江西省抚州市临川区第一中学高三高考仿真模拟(图片)——数学理(数学理)
江西省临川一中高三数学最后一次模拟试题 理
临川一中2013届高三数学压轴卷（理科）卷面满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.复数 ,1i z -=则=+z z1A.i 2321+B.i 2321- C.i 2323- D.i 2123- 2．已知函数)1lg()(2+=x x f 的值域为M ，函数⎪⎩⎪⎨⎧<>=1,2,3)(3x x x x g x 的定义域为N ，则M N =IA. )1,0[B. (2,)+∞C. [)+∞,0D. [)),2(1,0+∞Y3．若C C n n 62=，32102a x dx =⎰，二项式nxa x )1(3-的展开式中常数项是A ．28-B ．7-C ．7D ．284．关于直线,,a b l 以及平面βα,，下面命题中正确的是 A ．若,//,//βαb a 则.//b aB ．若,,//a b a ⊥α则.α⊥bC ．若,//,βαa a ⊥则.βα⊥D ．若βα⊂⊂b a ,，且,//,b l a l ⊥，则.α⊥l5．右图的程序框图输出结果i=A ．6B ．7C ．8D ．96．若方程22(2cos )(2sin )1(02)x y θθθπ-+-=≤≤的任意一组解(,)x y 都满足不等式x y ≤，则θ的取值范围是 A.5[,]44ππB.513[,]1212ππ C.7[,]46ππ D.77[,]126ππ 7.在四棱锥ABCD P -中，)3,2,4(-=→AB ，)0,1,4(-=→AD ，)8,2,6(--=→AP ，则这个四棱锥的高=hA. 1B. 2C. 13D. 26开始S=0，i =0S=S+2i -1S ≥20 i =i +2结束输出i否是8.设)(n G 表示正整数n 的个位数，),()(2n G n G a n -=则数列}{n a 的前2013项的和为 A. 0 B. 2 C. 6 D. 8 9.下列命题中，正确命题的个数是①命题“x R ∃∈，使得013<+x ”的否定是“x R ∀∈，都有013>+x ”.②双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 中，F 为右焦点，A 为左顶点，点),0(b B 且0=⋅→→BF AB ，则此双曲线的离心率为215+. ③将9个人（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分法的种数为70种.④已知,a b r r 是夹角为120o的单位向量，则向量a b λ+r r 与2a b -r r 垂直的充要条件是45=λ.A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个10.如图，给定等边三角形ABC,当正方形PQRS 三个顶点P 、Q 、R 分别在三边AB 、BC 、CA 上移动时，另一点S 的轨迹是A . 抛物线的一部分B .圆的一部分C . 椭圆的一部分 D.线段二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.11.设点),(y x P 在以)1,2()2,1()0,1(C B A 、、三点构成的三角形区域（包含边界）内，则xy 的最大值为 .12.已知三次函数)(x f y =有三个零点321,,x x x ，且在点))(,(i i x f x 处的切线的斜率为)3,2,1(=i k i .则=++321111k k k . 13.已知数列{}n a 满足11log (1)n n a a n ==+，*2()n n N ≥∈，.定义：使乘积12a a ⋅⋅…k a ⋅为正整数的*()k k N ∈叫做“积整数”.则在]2013,1[内所有“积整数”的和为 .14.椭圆191622=+y x 的内切圆为922=+y x ，圆的一条不与x 轴垂直的切线与椭圆交于点B A 、，且切线AB 与圆的切点Q 在y 轴右侧，F 为椭圆的右焦点，则ABF ∆的周长为 .三、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按所做的第一题评阅计分.本题共5分.请把答案填在答题卡上.第（10）题图15A ．（极坐标与参数方程选讲选做题） 在极坐标系中，点)3,2(π到圆θρcos 2=的圆心的距离为 .15B ．（不等式选讲选做题）已知集合{},),0(,14,1143⎭⎬⎫⎩⎨⎧+∞∈+=∈=≤-++∈=t tt x R x B x x R x A 则 集合B A I =________.四、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分） 已知函数)42tan()(π+=x x f .（1）求()f x 的最小正周期和单调增区间； （2）设)2,4(ππα∈，若()2cos 2,2f αα=求α的大小.17．（本小题满分12分）已知正方形ABCD 的边长为2，E F G H 、、、分别是边AB BC CD DA 、、、的中点． （1）在正方形ABCD 内部随机取一点P ，求满足2<PE 的概率；（2）从A B C D E F G H 、、、、、、、这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离的平方．．为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ．18.（本小题满分12分）如图是三棱柱111C B A ABC -的三视图，正（主）视图和俯视图都是矩形，侧（左）视图为等边三角形，D 为AC 的中点.正（主）视图俯视图侧（左）视图(1)求证：1AB ∥平面1BDC ；(2)设1AB 垂直于1BC ，求二面角C BC D --1的大小. 19.（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的首项20131=a ，公比21-=q ，数列{}n a 前n 项的积．记为n T . （1）求使得n T 取得最大值时n 的值；（2）证明{}n a 中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，如果所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次设为n d d d d ,,,321⋅⋅⋅，求数列{}n d 的通项公式. （参考数据1021024=）20.（本小题满分13分）已知抛物线)0(22>=p py x ，直线062=+-y x 截抛物线C 所得弦长为58.(1)求抛物线的方程；(2)已知B A 、是抛物线上异于原点O 的两个动点，记),90(ο≠=∠ααAOB 若,tan αm S AOB =∆试求当m 取得最小值时αtan 的最大值;(3)设抛物线的内接RST ∆的重心为焦点F ,试探求222→→→++FT FS FR 是否为定值?若是，求出该定值，若不是，请说明理由.21．（本小题满分14分）已知函数)0(),1ln()(>+=k xkx x f 在1=x 处取得极小值. (1)求k 的值；(2)若()f x 在))21(,21(f 处的切线方程为)(x g y =，求证：当0>x 时，曲线)(x f y =不可能在直线)(x g y =的下方；(3)若),,1(,0*∈≤≤>N n n i m i 且121=+⋅⋅⋅++n m m m ，试比较)1()1)(1(2211n n m m m m m m +⋅⋅⋅++与nn n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+12的大小，并证明你的结论.临川一中2013届高三数学压轴卷（理科）参考答案及评分标准一．选择题.D D C C C B B D C D10.解析：设,,,,θ=∠===RQC r QR x QC a BC由正弦定理，.)30sin(60sin ,)60sin(60sin 0000θθ+-=+=xa r x r 结合等比性质，.)60sin()30sin(60sin 000θθ+++=a r a r SQC QS 233)45sin(2sin 0-=+=∠∴θ （定值）所以所求轨迹为线段 .（2）填空题. 11.4912. 0 13. 2036 14.8 15(A)3 (B)[4,6]14.解析：,479,4742222x y x OQ AO AQ x AF =-+=-=-=故,4=+AQ AF 同理8,4=∴=+∆ABF C BQ BF 三．解答题16.（Ⅰ）由()tan(2),4f x x π=+得()f x 的最小正周期为2π.....2分 令2422πππππ+<+<-k x k 得82832ππππ+<<-k x k 所以函数()tan(2),4f x x π=+的单调增区间为)(82,832Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛+-ππππ...............6分 （Ⅱ）由()2cos 2,2f αα=得tan()4πα+2cos 2,α=即22sin()42(cos sin )cos()4παααπα+=-+, 整理得:sin cos 2(cos sin )(cos sin )cos sin αααααααα+=-+-,因为sin cos 0αα+≠,所以可得21(cos sin )2αα-=,解得1sin 22α=,...............10分由)2,4(ππα∈得),2(ππα∈,所以πα652=,πα125=..........12分 17解：（1）这是一个几何概型．所有点P 构成的平面区域是正方形ABCD 的内部，其面积是224⨯=．…………………………………………1分满足2<PE 的点P 构成的平面区域是以E 为圆心，2为半径的圆的内部与正方形ABCD 内部的公共部分，它可以看作是由一个以E 为圆心、2为半径、圆心角为3π的扇形的内部与两个直角边分别为1和3的直角三角形内部构成． …………………………………2分其面积是3323121223212+=⨯⨯⨯+⨯⨯ππ．………………4分 所以满足2<PE 的概率为.4364332+=+ππ…………………………………5分（2）从A B C D E F G H 、、、、、、、这八个点中，任意选取两个点，共可构成28C 28=条不同的线段． ………………………………6分其中长度为1的线段有84条，长度为2的线段有6条，长度为的线段有8条，长度为的线段有2条．所以ξ所有可能的取值为8,5,4,2,1．……………………7分且72288)1(===ξP ， 71284)2(===ξP ， 143286)4(===ξP ，72288)5(===ξP ， 141282)8(===ξP ． ………………………………9分所以随机变量ξ的分布列为：随机变量ξ的数学期望为.72414187251434712721=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ………………………12分18.……10分(1)由三视图画出直观图，如图，这是一个正三棱柱，连接1BC 和C B 1，交点为O ,则O 为C B 1的中点，连接OD ,因为D 为中点，所以111111////BDC AB BDC AB BDC OD AB OD 平面平面平面⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂,……………………6分(2)过D 作BC DG ⊥,垂足为G ,连接GO ，因为侧面垂直于底面，所以11B BCC DG 侧面⊥，所以OD 在11B BCC 侧面内的射影为GO ，因为⊥1AB 1BC ，所以DO BC ⊥1,又DG BC ⊥1,D DO DG =I ，所以1BC ⊥DOG 平面,所以GO BC ⊥1,所以DOG ∠就是所求的二面角的平面角 (10)分取BC 中点F ，连接OF AF ,,则有,,BC AF BC OF ⊥⊥在直角三角形BOG 中，BG OF ⊥,所以BC BC BC 43G O ,4341G B G F G O 2=⨯=⋅=,BCAF D 4321G ==, 故在直角三角形DGO 中，ο45,=∠=DOG OG DG ,即所求的二面角的大小为45o …12分 19.解：（1），n n a a a a T ⋅⋅⋅=321Θ，n n nn a T T )21(201311==∴++，101122013122013<<Θ，则当10≤n 时，n n T T >∴+1；当11≥n 时，n n T T <∴+1，11max T T n =∴，又,0,0,0,01291110>><<T T T Tn T ∴的最大值是129,T T 中的较大者.1)21(2013310121110912>⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==a a a T T Θ，,912T T >∴，因此当n=12时，n T 最大.........................6分（2）对1,n n a a +进行调整，||n a 随n 增大而减小，{}n a 奇数项均正，偶数项均负. ①当n 是奇数时，调整为12,,n n n a a a ++.