一类分流抑制细胞神经网络的渐近概周期解
一类广义Lotka-Volterra模型时滞微分方程概周期解
１ 预 备 知 识
定 义 １３ 设 线性 系统 ＿
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引理 ４
（） ２
（ｅａｄｒ 动 点 定 理 ） Ｓｈｕｅ 不 设 是
Ａ（） ｔ ．
Ｂ ｎｃ 空间中的有界闭凸集 ， ａａｈ 若 ： Ｂ＿ 连续 ，
［ 收稿 Ｅ ］０ １ ０ — １ ｔ ２１ — ５ ２ 期 ［ 基金项 目］ 广东远程教育基金资助项 目（ Ｊ８４ ； Ｙ０ １ ） 清远职业技术学院科研课题 资助项 目（ Ｋ ０ １ ） Ｚ １ １． ０ ［ 作者简 介］ 黄记洲（ ９ ２ ， 广 东清远人 ， １６ 一） 男， 高级讲师 ， 硕士 ， 主要从事微分方程方面的研究．
１ ３
且 Ｔ 紧致 ， Ｂ 则 ’ Ｂ 上 必 有 不 动 点 ． 在
在系统（） ， Ｃ＝ Ｉ １中 记 ＩＩ Ｉ＝ｍ ｃ ） ， ｃ （ Ｉ ａ Ｉ ｘ
Ｉ —ｂＩ ＝ｍ ｘ Ｉ ｃ （）一６ ￡ Ｉ ａＩ ｃ （） ， Ｉ Ｉ ｄ—ｏＩ Ｉ＝ｍ ｄ （）一口 ｆ Ｉ ａＩ ｘ （）・
广州 ５０ ９ ） １０ １
（． １ 广东清远职业技术学院， 广东
清远 ５ １０ １５０
３ ．广东广播 电视大学 ，广东
［ 摘 要］ 运用二分性及 不动点定理， 究一类广义 Ｌｔａ ｏ ｅ ａ 研 ｏ —Ｖ ｈｒ 模型 时滞微分方程 ｋ ｒ 次概 周期 系数 的 时滞微 分方 程概周 期 解的存 在性 ， 到 此 类微 分 方程 的概 周 期 解存 在 的 充分 得
其 中 ， （）６ ｔ ，（） ｄ ｔ ｎ ｔ ，（） Ｃｔ ，（）都 是 概 周 期 函数 ， ｔ ｔ ） ，（，（ —ｒ ） 连续 函数 ． ， 一丁 ）ｇ ｔ ｔ ） 是 （ Ｙ
一类Lotake—Volterra捕食系统的渐近概周期解
Ｐ ｙｉｓ ａ ｄ Ｓ ｆ ａ ｅ Ｅ ｇｎ ｅ ｎ ，Ｉ ｌｈ Ｕ Ｊ ｏｏ ｇ Ｕ ｉｅ ￣，Ｉ 小ｏ ３ ０ ０ ｈ ｓｃ ｏｔ ｒ ｎ ｉ ｅ ｒ ｇ ￣ｌ Ｏ ｉ ｔｎ ｎｖ ｍｉ ｎ ｗ ｉ Ｚ ａ 舯 ｕ７ ０ ７ ，Ｃ ｉａ ｈｎ ；
ｎ ｎ ａ ｔｎ ｍｏ ｓｐ ｅ ｏ ｅｉ ｏ ｙ ｔｍｓ ｏ ｉ ｓ ｏ ｐ ｃ ｅ ， ａ ｄ ｄ ｍｏ ｓｒｔｓ ｇ ｎ ｒｔ ｄ ｒｓ ｌｓ Ｔ ｅ ｏ — ｕｏ ｏ ｕ ｒｙ ｃ ｍｐ ｔ ｉｎ ｓ ｓｅ ｆｎ ｋｎｄ ｆ ｓ ｅ ｉｓ ｎ ｅ ｎ ｔａｅ ｅ ｅａｅ ｅ ｕｔ ． ｈ ｔ
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维普资讯
第２ ２卷
第１ 期
重 庆 工 学 院 学 报（ 自然科 学）
Ｊｕ ａ ｏ Ｃ ｏｇ ｉ ｓｔｔ ｏ ｅｈ ｏ ｇ （ ａ ｒｌ ｃｅｃ） ｏ ｒ ｌ ｆ ｈｎ ｑ ｇＩ ｔ ｅ ｆ ｃｎｌ ｙＮ ｔ ａ Ｓｉ ｅ ｎ ｎ ｎｉ Ｔ ｕ ｏ ｕ ｎ
ｒｓ ｌｅ ｏ ｃｕ ｉｎ ｏ ｕ ａ ｚ ｄ ｉ ｒｖ ｈ ｅ ｕｔ ｆｒｌｔｄ ｌ ｅａｕ ． ｅ ｕｔｄ ｃ ｎ ｌｓｏ ｓｐ ｐ ｌｒ ｅ ａ ｍｐ ｅ ｔ ｅ ｒｓ ｓ ｏ ｅａｅ ｉ ｒ ｔｒ ｉ ｎ ｏ ｌ ｔ ｅ Ｋｅ ｒ ｓ：ａｍｏ ｔｐ ｒｏ ｉ ｏｕ ｉｎ；ａ ｙ ｔｔ ａｌ ｌ ｓ ；ｐ ｒｏ ｉ ｌ ｔ ｎ ｙ ｗｏ ｄ ｌ ｓ ｅ ｄｃ ｓｌ ｔ ｉ ｏ ｓ ｍｐｏｉ ｌｙ ａｍｏ ｔ ｅ ｉ ｄ ｃ ｓ ｕｉ ｃ ｏ ｏ
一类具比例时滞递归神经网络的全局指数稳定性
一类具比例时滞递归神经网络的全局指数稳定性邓光菊;周立群【摘要】应用同胚映射理论和构造合适的Lyapunov泛函,以及结合Young不等式,研究一类具比例时滞递归神经网络的全局指数稳定性,得到了该系统平衡点存在唯一且全局指数稳定的充分条件.通过数值算例及其仿真结果验证了所得结论的正确性.【期刊名称】《天津师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(037)002【总页数】6页(P8-13)【关键词】递归神经网络;比例时滞;全局指数稳定性;Lyapunov泛函;Young不等式【作者】邓光菊;周立群【作者单位】天津师范大学数学科学学院,天津300387;天津师范大学数学科学学院,天津300387【正文语种】中文【中图分类】O175.13;TP183递归神经网络（RNNs）一般包括Hopfield神经网络、细胞神经网络（CNNs）和Cohen-Grossberg神经网络等，RNNs在许多领域有着广泛的应用，如方程、最优控制、联想记忆、图像处理等.由于在网络的实际运行中，时滞是不可避免的，因此研究具有时滞的神经网络的动力学行为具有实际意义[1]，关于时滞递归神经网络（DRNNs）的全局渐近稳定性和指数稳定性已有不少文献做过分析讨论[1-4]. 比例时滞是一种客观存在的无界时变时滞，具比例时滞的递归神经网络作为一种重要的数学模型，在物理、生物学、控制科学、电子与计算机科学等领域发挥着重要作用.目前对具比例时滞神经网络的动力学行为已有一些研究，得到了一些重要的研究成果[5-14].文献[5]利用非线性测度得到了一个保证平衡点存在唯一且指数稳定的充分条件，并给出了解的指数收敛速度.文献[6]在不要求激活函数有界可微的情况下，得到了一类时滞神经网络平衡点存在唯一且全局指数稳定的充分判据.