完整版1函数单调性的判别法
高中数学中几种判断函数增减性的方法
高中数学中几种判断函数增减性的方法函数的单调性（增减性）是函数的基本性质之一，是高中数学必须掌握且能熟练运用的基础知识。
函数中函数值的变化方向与自变量的变化方向密切相关，当自变量的变化方向与函数值的变化方向一致时，函数图象（曲线）是下降的，或者说是递减的；反之，是上升的，或者说是递增的，函数的这种性质称为单调性。
函数的单调性是函数在某个区间或整个定义域上的性质。
利用函数的单调性可以求函数在某个区间上的最大（小）值、可以比较两个或多个函数值的大小、还可以解不等式及判断函数在某个区间内的零点个数。
但在解决这些问题之前必须确定函数的单调性，即函数在定义域区间内是增函数还是减函数。
下面介绍几种判断函数增减性的方法。
一、利用函数单调性的定义判别设函数f（x）的定义域为i：如果对于定义域i内某个区间a上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有，那么就说函数f（x）是区间a上的函数。
在此定义中必须注意：1.证明函数的单调性，必须严格按照单调性的定义进行，x1，x2具有三个特征：一是任意性，也就是说，x1，x2是任取的，证明单调性时不能用两个特殊值随意替换x1，x2；二是x1，x2有大小，通常规定x1＜x2；三是x1，x2同属一个单调区间。
此三者缺一不可。
2.这个区间a可以是定义域i本身，也可以是定义域i的某个真子集。
3.不是所有的函数都具有单调性。
如函数，它的定义域为r，但不具备单调性；又如y＝3x+2，x ∈n+，它的定义域不是区间，也不能说它在定义域上具有单调性。
二、利用函数值与自变量的变化趋势判别或利用函数图象的“走势”判别当函数值与自变量的变化趋势时，函数为函数。
函数图象（曲线）“从左到右走坡路”，函数为函数。
三、利用函数单调性的运算性质判别若函数f（x），g（x）在定义域区间a上具有单调性，则在区间a上具有下列性质：①f（x）与f（x）+c（c为常数）具有相同的单调性；②当a＞0时，f（x）与af（x）具有相同的单调性；当a＜0时，f（x）与af（x）具有相反的单调性；③若f（x）恒不等于零，当k＞0时，f（x）与具有相反的单调性；单k＜0时，f（x）与具有相同的单调性；④当f（x）与g（x）都是函数时，则f（x）+g（x）也是函数；⑤若f（x）与g（x）都是函数时。
3-4函数单调性与曲线的凹凸性
1：确定函数的定义域D，判断函数f (x)在D上连续，可导； 2：求出f (x) 0的点及 f (x)不存在的点； 3：用f (x) 0的点及 f (x)不存在的点来划分函数 f (x)的 定义区间； 4：判断各个区间内导数的符号，得出它的单调性.
例2 解
确定函数 f ( x) 2x3 9x2 12x 3的单调区间.
在[2 a, a]上单调减少； 3
3、在[k , k ]上单调增加, 22 3
在[k , k ]上单调减少,(k 0,1,2,) . 2 32 2
四、(1)a 1 时没有实根； e
(2)0 a 1 时有两个实根； e
(3)a 1时只有 x e一个实根. e
3、函数 y x 2 ln x 2 的单调区间为____________，
单减区间为_____________.
二、 确定下列函数的单调区间：
1、 y
10
；
4x3 9x2 6x
2、 y 3 (2 x a)(a x)2 (a 0)；
3、 y x sin 2x .
三、证明下列不等式： 1、当 x 0时，1 x ln( x 1 x 2 ) 2、当 x 4时，2 x x 2 ； 3、若 x 0，则sin x x 1 x 3. 6
f ( x) 6x2 18x 12 6( x 1)(x 2) 解方程f ( x) 0 得， x1 1, x2 2. 当 x 1时， f ( x) 0, 在(,1]上单调增加； 当1 x 2时， f ( x) 0, 在[1,2]上单调减少； 当2 x 时， f ( x) 0, 在[2,)上单调增加； 单调区间为 (,1]， [1,2]，[2,).
