2017北京市东城区高三数学(理)(一模)
北京市东城区2017届高三4月综合练习(一)数学(文)试题Word版含答案
北京市东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（一）数学 （文科） 本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷 上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题 共40分）一、选择题 洪8小题，每小题5分，共40分•在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项）（1）如果 A 「.x ・ R |x 0}, B j 0,1,2,3?,那么集合 A B 二B.心 D. ：1,2,3?（2）某高校共有学生3000人，新进大一学生有 800人•现对大学生社团活动情况进行抽样 调查，用分层抽样方法在全校抽取300人，那么应在大一抽取的人数为A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件c. y =2x r" x 2 — 3, x < 0, 设函数f （X ）t ——若f （a ） ，则实数a 的取值范围是 +1, x K0.A. (0, 2)B. (0,讼)C. (2,宓)D. (q,0) U (2, +°O )(5) (6) Sin 二' cos ： =0 ”是 'cos2： - 0 ”的A.空集C.：0,1； A.200 B.100 C.80D.75(3) 如果 a =log 4 1 , b = log 23 , c = log ?二，那么三个数的大小关系是A. c b aB. a c bC.a b cD. b c a 如果过原点的直线 l 与圆x 2 （y-4）2 =4切于第二象限，那么直线l 的方程是A. y =3xB. y = - 3xD.既不充分也不必要条件C.充分且必要条件。
2017-2018北京东城东直门中学高三上期中【理】数学真题卷
北京市东直门中学2017-2018年度高三第一学期期中试题（数学 理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1．设集合{}|1P x x =>，{}2|0Q x x x =->，则下列结论正确的是（ ）．A ．P Q =B ．P Q =RC ．Q P ÜD ．P Q Ü【答案】D【解析】∵集合{}|1P x x =>，集合{}{2|0|0Q x x x x x =->=<或}1x >，∴P Q Ü．故选D ．2．复数z 满足i 3i z ⋅=-，则在复平面内，复数z 对应的点位于（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】∵i 3i z ⋅=-，∴223i (3i)i 3i i 13i 1i 1z ---====---， ∴其对应的点是(1,3)--，位于第三象限．故选C ．3．如果平面向量(2,0)a =，(1,1)b =，那么下列结论中正确的是（ ）．A ．||||a b =B ．22a b ⋅=C ．()a b b -⊥D ．a b ∥【答案】C【解析】由平面向量(2,0)a =，(1,1)b =知： 在A 中，||2a =，||2b =， ∴||||a b ≠，故A 错误； 在B 中，2a b ⋅=，故B 错误； 在C 中，(1,1)a b -=-， ∴()110a b b -⋅=-=， ∴()a b b -⊥，故C 正确； 在D 中，∵2011≠， ∴a 与b 不平行，故D 错误． 综上所述． 故选C ．4．设函数π()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，下面结论中正确的是（ ）．A ．函数()f x 满足π()2f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．图象C 关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向右平移π3个单位得到 D ．函数()f x 在区间ππ,122⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数【答案】B【解析】A 项．∵π()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴πππsin 2πsin 2()233f x x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 错误；B 项．∵πππsin 2sin 00663f ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()f x 的图象C 关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称，故B 正确；C 项．∵ππ()sin 2sin 236f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴()f x 的图象C 由函数()sin 2g x x =的图象向右平移π6个单位得到，故C 错误； D 项，当ππ,122x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，ππ2π2,323x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴函数()f x 在区间ππ,122⎛⎫- ⎪⎝⎭上先增后减，故D 错误．5．在ABC △中，π4A =，BC ，则“AC ”是“π3B =”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由正弦定理可得sin sin AC BCB A=， ∴若π3B =，则πsin sin 34AC =得π3πsin 4AC ==若ACπsin 4=，得πsin B ==π3B =或2π3，充分性不成立，∴“AC =”是“π3B =”的必要不充分条件． 故选B ．6．已知函数x y a =，b y x =，log c y x =的图象如图所示，则（ ）．A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C【解析】根据函数的图象知，函数x y a =是指数函数， 且当1x =时，(1,2)y a =∈；函数b y x =是幂函数，且2x =时，2(1,2)b y =∈， ∴(0,1)b ∈；函数log c y x =是对数函数，且当2x =时，log 2(0,1)c y =∈， ∴2c >．综上所述，a ，b ，c 的大小是c a b >>． 故选C ．7．已知函数,0,()0.x x f x x -<⎧⎪=≥若关于x 的方程()(1)f x a x =+有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(0,)+∞C ．(0,1)D ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】作出函数()y f x =的图象，如图所示，作出函数(1)y a x =+，则直线恒过点(1,0)-，关于x 的方程()(1)f x a x =+有三个不相等的实数根，即为直线与曲线y 相交时， 当()f x 的图象有三个交点，当直线与曲线y =相切时，设切点为(m ， 则12y '=则切线斜率为12a =，又(1)a m += 由此解得12a =（负值舍去）， 所以实数a 的取值范围是10,2⎛⎫⎪⎝⎭．故选D ．8．如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，E ，F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线E ，F 的平面分别与棱BB '，DD '交于M ，N ，设BM x =，(0,1)x ∈，给出以下四个命题：①四边形MENF 为平行四边形；②若四边形MENF 面积()S f x =，(0,1)x ∈，则()f x 有最小值； ③若四棱锥A MENF -的体积()V p x =，(0,1)x ∈，则()p x 是常函数； ④若多面体ABCD MENF -的体积()V h x =，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()h x 为单调函数．其中假命题．．．为（ ）． A ．① B ．② C ．③ D ．④【答案】D【解析】对于①，∵平面ADD A ''∥平面BCC B ''， ∴EN MF ∥， 同理：FN EM ∥，∴四边形MENF 为平行四边形，故①正确；对于②，四边形MENF 的面积1()()2S f x EF MN ==⨯，当M 为BB '的中点时，即12x =时，MN 最短，此时面积最小，故②正确；对于③，连接AF ，AM ，AN ，则四棱锥分割为两个小棱锥，它们是以AEF 为底，以M ，N 为顶点的两个小棱锥， 因为AEF △的面积是个常数，M ，N 到平面AEF 的距离和是个常数， 所以四棱锥C MENF '-的体积()V P x =是常函数，故③正确；对于④，多面体ABCD MENF -的体积11()22ABCD A B C D V h x V ''''-===为常数函数，故④错误．综上所述，假命题为④．故选D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分9．已知命题:0p c ∃>，方程20x x c -+=有解，则p ⌝为__________． 【答案】0c ∀>，方程20x x c -+=无解【解析】在否定特称命题时，需将存在量词改为全称量词，同时否定结论， 故命题:0p c ∃>，方程20x x c -+=有解，则p ⌝为：0c ∀>，方程20x x c -+=无解．10．已知π02α-<<，且4cos 5α=，则πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于__________． 【答案】17【解析】∵π02α-<<，且4cos 5α=，∴3sin 5α==-，3tan 4α=-，∴π1tan 1tan 41tan 7ααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭．