键．2.如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三视图的概念即可快速作答.【详解】解：立体图形的主视图，即正前方观察到的平面图，即选项A符合题意；故答案为A.【点睛】本题考查了三视图的概念及正确识别主视图，解题的关键在于良好的空间想象能力.3.2019年1月3日10时26分，“嫦娥四号”探测器飞行约380000千米，实现人类探测器首次在月球背面软着陆.数据380000用科学记数法表示为（）A. 38×104B. 3.8×104C. 3.8×105D. 0.38×106【答案】C 【解析】 【分析】对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成10n a ⨯ 的形式，其中110a ≤<，n 是比原整数位数少1的数.【详解】380000=3.8×105. 故选C.【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．4.（2018乌鲁木齐）在平面直角坐标系xOy 中，将点()12N --，绕点O 旋转180°，得到的对应点的坐标是（ ）A. ()12， B. ()12-， C. ()12--， D. ()12-， 【答案】A 【解析】【详解】点N 绕着点O 旋转180°，恰好关于原点对称，点(1,2)N --的中心对称点为(1，2)，故选A ．5.不等式组12220360x x -<⎧⎨-≤⎩的解集是（ ）A. 46x -<≤B. 4x ≤-或2x >C. 42x -<≤D. 24x ≤<【答案】C 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，再确定出解集的公共部分即可得解. 【详解】解不等式12220x -<，得：4x >-， 解不等式360x -≤，得：2x ≤， 则不等式组的解集为42x -<≤， 故选C ．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 6.下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. 正三角形B. 正五边形C. 等腰直角三角形D. 矩形【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一进行分析判断即可得.【详解】A．正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；B．正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形；C．等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；D．矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故选D．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．7.化简()22x的结果是（）A. x4B. 2x2C. 4x2D. 4x【答案】C【解析】【分析】利用积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可．【详解】(2x)²=2²·x²=4x²，故选C.【点睛】本题考查了积的乘方，解题的关键是掌握积的乘方的运算法则.8.在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（）A. 16B.13C.12D.23【答案】A【解析】【分析】直接利用概率公式计算可得．【详解】解：从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为16，故选A．【点睛】本题主要考查概率公式，随机事件A 的概率P （A ）＝事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．9.如图，将矩形纸片ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 落在AD 边的中点C′处，点B 落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（ ）A. 103B. 4C. 4.5D. 5【答案】D【解析】【分析】设FC ′=x ，则FD=9-x ，根据矩形的性质结合BC=6、点C ′为AD 的中点，即可得出C ′D 的长度，在Rt △FC ′D 中，利用勾股定理即可找出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】设FC′=x ，则FD=9﹣x ，∵BC=6，四边形ABCD 为矩形，点C′为AD 的中点，∴AD=BC=6，C′D=3，在Rt △FC′D 中，∠D=90°，FC′=x ，FD=9﹣x ，C′D=3，∴FC′2=FD 2+C′D 2，即x 2=（9﹣x ）2+32，解得：x=5，故选D ．【点睛】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，在Rt △FC′D 中，利用勾股定理找出关于FC′的长度的一元二次方程是解题的关键．10.二次函数2y ax bx c =++的图象如图，且,OA OC =则（ ）A. 1ac b +=B. 1ab c +=C. 1bc a +=D. 以上都不是【答案】A【解析】【分析】 根据题意可知，本题考察二次函数图像与系数的关系，根据图像与坐标轴的交点，运用两边相等求出交点坐标，代入坐标进行求解．【详解】∵OA OC =∴点A 、C 的坐标为(-c ，0)，(0，c)∴把点A 的坐标代入2y ax bx c =++得∴2=0ac bc c -+∴()10c ac b -+=∵0c ≠∴10ac b -+=∴1ac b +=故选A【点睛】本题考察二次函数图像与系数关系，解题关键是根据图像得出系数取值范围，再代入点的坐标进行解决． 