更高更妙的物理：专题18 电容器

专题18 电容器这里，我们将会更多地了解导体的电荷及带电后的导体。

一个孤立的带电量为Q 、半径为R 的金属球；它具有电势QU kR=，这在我们已然熟知。

稍加注意不难发现，带电金属球的电势与所带电量具有这样的关系：Q 和U 的比值等于球半径R 的k 分之一，也就是说，比值QU是一个只与带电导体的大小形状有关而与其带电多少无关的物理量。

它表征了导体这样一种特性：使导体得到单位电势所必须给予的电量。

这种特性被定义为导体的电容C ，定义式qC U=。

孤立导体的电容一般很小，地球是我们可以接触到的最大导体，其半径约6400km ，它的电容R C k=地，也就710F μ（微法）左右，所以，孤立导体的电容没有实际意义。

两个彼此靠近而又相互绝缘的导体组成的电容器在电工及电子设备中得到广泛应用。

因为电容器可以具有很大的电容，即在一定的电势下带有更多的电量。

电容器的电容ABqC U =，q 为一个导体（极板）上带电量，AB U 为两导体间电势差。

电容器的电容是反映电容器储存电荷的能力的物理量，取决于电容器自身的构建。

确定一个电容器电容的途径：一是从定义出发，一是通过等效变换。

对电容器的研究，多涉及电容、电压、电容器两极间电场、电容器充、放电及电容器中电场的能量。

最简单的电容器是由靠得很近、互相平行的同样大小的两片金属板组成的平行板电容器。

两板间距离为d ，两板正对面积为S ，每板带等量异种电荷q +与q -，由于板面很大而板间距离很小，故除边缘部分外，电荷均匀分布在两极板内表面，面密度qSσ=±，根据高斯定理。

“无限大”带电平面两侧电场0022q E S σεε==⋅，故平行板电容器板间电场强度由每板电荷引起的场强同向叠加：00q E S σεε==，两板间电势差 0AB dU Ed σε==，0AB S q C U d ε==。

球形电容器也是常规的电容器，由半径分别为A R 、B R 的两个同心导体球壳所组成，如图所示。

设内球壳带电q +，外球壳带电q -，两球壳之间有球心对称的电场，方向沿径向向外，由高斯定理可知，在距球心为r （A r R >）处场强大小204qE rεπ=⋅，电势梯度是非均匀变化的。

考虑在一小段B AR R r n-∆=（n →∞），将其上场强视作不变，电势降落204()i A qU r R i r επ=⋅∆⋅+⋅∆，则从A 到B 总的电势降落 211001000lim lim 4()4()()11lim 4()()1111111lim 42214nnAB n n i i A A A nn i A A n A A A A A A B B A q q rU r R i r R i r R i r r q R i r r R i r qR R r R r R r R r R n r R R R q R εππεπεπεπε→∞→∞==→∞=→∞∆=⋅∆=⋅+⋅∆+⋅∆⋅+⋅∆-∆=-+⋅∆-∆+⋅∆⎡⎤=-+-+-⋅⋅⋅+-⎢⎥+∆+∆+∆+∆+-∆⎣⎦-=⋅∑∑∑（）A BR再由电容定义式即得球形电容器的电容公式为4A BB AR R C R R πε=-（B A R R >），说明球形电容器的电容也仅由其几何形状及结构决定。

由两个同轴金属圆柱面组成的圆柱形电容器也是常见电容器。

一根同轴的电缆就形成一个圆柱形电容器，如图所示为同轴电缆剖视，它的铜芯线和外包铜线相当于圆柱形电容器的两个极板。

电缆单位长度的电容是电缆的一个重要的特性参数，对圆柱形电容器电容的计算也是很有实际意义的，读者可试解本专题小试身手题4。

当将两个电容器如图所示串联时，等效于增大了板间距离，给A 板充q +电量、B 板充q -电量，1C 右板及2C 左板因静电感应而分别有q -电量及q +电量且与连接导线共成一等势体，设串联后等效电容为C ，则12q q qC C C =+，1212C C C C C =+。

即电容器串联后的等效电容值取各相串电容的调和平均，等效电容变小。

当将两个电容器如图所示并联时，等效于增大了极板的正对面积，各电容器板间电压均为U ，设并联后等效电容为C ，那么12CU CU C U =+，即电容器并联后的等效电容值为各相并联电容的和。

等效电容变大。

下面我们来计算两个异形电容器的电容。

【例1】如图所示，两块长与宽均为a 与b 的导体平板在制成平行板电容器时稍有偏斜，使两板间距一端为d ，另一端为（d h +），且h d ，试求该空气电容器的电容。

【分析与解】这里涉及的电容器是板间距离有微小变化的平板电容器，自然想到用微元法；将该电容器看作是n 个正对面积极小的电容器并联而成，每个元电容器极板间距视作恒定，用平行板电容器公式示出其电容i C ，总电容为i iC C =∑。

先取微元。

由于微元量0i iabC nd ε=，求这样一个调和级数的和是很困难的，故我们将总电容C进行分割，每个元电容i C C n =，如图所示，设第i 个小电容器极板间距离i d 、正对面积1()i i i bS a d d h+=⋅-⋅，则01()i i i ab d d C n hd ε+-=，即101i i d Chn ab d ε++=，此式说明各电容相同的小电容器其板间距离是呈等比数列地从d 变为d h +的，即 0000(1)(1)n ab ChCh abn d h Ch Chd n ab n abεεεε⋅+=+=+。