11．若||3a =，||2b =，且a 与b 的夹角为π3，则||a b -=__________．【解析】由题意可得π||||cos ,32cos 33a b a b a b ⋅=⋅=⨯⨯=， ∴222||29467a b a b a b -=+-⋅=+-=， ∴||7a b -=．12．ππ(sin )d x x x -+=⎰__________． 【答案】0【解析】π2π22ππ111(sin )d cos πcos ππcos(π)0222x x x x x --⎛⎫⎛⎫+=-=----= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰．13．如图，11AB C △，122C B C △，233C B C △是三个边长为2的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边33B C 上有2个不同的点1P ，2P ，则212()AB AP AP ⋅+=__________．【答案】36【解析】∵11AB C △，122C B C △，233C B C △是三个边长为2的等边三角形，且有一条边在同一直线上， ∴四边形121AC B B 为菱形， ∴21π6B AC ∠=，211AB B C ⊥， ∴213AB PC ⊥，23AB BC ⊥，∴21223313223π()(2)226cos 366AB AP AP AB AC C P C P AB AC ⋅+=⋅++=⋅=⨯⨯=．14．已知函数()f x 的定义域为R ，a ∀，b ∈R ，若此函数同时满足： ①当0a b +=时有()()0f a f b +=；②当0a b +>时有()()0f a f b +>，则称函数()f x 为Ω函数． 在下列函数中：①sin y x x =+；②133xxy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；③0,01,0x y x x=⎧⎪=⎨-≠⎪⎩ 是Ω函数的为__________（填出所有符合条件的函数序号）．【答案】①②【解析】若()f x 为Ω函数，则由0a b +=时有()()0f a f b +=可得()f x 为奇函数， 又0a b +>时，()()0f a f b +>，故a b >-时，()()f a f b >-， 即()()f a f b >-， 故()f x 为增函数，∴若函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且单调递增，则函数()f x 为Ω函数． 易知，①②③都是奇函数，当sin y x x =+时，1cos 0y x '=-≥； 当133xxy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，ln 3(33)0x x y -'=⋅+>；∴①②都在定义域R 上单调递增；③在定义域R 上没有单调性．故是Ω函数的为：①②．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()cos (sin )f x x x x =，x ∈R ． （1）求()f x 的最小正周期和单调递增区间．（2）设0α>，若函数()()g x f x α=+为奇函数，求α的最小值． 【答案】见解析．【解析】解：（1）∵()cos (sin )f x x x x =-，2sin cos x x x =+，1sin 22x x =， πsin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==， 令πππ2π22π232k x k -++≤≤，k ∈Z ，得5ππππ1212k x k -+≤≤，k ∈Z ，∴函数()f x 的单调递增区间是5πππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．（2）由题意得，π()()sin 223g x f x x αα⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，∵函数()g x 为奇函数，且x ∈R ， ∴(0)0g =，即πsin 203α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴π2π3k α+=，k ∈Z ， 解得ππ26k α=-，k ∈Z ， 又∵0α>，∴α的最小值为π3． 16．（本小题满分13分）如图所示，在四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，且1AD =，3CD =，cos B ．（1）求ACD △的面积．（2）若BC =AB 的长． 【答案】见解析．【解析】解：（1）∵2C B ∠=∠，cos B =∴21cos cos22cos 13D B B ==-=-，sin D =又∵1AD =，3CD =，∴ACD △的面积11sin 1322S AD CD D =⋅⋅=⨯⨯=． （2）在ACD △中，由余弦定理得：2222cos 12AC AD DC AD DC D =+-⋅⋅=，∴AC =又∵BC =， ∴由正弦定理得sin sin AC AB B ACB=∠，sin(π2)ABB =-，sin 2ABB=，2sin cos ABB B=，即2cos AB B =，∴4AB B ===． 17．（本小题满分13分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A ，B 两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A ，B 两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下，（1）该卖场有56台A 型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数．（2）从A 型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X ，求X 的分布列及其数学期望．（3）设A ，B 两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出a ，b 的值（结论不要求证明）． 【答案】见解析．【解析】解：（1）被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时，因此，估计56台A 型手机中有556407⨯=台手机的待机时间不少于123小时． （2）由题意，X 可能的取值为0，1，2，3，4711(0)C 35P X ===，133447C C 12(1)C 35P X ===，223447C C 18(2)C 35P X ===， 3447C 4(3)C 35P X ===， ∴X 的分布列为：数学期望121846012()012335353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯==． （3）124a =，125b =． 18．（本小题满分14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，四边形ABEF 为直角梯形，且AF BE ∥，AB BE ⊥，平面ABCD 平面ABEF AB =，22AB BE AF ===．（1）求证：AC ∥平面DEF ．（2）若二面角D AB E --为直二面角， （i ）求直线AC 与平面CDE 所成角的大小．（ii ）棱DE 上是否存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ？若存在，求出DPDE的值；若不存在，请说明理由． 【答案】见解析．【解析】（1）证明：连接BD 交AC 于O ， ∵四边形ABCD 为正方形， ∴D 是BD 中点，设G 是DE 的中点，连接OG ，FG ，则OG BE ∥，且12OG BE =， ∵四边形ABEF 为直角梯形，且AF BE ∥，22BE AF ==，∴AF BE ∥，且12AF BE =， ∴AF OG ∥，且AF OG =，∴四边形AOGF 为平行四边形， ∴AO FG ∥，即AC FG ∥，又∵AC ⊄平面DEF ，FG ⊂平面DEF ， ∴AC ∥平面DEF ．（2）（i ）由已知，AF BE ∥，AB BE ⊥， ∴AF AB ⊥，∵二面角D AB E --为直二面角， ∴平面ABCD ⊥平面ABEF ， ∴AF ⊥平面ABCD ， ∴AF AD ⊥，AF AB ⊥， 又四边形ABCD 为正方形， ∴AB AD ⊥，∴AD ，AB ，AF 两两垂直，以A 为原点，AD ，AB ，AF 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 如图所示，由22AB BE AF ===得：(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,2,0)C ，(2,0,0)D ，(0,2,2)E ，(0,0,1)F ． ∴(2,2,0)AC =，(0,2,0)CD =，(2,0,2)CE =-． 设平面CDE 的一个法向量为(,,)n x y z =，则： 00n CD n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20220y x z -=⎧⎨+=⎩， 取1x =，则0y =，1z =-， ∴(1,0,1)n =，设直线AC 与平面CDE 所成的角为θ，则有：1sin |cos ,|2AC n θ===， ∵090θ︒≤≤， ∴30θ=︒，即直线AC 与平面CDE 所成角的大小为30︒． （ii ）假设棱DE 上存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ， 设(01)DPDEλλ=≤≤，则DP DE λ=， 设(,,)P x y z ，则(2,,)DP x y z =-， ∵(2,2,2)DE =-， ∴(2,,)(2,2,2)x y z λ-=-， ∴22x λ-=-，2y λ=，2z λ=， 解得22x λ=-，2y λ=，2z λ=，即P 点坐标为(22,2,2)λλλ-，∵(0,2,0)B ，∴(22,22,2)BP λλλ--，又(2,0,1)DF =-，(0,2,1)EF =--，∴00BP DF BP EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2(22)202(22)20λλλλ--+=⎧⎨---=⎩， 解得23λ=． ∵2[0,1]3∈， ∴DE 上存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ，且23DP DE =．