二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分)11.如图，E 为ABC ∆边CA 延长线上一点，过点E 作//ED BC ．若070BAC ∠=，050CED ∠=，则B ∠=________°．【答案】60【解析】【分析】利用平行线的性质，即可得到∠CED=∠C=50°，再根据三角形内角和定理，即可得到∠B 的度数．【详解】解：∵ED ∥BC ，∴∠CED=∠C=50°，又∵∠BAC=70°，∴△ABC中，∠B=180°-50°-70°=60°，故答案为60．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意运用两直线平行，内错角相等．12.如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC＝1，则OF＝_____．【答案】2【解析】【分析】作EH⊥OA于H，根据角平分线的性质求出EH，根据直角三角形的性质求出EF，根据等腰三角形的性质解答即可．【详解】作EH⊥OA于H．∵∠AOE=∠BOE=15°，EC⊥OB，EH⊥OA，∴EH=EC=1，∠AOB=30°．∵EF∥OB，∴∠EFH=∠AOB=30°，∠FEO=∠BOE，∴EF=2EH=2，∠FEO=∠FOE，∴OF=EF=2．故答案2．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的性质、平行线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．13.为了建设“书香校园”，某校七年级的同学积极捐书，下表统计了七(1)班40名学生的捐书情况：捐书(本) 3 4 5 7 10人数 5 7 10 11 7该班学生平均每人捐书______本．【答案】6【解析】【分析】利用加权平均数公式进行求解即可得. 【详解】该班学生平均每人捐书3547510711107640⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(本)， 故答案为6．【点睛】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键.14.中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x 两，牛每头y 两，根据题意可列方程组为_____________．【答案】46483538x y x y +=⎧⎨+=⎩【解析】【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案．【详解】解：设马每匹x 两，牛每头y 两，根据题意可列方程组为： 46483538x y x y +=⎧⎨+=⎩ 故答案是：46483538x y x y +=⎧⎨+=⎩【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．15.如图，无人机于空中A 处测得某建筑顶部B 处的仰角为45，测得该建筑底部C 处的俯角为17．若无人机的飞行高度AD 为62m ，则该建筑的高度BC 为__m ．（参考数据：sin170.29≈，cos170.96≈，tan170.31≈）【答案】262【解析】【分析】作AE BC ⊥于E ，根据正切的定义求出AE ，根据等腰直角三角形的性质求出BE ，结合图形计算即可．【详解】作AE BC ⊥于E ，则四边形ADCE 为矩形，62EC AD ∴==，在Rt AEC ∆中，tan EC EAC AE ∠=， 则62200tan 0.31EC AE EAC =≈=∠， 在Rt AEB ∆中，45BAE ∠=，200BE AE ∴==，20032262()BC m ∴=+=，则该建筑的高度BC 为262m ，故答案为262．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．16.甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步1500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发30秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y(米)与甲出发的时间x(秒)之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是______米.【答案】175【解析】试题解析：根据题意得，甲的速度为：75÷30=2.5米/秒，设乙的速度为m 米/秒，则（m -2.5）×（180-30）=75，解得：m =3米/秒，则乙的速度为3米/秒， 乙到终点时所用的时间为：15003=500（秒）， 此时甲走的路程是：2.5×（500+30）=1325（米），甲距终点的距离是1500-1325=175（米）．【点睛】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解并得到乙先到达终点，然后求出甲、乙两人所用的时间是解题的关键．三．解答下列各题(本题共4小题，其中17、18、19题9分、20题12分，共39分)17.计算：2)+【答案】-1．【解析】【分析】先利用平方差公式简便运算乘法，同时化简二次根式，再合并同类二次根式即可．【详解】解：2)+=3-4+=-1．【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，二次根式的化简，掌握利用平方差公式进行简便运算是解题的关键．18.化简： 2212(1)244x x x x x x +--÷--+ 【答案】3x ． 【解析】【分析】先通分，计算括号内的减法，把除法转化为乘法，约分后得到结论． 