则1111111()()222n n n n n a a a a a -++=-+-=，1121122()22n n n a a a ++=-=， 12122,,,n n n n n n a a a a a a ++++∴+=成等差数列；②当n 是偶数时，调整为21,,n n n a a a ++；则1111111()()222n n n n n a a a a a -++=-+-=-，1121122()22n n n a a a ++=-=-， 12212,,,n n n n n n a a a a a a ++++∴+=成等差数列；综上可知，{}n a 中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列.①n 是奇数时，公差112111311[()()]222n n n n n n ad a a a ++++=-=---=； ②n 是偶数时，公差111211311[()()]222n n n n n n ad a a a +-++=-=---=. 无论n 是奇数还是偶数，都有1132n n a d +=，则112n n d d -=，因此，数列{}n d 是首项为134a ，公比为12的等比数列,160392n n d +=..................12分（20）解：（1）联立0124062222=--⇒⎩⎨⎧=+-=p px x y x py x ，048162>+=∆p p.158481621124222121=⇒=++=⇒⎩⎨⎧-==+p p p MN px x px x y x C 2:2=∴..................................................4（分）8.,tan αm S AOB=∆Θ.21,cos sin sin 21→→⋅=⇒=∴OB OA m m OB OA ααα.......5（分）设)0,4(),2,(),2,(21222211-≠x x xx B x x A 则),4(21222121x x x x m +=令)0,4(21-≠=t x x t],4)2[(81)4(2122-+=+=t t t m 当2-=t 时，.21min -=m 此时,221-=x x ...................8（分）不妨设1>x 则22)2(221221)tan(tan 11121212-≤+-=+-=+-=-=x x x x x x k k k k OAOB OA OB θθα(其中21,θθ为直线OB OA ,的倾斜角)当且仅当112x x =，即21=x 时等号成立. 故当21min -=m 时，αtan 的最大值为22-....................10（分） （3）答：222→→→++FT FS FR 为定值.827证明如下：...................11（分） 设),,(),,(),,(T T S S R R y x T y x S y x R 三角形RST 的重心为焦点)21,0(F ，23,0=++=++T S R T S R y y y x x x ，由对称性，不妨设0,0,<≥T S R x x x ， ),,(22T S R i y x i i ==则)1()43(230222232⋅⋅⋅-+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++SR S R T S RT S RT S R T S R y y y y yy y y y y y y y y y y 由23=++T S R y y y 知， )2()(23)(2249)(249222⋅⋅⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+--=++-=++S R S R S R T R T S S R T S R y y y y y y y y y y y y y y y 将（1）代入（2）得89222=++T S R y y y ，则8274943212121222222222222=+++=++++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++→→→T S R T S R T S R T S R y y y y y y y y y y y y FT FS FR................13（分）21解：（1）)1(1)(22+-='kx x kx x f ，由已知得.1011)1(=⇒=+-='k k k f ................3分 当1=k 时)1(1)(22+-='x x x x f ，此时)(x f y =在)1,0(单调递减，在),1(+∞单调递增......4分7．)1(1)(22+-='x x x x f ,56)21(-='=f k ,)(x f y =在)25ln ,21(的切线方程为)21(5625ln--=-x y ，即25ln 5356)(++-==x x g y ...............................6分当0>x 时，曲线)(x f y =不可能在直线)(x g y =的下方⇔)()(x g x f ≥在),0(+∞恒成立，令25ln 5356)1ln()()()(--++=-=x x x x g x f x ϕ，)(5)1086)(21()(32x x x x x x +++-='ϕ 当0)(),,21(,0)(),21,0(>'+∞∈<'∈x x x x ϕϕ，0)21()(min ==ϕϕx ，即0)(≥x ϕ)()(x g x f ≥在),0(+∞恒成立，所以当0>x 时，曲线)(x f y =不可能在直线)(x g y =的下方.............................................9分（3）n n i i in n m m )1()1(1+≥+∑=....................10分先求)(x f y =在))1ln(,1(n n n +处的切线方程，.1)1(23n n n n f +-='故)(x f y =在))1ln(,1(nn n +的切线方程为)1(1)1ln(23n x n n n n n y -+-=+-，即)1ln(1112223nn n n x n n n y +++--+-=，下先证明)1ln(111)(2223n n n n x n n n x f +++--+-≥，令)0)(1ln(111)1ln()(2223>+-+-++--+=x n n n n x n n n x x x h )1)((]2))[(1()(233223+++++--='n x x n n x n x n n n x x h ， 当0)(),,1(,0)(),1,0(>'+∞∈<'∈x n x x n x ϕϕ，0)1()(min ==nx ϕϕ)1ln(111)(2223nn n n x n n n x f +++--+-≥∴),,1(,0*∈≤≤>N n n i m i Θ)1ln(111)1ln(2223n n n n m n n n m m i i i +++--+-≥+∴3222111111ln()ln()ln()11nni ii i i n n n m m n n n n n m n n n n ==--∴+≥-++=+++∑∑nni i i nn m m )1()1(1+≥+∴∑=.......................14分。
2020年江西省抚州市临川一中高三数学(理)周练试卷(原卷版)
2020年江西省抚州市临川一中高三周练试卷数学试题（理科）（考试时间：120分钟 满分：150分）注意事项1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位．2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0．5毫米的黑色墨水签字笔描清楚，必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草纸上答题元效．第I 卷（满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的．1.若集合A ＝{x ∈N |x ≤ 2 020}，a ＝22，则下列结论正确的是( ) A ．{a }⊆A B ．a ⊆A C ．{a }∈AD ．a ∉A2.设z ＝1－i1＋i＋2i ，则|z |等于( )A.0B.12 C.1 D. 23.若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2 020]，则函数g (x )＝f x ＋1x －1的定义域是( )A ．[－1,2 019]B ．[－1,1)∪(1,2 019]C ．[0,2 020]D ．[－1,1)∪(1,2 020]4.下列图象是函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，x －1，x ≥0的图象的是( )5.下列函数中最小正周期为π且图象关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 6.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A 等于( ) A.3π4 B.π3 C.π4 D.π67.如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则下列判断正确的是( )A ．在区间(－2,1)上f (x )是增函数B ．在区间(1,3)上f (x )是减函数C ．在区间(4,5)上f (x )是增函数D ．当x ＝2时，f (x )取到极小值8.已知△ABC 外接圆的圆心为O ，AB ＝23，AC ＝22，A 为钝角，M 是BC 边的中点，则AM →·AO →等于( )A.3B.4C.5D.6 9.已知f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的关系是( ) A.f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2B.f (k ＋1)＝f (k )＋(k ＋1)2C.f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋2)2D.f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)210.在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧3x －y ≤0，x －3y ＋2≥0，y ≥0表示的平面区域的面积是( )A.32B. 3C.2D.2 3 11.设点P (x ，y )是曲线a |x |＋b |y |＝1(a >0，b >0)上的动点，且满足x 2＋y 2＋2y ＋1＋x 2＋y 2－2y ＋1≤22，则a ＋2b 的取值范围为( ) A ．[2，＋∞) B ．[1,2] C ．[1，＋∞)D ．(0,2]12.已知函数f (x )＝e xx2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋ln x ，若x ＝2是函数f (x )的唯一一个极值点，则实数k 的取值范围为( )A ．(－∞，e]B ．[0，e]C ．(－∞，e)D ．[0，e)第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题、第（23）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．第16题第一空2分，第二空3分．把答案填在答题卡上的相应位置．13．某四面体的三视图由如图所示的三个直角三角形构成，则该四面体六条棱长最长的为________.14．(x y －y x )4的展开式中，x 3y 3项的系数为________．15．设a ∈R ，若函数y ＝e x＋ax 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是________．16．已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，M 是抛物线C 上一点，若FM 的延长线交x 轴的正半轴于点N ，交抛物线C 的准线l 于点T ，且FM →＝MN →，则|NT |＝________.三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2的最小正周期是π，且当x ＝π6时，f (x )取得最大值2.(1)求f (x )的解析式；(2)作出f (x )在[0，π]上的图象(要列表)．18．（本小题满分12分）某投资公司在2019年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．19．（本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点.(1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； (2)求证：C 1F ∥平面ABE ； (3)求三棱锥E －ABC 的体积.20．（本小题满分12分）设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知1|OF |＋1|OA |＝3e |FA |，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝ax －e x(a ∈R )，g (x )＝ln x x.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)∃x ∈(0，＋∞)，使不等式f (x )≤g (x )－e x成立，求a 的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 1上的点按坐标变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝32x ＋23，y ′＝3y ＋2得到曲线C 2，以原点为极点、x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若直线θ＝π4(ρ∈R )与曲线C 1交于M ，N 两点，与曲线C 2交于P ，Q 两点，求|PQ ||MN |的值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 (1)已知x ，y 均为正数，且x >y ，求证：2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3；(2)设a ，b ，c >0且ab ＋bc ＋ca ＝1，求证：a ＋b ＋c ≥ 3.。