19．（本小题满分14分）已知函数2()e ()x f x x ax a =++．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程．（2）求()f x 的单调区间．（3）求证：当4a ≥时，函数()f x 存在最小值．【答案】见解析．【解析】解：（1）当1a =时，2()e (1)x f x x x =++，2()e (32)x f x x x '=++， ∴(0)1f =，(0)2f '=，∴曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为：12(0)y x -=-，即21y x =+．（2）由2()e ()x f x x ax a =++得2()e [(2)2]e ()(2)x x f x x a x a x a x '=+++=++， 令()0f x '=，解得：2x =-或x a =，①当2a -=-，即2a =时，2()e (2)0x f x x '=+≥，()f x 在R 上单调递增； ②当2a ->-，即2a <时，令()0f x '>，得2x <-或x a >-；令()0f x '<，得2x a -<<-，∴()f x 的单调增区间是(,2)-∞-和(,)a -+∞，单调减区间是(2,)a --；③当2a -<-，即2a >时，令()0f x '>，得x a <-或2x >-；令()0f x '<，得2a x -<<-，∴()f x 的单调增区间是(,)a -∞-和(2,)-+∞，单调减区间是(,2)a --．综上所述，当2a =时，函数()f x 在R 上递增；当2a <时，()f x 的单调增区间是(,2)-∞-和(,)a -+∞，单调减区间是(2,)a --； 当2a >时，()f x 的单调增区间是(,)a -∞-和(2,)-+∞，单调减区间是(,2)a --． （3）由（1）得：当4a ≥时，函数()f x 在[),x a ∈-+∞上有()(2)f x f -≥， 且2(2)e (4)0f a --=-≤，∵4a ≥，∴(,)x a ∈-∞-时，()0x x a +≥，e 0x >，()e [()]0x f x x x a a =++>，∴4a ≥时，函数()f x 存在最小值(2)f -．20．（本小题满分13分）已知集合{}123,,,,n A a a a a =，其中i a ∈R ，1i n ≤≤，2n >．()l A 表示(1)i j a a i j n +<≤≤中所有不同值的个数．（1）设集合{}2,4,6,8P =，{}2,4,8,16Q =，分别求()l P 和()l Q ．（2）若集合{}2,4,8,,2n A =，求证：(1)()2n n l A -=． （3）()l A 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）由246+=，268+=，2810+=，4610+=，4812+=，6814+=得()5l P =， 由246+=，2810+=，21618+=，4812+=，41620+=，81624+=得()6l Q =．（2）证明：∵(1)i j a a i j n +<≤≤最多有2(1)C 2n n n -=个值， ∴(1)()2n n l A -≤， 又集合{}2,4,8,,2n A =，任取i j a a +，(1,1)k l a a i j n k l n +<<≤≤≤≤，当j l ≠时，不妨设j l <，则22j i i j j l k l a a a a a a ++<=<+≤，即i j k l a a a a +≠+，当j l =，i k ≠时，i j k l a a a a +≠+，∴当且仅当i k =，j l =时，i j k l a a a a +=+，即所有(1)i j a a i j n +<≤≤的值两两不同， ∴(1)()2n n l A -=． （3）()l A 存在最小值，且最小值为23n -， 不妨设123n a a a a <<<<，可得1213121n n n n a a a a a a a a a a -+++<<+<<<<+， ∴(1)i j a a i j n +<≤≤中至少有23n -个不同的数，即()23l A n -≥， 取{}1,2,3A n =，则{}3,4,5,21i j a a n +∈-，即i j a a +的不同值共有23n -个， 故()l A 的最小值为23n -．。
北京市东城区2017届高三5月综合练习(二模)理科数学试题含答案
北京市东城区2017届高三5月综合练习（二模)数学理试题 第Ⅰ卷（共60分)一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1。
已知集合{}2|40A x x=-<，则A C R =（ ）A ．{|2x x ≤-或}2x ≥B ．{|2x x <-或}2x >C ．{}|22x x -<<D ．{}|22x x -≤≤ 2。
下列函数中为奇函数的是( ）A ．cos y x x =+B ．sin y x x =+ C．y = D ．xy e-=3。
若,x y 满足1000x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,则2x y +的最大值为（)A ．1-B ．0C ．12D ．24。
设,a b 是非零向量，则“,a b 共线"是“a b a b +=+”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 5。
已知等比数列{}na 为递增数列，nS 是其前n 项和.若152417,42aa a a +==，则6S =（ ）A ．2716B ．278C.634D ．6326。
我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202-1261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法。
如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例.若输人的5,1,2n x υ===,则程序框图计算的是( )A ．5432222221+++++ B ．5432222225+++++C.654322222221++++++D ．43222221++++7。
动点P 从点A 出发，按逆时针方向沿周长为l 的平面图形运动一周，,A P 两点间的距离y 与动点P 所走过的路程x 的关系如图所示，那么动点P 所走的图形可能是（ )A ．B ． C. D ．8. 据统计某超市两种蔬菜,A B 连续n 天价格分别为123,,,...,na a a a 和123,,,...,n b b b b ,令{}|,1,2,...,m m M m a b m n =<=，若M中元索个数大于34n ,則称蔬菜A 在这n 天的价格低于蔬菜B 的价格，记作：A B,现有三种蔬菜,,A B C 下列说法正确的是（ ） A ．若,A B BC ,则 ACB ．若,AB BC 同时不成立，则AC不成立C 。
北京市东城区171中学2017届高三上学期期中考试数学(理)试题Word版缺答案
北京市第一七一中学2017 届高三第二次月考试题数学学科（理）一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分，在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项．1．复数 i(i+1) 等于（）．A ．1 i B．1 i C．1 i D ．1 i 2．以下函数中，既是偶函数，又在(0, ) 上是单一减函数的是（）．A ．y1B．ycosx C． y|x |D ．yln | x 1| x2 23．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a， b ，c．若 a 3 ， b 2 ，cos(A1B)，3则 c （）．A ．4 B． 15 C．3 D． 174．阅读如下图的程序框图，假如输入的n的值为 6 ，那么运转相应程序，输出的n的值为（）．开始输入 ni=0n是奇数否n是n=3n+1n=2 i=i +1是i ＜ 3否输出 n结束A ．3B ．5 C．10 D．165．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a， b ，c，则“” “a 2bcosC 是△ABC 中等腰三角形”的（）．A ．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件6．设函数 f ( x)log 2 x, x 00 ，若 f (a)f ( a) ，则实数 a 的取值范围是（log 1 ( x), x）．2A ．( 1,0) (0,1)B ． ( , 1) (0,1)C ． ( , 1) (1, )D ． ( 1,0)(1, )7．设函数 y xsin x cos x 的图象上的点 (x 0 , y 0 ) 处的切线的斜率为k ，若 k g ( x 0 ) ，则函数 k g ( x 0 ) 的图象大概为（）．yyy yA ．OB ．C ．OD ．xO xx O x8．为了均衡饮食小王同学在某一周的第一天和第七天赋别吃了 3 个水果，且从这周的第二天开始，每日所吃水果的个数与前一天对比，仅存在三种可能：或“多一个 ”或 “持平 ”或 “少 ”）． 一个 ，那么，小王同学在这一周中每日所吃水果个数的不一样选择方案共有（A ．50种B ． 51种C ． 140 种D ． 141种 二、填空题：本大题共6 小题，每题 5 分，共30 分．9．已知会合 A 24}，B {0,1,2} ，则 AB ___________．{ x | x10．从某校高三学生中随机抽取 100 名同学，将他们的考试成绩（单位：分）绘制成频次分 布 直 方 图（ 如图 ）． 则图 中 a ___________ ， 由图中 数 据 可估 计此 次 成绩平 均 分为___________．频次组距a 0.030 0.0200.010 0.00540 50 60 70 80 90 分数 (分)11．