【详解】解：原式＝212(2)122()22(2)2x x x x x x x x x x x x+--+-+--÷=•----323.2x x x x-=•=- 【点睛】本题考查的是分式的化简，考查了分式的加减法，分式的除法，掌握以上运算是解题的关键． 19.如图，EF=BC ，DF=AC ，DA=EB ．求证：∠F=∠C ．【答案】见解析.【解析】【分析】欲证明∠F ＝∠C ，只要证明△ABC ≌△DEF(SSS)即可.【详解】证明：DA BE =，DE AB ∴=，在ABC ∆和DEF ∆中，AB DE AC DF BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ABC DEF SSS ∴∆≅∆，C F ∴∠=∠．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质.20.某校为了解九年级学生每天参加体育锻炼的时间，从该校九年级学生中随机抽取20名学生进行调查，得到如下数据(单位：分钟)：306070103011570607590，，，，，，，，，，157040751058060307045，，，，，，，，，对以上数据进行整理分析，得到下列表一和表二：根据以上提供的信息，解答下列问题：()1填空：①a=，b=；②c=，d=；()2如果该校现有九年级学生200名，请估计该校九年级学生每天参加体育锻炼的时间达到平均水平及以上的学生人数．【答案】（1）①5，3；②65，70；（2）130人．【解析】【分析】（1）①根据数据统计出a、b；②根据中位数和众数的定义求出c，d即可；（2）先求出样本用样本达到平均水平及以上的学生的概率，然后用九年级学生数×样本达到平均水平及以上的学生的概率即可．【详解】解：()1①经统计：该组数据处于30≤t＜60的数据有5个, 处于90≤t＜120的数据有3个,∴a=5；b=3故答案为：5；3②将这组数据从小到大排序，位于第10个的数据是60，第11个的数据是70∴中位数为（60+70）÷2=65这组数据中出现次数最多的是70 ∴众数为70 ∴6570，c d==故答案为：65；70．()132********⨯=(人)，答：估计该校九年级学生每天参加体育锻炼的时间达到平均水平及以上的学生人数为130人．【点睛】本题考查中位数、众数、平均数、样本估计总体的思想等知识，掌握中位数、众数、平均数等基本知识是解答本题的关键．四、解答题(本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分)21.改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m，宽（AB）9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为1122m，则小路的宽应为多少？【答案】小路的宽应为1m ．【解析】【分析】设小路的宽应为x 米，那么草坪的总长度和总宽度应该为（16-2x ），（9-x ）；那么根据题意得出方程，解方程即可．【详解】解：设小路的宽应为x 米，根据题意得：(162)(9)112x x --=，解得：11x =，216x =．∵169>，∴16x =不符合题意，舍去，∴1x =．答：小路的宽应为1米．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键． 22.如图，函数12y x =的图象与函数k y x=（x ＞0）的图象相交于点P （4，m ）． （1）求m ，k 的值；（2）直线y=3与函数12y x =的图象相交于点A ，与函数k y x=（x ＞0）的图象相交于点B ，求线段AB 长．【答案】（1）m=2，k=8；（2）103．【解析】【分析】(1)将点P（4，m）代入y=x，求出m=2，再将点P（4，2）代入kyx=即可求出k的值；(2) 分别求出A、B两点的坐标，即可得到线段AB的长．【详解】（1）∵函数12y x=的图象过点P（4，m），∴m=2，∴P（4，2），∵函数kyx=（x＞0）的图象过点P，∴k=4×2=8；（2）将y=3代入12y x=，得x=6，∴点A（6，3）．将y=3代入8yx=，得x=83，∴点B（83，3）．∴AB=6﹣83=103．【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求函数解析式以及函数图象上点的坐标特征，解题时注意：点在图象上，点的坐标就一定满足函数的解析式．23.如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且DE是⊙O 的切线．（1）求证：∠CDE＝12∠BAC；（2）若AB＝3BD，CE＝4，求⊙O的半径．【答案】（1）见解析；（2）14．【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得出∠ADC=90°，按照等腰三角形的性质和已知的2倍角关系，证明∠ODE为直角即可得到答案；（2）通过证得△CDE∽△DAE，根据相似三角形的性质即可求得．【详解】（1）如图，连接OD，AD，∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，-∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴∠CAD＝∠BAD＝12∠BAC，∵DE是⊙O的切线；∴OD⊥DE∴∠ODE＝90°∴∠ADC＝∠ODE∴∠CDE＝∠ADO ∵OA＝OD，∴∠CAD＝∠ADO，∴∠CDE＝∠CAD，∠CAD＝12∠BAC，∴∠CDE＝12∠BAC．（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵AB＝3BD，∴AC＝3DC，设DC＝x，则AC＝3x，∴AD2222,AC DC x-=∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED，∴△CDE∽△DAE，∴CE DC DE DE AD AE∴==，即43422DE DE xx==+∴DE＝82,，x＝283，∴AC＝3x＝28，∴⊙O的半径为14．