江西省抚州市临川第一中学等2020届高三上学期第一次联考数学(理)试题 Word版含解析
2019—2020届临川一中上学期第一次联合考试高三数学试题（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若21iz i-=+，则z z ⋅=（ ） A. -2 B. 2C.52D. 52-【答案】C 【解析】 【分析】根据共轭复数的性质可知2||z z z ⋅=，直接利用复数模的性质即可求解. 【详解】因为21iz i-=+， 所以|2|510|||1|22i z i -===+ 2105||42z z z ⋅===，故选C. 【点睛】本题主要考查了复数模的性质，共轭复数的性质，属于中档题.2.设集合{}2A x x a =>，{}32B x x a =<-，若A B =∅I，则a 的取值范围为（ ）A. ()1,2B. ()(),12,-∞⋃+∞C. []1,2D. (][),12,-∞+∞U【答案】D 【解析】 【分析】集合的交集运算即求两个集合的公共元素，A B =∅I 说明集合,A B 没有公共元素，借助于数轴列式计算．【详解】因为A B φ⋂=，所以232a a ≥-，解得1a ≤或2a ≥. 【点睛】本题考查集合的交集运算，考查运算求解能力与推理论证能力.3.设,a b ∈R ，则“()20a b a ->”是“a b >”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分、必要条件的定义即可判断。
【详解】()20a b a ->，因为0a ≠，可推出a b >；a b >时，若0a =，则无法推出()20a b a ->，所以“()20a b a ->”是“a b >”的充分不必要条件，故选A 。
【点睛】本题主要考查分、必要条件的定义的应用。
4.若函数()ln f x ax x =-的图象上存在与直线240x y +-=垂直的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()2,-+∞ B. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C. 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D. ()2,+∞【答案】D 【解析】 【分析】函数()ln f x ax x =-的图象上存在与直线240x y +-=垂直的切线,即()2f x '=有解，转化为12,0a x x=+>有解即可求出. 【详解】因为函数()ln f x ax x =-的图象上存在与直线240x y +-=垂直的切线， 所以函数()ln f x ax x =-的图象上存在斜率为2的切线， 故()12k f x a x'==-=有解， 所以12,0a x x =+>有解， 因为12,0y x x=+>的值域为(2,)+∞所以(2,)a ∈+∞.【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，方程有根的问题，转化思想，属于中档题.5.若0x >，0y <，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 222xyx -> B.()1222log 1x y x ->+ C. 221x y x ->+ D. 221x y x ->-【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的性质结合特殊值可得正确答案. 【详解】A 选项，取2,1x y ==-，不等式不成立； B 选项，0,0x y ><Q22,220x y x y ∴>->0,x >Q∴()12log 10x +<∴()1222log 1x yx ->+故B 正确；C 选项，取1,1x y ==-，不等式不成立，D 选项，当0x →， 21x →，11x -→，当0y <且0y →，21y →，所以220x y -→，而11x -→，所以不等式不成立.【点睛】本题主要考查了指数、对数函数性质，以及与不等式的交汇，属于中档题.6.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形（另一种是顶角为108︒的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC ∆中，51BC AC -=.根据这些信息，可得sin 234︒=（ ）A.154- B. 358+-C. 514-D.45+ 【答案】C 【解析】 【分析】要求sin 234︒的值，需将角234︒用已知角表示出来，从而考虑用三角恒等变换公式解题．已知角有36︒，正五边形内角108︒，72ACB ∠=︒，已知三角函数值有1512cos72BCAC -︒==，所以234=272+90=144+90︒⨯︒︒︒︒，从而sin 234=cos144︒︒．【详解】由题可知72ACB ∠=︒，且1512cos724BCAC ︒==，251cos1442cos 721+︒=︒-=， 则()51sin 234sin 14490cos144+︒=︒+︒=︒=. 【点睛】本题考查三角恒等变换，考查解读信息与应用信息的能力.7.若函数()()222,1log 1,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，在(],a -∞上的最大值为4，则a 的取值范围为（ ）A. (]1,17B. (]1,9C. []1,17D. []1,9【答案】C 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性，结合已知条件求解即可.【详解】因为函数()()222,1log 1,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，(,1]x ∈-∞时，函数为增函数，(1,)x ∈+∞时，函数为增函数，且(1)4,(17)4f f == 所以[1,17]a ∈.【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，函数的单调性以及函数的最值求法，属于中档题.8.将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法种数是( ) A. 40 B. 60 C. 80 D. 100【答案】A 【解析】解：三个小球放入盒子是不对号入座的方法有2 种，由排列组合的知识可得，不同的放法总数是：36240C = 种.本题选择A 选项.9.执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m 的取值范围是（ ）A. (3042]，B. (30,42)C. (42,56]D. (42,56)【答案】A 【解析】依次运行程序框图中的程序可得：第一次，0212,2S k =+⨯==，满足条件，继续运行； 第二次，2226,3S k =+⨯==，满足条件，继续运行； 第三次，62312,4S k =+⨯==，满足条件，继续运行； 第四次，122420,5S k =+⨯==，满足条件，继续运行； 第五次，202530,6S k =+⨯==，满足条件，继续运行；第六次，302642,7S k =+⨯==，不满足条件，停止运行，输出7． 故判断框内m 的取值范围为3042m <≤．选A ．10.已知1F ，2F 为椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个焦点，B 为椭圆短轴的一个端点，2121214BF BF F F ⋅≥uuu r uuu r uuu u r ，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A. 1(0,]2B. 2(0,2C. 3(0,]3D. 1(,1)2【答案】C【解析】 【分析】用,,a b c 表示出21212,BF BF F F ⋅uuu r uuu r uuu u r ，解出不等式得出e 的范围. 【详解】由椭圆定义可知：12BF BF a ==，12OF OF c ==，则1sin cOBF e a∠==， 所以22121cos 12sin 12F BF OBF e ∠=-∠=-，因为2121214BF BF F F ⋅≥uuu r uuu r uuu u r ，即222(12)e a c -≥，22(12)e e -≥，即213e ≤.303e ∴<≤. 【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质，平面向量的数量积运算，属于中档题.11.设曲线cos y x =与x 轴、y 轴、直线6x π=围成的封闭图形的面积为b ，若()22ln 2g x x bx kx =--在[]1,+∞上的单调递减，则实数k 的取值范围是（ ）A. [)0,+∞B. ()0,∞+C. [)1,+∞ D. ()1,+∞【答案】A 【解析】 【分析】由定积分可以求出b , ()22ln 2g x x bx kx =--在[]1,+∞上单调递减可转化为()0g x '≤在[]1,+∞上恒成立即可求解.【详解】由题意，6601cos sin 2|b xdx x ππ===⎰， 所以()22ln g x x x kx =--，因为()22ln g x x x kx =--在[]1,+∞上的单调递减，所以222()0x kx g x x--+'=≤在[]1,+∞上恒成立，即2()220h x x kx =--+≤在[]1,+∞上恒成立，只需14(1)0k h ⎧-≤⎪⎨⎪≤⎩，解得0k ≥.【点睛】本题主要考查了利用定积分求面积，函数的单调性与导数的关系，不等式的恒成立问题，属于中档题.12.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122a a +=，123n n a S +=+，用[]x 表示不超过x 的最大整数，设[]n n b a =，数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，则使22000n T >成立的最小正整数n 是（） A. 5 B. 6C. 7D. 8【答案】B 【解析】 【分析】利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 通项公式以及前n 项和n S ，利用二项式展开式化简[]n n b a =，求得2212211n n n n b b a a --+=+-，利用分组求和法求得数列{}n b 的前2n 项和2n T ，由此求得使22000n T >成立的最小正整数n 的值. 【详解】令1n =，得2123a a =+，又122a a +=，解得123a =，243a =，又123n n a S +=+，123n n a S -=+，所以12(2)n n a a n +=…，又212a a =，可求得23nn a =，()2213n n S =-.所以01111333(1)(1)2(31)333n n n n n n n n n n n C C C b ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅-⋅++⋅⋅-+--===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L ， 即011211(1)C 3C 3C (1)3n n n n n n nnnb ----⎡⎤-=⋅-⋅++-+⎢⎥⎣⎦L ，所以2(1)(1)33n n n n b ⎡⎤---=+⎢⎥⎣⎦，即22,321,3n n n n b n ⎧-⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数，所以2212211n n n n b b a a --+=+-，因此()2222213nn n T S n n =-=--，当5n =时，1067T =；当6n =时，1227242000T =>.