湖北部分重点高中麻城一中新洲一中黄陂一中盘龙校区等高二下学期期中联考数学文试题 word版含答案
湖北省武汉市第二中学、麻城一中高二数学下学期期中试
武汉二中、麻城一中2014-2015学年度下学期期中联考高二（理科）数学试卷考试时间：2015年4月28日上午8：00—10：00 试卷满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．） 1．已知x ，y ∈R ，则“1x y +=”是“14xy ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．函数()ln f x a x x =+在1x =处取到极值，则a 的值为( )A.1-B.12-C.0D.123．函数x x x y sin cos -=在下面哪个区间内是增函数（ ）A. )23,2(ππB.)2,(ππC. )25,23(ππ D. )3,2(ππ4. 若)(,cos sin )(/x f x x x f +=是)(x f 的导函数，要得到)()(2)(/x f x f x g =的图象，需将)2(x f 的图象（ ）A. 向左平移8π个单位B. 向右平移8π个单位 C. 向左平移4π个单位 D. 向右平移4π个单位5. 用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)nn n n n n +++=-L L ····，从k 到1k +，左边需要增乘的代数式为（ ） Ａ．21k +Ｂ．2(21)k +Ｃ．211k k ++ Ｄ．231k k ++6. 过抛物线y2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OA →·OB →的值是( ) A ．12B ．－12C ．3D ．－37. 把座位编号为6,5,4,3,2,1的6张电影票分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少分一张，至多分两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同分法种数为（ ） A. 240 B. 144 C. 196 D .2888．如图，在梯形ABCD 中，()AB DC AB a CD b a b ==>，，∥．若EF AB ∥，EF 到CD 与AB 的距离之比为:m n ，则可推算出：n m nbma EF ++=．试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形ABCD 中，延长梯形两腰AD BC ，相交于O 点，设OAB △，OCD △的面积分别为12S S ，，EF AB ∥且EF 到CD 与AB 的距离之比为:m n ，则OEF △的面积0S 与12S S ，的关系是（ ）Ａ．120mS nS S m n +=+Ｂ．120nS mS S m n +=+ Ｃ．120m S n S S +=Ｄ．120n S m S S +=9 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥++-=)0)(1(In )0(21)(2x x x ＜x x x f ，若函数kx x f y -=)(有3个零点，则实数k 的取值范围为（ ）A.)21,0(B. )1,21(C. ),1(+∞D. )1,41(10. 设函数)cos (sin )(x x e x f x-=（0＜x ＜2015π），则函数)(x f 的各极小值之和为（ ）A. πππ2201521)1(e e e ---B. πππe e e ---1)1(20152 C.ππ220161)1(e e ---D. πππ2201421)1(e e e ---11. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图， 则该多面体的每条棱中，最长的棱的长度为（ ） A. 26 B. 24C. 6D. 412. 设二次函数c bx ax x f ++=2)(的导函数为)(x f '.对R x ∈∀，不等式)()(x f x f '≥恒成立，则2222c a b +的最大值为（ ）A.26+B.26-C. 222+D. 222-二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13. 积分1(2)xx e dx +=⎰ .14. 若)()21(20142014102014R x x a x a a x ∈+++=-Λ，则2014201421222a a a +++Λ的值为________.15. 若函数x x x f sin 2)(+=，对任意的]2,2[-∈m ，0)()3(＜x f mx f +-恒成立，则x 的取值范围是__________.16. 定义域为R 的函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=)1(1)1(|1|1)(x x x x f ，若关于x的函数8521)()]([)(22-++=b x bf x f x h 有5个不同的零点x1，x2， x3，x4，x5，设x1＜x2＜x3＜x4＜x5 ，且x1，x2，x3，x4，x5构成一个等差数列}{n x 的前5项，则数列}{n x 的前10项和为__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分10分）已知曲线xx x y S 432:23++-=及点P （0，0），求过点P 的曲线S 的切线方程.18.（本小题满分12分)一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设袋子中的每一个球被摸到可能性是相等的. （1）从袋子中任意摸出3个球，求摸出的球均为白球的概率；（2）一次从袋子中任意摸出3个球，若其中红球的个数多于白球的个数，则称“摸球成功”(每次操作完成后将球放回)，某人连续摸了3次，记“摸球成功”的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.19. (本小题满分12分）如右图所示，在长方体D C B A ABCD ''''-中，A A AD AB '==λλ(λ＞0)，E ，F 分别是C A ''和AD 的中点，且EF ⊥平面D BC A ''. （1）求λ的值；（2）求二面角E B A C -'-的余弦值.20（本小题满分12分）)如图，点P(0，−1)是椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径．l1，l2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A ，B 两点，l2交椭圆C1于另一点D ． （1）求椭圆C1的方程；（2）求△ABD 面积取最大值时直线l1的方程．21.（本小题满分12分）已知函数]1,0[,1)1()(∈+-=x e x x f x. （1）证明：0)(≥x f ；（2）若a ＜x e x 1-＜b 在（0，1）恒成立，求b-a 的最小值.22.（本小题满分12分）已知函数)ln()(a x x x f +-=的最小值为0其中a ＞0. （1）求a 的值；（2）若对任意的),0[+∞∈x ，有2)(kx x f ≤成立，求实数k 的范围；xOyBl 1l 2PDA（3）证明：∑=+--ni n i 1)12ln(122＜)(2*N n ∈武汉二中、麻城一中2014-2015学年度下学期期中联考 高二（理科）数学试卷答题卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A AB A B D BC BDCB二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分） 13. e 14. -1 15. (-3,1) 16. 35三 解答题： 17.解：设切点),(00y x Q ，则切线422|0200++-='==x x y k x x ………………（2分）∴切线方程：))(422(00200x x x x y y -++-=-∵P （0，0）在切线上 ∴0200)422(x x x y ++-=……………………………………………………………（6分）即0203002030422432x x x x x x ++-=++-即003402030=⇒=-x x x 或43……………………………………………………（8分）①若0=x ，则切线方程为x y 4=…………………………………………………（9分）②若430=x ，则切线方程为xy 835=………………………………………………（10分）18.（1）设从袋子中任意摸出3个球, 摸出的球均为白球的概率是P.301=C C =P 31034 ……………………………………………………………………（4分）（2）由一次”摸球成功”的概率32=C C C +C =P 310142636. ………………………………（8分）ξ)32,3(B 2=ξE ………………………………………………………………………………（12分）19.解：如图建立直角坐标系，设2=='AD A A ，则λ2=AB ，则)2,0,2(A '，)2,0,0(D '，)0,2,2(λB ，)2,,1(λE ，)0,0,1(F ……………………（2分）（1）)2,,0(--=λEF ，)0,0,2(-=''D A ，)2,2,0(-='λB A . ∵EF ⊥平面D BC A ''∴20=⇒='⋅λB A EF ………………（5分）（2）由（1）知)2,2,0(--=EF 设),,(z y x n =为平面BE A '的法向量，由⎪⎩⎪⎨⎧='⋅='⋅00E A n B A n 得)1,22,1(=n ……………………………………………………（7分）∴515,cos -=〉〈n EF ………………………………………………………………（10分）又二面角为锐二面角 ∴515cos =θ（θ为其平面角）…………………………（12分）20.(1）由题意得： ⎩⎨⎧b=1，a=2．………………………………………………………………（2分）椭圆C 的方程为： x24+y2=1． …………………………………………………………（4分） （2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k ，则直线l1的方程为y=kx−1．又圆C2：x2+y2=4，故点O 到直线l1的距离d=1k2+1 ， ………………………… (5分)所以 |AB|=24−d2=24k2+3k2+1 ……………………………………………………（6分）又l1l2，故直线l2的方程为 x+ky+k=0．由 ⎩⎪⎨⎪⎧x+ky+k=0，x24+y2=1． 消去y ，整理得 (4+k2)x2+8kx=0故 x0=−8k 4+k2． 所以 |PD|=8k2+14+k2． ……………………………（9分） 设△ABD 的面积为S ，则S=12|AB||PD|=84k2+34+k2， 所以 S=324k2+3+134k2+3= 3224k2+3 ×134k2+3=161313，…………（11分）当且仅当k=±102时取等号所以所求直线l1的方程为y=±102x−1…………………………………………（12分）21. 解：（1）∵0)(≥⋅='xe x xf 在[0，1]恒成立. ∴)(x f 在[0，1]上单调递增 ∴)0()(min==f x f∴)(x f ≥0………………………………………………………………………………（2分）（2）令x e x g x 1)(-=，则21)1()(x e x x g x +-='＞0在（0，1）恒成立)(x g ⇒在（0，1）单增于是)(x g ＜1)1(-=e g ∴1-≥e b ………………………………………………（7分）令1)(--=ax e x h x ，则a e x h x-=')( ①当1≤a 时 ∵)(x h '＞0在（0，1）恒成立∴)(x h ＞0)0(=h 符合条件②当e a ≥时 ∵)(x h '＜0在（0，1）恒成立∴)(x h ＜0)0(=h 与条件矛盾，舍去；③当1＜a ＜e 时，∵)(x h 在（0，Ina ）单减，在[Ina ，1）单增 ∴)(x h ＜0在（0，Ina ）成立与已知矛盾，舍去.综上：1≤a ，从而2)(min -=-e a b ………………………………………………（12分） 备注：在求a 的最大值也可用洛必塔法则. 22.解：（1）函数的定义域为),(+∞-a .由0)(='x f 得：a x -=1＞a - 又由0)(≥'x f 得：a x -≥1∴)(x f 在)1,(a a --单减，在),1[+∞-a 单增∴10)1()(min=⇒=-=a a f x f ……………………………………………………（2分）（2）设)In()(2a x x kx x g ++-=)0(≥x则0)(≥x g 在),0[+∞恒成立)0(0)(ming x g =≥⇔ (※)注意到k k g ⇒≥+-=02In 1)1(＞0又1)122()(+-+='x k kx x x g①当12-k ＜0k (＜21)时，由0)(≥'x g &得k kx 221-≥. ∵)(x g 在]221,0[k k -单减，),221(+∞-k k单增，这与（※）式矛盾；②当21≥k 时∵0)(≥'x g 在),0[+∞恒成立 ∴0)0()(=≥g x g 符合(※)∴21≥k ………………………………………………………………………………（7分）（3）由（2）知：令21=k 得：221)1(x x In x ≤+-令),,2,1(122n i i x Λ=-=得:)]12()12([122--+--i In i In i ＜2)12(2-i当i=1时，322In x -⇒=＜2；当2≥i 时，2)12(2-i ＜--321i 121-i从而∑=-++--21)]12()12(122[i i In i In i ＜121132--+-n In ＜2.………………（12分）。
湖北省武汉市新洲一中、黄陂一中联考高二数学下学期期