【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形或等腰三角形．五、解答题(本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分)24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线112y x =+与y 轴，x 轴分别相交于点A B 、．点D 是x 轴上动点，点D 从点B 出发向原点O 运动，点E 在点D 右侧，2DE BD =．过点D 作DH AB ⊥于点,H 将DBH △沿直线DH 翻折，得到,DCH 连接CE ．设,BD t =DCH 与AOB 重合部分面积为.S 求：（1）求线段BC 的长(用含t 的代数式表示)；（2）求S 关于t 的函数解析式，并直接写出自变量t 的取值范围．【答案】（1）55t BC =；（2）222420536224825357734288523334t t S t t t t t t ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+-<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-+<≤⎪ ⎪⎝⎭⎩ 【解析】【分析】（1）先根据直线112y x =+求得点A 、B 的坐标，利用勾股定理求得AB 的长，进而可求得5555sin ABO cos ABO ∠=∠=，由翻折知DB DC t ==，12BH CH BC ==，最后根据255BH cos ABO BD ∠==求得55t BH =，即可求得BC 的长； （2）分类讨论：当203t <≤时，当2534t <≤时，当524t <≤时，分别画出相应图形，然后利用相似三角形的性质分别表示出对应的底和高，进而可得S 关于t 的函数解析式即可． 【详解】解：()1∵直线112y x =+与y 轴，x 轴分别相交于点A B 、， ∴点()()012,0A B -，,，∴由勾股定理得22125AB =+=∴在直角AOB 中，525,55sin ABO cos ABO ∠=∠=， 由翻折知：DB DC t ==，12BH CH BC ==， 255BH cos ABO BD∠==， 255t BH ∴=， 455t BC ∴=， ()2当203t <≤时， 过点C 做CG BO ⊥于点G ，45CG t ∴=， 55CG sin ABO BC∴∠==， 45GC t ∴=， 14225S t t ∴=⨯⨯ 245t = 当2534t <≤时， 设OA 交CE 于点F ，45CD BD t GC t ===,， ∴由勾股定理得35GD t =，37255GE t t t ∴=-=， 382255GO t t t =--=-， 78 23255OE EG OG t t t ∴=-=-+=-， //OF CG ，EOFCGE ∴， OF OE CG OG∴=， ()4327OF t ∴=-， 12OFE S OE OF =⋅ ()()14323227t t =⋅-⋅- 222(73)t -= ， DCE OFE S S S =-∴2622483577t t =-+-， 当524t <≤时， 设CD 交OA 于点P ，//,OP CG,DOP DGC ∴OP OD CG DG∴=， 2OD t =-，()423OP OP t ∴==-，12S OD OP =⋅⋅∴ 2288333t t =-+， ∴综上所述，222420536224825357734288523334t t S t t t t t t ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+-<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-+<≤⎪ ⎪⎝⎭⎩ 【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，解直角三角形、相似三角形的判定及性质，根据点D 的位置画出相应的图形然后运用分类讨论思想以及相似三角形的性质是解决本题的关键．25.阅读下面材料，完成()()13-题．数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，在ABC 中，,.BA BC AB kAC ==点F 在AC 上，点E 在BF 上，2BE EF =．点D 在BC 延长线上，连接,180AD AE ACD DAE ∠+∠=、．探究线段AD 与AE 的数量关系并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现CAD ∠与EAB ∠相等．”小亮：“通过观察和度量，发现FAE ∠与D ∠也相等．”小伟：“通过边角关系构造辅助线，经过进一步推理， 可以得到线段AD 与AE 的数量关系．” 老师：“保留原题条件，延长图1中的,AE 与BC 相交于点H (如图2)，若知道DH 与AH 的数量关系，可以求出AB CH的值．”（1）求证：CAD EAB ∠=∠；（2）求AD AE的值(用含k 的式子表示)； （3）如图2，若,DH AH =则AB CH 的值为 (用含k 的式子表示)． 【答案】（1）证明见解析；（2）3AD AE k =；（3）2115AB k CH ++= 【解析】【分析】（1）由BA BC =可知BAC BCA ∠=∠，再通过180ACD DAE ∠+∠=以及平角为180°，可以得到CAD EAB ∠=∠；（2）方法一：过点C 做ACM ABE ∠=∠，交AD 于点M ，通过AEB AMC 可知AC AM CM AB AE BE ==，通过DCM AFE 可知DM CM AE EF =，通过比例关系可推导出AD AE的值；方法二：过点B 做//BN AC 交AE 延长线于点N ，通过AHC DHA 和ACD ABN 相似得到的比例关系即可可推导出AD AE的值； （3）同方法二辅助线，通过证明AHC DHA ，AFE NBE ，然后由对应边成比例即可推导出结论．