空间中两条线段之间的最短距离
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空间中两条线段之间的最短距离
设空间中有两条线段 AB 和 CD ，设 A 点的坐标为 ),,(111z y x ，B 点的坐标为 ),,(222z y x ，C 点的坐标为 ),,(333z y x ，D 点的坐标为 ),,(444z y x 。 设 P 是直线 AB 上的一点，P 点的坐标 ),,(Z Y X 可以表示为
⎪⎩
⎪⎨⎧-+=-+=-+=)()()(121121121z z s z Z y y s y Y x x s x X 。
当参数 10≤≤s 时，P 是线段 AB 上的点；当参数 0s 时，P 是 AB 延长线上的点。
设 Q 是直线 CD 上的一点，Q 点的坐标 ),,(W V U 可以表示为
⎪⎩
⎪⎨⎧-+=-+=-+=)()()(343343343z z t z W y y t y V x x t x U 。
当参数 10≤≤t 时，Q 是线段 CD 上的点；当参数 0
P ,Q 两点之间的距离为
222)()()(W Z V Y U X PQ -+-+-= 。
距离的平方为
),(t s f =2PQ 222)()()(W Z V Y U X -+-+-=
2341231)]()()[(x x t x x s x x ---+-=2
341231)]()()[(y y t y y s y y ---+-+2341231)]()()[(z z t z z s z z ---+-+ 。
要求直线 AB ，CD 之间的最短距离，也就是要求 ),(t s f 的最小值。 对 ),(t s f 分别求关于 s ，t 的偏导数，并令偏导数为0 ：
⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=∂∂0),(0
),(t
t s f s t s f
展开并整理后，得到下列方程组：
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧--+--+--=-+-+-+--+--+-----+--+--=--+--+----+-+-)
)(())(())((])()()[()])(())(())([())(())(())(()])(())(())([(])()()[(343134313431234234234341234123412312131213121341234123412212212212z z z z y y y y x x x x t z z y y x x s
z z z z y y y y x x x x z z z z y y y y x x x x t
z z z z y y y y x x x x s z z y y x x 如果从这个方程组求出的参数 s ，t 的值满足 10≤≤s ，10≤≤t ，说明 P 点落在线段 AB 上，Q 点落在线段 CD 上，这时 PQ 的长度
222)()()(W Z V Y U X PQ -+-+-=
就是线段 AB 与 CD 的最短距离。
如果从方程组求出的参数 s ，t 的值不满足 10≤≤s ，10≤≤t ，说明不可能在线段 AB 内部找到一点 P ，在线段 CD 内部找到一点 Q ，使得 PQ 的长度就是线段 AB 与 CD 的最短距离。
这时，可以分别求 A 点到线段 CD 的最短距离、B 点到线段 CD 的最短距离 、C 点到线段 AB 的最短距离、D 点到线段 AB 的最短距离。
（求法参看《数学中国》论坛上的帖子：“空间中一个点到空间中一条线段的最短距离”。） 然后，比较这4个距离的大小，其中最小的一个，就是线段 AB 到 CD 的最短距离。
下面看一个例子。
设 A 点的坐标为 ),,(111z y x )0,0,4(=，B 点的坐标为 ),,(222z y x )0,3,0(= ，C 点的坐标为 ),,(333z y x )1,3,4(=，D 点的坐标为 ),,(444z y x )4,3,4(-= 。
方程组
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧--+--+--=-+-+-+--+--+-----+--+--=--+--+----+-+-)
)(())(())((])()()[()])(())(())([())(())(())(()])(())(())([(])()()[(343134313431234234234341234123412312131213121341234123412212212212z z z z y y y y x x x x t z z y y x x s z z z z y y y y x x x x z z z z y y y y x x x x t
z z z z y y y y x x x x s z z y y x x 即
⎩
⎨⎧-⨯-+⨯-+⨯=-+++-⨯+⨯+⨯---⨯+-⨯-+⨯=-⨯+⨯+⨯--++-)5()1(0)3(00])5(00[)]2(0030)4[()1(0)3()3(04)]2(0030)4[(]03)4[(222222t s t s 即 ⎩⎨
⎧==525925t s ，解得 ⎩⎨⎧==51259t s 。
因为 12590<=
10<= P 点的坐标 ),,(Z Y X 为 ⎪⎪⎪⎩ ⎪⎪⎪⎨⎧=-+=-+==-+=-+==-+=-+=0)00(2590)(2527)03(2590)(2564)40(2594)(121121121z z s z Z y y s y Y x x s x X 。 Q 点的坐标 ),,(W V U 为 ⎪⎪⎪⎩ ⎪⎪⎪⎨⎧=--+=-+==-+=-+==-+=-+=0)14(511)(3)33(513)(4)44(514)(343343343z z t z W y y t y V x x t x U 。 线段 AB 与 CD 之间的最短距离，即 PQ 的长度为 222)()()(W Z V Y U X PQ -+-+-= 222)00()325 27()42564(-+-+-=5 12256025483622==+= 。