充分小的邻域内单调递增？
思考题解答
函数单调性判断或证明方法
函数单调性判断或证明方法函数的单调性是指函数在定义域上的取值呈现递增或递减的趋势。
判断函数的单调性有两种常用的方法：1.利用导函数进行判断：对于函数f(x)，若在一个区间上导函数f'(x)始终大于等于零（或小于等于零），则f(x)在该区间上是递增（或递减）的。
具体步骤如下：a.求出f(x)的导函数f'(x)；b.列出f'(x)=0的根，即f'(x)的驻点；c.对于这些驻点，再求出它们对应的函数值，得到(f(x),f'(x))的表格；d.根据(f(x),f'(x))的表格，判断函数的递增或递减区间。
2.利用原函数进行判断：对于函数f(x)，若在一个区间上f'(x)始终大于零（或小于零），则f(x)在该区间上是递增（或递减）的。
具体步骤如下：a.求出f(x)的原函数F(x)，即有F'(x)=f(x)；b.对F(x)进行求导得到F'(x)，即二阶导函数，然后化简；c.列出F'(x)=0的根，即F'(x)的驻点；d.对于这些驻点，再求出它们对应的函数值，得到(F(x),F'(x))的表格；e.根据(F(x),F'(x))的表格，判断函数的递增或递减区间。
下面以具体的例子来说明如何利用这两种方法判断函数的单调性。
例1：对函数f(x)=x^3进行单调性判断。
a.利用导函数进行判断：f'(x)=3x^2，该函数导数恒大于零。
由此可知，f(x)=x^3在整个定义域上都是递增的。
表格示意如下：(x,f'(x))(-∞,+∞)b.利用原函数进行判断：F(x)=1/4*x^4是f(x)=x^3的一个原函数。
对F(x)进行求导得到F'(x)=x^3，该函数恒大于零。
由此可知，f(x)=x^3在整个定义域上都是递增的。
表格示意如下：(x,F'(x))(-∞,+∞)可以看出，无论是利用导函数还是原函数进行判断，都得到了相同的结论：函数f(x)=x^3在整个定义域上都是递增的。
高中数学函数单调性的判断方法
高中数学函数单调性的判断方法单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用，如我们常用求函数单调性的方法求函数的值域。
那么，有哪些求函数单调性的方法呢？方法一：定义法对于函数f(x)的定义域I 内某个区间A 上的任意两个值12,x x（1）当12x x <时，都有12()()f x f x <,则说f(x)在这个区间上是增函数；（2）若当12x x <时，都有12()()f x f x >,则说f(x) 在这个区间上是减函数。
例如：根据函数单调性的定义，证明：函数在 上是减函数。
要证明函数f （x ）在定义域内是减函数，设任意1212,x x R x x ∈<且，则33221221212121()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++，12x x <因为 210x x ->所以，且在1x 与2x 中至少有一个不为0，不妨设20x ≠，那么222222121123()24x x x x x x x ++=++0>，12()()f x f x >所以，故 ()f x 在 (,)-∞+∞上为减函数。
方法二：性质法除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性，则在区间B 上有：1. f(x)与c•f(x)当c ＞0具有相同的单调性，当c ＜0具有相反的单调性；2.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数；3.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)•g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数；例如，已知f （x ）在R 上是减函数，那么-5f （x ）为____函数。
这道题很简单，我们根据单调性的性质，很容易就能判断它是增函数。
方法三：同增异减法（处理复合函数的单调性问题）对于复合函数y ＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)，可令 t ＝g(x)，则三个函数 y ＝f(t)、t ＝g(x)、y ＝f [g(x)]中，若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数.注：（1）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；（2）互为反函数的两个函数有相同的单调性；（3）如果f(x)在区间D上是增（减）函数，那么f(x)在D的任一子区间上也是增（减）函数。
单调性极值及判定最大值最小值
思考题解答 结论不成立. 因为最值点不一定是内点.
例 y f ( x) x x [0,1] 在 x 0 有最小值，但 f (0) 1 0
y
y
y
oa
bx o a
bx o a
bx
步骤:
1.求驻点和不可导点;
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个 就是最小值;
注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值)
二、应用举例
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在[3,4] 上的最大值与最小值.
驻点和不可导点统称为临界点.
函数的极值必在临界点取得.
第一充分条件;
判别法
(注意使用条件)
第二充分条件;
函数的最大值 与最小值
一、最值的求法
若函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续，除个别点外处处可导， 并且至多有有限个导数为零的点，则 f ( x) 在 [a, b] 上的最大值与最小值存在 .