2015-2016学年湖北省武汉市新洲一中、黄陂一中联考高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i为虚数单位，则复平面内复数z=i+i2的共轭复数的对应点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P33．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值（）A．2个B．1个C．3个D．4个4．由直线x=﹣，y=0与曲线y=sinx所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．15．一个物体的运动方程为s=1﹣t+t2其中s的单位是米，t是单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．8米/秒6．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．147．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3， =3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A． =0.4x+2.3 B． =2x﹣2.4 C． =﹣2x+9.5 D． =﹣0.3x+4.48．先后掷骰子两次，都落在水平桌面上，记正面朝上的点数分别为x，y．设事件A：x+y 为偶数；事件B：x，y至少有一个为偶数且x≠y．则P（B|A）=（）A．B．C．D．9．已知三个正态分布密度函数（x∈R，i=1，2，3）的图象如图所示，则（）A．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＞σ3B．μ1＞μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3C．μ1=μ2＜μ3，σ1＜σ2=σ3D．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＜σ310．育英学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有（）A．80种B．90种C．120种D．150种11．从重量分别为1，2，3，4，…，10，11克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个，使其总重量恰为10克的方法总数为m，下列各式的展开式中x10的系数为m的选项是（）A．（1+x）（1+x2）（1+x3）…（1+x11）B．（1+x）（1+2x）（1+3x）…（1+11x）C．（1+x）（1+2x2）（1+3x3）…（1+11x11）D．（1+x）（1+x+x2）（1+x+x2+x3）...（1+x+x2+ (x11)12．已知函数g（x）满足g（x）=g′（1）e x﹣1﹣g（0）x+，且存在实数x0使得不等式2m﹣1≥g（x0）成立，则m的取值范围为（）A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，3] C．[1，+∞）D．[0，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13．用数学归纳法证明命题“当n为正奇数时，x n+y n能被x+y整除”，第二步假设n=2k﹣1（k∈N+）命题为真时，进而需证n= 时，命题亦真．14．（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为．15．记集合A={（x，y）|x2+y2≤16}和集合B={（x，y）|x+y﹣4≤0，x≥0，y≥0}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，若在区域Ω1内任取一点M（x，y），则点M落在区域Ω2的概率为．16．已知曲线C的极坐标方程是ρ=cos（θ+）．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：（t为参数），则直线l与曲线C相交所成的弦的弦长为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．某校为了解一个英语教改实验班的情况，举行了一次测试，将该班30位学生的英语成绩进行统计，得图示频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（Ⅰ）求出该班学生英语成绩的众数，平均数及中位数；（Ⅱ）从成绩低于80分的学生中随机抽取2人，规定抽到的学生成绩在[50，60）的记1绩点分，在[60，80）的记2绩点分，设抽取2人的总绩点分为ξ，求ξ的分布列．18．某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行了民意调查，如表是在某单位得到的数据（人数）：（1）能否有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关？赞同反对合计男 5 6 11女11 3 14合计16 9 25（2）从赞同“男女延迟退休”16人中选出3人进行陈述发言，求事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率；（3）若以这25人的样本数据来估计整个地区的总体数据，现从该地区（人数很多）任选5人，记赞同“男女延迟退休”的人数为X，求X的数学期望．附：p（K20.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001≥k）k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828K2=．19．已知函数f（x）=lnax﹣（a≠0）．（1）求此函数的单调区间及最值；（2）求证：对于任意正整数n，均有1++…+≥ln（e为自然对数的底数）．20．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ．（Ⅰ）若A，B为曲线C1，C2的公共点，求直线AB的斜率；（Ⅱ）若A，B分别为曲线C1，C2上的动点，当|AB|取最大值时，求△AOB的面积．21．已知函数f（x）=|x﹣a|．（1）若f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a，m的值．（2）当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）．22．已知函数f（x）=﹣2ax+1+lnx（Ⅰ）当a=0时，若函数f（x）在其图象上任意一点A处的切线斜率为k，求k的最小值，并求此时的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）的极大值点为x1，证明：x1lnx1﹣ax12＞﹣1．2015-2016学年湖北省武汉市新洲一中、黄陂一中联考高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i为虚数单位，则复平面内复数z=i+i2的共轭复数的对应点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数的几何意义进行化简即可．【解答】解：z=i+i2=﹣1+i，对应的坐标为（﹣1，1），位于第二象限，故选：B．2．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P3【考点】简单随机抽样；分层抽样方法；系统抽样方法．【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即P1=P2=P3．故选：D．3．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值（）A．2个B．1个C．3个D．4个【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】如图所示，由导函数f′（x）在（a，b）内的图象和极值的定义可知：函数f（x）只有在点B处取得极小值．【解答】解：如图所示，由导函数f′（x）在（a，b）内的图象可知：函数f（x）只有在点B处取得极小值，∵在点B的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0，且f′（x B）=0．∴函数f（x）在点B处取得极小值．故选：B．4．由直线x=﹣，y=0与曲线y=sinx所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．1【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】先根据题意画出直线及y=sinx所围成的封闭图形，然后利用定积分表示区域面积，最后转化成等价形式．【解答】解：作出对应的图象如图：则对应的区域面积S==2=2（﹣cosx）|=2（1﹣cos）=2×，故选：D5．一个物体的运动方程为s=1﹣t+t2其中s的单位是米，t是单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．8米/秒【考点】导数的几何意义．【分析】求导数，把t=3代入求得导数值即可．【解答】解：∵s=1﹣t+t2，∴s′=﹣1+2t，把t=3代入上式可得s′=﹣1+2×3=5由导数的意义可知物体在3秒末的瞬时速度是5米/秒，故选C6．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．14【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人．从而得出从编号481～720共240人中抽取的人数即可．【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．所以从编号1～480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481～720共240人中抽取=12人．故：B．7．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3， =3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A． =0.4x+2.3 B． =2x﹣2.4 C． =﹣2x+9.5 D． =﹣0.3x+4.4【考点】线性回归方程．【分析】变量x与y正相关，可以排除C，D；样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程．【解答】解：∵变量x与y正相关，∴可以排除C，D；样本平均数=3， =3.5，代入A符合，B不符合，故选：A．8．先后掷骰子两次，都落在水平桌面上，记正面朝上的点数分别为x，y．设事件A：x+y 为偶数；事件B：x，y至少有一个为偶数且x≠y．则P（B|A）=（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】根据题意，利用随机事件的概率公式，分别求出事件A的概率与事件A、B同时发生的概率，再用条件概率公式加以计算，可得P（B|A）的值．【解答】解：根据题意，若事件A为“x+y为偶数”发生，则x、y两个数均为奇数或均为偶数．共有2×3×3=18个基本事件，∴事件A的概率为P1==．而A、B同时发生，基本事件有“2+4”、“2+6”、“4+2”、“4+6”、“6+2”、“6+4”，一共有6个基本事件，因此事件A、B同时发生的概率为P2==因此，在事件A发生的情况下，B发生的概率为P（B|A）==故选：A．9．已知三个正态分布密度函数（x∈R，i=1，2，3）的图象如图所示，则（）A．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＞σ3B．μ1＞μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3C．μ1=μ2＜μ3，σ1＜σ2=σ3D．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】正态曲线关于x=μ对称，且μ越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，又有σ越小图象越瘦长，得到正确的结果．【解答】解：∵正态曲线关于x=μ对称，且μ越大图象越靠近右边，∴第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，只能从A，D两个答案中选一个，∵σ越小图象越瘦长，得到第二个图象的σ比第三个的σ要小，故选D．10．育英学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有（）A．80种B．90种C．120种D．150种【考点】排列、组合的实际应用．【分析】分组法是（1，1，3），（1，2，2）共有25种，再分配，共有A33种果，根据分步计数原理知结果．【解答】解：依题意分组法是（1，1，3），（1，2，2）共有=25，再分配，乘以A33，即得总数150，故选：D．11．从重量分别为1，2，3，4，…，10，11克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个，使其总重量恰为10克的方法总数为m，下列各式的展开式中x10的系数为m的选项是（）A．（1+x）（1+x2）（1+x3）…（1+x11）B．（1+x）（1+2x）（1+3x）…（1+11x）C．（1+x）（1+2x2）（1+3x3）…（1+11x11）D．（1+x）（1+x+x2）（1+x+x2+x3）...（1+x+x2+ (x11)【考点】二项式定理的应用．【分析】x10是由x、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8、x9、x10、x11中的指数和等于10 的那些项的乘积构成，有多少种这样的乘积，就有多少个x10．各个这样的乘积，分别对应从重量1，2，3，…10，11克的砝码（每种砝码各一个）中，选出若干个表示10克的方法．【解答】解：x10是由x、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8、x9、x10、x11中的指数和等于10 的那些项的乘积构成，有多少种这样的乘积，就有多少个x10．各个这样的乘积，分别对应从重量1，2，3，…10，11克的砝码（每种砝码各一个）中，选出若干个表示10克的方法．故“从重量1，2，3，…10，11克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个．使其总重量恰为9克的方法总数”，就是“（1+x）（1+x2）（1+x3）…（1+x10）（1+x11）”的展开式中x10的系数”，故选：A．12．已知函数g（x）满足g（x）=g′（1）e x﹣1﹣g（0）x+，且存在实数x0使得不等式2m﹣1≥g（x0）成立，则m的取值范围为（）A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，3] C．[1，+∞）D．[0，+∞）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】分别求出g（0），g′（1），求出g（x）的表达式，求出g（x）的导数，得到函数的单调区间，求出g（x）的最小值，问题转化为只需2m﹣1≥g（x）min=1即可，求出m的范围即可．【解答】解：∵g（x）=g′（1）e x﹣1﹣g（0）x+，∴g′（x）=g′（1）e x﹣1﹣g（0）+x，∴g′（1）=g′（1）﹣g（0）+1，解得：g（0）=1，g（0）=g′（1）e﹣1，解得：g′（1）=e，∴g（x）=e x﹣x+x2，∴g′（x）=e x﹣1+x，g″（x）=e x+1＞0，∴g′（x）在R递增，而g′（0）=0，∴g′（x）＜0在（﹣∞，0）恒成立，g′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，∴g（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，∴g（x）min=g（0）=1，若存在实数x0使得不等式2m﹣1≥g（x0）成立，只需2m﹣1≥g（x）min=1即可，解得：m≥1，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13．用数学归纳法证明命题“当n为正奇数时，x n+y n能被x+y整除”，第二步假设n=2k﹣1（k∈N+）命题为真时，进而需证n= 2k+1 时，命题亦真．【考点】数学归纳法．【分析】首先分析题目求在用数学归纳法验证当n为正奇数时，x n+y n被x+y整除．当第二步假设n=2k﹣1时命题为真，进而需验证那一项成立？理论上是验证下一项成立，而题目中n为正奇数，故下一项为2k+1．即可得到答案．【解答】解：当n为正奇数时，求证x n+y n被x+y整除用数学归纳法证明时候，第二步假设n=2k﹣1时命题为真，进而需要验证n=2k+1．故答案为：2k+1．14．（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为40 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】由于二项式展开式中各项的系数的和为2，故可以令x=1，建立起a的方程，解出a的值来，然后再由规律求出常数项【解答】解：由题意，（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，所以，令x=1则可得到方程1+a=2，解得得a=1，故二项式为由多项式乘法原理可得其常数项为﹣22×C53+23C52=40故答案为4015．