文献[7]通过构造合适的Lyapunov泛函，给出了几个保证多比例时滞神经网络系统全局一致渐近稳定的时滞独立的充分条件.文献[8]利用不动点定理与微分不等式，研究了具比例时滞细胞神经网络概周期解的指数稳定性.文献[9-10]通过构造合适的Lyapunov泛函，利用矩阵范数性质及不等式技巧，研究了具比例时滞细胞神经网络的全局指数稳定性.文献[11-12]应用矩阵谱半径理论、同胚映射理论和构造合适的Lyapunov泛函，研究了具比例时滞细胞神经网络的全局渐近稳定性.文献[13]利用Lyapunov泛函和不等式技巧以及Brouwer压缩映像原理，得到保证具比例时滞高阶广义细胞神经网络周期解的全局指数周期性的时滞依赖的充分条件.文献[14]应用Young不等式和Lyapunov泛函，研究一类具比例时滞的自治Cohen-Crossberg神经网络的全局指数稳定性.受以上文献启发，本研究考虑一类具比例时滞递归神经网络的全局指数稳定性，通过应用同胚映射理论和构造合适的Lyapunov泛函，结合Young不等式，得到了保证系统平衡点存在唯一且全局指数稳定的充分条件.设‖·‖为欧式范数，Banach空间C（[q，1]，Rn）和C（[-τ，0]，Rn）分别表示从[q，1]和[-τ，0]到Rn上的全体连续函数组成的集合.考虑如下具比例时滞递归神经网络模型其中：i=1，2，…，n，n为网络神经元的数量；常数di>0为在神经网络不连通，并且无外部附加电压差的情况下，第i个神经元恢复独立静息状态的速率；常数aij、bij为网络的连接权重；xi（t）为第i个单元在时刻t的状态；fj（·），gj （·），j=1，2，…，n为激活函数；ui为外部偏置性常输入；qij为比例时滞因子，满足0＜qij≤1，qijt=t-（1-qij）t，（1-qij）t是时滞函数，且当t→+∞时，（1-qij）t→+∞（qij≠1），即此时时滞函数是无界函数，初始函数xi（s）=φi （s）∈C（[q，1]，R），φ（s）=（φ1（s），φ2（s），…，φn（s））T∈C （[q，1]， Rn）.假设激活函数满足如下条件其中：u∈R，v∈R，j=1，2，…，n.令则系统（1）可等价变换成如下具常时滞变系数的递归神经网络系统其中：注1易证系统（1）和系统（4）有相同的平衡点，因此，要证明系统（1）平衡点的全局指数稳定性，只需证明系统（4）平衡点的全局指数稳定性.定义设y*为系统（4）的平衡点，若存在常数μ＞0，β＞0，使得系统（4）的任何解y（t）满足则称系统（4）是全局指数稳定的.其中引理1[6]（Young不等式）设a＞0、b＞0为常数，则对任何常数p≥1，有引理2[6]设H：Rn→Rn为局部可逆的连续映射，则H是Rn上的同胚映射的充分必要条件是：对Rn中任何满足‖ym‖→∞（m→∞）的点列{ym}，有‖H （ym）‖→∞（m→∞）.定理1设条件（2）成立，若存在常数p≥1，使得则对每一个外部输入向量u，系统（4）存在唯一平衡点.只需证明映射H：Rn→Rn是同胚映射，则H（y）= 0就有唯一解y*，也即系统（4）有唯一的平衡点y*.显然H是连续映射，下面应用引理2证明H是同胚映射. （i）H是一一映射.由条件（5）可知上式仅当，i=1，2，…，n时才成立，因此.（ii）对Rn中任何满足‖ym‖→∞（m→∞）的点列{ym}，有‖H（ym）‖→∞（m→∞），等价地有‖H（ym）-H（0）‖→∞（m→∞）.假设上述结论不成立，则存在{ym}的子列，不妨仍设为{ym}，使得{‖H（ym）-H （0）‖}有界，从而存在常数M0＞0，使得其中hi（ym）为向量H（ym）的第i个分量，记ym的第i个分量为ymi，则从而有上式两边同乘以p|ymi|p-1，并利用引理1得上式两边关于i求和得由条件（5）和式（7）及上式得其中：由于Rn中的各种范数是等价的，故存在常数C> 0，使得由式（8）得即这与‖ym‖→∞（m→∞）矛盾.故当‖ym‖→∞时，‖H（ym）‖→∞（m→∞）.由引理2知H：Rn→Rn是同胚映射.证毕.定理2 设条件（2）成立，且存在常数p≥1，使得式（5）成立，则对每一个外部输入向量u，系统（4）的平衡点是全局指数稳定的.证明由定理1可知，系统（4）存在唯一平衡点，设其为.下面证明y*是全局指数稳定的.由系统（4），|yi（t）-|的右上导数满足由条件（5）知，存在常数δ≥1，使得考虑正定的Lyapunov泛函当t=0时，有由条件（2）和引理1，V（t，Wt）关于t的右上导数满足由式（9）和式（10）可知D+V（t，Wt）≤0，因此，当t＞0时，有又因为这表明故有其中：，t＞0.因此y*是全局指数稳定的.证毕.由定理2的证明过程可得如下推论.推论1 在条件（2）下，设存在常数p≥1，δ≥1，使得则对每一个外部输入向量u，系统（4）存在唯一的全局指数稳定平衡点.在定理2中分别取p=1和2时，可得如下推论.推论2 若则对每一个外部输入向量u，系统（4）存在唯一的全局指数稳定平衡点.推论3 若则对每一个外部输入向量u，系统（4）存在唯一的全局指数稳定平衡点.注2 当t→+∞时，（1-qij）t→+∞（qij≠1），即时滞函数（1-qij）t是无界函数，文献[1-4，6]中的结果都不能直接应用到本研究的模型.注3 若qij=1，i、j=1，2，…，n，则系统（1）为无时滞的递归神经网络，本研究结果依然适用.例考虑二维具比例时滞神经网络取， q11=0.5，q12=0.5，q21=0.8，q22=0.8.选择fi（xi）=0.5·（|xi+1|-|xi-1|），则Lipschitz常数为αi=1，i=1、2，q=0.5.