新年结合会某游艺项目：随机地往半径为1 的圆内扔掷飞标，若飞标到圆心的距离大于1，则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于1 ，则成绩为优异；若飞标到圆心的距离大24于 1 且小于 1，则成绩为优异，那么在全部扔掷到圆内的飞标中获得成绩为优异的概率为 42___________．12．如图， AB 与圆 O 相切于点 B ，过点 A 作圆 O 的割线交圆 O 于 C ， D 两点， BC ⊥ AD ，AB 2AC 2，则圆 O 的直径等于 ___________．DOCAB13．函数 f ( x) Asin( x )( A, 0,0π) 的部分图象如下图，此中A 、B 两点距离为 5，则___________．yA 21Ox2B14．已知点 A( 1,1) ， B(1,1)，点 P(m, n) 是直线 y x2 上的点，设 ∠ APB f ( m) ，则以下说法正确的有 ___________ ．（填上全部正确命题的序号） ①存在实数 t 使得函数 F ( m)f (m)t 有 4 个零点．②存在实数 t 使得函数 F ( m) f (m) t 有 2 个零点．③当 m 1时， ∠APB 最大．④当 m 0时， ∠APB 最大．17．（本小题共 14分）为庆贺里约奥运会我国乒乓球队承揽四金，学校组织甲、 乙两人进行乒乓球竞赛， 商定每局胜者得 1 分，负者得 0 分，竞赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时停止；设甲在每局中获得的概率 p( p1) ，且各局输赢互相独立． 已知第二局竞赛结束时竞赛停止的概率为 5 ．29（Ⅰ）求 p 的值．（Ⅱ）投表示竞赛停止时竞赛的局数，求随机变量 的散布列和数学希望 E ．18．（本小题共 13分） 已知对于 x 的函数 f ( )ax a ( a 0) ．xxe （Ⅰ）当 a1 时，求函数 f (x) 的极值．（Ⅱ）若函数 F ( x)f (x) 1 没有零点，务实数 a取值范围．。
2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)
2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（ ）A．A∩B={x|x＜0}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1}D．A∩B=∅2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A．B．C．D．3．（5分）设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p 3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（ ）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4 4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（ ）A．1B．2C．4D．85．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（ ）A．15B．20C．30D．357．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A．10B．12C．14D．168．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+29．（5分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（ ）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C210．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）A．16B．14C．12D．1011．（5分）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（ ）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z 12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A．440B．330C．220D．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= ．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为 ．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为 ．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC ，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．21．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．[选修4-4，坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（ ）A．A∩B={x|x＜0}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1}D．A∩B=∅【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】先分别求出集合A和B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．【解答】解：∵集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}={x|x＜0}，∴A∩B={x|x＜0}，故A正确，D错误；A∪B={x|x＜1}，故B和C都错误．故选：A．【点评】本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用．2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】35：转化思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S=，则对应概率P==，故选：B．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．3．（5分）设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p 3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（ ）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4【考点】2K：命题的真假判断与应用；A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．【专题】2A：探究型；5L：简易逻辑；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．【解答】解：若复数z满足∈R，则z∈R，故命题p1为真命题；p2：复数z=i满足z2=﹣1∈R，则z∉R，故命题p2为假命题；p 3：若复数z1=i，z2=2i满足z1z2∈R，但z1≠，故命题p3为假命题；p4：若复数z∈R，则=z∈R，故命题p4为真命题．故选：B．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复数的运算，复数的分类，复数的运算性质，难度不大，属于基础题．4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（ ）A．1B．2C．4D．8【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{a n}的公差为4．故选：C．【点评】本题考查等差数列公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]【考点】3P：抽象函数及其应用．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1化为﹣1≤x﹣2≤1，解得答案．【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．若f（1）=﹣1，则f（﹣1）=1，又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，故选：D．【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档．6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（ ）A．15B．20C．30D．35【考点】DA：二项式定理．【专题】35：转化思想；4R：转化法．【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：（1+）（1+x）6展开式中：若（1+）=（1+x﹣2）提供常数项1，则（1+x）6提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数：若（1+）提供x﹣2项，则（1+x）6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数：由（1+x）6通项公式可得．可知r=2时，可得展开式中x2的系数为．可知r=4时，可得展开式中x2的系数为．（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+15=30．故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的知识点，通项公式的灵活运用．属于基础题．7．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A．10B．12C．14D．