记集合A={（x，y）|x2+y2≤16}和集合B={（x，y）|x+y﹣4≤0，x≥0，y≥0}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，若在区域Ω1内任取一点M（x，y），则点M落在区域Ω2的概率为．【考点】几何概型．【分析】由题意和三角形以及圆的面积公式可得区域的面积，由概率公式可得．【解答】解：由题意可得A表示圆心为原点半径为4的圆及其内部，由圆的面积公式可得Ω1的面积S=π×42=16π，集合B表示的平面区域为两直角边都为4的直角三角形，∴由三角形的面积公式可得Ω2的面积S′=×4×4=8，∴点M落在区域Ω2的概率P==，故答案为：．16．已知曲线C的极坐标方程是ρ=cos（θ+）．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：（t为参数），则直线l与曲线C相交所成的弦的弦长为．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．【分析】把曲线C的极坐标方程展开，再利用即可化为直角坐标方程，把直线l的方程化为普通方程，利用弦长公式l=2即可得出．【解答】解：由曲线C的极坐标方程ρ=cos（θ+），化为，即ρ=cosθ﹣sinθ，∴ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，∴x2+y2=x﹣y．化为．表示圆心为C，半径r=的圆．直线l的参数方程是：（t为参数）化为3x+4y+1=0．∴圆心C到直线l的距离d==．∴直线l与曲线C相交所成的弦的弦长=2=．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．某校为了解一个英语教改实验班的情况，举行了一次测试，将该班30位学生的英语成绩进行统计，得图示频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（Ⅰ）求出该班学生英语成绩的众数，平均数及中位数；（Ⅱ）从成绩低于80分的学生中随机抽取2人，规定抽到的学生成绩在[50，60）的记1绩点分，在[60，80）的记2绩点分，设抽取2人的总绩点分为ξ，求ξ的分布列．【考点】离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图能求出众数、平均数和中位数．（Ⅱ）依题意，成绩在[50，60）的学生数为2人，成绩在[60，80）的学生数为10人，ξ可取的值为2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知：众数为85．平均数为：55×=81，∴该班学生英语成绩的平均数为81．设中位数为x，由频率分布直方图，得：[50，80）内的频率为（）×10=0.4，[80，90）内的频率为=，∴中位数x=80+=83．（Ⅱ）依题意，成绩在[50，60）的学生数为30×，成绩在[60，80）的学生数为30×=10，∴成绩低于80分的学生总人数为 12，∴ξ可取的值为2，3，4，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，∴ξ的分布列为：ξ 2 3 4P∴ξ的数学期望E（ξ）=2×=．18．某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行了民意调查，如表是在某单位得到的数据（人数）：（1）能否有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关？赞同反对合计男 5 6 11女11 3 14合计16 9 25（2）从赞同“男女延迟退休”16人中选出3人进行陈述发言，求事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率；（3）若以这25人的样本数据来估计整个地区的总体数据，现从该地区（人数很多）任选5人，记赞同“男女延迟退休”的人数为X，求X的数学期望．附：p（K20.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001≥k）k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828K2=．【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）求出K2，与临界值比较，即可得出结论；（2）求出基本事件的个数，利用古典概型的概率公式求解即可；（3）根据题意，X～B（5，），利用公式求出X的数学期望．【解答】解：（1）K2=≈2.932＞2.706，由此可知，有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关；（2）记题设事件为A，则所求概率为P（A）==；（3）根据题意，X～B（5，），∴E（X）=5×=．19．已知函数f（x）=lnax﹣（a≠0）．（1）求此函数的单调区间及最值；（2）求证：对于任意正整数n，均有1++…+≥ln（e为自然对数的底数）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先求出函数的导数，分类讨论a的范围，确定函数的单调性，从而求得函数的极值．（2）取a=1，由（1）知 f（x）=lnx﹣≥0，即≥1﹣lnx=ln，取x=1，2，3…，n，累加可得要征的结论．【解答】解：（1）由题意可得f′（x）=，∴当a＞0时，令f′（x）=0，求得x=a，由ax＞0，求得x＞0，函数的定义域为（0，+∞），此时函数在（0，a）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数；在（a，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数，故函数f（x）的极小值为f（a）=lna2，无最大值．当a＜0时，由ax＞0，求得x＜0，可得函数f（x）的定义域为（﹣∞，0），此时函数（﹣∞，a）上，f′（x）=＜0，f（x）是减函数；在（a，0）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数，故函数f（x）的极小值为f（a）=lna2，无最大值．（2）证明：取a=1，由（1）知 f（x）=lnx﹣≥f（1）=0，∴≥1﹣lnx=ln，取x=1，2，3…，n，则 1++…+≥ln+ln+ln+…+ln=ln，故要征得不等式1++…+≥ln成立．20．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ．（Ⅰ）若A，B为曲线C1，C2的公共点，求直线AB的斜率；（Ⅱ）若A，B分别为曲线C1，C2上的动点，当|AB|取最大值时，求△AOB的面积．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）消去参数α得曲线C1的普通方程，将曲线C2化为直角坐标方程，两式作差得直线AB的方程，则直线AB的斜率可求；（Ⅱ）由C1方程可知曲线是以C1（1，0）为圆心，半径为1的圆，由C2方程可知曲线是以C2（0，2）为圆心，半径为2的圆，又|AB|≤|AC1|+|C1C2|+|BC2|，可知当|AB|取最大值时，圆心C1，C2在直线AB上，进一步求出直线AB（即直线C1C2）的方程，再求出O到直线AB的距离，则△AOB的面积可求．【解答】解：（Ⅰ）消去参数α得曲线C1的普通方程C1：x2+y2﹣2x=0． (1)将曲线C2：ρ=4sinθ化为直角坐标方程得x2+y2﹣4y=0． (2)由（1）﹣（2）得4y﹣2x=0，即为直线AB的方程，故直线AB的斜率为；（Ⅱ）由C1：（x﹣1）2+y2=1知曲线C1是以C1（1，0）为圆心，半径为1的圆，由C2：x2+（y﹣2）2=4知曲线C2：是以C2（0，2）为圆心，半径为2的圆．∵|AB|≤|AC1|+|C1C2|+|BC2|，∴当|AB|取最大值时，圆心C1，C2在直线AB上，∴直线AB（即直线C1C2）的方程为：2x+y=2．∵O到直线AB的距离为，又此时|AB|=|C1C2|+1+2=3+，∴△AOB的面积为．21．已知函数f（x）=|x﹣a|．（1）若f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a，m的值．（2）当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）．【考点】其他不等式的解法．【分析】（1）根据绝对值不等式的解法建立条件关系即可求实数a，m的值．（2）根据绝对值的解法，进行分段讨论即可得到不等式的解集．【解答】解：（1）∵f（x）≤m，∴|x﹣a|≤m，即a﹣m≤x≤a+m，∵f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，∴，解得a=2，m=3．（2）当a=2时，函数f（x）=|x﹣2|，则不等式f（x）+t≥f（x+2）等价为|x﹣2|+t≥|x|．当x≥2时，x﹣2+t≥x，即t≥2与条件0≤t＜2矛盾．当0≤x＜2时，2﹣x+t≥x，即0，成立．当x＜0时，2﹣x+t≥﹣x，即t≥﹣2恒成立．综上不等式的解集为（﹣∞，]．22．已知函数f（x）=﹣2ax+1+lnx（Ⅰ）当a=0时，若函数f（x）在其图象上任意一点A处的切线斜率为k，求k的最小值，并求此时的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）的极大值点为x1，证明：x1lnx1﹣ax12＞﹣1．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，由基本不等式可得斜率的最小值，及切点，运用点斜式方程可得切线的方程；（Ⅱ）求出f（x）的导数，讨论判别式的符号，设出二次方程的两根，运用韦达定理和构造函数，x∈（0，1），求出导数，求得单调区间和极值、最值，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）∵a=0，∴，∴，当仅当时，即x=1时，f'（x）的最小值为2，∴斜率k的最小值为2，切点A，∴切线方程为，即4x﹣2y﹣1=0；（Ⅱ）∵，①当﹣1≤a≤1时，f（x）单调递增无极值点，不符合题意；②当a＞1或a＜﹣1时，令f'（x）=0，设x2﹣2ax+1=0的两根为x1和x2，因为x1为函数f（x）的极大值点，所以0＜x1＜x2，又x1x2=1，x1+x2=2a＞0，∴a＞1，0＜x1＜1，∴f′（x1）=0，，则，∵==，x1∈（0，1），令，x∈（0，1），∴，∴h′（x）=﹣3x+=，x∈（0，1），当时，h′（x）＞0，当时，h′（x）＜0，∴h′（x）在上单调递增，在上单调递减，∴，∴h（x）在（0，1）上单调递减．∴h（x）＞h（1）=﹣1，原题得证．。
湖北省武汉市新洲区部分学校2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题(解析版)
湖北省武汉市新洲区部分学校2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题考试用时：120分钟满分：150分第I卷（选择题共60分）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z满足()12z=，则z在复平面上的对应点所在象限为（）A. 一B. 二C. 三D. 四〖答案〗D〖解析〗由()12z=可得：2111222z++====+，则12z=-，则z在复平面上的对应点为1,22⎛-⎝⎭，故z在复平面上的对应点所在象限为第四象限.故选：D.2. 已知向量()()2,tan ,1,1a bθ==-，且//a b，则πtan4θ⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A. -4B. -3C. -1D.13-〖答案〗B〖解析〗由于//a b，所以()211tanθ⨯-=⨯，则tan2θ=-，所以πtan tanπ1tan34tan3π41tan11tan tan4θθθθθ--⎛⎫-====-⎪+-⎝⎭+⋅.故选：B.3. 某人射击一次击中的概率是0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（）A. 81125B. 54125C. 36125D. 27125〖答 案〗A〖解 析〗由题意可得：此人至少有两次击中目标的概率为：232333333811555125C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：A.4. 设公比为q 的正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若224432,32S a S a =+=+，则q =（ ） A. 23B. 1C. 32D. 3〖答 案〗C〖解 析〗正项的等比数列{}n a 中224432,32S a S a =+=+，则424242(32)(32)3()S S a a a a -=+-+=-，可得34423()a a a a +=-，所以22222()3()a q q a q a +=-，整理得(1)(23)0q q +-=，因为0q >，可得32q =.故选：C.5. 所有棱长都相等的三棱锥叫做正四面体，正四面体ABCD 的棱长为a ，M 、N 分别为棱BC 、AD 的中点，则MN 的长度为（ ）A. aB.C. 2aD. 3a〖答 案〗B〖解 析〗如图所示，连接BN 、CN ，∵正四面体的四个面都是正三角形，∴BN CN =，即△NBC 是等腰三角形，∴⊥MN BC ，在直角三角形MNC中，2MN a ===，故选：B.6. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左､在顶点分别为12,A A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）A. 13B. 3C.D.〖答 案〗C〖解 析〗因为椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左､右顶点分别为()1,0A a -，()2,0A a ，因此以12A A 为直径的圆的半径为r a =，圆心坐标为()0,0，又该圆与直线20bx ay ab -+=相切，如图，a=，则223ab ，因此222223a a b c c =+=+，即2232c a =，所以离心率为c e a ===.故选：C.7. 甲､乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：下列说法错误的是（ ）A. 从平均数和方差相结合看，甲波动比较大，乙相对比较稳定B. 从折线统计图上两人射击命中环数走势看，甲更有潜力C. 从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，甲成绩较好D. 