计算得满足定理1和定理2的条件，因此系统（11）是全局指数稳定的.当外部输入u=（0，0）T时，系统（11）的平衡点为（0，0）T，应用Matlab软件画出系统（11）的相轨迹和时间响应曲线，见图1和图2.当外部输入u=（1，-1）T时，系统（11）的平衡点为（0.509 4，-0.188 7）T，应用Matlab软件画出系统（11）的相轨迹和时间响应曲线，见图3和图4.由图1～图4可以直观地看出系统（11）是全局稳定的.这2种情况下系统状态的初值均为【相关文献】[1] YAO H X，ZHOU J Y.Global exponential stability of periodic solution of cellular neural networks with periodic coefficients and delays[J]. Chinese Physical B，2011，20（1）：245-257.[2] HU L，GAO H J，ZHENG W X.Novel stability of cellular neural networks with interval time-varying delay[J].Chinese Physical B，2011，20（1）：236-247.[3] ZHANG Q，WEI X，XU J.On global exponential stability of delayed cellular neural networks with time-varying delays[J].Applied Mathematics and Computation，2005，162（2）：679-686.[4] ZHANG J.Global exponential stability of neural networks with variable delays[J].IEEE Transactions on Circuits System，2003，50（2）：288-291.[5]张迎迎，周立群.一类具多比例延时的细胞神经网络的指数稳定性[J].电子学报，2012，40（6）：1159-1163.ZHANG Y Y，ZHOU L Q.Exponential stability of a class of cellular neural networks with multi-pantograph delays[J].Acta Electronica Sinica，2012，40（6）：1159-1163（in Chinese）.[6]任殿波，张继业.一类时滞神经网络的全局指数稳定性[J].计算机科学，2007，34（11）：159-161.REN D B，ZHANG J Y.Global exponential stability of a class of neural networks with distributed delays[J].Computer Science，2007，34（11）：159-161（in Chinese）.[7]周立群.多比例时滞神经网络的全局一致渐近稳定性[J].电子科技大学学报，2013，42（4）：625-629.ZHOU L Q.Global uniform asymptotic stability of cellular neural networks with multi-proportional delays[J].Journal of University of Electronic Science and Technology of China，2013，42（4）：625-629（in Chinese）.[8]赵忠颖，周立群.一类具比例时滞细胞神经网络概周期解的指数稳定性[J].天津师范大学学报：自然科学版，2015，35（1）：12-16.ZHAO Z Y，ZHOU L Q.Exponential stability of almost periodic solutions for a class ofcellular neural networks with proportional delays [J].Journal of Tianjin Normal University：Natural Science Edition，2015，35（1）：12-16（in Chinese）.[9] ZHOU L Q.Delay-dependent exponential stability of cellular neural networks withmulti-proportional delays[J].Neural Processing Letters，2013，38（3）：347-359.[10]周立群.一类无界时滞细胞神经网络的全局指数稳定性[J].工程数学学报，2014，31（4）：493-500.ZHOU L Q.Exponential stability of a class of cellular neural networks with unbounded delays[J].Chinese Journal of Engineering Mathematics，2014，31（4）：493-500（in Chinese）.[11]刘学婷，周立群.一类具比例时滞细胞神经网络的全局渐近稳定性[J].