【详解】()1BA BC =,BAC BCA ∴∠=∠180,ACD DAE ∠+∠=180,ACD ACB ∠+∠=∴∠=∠ADE ACB,∴∠=∠DAE BAC,∴∠=∠DAC BAE,()2方法一：∠=∠，交AD于点M 过点C做ACM ABE∠=∠,DAC BAE∴AEB AMCAC AM CM∴==AB AE BE=AB kAC1∴=AM AEk1=CM BEk=2BE EF2∴=CM FEk∠=∠+∠AEF EAB ABE∠=∠+∠DMC MAC ACM∴∠=∠DMC AEFACB D DAC∠=∠+∠∠=∠+∠DAE DAC FAEDAE ACB∠=∠∴∠=∠D FAE∴DCM AFEDM CM∴=AE EF2∴=DM AEk3∴=+=AD AM DM AEkAD3∴=AE k方法二：BN AC交AE延长线于点,N 过点B做//,∴∠=∠N FAE∠=∠,AFE EBN∴,AFE NBEAE EF∴=NE BE=BE EF2,∴=NE EA2,NA EA∴=3,∠=∠+∠ACB D DAC,DAE DAC FAE∠=∠+∠,DAE ACB∠=∠,∴∠=∠,D FAE,DAC BAE ∴∠=∠ ACD ABN ∴ AC AD AB AN ∴= ,AB kAC = ,AN kAD ∴= 3,AE kAC ∴= 3AD AE k ∴= ()3同方法二辅助线,D CAH ∠=∠ ,AHC DHA ∠=∠ AHC DHA ∴ 2AH HC DH ∴=⋅ 23AH AC DH AD == 23AD AC ∴= AB kAC = 32AD AB k ∴= 3AD AE k =12AE AB ∴= 设2AH a AB BC b ===,13,2DH a AE b ∴== 2NE AE =NE b ∴=EH AH AE EN NH =-=-322NH b a ∴=- 2AH HC DH =⋅43CH a ∴= 53CD a ∴= ∴由方法二相似得53BN ak = ADHNBH ' AD DH NB NH∴= 33253232b a k ak b a ∴=- 222912200b ab a k ∴--=(123a b -∴=（舍），(223ab +=12AB CH +∴= 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．26.已知抛物线2y x bx c =++过点A(m-2，n)， B （m+4，n ），C （m ，53n -）．（1）b=__________（用含m 的代数式表示）；（2）求△ABC 的面积；（3）当1222m x m ≤≤+时，均有6y m -≤≤，求m 的值．【答案】（1）b=-2m-2；（2）24；（3）m =． 【解析】【分析】（1）根据A(m-2，n)， B （m+4，n ）纵坐标一致，结合对称轴即可求解；（2）先用含m 的代数式表示c ，再带入A 点坐标即可求出n=3，最后利用铅锤法即可求出△ABC 的面积； （3）先用只含m 的代数式表示二次函数解析式，再结合带取值范围的二次函数最值求法分类讨论即可．【详解】（1）∵2y x bx c =++过点A(m-2，n)， B （m+4，n ）， ∴对称轴2422b m m x -++=-= ∴22b m =--(2)∵22b m =--∴2(22)y x m x c =-++把C （m ，53n -）代入2(22)y x m x c =-++ ∴2523c m m n =+-∴225(22)23y x m x m m n =-+++-把A(m-2，n)代入225(22)23y x m x m m n =-+++-得583n n =-∴n=3∴A(m-2，3)， B （m+4，3），C （m ，5-）∴AB=6C 点到x 轴的距离为：3﹣(-5)=8，∴S △ABC=12×6×8=24 (3)∵n=3∴22(22)25y x m x m m =-+++-∴2(1)6y x m =---∴当1x m =+时-6y =最小∵6y m -≤≤ ∴由函数增减性知11222m m m ≤+≤+ 即1m ≥-∴当10m -≤<时 由函数增减性知12x m =时，y m =最大 ∴21(1)62m m m =---∴m =±当0m ≥时由函数增减性知22x m =+时，y m =最大∴2(221)6m m m =+---∴1m =（舍）2m =∴12m -+=【点睛】本题考查二次函数综合运用，当参数比较多时可以带入解析式，利用解方程消元法消去多余的参数，在最后一问中对于带取值范围的二次函数最值需要根据对称轴与取值范围的关系确定范围内的最值．。
上海市2021年中考数学真题(解析版)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】比较对应字母的指数,分别相等就是同类项
【详解】∵a的指数是3，b的指数是2，与 中a的指数是2，b的指数是3不一致，
∴ 不是 的同类项，不符合题意；
∵a的指数是2，b的指数是3，与 中a的指数是2，b的指数是3一致，
∴ 是 的同类项，符合题意；
6.如图，已知长方形 中， ，圆B的半径为1，圆A与圆B内切，则点 与圆A的位置关系是（）
A. 点C在圆A外，点D在圆A内B. 点C在圆A外，点D在圆A外
C. 点C在圆A上，点D在圆A内D. 点C在圆A内，点D在圆A外
【答案】C
【解析】
【分析】根据内切得出圆A的半径，再判断点D、点E到圆心的距离即可
上海市2021年中考数学试题
一、选择题
1.下列实数中，有理数是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先化简二次根式，再根据有理数的定义选择即可
【详解】解：
A、 ∵ 是无理数，故 是无理数
B、 ∵ 是无理数，故 是无理数
C、 为有理数
D、 ∵ 是无理数，故 是无理数
故选：C
【点睛】本题考查二次根式的化简、无理数的定义、有理数的定义、熟练掌握有理数的定义是关键
（1）求三月份共生产了多少部手机?
