概率论与数理统计复习题解答

D(X ) E( X 2 ) (EX )2 6 1.52 3.75
D(2X ) 4D(X ) 4*3.75 15
7. 在假设检验中若原假设 H 0 实际为真时却拒绝 H 0 ,
称这类错误为
。
解: 第一类 错误
8.设随机变量 X ~ bn, p, 且 EX 2.4, DX 1.44, 则
48
48
所以, n 141 5.(10分)设 X1, X 2,, X n 为总体的一个样本，总体 X
的概率密度函数为
f
x
当 x 0 时，
F(x)
x
f (x)dx


0
0dx

e x dx
0
1 ex
所以
1 ex x 0
F(x)
0 x0
3.二维随机变量（X，Y）的联合密度函数为
f
x,
y

Ay1

0
,
y
, 0 x 1,0 y x 其他
x2
11 1 1 12 12 12 12
x3
11 1 1 12 12 12 12
∴
PX

x1
1 3
6. EX 1.5, EX 2 6, 。则 E2X _______,
D(X ) _______, D2X ______
解: E(2X ) 2E(X ) 2*1.5 3
0
其他
(3) f x, y f X x fY y 所以 X 与 Y
不相互独立。
4.（8分）某车间有200台车床，每台车床有60%的时间在开动， 每台车床开动期间的耗电量为E千瓦，问至少应供应给此车间 多少电量才能以99.9%的概率保证此车间不因供电不足而影响 生产？
解: 设至少需供给 nE 千瓦电量，设 X 为同时开动的车床数，
概率论与数理统计复习题解答
一填空题 ( 每空2分,共30分)
1.设A、B、C为三事件，则事件“A发生B与C 都不发生”可表示为_____________; 事件“A、B、C不都发生”可表示为 _______________； 事件“A、B、C都不发生”可表示为 ______________。
解: (1) ABC
2 0.98 1 0.01
3
3
0.6567
(2)
P A1 B1

PA1 P B1 PB1
A1

2 0.98 3 0.6567
196 197
0.9949
2.（8分）设X是连续型随机变量，已知X的密度函数为
Aex , x 0
f (x)
x3
则P(X=1)=__ ，P(X=2.5)=____ _ 1, x 3
解: F(x)的跳跃点分别是1，2，3，对应的跳跃高度为 0.4，0.1，0.5。 故其分布律为
X1 p 0.4
23 0.1 0.5
∴ P(X=1)=0.4, P(X=2.5)=0
4. 设 X ~ N1,3 ，则X的函数Y=
0,
x0
其中 为正常数。
试求 (1)常数A。 (2)X的分布函数 F ( x).
（1）由

f (x)dx
0
0dx
Ae x dx A 1


0

得 A
(2)
x
F(x) f (x)dx

当 x 0 时，
x
F (x) 0dx 0
~ N(0,1)。
解:
X 1
3
5. 设二维随机变量X ,Y , 的联合分布律为
P X xi ,Y y j
1 12
i 1,2,3; j 1,2,3,4
PX x 则
1
__________。
YX
y1 y2 y3 y4
x1
11 1 11 12 12 12 12 3
(1)试确定常数A； (2)求关于X和Y的边缘密度函数；
(3)判断X和Y是否相互独立。
解:
(1)由

f x, ydxdy
1
dx
x Ay1 ydy

00

1
A
x2

A
x3
dx
0 2
3
A 12
1
得 A 12
(2)
f X x
0.01. 信息 A 与信息 B 传送的频率程度为2 :1.
1）若接受站收到一信 息，是 A 的概率是多少？
2）若接受站收到的信息是 A问, 原发信息是 A 的概率是多少？
解: 设 A1, A2 分别表示发出 A, B. B1, B2 分别表示收到 A, B. 则
(1) PB1 PA1PB1 A1 PA2 PB1 A2
f x, ydy



x 0
12 y(1
y)dy

0wk.baidu.com
6x2 4x3 ,0 x 1

0,
其他
0 x 1 其他
fY ( y)

f (x, y)dx



1
12 y(1
y
y)dx

0
0 y 1 其他
12y(1 y)2 0 y 1
则 X ~ B(200,0.6), np 200 0.6 120,
np(1 p) 200 0.6 0.4 48
由 P{X n} 0.999, 得
P{ X 120 n 120 } 0.999
48
48
( n 120 ) 0.999 n 120 3.01
n ________, p __________, PX 0 ________
解:
E(X ) D(X )
np 2.4 npq 1.44

q 0.6

p

0.4
px 0 0.66
n6
二 解答题（共70分）
1.（8分）将两信息分别编码为 A 和 B传送出去，接收站收到时， A 被误收作 B 的概率为0.02, 而 B 被误收作 A 的概率为
(2) A B C
(3) A B C
2. 100件产品中有10件次品，任取5件恰有3件次品的 概率为________________（只写算式）。
解:
C130C920
C1500
0, x 1
3. 已知随机变量
X
的分布函数为
Fx

0.4,1 0.5,2
x2 ,