16【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何．【分析】由三视图可得直观图，由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面，根据梯形的面积公式计算即可【解答】解：由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S梯形=×2×（2+4）=6，∴这些梯形的面积之和为6×2=12，故选：B．【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 8．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+2【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；38：对应思想；49：综合法；5K：算法和程序框图．【分析】通过要求A＞1000时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“A＞1000”，进而通过偶数的特征确定n=n+2．【解答】解：因为要求A＞1000时输出，且框图中在“否”时输出，所以“”内不能输入“A＞1000”，又要求n为偶数，且n的初始值为0，所以“”中n依次加2可保证其为偶数，所以D选项满足要求，故选：D．【点评】本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分．9．（5分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（ ）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】11：计算题；35：转化思想；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力．10．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）A．16B．14C．12D．10【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】方法一：根据题意可判断当A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可．方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|，|DE|，整理求得答案【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y=x﹣1，联立方程组，则y2﹣4y﹣4=0，∴y1+y2=4，y1y2=﹣4，∴|DE|=•|y1﹣y2|=×=8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，根据焦点弦长公式可得|AB|==|DE|===∴|AB|+|DE|=+==，∵0＜sin22θ≤1，∴当θ=45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，故选：A．【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍属于中档题． 11．（5分）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（ ）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z【考点】72：不等式比较大小．【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．【分析】x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．可得3y=，2x=，5z=．根据==，＞=．即可得出大小关系．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．==＞1，可得2x＞3y，同理可得5z＞2x．【解答】解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴3y=，2x=，5z=．∵==，＞=．∴＞lg＞＞0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴==＞1，可得2x＞3y，==＞1．可得5z＞2x．综上可得：5z＞2x＞3y．解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．故选：D．【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A．440B．330C．220D．110【考点】8E：数列的求和．【专题】35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{b n}的通项公式及前n项和，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和S n=2n+1﹣2﹣n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，分别即可求得N的值．【解答】解：设该数列为{a n}，设b n=+…+=2n+1﹣1，（n∈N+），则=a i，由题意可设数列{a n}的前N项和为S N，数列{b n}的前n项和为T n，则T n=21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1=2n+1﹣n﹣2，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，A项，由=435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A 项符合题意．B项，仿上可知=325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知=210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知=105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：，，，…，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N=1+2+3+…+n=，所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n=﹣n=2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有+2=3，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有+3=18，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有+4=95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足N＞100，∴该款软件的激活码440．故选：A．【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= 2 ．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】31：数形结合；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，∴=+4•+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴|+2|=2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形=+=+2；在△OAC中，由余弦定理得||==2，即|+2|=2．故答案为：2．【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模长，是基础题．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为 ﹣5 ．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式．【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立，解得A（﹣1，1）．∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为 ．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°=，可得：=，即，可得离心率为：e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC ，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 4cm3 ．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】法一：由题，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=BC，设OG=x，则BC=2x，DG=5﹣x，三棱锥的高h=，求出S△ABC=3，V==，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，f（x）≤f（2）=80，由此能求出体积最大值．法二：设正三角形的边长为x，则OG=，FG=SG=5﹣，SO=h===，由此能示出三棱锥的体积的最大值．【解答】解法一：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=BC，即OG的长度与BC的长度成正比，设OG=x，则BC=2x，DG=5﹣x，三棱锥的高h===，=3，则V===，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，令f′（x）≥0，即x4﹣2x3≤0，解得x≤2，则f（x）≤f（2）=80，∴V≤=4cm3，∴体积最大值为4cm3．