1 x f ( x)在[0,)上连续,且(0,)可导，f ( x) 0,
在[0,)上单调增加； f (0) 0,
当x 0时，x ln(1 x) 0, 即 x ln(1 x).
试证当x 0时, x arctanx.
证 : 设f (x) x, g(x) arctanx,
G(x) f (x) g(x),则
解 f ( x) 6( x 2)(x 1)
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1.
计算 f (3) 23;
f (2) 34;
f (1) 7;
f (4) 142;
y 2x3 3x2 12x 14
函数单调性的判断或证明方法
函数单调性的判断或证明方法
一、判断函数单调性
1.首先要求出函数的导数，再当x取不同值时，比较变化值得正负，
若正负总变化，则函数具有单调性；
2.若存在极值点，则极值点左右两侧的切线斜率不同，极值点左右两
侧分别是函数的上函数和下函数，是函数的单调递增或单调递减；
3.画函数的图象，若图象逐渐上升或逐渐下降，则此函数称为单调函数；
4.举一反三：若函数是单调递减函数，则函数的导数是负值。
二、证明函数的单调性
1.当函数的一阶导数存在时，根据函数的单调性定理：函数f(x)在
区间(a,b)上单调，当且仅当f'(x)在该区间从-∞到+∞的变化；
2.若存在极值点，则用函数的极值定理：f(x)在(a,b)中具有极值点，当且仅当f'(x)在该区间中取0；
3.若存在拐点，则用函数的拐点定理：f(x)在(a,b)中具有拐点时，
f'(x)在该区间取任意值；
4.若极值点或拐点右边的切线斜率大于左边的切线斜率，则函数单调
递增，否则函数单调递减。
函数单调性地判断或证明方法
函数单调性地判断或证明方法
一、函数单调性的概念
函数单调性指的是函数在增量部分的增量，即在其定义域内沿曲线一边的变化必须保持另一边的变化。
函数单调性的特点是，曲线的增量不会发生改变，甚至不会出现拐点，也不会发生有限个极值的情况。
即曲线在增量部分的变化是单调的，因此在曲线的增量部分，可以把函数的增量分为上升斜率和下降斜率，而且这些斜率的变化也是单调递增或递减的。
二、函数单调性的判断方法
要判断函数是否具有单调性，首先要把函数以增量的形式表示出来，然后根据函数的增量情况来判断函数是否具有单调性，可以把函数的增量情况分为以下几种：
1．恒定增量：即函数的增量是一个恒定的常数，我们把函数的增量称之为恒定增量，这个函数具有单调的性质。
2．单调增量：即函数增量是一个不断递增的函数，这样的函数也具有单调的性质。
3．单调减量：即函数的增量是一个不断递减的函数，这样的函数也具有单调的性质。
4．变量增量：即函数的增量随变量的变化而变化，这样的函数也具有单调的性质。
5．上凸函数：函数的增量在变化时具有上凸函数的性质，这样的函数也具有单调的性质。
6．下凸函数：函数的增量在变化时具有下凸函数的性质。
函数单调性极值最值与凹凸性拐点1
解
f
(
x)
2
(
x
1
2) 3
( x 2)
3
当x 2时, f ( x)不存在. 但函数f ( x)在该点连续.
当x 2时，f ( x) 0;
M
当x 2时，f ( x) 0.
f (2) 1为f ( x)的极大值.
三、小结
极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 值,极小值可能大于极大值.
(1) 求导数 f ( x);
(2) 求驻点，即方程 f (x) 0的根;导数不存在的点
(3)这些点将定义域分成若 干区间并判断 f '(x)符号 (4) 求极值.
例1 求出函数 f ( x) x3 3x2 9x 5 的极值. 解 f ( x) 3x2 6x 9 3( x 1)(x 3) 令 f ( x) 0， 得驻点 x1 1, x2 3. 列表讨论
当2 x 时， f ( x) 0, 在[2,)上单调增加；
单调区间为 (,1]， [1,2]，[2,).
例3 确定函数 f ( x) 3 x2 的单调区间.
解 D : (,).
f ( x) 2 , 33 x
( x 0)
当x 0时,导数不存在.
y 3 x2
当 x 0时，f ( x) 0, 在(,0]上单调减少；
利用泰勒公式]
练习题答案
一、1、(,1],[3,)单调增加,[1,3] 单调减少； 2、增加,(,1],[1,) 3、(,1],[1,) ；[1,0),(0,1];(,1],(0,1].