（2） 手机速度很快，比 下载速度每秒多 ，下载一部 的电影， 比 要快190秒，求 手机的下载速度．
【答案】（1）36万部；（2）100 /秒
【解析】
【分析】（1）根据扇形统计图求出3月份的百分比，再利用80万×3月份的百分比求出三月份共生产的手机数；
（2）设 手机的下载速度为x /秒，则 下载速度为 /秒，根据下载一部 的电影， 比 要快190秒列方程求解．
备战2021年中考数学全真模拟卷(上海专用) (18)
备战2021中考数学上海市中考数学全真模拟卷重（难）点06：22题热点2解直角三角形的实际应用一、解答题1．如图，在距某输电铁塔GH（GH垂直地面）的底部点H左侧水平距离60米的点B处有一个山坡，山坡AB的坡度i=山坡坡底点B到坡顶A的距离AB等于40米，在坡顶A处测得铁塔顶点G的仰角为30（铁塔GH与山坡AB在同一平面内）．（1）求山坡的高度；（2）求铁塔的高度GH．（结果保留根号）2．为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测．某高架路有一段限速每小时60千米的道路AB（如图所示），当无人机在限速道路的正上方C处时，测得限速道路的起点A的俯角是37︒，无人机继续向右水平飞行220米到达D处，此时又测得起点A的俯角是30，同时测得限速道路终点B的俯角是45︒（注：即四边形ABDC是梯形）．（1）求限速道路AB的长（精确到1米）；︒≈，（2）如果李师傅在道路AB上行驶的时间是1分20秒，请判断他是否超速？并说明理由．（参考数据：sin370.60︒≈ 1.73︒≈，tan370.75cos370.80≈）3．某校为检测师生体温，在校门安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”截面示意图．身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30°；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为53°．如果测得小聪的有效测温区间MN的长度是0.98米，求测温门顶部A处距地面的高度约为多少米？（注：额头到地面的距离以身高计，sin53°≈0.8，cos53°＝0.6，cot53°≈0.75 1.73≈．）4．如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸选取B 、C 两点，对岸岸边有一块石头A ，在ABC 中，测得64B ∠=︒，45C ∠=︒，50BC =米，求河宽（即点A 到边BC 的距离）（结果精确到0.1米）．1.41≈，sin 640.90︒=，cos 640.44︒=，tan 642.05︒=）5．如图，是一个手机的支架，由底座、连杆AB BC CD 、、和托架组成（连杆AB BC CD 、、始终在同一平面内)，连杆AB 垂直于底座且长度为8.8厘米，连杆BC 的长度为10厘米，连杆CD 的长度可以进行伸缩调整．（1）如图，当连杆AB BC 、在一条直线上，且连杆CD 的长度为9.2厘米,143BCD ∠=时，求点D 到底座的高度（计算结果保留一位小数）（2）如图，如果143BCD∠=︒保持不变，转动连杆BC ，使得150ABC ∠=︒，假如//AD BC 时为最佳视线状态，求最佳视线状态时连杆CD 的长度（计算结果保留一位小数）(参考数据：sin530.80,cos530.60,cot 530.75︒≈︒≈︒≈）6．为了维护国家主权和海洋权益，海监部门对我领海实施常态化巡航管理．如图，一艘正在执行巡航任务的海监船接到固定监测点P 处的值守人员报告：在P 处南偏东30方向上，距离P 处14海里的Q 处有一可疑船只滞留，海监船以每小时28海里的速度向正东方向航行，在A 处测得监测点P 在其北偏东60︒方向上，继续航行半小时到达了B 处，此时测得监测点P 在其北偏东30方向上．（1）B 、P 两处间的距离为_________海里；如果联结图中的B 、Q 两点，那么BPQ 是________三角形；如果海监船保持原航向继续航行，那么它__________（填“能”或“不能”）到达Q 处；（2）如果监测点P 处周围12海里内有暗礁，那么海监船继续向正东方向航行是否安全？ 7．如图，是小明家房屋的纵截面图，其中线段AB 为屋内地面，线段AE 、BC 为房屋两侧的墙，线段CD 、DE 为屋顶的斜坡．已知6AB =米， 3.2AE BC ==米，斜坡CD 、DE 的坡比均为1∶2．（1）求屋顶点D 到地面AB 的距离：（2）已知在墙AE 距离地面1．1米处装有窗ST ，如果阳光与地面的夹角53MNP β︒∠==，为了防止阳光通过窗ST照射到屋内，所以小明请门窗公司在墙AE 端点E 处安装一个旋转式遮阳棚（如图中线段EF ），公司设计的遮阳棚可作90°旋转，即090FET α<∠=≤︒︒，长度为1．4米，即 1.4EF =米．试问：公司设计的遮阳棚是否能达到小明的要求？说说你的理由． 1.41≈ 1.73≈ 2.24≈ 3.16≈，sin 530.8︒=，cos530.6︒=，4tan 533︒=．） 8．如图，燕尾槽的横断面是等腰梯形ABCD ，现将一根木棒MN 放置在该燕尾槽中，木棒与横断面在同一平面内，厚度等不计，它的底端N 与点C 重合，且经过点A ．已知燕尾角∶B=54.5°，外口宽AD=180毫米，木棒与外口的夹角∶MAE=26.5°，求燕尾槽的里口宽BC （精确到1毫米）．（参考数据：sin 54.50.81︒≈，cos54.50.58︒≈，tan 54.5 1.40︒≈，sin 26.50.45︒≈，cos 26.50.89︒≈，tan 26.50.50︒≈）9．