四川师范大学学报：自然科学版，2015，38（1）：58-65.LIU X T，ZHOU L Q.Global asymptotic stability for a class of cellular neural networks with multi-proportional delay[J].Journal of Sichuan NormalUniversity：NaturalScience，2015，38（1）：58-65（inChinese）.[12]郭盼盼，周立群.一类具比例时滞细胞神经网络的全局渐近稳定性[J].黑龙江大学自然科学学报，2016，33（4）：438-443.GUO P P，ZHOU L Q.Global asymptotic stability of a class of cellular neural networks with proportional delays[J].Journal of Natural Science of Heilongjiang University，2016，33（4）：438-443（in Chinese）.[13]周立群.具比例时滞高阶广义细胞神经网络的全局指数周期性[J].系统科学与数学，2015，35（9）：1104-1116.ZHOU L Q.Exponential periodicity of high-order generalized cellular neural networks with proportional delays[J].J Sys Sci Math Scis，2015，35（9）：1104-1116（in Chinese）. [14]刘学婷，周立群.一类具比例时滞Cohen-Grossberg神经网络的全局指数稳定性[J].天津师范大学学报：自然科学版，2015，35（2）：566-573.LIU X T，ZHOU L Q.Global exponential stability for a class of Cohen-Grossberg neural networks with proportional delay[J].Journal of Tianjin Normal University：Natural Science Edition，2015，35（2）：566-573（in Chinese）.（责任编校马新光）。
一类S-I传染病模型行波解的存在性
Ｅ－ｍａｉｌ：ｊｉｎｚｈｎ＠２６３．ｎｅｔ 幸通讯作者
万方数据
生物数学学报
第２３卷
那么Ｕ（ｚ，ｔ）就是一个行波解，它朝Ｘ轴正向传播，称右行波；如果朝ｚ轴负向传播，则称左
行波，解的形式为扎（ｚ＋ｄ）．有时称ｚ为波变量．系统（１）有等＝一ｃ等，篆＝等．因此关
于ｚ和ｔ的偏微分方程（１）就变成了关于名的常微分方程．进而进一步分析其解的存在性． Ｄｕｎｂａｒ最早在文献［５—７】中研究了具有扩散的Ｌ—Ｖ系统的行波解的存在性，并且通过数值
（１，０，０，０）处存在一个二维的不稳定的子流形，在这个不稳定流形上的轨线是螺旋的，且当名一 一。。趋近于（１，０，０，０）的轨线对于某些ｚ必定有ｉ（ｚ）＜０，即系统（８）满足边界条件（７）的非负
解存在下，面所只以需系要统（考４）虑的ｃ行＞波 ｃ’解＝不、存／在可．而的情况．实际上，当ｃ＞￣／巧而时，系统（８）在
ｕ（ｘ，￡）＝ｕ（ｘ—ｄ）＝ｕ（ｚ），名＝ｚ一以．
（２）
收稿日期：２００７－１２－０３
基金项目：国家自然科学基金资助项目（６０７７１０２６）；新世纪优秀人才支持计划资助项目（ＮＣＥＴ０５０２７１）；山西省自
然科学基金资助项目（２００６０１ １００９）．
作者简介：霍 罡（１９８２一），男，山西朔州人，硕士研究生．
行波是一种在传播过程中不改变其波形的波【４１．一般的反应扩散系统有如下形式：
面ＯＵ＝，（ｕ）＋ＤＶ２矿
（１）
其中Ｕ是反应物浓度向量，，是非线性作用函数，Ｄ是扩散系数矩阵， Ｖ２是拉普拉斯算
子．以一维为例，如果上述反应扩散方程的解ｕ（ｘ，ｔ）是一个行波解，那么该解的形式不随时 间变化并且波的传播速度是常数，用速度Ｃ来表示．用数学语言表达就是，如果系统（１）的解 有如下形式：
一类随机积分-微分方程的均方渐近概自守温和解
一类随机积分-微分方程的均方渐近概自守温和解姚慧丽;孙海彤【摘要】介绍了均方渐近概自守函数和均方渐近概自守随机过程的概念及性质,在一些假设下,利用C0半群和Banach不动点定理以及Cauchy-Schwarz不等式,讨论了一类抽象半线性发展型随机积分-微分方程在实可分Hilbert空间中的均方渐近概自守温和解的存在性和唯一性.【期刊名称】《哈尔滨理工大学学报》【年(卷),期】2018(023)005【总页数】6页(P119-123,129)【关键词】均方渐近概自守温和解;C0-半群;Banach不动点定理;随机积分-微分方程【作者】姚慧丽;孙海彤【作者单位】哈尔滨理工大学应用科学学院,黑龙江哈尔滨150080;哈尔滨理工大学应用科学学院,黑龙江哈尔滨150080【正文语种】中文【中图分类】O1750 引言在20世纪，H.Bohr提出了概周期函数[1-3]，Frechet对其进行推广，并提出了渐近概周期函数[4]，随后，弱概周期函数理论及伪周期函数理论相继被提出[5-6]。
P.Bezandry和T.Diagana提出了均方概周期随机过程的概念，并将其应用到随机微分方程中，研究了一些随机微分方程的均方概周期解的存在性[7-13]。
由此，人们意识到将概周期型理论同随机微分方程相结合，可使得一些实际问题能够得到有效的解决。