故答案为：4cm3．解法二：如图，设正三角形的边长为x，则OG=，∴FG=SG=5﹣，SO=h===，∴三棱锥的体积V===，令b（x）=5x4﹣，则，令b'（x）=0，则4x3﹣=0，解得x=4，∴（cm3）．故答案为：4cm3．【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值；58：解三角形．【分析】（1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，（2）根据两角余弦公式可得cosA=，即可求出A=，再根据正弦定理可得bc=8，根据余弦定理即可求出b+c，问题得以解决．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC=acsinB=，∴3csinBsinA=2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC=；（2）∵6cosBcosC=1，∴cosBcosC=，∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣，∴cos（B+C）=﹣，∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=，∵===2R==2，∴sinBsinC=•===，∴bc=8，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc=9，∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33，∴b+c=∴周长a+b+c=3+．【点评】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】15：综合题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．【分析】（1）由已知可得PA⊥AB，PD⊥CD，再由AB∥CD，得AB⊥PD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，进一步得到平面PAB⊥平面PAD；（2）由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，得到AB ⊥AD，则四边形ABCD为矩形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，再证明PD⊥平面PAB，得为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，∵AB∥CD，∴AB⊥PD，又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD；（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则：D（），B（），P（0，0，），C（）．，，．设平面PBC的一个法向量为，由，得，取y=1，得．∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，．∴cos＜＞==．由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计．【分析】（1）通过P（X=0）可求出P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；（2）（ⅰ）由（1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；（ⅱ）通过样本平均数、样本标准差s估计、可知（﹣3+3）=（9.334，10.606），进而需剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，利用公式计算即得结论．【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026，因为P（X=0）=×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，又因为X～B（16，0.0026），所以E（X）=16×0.0026=0.0416；（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（﹣3+3）之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（﹣3+3）之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．（ⅱ）由=9.97，s≈0.212，得μ的估计值为=9.97，σ的估计值为=0.212，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在（﹣3+3）之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为（16×9.97﹣9.22）=10.02，因此μ的估计值为10.02．2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134，剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）≈0.008，因此σ的估计值为≈0.09．【点评】本题考查正态分布，考查二项分布，考查方差、标准差，考查概率的计算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．【考点】K3：椭圆的标准方程；KI：圆锥曲线的综合．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，求出a2=4，b2=1，由此能求出椭圆C的方程．（2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），联立，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l过定点（2，﹣1）．【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P3（﹣1，），P4（1，）两点必在椭圆C上，又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1），∴P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，得：，解得a2=4，b2=1，∴椭圆C的方程为=1．证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，y A），B（m，﹣y A），∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，∴===﹣1，解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，，x1x2=，则=====﹣1，又t≠1，∴t=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，当x=2时，y=﹣1，∴l过定点（2，﹣1）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【考点】52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．【分析】（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；（2）由（1）可知：当a＞0时才有两个零点，根据函数的单调性求得f（x）最小值，由f（x）min＜0，g（a）=alna+a﹣1，a＞0，求导，由g（a）min=g（e﹣2）=e﹣2lne﹣2+e﹣2﹣1=﹣﹣1，g（1）=0，即可求得a的取值范围．（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；（2）分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，分别求得函数的零点，即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）e x﹣1。
北京市东城区2017届高三数学4月综合练习试题(一)文
北京市东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（一）数学 （文科）本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)（1）如果{}|0R =∈>A x x ，{}0,1,2,3B =，那么集合=B AA.空集B.{}0C.{}0,1D.{}1,2,3（2）某高校共有学生3000人，新进大一学生有800人．现对大学生社团活动情况进行抽样调查，用分层抽样方法在全校抽取300人，那么应在大一抽取的人数为A.200B.100C.80D.75（3）如果4log 1a =，2log 3b =，2log c π=，那么三个数的大小关系是 A.c b a >> B.a c b >> C.a b c >>D.b c a >>（4）如果过原点的直线l 与圆22(4)4x y +-= 切于第二象限，那么直线l 的方程是A.y =B.y =C.2y x =D.2y x =-（5）设函数30()0.2x x f x x -<=≥⎧，，若()1f a >，则实数a 的取值范围是A.(0,2)B.(0,)+∞C.(2,)+∞D.(,0)-∞∪(2,+)∞ （6） “0cos sin =+αα”是 “cos20α=”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件（7）如果某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的四个侧面中是直角三角形的有 A.1 B.2C.3D.4（8）如果函数)(x f y =在定义域内存在区间],[b a ，使)(x f 在],[b a 上的值域是]2,2[b a ，那么称)(x f 为“倍增函数”．