某校数学活动课上，开展测量学校教学大楼()AB 高度的实践活动，三个小组设计了不同方案，测量数据如下表：（1）根据测量方案和所得数据，第______小组的数据无法算出大楼高度？ （2）请选择其中一个可行方案及其测量数据，求出教学大楼的高度． （参考数据：sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75︒≈）10．为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，电子眼位于点P 处，离地面的铅锤高度PQ 为9米，区间测速的起点为下引桥坡面点A 处，此时电子眼的俯角为30°；区间测速的中点为下引桥坡脚点B 处，此时电子眼的俯角为60°（A 、B 、P 、Q 四点在同一平面）．（1）求路段BQ 的长（结果保留根号）；（2）当下引桥坡度1:i =AB 的长（结果保留根号）． 11．如图，垂直于水平面的5G 信号塔AB 建在垂直于水平面的悬崖边B 点处（点A 、B 、C 在同一直线上），某测量员从悬崖底C 点出发沿水平方向前行60米到D 点，再沿斜坡DE 方向前行65米到E 点（点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内），在点E 处测得5G 信号塔顶端A 的仰角为37°，悬崖BC 的高为92米，斜坡DE 的坡度1:2.4i=．（参考数据：sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75︒≈）（1）求斜坡DE 的高EH 的长； （2）求信号塔AB 的高度．12．已知：如图，楼顶有一根天线，为了测量楼的高度，在地面上取成一条直线的三点E 、D 、C ，在点C 处测得天线顶端A 的仰角为60°，从点C 走到点D ，CD ＝6米，从点D 处测得天线下端B 的仰角为45°．又知A 、B 、E 在一条线上，AB ＝25米，求楼高BE ．13．如图，某数学兴趣小组要测量某购物广场大楼上安装的显示屏的高度，在点A 处测得大楼上显示屏的顶端C 点的仰角BAC ∠为45︒，底端D 点的仰角BAD ∠为30，沿水平地面向前走20米到达E 处，测得顶端C 的仰角BEC ∠为716︒.，点C ，D ，B 在同一条竖直线上，求显示屏的高度CD 约为多少米？（结果精确到1米）（参考数据：sin 71.60.95︒≈，cos71.60.36︒≈，tan 71.6 3.00︒≈ 1.41≈ 1.73≈）14．某数学课外兴趣小组为了测量建在山丘DE 上的宝塔CD 的高度，在山脚下的广场A 处测得建筑物点D （即山顶）的仰角为20︒，沿水平方向前进20米到达B 点，测得建筑物顶部C 点的仰角为45︒，已知山丘DE 高37.69米，求塔的高度CD ．（结果精确到1米，参考数据：sin 200.34,cos 200.94,tan 200.36︒≈︒︒≈≈）15．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行34km到B港，然后再沿北偏西42°方向航行至C港，已知C港在A港北偏东20°方向．（1）直接写出∶C的度数；（2）求A、C两港之间的距离．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）16．如图，小甬的家在某住宅楼AB的最顶层，他家对面有一建筑物CD，他很想知道建筑物的高度，他首先量出A到地AB CD 面的距离（AB）为20m，又测得从A处看建筑物底部C的俯角α为30，看建筑物顶部D的仰角β为53︒，且,都与地面垂直，点A，B，C，D在同一平面内．（1）求AB与CD之间的距离（结果保留根号）．（2）求建筑物CD的高度（结果精确到1m）．︒≈︒≈︒≈≈）（参考数据：sin530.8,cos530.6,tan53 1.717．为进一步加强疫情防控工作，免在测温过程中出现人员集现象，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如表．根据以上内容，解决问题：（1）学校要求测温区域的宽度AB为4m，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．（结果精确到0.1m，参考数据：︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈sin73.140.957,cos73.140.290,tan73.14 3.300,sin30.970.515,cos30.970.857,（2）经实践调查，一个红外线体温检测仪的平均检测体温速度是一个人工额温枪平均监测体温速度的2倍，该校九年级共240名学生通过一个红外线体温检测仪检测口比通过一个人工额温枪检测口可节约3分钟，求一个红外线体温检测仪平均每分钟检测体温的人数．18．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图∶是政府给贫困户新建的房屋，如图∶是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°，此时地面上C 点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走6m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为60°，房屋的顶层横梁EF＝12m，EF∶CB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，）（1）求屋顶到横梁的距离AG；（2）求房屋的高AB（结果精确到1m）．