Fu.M M等人将概自守型函数理论应用到随机微分方程中[14-15]。
本文研究下列方程：X′(t)=AX(t)+C(t-s)G(s,X(s))dW(s)+B(t-s)F2(s,X(s))ds+F1(t,X(t))(1)的均方渐近概自守温和解的存在性和唯一性。
其中,t∈R,A:D(A)⊂L2(P,H)→L2(P,H)是稠密的(可能无界的)闭线性算子族，B和C 是L1(0,+)和L2(0,+)中的卷积型内核[18]，W(t)是一个定义在滤过概率空间(Ω,F,P,Ft)上的一维双边标准布朗运动，其中，Ft=σ{W(u)-W(v):u,v≤t}。
一类具有多时滞神经网络的渐近同步
一类具有多时滞神经网络的渐近同步赵璨;童东兵;毕灶荣;李佳骏【摘要】采用一种不同于线性矩阵不等式的新的放缩方法对神经网络渐近自适应同步进行分析,以研究多时滞神经网络渐近自适应同步问题,给出了自适应渐近同步控制器,并通过举例验证该方法的有效性和可靠性.【期刊名称】《宜宾学院学报》【年(卷),期】2017(017)006【总页数】4页(P54-57)【关键词】神经网络;多时滞;渐近稳定;自适应同步【作者】赵璨;童东兵;毕灶荣;李佳骏【作者单位】上海工程技术大学电子电气工程学院,上海201620;上海工程技术大学电子电气工程学院,上海201620;上海工程技术大学电子电气工程学院,上海201620;上海工程技术大学电子电气工程学院,上海201620【正文语种】中文【中图分类】O175.13神经网络是高度复杂大规模的非线性动力学系统，具有丰富的动力学行为.众所周知，在神经网络的电路实现中，时滞是不可避免的，例如，由于网络中的信号开关和传输速度是有限的，就会存在时滞，时滞的存在常常会造成系统不稳定或性能变差.时滞神经网络在模式识别、联想记忆以及组合优化等领域中具有重要的应用. 近年来，多时滞神经网络的问题引起了学者们的广泛关注.文献[1]研究了时滞神经网络的稳定性问题，相比常用的Lyapunov方法，该文通过M-矩阵方法及其相应定理推导出时滞神经网络稳定性的准则.文献[2]针对一类具有多时滞的不确定非线性系统，提出了一种基于模糊模型和神经网络的组合控制方法，利用具有多时滞的模糊T-S模型对系统进行近似建模，证明了闭环系统的稳定性.文献[3]研究了一般不确知转移概率的时滞Markov跳变神经网络的渐近同步问题，通过线性矩阵不等式方法得到渐近同步的充分条件.文献[4]关注的是有限时间的时滞神经网络的鲁棒性，且存在不连续函数和参数的不确定性，利用非光滑分析和控制理论、得到的控制器实现了有限时间鲁棒性的上界.本文采用不同于线性矩阵不等式的方法对多时滞神经网络的渐近稳定问题进行分析，从而得到了系统稳定性准则和自适应渐近同步控制器.最后，通过数例说明其研究结果的有效性.多时滞的神经网络可以描述为：其中表示状态向量，是激活函数，τθ(t)是传输时滞且满足0<τθ(t)≤τˉθ和是常数分别是连接强度和时滞连接强度矩阵.D=[d1,d2,…, dn]T∈ℝn是输入向量.对于系统(1)，响应系统被构造如下成立，那么(5)式的解是几乎必然渐近稳定的.下面建立一个多时滞神经网络自适应几乎必然渐近同步准则.令ψ(t)|eτ|→∞时，等式(8)成立.通过引理1.4，得到系统(4)是自适应几乎必然渐近稳定的.证毕.不等式(18)成立意味着(6)式成立.当e=0和eτ=0时，ϖ1(0)=0且ϖ2(0)=0.同时，不等式(9)和ϖ1(e)>ϖ2(eτ)成立，故(7)式成立.当||e→∞和下面用一个数值例子验证主要结果的有效性.例1：考虑以下神经网络：在系统(1)中，初始条件为[x1(s)x2(s)]T=[3-4]T,系统(1)、(2)和(4)的网络参数如下：经验证，所有参数完全满足假设1.1-1.2及不等式(9).根据定理2.1，如果误差系统e1(t)和e2(t)的动态曲线是自适应渐近稳定的，那么就证明主要结果是完全正确的.经过仿真得到动态曲线（图1、图2），图1是误差系统的动态曲线，图2是反馈增益的动态曲线.从仿真结果可知系统是自适应渐近稳定的.本文主要解决了具有多时滞神经网络自适应渐近同步问题.不同于线性矩阵不等式方法，本文采用了是一种新的放缩方法对神经网络的渐近同步性进行分析，并得到了自适应渐近同步控制器.最后，通过数例验证了其结果的可靠性和有效性.【相关文献】[1]江梅,何汉林,严路.基于M矩阵理论的时滞细胞神经网络稳定性分析[J].计算机与数字工程,2015(3):349-352.[2]刘亚,胡寿松.基于模糊模型和神经网络的多时滞不确定非线性系统的鲁棒H∞控制[J].自动化学报,2003,29(6):859-866.[3]徐瑞萍,高存臣,考永贵.转移概率一般不确知时滞Markov跳变神经网络的同步[J].控制理论与应用,2015,32(8):1032-1039.