若函数)ln()(m e x f x+=为“倍增函数”，则实数m 的取值范围是A.),41(+∞- B.)0,21(-C.)0,1(-D.)0,41(-第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分)（9）如果2(1)(1)i x x -+-是纯虚数，那么实数x = ．（10）如果执行如图所示的程序框图，那么输出的k =___．（11）如果直线l ： 1 (0)y kx k =->与双曲线221169x y -=的一条渐近线平行，那么k = __ ．（12）“墨子号”是由我国完全自主研制的世界上第一颗空间量子科学实验卫星，于2016年8月16日发射升空.“墨子号”的主要应用目标是通过卫星中转实现可覆盖全球的量子保密通信.量子通信是通过光子的偏振状态，使用二进制编码，比如，码元0对应光子偏振方向为水平或斜向下45度，码元1对应光子偏振方向为垂直或斜向上45度.如下图所示信号发出后，我们在接收端将随机选择两种编码方式中的一种来解码，比如，信号发送端如果按编码方式1发送，同时接收端按编码方式1进行解码，这时能够完美解码；信号发送端如果按编码方式1发送，同时接收端按编码方式2进行解码，这时无法获取信息.如果发送端发送一个码元，那么接收端能够完美解码的概率是____；如果发送端发送3个码元，那么恰有两个码元无法获取信息的概率是____.（13）已知ABC ∆中，=120A ∠︒，且2AB AC ==，那么BC =_______，BC CA =____ ．（14）已知甲、乙、丙三人组成考察小组，每个组员最多可以携带供本人在沙漠中生存36天的水和食物，且计划每天向沙漠深处走30公里，每个人都可以在沙漠中将部分水和食物交给其他人然后独自返回. 若组员甲与其他两个人合作，且要求三个人都能够安全返回，则甲最远能深入沙漠_________公里.三、解答题(共6小题，共80分.答应写出文字说明，演算步骤或证明过程) （15）（本小题13分） 已知点)1,4(π在函数()2sin cos cos 2f x a x x x =+的图象上.(Ⅰ) 求a 的值和()f x 最小正周期； (Ⅱ) 求函数()f x 在(0,π)上的单调减区间.（16）（本小题13分）已知数列}{n a 是等差数列，前n 项和为n S ，若139,21a S ==． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若58,k a a S ，成等比数列，求k 的值．（17）（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -错误！未指定书签。
北京东城区高三一模数学试题(理)及答案
北京市东城区2012-2013学年度第二学期综合练习（一）高三数学（理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集{1,2,3,4}U =，集合{1,2}A =，那么集合U A ð为（A ）{3}（B ）{3,4}（C ）{1,2}（D ）{2,3}（2）已知ABCD 为平行四边形，若向量AB =a ，AC =b ，则向量BC 为（A ）-a b （B ）a +b （C ）-b a （D ）--a b（3）已知圆的方程为22(1)(2)4x y -+-=，那么该圆圆心到直线3,1x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）的距离为（A ）22（B ）62（C ）322（D ）362（4）某游戏规则如下：随机地往半径为1的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于12，则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于14，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于14且小于12，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为 （A ）316（B ）14（C ）34（D ）116（5）已知数列{}n a 中，12a =，120n n a a +-=，2log n n b a =，那么数列{}n b 的前10项和等于（A ）130（B ）120（C ）55（D ）50（6）已知1(,0)F c -，2(,0)F c 分别是双曲线1C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的两个焦点，双曲线1C 和圆2C ：222x y c +=的一个交点为P ，且12212PF F PF F ∠=∠，那么双曲线1C 的离心率为（A ）52（B ）3（C ）2（D ）31+ （7）已知定义在R 上的函数()f x 的对称轴为3x =-，且当3x ≥-时，()23xf x =-.若函数()f x 在区间(1,)k k -（k ∈Z ）上有零点，则k 的值为（A ）2或7- （B ）2或8- （C ）1或7- （D ）1或8-（8）已知向量OA ，AB ，O 是坐标原点，若AB k OA =，且AB 方向是沿OA 的方向绕着A 点按逆时针方向旋转θ角得到的，则称OA 经过一次(,)k θ变换得到AB .现有向量=(1,1)OA 经过一次11(,)k θ变换后得到1AA ，1AA 经过一次22(,)k θ变换后得到12A A ，…，如此下去，21n n A A --经过一次(,)n n k θ变换后得到1n n A A -.设1(,)n n A A x y -=，112n n θ-=，1cos n n k θ=，则y x -等于 （A ）1112sin[2()]211sin1sin sin 22n n ---（B ）1112sin[2()]211cos1cos cos 22n n --- （C ）1112cos[2()]211sin1sin sin 22n n ---（D ）1112cos[2()]211cos1cos cos 22n n ---第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2017年全国高考理科数学(全国一卷)试题及答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}|1{|31}xA x xB x =<=<，，则A ．{|0}AB x x =< B ．A B =RC ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ．14B ．8π C ．12D ．4π3．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A ．13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．85．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．357．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．168．右面程序框图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入A ．1000A >和1n n =+B ．1000A >和2n n =+C ．1000A ≤和1n n =+D ．1000A ≤和2n n =+9．已知曲线122:cos ,:sin(2)3C y x C y x π==+，则下面结论正确的是 A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2C B ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2C D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C10．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为A ．16B ．14C ．12D ．1011．设xyz 为正数，且235x y z==，则A ．235x y z <<B ．523z x y <<C ．352y z x <<D ．325y x z <<12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。
北京市东城区2017届高三数学二模(理)试题(含答案)
1v x +北京市东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（二）数学（理科）学校_________班级___________姓名___________考号_________本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合2{|40}A x x =-<，则A =R ð（A ）{|2x x ≤-或2}x ≥ （B ）{|2x x <-或2}x >（C ）{|22}x x -<< （D ）{|22}x x -≤≤ （2）下列函数中为奇函数的是（A ）co s y x x =+ （B ）sin y x x =+ （C ）y =（D ）||ex y -=（3）若,x y 满足1000x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则2x y +的最大值为（A ）1- （B ）0 （C ）12（D ）2（4）设,a b 是非零向量，则“,a b 共线”是“||||||+=+a b a b ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （5）已知等比数列{}n a 为递增数列，n S 是其前n 项和.若15172a a +=，244a a =，则6=S （A ）2716（B ）278（C ）634（D ） 632（6）我国南宋时期的数学家秦九韶（约12021261-）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的5n =，1v =，2x =，则程序框图计算的是（A ）5432222221+++++ （B ）5432222225+++++（C ）654322222221++++++ （D ）43222221++++BDAPPAP（7）动点P 从点A 出发，按逆时针方向沿周长为l 的平面图形运动一周，,A P 两点间的距离y 与动点P 所走过的路程x 的关系如图所示，那么动点P 所走的图形可能是（A ） （B ） （C ） （D ）（8）据统计某超市两种蔬菜,A B 连续n 天价格分别为123,,,,n a a a a L 和123,,,,n b b b b L ，令{|,1,2,,m m M m a b m n =<=L ，若M 中元素个数大于34n ，则称蔬菜A 在这n 天的价格低于蔬菜B 的价格，记作：A B p ，现有三种蔬菜,,A B C ，下列说法正确的是（A ）若A B p ，B C p ，则A C p （B ）若A B p ，B C p 同时不成立，则A C p 不成立 （C ）A B p ，B A p 可同时不成立 （D ）A B p ，B A p 可同时成立第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市东城东直门中学2017-2018学年高三上期中数学试题(解析版)