从平均数和中位数相结合看，乙成绩较好 〖答 案〗D〖解 析〗由图可知，甲打靶的成绩为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10，甲的平均数为24687789910710甲+++++++++==v ，甲的方差为()()()()()()()22222222274767277287297107 5.410甲-+-+-+⨯-+⨯-+⨯-+-==s ，乙打靶的成绩为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，乙的平均数为9578768677710乙+++++++++==v ，乙的方差为()()()()()2222229757267477287 1.210乙-+-+⨯-+⨯-+⨯-==s ，所以22乙甲<s s ，从平均数和方差相结合看，甲波动比较大，乙相对比较稳定，故A 正确；从两人射击命中环数折线统计图走势看，在后半部分，甲呈上升趋势，而乙呈下降趋势，甲更有潜力，故B 正确；甲打靶的成绩为2，4，6， 7，7，8，8，9，9，10，中位数为7.5， 乙打靶的成绩为5，6，6，7， 7，7，7，8，8， 9，中位数为7，甲9环及9环以上的次数3次，甲9环及9环以上的次数1次，甲乙二人的打靶命中环数的平均数相同，故从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，甲成绩较好，故C 正确；甲乙二人的打靶命中环数的平均数相同，甲的中位数7.5大于乙的中位数7， 从平均数和中位数相结合看，甲成绩较好，故D 错误. 故选：D.8. 气象学中，24小时内降落在某面积上的雨水深度（无渗漏､蒸发､流失等，单位：mm ）叫做日降雨量，等级如下划分：某同学用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图所示，则那天降雨属于哪个等级（ ）A. 小雨B. 中雨C. 大雨D. 暴雨〖答 案〗B〖解 析〗作圆锥截面图如下，由已知200mm AB =，100mm DB =，150mm CG =，300mm CD =，设圆锥内积水部分的底面半径为r，则r CGDB CD=，故50mmr=，由锥体体积公式可得积水的体积()()23 1π50150125000πmm3V=⨯⨯=，因为收集雨水的平地面积为圆锥的底面，故其面积()()22π10010000πmm S=⨯=所以对应的平地上的积水深度为()12.5mmVhS==，所以该天降雨的等级为中雨.故选：B.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S7＝a4，则（）A. a1＋a3＝0B. a3＋a5＝0C. S3＝S4D. S4＝S5〖答案〗BC〖解析〗由S7＝177()2a a+＝7a4＝a4，得a4＝0，所以a3＋a5＝2a4＝0，S3＝S4，故BC正确；“-3，-2，-1，0，1，2，3”是满足条件的数列，不满足AD,故AD错误；故选:BC.10. 立德中学举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照[50，60）､[60，70）､[70，80）､[80，90）､[90，100]分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（）A. 图中的x 值为0.020B. 这组数据的极差为50C. 得分在80分及以上的人数为400D. 这组数据的平均数的估计值为77〖答 案〗ACD〖解 析〗由(0.0050.0350.0300.010)101x ++++⨯=， 可解得0.020x =，故选项A 正确；频率分布直方图无法看出这组数据的最大值和最小值，故选项B 不正确； 得分在80分及以上的人数的频率为(0.0300.010)100.4+⨯=， 故人数为10000.4400⨯=，故选项C 正确； 这组数据的平均数的估计值为：550.05650.2750.35850.3950.177⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故选项D 正确. 故选：ACD.11. 以下四个命题表述错误的是（ ） A. 直线()()()1213m x m y m m -+-=-∈R 恒过定点()5,2-B. 圆222x y +=上有且仅有2个点到直线:10l x y -+=的距离都等于2 C. 曲线22120C :x y x ++=与222480C :x y x y m +--+=恰有四条公切线，则实数m的取值范围为420m <<D. 已知圆22:2,C x y P +=为直线0x y ++=上一动点，过点P 向圆C 引条切线PA ，其中A 为切点，则PA〖答 案〗BD 〖解 析〗A 选项，()()()1213m x m y m m -+-=-∈R 变形得到()2130m x y x y +---+=，故21030x y x y +-=⎧⎨--+=⎩，解得52x y =⎧⎨=-⎩， 所以恒过定点()5,2-，A 表述正确；B 选项，圆222x y +=的圆心()0,0到直线:10l x y -+=的距离d ==，因为圆222x y +=故圆222x y +=上有且仅有3个点到直线:10l x y -+=的距离都等于，B 表述错误；C 选项，曲线1C 与2C 恰有四条公切线，故圆1C 与圆2C 相离，其中2220x y x ++=变形为()2211x y ++=，圆心为()1,0-，半径为1， 22480x y x y m +--+=变形为()()222420x y m -+-=-，圆心为()2,4200m ->，解得20m <，5=，所以51>，解得4m >，则实数m 的取值范围为420m <<，C 表述正确；D 选项，圆22:2C x y +=的圆心为()0,0O圆心到直线0x y++==>，故过点P 向圆C 引条切线PA ，有222PA OP +=，所以当OP 取得最小值时，PA 取得最小值，OP ，故PA2=，D 表述错误.故选：BD.12. 已知函数()1ln f x x x =+，则（ ）A. 函数()f x 的递减区间是()0,1B. 函数()f x 的最小值为1C. 函数()1f x x >+在()1,+∞恒成立D. 若()()()f m f n m n =≠，则2m n +>〖答 案〗ABD〖解 析〗因为函数()1ln f x x x =+，其定义域为()0,∞+，可得()22111x f x x x x -'=-=，令()0f x '<，解得01x <<，所以()f x 的递减区间是()0,1，所以A 正确；令f x，解得1x >，所以()f x 的递减区间是()1,+∞，所以函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以当1x =时，函数()f x 取得最小值，最小值为()11f =，所以B 正确；令()()11ln 1,1g x f x x x x x x =--=+-->，可得()2222110x x x x g x x x -+--+'==-<，所以函数()g x 单调递减，所以()()110g x g <=-<，所以当()1,x ∈+∞时，可得()1f x x <+成立，所以C 不正确；对于D 项，不妨设m n <，由()()f m f n =，可得ln n m nmn m -=， 要证2m n +>，需证()()2ln n m m n n mn m -+>，即证2lnn m nm n m ->， 令1n t m =>，则证12ln t tt ->成立即可，设()12ln ,1h t t t t t =-->，可得()22212(1)10t h t t t t -'=+-=>，所以函数()h t 在(1,)+∞上单调递增，所以()()10h t h >=，所以当1t >时，不等式12ln t t t ->恒成立，所以D 正确.故选：ABD.第II 卷（非选择题共90分）三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 某中学开展主题为“学习宪法知识，弘扬宪法精神”的知识竞赛活动，甲同学答对第一道题的概率为23，连续答对两道题的概率为12，用事件A 表示“甲同学答对第一道题”，事件B表示“甲同学答对第二道题”，则()P B A =______．〖答 案〗34〖解 析〗由已知可知：()12P AB =，所以()1()322()43P AB P B A P A ===，故〖答 案〗为：34.14.已知n+的展开式中各项系数和为1024，则其展开式中的常数项为_________.（用数字做答） 〖答 案〗270〖解析〗因为n的展开式中各项系数和为1024，则41024n=，解得5n =.所以，5的展开式通项为(()55562155C C 30,1,2,,5kk kk k kk T xk --+=⋅⋅=⋅⋅=，令55062k -=，可得3k =，所以，展开式中的常数项为3345C 3270T =⋅=.故〖答 案〗为：270.15. 设经过点M (2,1)的等轴双曲线的左、右焦点分别为F 1,F 2,若此双曲线上的一点N 满足12NF NF ⊥，则△NF 1F 2的面积为_______.〖答 案〗3〖解 析〗设该等轴双曲线的方程为()220x y λλ-=≠,该双曲线经过点()2,1,41M λ∴-=，即3λ=,该双曲线的方程为223x y -=,易得())12,F F ，该双曲线上的一点N 满足12NF NF ⊥,设()00,N x y ,可得2200220036x y x y ⎧-=⎨+=⎩，02y ∴=， 则12NF F ∆的面积1322S =⨯=，故〖答 案〗为3.16. 已知P 为函数ln y x =图象上任意一点，点Q 为圆()22211x y e +--=上任意一点，则线段PQ 长度的最小值为___．〖答案〗1 〖解 析〗由圆的对称性可知，只需满足圆心（0，21e +）到ln y x =图象上一点的距离最小值，设ln y x =图象上的一点为(),(0)m lnm m >，则1y x '=，即有切线斜率为1k m =，可得21lnm e m m --=-，2210m lnm e ∴+--=,设()221g m m lnm e =+--，()120g m m m +'=>,()g m 递增，又()0g e =，可得e m =处点（e,1）到Q 的距离最小，=，则线段PQ 长度的最小值为1. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，24151510,9,a a a a a a +==<.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令3n nb na =，求数列{}n b 的前n 项和n S .解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，因为2410a a +=，159a a =，所以311411109a q a q a a q ⎧+=⎨⋅=⎩.因为各项均为正数，所以解得12713a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，或1133a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩. 又因为15a a <，所以{}n a 是递增的等比数列，所以113a =，3q =.所以数列{}n a 的通项公式为23n n a -=.（2）由（1）知133n n n b na n -==⨯.则01211323333n n S n -=⨯+⨯+⨯++⨯，①在①式两边同时乘以3得，()12313132333133n nn S n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，②①-②得0121233333n nn S n --=++++-⨯，即1331233132n n nnn S n n ---=-⨯=-⨯-，所以()21314n nn S -+=.18. 在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且22sin 3sin sin ,C A B a b =+=. （1）求角C 的大小； （2）若ABCS=ABC 的周长.解：（1）在ABC 中，由22sin 3sin sin C A B =及正弦定理得223c ab =，即232c ab =，又a b +=，则2229232a b ab c ab ++==，即2252a b ab +=，由余弦定理，得22253122cos 222ab aba b c C ab ab -+-===，且()0,πC ∈， 所以π3C =.（）2由（1）知，π3C =，又ABCS1sin 2ab C ==，于是4ab =，又232c ab=，因此c a b =+==，所以ABC周长为a b c ++=19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为3的正方形，PO ⊥底面ABCD ，点O 在AD 上，1AO =.（1）求证：PD AB ⊥；（2）当二面角B PC D --的正弦值为5时，求PO 的值.（1）证明：因为底面ABCD 是正方形，所以BA AD ⊥，又因为⊥PO 底面ABCD ，BA ⊂面ABCD ，所以PO BA ⊥，又因为POAD O =，,PO AD ⊂面PAD ，故BA ⊥面PAD ，又因为PD ⊂面PAD ，所以BA PD ⊥，即PD AB ⊥.（2）解：由1AO =，取BC 的三等分点F ，使得1BF =，连接OF ， 因为⊥PO 底面ABCD ，,OD OF ⊂平面ABCD ， 所以,PO OD PO OF ⊥⊥，因为底面ABCD 是边长为3的正方形，1AO =，1BF =， 所以四边形ODCF 为矩形，所以OF OD ⊥, 所以OF OD OP ,,两两互相垂直，所以以O 为坐标原点，分别OF OD OP ,,所在的直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则()()()3,1,0,3,2,0,0,2,0B C D -，设PO t =，则()0,0,P t ，由()()3,0,0,0,2,DC DP t ==-，设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z =，则3020n DC x n DP y tz ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取2z =，则()0,,2n t =， 由()()0,3,0,3,1,BC BP t ==-，设平面PBC 的一个法向量为()111,,s x y z =，则11113030s BC y s BP x y tz ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取13z =，则(),0,3s t =， 由二面B PC D --的正弦值为可得：2cos ,0n s ==整理得4213140t t+-=，即()()221410tt+-=，所以214t =-（舍去），21t =，因为0t >，所以1PO =，故当二面角B PC D --的正弦值为时，1PO =.20. 某市工业部门计划对所辖中小型企业推行节能降耗技术改造，下面是对所辖的400家企业是否支持技术改造进行的问卷调查的结果：（1）依据小概率值0.005α=的独立性检验，能否认为“支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关；（2）从上述支持技术改造的中小型企业中，按分层随机抽样的方法抽出12家企业，然后从这12家企业中随机选出9家进行奖励，中型企业每家奖励60万元，小型企业每家奖励20万元．设X 为所发奖励的总金额（单位：万元），求X的分布列和均值．附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++．解：（1）零假设为H ：“支持节能降耗技术改造”与“企业规模”无关根据列联表中的数据，计算得到22400(6014018020)9.35780320240160χ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，{}27.8790.005P χ>=．根据小概率值0.005α=的独立性检验，我们推断0H不成立，即认为“支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005． （2）由（1）可知支持节能降耗技术改造的企业中，中型企业与小型企业的数量比为1:3． 所以按分层随机抽样的方法抽出的12家企业中有3家中型企业，9家小型企业． 