二、1、在(,0),(0, 1],[1,) 内单调减少, 2
在[1 ,1]上单调增加； 2
2、在(, 2 a],[a,)内单调增加, 3
函数单调性的判断方法
函数单调性的判断方法在数学中，函数的单调性是指函数在定义域内的变化趋势。
判断一个函数的单调性对于解决数学问题和应用数学知识都具有重要意义。
在本文中，我们将介绍函数单调性的判断方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
首先，我们来讨论函数的增减性。
如果对于函数f(x)，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，那么函数f(x)在区间(x1,x2)上是增加的；如果对于函数f(x)，当x1<x2时，有f(x1)>f(x2)，那么函数f(x)在区间(x1,x2)上是减少的。
这就是函数的增减性的基本定义。
接下来，我们介绍如何利用导数来判断函数的单调性。
对于函数f(x)，如果在区间I上f'(x)>0，则函数在区间I上是增加的；如果在区间I上f'(x)<0，则函数在区间I上是减少的。
这是因为导数f'(x)表示了函数f(x)的变化率，当导数大于0时，函数在该区间上是递增的；当导数小于0时，函数在该区间上是递减的。
除了利用导数的符号来判断函数的单调性外，我们还可以利用导数的变化来判断函数的单调性。
具体来说，如果函数f(x)在区间I上的导数f'(x)存在且连续，那么可以通过观察f'(x)的变化情况来判断函数f(x)在区间I上的单调性。
当f'(x)在区间I上单调递增时，函数f(x)在区间I上是递增的；当f'(x)在区间I上单调递减时，函数f(x)在区间I上是递减的。
此外，对于一些特殊的函数形式，我们也可以利用函数图像的特点来判断函数的单调性。
例如对于一次函数f(x)=ax+b，当a>0时，函数是递增的；当a<0时，函数是递减的。
对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c，可以通过判别式Δ=b^2-4ac的正负来判断函数的单调性，当Δ>0时，函数在两个实根之间是凹的；当Δ<0时，函数是凸的。
总之，函数的单调性是数学中一个重要的概念，对于理解函数的变化规律和解决实际问题都具有重要意义。
函数单调性的判断或证明方法
函数单调性的判断或证明方法函数的单调性是指函数在定义域上的递增或递减的性质。
在数学中，我们通常使用以下方法来判断或证明函数的单调性：微分法、判别式法、几何意义法等。
接下来，我会分别详细介绍这些方法。
1.微分法：微分法是判断函数单调性的常用方法，它利用函数的导数来判断函数的增减性。
一个函数在区间上递增，等价于该函数在区间上的导数大于等于0；同理，一个函数在区间上递减，等价于该函数在区间上的导数小于等于0。
具体步骤如下：（1）首先，计算函数的导函数；（2）然后，求出导函数的零点（即求出导数为0的点）；（3）最后，根据零点在定义域上的分布情况，判断函数的单调性。
举个例子，假设有函数f(x)=x^2，我们来判断其在定义域上的单调性。
首先，求导得到f'(x)=2x；然后，求出f'(x)=0时的解，即2x=0，解得x=0；最后，根据零点在定义域上的分布情况：当x<0时，f'(x)<0；当x>0时，f'(x)>0。
因此，函数f(x)=x^2在定义域上是递增的。
2.判别式法：判别式法是判断函数单调性的另一种方法，它利用函数的判别式，可以快速判断函数的单调性。
对于一元二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，判断其单调性时，可以根据判别式Δ = b^2 - 4ac的正负性进行判断。
具体步骤如下：（1）首先，计算判别式Δ；（2）然后，根据Δ的正负性，判断函数的单调性：-当Δ>0时，函数在定义域上是先增后减或先减后增的；-当Δ=0时，函数在定义域上是单调递减或单调递增的；-当Δ<0时，函数在定义域上是单调递增或单调递减的。
举个例子，假设有函数f(x)=x^2-3x+2，我们来判断其在定义域上的单调性。
首先，计算判别式Δ=(-3)^2-4*1*2=1；然后，根据Δ>0，我们知道函数在定义域上是先增后减或先减后增的。
3.几何意义法：几何意义法是判断函数单调性的另一种方法，它通过分析函数的图像来判断函数的单调性。