使22000n T >成立的最小正整数n 是6.故选B.【点睛】本题考查等比数列通项公式及前n 项和公式，考查分组求和法，考查推理论证能力和创新意识，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.912x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为______.【答案】212- 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式即可求出. 【详解】因为993rr 22+19911=()()22r rr r r r T C x x C x----=-， 令9302r-=，解得3r =， 所以展开式中常数项为3349121=()22T C -=-. 【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项公式，属于中档题.14.设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且712a a =-，则1197S Sa =+______.【答案】32【解析】 【分析】由712a a =-可得12a d =-，利用前n 项和公式及通项公式即可求解. 【详解】因为712a a =-， 所以120a d =-≠，111111011332S a d d ⨯=+=，91989182S a d d ⨯=+=，7164a a d d =+=， 所以11973331842S d S a d d ==++.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式与前n 项和公式，属于中档题.15.如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD 长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且1AB BC ==，则异面直线PB 与CD 所成角的正切值是______.2 【解析】 【分析】根据三视图画出空间图形的直观图，取AD 中点E ，连接BE ，PE ，CE ，将CD 平移到BE ，根据异面直线所成角的定义可知PBE ∠为异面直线PB 与CD 所成角，在直角三角形PBE ∆中，求出其正切值即可.【详解】作出直观图如图：取AD 中点E ，连接BE ，PE ，CE ， 因为CD //BE ，根据异面直线所成角的定义可知PBE ∠为异面直线PB 与CD 所成角， 由条件知，1,2,PE BE PE BE ==⊥，2tan 22PBE ∴∠==. 【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角，空间图形的三视图，考查了空间想象能力、运算能力，属于中档题.16.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 是双曲线左支上的一点，若直线1AF 与直线by x a=平行且12AF F ∆的周长为9a ，则双曲线的离心率为______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及三角形的周长可求出2111272||,||22a c a cAF AF --==，利用直线1AF 与直线by x a =平行知12cos a AF F c∠=，结合余弦定理即可求解. 【详解】由双曲线定义知21||||2AF AF a -=，又21||||92AF AF a c +=-解得2111272||,||22a c a cAF AF --==， 因为直线1AF 与直线by x a=平行， 所以12tan b AF F a ∠=，故12cos a AF F c∠=， 由余弦定理得：12cos a AF F c∠=222121||4||2||2AF c AF AF c +-=⋅即2211844144e e e e e-++=-，化简得2280e e +-=， 解得2e =或4e =-（舍去）.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，余弦定理，双曲线的离心率，属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，已知()cos 4cos a B c b A =-. （1）求cos A 的值；（2）若4b =，点M 在线段BC 上，2AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r，AM =uuu r ABC ∆的面积.【答案】（1）1cos 4A =；（2）【解析】 【分析】（1）由正弦定理将条件统一为三角函数，化简即可求解（2）2AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r，两边平方可转化为关于c 的方程，求解代入三角形面积公式即可. 【详解】（1）∵()cos 4cos a B c b A =-，由正弦定理得：()sin cos 4sin sin cos A B C B A =-，即sin cos cos sin 4sin cos A B A B C A +=，即sin 4cos sin C A C =， 在ABC ∆中，sin 0C ≠，所以1cos 4A =.（2）2AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r ，两边平方得：22224AB AC AB AC AM ++⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，由4b =，10AM =uuu r ，1cos 4A =，15sin A =得22124104c b c b ++⨯⨯⨯=⨯，可得216240c c ++=， 解得：4c =或6c =-（舍）， 所以ABC ∆的面积1sin 2152S bc A ==. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角恒等变换，向量数量积的性质，三角形面积公式，属于中档题.18.如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，6AB =，23BC =，26AC =，,D E 分别为线段,AB BC 上的点，且2AD DB =，2CE EB =，PD AC ⊥.（1）求证：PD ⊥平面ABC ；（2）若PA 与平面ABC 所成的角为4π，求平面PAC 与平面PDE 所成的锐二面角.【答案】(1)证明见解析；(2)30°. 【解析】 试题分析：（1）由条件可得ABC ∆为直角三角形，且3cos ABC ∠=故由余弦定理可得22CD =所以222CD AD AC +=，从而CD AB ⊥，又由条件可得CD PD ⊥，故PD ⊥平面ABC ．（2）由,,PD CD AB 两两互相垂直可建立空间直角坐标系，结合条件可求得平面PAC 的法向量和平面DEP 的法向量，根据两法向量夹角的余弦值可得锐二面角的大小． 试题解析：（1）证明：连DE ，由题意知4,2AD BD ==． 222,AC BC AB +=Q90.ACB ∴∠=o∴cos 63BC ABC AB ∠=== 在BCD ∆中，由余弦定理得2222?· cos CD BC BD BC BD DBC ∴=+-∠412228.3=+-⨯⨯=CD ∴=222CD AD AC ∴+=,∴90CDA ∠=o , ∴CD AB ⊥,又因为PAB ABC ⊥平面平面， ∴,CD PAB ⊥平面 又PD ⊂PAB 平面，,CD PD ∴⊥又PD AC ⊥，=AC CD C ⋂， ∴PD ⊥平面ABC ．（2）由（1）知,,PD CD AB 两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，由PA 与平面ABC 所成的角为4π，知4PD =， 则()()()()0,4,0,22,0,0,0,2,0,0,0,4A C B P -∴()()()22,2,0,22,4,0,0,4,4CB AC PA =-==--u u u v u u u v u u u v因为2,2,AD DB CE EB ==//,DE AC ∴由（1）知,AC BC ⊥ PD ⊥平面ABC ， ∴ CB ⊥平面DEP∴()22,2,0CB =-u u u v为平面DEP 的一个法向量.设平面PAC 的法向量为(),,n x y z v=，则,,n AC n PA ⎧⊥⎨⊥⎩u u u u v v u u u v v ∴2240440x y y z ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩，令1z =，则2,1x y ==-，∴)2,1,1n =-v为平面PAC 的一个法向量.∴3cos ,2412||n CB n CB n CB ⋅===-⋅u u u v v u u u v vu u v u u u u v 故平面PAC 与平面PDE 3所以平面PAC 与平面PDE 的锐二面角为30o ． 点睛：（1）在建立空间直角坐标系后求平面的法向量时，首先要判断一下条件中是否有垂直于面的直线．若有，则可将直线的方向向量直接作为平面的法向量，以减少运算量．（2）求二面角的余弦值时，在求得两平面法向量夹角的余弦值后，要根据图形判断出二面角是锐角还是钝角，然后再求出二面角的余弦值．19.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率2，一个长轴顶点在直线2y x =+上，若直线l 与椭圆交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为1k ，直线OQ 的斜率为2k . （1）求该椭圆的方程. （2）若1214k k ⋅=-，试问OPQ ∆的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）OPQ ∆的面积为定值1. 【解析】 【分析】（1）根据离心率及长轴即可写出椭圆标准方程（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，求PQ ，点O 到直线y kx m =+的距离21md k =+，写出三角形面积，化简即可求证.【详解】由c e a ==，又由于0a b >>，一个长轴顶点在直线2y x =+上，可得：2a =，c =，1b =.（1）故此椭圆的方程为2214x y +=.（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+， 联立椭圆的方程得：()222418440k x kmx m +++-=， 由()()222264441440k m k m ∆=-+->，可得2241m k <+， 则122841km x x k +=-+，21224441m x x k -⋅=+，12PQ x x=-=，又点O到直线y kx m=+的距离d=，122OPQS d PQ m∆=⋅⋅=，由于2121212121214y y x x mk kx x x x++⋅===-，可得：22421k m=-，故2212OPQS mm∆=⋅=，当直线PQ的斜率不存在时，可算得：1OPQS∆=，故OPQ∆的面积为定值1.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积公式，考查了学生的运算能力及推理能力，属于难题.20.抚州不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着许多旅游景点.每年来抚州参观旅游的人数不胜数.其中，名人园与梦岛被称为抚州的两张名片，为合理配置旅游资源，现对已游览名人园景点的游客进行随机问卷调查.若不去梦岛记1分，若继续去梦岛记2分.每位游客去梦岛的概率均为23，且游客之间的选择意愿相互独立.（1）从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；（2）若从游客中随机抽取m人，记总分恰为m分的概率为m A，求数列{}m A的前6项和；（3）在对所有游客进行随机问卷调查的过程中，记已调查过的累计得分恰为n分的概率为n B，探讨n B与1n B-之间的关系，并求数列{}n B的通项公式.【答案】（1）详见解析；（2）364729；（3）1213n nB B-=-+；322553nnB⎛⎫=+⋅-⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）根据n 次独立重复试验模型可求解（2）总分恰为m 的概率13mm A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,求前6项和即可（3）已调查过的累计得分恰为n 分的概率为n B ，得不到n 分的情况只有先得1n -分，再得2分，概率为123n B -，可得递推关系1213n n B B -=-+，构造等比数列求解即可. 