选出的9家企业的样本点是()0,9，()1,8，()2,7，()3,6（前者为中型企业家数，后者为小型企业家数）．故X 的所有可能取值为180，220，260，300．()0939912C C 1180C 220P X ===， ()1839912C C 27220C 220P X ===， ()2739912C C 10827260C 22055P X ====， ()3639912C C 8421300C 22055P X ====，故X 的分布列为X 的均值为()12727211802202603002702202205555E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．21. 已知函数()e ln x a f x x-=-.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；（2）若存在[)0e,x ∈+∞，使0()0f x <成立，求a 的取值范围.解：（1）当0a =时，()e ln xf x x =-，1()e x f x x '=-，所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线的斜率e 1k =-，又(1)e =f ，∴切线方程为(e 1)1y x =-+.与,x y 轴的交点分别是1(,0),(0,1)1e -，∴切线与坐标轴围成的三角形的面积12(e 1)S =-·（2）存在[)0e,x ∈+∞，使0()0f x <，即00e ln 0x a x --<，即00e ln x a x -<.即存在[)0e,x ∈+∞，使0e e ln x ax >成立.令e ()ln x h x x =，因此，只要函数e ()ln xh x x =在区间[)e,+∞的最小值小于e a 即可· 下面求函数e ()ln xh x x =在区间[)e,+∞的最小值. 21e (ln )()ln x x x h x x -'=，令1()ln u x x x =-， 因为211()0u x x x '=+>，所以()u x 为[)e,+∞上的增函数， 且1(e)10e u =->.21e (ln )()0ln x x x h x x -'∴=>在[)e,+∞恒成立· e ()ln xh x x ∴=在[)e,+∞递调递增，函数e ()ln xh x x =在区间[)e,+∞的最小值为e(e)e h =，e (e)e e a h =<，得e a >.22. 如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>中，长半轴的长度与短轴的长度相等，焦距为6，点()2,1M -是椭圆内一点，过点M 作两条斜率存在且互相垂直的动直线12,l l ，设1l与椭圆C 相交于点2,,A B l 与椭圆相交于点,DE .（1）求椭圆C 的方程；（2）求AD EB ⋅的最小值及此时直线AB 的方程.解：（1）长半轴的长度与短轴相等，有2a b =，又焦距为6，故26,3c c ==，联立22222439a b a bc a b ⎧=⎧=⎪⇒⎨⎨=-=⎪⎩⎩，解得223,12b a ==， ∴椭圆C 的标准方程为221123x y +=.（2）设直线AB 的方程为()()()()1122210,,,,y k x k A x y B x y =++≠，由()22112321x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=++⎩得()()222148214(21)120k xk k x k +++++-=，所以()21212228214(21)12,1414k k k x x x x k k -++-+==++，设()()3344,,,D x y E x y ，则()()AD EB AM MD EM MB AM MB EM MD⋅=+⋅+=⋅+⋅()()()()112244332,12,12,12,1x y x y x y x y =---⋅+-+---⋅+-，又()()()()()21122122,12,1122x y x y k x x ---⋅+-=-+++()()()22121224114214k k x x x x k +=-++++=⎡⎤⎣⎦+，同理()()()244332412,12,14k x y x y k +---⋅+-=+，()()()()()22222222222220120111164114451441442k k AD EB k k k k k k k ++⎛⎫∴⋅=++=≥= ⎪++++⎝⎭⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，当且仅当1k =±时取等号，故AD EB ⋅的最小值为165，此时直线AB 的方程为30x y -+=或10x y ++=.。
湖北省宜昌市部分省级示范高中2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷含答案
宜昌市部分省级示范高中2024年春季学期高二年级期中考试数学试卷（答案在最后）命题学校：考试时间：120分钟满分：150分注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等比数列{}n a 中，0n a >，且11027a a =，则3239log log a a +等于（）A.9 B.6C.3D.2【答案】C 【解析】【分析】由等比数列的性质可得29110a a a a =，再利用对数运算性质即可得出结果.【详解】解：因为2911027a a a a ==，所以()3323932933log log log log 27log 33a a a a +====.故选：C.2.已知两条直线1:3210l x y -+=和2:210l ax y ++=相互垂直，则=a （）A.2 B.3C.43 D.43-【答案】C 【解析】【分析】根据两直线垂直的斜率表示可得3122a -⨯=-，解得43a =.【详解】易知1:3210l x y -+=的斜率为32，所以2:210l ax y ++=的斜率一定存在，即为2a-，所以3122a -⨯=-；解得43a =.故选：C3.已知空间向量(),1,2a λ= ，()2,1,b λλ=+ ，若a b，则实数λ=（）A.0 B.2C.1- D.2-【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量平行的性质求解即可.【详解】由a b，可设b a μ= ，则()()2,1,,,2μμμλλλ+=，所以21122μλμλμλλμ=⎧=-⎧⎪+=⇒⎨⎨=-⎩⎪=⎩，故选：D4.已知椭圆221210x y m m+=--的焦点在x 轴上，焦距为4，则m 等于（）A.8 B.7 C.6D.5【答案】A 【解析】【分析】根据方程表示椭圆，及焦点的位置得不等关系，从而得出结论．【详解】解： 椭圆221210x ym m+=--的焦点在x 轴上，2100m m ∴->->，即610m <<，且22a m =-，210b m =-，c ∴===，又焦距为4，∴2=，得8m =．故选：A ．5.有A 、B 、C 、D 、E 五位学生参加数学建模比赛，决出了第一到第五的名次，A 、B 两位学生去问成绩，老师对A 说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B 说：你是第三名.请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为（）A.6B.18C.20D.24【答案】B 【解析】【分析】利用特殊元素优先安排原则可求五位学生的名次的排法种数.【详解】B 只能排第3名有1种排法，A 可在2，4，5三个名次有13A 种排法，再排,,C D E 有33A 种排法，故五位学生的名次的排法种数有1333A ·A 18=种.故选：B.6.已知函数()1xf x e mx =-+的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线y ex =垂直的切线，则实数m 的取值范围是A.1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C.1e e⎛⎫ ⎪⎝⎭, D.(),e +∞【答案】B 【解析】【详解】函数f （x ）=e x -mx+1的导数为f′（x ）=e x -m ，若曲线C 存在与直线y=ex 垂直的切线，即有1xe m e-=-有解，即1xm e e =+由e x ＞0，则m ＞1e 则实数m 的范围为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故选B7.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为F .短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E于A ，B 两点.若4AF BF +=，点M 到直线的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（）A.0,2⎛ ⎝⎦B.0,4⎛ ⎝⎦C.3,12⎫⎪⎣⎭D.,14⎫⎪⎪⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】F '为椭圆的左焦点，连接AF '，BF '，根据对称性知AFBF '为平行四边形，即可求参数a ，由M 到直线的距离不小于45，结合点线距离公式有1b ≥，进而可求离心率e 的范围.【详解】取椭圆的左焦点F '，连接AF '，BF '，则根据对称性有OF OF '=，OA OB =，故AFBF '为平行四边形，24AF BF AF AF a '+=+==，2a =，点M 到l 的距离45d =，1b ≥，由2c e a ===，故0,2e ⎛∈ ⎝⎦.故选：A.【点睛】关键点点睛：过原点的直线与椭圆的两交点关于原点对称确定AFBF '为平行四边形，，结合椭圆的定义求参数a ，点线距离公式结合条件得到b 的范围，由椭圆离心率公式及参数关系求离心率范围.8.已知O 为正方形ABCD 的中心，E F ，分别为BC AD ，的中点，若将正方形ABCD 沿对角线BD 翻折，使得二面角A BD C --的大小为60 ，则此时cos EOF ∠的值为（）A.14-B.13-C.12-D.34-【答案】A 【解析】【分析】由二面角的概念，结合空间向量的数量积运算即可求得结果.【详解】如图所示，易知,OA BD OC BD ⊥⊥，所以结合已知有π,,,π,,3OA OB OC OD OB OD OA OC ⊥⊥==，易知()()11,22OE OB OC OF OA OD =+=+，设正方形边长为2，所以1OA OB OC OD OE OF ======，cos ,OE OF OE OF OE OF ⋅==⋅0210144-++==-,故选：A.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有（）A.如果4人全部为男生，那么有30种不同的选法B.如果4人中男生女生各有2人，那么有30种不同的选法C.如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法D.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法【答案】CD 【解析】【分析】按照排列组合的要求依次判断选项即可.【详解】A ：如果4人中全部为男生，选法有46C 15=种，故A 错误；B ：如果4人中男生女生各有2人，男生的选法有2615C =种，女生的选法有24C 6=种，则4人中男生女生各有2人选法有15690⨯=种，B 错误；C ：如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，在剩下的8人中再选2人即可，有2828C =种，故C 正确；D ：在10人中任选4人，有410C 210=种，甲乙都不在其中的选法有4870C =，故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内的选法有21070140-=种，故D 正确.故选：CD.10.已知e 是自然对数的底数，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()f x '是()f x 的导函数，且()ln ()0f x x f x x'+⋅>，则（）A.1(e)0e f f ⎛⎫+> ⎪⎝⎭B.10e f ⎛⎫< ⎪⎝⎭C.(e)0f >D.(1)0f =【答案】AC【解析】【分析】构造函数()ln ()g x x f x =⋅，借助新函数的单调性，即可判断.【详解】令函数()ln ()g x x f x =⋅，则()()ln ()0f x g x x f x x''=+⋅>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，又(1)0g =，所以(e)ln e (e)(e)0,g f f =⋅=>1111ln 0e e e e g f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即10e f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以11(e)0,0e e f f f ⎛⎫⎛⎫+>> ⎪ ⎝⎭⎝⎭，而(1)f 的大小不确定．故选：AC.11.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线:1l x =-，过F 的直线交抛物线C 于()()1122A x y B x y ，，，两点，交直线l 于点12M MA AF MB BF λλ==，，，则（）A.ABO 的面积的最大值为2B.124y y =-C.121=x xD.120λλ+=【答案】BCD 【解析】【分析】设直线:1AB x my =+，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理，依次判断判断各选项即可求得答案.【详解】设直线:1AB x my =+，由214x my y x=+⎧⎨=⎩得：2440y my --=.选项A ：1211·4222ABO S OF y y =-==≥⨯= ，应是最小值为2，故A 错误；选项B ：12-4y y =，故B 正确；选项C ：22212121212(),14416y y y y x x x x ====，则，故C 正确；选项D ：由1MA AF λ= ，2MB BF λ= ，21,M m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，得：1112y y m λ+=-，2222y y mλ+=-，12122112m y y λλ⎛⎫∴+=--+ ⎪⎝⎭121222y y m y y +=--⋅24204mm =--⋅=-，故D 正确.故选：BCD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.某人有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有______种.【答案】243##53【解析】【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理计算得解.【详解】每封电子邮件可以选择3个电子邮箱中的任意一个发送，有3种方法，所以发5封不同的电子邮件的不同发送方法有53243=（种）.故答案为：24313.数列{}n a 的通项公式为()()1143n n a n -=--，则它的前100项之和100S 等于______.【答案】200-【解析】【分析】根据并项求和得出答案.