上海市北初级中学数学三角形填空选择单元测试卷附答案
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上海市北初级中学数学三角形填空选择单元测试卷附答案
一、八年级数学三角形填空题(难)
1.如图,在ABC ∆中,A α∠=.ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A ,得1A ∠: 1A BC ∠与1A CD ∠的平分线相交于点2A ,得2A ∠;;2019A BC ∠与2019A CD ∠的平分线相交于点2020A ,得2020A ∠,则2020A ∠=________________.
【答案】
20202α 【解析】
【分析】 根据角平分线的定义,三角形的外角性质及三角形的内角和定理可知
21211112222
a A A A A a ∠=∠=∠=∠=,,…,依此类推可知2020A ∠的度数. 【详解】
解:∵∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1,
∴11118022
A ACD AC
B AB
C ∠=︒-∠-∠-∠ 1118018022
ABC A A ABC ABC =︒-∠+∠-︒-∠-∠-∠()() 1122
a A =∠=, 同理可得221122a A A ∠=
∠=, …
∴2020A ∠=
20202α. 故答案为:
2020
2α. 【点睛】 本题是找规律的题目,主要考查三角形的外角性质及三角形的内角和定理,同时也考查了角平分线的定义.
2.如图1,△ABC 中,沿∠BAC 的平分线AB 1折叠,剪掉重叠部分;将余下部分沿∠B 1A 1C 的平分线A 1B 2折叠,剪掉重叠部分;…;将余下部分沿∠B n A n C 的平分线A n B n+1折叠,点B n 与点C 重合,无论折叠多少次,只要最后一次恰好重合,我们就称∠BAC 是△ABC 的好
角.
(1)如图2,在△ABC 中,∠B>∠C ,若经过两次折叠,∠BAC 是△ABC 的好角,则∠B 与∠C 的等量关系是_______;
(2)如果一个三角形的最小角是20°,则此三角形的最大角为______时,该三角形的三个角均是此三角形的好角。
【答案】B 2C ∠∠= 140°、120°或80°
【解析】
【分析】
(1)根据折叠性质可得∠A 1B 1B 2=∠C ,∠AA 1B 1=∠B ,由三角形外角性质可得
∠AA 1B 1=2∠C ,根据等量代换可得∠B=2∠C ;(2)先求出经过三次折叠,∠BAC 是△ABC 的好角时,∠B 与∠C 的等量关系为∠B=3∠C ,进而可得经过n 次折叠,∠BAC 是△ABC 的好角时∠B 与∠C 的等量关系为∠B=n ∠C ,因为最小角是20º,是△ABC 的好角,根据好角定义,设另两角分别为20mº,4mn°,由题意得20m+20mn+20=180°,所以m(n+1)=8,再根据m 、n 都是正整数可得m 与n+1是8的整数因子,从而可以求得结果.
【详解】
(1)根据折叠性质得∠B=∠AA 1B 1,∠A 1B 1B 2=∠C ,
∵∠AA 1B 1=∠A 1B 1B 2+∠C ,
∴∠B=2∠C
故答案为:∠B=2∠C
(2)如图:∵根据折叠的性质知,∠B=∠AA 1B 1,∠C=∠A 2B 2C ,∠A 1B 1C=∠A 1A 2B 2, ∴根据三角形的外角定理知,∠A 1A 2B 2=∠C+∠A 2B 2C=2∠C ;
∵根据四边形的外角定理知,∠BAC+∠B+∠AA 1B 1-∠A 1B 1C=∠BAC+2∠B-2∠C=180°, 根据三角形ABC 的内角和定理知,∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴∠B=3∠C ;
∴当∠B=2∠C 时,∠BAC 是△ABC 的好角;当∠B=3∠C 时,∠BAC 是△ABC 的好角; 故若经过n 次折叠∠BAC 是△ABC 的好角,则∠B 与∠C (不妨设∠B >∠C )之间的等量关系为∠B=n ∠C ;
∵最小角为20°,
∴设另两个角为20m°和20mn°,
∴20°+20m°+20mn°=180°,即m(1+n)=8,
∵m、n为整数,
∴m=1,1+n=8;或m=2,1+n=4;或m=4,1+n=2.
解得:m=1,n=7;m=2,n=3,m=4,n=1,
∴另两个角为20°、140°或40°、120°或80°、80°,
∴此三角形最大角为140°、120°或80°时,三个角均是此三角形的好角.
故答案为:140°、120°或80°
【点睛】
本题考查了翻折变换(折叠问题).充分利用三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质是解题关键.
3.若正多边形的一个外角是45°,则该正多边形的边数是_________.
【答案】8;
【解析】
【分析】
根据多边形外角和是360度,正多边形的各个内角相等,各个外角也相等,直接用360°÷45°可求得边数.
【详解】
∵多边形外角和是360度,正多边形的一个外角是45°,
∴360°÷45°=8
即该正多边形的边数是8.
【点睛】
本题主要考查了多边形外角和是360度和正多边形的性质(正多边形的各个内角相等,各个外角也相等).
4.一个多边形的内角和与外角和的差是180°,则这个多边形的边数为_____.
【答案】5
【解析】
【分析】
根据多边形的内角和公式(n﹣2)•180°与外角和定理列式求解即可
【详解】
解:设这个多边形的边数是n,
则(n﹣2)•180°﹣360°=180°,
解得n=5.
故答案为5.
【点睛】
本题考查了多边形的内角和与外角和定理,任意多边形的外角和都是360°,与边数无关.
5.两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上,且有一个公共顶点O,其摆放方式如图所示,则∠AOB等于 ______ 度.