[4]WANG L,SHEN Y,SHENG Y.Finite-time robust stabilization of uncertain delayed neural networks with discontinuous activa⁃tions via delayed feedback control[J].Neural Networks the Offi⁃cial Journal of the International Neural Network Society,2016,76 (C):46-54. [5]TONG D,ZHOU W,WANG H,et al.Adaptive estimation for delayed neural networks with Markovian jumping parameters[J]. Optik,2015,126(21):2960-2964[6]TONG D,ZHOU W,WANG H.Exponential state estimation for stochastic complex dynamical networks with multi-delayed base on adaptive control[J].International Journal of Control,Auto⁃mation and Systems,2014,12(5):963-968.[7]YUAN C,MAO X.Robust stability and controllability of stochas⁃tic differential delay equations with Markovian switching[J].Auto⁃matica,2004,40(3):343-354.。
利普希茨伪紧缩映射下的利普希茨摄动迭代的Bruck公式
利普希茨伪紧缩映射下的利普希茨摄动迭代的Bruck公式K.库玛;B.K.沙玛;潘春枝
【期刊名称】《应用数学和力学》
【年(卷),期】2005(26)11
【摘要】在非线性分析中,处理伪紧缩算子及其变形的解(不动点)存在性和近似性,从而使演化方程的求解已经发展成为一个独立的理论.使用近似不动点技术,采用摄动迭代方法,目的是证明利普希茨伪紧缩映射序列的收敛性.该迭代方法适用于比利普希茨伪紧缩算子更一般的非线性算子以及Bruck迭代法无法证明其收敛性的情况.推广了Chidume和Zegeye的结果.
【总页数】8页(P1293-1300)
【关键词】伪紧缩映射;利普希茨摄动迭代;不动点;一致Gateaux微分范数
【作者】K.库玛;B.K.沙玛;潘春枝
【作者单位】皮特.莱维桑卡苏克拉大学数学研究院
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
【相关文献】
1.不具备全局利普希茨条件的时滞分流抑制型细胞神经网络的伪概周期解 [J], 张红
2.局部非利普希茨条件下G-随机微分方程的解的逼近 [J], 王丙均;袁明霞;张慧
3.非自治动力系统中利普希茨跟踪性和逐点周期跟踪性的研究 [J], 冀占江;覃桂茳
4.非利普希茨条件下由G-布朗运动驱动的倒向随机微分方程的比较定理 [J], 袁明霞; 王丙均
5.群作用下乘积映射的渐进平均和利普希茨跟踪性 [J], 冀占江;张更容;涂井先因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
一类三阶非线性微分方程的渐近概周期解
一类三阶非线性微分方程的渐近概周期解姚慧丽;张琳琳【摘要】主要运用Banach不动点定理讨论了一类三阶非线性微分方程x’’’m(t)+a(t)x”(t)+b(t)x'(t)+g1(t,x(t))+g2(t,x(t-τ(t)))=p(t)的渐近概周期解的存在性与唯一性.a(t)为R上的概周期函数；b(t),p(t),(τ)(t),g1和g2均为R上的渐近概周期函数.【期刊名称】《哈尔滨师范大学自然科学学报》【年(卷),期】2012(028)005【总页数】5页(P11-15)【关键词】微分方程;渐近概周期;不动点定理【作者】姚慧丽;张琳琳【作者单位】哈尔滨理工大学;哈尔滨理工大学【正文语种】中文0 引言非线性微分方程在实际问题中有着许多应用，如物理学中的机械振动，电力学理论等等，正因如此，多年来，很多科学工作者研究了此类方程的各种解的存在性，稳定性，收敛性［1-4］，文献［5］对于方程(1)的概周期解的存在性问题进行了讨论.该文主要运用Banach不动点定理和渐近概周期函数的有关性质讨论了三阶非线性微分方程的渐近概周期解的存在性与唯一性.设 k1，k2为常数，令则方程(1)可转化为以下方程1 预备知识该文R为实数集，C(R)表示R上的有界连续函数的全体.定义1.1 称f(t)∈C(R)为概周期函数是指对于任意的ε＞0，存在一个实数lε＞0，对长度为lε的任意区间都包含一个常数τ，使得|f(t)-f(t+τ)|＜ε，用AP(R)来表示此类函数的全体.定义1.2 称f为渐近概周期的，是指f可以写成用AAP(R)表示这样函数的全体.其中C0(R)=引理 2.1［6］如果f ∈ AAP(R)，F ∈AAP(R)，则f(F(·)，·)∈ AAP(R).2 主要结果首先假设以下条件成立:(H1)a(t)为 R上的概周期函数;b(t)，p(t)，τ(t)，g1和g2均为R上的渐近概周期函数.(H2)存在常数L1≥0，L2≥0，k1 ＞ 1，k2 ＞1，k3 ＞ 0，使得定理2.1 设(H1)，(H2)成立，则方程(3)存在唯一一个渐近概周期解.证明令X={φ =(φ1(t)，φ2(t)，φ3(t))}，其中φi(i=1，2，3)为R上的渐近概周期函数，则 X为 Banach空间，且‖φ‖X=引入辅助方程这里φ(t)=(φ1(t)，φ2(t)，φ3(t))∈ X，a(t)为概周期函数;b(t)，p(t)，τ(t)，g1和g2均为渐近概周期函数，根据文献［7］知辅助方程(4)有如下形式的解，下面证明此解Xφ(t)为渐近概周期的:(1)证明为渐近概周期的.