【详解】()()()()()()()100413423433410034123499100S ⎡⎤=⨯--⨯-+⨯--⋅⋅⋅-⨯-=⨯-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦()450200=⨯-=-故答案为：200-14.已知e 是自然对数的底数，则1D n =+的最小值为______.【答案】2【解析】【分析】根据表达式特征，可将D 转化为曲线e xy =上的点(),emM m于曲线y =(,N n 之间的距离加上抛物线()240y x y =≥上的点(,N n 到定直线=1x -的距离，构造函数利用函数单调性可得当0x =时，1D n =+的最小值为2.可以看成点(),emm 和点(,n 之间的距离，即表示曲线e x y =上的点(),emM m 和曲线y =上的点(,N n 之间的距离MN ，而1n +可以看成抛物线()240y x y =≥上的点(,N n 到定直线=1x -的距离NP ，如下图所示：易知抛物线()240y x y =≥的焦点为()1,0F ，准线方程为=1x -，利用抛物线定义可得NP NF =；所以1D n MN NP MN NF MF =+=+=+≥，即求出MF 的最小值即可，由(),emM m 和()1,0F 可得()()()222221e 0e 1m m MFm m =-+-=+-，令()()22e 1x f x x =+-，则()()()222e 212e 1xx f x x x =+-=+-'，令()2e1xg x x =+-，则()22e 10x g x '=+>恒成立，因此()g x 为单调递增函数，即()f x '为单调递增函数，又()00f '=，所以(),0x ∞∈-时，()()00f x f ''<=，即()f x 在(),0∞-上单调递减，当()0,x ∞∈+时，()()00f x f ''>=，即()f x 在()0,∞+上单调递增，因此()f x 在0x =处取得极小值，也是最小值，即()()()20min 0e 012f x f ==+-=；即可得1D n =+的最小值为2.故答案为：2【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据表达式特征，利用数形结合将表达式转化为曲线上两点距离之和再加上抛物线上的点到准线距离，构造函数并求单调性即可得出最小值.四、解答题：本大题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设函数()321132a f x x x =-+.（1）若0a >，求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()()2g x f x x =+，且()g x 在区间()2,1--内单调递增，求实数a 的取值范围.【答案】（1）单调增区间为()(),0,,a -∞+∞；单调减区间为()0,a ；（2）)⎡-+∞⎣【解析】【分析】（1）求函数的导数，分别令()0f x ¢>和()0f x '<解不等式即可（2）表达函数()()2g x f x x =+，求()g x 的导数，且()g x 在区间()2,1--单调递增，转换成()2,1x ∈--，使不等式()0g x '≥恒成立，分离参数求最值可得实数a 的取值范围【小问1详解】由()321132a f x x x =-+，得()()2f x x ax x x a '=-=-，又0a >，令()0f x ¢>，得x a >，或0x <，令()0f x '<，得0x a <<，故若0a >时，函数()f x 的单调增区间为()(),0,,a -∞+∞，函数()f x 的单调减区间为()0,a ；【小问2详解】因为()()32121232a g x f x x x x x =+=-++，所以()22g x x ax '=-+，又()g x 在区间()2,1--内单调递增，所以()0g x '≥在()2,1--恒成立，即220x ax -+≥恒成立，所以2max2x a x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，而()2222x x x x x x +⎡⎤⎛⎫=+=--+-≤- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当且仅当2x x=且()2,1x ∈--时，即x =时，取等号，所以实数a的取值范围为a ≥-16.已知圆C 的圆心在直线2y x =上且与x 轴相切，圆C 被直线10x y +-=截得的弦长为4.（1）求圆C 的标准方程；（2）从圆C 外一点P 向圆C 引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且PM PO =，求PM 的最小值.【答案】（1）()()223636x y -+-=（2【解析】【分析】（1）设圆心(),2,0C a a a ≠，半径为2a ，则圆方程为()()22224x a y a a -+-=，通过弦长公式列方程求得a 值，即可得圆的方程；（2）由PM PO =，得点P 的轨迹方程2430x y +-=，将PM 的最小值转化为PO 的最小值，即O 点到直线2430x y +-=的距离为所求.【小问1详解】因为圆心在2y x =上且与x 轴相切，所以设圆心(),2,0C a a a ≠，半径为2a ，所以圆方程为()()22224x a y a a -+-=，又圆心到直线10x y +-=距离d =，圆C 被直线10x y +-=截得弦长为4，所以有：22224a +=，解得3a =，所以圆方程为：()()223636x y -+-=；【小问2详解】解法一：因为222PMPC MC =-，又因为PM PO =，所以2236PO PC =-，设(),P x y ，则()()22223636x y x y +=-+--，即2430x y +-=，所以P 点轨迹方程为2430x y +-=.因为PM PO =，所以PM 的最小值就是PO 的最小值，即为O 点到直线2430x y +-=的距离3510d ==，所以PM 的最小值为10.解法二：因为222PMPC MC =-，又因为PM PO =，所以2236PO PC =-，设(),P x y ，则()()22223636x y x y +=-+--，即2430x y +-=，322x y =-+，22222223925624PM PO x y y y y y ⎛⎫==+=-++=-+ ⎪⎝⎭，当35y =时，2PM 取得最小值：920，所以PM .17.设{}n a 是各项都为正的单调递增数列，已知11a =，且n a 满足关系式：11n n a a ++=+*n ∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令()()()21121nn n a b n n n -=++，求数列{}n b 的前n 项积nT.【答案】（1）2*,N n n a n =∈（2）()()1121n T n n =++【解析】【分析】（1）利用递推公式11n n a a ++=+是公差为1d =的等差数列，代入可求通项公式；（2）由（1）可知21121n n n b n n -=⨯++，各项相乘即可求出前n 项积n T .【小问1详解】根据题意，将11n n a a ++=+1+-；即21=1-=±，又{}n a 是单调递增数列，所以1n n a a +>1=；可知数列是以1=为首项，公差为1d =的等差数列，()1n d n=-=，所以2na n=；即数列{}n a的通项公式为2*,Nnna n=∈；【小问2详解】由（1）可知，()()()()()()212121121121121nnn a n n n nbn n n n n n n---===⨯++++++，因此数列{}n b的前n项积12111233152335721124n n nTnb bnb n nb-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⨯+⎭⎭+⎝()()21111211211211231351234357n nn n n n n n⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅=-⨯⨯=+⎪+⎪⎭++⎝+⎭+⎝即可得()()1121nTn n=++.18.在如图所示的多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，在梯形ABEF中，//AF BE，AF AB⊥，22AB BE AF===，平面ABEF⊥平面ABCD.（1）证明：BD CF⊥；（2）若直线BC与平面ACF所成的角为60︒，M为棱BE上一点（不含端点），试探究BE上是否存在一点M，使得平面ACF与平面CFM夹角的余弦值为14？若存在，求出BM的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，1【解析】【分析】（1）由平面ABEF⊥平面ABCD推出AF BD⊥，再由BD AC⊥推出BD⊥平面ACF，进而推出BD CF⊥；（2）建立空间直角坐标系，设出点M坐标，利用向量法表示出平面ACF与平面CFM夹角的余弦值即可求解.【小问1详解】因为平面ABEF⊥平面ABCD，AF AB⊥，AF⊂平面ABEF，平面ABEF ⋂平面ABCD AB =，所以AF ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，故AF BD ⊥，因为四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，又AF AC A = ，AF，AC ⊂平面ACF ，所以BD ⊥平面ACF ，又因为CF ⊂平面ACF ，所以BD CF ⊥；【小问2详解】设AC BD O = ，由（1）可知，BO ⊥平面ACF ，故直线BC 与平面ACF 所成的角为BCO ∠，所以60BCO ∠=︒，则ACB △与ACD 均为边长为2的等边三角形，以O 为原点，OC ，OB 分别为x ，y 轴建立空间直角坐标系，如下图：由BD ⊥平面ACF ，可得平面ACF 的法向量为()10,1,0n =，而()1,0,0C ，()1,0,1F -，()2E，()B 设BM t =（02t <<），则()M t ，()2,0,1CF =-，()CM t =- ，设平面CFM 的法向量()2,,n x y z =，则22200n CF x z n CE x tz ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取x =，可得z =，12y t =-，故22,n t =-，所以平面ACF 与平面CFM 夹角的余弦值为1212121cos ,4n n n n n n ⋅===⋅ ，解得1t =或0（舍去），所以存在一点M 使得平面ACF 与平面CFM夹角的余弦值为14，此时BM 的长为1..19.已知点F 1、F 2为双曲线222y C x 1b-=：（b ＞0）的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且∠MF 1F 2=30°，圆O 的方程是x 2+y 2=b 2．（1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P 1、P 2，求12PP PP ⋅uu u v uuu v的值；（3）过圆O 上任意一点Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，求证：|AB|=2|OM|．【答案】（1）22y x 12-=；（2）-29；（3）见解析【解析】【分析】（1）解：设F 2，M 的坐标分别为))00y ,再通过双曲线的定义和解三角形得到双曲线C 的方程为22y x 12-=；（2）设双曲线C 上的点P （x 0，y 0），设两渐近线的夹角为θ，再求出12PP PP 、和cosθ的值，即得12PP PP ⋅的值；（3）由题意，即证：OA ⊥OB ，分y 0≠0和y 0=0两种情况证明1212OA OB x x y y 0⋅=+=，原题即得证.【详解】（1）解：设F 2，M 的坐标分别为))0y 因为点M 在双曲线C 上，所以2202y 1b 1b +-=，即20y b =±，所以22MF b=在Rt △MF 2F 1中，012MF F 30∠=，22MF b =，所以21MF 2b=由双曲线的定义可知：212MF MF b 2-==故双曲线C 的方程为：22y x 12-=（2）解：由条件可知：两条渐近线分别为12l y 0l y 0-=+=；设双曲线C 上的点P （x 0，y 0）则点P 到两条渐近线的距离分别为12PP PP ==，因为P （x 0，y 022y x 12-=上，所以22002x y 2-=，又1cosθ3=，所以12PP PP ⋅•cos （π-θ）=-22002x y 3-•13=-29（3）证明：由题意，即证：OA ⊥OB ．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），切线l 的方程为：x 0x+y 0y=2①当y 0≠0时，切线l 的方程代入双曲线C 中，化简得：()()222200002y x x 4x x 2y 40-+-+=所以：()()()2001212222200002y 44x x x x x 2y x 2y x ++=-=---，，又()()()20102201201201222200002x x 2x x 82x 1y y 42x x x x x x y y y 2y x ---⎡⎤=⋅=-++=⎣⎦-所以()()()2222000012122222220000002y 442x y 82x OA OB x x y y 02y x 2y x 2y x +-+-⋅=+=-+==---②当y 0=0时，易知上述结论也成立．所以1212OA OB x x y y 0⋅=+=综上，OA ⊥OB ，所以|=2||AB O |M uu u r uuu r．【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质和双曲线方程的求法，考查直线和双曲线与圆的位置关系，考查平面向量的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
湖北省武汉市部分重点中学2020-2021学年高二下学期期中联考数学试题