19．某数学兴趣小组为测量某建筑物AB 的高度，他们在地面C 处测得另一栋大厦DE 的顶部E 处的仰角32ECD ∠=︒．登上大厦DE 的顶部E 处后，测得该建筑物AB 的顶部A 处的仰角为60°，如图所示，已知C ，D ，B 三点在同一水平直线上，且40CD =米，20DB =米．（1）求大厦DE 的高度； （2）求该建筑物AB 的高度．（参考数据：sin 320.53︒≈，cos320.85︒≈，tan 320.62︒≈ 1.41≈ 1.73≈）20．在数学综合实践活动上，某小组要测量学校升旗台旗杆的高度．如图所示，测得//BC AD ，斜坡AB 的长为6m ，坡度i=BF 与水平宽度AF的比，在点B 处测得旗杆顶端的仰角为70°，点B 到旗杆底部C 的距离为4m ．（1）求斜坡AB 的坡角α的度数；（2）求旗杆顶端离地面的高度ED ．（参考数据：sin 700.94︒≈，cos 700.34︒≈，tan 70 2.75︒≈，结果精确到1m ）21．如图1所示，上海中心大厦是上海市的一座超高层地标式摩天大楼，是我国最高的建筑，建筑主体共计119层．某数学小组欲测量上海中心大厦的楼高，设计出如图2所示的测量方案．具体方案如下：小组成员在地面A 处通过激光测距，测得仰角a ＝37°，光路AB 长10003m ，光路AB 被写字楼BN 楼顶的一面玻璃（视为点B ）反射，反射的激光束沿光路BC 恰好可以到达上海中心大厦CM 楼顶（视为点C ）．已知写字楼与上海中心大厦的直线距离MN 为576m （写字楼与上海中心大厦位于同一平面），图2中的虚线为法线．求上海中心大厦的楼高CM （结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．22．将笔记本电脑放置在水平桌面上，显示屏OB 与底板OA 夹角为120︒，如图1，侧面示意图为图2；使用时为了散热，在底板下面垫入散热架'O AC 后，电脑转到''AO B 的位置，如图3，侧面示意图为图4，已知20cm OA OB ==，''B O OA ⊥，垂足为C ．（1）求点'O 的高度'O C ；（2）显示屏的顶部'B 比原来升高了多少？（3）如图4，要使显示屏''O B 与原来的位置OB 平行，显示屏''O B 应绕点'O 按顺时针方向旋转______度．23．深圳是沿海城市，每年都会受到几次台风侵袭，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在数十千米范围内形成气旋风景，有极强的破坏力．某次，据气象观察，距深圳正南200千米的处有一台风中心，中心最大风力为12级，每远离台风中心30千米，风力就会减弱一级，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东43°方向向移动，且台风中心风力不变，若城市受到风力达到或超过六级，则称受台风影响． （1）此次台风会不会影响深圳？为什么？（2）若受到影响，那么受到台风影响的最大风力为几级？（3）若受到影响，那么此次台风影响深圳共持续多长时间？（结果可带根号表示）（sin43°≈34，cos42°≈2940，tan42°≈910）24．如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度AB ，在观测点C 处测得大桥主架顶端A 的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点B 的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离CM 为60米，且AB 垂直于桥面．（点,,,A B C M 在同一平面内）（1）求大桥主架在桥面以上的高度AM ；（结果保留根号） （2）求大桥主架在水面以上的高度AB ．（结果精确到1米）（参考数据sin140.24,cos140.97,tan14 1.73︒︒︒≈≈≈≈）25．为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）i ＝1：2.4的山坡AB 上发现有一棵古树CD ．测得古树底端C 到山脚点A 的距离AC ＝26米，在距山脚点A 水平距离6米的点E 处，测得古树顶端D 的仰角∶AED ＝48°（古树CD 与山坡AB 的剖面、点E 在同一平面上，古树CD 与直线AE 垂直），则古树CD 的高度约为多少米？（参考数据：sin48°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）26．为了更好地检测复学后学生进校时的体温情况，某小学购买了如下左图所示的带支架的红外热成像仪，该仪器能探测从仪器旁经过学生的体温，若超过37.3℃就会发出警报．该仪器由三根等长的斜拉支架和一根竖直支架共同支撑上边的红外测温仪已知四根支架总长为5.5米，一根斜拉支架与竖直支架的长度比为3：2．（1）如图1，当斜拉支架与地面的夹角为64︒时，请计算红外测温仪距离地面的高度AD（连接处均忽略不计）；（2）在使用期间发现，将顶端测温仪AE倾斜与水平线夹角为37︒，斜拉支架与铅垂线AD的夹角也是37︒时，学生（按C米的点N处时，测温仪AE与学生的额头M恰好在一条直线上，这样调整能使测量的温度比平均身高）走到距离点 1.7︒≈，较准确（如图2所示），请结合题中所给数据计算学生的平均身高．（结果精确到0.1米，参考数据：sin640.90︒≈，tan370.75︒≈）︒≈，cos370.80︒≈，tan64 2.05cos640.44︒≈，sin370.60。