因为φi(i=1，2，3)为渐近概周期函数，则令φ1(s)=h1(s)+ φ1(s)，φ2(s)=h2(s)+φ2(s)，φ3(s)=h3(s)+ φ3(s)，其中h1，h2，h3∈AP(R)，φ1，φ2，φ3∈ C0(R)，xφ(t)=因为φ2(s)∈C0(R)，所以对任意的ε＞0，存在T1＞0，使得当|s|＞T1时，有|φ2(s)|＜ε.又因为=0(c 为常数)，所以存在T2＞0，当t＞ T2时，有.取T=max{T1，T2}，因为φ2(s)为有界函数，所以当s∈［-T，T］时，存在M ＞0，使得|φ2(s)|≤M.(1)t＞T时综上有，则为渐近概周期的.(2)类似可证为渐近概周期的.(3)证明为渐近概周期的.因为φi(i=1，2，3)，b(t)，p(t)为渐近概周期函数，则令φ1(s)=h1(s)+ φ1(s)，φ2(s)=h2(s)+ φ2(s)，b(s)= α(s)+ β(s)，p(s)=γ(s)+ η(s)，其中 h1(s)，h2(s)，α(s)，γ(s)∈AP(R)，φ1(s)，φ2(s)，β(s)，η(s)∈ C0(R)，又因为g1，g2，τ(t)是渐近概周期的，所以由引理1.1知g1(s，φ1(s))，φ2(s- τ(s))是渐近概周期的，g2(s，φ1(s- τ(s)))是渐近概周期的，记Ⅰ1(s)=g1(s，φ1(s))= λ(s)+ μ(s)，Ⅰ2(s)=g2(s，φ1(s- τ(s)))= ω(s)+ ζ(s)，其中λ(s)，ω(s)∈ AP(R)，μ(s)，ζ(s)∈ C0(R)，则由文献［8］知［(-(a(s)-k1+ α(s)k1)h1(s)- λ(s)-ω(s)+((a(s)-k1)(k1+k2)- α(s)-，要证zφ(t)是渐近概周期的，只需要证明Z2(t)∈C0(R).由(H2)-(iii)知L2，所以证明+ α(s)k1)φ1(s)ds∈ C0(R)因为φ1(s)∈C0(R)，所以对任意的ε0，存在T1＞0，对任意的|s|＞ T1，有|φ1(s)|＜ε.因为=0(c为常数)，因为对任意的ε＞0，存在T2＞0，当t＞T2时，有取T=max{T1，T2}，因为s∈［-T，T］时，φ1(s)为有界函数，所以存在M ＞0，使得因为a(s)，α(s)∈AP(R)，所以 -(a(s)-，所以+α(s)k1为有界函数，所以对任意的s∈R，存在N ＞ 0，使得①t＞T时②t＜-T时综合①②可知类似可证明Z2(t)中余下的八项所表达的函数都属于C0(R).则zφ(t)是渐近概周期的.由(1)，(2)，(3)可知，辅助方程(4)的解为渐近概周期的.定义映射Φ:X→X设φ，ψ ∈ X，根据条件(H2)，有，由条件(H2)知r＜1，即映射Φ:X→X为压缩映射.根据Banach不动点定理知Φ在X上存在唯一的不动点v，即Φv=v，由式(5)知v是方程(3)的渐近概周期解.参考文献［1］ Afuwape A U，Omari P，Zanolin F.Nonlinear Perturbations of differential Operators with nontrivial kernel and applications to third-order periodic boundary problem.Journal of Mathematical Analysis and Applications，1989，143:35-56.［2］ Andres J.Periodic boundary value problem for certain nonlinear differential equation of the third order.Mathematica Slovaca，1985，35:305-309.［3］ Fridedrichs K O.On nonlinear vibrations of the third-order，Studies in Nonlinear Vibrations Theory.Institution Mathematic and Mechine，New York Universtity，1949.［4］ Rauch L L.Oscillations of a third order nonlinear autonomous system in:Contributions to the Theory of Nonlinear Oscillations.Annal of Mathematical Study，1950(20):39-88.［5］易学军.几类泛函微分与差分方程的收敛性.湖南大学:博士论文，2009. ［6］ Zhang C.Almost Periodic Type Functions and Ergodicity［M］.Science Press/Kluwer Academic Publish，2003.1-70.［7］丁同仁.常微分方程定性方法的应用.北京:高等教育出版社，2004.155-163. ［8］易泰山，黄立宏.关于Bernfeld-Haddock猜想的推广形式及其证明.数学学报，2007，50(2):261-270.。
一类互惠时滞系统的渐近性
一类互惠时滞系统的渐近性
汤红吉;武秀丽;陈斯养
【期刊名称】《辽宁师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2001(024)003
【摘要】研究了一类具有时滞的互惠生态系统的渐近性.利用定性理论得出了系统的持续生存性,利用代数理论得出了其正平衡态局部渐近稳定的充分条件,并给出系统在特殊情况下出现Hopf分支的分支值.
