§12 怎样求电容器的电容和能量

1 §12 怎样求电容器的电容和能量 一、电容的计算 电容的计算一般有三种方法： 1、 利用电容的定义式QQCUU来计算，具体步骤如下： 先计算电场强度，进而计算电势差。在电势差U的表达式中，已经包含了电量Q与电势差U的比值，因此，对电势差表达式进行整理，即可由电容的定义QQCUU算得电容。

2、 通过电容器的储能公式221122eQWCUC来计算；由U→We→C； 或者是Q→We→C. 3、 对于串联、并联、混联，可用前面两种方法，但往往直接用电容的串、并联计算公式更为方便。即：

串联时： 111niiCC

并联时： 1niiCC 二、电容器储能的计算 电容器的储能公式为：

22

22

11(1)222111(2)222QWQUCUCDWEDVEVV

 式中 U---电容主板间电势差 V--------电容器极板间电场所占的空间 因为,SCUEdd故式(1)、(2)是一致的。 储能计算时要注意L是维持电量Q不变(电容器充电后与电源断开), 还是维持电压U不变(电容器充电后，不与电源断开)，否则就会把题做错。例如：有人问：如增大C，由

22

C

WU可知W应增加；但从22QWC看，W又应减小。究竟应该是增加还是减小？ 2

同一习题之所以出现矛盾的结果 ，是因为问题本身不够明确：没有说明是Q不变，还是U不变。如在Q不变下增大C，则由22QWC看，W应该减小；因QCU，C增大时U将减小，故从看，W也应减小。 ［例1］球形电容器由半径为R1的导体球和与它同心的导体球壳构成，其间有两层同心的均匀介质球壳，介质常数分别为1、2，两介持的分界面的半径为R2，导体球壳的内半径为R3 (图2-12-1) 。已知球壳不带电，内球带电+Q，求球形电容器的电容。 ［分析］球壳的带电总量为零，但在内球的静电感应的情况下，其内表面带负电Q，外表面带正电Q，电场具有对称性，电位移矢量D垢方向沿半径向外。

［解］利用电容的定义式QCu来计算。 1、 计算各场区的场强： Ⅰ区：以半径为r的同心球面为高斯面，利用有介质时的高斯定理得：

21112

,4,4sQDdsQDrQDr

11DE 112

114DQEr



Ⅱ区：同理可知： 1224QEr 2、 计算内球与球壳间的电势差U

231122312

12

2212

112223*23211132

12123

441111444RRRRRRRRRRUEdlEdrEdrQQdrdrrrQQRRRR

QRRRRRRRRR





 3

*式中已包含了QU，故易得： 1212323211132

4RRRQ

CURRRRRR





3、 利用电容的定义求电容 ［例2］五个电容连接如图2-12-2所示，在AB间加30V，求各电容器上的电量以及AB间的总电容，设123451,2,2,1,3CFCFCFCFCF五个电容器上的电量以Q1、Q2、Q3、、Q4、Q5表示。 ［解］由：3510QQQ

4520QQQ 得： 315QQQ

425QQQ 就电势差而言： 沿APB支路： 1513012QQQ 沿ARB支路： 2523023QQQ 沿APRA支路： 512132QQQ 由上列方程可以解得：

12531542570404070,,10,,3333QcQcQcQQQcQQQc

上述结果是可信的，因为电路与相应的电势方程具有对称性，1Q与4Q、2Q与3Q分别相等，是理所当然的。

为了求总电容，让我们看A侧、B侧的电量。在A侧：121103QQc； 在B侧：34121103QQQQc，根据电容的定义，合电容为： 4

110113309QCFU



［例3］一厚度为b之铜板，插入平行板电容器的两极中央。求电容 (图2-12-3)。 ［分析］设平行板电容器极板的面积为S，板间距离为d，则电容为： 0SCd

铜板插入后，铜 板在静电场的作用下在表面产生感应电荷，它与极板上的电荷面密度相等(因为这时才达到静电平衡)。因此铜板插入后，等于两个电容 (极板间的距离为2db)的串联。,或者说，等于电容(极板间距离为2db)的串联，或者说等于电容器两板间距由d缩短为d-b。 ［解］铜板插入后，形成两电容器C1、C2的串联： 012

2

SCCdb

故总的等效电容为： 1211212CCSCCCCdb 将题目化一下：如铜板不是正好插在平板电容器的中央，结果又将如何变化(图2-12-3)？ ［分析］设铜板与上极板距为1d，则与下极板间距为d-b-d1，铜板插入后仍看为两个电容的串联： 0012

11

,SSCCddbd



总的等效电容为C： 111200

111ddbdCCCSS

0SCdb



可见，结果没有变化。

为什么等效电容与铜板在两极板间的位置无关呢？因为这种插入方式，相当于把电容器 5

极板间距缩短。不管铜板是否插在中央，极板间距由d缩短为d-b，因而结果不发生变化。 将题目再化一下：如以相对介电系数为r的介电介质板代替铀板，结果是否仍然相同？ ［分析］电介质插入后，表面要产生束缚电荷，但束缚电荷总是比极板上的自由电荷要少。这时不能如上述一样，把它看为两个电容器的串联，因为：①电介质板表面的电荷不是自由电荷；②介质的场强不为零。有一点是肯定的，若电容需增大。这时可根据电容的公式QCV，将介质板插入后的电容求出来。

要求V， 先求E。

［计算］设极板的电荷面密度为，则在真空中的场强为00E；在介质中的场强为

0rE，故檄板间的电势差为：

000r

dbbVEdbEb



因此总电容为：

0r

SS

CbVdb



插入介质板前后电容的比值为：

01CdCdbb

如r，即相当于插入的不是介质板，而是金属板，则：

0CdCdb

与前面的结果一致。 ［例4］半径分别为R1、R2的同心导体球壳(图2-12-4)。求内球壳接地时的总电容。 ［解］设内球带电+Q，则根据高斯定理可知，外球的内表面带电-Q，它的外表面带电

211

RRQQR

，这样内球壳的外表面与外球壳的内表面构成一个电容器，同时，外球壳

的外表面与无限远处也形成一个电容器。假设它们的电容分别为C1、C2。 6

球形电容器的电容为1210214RRCRR。由此可见，当2

R

时，即得弧立球的电容，按题设条件，2024CR，故总电容为： 212212020

1221

44RRRCCCRRRRR



［讨论］此题要求的总电容是按并联计算的。也就是说，内球接地后，把大地与无限远- 处都作为电势零点，不然是不可以按并联而论的。 有人说，把内球接地后作为电势零点，则在无限远处，就不可能再作为电势零点了。。因此，此题要求的总电容是按串联公式来计算。 两种说法哪一种对呢？请思考的。 ［例5］一同心球形电容器内外径分别为R1=5.00cm，r2=6.00cm ，电容器中有一半空间充有7.00r电解质(图2-12-5)，求电容(不计电场在两半球交界面上的弯曲。) ［解法一］设两球间的电势差为U，在两球面间无电介质部分，内球面的半个上有电量为0Q，在有电介质部分内球的半个上的电荷为Q，电容器中各部分电场沿半径方向，故在每一部分用12RR的一部分球面和11rR的一部分球面以及与半径平行的侧面构成之闭合面为高斯面，由于侧面上的通量为0，半径为 r 的部分球面上D为0，则通过此闭合面之总的通量为： DdsDS

高斯面中的自由电荷为：10212RSQR或1212RSQR 而1222::RPSSRr，故在电容器的两部分各得： 1100

022

12212222Rr

Rr

SQQ

DRSrSQQDRSr



两部分的场强为：