武汉市部分重点中学2020—2021学年度下学期期中联考高二数学试卷一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有（ ）种.A. 510AB. 510CC. 510D. 1052. 设n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 的值为（ ） A. 4B. 5C. 6D. 73. 两位男生和两位女生排成一排照相，则两位女生不相邻的排法种数是（ ） A. 24B. 12C. 8D. 44. 曲线()y f x =在1x =处的切线如图所示，则()()'11f f -=（ ）A. 1B. -1C. 0D. 12-5. 对于一组具有线性相关关系的样本数据(),(1,2,,)i i x y i n =，其样本中心为(),x y ，回归方程为y bx a =+，则相应于样本点(),i i x y 的残差为（ ）A. i y y -B. i y y -C. ()i i y bx a -+D. ()i i bx a y +-6. 甲乙两位游客慕名来到江城武汉旅游，准备分别从黄鹤楼、东湖、昙华林和欢乐谷4个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件A ：甲和乙至少一人选择黄鹤楼，事件B ：甲和乙选择的景点不同，则条件概率()P B A =（ ）A.716B.78C.37D.677. 数学多项选择题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.若选项中有()2,3,4i i =个选项符合题目要求﹐随机作答该题时至少选择一个选项所得的分数为随机变量(2,3,4)i i ξ=，则有（ ） A. ()()()24323E E E ξξξ+< B. ()()()24323E E E ξξξ+> C. ()()()24323E E E ξξξ+<D. ()()()24323E E E ξξξ+>8. 某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD （边长为2个单位）的顶点A 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为()1,2,,6i i =⋅⋅⋅，则棋子就按逆时针方向行走i 个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处的所有不同走法共有（ ）A. 22种B. 24种C. 25种D. 27种二、选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分）9. 为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量.已知该药物在人体血管中药物浓度c 随时间t 的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t 变化的关系如图所示.则下列结论正确的是（ ）A. 在1t 时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；B. 在2t 时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；C. 在[]23,t t 这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；D. 在[]12,t t 和[]23,t t 两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同. 10. 给出下列说法，其中正确的有（ ）A. 若X 是离散型随机变量，则()()2323E X E X +=+，()()2349D X D X +=+；B. 如果随机变量X 服从两点分布，且成功概率为p ，则()E X p =；C. 在回归分析中，相关指数2R 为0.98的模型比2R 为0.80的模型拟合的效果要好﹔D. 对于独立性检验，随机变量2K 的观测值k 值越小，判定“两个分类变量有关系”犯错误的概率越大. 11. 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，“初等函数”是由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个解析式表示，如函数()()0xf x xx =>，我们可以作变形：ln ln ()xx x x x t f x x e e e ====（其中ln t x x =），所以()f x 可看作是由函数ty e =和ln t x x =复合而成的，即()()0xf x x x =>为初等函数.那么，对于初等函数()1()0xh x x x =>，下列说法正确的是（ ）A. 有极小值B. 有最小值C. 有极大值D. 有最大值12. 体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止.设某学生一次发球成功的概率为()0p p ≠，且每次发球是否成功相互独立，发球次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值可能是（ ） A.14B.712C.512D.34三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，第15题分值前一问2分，后一问3分） 13. 曲线sin xy x=在点(),0M π处的切线的方程为___________. 14. 在54(12)(13)x x -⋅+的展开式中，按x 的升幂排列的第3项为___________.15. 为了研究某种病毒在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到了一些数据，绘制成散点图，发现用模型kx y ce =拟合比较合适.令ln z y =，得到 1.3z x a =+，经计算发现x ，z 满足下表，则k =__________，c =__________.16. 在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X ，则()E X =__________.四、解答题（本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 某制造企业坚持把质量作为建设企业的生命线，现从生产的一种产品中随机抽取500件，测量产品的质量指标值，得到如下频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求样本平均数x 和方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）由频率分布直方图可以认为，该产品的质量指标值X 近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ，并把质量指标值在212.2及以上的产品称为优等品，试估算该产品为优等品的概率.参考数据：12.2≈，若()2~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，()330.9974P X μσμσ-<<+=.18. 电子邮件是一种用电子手段提供信息交换的通信方式，是互联网应用最广的服务.我们在使用电子邮件时发现一个有趣的现象：中国人的邮箱名称里含有数字的比较多，而外国人邮箱名称里含有数字的比较少.为了研究邮箱名称里含有数字是否与国籍有关，随机调取40个邮箱名称，其中中国人的20个，外国人的20个，在20个中国人的邮箱名称中有15个含数字，在20个外国人的邮箱名称中有5个含数字. （1）根据以上数据填写22⨯列联表；（2）能否有99%的把握认为“邮箱名称里含有数字与国籍有关”？（3）用样本估计总体，将频率视为概率.在中国人邮箱名称里和外国人邮箱名称里各随机调取6个邮箱名称，记“6个中国人邮箱名称里恰有3个含数字”的概率为1p ，“6个外国人邮箱名称里恰有3个含数字”的概率为2p ，试比较1p 与2p 的大小.参考公式和数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++为样本容量）.19. 设函数()cos xf x ae x =+，其中a R ∈. （1）若1a =，证明：当0x >时，()2f x >；（2）若()f x 在区间[]0,π内有两个不同的零点，求a 的取值范围.20. 在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度．．．．．．.而系统能正常工作的概率称为设备的．．．可靠度．．．.为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）.已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”即一台正常设备，四台备用设备的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉.设三台设备的可靠度均为()01r r <<，它们之间相互不影响.（1）当0.9r =时，求计算机网络断掉的概率； （2）要使系统的可靠度不低于0.992，求r 的最小值；（3）已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可能给该产业园带来约50万的经济损失.为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种解决方案： 方案一：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.9，更新设备硬件总费用为8万元； 方案二：对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8，设备维护总费用为5万元. 请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策. 21. 已知函数2()2ln f x x x =-+与()ag x x x=+有相同的极值点. （1）求实数a 的值；（2）若121,,3x x e⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()1211f xg x k -≤-恒成立，求实数k 的取值范围.22. 某生物研究所存有一批规格相同的瓶装溶液，部分瓶装溶液中含有细菌R ，现取出()*,2n n N n ∈≥瓶该规格溶液做实验，其中m 瓶含有细菌R ，实验需要把含有细菌R 的溶液检验出来，有如下两种方案： 方案一：逐瓶检验，则需检验n 次；方案二：混合检验，将n 瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌R ，则n 瓶溶液全部不含有细菌R ；若检验结果含有细菌R ，就要对这n 瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为1n +. （1）假设5n =，2m =，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R 的概率； （2）现对n 瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌R 的概率均为()01P P ≤≤.若采用方案一，需检验的总次数为ξ，若采用方案二，需检验的总次数为η. ①若ξ与η的期望相等，试用n 表示P ； ②若141P e-=-，且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望，求n 的最大值.参考数据：ln 20.69≈，ln3 1.10≈，ln5 1.61≈，ln 7 1.95≈.武汉市部分重点中学2020—2021学年度下学期期中联考高二数学参考答案与评分细则一、选择题 1-5：DCBAC 6-8：DBD二、选择题9. AC 10. BCD 11. CD 12. AC 三、填空题13. 0x y ππ+-= 14. 226x - 15. 1.3；0.2e - 16. 85四、解答题17.（1）由频率分布直方图得样本平均值为：1700.021800.091900.222000.33x =⨯+⨯+⨯+⨯2100.242200.082300.02200+⨯+⨯+⨯=，样本方差为：2222(170200)0.02(180200)0.09(190200)0.22s =-⨯+-⨯+-⨯2222(200200)0.33(210200)0.24(220200)0.08(230200)0.02150+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.（2）∵20012.2212.2μσ+=+=，由()0.6826P X μσμσ-<<+=得，(212.2)()P X P X μσ≥=≥+()()111(10.6826)0.158722P X μσμσ--<<+=-=. 故该产品为优等品的概率为0.1587. 18.（1）填写22⨯列联表如下：（2）()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++240(151555)10 6.63520202020⨯-⨯==>⨯⨯⨯. 根据临界值表可知，有99%的把握认为“邮箱名称里含有数字与国籍有关”. （3）用样本估计总体，将频率视为概率，根据（1）中22⨯列联表. 中国人邮箱名称里含数字的概率为153204=，外国人邮箱名称里含数字的概率为51204=. 设“6个中国人邮箱名称里含数字”的人数为随机变量ξ，“6个外国人邮箱名称里含数字”的人数为随机变量η，根据题意得：3~6,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1~6,4B η⎛⎫ ⎪⎝⎭. 则3633333166333114444p C C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3633333266111314444p C C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以12p p =.19.（1）证明：1a =时，()cos xf x e x =+，'()sin xf x e x =-， 由0x >得1x e >，而[]sin 1,1x ∈-，则'()sin 0xf x e x =->，所以()f x 在()0,+∞上为增函数，故()()02f x f >=，即()2f x >. （2）由()cos 0xf x ae x =+=得cos x xa e=-. 设函数cos ()x x h x e =-，[]0,x π∈，则sin cos '()x x xh x e +=. 令'()0h x =，解得3x π=.随着x 变化，'()h x 与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在30,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.又因为(0)1h =-，()h e ππ-=，34342h ππ-⎛⎫=⎪⎝⎭，所以当34,2a e eππ--⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭时，方程cos x x a e =-在区间[]0,π内有两个不同解，且在区间30,4π⎛⎫⎪⎝⎭与3,4ππ⎛⎤⎥⎝⎦上各有一个解.即所求实数a 的取值范围为34,2e ππ--⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 20.（1）计算机网络断掉，即三台设备都不能正常工作，其概率为00330.9(10.9)0.001C ⨯-=.（2）要使系统的可靠度不低于0.992，则3(1)1(1)1(0)1(1)0.992P X P X P X r ≥=-<=-==≥--， 解得0.8r ≥，故r 的最小值为0.8.（3）设方案一、方案二的总损失分别为1Y 、2Y .采用方案一，更换部分设备的硬件，使得设备可靠度达到0.9， 由（1）可知计算机网络断掉的概率为0.001，不断掉的概率为0.999， 因此()180.001508.05E Y =+⨯=（万元）；采用方案二，对系统的设备进行维护，使得设备可靠度达到0.8， 由（2）可知计算机网络断掉的概率为0.008， 因此()250.00850 5.4E Y =+⨯=（万元）.因此，从期望损失最小的角度，决策部门应选择方案二. 21.（1）22(1)(1)'()2(0)x x f x x x x x-+=-+=->， 由'()00f x x >⎧⎨>⎩得01x <<，由'()0f x x <⎧⎨>⎩得1x >.所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞单调递减，从而()f x 的极大值为()11f =-. 又2'()1ag x x =-，依题意，1x =是函数()g x 的极值点，所以()'110g a =-=，解得1a =. 经检验，当1a =时，函数()g x 取到极小值，符合题意，故a =1.