【详解】（1）X 可能取值为3，4，5，6()3113327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()21321643327P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()223211253327P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3286327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， 故其分布列为()5E X =.（2）总分恰为m 的概率13mm A ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 故6611(1)36433172913S -==-.（3）已调查过的累计得分恰为n 分的概率为n B ，得不到n 分的情况只有先得1n -分，再得2分，概率为123n B -，而113B =， 故1213n n B B --=，即1213n n B B -=-+，可得1323535n n B B -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，134515B -=-， 所以13425153n n B -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭可得322553nn B ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了n 次独立重复试验，分布列、期望，等比数列求和，由递推关系式求通项公式，属于难题.21.已知函数()()()22112ln 1ln 242f x x x ax x x =----. （1）讨论()f x 的单调性.（2）试问是否存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析；(2) 存在；a 的取值范围为(]2,e . 【解析】 【分析】（1）()()()ln ln ln 1f x x x a x a x x a x =-+-=--'，()0,x ∈+∞，所以()0f x '=得12,x a x e ==，所以通过对a 与0,e 的大小关系进行分类讨论得()f x 的单调性；(2)假设存在满足题意的a 的值，由题意需()min 13sin 44a f x π>+，所以由(1)的单调性求()min f x 即可；又因为()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立，所以可以考虑从区间[)1,+∞内任取一个x 值代入，解出a 的取值范围，从而将(],a e ∈-∞的范围缩小减少讨论.【详解】解：（1）()()()ln ln ln 1f x x x a x a x x a x =-+-=--'，()0,x ∈+∞. 当a e =时，()()()ln 10f x x e x '=--≥，()f x 在()0,∞+上单调递增当0a ≤时，0x a ->，()f x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增 当0a e <<时，()f x 在(),a e 上单调递减，在()0,a ，(),e +∞上单调递增； 当a e >时，()f x 在(),e a 上单调递减，在()0,e ，(),a +∞上单调递增.（2）假设存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立. 则()31123sin 444a f a π=->+，即8sin1504a a π-->， 设()8sin 154xg x x π=--，则存在(],x e ∈-∞，使得()0g x >， 因为()8cos044xg x ππ='->，所以()g x 在(],x e ∈-∞上单调递增， 因为()20g =，所以()0g x >时2x >即2a >. 又因为()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立时，需()min 13sin 44a f x π>+， 所以由（1）得：当a e =时，()f x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()min 331=2=244f x f a e =--， 且3123sin 444e e π->+成立，从而a e =满足题意. 当2e a <<时，()f x 在(),a e 上单调递减，在[)1,a ，(),e +∞上单调递增，所以()()2113sin ,4413sin ,444a f e a f e ea ππ⎧>+⎪⎪⎨⎪=->+⎪⎩所以22,4sin 1204a a ea e π>⎧⎪⎨--->⎪⎩（*） 设()()24sin 1242xh x ex e x e π=---<<，()4cos044xh x e ππ=-'>，则()h x 在()2,e 上单调递增，因为()228130h e e =-->，所以()h x 的零点小于2，从而不等式组（*）的解集为()2,+∞， 所以2x e <<即2e a <<.综上，存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立，且a 的取值范围为(]2,e .【点睛】求可导函数()f x 的单调区间的一般步骤是：（1）求定义域；（2）求()f x '；（3）讨论()f x '的零点是否存在；若()f x '的零点有多个，需讨论它们的大小关系及是否在定义域内；（4）判断()f x '在每个区间内的正负号，得()f x 的单调区间.当()f x a >在区间D 上恒成立时，需()min f x a >.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（[0,2),απα∈为参数），在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换'2,'x x y y=⎧⎨=⎩得到曲线1C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（ρ为极径，θ为极角）．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和曲线1C 的极坐标方程；（Ⅱ）若射线():0OA θβρ=>与曲线1C 交于点A ，射线():02OB πθβρ=+>与曲线1C 交于点B ，求2211OAOB +的值． 【答案】（Ⅰ）224x y +=，2222416cos sin ρθρθ+=；（Ⅱ）516. 【解析】【分析】 （Ⅰ）消去参数，求得曲线C 的直角方程为224x y +=，再根据图象的变换公式，即可求解曲线1C 的方程，进而得到其极坐标方程；（Ⅱ）将()0θβρ=>代入2222416cos sin ρθρθ+=，根据极坐标中极经的几何意义，即可求解。
江西省抚州市临川第一中学等2020届高三数学上学期第一次联考试题理(含解析)
江西省抚州市临川第一中学等2020届高三数学上学期第一次联考试题 理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若21iz i-=+，则z z ⋅=（ ） A. -2 B. 2C.52D. 52-【答案】C 【解析】 【分析】根据共轭复数的性质可知2||z z z ⋅=，直接利用复数模的性质即可求解. 【详解】因为21iz i-=+，所以|2||||1|i z i -===+ 2105||42z z z ⋅===，故选C. 【点睛】本题主要考查了复数模的性质，共轭复数的性质，属于中档题.2.设集合{}2A x x a =>，{}32B x x a =<-，若A B =∅I，则a 的取值范围为（ ）A. ()1,2B. ()(),12,-∞⋃+∞C. []1,2D. (][),12,-∞+∞U【答案】D 【解析】 【分析】集合的交集运算即求两个集合的公共元素，A B =∅I 说明集合,A B 没有公共元素，借助于数轴列式计算．【详解】因为A B φ⋂=，所以232a a ≥-，解得1a ≤或2a ≥.【点睛】本题考查集合的交集运算，考查运算求解能力与推理论证能力.3.设,a b ∈R ，则“()20a b a ->”是“a b >”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分、必要条件的定义即可判断。
【详解】()20a b a ->，因为0a ≠，可推出a b >；a b >时，若0a =，则无法推出()20a b a ->，所以“()20a b a ->”是“a b >”的充分不必要条件，故选A 。
【点睛】本题主要考查分、必要条件的定义的应用。
4.若函数()ln f x ax x =-的图象上存在与直线240x y +-=垂直的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()2,-+∞ B. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C. 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D. ()2,+∞【答案】D 【解析】 【分析】函数()ln f x ax x =-的图象上存在与直线240x y +-=垂直的切线,即()2f x '=有解，转化为12,0a x x=+>有解即可求出. 【详解】因为函数()ln f x ax x =-的图象上存在与直线240x y +-=垂直的切线， 所以函数()ln f x ax x =-的图象上存在斜率为2的切线， 故()12k f x a x'==-=有解， 所以12,0a x x=+>有解，因为12,0y x x=+>的值域为(2,)+∞ 所以(2,)a ∈+∞.【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，方程有根的问题，转化思想，属于中档题.5.若0x >，0y <，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 222x y x -> B. ()1222log 1xyx ->+C. 221x y x ->+D. 221x y x ->-【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的性质结合特殊值可得正确答案. 【详解】A 选项，取2,1x y ==-，不等式不成立； B 选项，0,0x y ><Q22,220x y x y ∴>->0,x >Q∴()12log 10x +<∴()1222log 1x yx ->+故B 正确；C 选项，取1,1x y ==-，不等式不成立，D 选项，当0x →， 21x →，11x -→，当0y <且0y →，21y →，所以220x y -→，而11x -→，所以不等式不成立.【点睛】本题主要考查了指数、对数函数性质，以及与不等式的交汇，属于中档题.6.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形（另一种是顶角为108︒的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC ∆中，51BC AC -=.根据这些信息，可得sin 234︒=（ ）A.154- B. 358+-C. 514-D.45+ 【答案】C 【解析】 【分析】要求sin 234︒的值，需将角234︒用已知角表示出来，从而考虑用三角恒等变换公式解题．已知角有36︒，正五边形内角108︒，72ACB ∠=︒，已知三角函数值有1512cos724BCAC ︒==，所以234=272+90=144+90︒⨯︒︒︒︒，从而sin 234=cos144︒︒． 【详解】由题可知72ACB ∠=︒，且1512cos724BCAC ︒==，251cos1442cos 721+︒=︒-=， 则()51sin 234sin 14490cos144+︒=︒+︒=︒=. 【点睛】本题考查三角恒等变换，考查解读信息与应用信息的能力.7.若函数()()222,1log 1,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，在(],a -∞上的最大值为4，则a 的取值范围为（ ）A. (]1,17B. (]1,9C. []1,17D. []1,9【答案】C 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性，结合已知条件求解即可.【详解】因为函数()()222,1log 1,1xx f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，(,1]x ∈-∞时，函数为增函数，(1,)x ∈+∞时，函数为增函数，且(1)4,(17)4f f == 所以[1,17]a ∈.