北京市东直门中学2017-2018年度高三第一学期期中试题（数学理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1.设集合，，则下列结论正确的是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】∵集合，集合或，∴．故选．2.复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于（）．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】试题分析：由得，对应点为，位于第三象限，选C.考点：复数运算3.如果平面向量，，那么下列结论中正确的是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】由平面向量，知：在中，，，∴，故错误；在中，，故错误；在中，，∴，∴，故正确；在中，∵，∴与不平行，故错误．综上所述．故选．4.设函数的图象为，下面结论中正确的是（）．A. 函数满足B. 图象关于点对称C. 图象可由函数的图象向右平移个单位得到D. 函数在区间上是增函数【答案】B【解析】项．∵，∴，故错误；项．∵，∴的图象关于点对称，故正确；项．∵，∴的图象由函数的图象向右平移个单位得到，故错误；项，当时，，∴函数在区间上先增后减，故错误．故选B.点睛：本题考查的是三角函数的图象变换.三角函数中函数图象的平移变化是常考知识点，也是易错题型.首项必须看清题目中是由哪个函数平移，平移后是哪个函数；其次，在平移时，还要注意自变量x的系数是否为1，如果x有系数，需要将系数提出来求平移量，平移时遵循“左加右减”.5.在中，，，则“”是“”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由正弦定理可得，∴若，则，得，必要性成立；若，则，得，或，充分性不成立，∴“”是“”的必要不充分条件．故选．6.已知函数，，的图象如图所示，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由图象有,所以最小,对于,看图象有,所以对于,看图象有,所以,故,选C.考点：基本初等函数的图象.7.已知函数若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：分段函数和过定点的直线在如图位置时恰好相切，此时有两个交点，若直线斜率变大，则只存在一个交点，若直线斜率减小，则会出现三个交点，如下图所示：计算切线斜率，假设直线与的切点为，对函数求导可得，那么可以得到如下三个方程：，讲后两个方程代入到第一个方程中，得到，即，解得，从而斜率，根据分析可知，若要有三个交点，则斜率，故选D.考点：1函数图像;2数形结合思想.8.如图所示，正方体的棱长为，，分别是棱，的中点，过直线，的平面分别与棱，交于，，设，，给出以下四个命题：①四边形为平行四边形；②若四边形面积，，则有最小值；③若四棱锥的体积，，则是常函数；④若多面体的体积，，则为单调函数．其中假命题．．．为（）．A. ①B. ②C. ③D. ④【答案】D【解析】对于①，∵平面平面，∴，同理：，∴四边形为平行四边形，故①正确；对于②，四边形的面积，当为的中点时，即时，最短，此时面积最小，故②正确；对于③，连接，，，则四棱锥分割为两个小棱锥，它们是以为底，以，为顶点的两个小棱锥，因为的面积是个常数，，到平面的距离和是个常数，所以四棱锥的体积是常函数，故③正确；对于④，多面体的体积为常数函数，故④错误．综上所述，假命题为④．故选．点睛：本题考查空间立体几何中的面面平行关系以及空间几何体的体积公式，本题把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高，对于几何体的体积的求解要会有体积分割法，或等价转化．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分9.已知命题方程有解，则为__________．【答案】, 方程无解【解析】根据全称命题和存在性命题之间的关系，可知命题的否定：“，方程”．10.已知，且，则的值等于__________．【答案】【解析】∵，且，∴，，∴．故答案为：.11.若，，且与的夹角为，则__________．【答案】【解析】由题意可得，∴，∴．故答案为：.12.________.【答案】0【解析】试题分析：方法一：，故填.方法二：由于定积分性质可知，对于奇函数，若积分对应的区间关于原点对称，那么积分的结果一定为（通过图像也可以判别），故填.考点：定积分运算. 13.如图，，，是三个边长为的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边上有个不同的点，，则__________．【答案】36 【解析】 ∵，，是三个边长为的等边三角形，且有一条边在同一直线上，∴四边形为菱形，∴，， ∴，，∴．故选D.点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a ·b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；三是利用数量积的几何意义.本题就是利用几何意义处理的.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. 14.已知函数的定义域为，，，若此函数同时满足：①当时，有；②当时，有，则称函数为函数．在下列函数中：①；②；③是函数的为__________．（填出所有符合要求的函数序号）【答案】①② 【解析】对于①，函数为奇函数，当，即时，有，所以。
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2
1
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正（主）视
侧（左）视图
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俯视图
2017北京市东城区高三数学（理）（一模）
2017.4
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合
2
{|20}Axxx，{|13}Bxx
，则
ABU
（A）{|13}xx（B）
{|11}xx
（C）{|12}xx（D）
{|23}xx
（2）已知命题
:,2
n
pnnN
，则p是
（A）
,2
nnnN（B）,2n
nnN
（C）
,2
nnnN（D）,2n
nnN
（3）已知圆的参数方程为12cos,2sinxy（为参数），则圆心到直线3yx的距离为
（A）1（B）2（C）2（D）
22
（4）已知m是直线，,是两个互相垂直的平面，则“m∥”是“m”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
（5）已知向量,ab满足20ab，2ab，则(3+)()abab
（A）1（B）3（C）4（D）
5
（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
（A）
1
3
（B）
2
3
（C）
1
（D）
4
3
2 / 11
（7）将函数
sin(2)
6yx的图象向左平移(0)mm个单位长度，得到函数()yfx=图象在区间[,]1212
上
单调递减，则m的最小值为
（A）12（B）6（C）4（D）
3
（8）甲抛掷均匀硬币2017次，乙抛掷均匀硬币2016次，下列四个随机事件的概率是0.5的是
①甲抛出正面次数比乙抛出正面次数多.
②甲抛出反面次数比乙抛出正面次数少.
③甲抛出反面次数比甲抛出正面次数多.
④乙抛出正面次数与乙抛出反面次数一样多.
（A）①②（B）①③（C）②③（D）②④
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）已知复数z满足(1i)2z，则||z______．
（10）在
25
3
2
()x
x
的展开式中，常数项为______．（用数字作答）.
（11）已知
{}na为等差数列，nS为其前n
项和．若312S，244aa，则6S_______．
（12）天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天干与十二地支．十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、
辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序
以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第
一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，，以此类推．排列到“癸酉”后，天干回到“甲”
重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，，以此类推．已知2017年
为丁酉年，那么到新中国成立100年时，即2049年为______年．
（13）双曲线
22
22
1(0,0)xyabab的渐近线为等边三角形OAB的边,OAOB
所在直线，直线AB过双曲线的
焦点，且||2AB，则a _______．
（14）已知函数11,0,21()1,1,20,01xfxxxx或和
1,01,()0,01x
gx
xx或,
则(2)gx______ ；
若,mnZ，且()()()mgnxgxfx，则mn_____ .