【总页数】4页(P248-251)
【作者】汤红吉;武秀丽;陈斯养
【作者单位】陕西师范大学数学系,;陕西师范大学数学系,;陕西师范大学数学系,【正文语种】中文
【中图分类】O175
【相关文献】
1.一类变时滞n种群捕食扩散系统的一致持久性和全局渐近稳定性 [J], 王敏;周宗福
2.一类具有扩散的互惠系统的存在性与全局渐近性 [J], 陆军;黑力军
3.一类脉冲多时滞互惠系统周期解的存在性与稳定性 [J], 邵远夫;艾武
4.时滞周期竞争—竞争—互惠模型的解的渐近性 [J], 周笠;傅一平
5.一类变时滞模糊神经网络系统解的渐近概周期性 [J], 罗扬; 李洪旭
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一类变系数混合时滞神经网络周期解的存在性和指数稳定性(英文)
一类变系数混合时滞神经网络周期解的存在性和指数稳定性
(英文)
田安峰;盖明久;黄诘
【期刊名称】《应用数学》
【年(卷),期】2009(22)4
【摘要】在不需要激活函数有界的条件下,利用分析技巧和Poincar映射给出了一类变系数混合时滞神经网络周期解的存在、唯一和指数稳定的充分条件.结论对神经网络的设计具有重要的意义.
【总页数】7页(P876-882)
【关键词】周期解;指数稳定;神经网络;混合时滞
【作者】田安峰;盖明久;黄诘
【作者单位】海军航空工程学院系统科学与数学研究所;海军航空工程学院青岛分院航空机械系
【正文语种】中文
【中图分类】O175.13
【相关文献】
1.一类变系数混合时滞细胞神经网络周期解的存在性和全局指数稳定性 [J], 田安峰;盖明久;时宝;黄诘
2.一类变系数混合时滞细胞神经网络的指数稳定性和周期解 [J], 王力;周宗福
3.一类具有混合时滞的细胞神经网络的概周期解的存在性和全局指数稳定性 [J],
姜阿尼;袁朝晖
4.一类具有时滞的变系数微分系统的指数稳定性及周期解的存在性 [J], 刘昌东
5.一类变时滞离散Cohen-Grossberg神经网络模型周期解的存在性及其指数稳定性 [J], 王军平; 阮炯
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一类分流抑制细胞神经网络的渐近概周期解作者：姚慧丽卜宪江
来源：《哈尔滨理工大学学报》2016年第04期
摘要：带有延迟的分流抑制细胞神经网络的各种解的存在唯一性问题是微分方程方向的一个重要研究课题，为了研究一类带有混合延迟分流抑制细胞神经网络的渐近概周期解的存在性及唯一性问题，在研究过程中，依据了渐近概周期函数的唯一分解定理及其相关性质的理论。
然后通过寻找适合的压缩映射并结合Banach不动点定理，研究了这类微分方程有渐近概周期解的存在性及唯一性的问题，并给出了相关的证明，所得到的结果会使这类微分方程应用更加广泛，
关键词：渐近概周期解；细胞神经网络；Banach不动点定理，
DOI：10.15938/j.jhust.2016.04.023
中图分类号：0175
文献标志码：A
文章编号：1007-2683（2016）04-0122-05
0引言
概周期函数理论最早是由丹麦数学家H，Bohr于1925—1926年提出的，由于一些问题的需要，由概周期函数又衍生了渐近概周期函数，弱概周期函数和伪概周期函数之后，数学工作者们将概周期型函数应用到微分方程中，讨论了概周期型解的存在性，其中，由歙和杨所引进的细胞神经网络，在许多地方都有所应用，例如，图像处理和模式识别，文研究了一类带延迟的分流抑制细胞神经网络（简记SICNNs）的。