【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，函数的单调性以及函数的最值求法，属于中档题.8.将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法种数是( ) A. 40 B. 60 C. 80 D. 100【答案】A 【解析】解：三个小球放入盒子是不对号入座的方法有2 种，由排列组合的知识可得，不同的放法总数是：36240C = 种.本题选择A 选项.9.执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m 的取值范围是（ ）A. (3042]，B. (30,42)C. (42,56]D. (42,56)【答案】A 【解析】依次运行程序框图中的程序可得：第一次，0212,2S k =+⨯==，满足条件，继续运行； 第二次，2226,3S k =+⨯==，满足条件，继续运行； 第三次，62312,4S k =+⨯==，满足条件，继续运行； 第四次，122420,5S k =+⨯==，满足条件，继续运行； 第五次，202530,6S k =+⨯==，满足条件，继续运行；第六次，302642,7S k =+⨯==，不满足条件，停止运行，输出7． 故判断框内m 的取值范围为3042m <≤．选A ．10.已知1F ，2F 为椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个焦点，B 为椭圆短轴的一个端点，2121214BF BF F F ⋅≥uuu r uuu r uuu u r ，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A. 1(0,]2B. 2(0,2C. 3(0,]3D. 1(,1)2【答案】C【解析】 【分析】用,,a b c 表示出21212,BF BF F F ⋅uuu r uuu r uuu u r ，解出不等式得出e 的范围. 【详解】由椭圆定义可知：12BF BF a ==，12OF OF c ==，则1sin cOBF e a∠==， 所以22121cos 12sin 12F BF OBF e ∠=-∠=-，因为2121214BF BF F F ⋅≥uuu r uuu r uuu u r ，即222(12)e a c -≥，22(12)e e -≥，即213e ≤.303e ∴<≤. 【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质，平面向量的数量积运算，属于中档题.11.设曲线cos y x =与x 轴、y 轴、直线6x π=围成的封闭图形的面积为b ，若()22ln 2g x x bx kx =--在[]1,+∞上的单调递减，则实数k 的取值范围是（ ）A. [)0,+∞B. ()0,∞+C. [)1,+∞ D. ()1,+∞【答案】A 【解析】 【分析】由定积分可以求出b , ()22ln 2g x x bx kx =--在[]1,+∞上单调递减可转化为()0g x '≤在[]1,+∞上恒成立即可求解.【详解】由题意，6601cos sin 2|b xdx x ππ===⎰， 所以()22ln g x x x kx =--，因为()22ln g x x x kx =--在[]1,+∞上的单调递减，所以222()0x kx g x x--+'=≤在[]1,+∞上恒成立，即2()220h x x kx =--+≤在[]1,+∞上恒成立，只需14(1)0k h ⎧-≤⎪⎨⎪≤⎩，解得0k ≥.【点睛】本题主要考查了利用定积分求面积，函数的单调性与导数的关系，不等式的恒成立问题，属于中档题.12.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122a a +=，123n n a S +=+，用[]x 表示不超过x 的最大整数，设[]n n b a =，数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，则使22000n T >成立的最小正整数n 是（） A. 5 B. 6C. 7D. 8【答案】B 【解析】 【分析】利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 通项公式以及前n 项和n S ，利用二项式展开式化简[]n n b a =，求得2212211n n n n b b a a --+=+-，利用分组求和法求得数列{}n b 的前2n 项和2n T ，由此求得使22000n T >成立的最小正整数n 的值. 【详解】令1n =，得2123a a =+，又122a a +=，解得123a =，243a =，又123n n a S +=+，123n n a S -=+，所以12(2)n n a a n +=…，又212a a =，可求得23nn a =，()2213n n S =-.所以01111333(1)(1)2(31)333n n n n n n n n n n n C C C b ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅-⋅++⋅⋅-+--===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L ， 即011211(1)C 3C 3C (1)3n n n n n n nnnb ----⎡⎤-=⋅-⋅++-+⎢⎥⎣⎦L ，所以2(1)(1)33n n n n b ⎡⎤---=+⎢⎥⎣⎦，即22,321,3n n n n b n ⎧-⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数，所以2212211n n n n b b a a --+=+-，因此()2222213nn n T S n n =-=--，当5n =时，1067T =；当6n =时，1227242000T =>.使22000n T >成立的最小正整数n 是6.故选B.【点睛】本题考查等比数列通项公式及前n 项和公式，考查分组求和法，考查推理论证能力和创新意识，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.912x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为______.【答案】212- 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式即可求出. 【详解】因为993rr 22+19911=()()22r rr r r r T C x x C x----=-， 令9302r-=，解得3r =， 所以展开式中常数项为3349121=()22T C -=-. 【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项公式，属于中档题.14.设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且712a a =-，则1197S Sa =+______.【答案】32【解析】 【分析】由712a a =-可得12a d =-，利用前n 项和公式及通项公式即可求解. 【详解】因为712a a =-， 所以120a d =-≠，111111011332S a d d ⨯=+=，91989182S a d d ⨯=+=，7164a a d d =+=， 所以11973331842S d S a d d ==++.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式与前n 项和公式，属于中档题.15.如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD 长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且1AB BC ==，则异面直线PB 与CD 所成角的正切值是______.2 【解析】 【分析】根据三视图画出空间图形的直观图，取AD 中点E ，连接BE ，PE ，CE ，将CD 平移到BE ，根据异面直线所成角的定义可知PBE ∠为异面直线PB 与CD 所成角，在直角三角形PBE ∆中，求出其正切值即可.【详解】作出直观图如图：取AD 中点E ，连接BE ，PE ，CE ， 因为CD //BE ，根据异面直线所成角的定义可知PBE ∠为异面直线PB 与CD 所成角， 由条件知，1,2,PE BE PE BE ==⊥，2tan 22PBE ∴∠==. 【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角，空间图形的三视图，考查了空间想象能力、运算能力，属于中档题.16.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 是双曲线左支上的一点，若直线1AF 与直线by x a=平行且12AF F ∆的周长为9a ，则双曲线的离心率为______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及三角形的周长可求出2111272||,||22a c a cAF AF --==，利用直线1AF 与直线by x a =平行知12cos a AF F c∠=，结合余弦定理即可求解. 【详解】由双曲线定义知21||||2AF AF a -=，又21||||92AF AF a c +=-解得2111272||,||22a c a cAF AF --==， 因为直线1AF 与直线by x a=平行， 所以12tan b AF F a ∠=，故12cos a AF F c∠=， 由余弦定理得：12cos a AF F c∠=222121||4||2||2AF c AF AF c +-=⋅即2211844144e e e e e-++=-，化简得2280e e +-=， 解得2e =或4e =-（舍去）.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，余弦定理，双曲线的离心率，属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，已知()cos 4cos a B c b A =-. （1）求cos A 的值；（2）若4b =，点M 在线段BC 上，2AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r，AM =uuu r ABC ∆的面积.【答案】（1）1cos 4A =；（2）【解析】 【分析】（1）由正弦定理将条件统一为三角函数，化简即可求解（2）2AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r，两边平方可转化为关于c 的方程，求解代入三角形面积公式即可. 【详解】（1）∵()cos 4cos a B c b A =-，由正弦定理得：()sin cos 4sin sin cos A B C B A =-，即sin cos cos sin 4sin cos A B A B C A +=，即sin 4cos sin C A C =， 在ABC ∆中，sin 0C ≠，所以1cos 4A =.（2）2AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r ，两边平方得：22224AB AC AB AC AM ++⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，由4b =，10AM =uuu r ，1cos 4A =，15sin A =得22124104c b c b ++⨯⨯⨯=⨯，可得216240c c ++=， 解得：4c =或6c =-（舍）， 所以ABC ∆的面积1sin 2152S bc A ==. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角恒等变换，向量数量积的性质，三角形面积公式，属于中档题.18.如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，6AB =，23BC =，26AC =，,D E 分别为线段,AB BC 上的点，且2AD DB =，2CE EB =，PD AC ⊥.（1）求证：PD ⊥平面ABC ；（2）若PA 与平面ABC 所成的角为4π，求平面PAC 与平面PDE 所成的锐二面角.【答案】(1)证明见解析；(2)30°. 【解析】 试题分析：（1）由条件可得ABC ∆为直角三角形，且3cos ABC ∠=故由余弦定理可得22CD =所以222CD AD AC +=，从而CD AB ⊥，又由条件可得CD PD ⊥，故PD ⊥平面ABC ．（2）由,,PD CD AB 两两互相垂直可建立空间直角坐标系，结合条件可求得平面PAC 的法向量和平面DEP 的法向量，根据两法向量夹角的余弦值可得锐二面角的大小． 试题解析：（1）证明：连DE ，由题意知4,2AD BD ==． 222,AC BC AB +=Q90.ACB ∴∠=o∴cos 63BC ABC AB ∠=== 在BCD ∆中，由余弦定理得2222?