（2）由（1）知()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[]1,3上单调递减，又()13f f e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以11,3x e ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，()1max (1)1f x f ==-，()1min (3)92ln3f x f ==-+，由（1）知1()g x x x =+，易知()g x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[]1,3上单调递增，且()13g g e ⎛⎫> ⎪⎝⎭.所以21,3x e ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，()2max 10(3)3g x g ==，()2min (1)2g x g ==，由题意，①当10k ->即1k >时，()()12max1k f x g x -≥-⎡⎤⎣⎦，而()()()()1212max min max(1)(1)3f x g x f x g x f g -=-=-=-⎡⎤⎣⎦，故13k -≥-，又因为1k >，所以1k >.②当10k -<即1k <时，()()12min1k f x g x -≤-⎡⎤⎣⎦，而()()()()1212min max min37(3)(3)2ln 33f xg x f x g x f g -=-=-=-+⎡⎤⎣⎦， 故3712ln 33k -≤-+，又因为1k <，所以342ln 33k ≤-+. 综上，所求实数k 的取值范围为()34,2ln 31,3⎛⎤-∞-++∞ ⎥⎝⎦.22.（1）设“恰好经过3次检验就能确定哪两瓶溶液含有细菌R ”为事件A ， “第三次含有细菌R 且前两次有一次含有细菌R ”为事件B ， “前三次中都不含细菌R ”为事件C ，则A B C =，且B 、C 互斥，∴111322333355113()()()51010A A A A P A PB PC A A =+=+=+=， 所以恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R 的概率为310. （2）①由已知得()E n ξ=，η的所有可能取值为1，1n +. ∴(1)(1)nP P η==-，(1)1(1)nP n P η=+=--，∴()1(1)(1)1(1)1(1)n n n E P n P n n P η⎡⎤=⋅-++⋅--=+--⎣⎦， 若()()E E ξη=，则1(1)nn n n P =+--，所以()1*11,2nP n N n n ⎛⎫=-∈≥⎪⎝⎭.②∵141P e -=-，∴4()1E n n eπη-=+-⋅，由题意知()()E E ξη>，∴41n n n e π->+-⋅，整理得到1ln 4n n >， 设函数1()ln (2,)4h x x x x x R =-≥∈，则114'()44xh x x x-=-=，∴当24x ≤<时，'()0h x >，即()h x 在[)2,4上单调递增， 当4x >时，'()0h x <，即()h x 在()4,+∞上单调递减， 又(8)ln823ln 2230.6920h =-=-=⨯->，999(9)ln 92ln 32 1.100444h =-=-=⨯-<， 所以满足题设条件的n 的最大值为8.。
湖北省部分重点高中(麻城一中、新洲一中、黄陂一中盘龙校区等)高一下学期期中联考语文试卷.pdf
湖北省2016年春季部分重点中学期中联考 高二语文试题 命题学校：麻城一中 命题教师：邓 剑 审题教师：夏艳辉 考试时间：201年4月日 0—5：00 试卷满分：10分 第Ⅰ卷 ?阅读题 甲 ?必考题 、现代文阅读（9分，每小题3分） 阅读下面的文字，完成1～3题。
投资与消费不能顾此失彼 唐玮婕 复旦大学日前举行的第五届“转型与经济发展”国际双年会上，1996年诺贝尔经济学奖得主詹姆斯·莫里斯等一批专家学者就中国经济所面临的转型话题展开了深入探讨。
莫里斯认为，目前中国应尽可能地刺激消费增长，但同时也要保持适当的投资规模，两者双管齐下，中国经济未来几年依然可以维持GDP年均8%左右的增速。
最近几年来，中国经济已经悄然出现了四个重要的拐点。
国务院发展研究中心李善同教授指出，在2007年至2008年，包括国内经济增长速度、工业增加值占比、出口对于GDP贡献在内的三大指标都已经达到峰值，开始往下走。
与此同时，在劳动力供给方面，根据现在的劳动年龄人口来预测，到2016年、2017年，也将迎来“分水岭”。
“这四大拐点将给中国经济带来很大变化。
”她说。
莫里斯指出，投资和消费是一个需要权衡的问题，“当投资的回报率足够高时，没有理由一定要去减少投资。
消费也不是想刺激就能随时刺激起来的，应该尽可能在合理范围内拉动消费。
”他表示，只要不过于莽撞，在控制不良贷款方面更为审慎一些，他对中国经济的未来发展保持乐观。
复旦大学中国经济研究中心主任张军认为，中国经济结构还有巨大的调整空间，必须要关注资本的回报率，“长期来看，中国确实还需要基础建设，使城市更适宜居住，这些都离不开投资。
过度强调消费可能会成为误导。
”中国社科院汪同三教授也指出，对于中国来说，投资和消费之间的角力不能完全偏向一方，“光想着拉动消费，忘记投资，很可能顾此失彼。
” 在与会的诸多专家看来，中国经济未来的潜力，归根到底还是要看改革和创新。
举个例子来说，政府想要尽可能地拉动消费，背后的关键问题其实是收入分配制度的改革。
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湖北省2016年春季部分重点中学期中联考高二数学试卷（文科）命题学校：新洲一中 命题教师：蔡敏 审题教师：马金爱考试时间：2016年4月27日上午8:00～10:00 试卷满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设i 为虚数单位，则复数的虚部是（ ）A ．1B ．iC ．﹣1D ．﹣i2．已知全集U=R,{}{}24log 1,230A x x B x x x =<=--+<，则()U AC B 为 （ ）A.[]0,1 B. []3,1- C. [)1,4 D. (]0,13．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣15=0的半径，则椭圆的标准方程是（ ）A ．+=1B ．+=1C ．+y 2=1D ． +=14. 已知命题p q 、，如果p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件，那么q 是p 的（ ）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要5. 阅读如图的程序框图，若输出s 的值为﹣7，则判断框内可填写（ ） A.i ＜3B ．i ＜4C ．i ＜5D ．i ＜66．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中 恰有一个偶数”,正确的反设为（ ）A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．a ，b ，c 都是奇数D ．a ，b ，c 都是偶数 7. 有下列说法：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适．②相关指数R 2来刻画回归的效果，R 2值越小，说明模型的拟合效果越好．③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38．设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是（ ） A ．3- B ．335-C ．－2D ．27- 9．若()cos x f x e x =，则此函数图象在点()()1,1f 处的切线倾斜角为（ ）A ．0B ．锐角C ．直角D ．钝角10．椭圆的四个顶点A,B,C,D 构成四边形为菱形，若菱形ABCD 的内切圆恰好过焦点，则椭圆离心率为（ ）A B D 11．若函数1ln )(2+-+=x x x x f 在其定义域的一个子区间)2,12(+-k k 内不是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-43,23 B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,21 C ．⎪⎭⎫⎝⎛-3,23 D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,21 12.抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=23π．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB 的最大值是（ ）A ．B.C ．D ．二、填空题（每小题5分，共20分）13. 已知双曲线的渐近线方程为2y x =±，则其离心率大小是___ .14．[]1,3x ∃∈使10a x x++>，则a 的取值范围为 __________. 15．从11=，)21(41+-=-,321941++=+-，)4321(16941+++-=-+-，…,推广到第n 个等式为 .16.已知f （x ），g （x ）都是定义在R 上的函数，且满足以下条件：①f （x ）=a x g （x ）（a ＞0，a ≠1）； ②g （x ）≠0； ③f （x ）g'（x ）＞f'（x ）g （x ）若，则a= .三、解答题（共70分）17．（满分12分）已知命题p：x2﹣2x+a≥0在R上恒成立，命题q：为真，求实数a的取值范围．若p或q为真，p18．（满分12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y关于x的线性回归方程=x+，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？参考公式：回归直线=bx+a，其中b==，a=﹣b19．(满分12分)在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人，女性中有43人主要的休闲方式是看电视，其余人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，其余人主要的休闲方式是运动． （1）根据以上数据建立一个2×2的列联表；（2）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为休闲方式与性别有关系．独立性检验观察值计算公式，独立性检验临界值表：20. (满分12分)已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的点到右焦点F 1，F 到上顶点的距离为2，点)0,(m C 是线段OF 上的一个动点. （I ）求椭圆的方程;(Ⅱ)是否存在过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A 、B 两点,使得BA CB CA ⊥+)(,并说明理由.21. (满分12分)已知函数．（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在点P （1，f （1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f （x ）的单调区间.（Ⅱ）若对于∀x ∈（0，+∞）都有f （x ）＞2（a ﹣1）成立，试求a 的取值范围；（Ⅲ）记g （x ）=f （x ）+x ﹣b （b ∈R ）．当a=1时，函数g （x ）在区间[e ﹣1，e ]上有两个零点，求实数b 的取值范围．22.（满分10分）在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为，曲线C的参数方程为（α为参数）．（I）求直线OM的直角坐标方程；（Ⅱ）求点M到曲线C上的点的距离的最小值．湖北省2016年春季部分重点中学期中联考高二数学（文科）参考答案13、10,3⎛⎫-+∞⎪⎝⎭15、+-+-2224321…)321()1()1(121nn nn+⋅⋅⋅+++⋅-=⋅-+++ 16.12 17．解：若P是真命题．则△=4﹣4a≤0∴a≥1；…（3分）若q为真命题，则方程x2+2ax+2﹣a=0有实根，∴△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，即，a≥1或a≤﹣2，…（6分）依题意得，p假q真…（9分）a的取值范围为a≤﹣2．…（12分）18.解：解：（1）作出散点图如下：…（3分）（2）=（2+3+4+5）=3.5，=（2.5+3+4+4.5）=3.5，…（5分）=54，x i y i=52.5∴b==0.7，a=3.5﹣0.7×3.5=1.05，∴所求线性回归方程为：y=0.7x+1.05…（10分）（3）当x=10代入回归直线方程，得y=0.7×10+1.05=8.05（小时）．∴加工10个零件大约需要8.05个小时…（12分）19. 解：（1）（6分）（2）所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为休闲方式与性别有关系 …（12分）20. 解析：(1)由题意可知1a c -==，解得1,2===c b a ，∴椭圆的方程为1222=+y x ； …（4分）（2）由（1）得)0,1(F ，所以10≤≤m .假设存在满足题意的直线l ，设l 的方程为)1(-=x k y ，代入1222=+y x ，得0224)12(2222=-+-+k x k x k ，设),(),,(2211y x B y x A ，则1222,12422212221+-=+=+k k x x k k x x①122)2(22121+-=-+=+∴k k x x k y y ， …（6分）)122,2124(),(),(2222211+--+=-+-=+∴k km k k y m x y m x ，,)(AB CB CA ⊥+ 而AB 的方向向量为),1(k ,m k m k k k m k k =-⇔=⨯+-+--∴2222)21(01222124 …（8分）∴当210<≤m 时,m m k 21-±=,即存在这样的直线l ;当121≤≤m 时,k 不存在,即不存在这样的直线l . …（12分）21．解：（Ⅰ）直线y=x+2的斜率为1，函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为，所以，，所以，a=1．所以，，．由f'（x）＞0解得x＞2；由f'（x）＜0，解得0＜x＜2．所以f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）．…（4分）（Ⅱ），由f'（x）＞0解得；由f'（x）＜0解得所以，f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减．所以，当时，函数f（x）取得最小值，．因为对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，所以，即可．则．由解得．所以，a的取值范围是．…（8分）（Ⅲ）依题得，则．由g'（x）＞0解得x＞1；由g'（x）＜0解得0＜x＜1．所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．又因为函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，所以，解得．所以，b的取值范围是．22.解：（Ⅰ）由点M的极坐标为，得点M的直角坐标，，即M（4，4）．∴直线OM的直角坐标方程为y=x．…（4分）（Ⅱ）由曲线C的参数方程（α为参数），消去参数α得普通方程为：（x﹣1）2+y2=2．∴圆心为A（1，0），半径，由于点M在曲线C外,故点M到曲线C上的点的距离的最小值为|MA|﹣r==．…（10分）。