利用极限00lim(1)n abChn Che n ab εε→∞+=，得0Chabd hedε+=， 于是 0ln(1)ab h C h dε=+。

【例2】如图所示，两个半径均为R 的导体球相互接触形成一孤立导体，试求此孤立导体的电容。

（111ln 21234=-+-+⋅⋅⋅） 【分析与解】孤立导体的电容取决于其几何构建，球导体电容为Rk，两个半径均为R 的导体球切合，其电容是多少？我们从寻求等效下手。

设系统的电势为U ，如若确定此电势下系统的荷电量Q ，即可由定义求得电容C 先考虑若只一个金属球，当带电量1q +时，有1kq U R=，两球相互接触时。

每球球心电势将要增加对方球所带电荷（视作集中在球心）引起的那部分电势，可以设想在两球心连线上适当位置放上适当电荷—所谓像电荷来抵消，以便每球的电势依然保持为U 。

如图所示，为了消除2O 处1q +对1O 处电势的影响，可在与1O 距离2R处放置122q q =-（参见专题17例12结论）。

同样，为了消除1O 处1q +对2O 处电势的影响，可在与2O 距离2R处放置122q q =-；但2q 在消除对方1q 对自身影响的同时，却又在对方引起新的电势，仿照前面做法。

再引入—对3q 电荷，其位置距球心223/23R RR =，电量2133/23Rq q q R =-=；如此往复无穷直至系统电势为U ，此时系统总电荷111112(1)(2ln 2)(2ln 2)234URQ q q k=-+-+⋅⋅⋅==，则该双金属球系统的电容为08(ln 2)R πε。

至此，我们所讨论的电容器两极间均无其他物质，为真空绝缘。

当改变两导体的绝缘物质时，电容器的电容也将发生变化。

电介质的电学性质是几乎没有自由电子、由中性分子构成，每个分子带等量异种电荷。

通常情况下，整个电介质物体不显电性。

当把电介质物体放在电场中，带等量异种电荷的中性分子受电场力作用成为按电场方向顺序排列的电偶极子，如图所示，这就使电介质的两端呈局部带电现象：电场线进入的一端表面带负电，电场线穿出的一端表面带正电，这种现象叫做电介质极化，电介质两端面上的电荷称极化电荷。

电介质与导体在电场中的表现是不同的：极化电荷不同于自由电荷，它不能自由移动；极化电荷建立的电场E '-削弱了外电场0E ，电介质里的电场为0E E E '=-，真空中场强0E 与处在该场里的电介质内部被极化电荷削弱后的场强E 之比值E Eε=定义为这种电介质的介电常数，介电常数ε大于1。

空气的介电常数 1.0006ε=，一般的计算中将空气的介电常数取作1。

当平行板电容器两极板间均匀充满介电常数为ε的电介质时，其电容将增加为原来的ε倍，即计算电容的公式成为0SC dεε=。

【例3】如图所示，一平行板电容器，充以三种介电常数为分别1ε、2ε和3ε的均匀介质，板的面积为S ，板间距离为2d 。

试求电容器的电容。

【分析与解】这样一个电容器的电容可等效为由电容0222SC dεε=与0332SC dεε=的电容串联后与电容0114SC dεε=的电容器并联的电容值，这个等效电容为23012132312323222()C C S C C C C d εεεεεεεεε++=+=⋅++。

离子型晶体的电介质如石英、电气石等，当受到拉伸或压缩而发生机械形变时，也能产生电极化现象，这被称为压电效应。

例如石英晶体处在510Pa 的压强下时，承受正压力的上下两个表面间出现正负电荷，产生约0.5V 的电势差。

石英晶体的压电现象被用来变机械振动为电磁振荡，它是标准时间—石英钟的运作原理。

多个电容器按不同方式连接后充电，各电容器极板上的电量及两板间的电压将由电容器的电容制约，例如当几个原来不带电的电容器串联后，加上电压U ，U 将按各电容器的电容反比例分配在各电容器上，这是因为各串联电容器电量相同，而QU C=之故；当几个原来不带电的电容器并联后，充电到总电量为Q ，各电容器将按电容正比例地分配电量Q ，因为U 相同，q C ∝在下面较为复杂的背景下，电容对两板间的电压及极板上的电量的制约还是解决问题的瓶颈。

【例4】四块同样的金属板，每板面积为S ，各板带电量分别为1q 、1q -、2q 、2q -。

各板彼此相距为d ，平行放置如图所示，d 比板的线尺寸小得多，当板1、板4的外面用导线连接，求板2与板3之间的电势差。

【分析与解】“d 比板的线尺寸小得多”这个条件使我们可以忽略板的边 缘效应而将各板间电场均看作匀强电场。

要求板2、3间电势差，关键须确定由板2、3构成的这个电容器的电量。

当将板1、板4以导线相连，有两点；一是板1与板4成为等势体；二是板1与板4总电量守恒为12q q -、板2与板3电量不变。

我们可以假设各板左右两侧电荷分布如图所示，其中1312q q q q ''+=- ① 121q q q ''--=-，（232q q q ''--=） ②各板间电场线方向如图所示，即电势从板1到板2降落1U ，从板2到板3回升2U ，从板3到板4回升3U ，因为板1与板4等势，所以123U U U =+。

同时每对金属板构成的电容器电容均为00SC dε=，故有312000q q q C C C '''=+， ③ 由①、②、③三式解得板2右侧与板3左侧带电量2121()3q q q '=+，于是可求出2、3板间的电压2123200()3q d q q U C Sε'+==。