· cos CD BC BD BC BD DBC ∴=+-∠412228.3=+-⨯⨯=CD ∴=222CD AD AC ∴+=,∴90CDA ∠=o , ∴CD AB ⊥,又因为PAB ABC ⊥平面平面， ∴,CD PAB ⊥平面 又PD ⊂PAB 平面，,CD PD ∴⊥又PD AC ⊥，=AC CD C ⋂， ∴PD ⊥平面ABC ．（2）由（1）知,,PD CD AB 两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，由PA 与平面ABC 所成的角为4π，知4PD =， 则()()()()0,4,0,22,0,0,0,2,0,0,0,4A C B P -∴()()()22,2,0,22,4,0,0,4,4CB AC PA =-==--u u u v u u u v u u u v因为2,2,AD DB CE EB ==//,DE AC ∴由（1）知,AC BC ⊥ PD ⊥平面ABC ， ∴ CB ⊥平面DEP∴()22,2,0CB =-u u u v为平面DEP 的一个法向量.设平面PAC 的法向量为(),,n x y z v=，则,,n AC n PA ⎧⊥⎨⊥⎩u u u u v v u u u v v ∴2240440x y y z ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩，令1z =，则2,1x y ==-，∴)2,1,1n =-v为平面PAC 的一个法向量.∴3cos ,2412||n CB n CB n CB ⋅===-⋅u u u v v u u u v vu u v u u u u v 故平面PAC 与平面PDE 3所以平面PAC 与平面PDE 的锐二面角为30o ． 点睛：（1）在建立空间直角坐标系后求平面的法向量时，首先要判断一下条件中是否有垂直于面的直线．若有，则可将直线的方向向量直接作为平面的法向量，以减少运算量．（2）求二面角的余弦值时，在求得两平面法向量夹角的余弦值后，要根据图形判断出二面角是锐角还是钝角，然后再求出二面角的余弦值．19.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率2，一个长轴顶点在直线2y x =+上，若直线l 与椭圆交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为1k ，直线OQ 的斜率为2k . （1）求该椭圆的方程. （2）若1214k k ⋅=-，试问OPQ ∆的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）OPQ ∆的面积为定值1. 【解析】 【分析】（1）根据离心率及长轴即可写出椭圆标准方程（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，求PQ ，点O 到直线y kx m =+的距离21md k =+，写出三角形面积，化简即可求证.【详解】由c e a ==，又由于0a b >>，一个长轴顶点在直线2y x =+上，可得：2a =，c =，1b =.（1）故此椭圆的方程为2214x y +=.（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+， 联立椭圆的方程得：()222418440k x kmx m +++-=， 由()()222264441440k m k m ∆=-+->，可得2241m k <+， 则122841km x x k +=-+，21224441m x x k -⋅=+，12PQ x x=-=，又点O到直线y kx m=+的距离d=，122OPQS d PQ m∆=⋅⋅=，由于2121212121214y y x x mk kx x x x++⋅===-，可得：22421k m=-，故2212OPQS mm∆=⋅=，当直线PQ的斜率不存在时，可算得：1OPQS∆=，故OPQ∆的面积为定值1.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积公式，考查了学生的运算能力及推理能力，属于难题.20.抚州不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着许多旅游景点.每年来抚州参观旅游的人数不胜数.其中，名人园与梦岛被称为抚州的两张名片，为合理配置旅游资源，现对已游览名人园景点的游客进行随机问卷调查.若不去梦岛记1分，若继续去梦岛记2分.每位游客去梦岛的概率均为23，且游客之间的选择意愿相互独立.（1）从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；（2）若从游客中随机抽取m人，记总分恰为m分的概率为m A，求数列{}m A的前6项和；（3）在对所有游客进行随机问卷调查的过程中，记已调查过的累计得分恰为n分的概率为n B，探讨n B与1n B-之间的关系，并求数列{}n B的通项公式.【答案】（1）详见解析；（2）364729；（3）1213n nB B-=-+；322553nnB⎛⎫=+⋅-⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）根据n 次独立重复试验模型可求解（2）总分恰为m 的概率13mm A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,求前6项和即可（3）已调查过的累计得分恰为n 分的概率为n B ，得不到n 分的情况只有先得1n -分，再得2分，概率为123n B -，可得递推关系1213n n B B -=-+，构造等比数列求解即可. 【详解】（1）X 可能取值为3，4，5，6()3113327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()21321643327P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()223211253327P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3286327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， 故其分布列为()5E X =.（2）总分恰为m 的概率13mm A ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 故6611(1)36433172913S -==-.（3）已调查过的累计得分恰为n 分的概率为n B ，得不到n 分的情况只有先得1n -分，再得2分，概率为123n B -，而113B =， 故1213n n B B --=，即1213n n B B -=-+，可得1323535n n B B -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，134515B -=-， 所以13425153n n B -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭可得322553nn B ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了n 次独立重复试验，分布列、期望，等比数列求和，由递推关系式求通项公式，属于难题.21.已知函数()()()22112ln 1ln 242f x x x ax x x =----. （1）讨论()f x 的单调性.（2）试问是否存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析；(2) 存在；a 的取值范围为(]2,e . 【解析】 【分析】（1）()()()ln ln ln 1f x x x a x a x x a x =-+-=--'，()0,x ∈+∞，所以()0f x '=得12,x a x e ==，所以通过对a 与0,e 的大小关系进行分类讨论得()f x 的单调性；(2)假设存在满足题意的a 的值，由题意需()min 13sin 44a f x π>+，所以由(1)的单调性求()min f x 即可；又因为()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立，所以可以考虑从区间[)1,+∞内任取一个x 值代入，解出a 的取值范围，从而将(],a e ∈-∞的范围缩小减少讨论.【详解】解：（1）()()()ln ln ln 1f x x x a x a x x a x =-+-=--'，()0,x ∈+∞. 当a e =时，()()()ln 10f x x e x '=--≥，()f x 在()0,∞+上单调递增当0a ≤时，0x a ->，()f x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增 当0a e <<时，()f x 在(),a e 上单调递减，在()0,a ，(),e +∞上单调递增； 当a e >时，()f x 在(),e a 上单调递减，在()0,e ，(),a +∞上单调递增.（2）假设存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立. 则()31123sin 444a f a π=->+，即8sin1504a a π-->， 设()8sin 154xg x x π=--，则存在(],x e ∈-∞，使得()0g x >， 因为()8cos044xg x ππ='->，所以()g x 在(],x e ∈-∞上单调递增， 因为()20g =，所以()0g x >时2x >即2a >. 又因为()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立时，需()min 13sin 44a f x π>+， 所以由（1）得：当a e =时，()f x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()min 331=2=244f x f a e =--， 且3123sin 444e e π->+成立，从而a e =满足题意. 当2e a <<时，()f x 在(),a e 上单调递减，在[)1,a ，(),e +∞上单调递增，所以()()2113sin ,4413sin ,444a f e a f e ea ππ⎧>+⎪⎪⎨⎪=->+⎪⎩所以22,4sin 1204a a ea e π>⎧⎪⎨--->⎪⎩（*） 设()()24sin 1242xh x ex e x e π=---<<，()4cos044xh x e ππ=-'>，则()h x 在()2,e 上单调递增，因为()228130h e e =-->，所以()h x 的零点小于2，从而不等式组（*）的解集为()2,+∞， 所以2x e <<即2e a <<.综上，存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立，且a 的取值范围为(]2,e .【点睛】求可导函数()f x 的单调区间的一般步骤是：（1）求定义域；（2）求()f x '；（3）讨论()f x '的零点是否存在；若()f x '的零点有多个，需讨论它们的大小关系及是否在定义域内；（4）判断()f x '在每个区间内的正负号，得()f x 的单调区间.当()f x a >在区间D 上恒成立时，需()min f x a >.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（[0,2),απα∈为参数），在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换'2,'x x y y=⎧⎨=⎩得到曲线1C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（ρ为极径，θ为极角）．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和曲线1C 的极坐标方程；（Ⅱ）若射线():0OA θβρ=>与曲线1C 交于点A ，射线():02OB πθβρ=+>与曲线1C 交于点B ，求2211OAOB +的值． 【答案】（Ⅰ）224x y +=，2222416cos sin ρθρθ+=；（Ⅱ）516. 【解析】【分析】 （Ⅰ）消去参数，求得曲线C 的直角方程为224x y +=，再根据图象的变换公式，即可求解曲线1C 的方程，进而得到其极坐标方程；（Ⅱ）将()0θβρ=>代入2222416cos sin ρθρθ+=，根据极坐标中极经的几何意义，即可求解。
临川区高三数学第一次模拟考试试题 理(扫描版)(2021学年)
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江西省抚州市临川区2017届高三数学第一次模拟考试试题理（扫描版）。
江西省抚州市第一中学2020届高三下学期3月综合模拟考试 数学(理)试题(PDF版缺答案)
的体积是
A. 36
B. 45
C. 54
D. 63
10.
已知双曲线⺁2 2
2
2 ꅘ 1
䀀 0 䀀 0 的离心率为 2， 1， 2分别是双曲线的左、右焦点，点
0，
0 ，点 P 为线段 MN 上的动点，当 1 2取得最小值和最大值时， 1 2的面积分别为 1， 2，
则 1ꅘ 2
A. 4
B. 8
11. 设函数 ⺁ 在定义域 0
B. 1
C. 0
D. 2
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13.
⺁
1 ⺁
2 4的展开式中⺁2的系数为____________．
14. 设 x， ，向量 ꅘ ⺁ 1 ， ꅘ 2 ，ܿ ꅘ 2 2 ，且 ܿ， ܿ，则
15. 在三棱锥
鳸ᛏ 中，已知 鳸 ꅘ 鳸ᛏ ꅘ ᛏ ꅘ 2 ꅘ 2 ᛏ ꅘ 6，且平面
1ᛏ. 如图，在四面体 ABCD 中， ᛏ
，平面 ᛏ 平面 ABC， ꅘ 鳸 ꅘ 2 鳸，且 ᛏ 鳸 ꅘ 4．
2
1 证明： 鳸 平面 ABD；
2 设 E 为棱 AC 的中点，当四面体 ABCD 的体积取得最大值时，求二面角 鳸 ᛏ 的余弦值．
2
20. 已知顶点为原点的抛物线 C 的焦点与椭圆 2
⺁2 ꅘ 1 a>1 的上焦点重合，且过点 2 2 1 ．
ꅘ1
2
3
，则 6 ꅘ
A. 6
B. 16
C. 32
D. 64
ᛏ. 榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式．广泛
用于建筑，同时也广泛用于家具．我国的北京紫禁城，山西悬空寺，福建宁德的廊桥等建筑都用到了
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江西省抚州市临川区第一中学 2018届高三高考仿真模拟 数学（理）试题 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则的虚部是（ ） A．-1 B． 1 C．-2 D．2 2．已知集合{|05}AxRx，2{|log2}BxRx，则（ ） A． B． C． D. 3．已知公差不为0的等差数列满足成等比数列，Sn为数列的前n项和，则的值为( ) A．2 B．-2 C．3 D．-3 4. 阅读程序框图，该算法的功能是输出（ ）
A．数列 的前 项的和 B．数列的第项 C. 数列的前项的和 D．数列的第项 5.已知向量，则“”是“与夹角为锐角”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
） 图象大致为（1)(．6的函数xexxf A. B. C. D. 7.已知函数()3cos(2)cos22fxxx,若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数的图象( ) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
8.在满足条件21031070xyxyxy的区域内任取一点，则点满足不等式的概率为（ ） A. B. C. D. 9.《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撒侨任务的故事.撒侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A必须排在前三位，且任务E、F必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有( ) A．240种 B．188种 C.156种 D．120种
2222CO10:1AxyCabA已知双曲线的右顶．原点，以为圆心的圆与点为，为标双曲线坐
的某一
条渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=且，则双曲线C的离心率为（ ） A．2 B． C． D．3
11.已知动点在直线上，动点在圆22:2220Cxyxy上，若，则的最大值为（ ） A．2 B．4 C.5 D．6 12.对于任意的实数，总存在三个不同的实数，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题：本题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题卡上. 13. 已知向量与的夹角为，且，，则 ． 14.若321(1)()()nyxnNxy的展开式中存在常数项，则常数项为 ． 15.如下图，现有一个为圆心角、湖岸与为半径的扇形湖面，现欲在弧上取不同于的点，用渔网沿着弧（弧在扇形的弧上），半径和线段（其中），在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ，若， ， ，求所需渔网长度（即图中弧，半径和线段长度之和）的最大值为__________．
16.某多面体的三视图如上图所示，则该多面体外接球的体积为 ． 三、解答题 （共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 若函数13sincoscos2fxxxx，其中，函数的图象与直线相切，切点的横坐标依次组成公差为的等差数列，且为偶函数. （1）试确定函数的解析式与的值； （2）在中，三边的对角分别为，且满足，的面积为，试求的最小值. 18.某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．据统计，该基地的西红柿增加量（百斤）与使用某种液体肥料（千克）之间对应数据为如图所示的折线图．
（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合与的关系？请计算相关系数并加以说明（精确 到0.01）；（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合） （2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量限制，并有如表关系：
若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．以过去50周的周光照量的频率作为周光照量发生的概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？
附：相关系数公式12211()()()()niiinniiiixxyyrxxyy，参考数据，．
19.如图，在长方形中，，，现将沿折起，使折到的位置且在面的射影恰好在线段上. （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求锐二面角的余弦值.
20.已知椭圆01:2222babyaxE的焦距为，，圆)0(:222rryxO与轴交于点为椭圆上的动点，PMNaPNPM,2面积最大值为. （1）求圆与椭圆的方程； （2）圆的切线交椭圆于点，求的取值范围.
21.已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）设函数，若在上存在极值，求的取值范围，并判断极值的正负． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
平面直角坐标系中，直线的参数方程为131xtyt（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）写出直线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程； （2）已知与直线平行的直线过点，且与曲线交于两点，试求．
23.选修4-5：不等式选讲 已知不等式. （1）若，求不等式的解集； （2）若不等式的解集不是空集，且，求满足条件的最小整数的值. 临川一中2018届高三年级全真模拟考试 数学（理科）答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D A D A C C B D B C A 二、填空题 13. 2 14.-84 15. 三、解答题
17.解析：（ 1）2133sincoscossin2222fxxxxx 1cos2131sin2cos22sin2222226xxxx
由函数
的图象与直线相切可得．...................3分 ∵为偶函数，∴262kkZ，∴， ∵， ∴，由题意可得， ∴，
∴函数的解析式为sin2cos22fxxx．...................6分 （2）由（1）知函数， ∵， ∴，又， ∴，
∵1123sinsin22312ABCSabCabc， ∴，...................9分 根据余弦定理可得222232cos3ababab， ∴222292ababababab， ∴，当且仅当时，取等号，故的最小值为．...................12分 18.解：（1）由已知数据可得2456855x，3444545y，....2分
因为51()()(3)(1)000316iiixxyy， 5222222
1()(3)(1)01325iixx
， 5222222
1()(1)00012ijyy
，
所以相关系数12211()()()()niiinniiijxxyyrxxyy690.9510252， 因为，所以可用线性回归模型拟合与的关系．..................6分 （2）记商家周总利润为元，由条件可知至少需要安装1台，最多安装3台光照控制仪． ①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元； ②安装2台光照控制仪的情形： 当时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润300010002000Y元， 当时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润元， 故的分布列为： 2000 6000 0.2 0.8 所以()20000.260000.85200EY ③安装3台光照控制仪的情形： ()10000.250000.790000.14600EY元．
综上可知，为使商家周利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪．...........12分 19.（Ⅰ）由题知平面，又平面，∴； 又且，∴平面； 又平面，∴； 又且，∴平面； 又平面，所以..................5分
（Ⅱ）在中，,由射影定理知，. 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系. 则,，,，，, 设是平面的一个法向量，
则mPCmEP，∴00mPCmEP，即(,,)(2,3,3)0(,,)(0,0,3)0xyzxyz，
即23300xyzz，取320xyz，所以； 设是平面的一个法向量， 则nPCnPB，∴00nPCnPB，即(,,)(2,3,3)0(,,)(0,3,3)0abcabc，
即2330330abcbc，取013abc，所以； 设锐二面角的大小为， 则213coscos,13134mnmnmn 所以锐二面角余弦值为....................12分 20.解：（1）因为，所以.① 因为，所以点为椭圆的焦点，所以. 设，则，所以0021yayrSPMN. 当时，321maxabSPMN，② 由①，②解得，所以，. 所以圆的方程为，椭圆的方程为...............5分 （2）①当直线的斜率不存在时，不妨取直线的方程为，解得3),23,1(),23,1(ABBA. ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为),(),,(,2211mkxxBmkxxAmkxy. 因为直线与圆相切，所以，即，.............6分
联立mkxyyx13422，消去可得01248)34(222mkmxxk，